Der Kern des Dirac-Operators - UKR · I Spektrum ist diskret und reell I die Eigenwerte von D hängen stetig von der Metrik ab. Dirac-Operatoren für beliebiges n = dimM n = 2k :

Der Kern des Dirac-Operators

Bernd Ammann

Universität Regensburg

Antrittsvorlesung, Regensburg, 3.12.2009

1. MotivationDirac-GleichungWitten-SpinorWeierstraß-Darstellung

2. Dirac-Operatoren in höheren DimensionenEinführungIndex in Dimensionen 1,2 mod 8Index in Dimension n = 4k

3. Generische Metriken sind D-minimalD-minimale MetrikenD-Minimalitaets-SatzChirurgie

1. Motivation

Thema der VorlesungUntersuche harmonische Spinoren, d.h. Lösungen ϕ von

Dϕ = 0.

Hierbei ist

I ϕ ein Spinor, ein Schnitt des Spinor-Bündels über einerriemannschen Mannigfaltigkeit, ϕ ∈ Γ(ΣM).

I D ist der Dirac-Operator. D : Γ(ΣM)→ Γ(ΣM). Es ist einDifferentialoperator 1. Ordnung.

Wieso interessiert man sich dafür?I Quantenmechanik

Dirac (1928)I Positive Masse in der Allgemeinen Relativitätstheorie:

Witten (1981)I Minimalflächen

Weierstraß (um 1860) und Abresch-Kusner-Schmitt (um1993)

I Indexsatz von Atiyah-Singer (um 1963),Obstruktionen gegen positive Skalarkrümmung,Existenz und Eindeutigkeit von partiellenDifferentialgleichungen,...

Dirac-Gleichung (1928), Quantenmechanik

Wellenfunktion für masselose Fermionen (z.B. Neutrinos)

Dϕ = 0

Hierbei ist ϕ : R4 → C4.

D =4∑

i=1

γi∂

∂xi

γi ∈ C4×4 mit γiγj + γjγi = ±2δij

Es folgt D2 = d2

dt2 −∆.

Witten-Spinor, Allgemeine Relativitätstheorie

Statische Materie-Ansammlung, umgeben von Vakuum

Mathematisches Modell:Asymptotisch flache Riemannsche MannigfaltigkeitArnowitt-Deser-Misner haben für solche Räume eine Massedefiniert. Der flache Rn hat Masse 0.

Satz (Schoen-Yau (1979))Für alle anderen erlaubten Räume ist die Masse immer positiv.Einfacher Beweis, Witten (1981): Löse Dϕ = 0.

Weierstraß-Darstellung von Minimalflächen

Pythagoräische Tripel: a2 + b2 = c2 a,b, c ∈ Z (∗)

Äquivalent: Löse(

ac,bc

)∈

{v ∈ Q2

∣∣∣ |v | = 1}

stereogr. Proj.←→ rationale Punkte auf R ∪ {∞}

R

R

1

1

b

b

(

a

c,

b

c

)

m

n

b

b

b

b

b

b

R

R

1

1

b

b

(

a

c,

b

c

)

m

n

b

b

b

b

b

b

(ac,bc

)=

(2mn

m2 + n2 ,m2 − n2

m2 + n2

)(

mn

)7→

a = 2mnb = m2 − n2

c = m2 + n2

Z× Z → Lösungen von (*) in Z× Z× Z

Komplexifizierung

Quadrik Q =

a

b

c

∈ C3∣∣∣ a2 + b2 + c2 = 0

(

m

n

)7→

m2−n2

i(m2+n2)

2mn

C2 2:1−→ Q↓ ↓

CP1 1:1−→ [Q]

Parametrisierte FlächenU ⊂ C offen, (x , y) ∈ U.F : U → R3 Parametrisierung eines Flächenstücks∂F∂z = 1

2

(dFdx − i dF

dy

)

F ist konform (=winkeltreu)

⇔∣∣dF

dx

∣∣ =∣∣∣dF

dy

∣∣∣ and dFdx ⊥

dFdy

⇔ ∂F∂z ∈ Q

Weierstraß-Darstellung (1866)F : U → R3 F konform.Finde ϕ1, ϕ2 : U → C, so dass

∂F∂z

=

ϕ21 − ϕ2

2i(ϕ2

1 + ϕ22)

2ϕ1ϕ2

F (U) ist Minimalfläche⇔ ϕ1 und ϕ2 sind holomorphe Funktionen.

Weierstraß-Darstellung (1866)F : U → R3 F konform.Finde ϕ1, ϕ2 : U → C, so dass

∂F∂z

=

ϕ21 − ϕ2

2i(ϕ2

1 + ϕ22)

2ϕ1ϕ2

F (U) ist Minimalfläche⇔ ϕ1 und ϕ2 sind holomorphe Funktionen.

