Der Satz von Hahn-Banach und Fixpunktsiitze in limitierten

Vektorriiumen

BIERI HANSPETER

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1. Einleitung

In der vorliegenden Arbeit werden einige S/itze aus der Theorie der topologischen Vektorr~iume allgemeiner ffir limitierte Vektorr~iume hergeleitet.

Der Satz yon Hahn-Banach wird als Fortsetzungssatz linearer Formen und in seiner geometrischen Form ffir limitierte Vektorr/iume formuliert. Ffir den Beweis verwenden wir in Anlehnung an (1) anstelle des Satzes von Zorn den schw/icheren Ultrafiltersatz. Als Anwendung ergibt sich eine hinreichende Bedingung ffir die Separiertheit der einer Vektorraumtimitierung z zugeordneten lokalkonvexen Topolo- gie zo oder - gleichwertig - f/Jr die Trennbarkeit der Vektoren durch stetige Linear- formen.

In (6) ergeben sich der Minimaxsatz von Sion und der Fixpunktsatz von Tychonoff als Folgerungen eines allgemeinen Satzes von Fan tiber Mengen mit konvexen Schnit- ten. Wir tibertragen diesen Satz in seiner analytischen Form mit den beiden Folge- rungen auf limitierte Vektorr~iume. Dabei setzen wir beim Fixpunktsatz von Tychonoff - wie naehher auch beim Fixpunktsatz von Kakutani - anstelle einer separierten lokalkonvexen Topologie die Separiertheit von z ~ voraus.

Den Fixpunktsatz von Kakvtani beweisen wir nicht mit Hilfe von Netzen wie in (8), sondern mit Filtertechnik. Aus ihm erhalten wir als Korollar erneut den Fix- punktsatz von Tychonoff.

Schliesslich wird unter den gleichen weiteren Voraussetzungen wie in (3) der Fix- punktsatz yon Markoff-Kakutani ffir separierte limitierte Vektorr/iume hergeleitet.

Ftir die Grundlagen der Theorie der Limesr/iume verweisen wir auf (7), fiir die Theorie der limitierten Vektorr~iume und weitere Literaturangaben auf (4).

2. Vorbemerkungen, Kompaktheit

Ffir zwei Filter ~ und (5 auf einer Menge drficken wir ,,~: ist feiner als (5" durch ~-~< (5 aus. Es ist dann etwa ~:w(5:= {FuG; Fe~, Ge(5} der feinste Filter, gr6ber als ~ und (5, und, falls er existiert, ~ c~(5:= {Fc~ G; Fe 5, G e(5} der gr6bste Filter, fciner als ~: und (5. Es ist im folgenden nicht n6tig, streng zwischen Filter und Filter- basis zu unterscheiden; insbesondere verstehen wir unter ~:= {Fi; ieI} den von der Filterbasis {F~; ieI} erzeugten Filter. Hauptfilter, wie {{x}} oder {G}, bezeichnen wir mit [x], [G], etc., Ultrafilter im allgemeinen mit 1L

394 BIERI HANSPETER

Wir betrachten nur Vektorr/iume (VR) tiber dem K6rper R der reellen Zahlcn, versehen mit der durch den absoluten Betrag definierten natfirlichen Topologie. V bezeichnet immer den Nullumgebungsfilter auf R.

Es wird im weitern immer wieder gebraucht, dass bei einem Limesraum (LR) M die Familie der gegen ein x ~ M konvergierenden Filter charakterisiert ist durch:

- [x] ~x (genauer: Ix] Sx M, ,,Ix] konvergiert gegen x aur M")

- ~ , ~ < ~ ~ x ,

und dass im Falle eines limitierten Vektorraums (LVR) E zusfitzlich gilt:

- ~ o , ~ o = ~ + ~ o

- i ~ o ~ v ' ~ o

- ~ o , 2 ~ a ~ 2 " ~ o

- x ~ E ~ V'x~o

- ~ ~* ~ -X~o .

Ein LR, auf dem jeder Filter gegen h6chstens einen Vektor konvergiert, heisst

separiert. Eine Abbildung f eines LR M in einen LR N heisst stetig, wenn aus x ~ M, ~ Sx M,

folgt f (~)~s(x)N. Es gilt:

SATZ 2.1: Die Menge C(M, E) der stetigen Abbildungen eines L R M in eiplen LVRE ist mit den giblichen Operationen ein VR.

Der Beweis ergibt sich unmittelbar, wenn man berticksichtigt, dass fiir beliebige Abbildungen f und g von M in E und ftir jeden Filter ~ auf M gilt: ( f+g) (~)<~

~<f (5) +g(~). Die Limitierung �9 eines LRM induziert aufjeder Teilmenge A yon M die Unter-

raumlimitierung r die gr6bste Limitierung auf A, ftir welche die I nklusion i: A-, M, i(x):=x, stetig ist. Ftir xeA und den Filter ~a auf A gilt:

~a ~x A ~* ~a ist Spur eines Filters ~ ~x M.

