Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe

Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20131

Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe

UnterrichtlicherMehrwert

Sek. II

Einsatz-möglichkeiten

Sek. I

UnterrichtlicherMehrwert

Sek. II

Einsatz-möglichkeiten

Sek. I

Funktionalitätendes GTR

Funktionalitätendes GTR

Fortbildungs-möglichkeiten


FachübergreifendeMöglichkeiten

FachübergreifendeMöglichkeiten

Finanzierungs-modelle

Finanzierungs-modelle

RechtlicheGrundlagen

RechtlicheGrundlagen

Einsatzdes GTR

in der Sek. II

Einsatzdes GTR

in der Sek. II

Vorschläge zur Einführung

Vorschläge zur Einführung

ÜbersichtDer GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.20132

Der graphikfähige Taschenrechner unterstützt den Erwerb mathematischer Kompetenzen.

Unterrichtlicher Mehrwert in der S II

Entdecken mathematischer

Zusammenhänge

Verständnis-förderung durch Visualisierung

Reduktion schematischer

Abläufe

Verarbeitung größerer

Datenmengen

Kontrolle von Ergebnissen

Konzentration auf den mathe-

matischen Kern eines Problems

Experimentieren und Erkunden

Unterstützung von begriffsbildendem

Arbeiten


Rechtliche Grundlagen

Übersicht

Übersicht

Verpflichtung zum Einsatz des graphikfähigen Taschenrechners (GTR) ab dem Schuljahr 2014/15 (Erlass vom 27.6.2012)

• in der gymnasialen Oberstufe (Gymnasien, Gesamtschulen, Weiterbildungskollegs, Waldorfschulen)

• im Beruflichen Gymnasium

Alternativ weiterhin möglich: • Einsatz von Computer-Algebra-Systemen (CAS)



Übersicht

Konsequenz für Zentralabitur und zentrale Klausuren

• Einsatz des GTR ab dem Zentralabitur 2017

• Einsatz des GTR bereits in der zentralen Klausur am Ende der Einführungsphase ab dem Schuljahr 2014/2015 vorgesehen (Gesamtschulen, Gymnasien und Weiterbildungskollegs)

• Vorgaben zum Zentralabitur und zu den zentralen Klausuren

(CAS-Aufgabensatz sowohl für die zentrale Klausur als auch für das Zentralabitur 2017)



Übersicht

Nutzung eines CAS

• Schulen können statt eines GTR auf freiwilliger Basis ein CAS mit erweiterter Funktionalität einführen.

• Im Zentralabitur wird weiterhin CAS als Hilfsmittel zugelassen.• Die Entscheidung zwischen CAS und GTR liegt in der

Verantwortung der Schule.



Übersicht

Einführung des GTR in der Sekundarstufe I

• GTR-Einsatz für alle Schulformen in der Sek. I möglich• keine Verpflichtung, Schule entscheidet über Zeitpunkt und

Klassenstufe der GTR-Einführung in der Sek. I• Wenn alle Schülerinnen und Schüler einer Klasse in der Sek. I einen

GTR zur Verfügung haben, kann er auch mit allen Funktionen genutzt werden.



Übersicht

Verpflichtung zur Anschaffung des GTR in der gymnasiale Oberstufe und am Beruflichen Gymnasium

• Taschenrechner sind keine Lernmittel, sondern Gegenstände der persönlichen Ausstattung der Schülerinnen und Schüler.

• Die Anschaffung obliegt damit grundsätzlich den Erziehungsberechtigten bzw. den volljährigen Schülerinnen und Schülern.

Empfehlung: Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells mit sozialer Komponente auf der Basis umfassender Information und Beteiligung der schulischen Mitwirkungsgremien.



Übersicht

Taschenrechnermodelle• Kein Zulassungsverfahren für Taschenrechnermodelle • Eingeführter Taschenrechner muss durch Graphikfähigkeit und

weitere Funktionalitäten dem Einsatz im Unterricht und in Prüfungen gerecht werden.

• Die innerhalb einer Lerngruppe verwendeten Geräte müssen in ihrer Funktionalität vergleichbar sein.

• Die vollständige Integration in die unterrichtliche Arbeit wird durch ein einheitliches Taschenrechnermodell erleichtert.

• Die Verpflichtung zur Anschaffung von Taschenrechnern bezieht sich jedoch nur auf die Funktionalitäten und nicht auf ein bestimmtes Modell.




Vorschläge zur Einführung des GTR

an der Schule

Übersicht

Übersicht

Mögliche Entscheidungswege und Zeitplan

Ab Frühjahr 2013:• Beratungen der Fachschaft Mathematik zur Auswahl eines GTR-

Modells – Beachtung der geforderten Funktionalitäten– Preisvergleich und Vergleich der Lieferbedingungen der

Hersteller/Händler – Überlegungen zu einem Einsatz des GTR bereits in der S I,

ggf. gestufte Einführung – Längerfristige Nutzung eines Modells (Verlässlichkeit,

Wiederverkaufsmöglichkeit, Aufbau eines Gerätepools)

Vorschläge zur Einführung des GTR


Übersicht

• Einbeziehung weiterer Fachschaften zur Abstimmung fachübergreifender Nutzungsmöglichkeiten

• Erarbeitung eines tragfähigen Finanzierungsmodells in einem Arbeitskreis (Schulleitung, evtl. weitere Vertreterinnen und Vertreter der Lehrerkonferenz, Mitglieder der Schulpflegschaft, der Schülervertretung und des Fördervereins)

• Beschluss der Fachkonferenz Mathematik als Empfehlung zur Einführung des ausgewählten GTR-Modells

• Erstellung einer Vorlage für die schulischen Gremien• Planung der Fortbildungsmaßnahmen zum GTR-Einsatz

Hinweise zur Einführung des GTR


Übersicht

Ab September 2013:• Information und Beteiligung der Mitwirkungsgremien• Wahrnehmung der Fortbildungsmaßnahmen• Methodische und didaktische Überlegungen zum GTR-Einsatz im