Wieso ist dies wichtig?Die Gleichung H = 0 ist eine nicht-lineare partielleDifferentialgleichung also a priori schwer zu lösen.

{Lösungen von H = 0} ←→

{Paare (ϕ1, ϕ2) von holomorphen Funktionen}

Holomorphe Funktionen zu studieren, ist vergleichsweiseeinfach.









Globale Beschreibung

Unter konformen Kartenwechseln verhalten sich ϕ1 und ϕ2 wieWurzeln aus 1-Formen.Sei nun M eine Riemannsche Fläche, konform eingebettet inR3.

T ∗M = Σ+M ⊗C Σ+M

Σ−M := Σ+M

ΣM := Σ+M ⊕ Σ−M

ϕ := (ϕ1, ϕ2) ∈ Γ(ΣM)

Dirac-Operator D : Γ(ΣM)→ Γ(ΣM)

D(ϕ1ϕ2

)=

(0 −∂∂ 0

) (ϕ1ϕ2

).

Periodische MinimalflächenmitFundamentalbereich M

/Verschiebungen

1:1←→

{Paare holomorpher Schnitte von Σ+M} / ± 11:1←→

{Lösungen von Dϕ = 0} / ± 1

Dirac-Operatoren für beliebiges n = dimM

n = 2k : ΣM ⊗C ΣM =⊕2k

j=0 ΛjT ∗M ⊗R C

n = 2k + 1 : ΣM ⊗C ΣM =⊕k

j=0 Λ2jT ∗M ⊗R C


I partieller Differentialoperator 1. OrdnungI die Definition nutzt die riemannsche Metik g und die

Spin-Struktur von MI elliptisch und (formal) selbstadjungiert

Ab jetzt: M kompakt.I Spektrum ist diskret und reellI die Eigenwerte von D hängen stetig von der Metrik ab


n = 2k : ΣM ⊗C ΣM =⊕2k


n = 2k + 1 : ΣM ⊗C ΣM =⊕k







n = 2k : ΣM ⊗C ΣM =⊕2k


n = 2k + 1 : ΣM ⊗C ΣM =⊕k






Index in Dimension n = 8k + 2

I Alle Eigenwerte haben gerade MultiplizitätI Ist λ Eigenwert, dann auch −λ

Folgerung

ind D :=dimC ker D

2mod 2 ∈ Z/2Z

ist unabhängig von der Wahl der Metrik g.

Analog: n = 8k + 1

ind D := dimC ker D mod 2 ∈ Z/2Z

unabhängig von der Metrik.

Index in Dimension n = 4k

ΣM = Σ+M ⊕ Σ−M

D =

(0 D−

D+ 0

)

ind D := dim ker D+ − codim im D+ = dim ker D+ − dim ker D−

Satz (Atiyah-Singer 1963-68)

ind D =

∫M

A(TM)

Abel-Preis 2004



D =

(0 D−

D+ 0

)ind D := dim ker D+ − codim im D+ = dim ker D+ − dim ker D−


ind D =

∫M

A(TM)

Abel-Preis 2004



D =

(0 D−

D+ 0

)ind D := dim ker D+ − codim im D+ = dim ker D+ − dim ker D−


ind D =

∫M

A(TM)

Abel-Preis 2004

ind D =

∫M

A(TM)

Folgerungen für n = 4k :I

∫A(TM) ∈ Z

I Angenommen es existiere eine Metrik mit positiverSkalarkrümmung. Dann ker D = 0. Dann

∫A(TM) = 0.

Frage 1 (Surjektivität)Gibt es für alle ψ ∈ Γ(ΣM) eine Lösung von

Dϕ = ψ?

Frage 2 (Injektivität)Eindeutigkeit?

AntwortJa in Frage 1⇔ Ja in Frage 2⇔ ker D = {0} ⇒ ind D = 0Frage 3Gilt auch ind D = 0⇒ ker D = {0}?


Dϕ = ψ?

Frage 2 (Injektivität)Eindeutigkeit?AntwortJa in Frage 1⇔ Ja in Frage 2⇔ ker D = {0}

⇒ ind D = 0Frage 3Gilt auch ind D = 0⇒ ker D = {0}?


Dϕ = ψ?

Frage 2 (Injektivität)Eindeutigkeit?AntwortJa in Frage 1⇔ Ja in Frage 2⇔ ker D = {0} ⇒ ind D = 0

Frage 3Gilt auch ind D = 0⇒ ker D = {0}?


Dϕ = ψ?