Zu jedem LR M mit einer Limitierung x gibt es auf der gleichen Menge eine feinste Topologie T ~ gr6ber als x, und zu jedem LVRE mit zul/issiger Limitierung o eine feinste lokalkonvexe Topologie a ~ gr6ber als a. Wir bezeichnen die zugeh6rigen R/iume mit M '~ und E ~ E und E ~ haben dieselben stetigen Linearformen.

Jeder Teilmenge A eines L R M lassen sich die Adh~irenz A] und das Innere Int(A) wie folgt zuordnen:

. g : '={xEM;AE~ ftirein ~J, xM}, und

I n t ( A ) : = { x e M ; A e ~ fiirjedes ~ M } .

Der Satz von Hahn-Banach und Fixpunkts~itze 395

A heisst Umgebung yon x~M, falls x~Int (A). lm Spezialfall der topologischen R/iume ergeben sich so die iiblichen Definitionen. Ffir das Komplement A ~ von A in M gilt:

J

A c = ( I n t ( A ) ) c, undmi t B c M weiter:

Int(A) c A c .~,

A c B = : , I n t ( A ) c l n t ( B ) , X = B ,

In t (AnB)=In t (A )c~ In t (B ) , A u B = . ~ w B .

A heisst abgeschlossen, falls A=A, bzw. often, falls A=Int(A). Im allgemeinen ist weder A abgeschlossen, noch Int(A) often. M und M ~' haben die gleichen abgeschlosse- nen und offenen Teilmengen.

Ein Filter ~ auf einem L V R E heisst Cauchy-Filter, falls ( ~ - ~ ) $ o E . Eine Teil- menge A v o n E heisst vollst~indig, wenn auf ihr - als limitiertem Unterraum (UR) - jeder Cauchy-Fitter konvergiert. In (4), Seite 264, ist bewiesen:

SATZ 2.2: In einem separierten LVR ist jede vollstdndige Teilmenge abgeschlossen.

Eine Teilmenge A eines L R M heisst kompakt, wenn auf ihr jeder Ultrafilter kon- vergiert. A ist dann auch in jeder gr6bern Limitierung kompakt, insbesondere in M '~ Daraus folgt, dass wie im topologischen Fall jede oftene iJberdeckung von A eine endliche Teilfiberdeckung enth~ilt.

SATZ 2.3: In einem L R M ist jede abgeschlossene Teilmenge A einer kompakten Menge B kompakt.

Beweis: Jeder Ultrafilter U auf A erzeugt einen Ultrafilter auf B, der gegen ein x~B konvergiert und A enth~ilt. Das heisst x~A, und daraus folgt 1I +xA.

SATZ 2.4: Jede kompakte Teilmenge A eines separierten L R M &t abgeschlossen. Beweis: Zu x~X gibt es einen Ultrafitter ~ $ x M mit A ~ . Die Spur von ~ auf

A ist ein Ultrafilter und konvergiert also gegen ein y~A. Daraus folgt UJ, yM, und wegen der Separiertheit von M x=y.

SATZ 2.5: Jede kompakte Teilmenge A eines LVR E ist vollstiindig (vgl. (7), S. 296). Beweis: Sei ~ Filter auf A mit ( ~ - ~ ) + o E. Dann gibt es einen Ultrafilter ~ ~<

und ein xeA mit ~ x A . Nun gilt: ~ - x = ~ - x + [ O ] < . ~ - x + ( ~ - x ) - ( 1 . l - x ) = = ( ~ - 1 I ) +(~-X)+o E, und das heisst ~$xA.

SATZ 2.6: M und N seien LR, A eine kompakte Teilmenge yon M und f eine stetige Abbildung yon M in N. Dann ist f (A) kompakt.

Beweis: Die RestriktionfA von f auf A ist stetig. Zu jedem Ultrafilter ~ a u f f (A) gibt es einen Ultrafilter 2~ auf A mit ~3~<fja(~) und ein x~A, fiir welches ~3J, xA.

3 9 6 BIERI HANSPETER

Da 1.[ Ultrafilter ist, gilt l~=fa(~) . Wegen der

~fA (x) f (A).

Stetigkeit von fa folgt somit

SATZ 2.7: Das Produkt kompakter LR ist kompakt. Beweis: Siehe (7), S. 291. Der Arbeit (4), Seite 264, entnehmen wir noch die beiden nachstehenden, in der

Folge wichtigen S~tze:

SATZ 2.8 : Jeder separierte LVR endlicher Dimension n ist isomorph zum R".