Mathematikunterricht

Zum Beginn des Schuljahres 2014/15:• Nutzung des GTR im Rahmen des erarbeiteten

Finanzierungsmodells und der verhandelten Konditionen

Hinweise zur Einführung des GTR



Funktionalitäten des GTR

Übersicht

Übersicht

Anforderungen an die Funktionalität eines GTR in der S II

I. Wertetabellen und Listen• Erstellen und bearbeiten von Tabellen und Listen• graphische Darstellung von Werten einer Tabelle (z. B. als

Punktwolke)

II. Analysis• Graphische Darstellung von

o Funktioneno Tangenten an einen Funktionsgraphen an einer Stelleo Integralfunktionen

• Variieren von Parametern von Funktionstermen



Übersicht

• Ermitteln von Koordinaten ausgewählter Punkte, auch durch Abfahren der Graphen (Trace-Modus), Kontrolle rechnerischer Ergebnisse (z. B. lokale Extremstellen, Wendestellen, Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen)

• Numerische Berechnungen o Ableitung einer Funktion an einer Stelleo bestimmte Integrale o Lösen von Gleichungen



Übersicht

III. Lineare Algebra

Lineare Gleichungssysteme (mind. mit 6 Unbekannten)

• Bestimmung der Lösungsmenge von Gleichungssystemen • Lösungsmengen auch von unterbestimmten linearen

Gleichungssystemen z.B. mithilfe der reduzierten Zeilenstufenform einer erweiterten Koeffizientenmatrix

Analytische Geometrie/Matrizen (mind. bis zur Dimension 6 x 6)• Elementare Rechenoperationen mit Vektoren und Matrizen• Matrizenmultiplikation• Potenzieren quadratischer Matrizen



Übersicht

IV. Stochastik• Berechnen von Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert,

Standardabweichung)• Wahrscheinlichkeitsverteilungen

– Erstellen von Histogrammen– Variieren der Parameter– Berechnen von Kennzahlen (Erwartungswert,

Standardabweichung)• Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomial- und

normalverteilten Zufallsgrößen• Berechnen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten• Generieren von Listen mit Zufallszahlen




Finanzierungsmodelle

Übersicht

In der Schulpraxis bieten sich oft Mischmodelle an.



Kauf Miete Ausleihe

Soziale Komponente

Übersicht

Kaufmodell• Sammelbestellung über die Schule (Beteiligung freiwillig)

– vergünstigte Konditionen– Nutzung von Sozialprogrammen der Hersteller möglich– Freigeräte

• Freigeräte werden bedürftigen Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellt

• Schule hält ggf. zusätzliche Geräte zur Ausleihe bereit• Option: Nach einem Durchgang wird eine Börse für gebrauchte

GTR eingerichtet (z. B. Weiterverkauf der GTR von Abiturienten)



Beispiel 1: Variante eines Kaufmodells

Übersicht

Mietmodell• Schule schafft einen Satz GTR zur Vermietung an

– vergünstigte Konditionen– Freigeräte

• Anschubfinanzierung durch den Förderverein• Festlegung eines angemessenen Mietpreises für den GTR• Schriftliche Nutzungsvereinbarung zwischen Schule und

Erziehungsberechtigten• Bei bedürftigen Schülerinnen und Schülern übernimmt der

Förderverein den Mietpreis oder es wird unentgeltlich ein GTR ausgeliehen.



Beispiel 2: Variante eines Mietmodells

Übersicht



Übersicht

Wahlmöglichkeit zwischen drei Optionen:• Kauf des Gerätes über Sammelbestellung der Schule• Mieten des Gerätes von der Schule• Anschaffung des Gerätes in eigener Verantwortung

Für bedürftige Schülerinnen und Schüler übernimmt der Förderverein der Schule die Mietkosten.

Anschubfinanzierung durch den Förderverein (Sponsoren, Darlehen)



Beispiel 3: Mischmodell


Unterrichtlicher Mehrwert in der S II

27

Übersicht über die Beispiele

1 EFModellieren mit Exponentialfunktionen

5EF, Q1Extremwertprobleme

9Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander(LGS lösen)

2Q1Ein Weg zurlinearen Regression

6Q1Berechnen von Integralen (mit/ohne Bilanzierung)

10Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen

3EFEntdecken derPotenzregel

7Q1Untersuchung von Integralfunktionen

11Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung

4EFElemente einerKurvendiskussion

8Q1, Q2Ein Weg zur e-Funktion

12Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall

Übersicht

Beispiel 1

EFModellieren mit Exponentialfunktionen

Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.:

Der GTR …

• nimmt die Daten auf (Tabelle),

• zeigt die Punktwolke (Streudiagramm),

• zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch),

• übernimmt weitere Rechnungen („Wie lange dauert es, bis …“)

28

Bierschaum-zerfall

Schoko-linsen-abnahme

Abkühlungs-prozesse

Übersicht Beispiele Übersicht

Beispiel 1

EFModellieren mit Exponentialfunktionen

Zu einer offenbar nicht linearen Entwicklung wird ein neues, nicht quadratisches Modell gesucht, z.B.:

Der GTR …

• nimmt die Daten auf (Tabelle),

• zeigt die Punktwolke (Streudiagramm),

• zeigt Graph zu neuem Modell (nicht linear, nicht quadratisch),

• übernimmt weitere Rechnungen („Wie lange dauert es, bis …“)

29

Bierschaum-zerfall

Schoko-linsen-abnahme

Abkühlungs-prozesse


1.Die experimentellermittelten Daten

als Liste

3.Ein mögliches

Modell:Funktionsterm

5.Ziel: Zeit bis„Höhe“ 0,5

2.Der Datensatzals Punktplot

(Streudiagramm)

4.Ein mögliches

Modell:Graph

6.Wertetabelle

zu Y1

30 Übersicht Beispiele Übersicht

1.Die experimentellermittelten Daten

als Liste

3.Ein mögliches

Modell:Funktionsterm

5.Ziel: Zeit bis„Höhe“ 0,5

2.Der Datensatzals Punktplot

(Streudiagramm)

4.Ein mögliches

Modell:Graph

6.Wertetabelle

zu Y1


Beispiel 2

EFEin Weg zur linearen Regression

Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz „optimal“ beschreibt.