Frage 2 (Injektivität)Eindeutigkeit?AntwortJa in Frage 1⇔ Ja in Frage 2⇔ ker D = {0} ⇒ ind D = 0Frage 3Gilt auch ind D = 0⇒ ker D = {0}?

Gegenbeispiel

ind D = 0 und ker D 6= {0}

Aber: Ist M zusammenhängend und ind D = 0, dann giltker D = {0} für fast alle Metriken.

I Gromov-Lawson/Stolz 1992, falls π1(M) = 0 unddim M ≥ 5

I Maier 1997, falls dim M ≤ 4I Ammann-Dahl-Humbert 2009: allgemein.

Gegenbeispiel





Gegenbeispiel





D-minimale Metriken

n = dim M

dim ker D ≥

|∫

A(TM)|, falls n = 4k ;1, falls n ≡ 1 mod 8 und ind 6= 0;2, falls n ≡ 2 mod 8 und ind 6= 0;0, sonst

Eine Metrik heißt D-minimal, falls Gleichheit gilt.

D-Minimalitäts-Satz

Satz (D-Minimalitäts-Satz, A.-Dahl-Humbert 2009)Sei M zusammenhängend, kompakt, spin. k ∈ {1,2,3, . . . ,∞}.Dann ist die Menge aller D-minimalen Metriken offen und dichtin der Menge aller Metriken, versehen mit der Ck -Topologie.

Anwendungen (M zusammenhängend, g D-minimal)I Falls ind D = 0, dann ist D : Γ(ΣM)→ Γ(ΣM) bijektivI Falls n = 4k und ind D ≥ 0, dann ist D+ surjektiv und D−

injektiv.I Falls n = 4k und ind D ≤ 0, dann ist D− surjektiv und D+

injektiv.I Falls n 6≡ 3,5,6,7 mod 8, dann ist D bijektiv

D-Minimalitäts-Satz

Satz (D-Minimalitäts-Satz, A.-Dahl-Humbert 2009)Sei M zusammenhängend, kompakt, spin. k ∈ {1,2,3, . . . ,∞}.Dann ist die Menge aller D-minimalen Metriken offen und dichtin der Menge aller Metriken, versehen mit der Ck -Topologie.

Anwendungen (M zusammenhängend, g D-minimal)I Falls ind D = 0, dann ist D : Γ(ΣM)→ Γ(ΣM) bijektivI Falls n = 4k und ind D ≥ 0, dann ist D+ surjektiv und D−

injektiv.I Falls n = 4k und ind D ≤ 0, dann ist D− surjektiv und D+

injektiv.I Falls n 6≡ 3,5,6,7 mod 8, dann ist D bijektiv

ChirurgieSei f : Sk × Bn−k ↪→ M eine Einbettung.Wir definieren

M# := M \ f (Sk × Bn−k ) ∪ (Bk+1 × Sn−k−1)/ ∼

wobei / ∼ Verkleben entlang des Randes bedeutet

M 3 f (x , y) ∼ (x , y) ∈ Sk × Sn−k−1.

Wir erhalten M# aus M durch k -dimensionale Chirurgie.

Beispiel: 0-dimensionaleChirurgie auf einer Fläche

I Jede Chirurgie entsteht durch einen Bordismus.I Jeder Bordismus kann in endlich viele

Chirurgie-Bordismen zerteilt werden (Morse-Theorie)I Wir fordern ab jetzt immer, dass M, M# und der Bordismus

orientiert und mit Spin-Struktur versehen sind. Dannheißen M und M# spin-bordant.

I ind D auf M = ind D auf M#

D-Minimalität und ChirurgieSatz (ADH 2009)Sei k ≤ n − 2.Falls M eine D-minimale Metrik trägt, dann auch M#.Aussage falsch für k = n − 1.

Satz (wohl-bekannt)Es gebe einen Bordismus von M1 nach M2. Ist M2 nicht-leerund zusammenhängend, so gibt es einen Bordismus von M1nach M2, der nur aus Chirurgien der Dimension k ≤ n − 2besteht.

Beweisskizze des D-Minimalitätssatzes1.) Gebe D-minimale Metriken auf Erzeugern derBordismengruppe an.2.) Durch Chirurgie sehen wir, dass jede zusammenhängendeMannigfaltigkeit eine D-minimale Metrik trägt.3.) Mit einem Störungsargument folgt dann, dass dieD-minimalen Metriken dicht sind.

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Der Kern des Dirac-Operators - UKR · I Spektrum ist diskret und reell I die Eigenwerte von D hängen stetig von der Metrik ab. Dirac-Operatoren für beliebiges n = dimM n = 2k :