SATZ 2.9 : Eine Linear form f auf einem LV R E ist genau dann stetig, wenn f - 1 (0)

in E abgeschlossen ist.

3. Der Satz yon Hahn-Banach

SATZ 3.1 (Hahn-Banach): Es seien E ein LVR, L o ein algebraischer UR und A eine konvexe Teilmenge yon E, so dass L o c~ Int(A) nieht leer ist. fo sei eine Linearform auf L 0 mit fo (Lo n A)>~O. Dann gibt es eme lineare Fortsetzung f yon fo auf Emit f(A)>~O.

Beweis: 1) Fiir x ~ E definieren wir: D x: = { f, Fortsetzung yon fo auf einen UR L, der L o und x enth/ilt, so dassf(LnA)>~O}.

Wir zeigen, dass die Familie {D~, xr die endliche Schnitteigenschaft hat: Seifeine Fortsetzung vonfo auf den U R L ~ L o mi t f (L c~ A) >t 0, und sei t ~ E n L c.

Dann l/isst s ichfauf die lineare Hiille L' von L und t fortsetzen, wobei ffir die Fort- setzung f ' gilt: f ' (L' n A) i> 0, denn:

Sei x'~L' , dannist x ' = x + 2 t , wo x e L und 2r Wir definieren:

MI:={/~1:= f(xl)21 , w o x ~ e L , X 1 +2~teA, 21 > 0 } ,

M2:__.(//2:= f(x2)22 ' wOx2~L, x2+f t2 t6A , 22<0} .

Nun folgt MI:~0 und M2:~0, denn: V.t~o; fiJr 6>0 gilt [(0, 6).t] c~ [ ( -e , e)-t]~0 fiir beliebiges e>0. Es existiert also ein Ultrafilter ~ ~<V. t mit [(0, 6).t]e~3. Nach Voraussetzung ist Loc~Int(A)4:0. Es gibt daher ein x l e L o mit 0e ln t (A)-xl ; A - x l e l I fiir aUe Ultrafilter U~o, folglich ist ( A - x l ) c ~ [(0, 6).t] Element yon 23, �9 also insbesondere 4:0. Das heisst, es gibt ein 61 >0 mit 61 teA-x1 , oder xl +6~tEA. #1: = - ( f (x~)/61) ist Element von M1, also M~ # 0. Analog gilt 342 #0. Welter folgt fiir ~qeM1, #2eM2 U1~#2: Ftir # l : = - ( f ( x l ) / 2 , ) und # 2 : = - ( f ( x 2 ) / 2 2 ) gilt xl +21t~A, 21>0, und x2+22teA, 22<0. Wegen der Konvexit/it yon A ist damit

Der Satz von Hahn-Banach und Fixpunkts/itze 397

auch --22/21-42 (xl +21t )+21/21-42 (x2 +22t)eA und - wie aus der Umformung zu 1/41-42 ( -22xa +2ix2) ersichtlich - auch eL, also Element des Durchschnitts A nL. Das bedeutet, dass f(1/21-22(-22xl+21x2))>>.O, und daraus ergibt sich - 22f (xl) + 21f (x2) = f ( - 22Xl + 21x2) >/0. Somit erhalten wir:

= _ f > / _ =

42 21

Wir haben damit die Existenz eines 9eR nachgewiesen m i t / q ~< 0 ~</~2 fiir a l le /q eM1, #2 eM2. Wir definieren nun eine Linearform f ' :L ' - - - ,R durch f ' (x ' ) = f ' ( x + 2 0 : = := f ( x )+2 f ' ( t ) := f ( x )+2& f ' ist Fortsetzung von f auf L'. Sei x ' e L ' n A , also x '=x+2teA, wo xeL. Dann is t f ' (x ' )=f(x)+2~>>.f(x)-2( f(x) /2)=O fiir 44:0. Ffir 2 = 0 gilt f ' (x')/> 0 nach Voraussetzung. f ' ist somit Fortsetzung von f yon der gesuchten Art.

Die endliche Schnitteigenschaft der Familie {D x, xeE} ergibt sich nun durch lnduktionsschluss.