Der GTR

• zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle,

• berechnet Qualitätskriterien,

• berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b),

• zeigt den optimalen Graphen, und

• berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen.


Beispiel 2

EFEin Weg zur linearen Regression

Zu einem bivariaten Datensatz (z.B. Körpergröße – Schuhgröße o.ä) wird ein lineares Modell gesucht, das diesen Datensatz „optimal“ beschreibt.

Der GTR

• zeigt das Streudiagramm und die Lage der ersten Modelle,

• berechnet Qualitätskriterien,

• berechnet die Parameter für die optimale Ausgleichsgerade (m, b),

• zeigt den optimalen Graphen und

• berechnet Residuen bzw. Abweichungssummen.


1.Die originalen

Daten

3.Ein erster

Versuch für eineAusgleichsgerade

5.Ein besseres

Modell(oder

GTR-Regression)

2.Das Streudiagramm

4.Eine ersteEvaluation:

Quadratsumme

6.Eine weitereEvaluation


1.Die originalen

Daten

3.Ein erster

Versuch für eineAusgleichsgerade

5.Ein besseres

Modell(oder

GTR-Regression)

2.Das Streudiagramm

4.Eine ersteEvaluation:

Quadratsumme

6.Eine weitereEvaluation


Beispiel 3

EFEntdeckung der Potenzregel

Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2 bis x4) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt?

Der GTR …

• berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten,

• plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion,

• Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x3.

Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis.


Beispiel 3

EFEntdeckung der Potenzregel

Kann man Regelmäßigkeiten entdecken, wenn man zu Potenzfunktionen (z.B. x2 bis x4) mittlere Änderungsraten berechnet (z.B. mit h = 0,1) und graphisch darstellt?

Der GTR …

• berechnet (z.B.) zu f(x) = x4 in einem ausgewählten Intervall 10 – 12 mittlere Änderungsraten,

• plottet diese Daten zusammen mit der Potenzfunktion,

• Als Modell für die Änderungsraten bietet sich an f*(x) = 4x3.

Weitere Gruppen untersuchen y = x2 usw. Im Vergleich ergibt sich eine belastbare Vermutung zur Potenzregel. Anschließen wird sich der algebraische Beweis.


1.Der Graph zu

f(x) = x4

4.Der Plot der

Änderungsraten

2.Die Stützstellen

5.Bildungsgesetz für die

Änderungsraten(1. Versuch: x3)

3.Die Änderungsraten

6.(2. Versuch: 4x3)


1.Der Graph zu

f(x) = x4

4.Der Plot der

Änderungsraten

2.Die Stützstellen

5.Bildungsgesetz für die

Änderungsraten(1. Versuch: x3)

3.Die Änderungsraten

6.(2. Versuch: 4x3)


Beispiel 4

EFElemente einerKurvendiskussion

Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B.

• Nullstellen

• Hoch-/Tiefpunkte

• Wendepunkte

hin untersucht werden.

Der GTR …

• liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),

• berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen,

• zeigt die Ableitungsfunktion,

• berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen,

• zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente.


Beispiel 4

EFElemente einerKurvendiskussion

Eine Funktion bzw. ihr Graph soll auf lokale Eigenschaften, z.B.

• Nullstellen

• Hoch-/Tiefpunkte

• Wendepunkte

hin untersucht werden.

Der GTR …

• liefert eine erste wertemäßige Übersicht (Ablaufen mit „Trace“),

• berechnet Nullstellen und Ableitungen an isolierten Stellen,

• zeigt die Ableitungsfunktion,

• berechnet die (lokalen) Extremstellen und die Wendestellen,

• zeigt ggf. Tangenten, u.a. die (den Graphen schneidende!) Wendetangente.


1.Der Graph

4.Die Ableitung anisolierten Stellen

7.Der Hochpunkt

2.Das Ablaufen

mit „Trace“(erste Näherung)

5.Der Ableitungs-

befehl

8.Die Wende-

stellen

3.Die Nullstellen

6.Der Ableitungs-

graph

9.Die Wende-tangente(n)


1.Der Graph

4.Die Ableitung anisolierten Stellen

7.Der Hochpunkt

2.Das Ablaufen

mit „Trace“(erste Näherung)

5.Der Ableitungs-

befehl

8.Die Wende-

stellen

3.Die Nullstellen

6.Der Ableitungs-

graph

9.Die Wende-tangente(n)


Beispiel 5

EF, Q1Extremwertprobleme

Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden.

Der GTR …

• zeigt den Graphen der Zielfunktion,

• berechnet ein (numerisches) Optimum.

Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind.


Beispiel 5

EF, Q1Extremwertprobleme

Zu einem Sachproblem soll eine optimale Lösung gefunden und evaluiert werden.

Der GTR …

• zeigt den Graphen der Zielfunktion,

• berechnet ein (numerisches) Optimum.

Direkt am Graphen erkennt man, inwieweit die Randwerte für die Lösung des Sachproblems von Bedeutung sind.


46

1.Das Problem

2.Die Zielfunktion

3.der Graph

und sein Hochpunkt


47

1.Das Problem

2.Die Zielfunktion

3.der Graph

und sein Hochpunkt


48

Beispiel 6

Q1Berechnen von Integralen(mit/ohne Bilanzierung)

In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B.• „Veränderung der Wassermenge

im Becken“ vs.• „Menge an gepumptem Wasser“

Der GTR …

• berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen („Veränderung im Becken“)

• berechnet mithilfe der Betragsfunktion die „echte/bilanzfreie“ Fläche („Menge gepumpten Wassers“),

• zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation.


49

Beispiel 6

Q1Berechnen von Integralen(mit/ohne Bilanzierung)

In einer Sachsituation sollen anhand der Modellfunktion Berechnungen durchgeführt werden, bei denen die Orientierung der Flächen eine Rolle spielt, z. B.• „Veränderung der Wassermenge

im Becken“ vs.• „Menge an gepumptem Wasser“

Der GTR …

• berechnet die Bilanz der beteiligten Flächen („Veränderung im Becken“)

• berechnet mithilfe der Betragsfunktion die „echte/bilanzfreie“ Fläche („Menge gepumpten Wassers“),

• zeigt anhand des Graphen eine Veranschaulichung dieser beiden Standardsituation.


1.Der Funktionsterm

2.Der Graph:

„Zufluss/Abfluss“(Änderungsrate)

3.„Die Veränderungnach 5 Minuten“

4.Der neue Term

5.Der neue Graph

6.„In den 5 Minuten

bewegteWassermenge“


1.Der Funktionsterm

2.Der Graph:

„Zufluss/Abfluss“(Änderungsrate)

3.„Die Veränderungnach 5 Minuten“

4.Der neue Term

5.Der neue Graph

6.„In den 5 Minuten

bewegteWassermenge“


52

Beispiel 7

Q1Untersuchung von Integralfunktionen

Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können.

Die Integralfunktion kann genutzt werden, …

• um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen,

• ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten,

• Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen.


53

Beispiel 7

Q1Untersuchung von Integralfunktionen

Integralfunktionen sind als Objekte schwerer zu greifen als die bestimmten Integral, die gut veranschaulicht werden können.

Die Integralfunktion kann genutzt werden, …

• um die Bilanzierungseigenschaft des Riemann-Integrals zu vertiefen,

• Grenzen für ein Integral (bei vorgegebener Fläche bzw. Bilanz) zu berechnen,

• ggf. den Hauptsatz vor- oder nachzubereiten.


1.Der Randgraph

4.„Ist es schon 1?“

Flächeninhaltvon 0 bis b sei 1

2.Eingabe der

Integralfunktion,Start bei a = 0

5.Lösung mittelsSchnittpunktenvon Funktionen

3.Der Graph derIntegralfunktion(a = 0, a = -1)

6.Lösung mittelsWertetabelle


1.Der Randgraph

4.„Ist es schon 1?“

Flächeninhaltvon 0 bis b sei 1

2.Eingabe der

Integralfunktion,Start bei a = 0

5.Lösung mittelsSchnittpunktenvon Funktionen

3.Der Graph derIntegralfunktion(a = 0, a = -1)

6.Lösung mittelsWertetabelle


56

Beispiel 8

Q2Ein Weg zur e-Funktion

Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen einer Exponentialfunktion und ihren Ableitungen.

Der GTR …

• berechnet für y = 2x (und y = 3x) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten,

• führt mithilfe einerTabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),

• ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e:Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).


57

Beispiel 8

Q2Ein Weg zur e-Funktion

Gesucht wird (zunächst) nach einem Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und ihren Ableitungen.

Der GTR …

• berechnet für y = 2x (und y = 3x) an ausgewählten Stellen mittlere Änderungsraten,

• führt mithilfe einer Tabellierung zu der Vermutung f‘(x) = f‘(0) f(x),

• ermöglicht mittels einer graphischen Darstellung eine erste Näherung für e:Suche f mit f‘(x) = 1 f(x).


1.Stützstellen,

Funktionswerte,Änderungsraten

für f(x) = 2x

3.Der Graph zu

f(x) = 2x und dieÄnderungsraten

5.b = 3Graph

2.Quotienten-

probe

4.Variation der Basis:

b = 3Quotientenprobe

6.gezielte Suche:

b = 2.7


1.Stützstellen,

Funktionswerte,Änderungsraten

für f(x) = 2x

3.Der Graph zu

f(x) = 2x und dieÄnderungsraten

5.b = 3Graph

2.Quotienten-

probe

4.Variation der Basis:

b = 3Quotientenprobe

6.gezielte Suche:

b = 2.7


60

Beispiel 9

Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen)

Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren:Lösen eines LGS mit dem Gauss-Algorithmus.

Der GTR …

• übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix

• berechnet zu der Koeffizienten-matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix.

Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter.


61

Beispiel 9

Q1Lage von Gerade und Ebene zueinander (LGS lösen)

Gegeben sind die beiden Parameterformen zu den drei möglichen Fällen. Bekannt sei das algebraische Verfahren:Lösen eines LGS mit dem Gauss-Algorithmus.

Der GTR …

• übernimmt die (normierte) Koeffizientenmatrix

• berechnet zu der Koeffizienten-matrix die zugehörige Dreiecks- bzw. Diagonalmatrix.

Letztere ermöglicht das direkte Ablesen der drei möglichen Fälle. Zudem liefert sie, falls ein Schnittpunkt existiert, die benötigten Parameter.


62

1.Die drei Fälle

2.g schneidet E

(in genau einem Punkt)

3.g ist echt parallel

zu E

4.g liegt in E


63

1.Die drei Fälle

2.g schneidet E

(in genau einem Punkt)

3.g ist echt parallel

zu E

4.g liegt in E


64

Beispiel 10

Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen

Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen.

Der GTR …• führt die Potenzbildung für kleine

und große Intervalle durch,• berechnet mittels der inversen

Matrix zurückliegende Zustände,• nutzt die Einheitsmatrix, um den

Fixvektor zu berechnen.


65

Beispiel 10

Q2Arbeiten mit Übergangsmatrizen

Eine bekannte Übergangsmatrix soll genutzt werden, um den ebenfalls gegebenen Systemzustand kurzfristig, langfristig oder rückwirkend zu modellieren und ggf. einen Fixvektor zu bestimmen.

Der GTR …• führt die Potenzbildung für kleine

und große Intervalle durch,• berechnet mittels der inversen

Matrix zurückliegende Zustände,• nutzt die Einheitsmatrix, um den

Fixvektor zu berechnen.