2) Auf ~.Jx~E Dx existiert ein Ultrafilter R~<{Dx, xeE}. Fiir xeE ist llx: = { U n Dx, Ue 1.1} Ultrafilter auf D,. Die Abbildung gx: D~ ~ R sei definiert durch gx ( f ) : = f (x). g,(D,) = [inf0~, supOx] = R, wo O~: = f (x) ftir eine zulassige Forset- zungfvon fo auf die lineare Hfille L(Lo, x) von L o und x. Wir haben oben bewiesen, dass [inf0,, supS,] beschr~inkt, also kompakt ist. Da R separiert ist, konvergiert g~ (R~) gegen genau ein axeR. Die Abbilding f : E--, R, definiert durch f (x) := ~,, ist nun die gesuchte Fortsetzung von fo auf E, denn: - f ist linear: Seien x, yeE und D:=DxnDyc~D,+y, dann folgt mit 1.[o:=

{ U n D, Ue U ) g~ +, ()J~ +,) = gx +r (1Io) ~ g, (l[o) +gy (1.[o) = [g~ (1.[~) + g, (iJ[,)] + :~ + :,, also gilt gx+y(1J~+y)$=~+,,, und das heisst cr Wir erhalten somit f(x + y ) = f(x)+ f(y) u n d - a u f analoge Weise - f(2x)=af(x) fiir heR.

- f ist Fortsetzung yon fo: Fiir xeL o und jedes Uel.[ erhalten wir g,,(UmD,,)= = {fo(X)}, also g~(Rx)= [ fo(x)] $so{~). Das heisst f (x )=fo(x) ftir xeLo.

- f (A) i> 0: F iir xe A gilt g~ (D~) >~ 0, u nd das bedeutet, dass aus g~ (llx) ~ ,= folgt: ~ 1> 0. q.e.d.

Eine Hyperebene in einem LVR ist entweder dicht oder abgeschlossen. Dies folgt unmittelbar aus

SATZ 3.2: Mit einem (algebraischen) U R F eines LVRE ist auch F U R yon E.

Beweis: Fiir x, yeF und 2, p e r erhalten wir: 2x+pye2F+#Fc2F+pF=F. Ein ganz analoger Beweis zeigt, dass mit einer konvexen Teilmenge A eines L V R E

auch X konvex ist. Die Konvexitat von Int(A) ergibt sich aus

SATZ 3.3: Es seien A eine konvexe Teilmenge eines LVRE, x' elnt(A), xeA und y = 2 x ' + ( 1 - 2 ) x, wobei 0<2~< 1. Dann ist yelnt(A).

398 BIERIHANSPETER

Beweis: Die Abbildung fa:E--*E, definiert durch f~ ( z ) :=2z+( l -2 )x , ist ein Hom6omorphismus. Weiter gilt f~ (A) c A und f~ (x') = y. Fiir ~ Sy gilt f j- ~ (~) $ ' . Es ist AeJ'2 ~ (~), a l so f ; (A)e~ und weiter Ae~ . Das heisst aber, dass yeInt(A).

SATZ 3.4: Es seien E ein LVR, A eine Teilmenge yon Emit Int(A)#0, und f #O eine Linearform auf E mit f (A) >10. Dann ist die Hyperebene H: = f - 1 (0) abgeschlossen und f (Int(A))>O.

Beweis: Sei x 'elnt(A), also x'r C. K : = f - l ( - ~ , 0) ist eine nicht- leere Teilmenge von A c. x'~ K, K ist daher nicht dicht in E. Fiir y eK gilt f ( y + H)=

=f(y )+f (H)<O, also folgt y + H c K und weiter y + H = l~#E. Daraus folgt die Abgeschlossenheit von H.

Seien weiter x e H und zeE, so dass f (z )>0 . Es gilt V.z+x+x. FiJr 6>0 gibt es einen Ultrafilter 1~ ~< V. z + x, so dass B: = [ ( - 6, 0). z + x] e U. Wegenf (B) < 0, f (A)/> 0 schliessen wir A n B = 0 . Damit ist Ar also xr und das heisst, dass lnt(A)n n H = 0. Nach Voraussetzung folgt f (Int (A)) > 0.

Wir haben nun die S/itze, auf die sich der Beweis der geometrischen Form des Satzes von Hahn-Banach stiitzt, zusammengestellt und gehen zur Formulierung dieser wichtigen Variante fiber:

SATZ 3.5 (Hahn-Banach, geometrische Form): E sei ein LVR, A eh~e konvexe Teilmenge yon E m i t Int(A)4=0. N sei eine lineare Mannigfaltigkeit yon E, so dass N n l n t ( A ) = 0 . Dann existiert eine abgeschlossene Hyperebene H, N c H c E , die zu Int(A) disjunkt ist.

Beweis: Ffir z e N ist N ' : = N - z ein UR yon E. Sei A ' : = A - z . Es existiert ein x 'e Int (A'). Fiir yeL: = L(N', x') gilt y = n +2x', wo neN' und heR. Durchf (N'): =0, f (x') = 1 ist eine Linearform f r 0 auf L definiert. Es gilt f (L n A') >/0, denn andern- falls:

Sei f ( y ) < 0 ffir ein y e L n A ' . Wegen f ( x ' ) = 1 gibt es in der konvexen Htille K(x', y) von x' und y ein u m i t f ( u ) = 0 . Das heisst ueN'. Wegen x 'elnt(A') und yeA' gilt nach Satz 3.3, dass ueInt (A'). Dies ist aber nicht m6glich, da N' n Int (A') = 0.