1.Die Übergangsmatrix

4.Die Verteilung

am Ende der Woche

7.Fixvektor,Schritt I

2.Die Verteilung

zu Beginn

5.Die Verteilungnach 1 Monat

8.Fixvektor,Schritt II

3.Die Verteilung

nach 1 Tag

6.Hatte die

Startverteilungeinen Vorlauf?

9.Fixvektor,Schritt III


1.Die Übergangsmatrix

4.Die Verteilung

am Ende der Woche

7.Fixvektor,Schritt I

2.Die Verteilung

zu Beginn

5.Die Verteilungnach 1 Monat

8.Fixvektor,Schritt II

3.Die Verteilung

nach 1 Tag

6.Hatte die

Startverteilungeinen Vorlauf?

9.Fixvektor,Schritt III

67

x1 - 0.91x4 = 0…

x1 + x2 + x3 + x4 = 1Þ x4 0,42

x1 0,39, x2 0,1, x3 0,09


Beispiel 11

Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung

Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine „Normierung“ nutzen?

Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“, wenn man den Graphen

• um µ Einheiten nach links verschiebt,

• dann mit σ in x-Richtung staucht und

• zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt.

Als Modellfunktion bietet sich an

68

2

2

1

4,0)(x

exf


Beispiel 11

Q1, Q2Ein Weg zurNormalverteilung

Wichtige Kenngrößen für den Werteverlauf einer binomialverteilten Zufallsgröße sind µ und σ. Kann man diese beiden Werte für eine „Normierung“ nutzen?

Ja! Es ergibt sich eine „Normierung“, wenn man den Graphen

• um µ Einheiten nach links verschiebt,

• dann mit σ in x-Richtung staucht und

• zur Kompensation in y-Richtung mit σ streckt.

Als Modellfunktion bietet sich an

69

2

2

1

4,0)(x

exf


1.Die Grunddatenund Kenngrößen

3.Die neu berechneten

Werte

5.Ein weiteres Beispiel

mit neuen Wertenfür n und p

2.Die Werte der

Verteilung

4.Die graphische

Darstellung

6.Die Modellfunktion


1.Die Grunddatenund Kenngrößen

3.Die neu berechneten

Werte

5.Ein weiteres Beispiel

mit neuen Wertenfür n und p

2.Die Werte der

Verteilung

4.Die graphische

Darstellung

6.Die Modellfunktion


72

Beispiel 12

Q1, Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall

Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage

621 Stimmen von1200 Befragten.

Kann die Partei „halbwegs sicher“ sein, bei der Wahl 50% der Stimmen zu bekommen?

Der GTR

• berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ-Umgebung liegt,

• unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse.


73

Beispiel 12

Q1, Q2Ein Weg zum Vertrauensintervall

Im Vorfeld einer Wahl erhält eine Partei bei einer Umfrage

621 Stimmen von1200 Befragten.

Kann die Partei „halbwegs sicher“ sein, bei der Wahl mindestens 50% der Stimmen zu bekommen?

Der GTR

• berechnet mit Hilfe der σ-Regeln, für welche Werte von p die gegebene Häufigkeit in der 2σ-Umgebung liegt,

• unterstützt mit einer graphischen Darstellung vertiefende Analysen, z. B. zu algebraischen Modellen (Funktionen) für die Ellipse.


1.µ und σ

für 0.45 ≤ p ≤ 0.55

2.die 2σ-Umgebungenfür 0.45 ≤ p ≤ 0.55

und …

3.… die „plausiblen“

Wahrscheinlichkeiten

4.graphischeDarstellung

für 0.45 ≤ p ≤ 0.55

5.graphischeDarstellungfür 0 ≤ p ≤ 1

6.Rekonstruktion

mit Wurzelfunktionenund Schnittpunkten


1.µ und σ

für 0.45 ≤ p ≤ 0.55

2.die 2σ-Umgebungenfür 0.45 ≤ p ≤ 0.55

und …

3.… die „plausiblen“

Wahrscheinlichkeiten

4.graphischeDarstellung

für 0.45 ≤ p ≤ 0.55

5.graphischeDarstellungfür 0 ≤ p ≤ 1

6.Rekonstruktion

mit Wurzelfunktionenund Schnittpunkten


Ein GTR im Mathematikunterricht unterstützt u.a.:

Beispiele

Exploratives und entdeckendes Arbeiten38

Potenzregele , e-Funktion

Begriffsbildendes Arbeiten2

12RegressionVertrauensintervall

Wechsel zwischen Darstellungsformen:Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph

71

IntegralfunktionExponentialfunktion

Reduktion von Routine-Algorithmen:mehr Zeit für vertiefendes Verständnis

469

10

KurvendiskussionIntegrationLGSÜbergangsmatrizen

Modellieren,außer- und innermathematisch

511

ExtremwerteNormalverteilung



Einsatzmöglichkeiten in der S I

Übersicht über die Beispiele

1

Wechsel der Darstellungsform:Term, Tabelle, Graph

4

Graphisches Lösen quadratischer Gleichungen

7

Vergleich von Testläufen mit Boxplots

2

Experimentell ermittelter Näherungswert für

5

Bestimmung von Extremwerten in Sachsituationen

8

Heron – graphisch und algebraisch

3

Variation von Parametern bei Funktionen

6

Auswertung von Zufallsversuchen in Histogrammen

9

Modellieren mit der Sinusfunktion

78 Übersicht

Beispiel 1


Eine Sach-/Problemsituation (z.B. der Vergleich zweier Vorschläge zu Lohnerhöhungen) wird in unterschiedlichen Darstellungs-formen wiedergegeben.

Der GTR …

• sammelt erste (ggf. Kopf-) Rechenergebnisse

• stellt die Ergebnisse graphisch dar

• zeigt zu geeigneten Funktionstermen die Graphen an

• liefert Wertetabellen

79 Übersicht

Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht Beispiele

Beispiel 1


Eine Sach-/Problemsituation (z.B. der Vergleich zweier Vorschläge zu Lohnerhöhungen) wird in unterschiedlichen Darstellungs-formen wiedergegeben.