Nach Satz 3.1 existiert nun eine Fortsetzung f von f auf E m i t f(A')>>.O. Die Hyperebene H ' : = f -1(0) ist nach Satz 3.4 abgeschlossen und disjunkt zu Int(A'). Mit H:=H' +z ergibt sich H n I n t ( A ) = 0 und N c H . q.e.d.

Nach Satz 2.9 ist fstetig. Fiir den Fall, dass N UR von E ist, haben wir somit die Existenz einer stetigen Linearform f nachgewiesen, fiir welche gilt: f ( N ) = 0 , f(Int(A)) > O.

SATZ 3.6: A und B~O seien konvexe Teilmengen eines LVRE, wobei Int(A)~0 und AnB--O. Dann gibt es eine stetige Linearform f auf E und ein ~eR, so class

f (Int (A)) < ~ unaf (B) >>. ~,

Der Satz von Hahn-Banach und Fixpunkts~.tze 399

Beweis: I n t ( A - B ) D I n t ( A - b ) = I n t ( A ) - b fiir b~B, also ist l n t ( A - B ) ~ 0 . Da N: = {0} und l n t ( A - B ) disjunkt sind, folgt aus Satz 3.5 die Existenz einer stetigen Linearform f ~ 0 mit f (Int (A - B)) < 0. Wegen f (A - B) ~< 0 ist ~: = sup f (A) endlich, und es gilt f (B)~> ~. Andererseits ergibt sich aus Satz 3 .4 f ( In t (A) )< ~.

Als Anwendung des Satzes von Hahn-Banach geben wir eine hinreichende Be- dingung an ffir die Separiertheit des zu einem LVREgeh6rigen lokalkonvexen Raumes E ~ Dabei soll eine Menge A ~ E beschr~inkt heissen, falls V. A +o E.

SATZ 3.7: Wenn in einem separierten LVRE eine beschr?inkte konvexe Teilmenge A existiert mit Int(A)4:0, ist E ~ separiert.

Beweis: Sei z ~ Int (A) und A': = A - z. Dann ist 0 ~ Int (A'). A' e ~ fiir ~ ~o, ebenso ( - A ' ) und W: =A'c~ ( - A ' ) . W ist konvex und symmetrisch, also equilibriert, sowie beschr~inkt. 0e ln t (W) . Sei x~E, x#O. Dann gibt es ein Intervall I - e , el, e>0 , so dass x r e l . W, denn sonst wfirde gelten [x]~<V" W+o, in Widerspruch zur Separiertheit von E. Also gilt x/er [ - 1, 1]. W = W. Nach Satz 3.6 gibt es eine stetige Linearform f m i t f (x/Q # O, oder m i t f (x) r Daraus folgt die Separiertheit von E ~

4. D e r M i n i m a x s a t z v o n S i o n und der F i x p u n k t s a t z von T y c h o n o f f

Eine Abbi ldungf eines L R M in R heisst unterhalbstetig (oberhalbstetig), wenn fiir jedes c~R fl-1 (~, oo) ( f - l ( _ ~ , ~)) eine offene Teilmenge von M ist. Offenbar is t fgenau dann unterhalbstetig, wenn - foberha lbs te t ig ist. Die Eigenschaften ober- halbstetiger Abbildungen ergeben sich daher ohne weiteres aus denjenigen unter- halbstetiger Abbildungen.

SATZ 4.1: Eine Abbildung f eines L R M in R ist genau dann unterhalbstetig, wenn zu jedem x E M und fiir jedes e > 0 eine Umgebung U von x existiert, so dass

] (U)> f ( x ) - e . Beweis: ~ U : = f -1 ( f ( x ) - e , oo) ist often und enth~ilt x, ist also x-Umgebung. ~= Sei fiJr ~ e R f - l ( ~ , oo)4:0. Zu jedem x e f - l ( ~ , oo) gibt es ein e>0, so dass

f (x) - e > ~. Nach Voraussetzung gibt es eine Umgebung U von x m i t f (U) > f (x) - e, das heisst f ( U ) c ( ~ , ~) . Daraus f o l g t f - l ( ~ , oo)= U und somit x e I n t ( f - l ( ~ , oo)). Also i s t f - l ( ~ , ~ ) often.

Jede stetige Abbildung ist unterhalbstetig. Jede unterhalbstetige Abbildung von M in R ist unterhalbstetig yon M ~ in R. Aus der Theorie der topologischen R~iume kann somit entnommen werden: - Mit einer Familie unterhalbstetiger Abbildungen ist, falls es existiert, auch ihr

Supremum unterhalbstetig. - Jede unterhalbstetige Abbi ldungf eines kompakten L R M in R nimmt auf M ihr

Infimum an.

400 BIERI HANSPETER

Eine Abbildung f von einer konvexen Teilmenge X eines VR E in R heisst quasi- konkav (quasikonvex), wenn fi.ir jedes ~ R f - ~ (~, oo) ( f - l ( _ 0% ~)) konvex ist. f is t genau dann quasikonkav, wenn - f q u a s i k o n v e x ist.

Mit obigen Definitionen l~isst sich nun der folgende Satz yon Ky Fan formulieren:

SATZ 4.2 (Fan): E und F seien separierte LVR, X und Y seien nichtleere, kom- pakte, konvexe Teilmengen yon E bzw. yon F. f und g seien Abbildungen von X x Y in R, wobei gelte: Fiir alle x e X , ye Y und feste ~, t ieR seien die Restriktionen f~: Y~R, fx(Y): = f (x, y), und g y : X ~ R , gy(x): =g(x, y), unterhalbstetig, fy und gx seien quasi- konkav mit f~x(~ , oo)#0 und g-~l(fl, ov)#O.

Dann gibt es ein (s .9)EX x Y m it f (Yc, .9)> ~ und g(s .9)> ft. Beweis: (Vgl. (5), S. 305f, sowie (6).) 1) Fiir (x, y)EX• Y definieren wir: A(x, y) := {(x', y ' )eX• Y, f ( x , y ' ) < ~ v g ( x ' , y)~<]~}. (A(x, y))cc~X• Y=

= g~l( f l , oo)• j .~l(~, ~ ) ist often in X• Y, A(x, y) daher abgeschlossen und nach Satz 2.3 kompakt. Zu (x' y ' )EX• Y existiert ein (x, y), so dass (x', y') nicht Element yon A (x, y) ist, n~imlich irgendein x aus der nichtleeren Mengef~; 1 (~, oo) zusammen mit einem y aus g~, 1 (/~, oo). Das heisst ("Ix • r A (x, y) = 0, und wegen der Kompaktheit von X• Y existieren gewisse (xl, y~), ..., (x,, y,) aus X• Y mit O7=1A (x i, y,)=0.

2) Es gibt gewisse (xa,yl) .... , (xm, ym)EX• Y, fiir deren konvexe Hfille gilt: K((x i, y,), i= 1,..., m) r [,.)'~= ~ A (x,, y,), denn andernfalls:

Sei K((xi, Yi), iE1)c U , ~ , A ( x , y,) ffir jedes endliche I. Sei 1= {1,..., n}, dann definieren wir v l := (1, 0 .... ,0) bis v, := (0,..., 0, 1)ER", sowie eine lineare Abbildung h: R " ~ X • Y durch h (v~): = (x~, y~). Die Limitierung von X • Y induziert nach Satz 2.8 auf h (R ") die natiirliche Topologie. h ist stetig (siehe (3), p. 19) und damit auch seine Restriktion hK aufK(vi, ieI). h~ 1 (A (x , Yi)) ist abgeschlossen. Nach Voraussetzung gilt

K((xj, yj),jEJ)ci,.Jjes A(xj, yj) fiir jedes J c I . Also folgt K(vj, j~J) = = h~l (K(x j , yj), jEJ)ch;-c~(i,_)j~s A (xj, yj))= [,.)j.~s h~a(A (xj, yj)) ffir jedes Jc l . Damit sind die Voraussetzungen des aus dem Spernerschen Lemmas folgenden Satzes von Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz (siehe (2), p. 180) erfiJllt, und wir erhalten (")i~i A (x~, y~):/:0. Dies steht aber in Widerspruch zum Ergebnis von Beweisteil 1).

3) Es gibt somit gewisse nichtnegative ~1,..., 0~,, mit ~"=a~i=l , so dass ~,.~= lcti (xi, y~)r x A (x,, y,). Das heisst f (xj, ~ '= l~iy~) > ~t und g (~"= a~ixl, Y j) > [~ f i J r j = l .... , m, oder -1 -1 Daf~,,r, und xj~ f~,,r,(c~ , oo) und yi~g~,x,(~, or), j = 1 .... , m. g~,,~, quasikonkav sind, gilt ~ j = -1 ,, -1 m Z j = l g j y j E g ~ , x , ( f l , (Z)), SO a~jxje fG,~,(~, oo) und dass wir erhalten: f(E~'=te,(x,, y , ) )>e, g(y'~'=~e,(xi, y,))>/3. Also haben .f:= = ~ '= a~ix~ und 9: = ~ '= xeiY~ die verlangten Eigenschaften. q.e.&

Eine Folgerung aus dem Satz yon Fan ist der Minimaxsatz von Sion"

SATZ 4.3 (Sion): E und F seien separierte LVR, X und Y nichtleere, kompakte

Der Satz von Hahn-Banach und Fixpunkts~itze 401

konvexe Teilmengen von E bzw. F. f sei eine Abbildung yon X x Y in R, wobei fiir alle xeX, ye Y die Restriktionen fx unterhalbstetig und quasikonvex, fr oberhalbstetig und quasikonkav seien. Dann existieren miny ~ r maxx ~ x f (x, y) und max x ~ x mint ~ Y f (x, y) und sind einander gleich.