Der GTR …

• sammelt erste (ggf. Kopf-) Rechenergebnisse

• stellt die Ergebnisse graphisch dar

• zeigt zu geeigneten Funktionstermen die Graphen an

• liefert Wertetabellen

80 Übersicht


1.Erste Werte

(Kennenlernen der Situation)

2.Formeln in

Listen bzw. Tabellen(Vorform für Terme)

3.GraphischeDarstellung(Punktplot)

4.Funktionsterme

5.Funktionsgraphen

6.Wertetabellen

81 Übersicht


1.Erste Werte

(Kennenlernen der Situation)

2.Formeln in

Listen bzw. Tabellen(Vorform für Terme)

3.GraphischeDarstellung(Punktplot)

4.Funktionsterme

5.Funktionsgraphen

6.Wertetabellen

82 Übersicht


Beispiel 2


Für eine Vielzahl von zylindrischen Objekten werden Umfang und Durchmesser gemessen und als Tabelle und Graph aufbereitet. Gesucht wird ein systematischer Zusammenhang.

Der GTR …

• erfasst die Daten in einer Tabelle bzw. Urliste

• zeigt deren graphische Darstellung

• zeichnet die Graphen von Modellfunktionen

• berechnet die Quotienten der Wertepaare und deren Mittelwert

83 Übersicht


Beispiel 2


Für eine Vielzahl von zylindrischen Objekten werden Umfang und Durchmesser gemessen und als Tabelle und Graph aufbereitet. Gesucht wird ein systematischer Zusammenhang.

Der GTR …

• erfasst die Daten in einer Tabelle bzw. Urliste

• zeigt deren graphische Darstellung

• zeichnet die Graphen von Modellfunktionen

• berechnet die Quotienten der Wertepaare und deren Mittelwert

84 Übersicht


1.Die Rohdatender Erhebung

3.Ein erstes Modell

(proportional)

5.Quotienten

(Proportionalitäts-faktor)

2.Die graphische

Darstellung

4.Der zugehörige

Graph(Ursprungsgerade)

6.Mittelwert

85 Übersicht


1.Die Rohdatender Erhebung

3.Ein erstes Modell

(proportional)

5.Quotienten

(Proportionalitäts-faktor)

2.Die graphische

Darstellung

4.Der zugehörige

Graph(Ursprungsgerade)

6.Mittelwert

86 Übersicht


Beispiel 3

Variation von Parameternbei Funktionen

Ein Parameter - z.B. in der Scheitelpunktform - soll zunächst in seiner Bedeutung für den Verlauf des Graphen erkannt werden.Um das beobachtete Verhalten zu erklären wird untersucht, wie sich die Wertetabelle bei der Variation des Parameters ändert.

Der GTR …

• zeigt die zugehörigen Parabeln

• berechnet die zugehörigen Wertetabellen

• liefert bei dem Vergleich beider Darstellungsformen Hinweise, die eine Erklärung für das beobachtete Verhalten zulassen.

87 Übersicht


Beispiel 3

Variation von Parameternbei Funktionen

Ein Parameter - z.B. in der Scheitelpunktform - soll zunächst in seiner Bedeutung für den Verlauf des Graphen erkannt werden.Um das beobachtete Verhalten zu erklären wird untersucht, wie sich die Wertetabelle bei der Variation des Parameters ändert.

Der GTR …

• zeigt die zugehörigen Parabeln

• berechnet die zugehörigen Wertetabellen

• liefert bei dem Vergleich beider Darstellungsformen Hinweise, die eine Erklärung für das beobachtete Verhalten zulassen.

88 Übersicht


1.Auswahl des Parameters,Definition der

Funktion

3.Variiere d

5.Die Wertetabellen

2.Die beiden Graphen

im Vergleich

4.Vermutung für

(x+3)2 ?

6.Variiere d

89 Übersicht


1.Auswahl des Parameters,Definition der

Funktion

3.Variiere d

5.Die Wertetabellen

2.Die beiden Graphen

im Vergleich

4.Vermutung für

(x+3)2 ?

6.Variiere d

90 Übersicht


Beispiel 4

Graphisches Lösenquadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen werden als Schnittpunktsituationen interpretiert (oder umgekehrt).Die äquivalente Umformung führt zu der Frage, wo die zugehörige Differenzfunktion ihre Nullstellen hat.

Der GTR …

• zeigt die Graphen zu den beiden Seite der Gleichung

• berechnet die Schnittpunkte

• zeigt die „äquivalente Differenzfunktion“

• berechnet die zugehörigen Nullstellen

91 Übersicht


Beispiel 4

Graphisches Lösenquadratischer Gleichungen

Quadratische Gleichungen werden als Schnittpunktsituationen interpretiert (oder umgekehrt).Die äquivalente Umformung führt zu der Frage, wo die zugehörige Differenzfunktion ihre Nullstellen hat.

Der GTR …

• zeigt die Graphen zu den beiden Seite der Gleichung

• berechnet die Schnittpunkte

• zeigt die „äquivalente Differenzfunktion“

• berechnet die zugehörigen Nullstellen

92 Übersicht


1.Die beiden Seiten

der Gleichung

3.Schnittpunkt-

näherung(„Trace“)

5.Die Differenzfunktion

2.Die Graphen

4.Schnittpunkt-berechnung

6.Nullstelle

93 Übersicht


1.Die beiden Seiten

der Gleichung

3.Schnittpunkt-

näherung(„Trace“)

5.Die Differenzfunktion

2.Die Graphen

4.Schnittpunkt-berechnung

6.Nullstelle

94 Übersicht


Beispiel 5

Bestimmung von Extremwertenin Sachsituationen

Mit 900 m Zaun soll an einem Bachlauf ein rechteckiges Gelände abgesteckt werden. Benötigt werden10 ha. • Schafft man das?• Wie viel fehlt bzw. ist nach oben

noch Luft?