Beweis: 1) Sei ye Y. Wegen der Kompaktheit von X existiert ein xy~X, so dass fy(xy)=sup(fy(X)). Das heisst f (xy, y )=maxx f (x, y). Die Abbildung supxfx= =maxxfx ist somit auf Y definiert und unterhalbstetig. Es existiert ein 37e Y, fiir welches maxx f~ (37) = f (x~,)7) = inf (maxxf~ (Y)) ist. Das heisst, es existiert ein (xy, .9) e eX• Y mit f(x~,kT)=minr maxxf(x , y). Ebenso existiert ein (2, y~)~Xx Y mit f (2 , y~)=maxx minr f (x , y).

2) Mit der Definition g : = - f i s t gy unterhalbstetig und gx quasikonkav. Zu jedem > 0 gibt es wegen f (xy, y) >~f (x~, 37) > f (xy, 37)- e und g (x, yx) >~ g (2, y~) > g (2, y~) - e

nach Satz 4.2 ein (x~, y~)~Xx Y mitf(x~, y~)>f(xy, 37)-e, g(x,, y~)>g(~, y~)-e. Das heisst f (x~, 37)- e < f (x~, y~) < f (2, y~) + 5, und es folgt: mint m a x x f (x, y) ~<

~< maxx m i n r f (x, y). 3) Umgekehrt gilt:

f (2, y~) = max (minr fy (X)) ~< max (fy (X)) = f (x~, 37). q.e.d.

Als weitere Folgerung aus dem Satz von Fan erh~ilt man den Fixpunktsatz von Tychonoff:

SATZ 4.4 (Tychonoff): S sei eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge eines LVRE mit separiertem E ~ und h sei eine stetige Abbildung von S in sich. Dann gibt es ein 2~S mit h(2)=~.

Beweis: 1) Zu jedem xeE, xv~O, gibt es eine stetige Linearform u auf E mit u (x) 4: 0. Fiir alle solchen u und alle e > 0 definieren wir: A (u, e): = {x e S, u ( x - h (x)) e l - e , el}. Wegen der Stetigkeit von (ids-h) ist jedes A(u, e) abgeschlossen. Es ist zu zeigen, dass der Durchschnitt aller dieser A (u, e) nicht leer ist, oder - wegen der Kompaktheit von S - dass (']~'= 1 A(ul, ei)#0 fiir je endlich viele (ul, el) .... , (u., e.).

2) Wir definieren zwei Abbildungen f, g: S x S ~ R , durch f (x,y):=ZT= 1 ]ui(y-h(y))[-~7: ~ lu,(x-h(y))l, und g(x,y):=-Y,7=x lu,(x-y)l. Dann sind fx und gy stetig, also insbesondere unterhalbstetig, und fy und gx quasi- konkav. Wegen l u(y) - u (h (Y))I - l u(x) - u (h (x))[ ~< l u(x) - u (Y)I is t f (x, y) +g(x, y) <<. 0 fiir alle (x, y)eS • S. Wir setzen e: =min(e~ .... , ~,). Zu jedem x~S existiert ein yeS, so dass g(x, y)> -5 , namlich y=x. Es gibt daher nicht zu jedem y e S ein x e S mit f (x , y)>e, denn sonst wiirde nach Satz 4.2 ein (x', y')~S x S existieren m i t f (x', y') + +g(x', y ' )>0. Es gibt somit ein 37~S mit f ( x , p)~<~ fiir alle x~S, insbesondere fiir h(p). Also gilt ~'=1 lu, (37-h07))1 ~<~, und es folgt: 37~7=1 A (u,, e).

q.e.d.

402 BIERI HANSPETER

5. Der Fixpunktsatz von Kakutani

Einen andern Zugang zum Satz yon Tychonoff liefert der allgemeinere Fixpunkt- satz yon Kakutani:

SATZ 5.1 (Kakutani): S sei eine nichtleere, kompakte, konvexe Teilmenge in einem LVRE mit separiertem E ~ f sei eine Abbildung yon S in die Potenzmenge P(S), wobei f (x) fiir jedes x~S konvex und nicht leer, und der Graph G ( f ) : = {(x, y); x~S, y~ f (x)) yon f in Sx S abgeschlossen ist.