Der GR …

• erfasst tabellarisch erste Daten für „Kandidaten“

• stellt die Ergebnisse graphisch dar (Punktplot)

• zeichnet den Graphen der Zielfunktion

• liefert den Hochpunkt

• liefert ggf. ein sinnvolles Ziel-Intervall

95 Übersicht


Beispiel 5

Bestimmung von Extremwertenin Sachsituationen

Mit 900 m Zaun soll an einem Bachlauf ein rechteckiges Gelände abgesteckt werden. Benötigt werden10 ha. • Schafft man das?• Wie viel fehlt bzw. ist nach oben

noch Luft?

Der GR …

• erfasst tabellarisch erste Daten für „Kandidaten“

• stellt die Ergebnisse graphisch dar (Punktplot)

• zeichnet den Graphen der Zielfunktion

• liefert den Hochpunkt

• liefert ggf. ein sinnvolles Ziel-Intervall

96 Übersicht


1.Kandidaten

(parallel – senkrecht,Flächeninhalt)

3.Der zugehörige

Graph (Parabel?)samt Hochpunkt

5.Der Graph der

Zielfunktion (Parabel!)samt Maximum

2.(ggf. systematische)

Variation der Parallelstrecke

4.Der Term der Zielfunktion

6.sinnvolles Intervall(Schnittstellen mit

y = 100.000)

97 Übersicht


1.Kandidaten

(parallel – senkrecht,Flächeninhalt)

3.Der zugehörige

Graph (Parabel?)samt Hochpunkt

5.Der Graph der

Zielfunktion (Parabel!)samt Maximum

2.(ggf. systematische)

Variation der Parallelstrecke

4.Der Term der Zielfunktion

6.sinnvolles Intervall(Schnittstellen mit

y = 100.000)

98 Übersicht


Beispiel 6


Die Summe zweier Würfel soll simuliert werden. Die Simulation soll die Grundlage für ein erstes Modell für eine Wahrscheinlichkeits-verteilung liefern.

Der GTR …

• simuliert die beiden Würfe,

• berechnet deren Summe,

• führt 100, 500, … Würfe durch,

• zeigt das zugehörige Histogramm.

99 Übersicht


Beispiel 6


Die Summe zweier Würfel soll simuliert werden. Die Simulation soll die Grundlage für ein erstes Modell für eine Wahrscheinlichkeits-verteilung liefern.

Der GTR …

• simuliert die beiden Würfe,

• berechnet deren Summe,

• führt 100, 500, … Würfe durch,

• zeigt das zugehörige Histogramm.

100 Übersicht


1.100 Doppelwürfe

3.Das Histogramm

5.500 Doppelwürfe

2.Die 100 Summen

4.100 neueVersuche

6.Ein weiterer500-Lauf

101 Übersicht


1.100 Doppelwürfe

3.Das Histogramm

5.500 Doppelwürfe

2.Die 100 Summen

4.100 neueVersuche

6.Ein weiterer500-Lauf

102 Übersicht


Beispiel 7

Vergleich von Testläufenmit Boxplots

Wie lang ist eigentlich eine Minute? Wenn ich beim ersten Mal daneben lag, werde ich dann beim zweiten Mal besser liegen? Wie kann ich die beiden Durchläufe vergleichen?

Der GTR …

• sammelt die Daten der beiden Testdurchläufe in einer Tabelle

• berechnet die Abweichungen von der anvisierten Minute

• stellt die jeweiligen Datensätze als Boxplots dar und zeigt die Quartile an

103 Übersicht


Beispiel 7

Vergleich von Testläufenmit Boxplots

Wie lang ist eigentlich eine Minute? Wenn ich beim ersten Mal daneben lag, werde ich dann beim zweiten Mal besser liegen? Wie kann ich die beiden Durchläufe vergleichen?

Der GTR …

• sammelt die Daten der beiden Testdurchläufe in einer Tabelle

• berechnet die Abweichungen von der anvisierten Minute

• stellt die jeweiligen Datensätze als Boxplots dar und zeigt die Quartile an

104 Übersicht


1.Die beiden

Testdurchläufe(Klassensätze)

3.Die Abweichungen

5.Statistische

Daten

2.Die zugehörigen

Boxplots(samt Median)

4.Die zugehörigen

Boxplots(samt 1. Quartil)

6.Die individuellenVeränderungen

105 Übersicht


1.Die beiden

Testdurchläufe(Klassensätze)

3.Die Abweichungen

5.Statistische

Daten

2.Die zugehörigen

Boxplots(samt Median)

4.Die zugehörigen

Boxplots(samt 1. Quartil)

6.Die individuellenVeränderungen

106

?


Übersicht Beispiele

Beispiel 8

Heronverfahren:graphisch

Ein (1) Aspekt des Heronverfahrens – die Annäherung von Rechtecken an Quadrate gleichen Flächeninhalts – soll für eine elegante Berechnung von Wurzeln genutzt werden.

Der GTR …

• berechnet die jeweils zweite Rechtecksseite

• zeigt möglicher Rechtecks-varianten (unterschiedliche Seitenlängen) im KOS

• plottet die zugehörige Hyperbel

• berechnet den Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden (gleiche Seitenlängen)

107 Übersicht


Beispiel 8

Heronverfahren:graphisch

Éin Aspekt des Heronverfahrens – die Annäherung von Rechtecken an Quadrate gleichen Flächeninhalts – soll für eine elegante Berechnung von Wurzeln genutzt werden.

Der GTR …

• berechnet die jeweils zweite Rechtecksseite

• zeigt möglicher Rechtecks-varianten (unterschiedliche Seitenlängen) im KOS

• plottet die zugehörige Hyperbel

• berechnet den Schnittpunkt mit der Winkelhalbierenden (gleiche Seitenlängen)

108 Übersicht


1.Rechteckemit A = 12im KOS

3.Punktplot

5.Schnittpunkt

mit y = x

2.Einzelne Eckpunkte

4.Zugehörige

Hyperbel-Funktion

6.Probe

109 Übersicht


1.Rechteckemit A = 12im KOS

3.Punktplot

5.Schnittpunkt

mit y = x

2.Einzelne Eckpunkte

4.Zugehörige

Hyperbel-Funktion

6.Probe

110 Übersicht


Beispiel 9

Modellierenmit der Sinusfunktion

Zu einem gegebenen Datensatz, der eine periodische Entwicklung – z.B. die tägliche Sonnenscheindauer – beschreibt, soll eine Modellfunktion ermittelt werden. Als Ausgangspunkt wird die Sinusfunktion genommen.

Der GTR …

• erfasst die experimentellen Daten,

• zeigt die Modellfunktion(en),

• ermöglicht Variation der Parameter für die Anpassung/Optimierung von Modellen

• Vertiefung in EF bzw. Q1:- Transformationen- Regression

111 Übersicht


Beispiel 9

Modellierenmit der Sinusfunktion

Zu einem gegebenen Datensatz, der eine periodische Entwicklung beschreibt, z.B.

die tägliche Sonnenscheindauer (Durchschnitt pro Monat),

soll eine Modellfunktion ermittelt werden. Als Ausgangspunkt wird die Sinusfunktion genommen.

Der GTR …

• erfasst die experimentellen Daten,

• zeigt die Modellfunktion(en),

• ermöglicht Variation der Parameter für die Anpassung/Optimierung von Modellen

• Vertiefung in EF bzw. Q1:- Transformationen- Regression (fachübergreifend)

112 Übersicht


1.Der Datensatz

Monat Anzahl Stunden

pro Tag ()

3.Die nicht angepasste

Sinusfunktion(Einstellung: DEG)

5.Verschieben

in y-Richtung:4,5sin(360/12x)+12

2.Der Punktplot

zum Datensatz

4.Anpassung von

Periode undAmplitude:

4,5sin(360/12x)

6.Verschieben in

x-Richtung:4,5 sin(360/12(x-3))+12

113 Übersicht


1.Der Datensatz

Monat Anzahl Stunden

pro Tag ()

3.Die nicht angepasste

Sinusfunktion(Einstellung: DEG)

5.Verschieben

in y-Richtung:4,5sin(360/12x)+12

2.Der Punktplot

zum Datensatz

4.Anpassung von

Periode undAmplitude:

4,5sin(360/12x)

6.Verschieben in

x-Richtung:4,5 sin(360/12(x-3))+12

114 Übersicht


Ein GTR im Mathematikunterricht unterstützt u.a.:

Beispiele

Exploratives und entdeckendes Arbeiten 3 Parametervariation

Begriffsbildendes Arbeiten26

Histogramme

Wechsel zwischen Darstellungsformen:Term (Algebra), Werte (numerisch), Graph

18

DarstellungsformenHeron

Reduktion von Routine-Algorithmen:mehr Zeit für vertiefendes Verständnis

74

BoxplotsQuadratische Gleichungen

Modellieren,außer- und innermathematisch

59

ExtremwerteSinusfunktion




Fachübergreifende Möglichkeiten

Beispiel 1

Physik:Speicherung elektrischer Energie, Kondensator

Der Kondensator bietet eine gute Möglichkeit zum Einsatz von Schülerexperimenten in der Sek II. Untersucht werden kann z.B. der Entladevorgang.

Nutzung des GTR•Eingabe/Aufnahme der Messwerte•Graphische Darstellung der Punktwolke•Bestimmung einer Regressions- kurve•Bestimmung von Gesetzmäßigkeiten bei der Kondensatorentladung


Kondensator

Übersicht

1.Der Versuchsaufbau

(Schaltplan)

3.Ein Beispielgraph

2.Erfassung der

Messwerte

118 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013 Übersicht

Beispiel 2

Chemie:Erstellen einer Eichkurve, Konzentrationsbestimmung

Bei der Bestimmung der Konzentration von Natriumchlorid in Meerwasser soll eine Eichkurve erstellt werden.

Nutzung des GTR•Eingabe/Aufnahme der Messwerte•Graphische Darstellung der Punktwolke•Bestimmung der Eichkurve als Funktion

Eichkurve

Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013119 Übersicht

1.Versuchsaufbau

3.Messwertabelle

2.Auswählen der

Sensoren

4.Eichkurve

Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013120 Übersicht

Beispiel 3

Technik:Kennlinie einer Solarzelle

Bei der Untersuchung einer Solarzelle stellt sich die Frage nach einem optimalen Betriebspunkt, dazu wird eine Kennlinie erstellt.

Nutzung des GTR• Eingabe/Aufnahme der Messwerte• Graphische Darstellung der

Punktwolke• Berechnung der Leistung;• Graphische Darstellung der

Kennlinie• Bestimmung des optimalen

Betriebspunktes

121 Der GTR in der Sekundarstufe II - Stand: 19.03.2013

Solarzelle

Übersicht

1.Die experimentellermittelten Datenals Liste

3.Die berechnete Leistung

2.Der Datensatzals Punktplot(Streudiagramm)

4.Ein möglichesModell:Graph


Übersicht

Beispiel 4

Sport/Biologie:Trainingslehre und Stoffwechselphysiologie

Zur Verknüpfung von Theorie und Praxis wird der Puls vor, während und nach einer Belastung gemessen und anschließend hinsichtlich der Fragestellung nach der Sauerstoffversorgung ausgewertet.

Nutzung des GTR• Eingabe/Aufnahme der Messwerte• Graphische Darstellung• Bestimmung und Vergleich der

Flächen zu Beginn und nach der Belastung hinsichtlich der Sauerstoffversorgung


Übersicht

1.Die experimentellermittelten Datenals Liste

3.Vergleich der Flächen

2.Der Datensatzals Punktplot(Streudiagramm)


„Sauerstoffdefizit“ „Sauerstoffschuld“

Übersicht



Documents

Der graphikfähige Taschenrechner (GTR) im Mathematikunterricht der gymnasialen Oberstufe