Dann gibt es ein f i tS mit ~ f (2). Beweis: (Vgl. (8), p. 171.) 1) In E ~ gibt es eine Nullumgebungsbasis 2) aus konvexen, symmetrischen und

abgeschlossenen Mengen. Da S in E ~ kompakt ist, gibt es zu jedem V ~ eine end- liche Teilmenge {xi .... , x,} yon S, so dass s c U T = l (xi+ v). Wir definieren eine Abbildung fv yon S in die Potenzmenge von K:=K(xl .... , x,) dutch J~(x):= = ( f (x)+ V)nK. f~(x)ist konvex und nicht leer, denn: fiir x~S ist f ( x ) r also f ( x ) n U~'=l (xi+ v)-r Es existiert somit ein j~ {1 ... . . n}, ftir welches f ( x )n ( x j+V)r Das heisst, dass x j~ f (x )+V, oder x]~f~(x). Der Graph G(f~) := {(x, y); x~K, y~ ( f (x )+ V)nK} der Restriction von fv auf K l~isst sich darstellen als (Kx K ) n {(x, y); x~S, y~ ( f (x)+ V)} = (K x K ) n [G ( J ) + ({0} x V)]. Es folgt, dass G(.fv) in K x K abgeschlossenen ist. Nach Satz 2.8 induziert die Limi- tierung von E auf K die nattirliche Topologie. Ffir K sind daher die Bedingungen des Fixpunktsatzes von Kakutani ftir euklidische R~iume endlicher Dimension erffillt (siehe (2), p. 183), und es folgt die Existenz eines xv~K mit xv~fv(xv).

2) Die Mengen {xES, x~ f (x )+V} , wo V ~ , erzeugen einen Filter ~ auf S. Es existiert ein 2~S, und ein Filter I~i~<~3+2 mit (5~<~:. Das bedeutet, dass der Filter 91: = (~3 + 2 ) n ~ existiert und gegen 2 in E ~ konvergiert. Somit konvergiert der Filter ~3:= 9I x 03 +2) gegen (2, 2) im Produktraum E ~ x E ~ Der Filter ~ n [G ( f ) ] existiert, denn:

Sei Ve ~ , dann gilt (�89 V + 2) n {x, x E f (x) + �89 V} e 91. Es existiert also ein x' = y' + +z'~�89 wo y '~f(x ' ) und z'e�89 Wegen x ' - z ' ~ f ( x ' ) gilt (x', x ' - z ' )~G(f ) und wegen x ' - z ' e V+2 weiter (x', x ' - z ' ) ~ [(V+2) n {x, x~ f (x ) + V}] • (V+~?). Und daraus folgt, dass G ( f ) n B r ist ffir alle BEfB. G(f) ist kompakt in S o • S ~ wo S o topologischer UR von ~;o ist, und daher abgeschlossen.

Aus G(f)~f~n[G(f)]J,(~.~) folgt nun (2, Yc)~G(f)=G(f), und das heisst . ~e f 0~). q.e.d.

Als Korollar von Satz 5.1 ergibt sich der Fixpunktsatz von Tychonoff, da - wie �9 der n/ichste Satz zeigt - aus der Kompaktheit von S und der Stetigkeit von f die

Abgeschlossenheit von G(f ) folgt.

Der Satz von Hahn-Banach und Fixpunkts/itze 403

SATZ 5.2: M und N seien LR, f eine Abbildung yon M in N, und G ( f ) : = ={(x, f (x)), x e M } der Graph yon f . Dann gilt: f i s t genau dann stetig, wenn h : M ~ G ( f ) , definiert durch h (x) : = (x, f (x)), ein Homdomorphismus ist.

Beweis: 1) h sei ein Hom6omorphismus. Dann is t f=prNoh stetig. 2) h -~ =prM ist stetig. Fiir ~:+xM gilt h (~ )=~ : xf(~:)$tx,i(x)), das heisst, h ist

stetig.

6. Der Fixpunktsatz von Markoff-Kakutani

SATZ 6.1 (Markoff-Kakutani): S sei eine nichtleere, konvexe, kompakte Teil- menge eines separierten LVRE. F sei eine Familie linearer, paarweise vertauschbarer Abbildungen yon E in sich, die S stetig in sich iiberfiihren. Dann gibt es ein x e S mit u (x)=x fiir jedes u e r .

Beweis: (Vgl. (3), p. 121.) 1) Ffir alle u~F, n~N definieren wir eine Abbildung u,:E-~E durch u , (x) :=

:--n-1 (x + u(x) + u (u(x)) +.. . + u"-l(x)). F~ sei die Familie der Produkte einer end- lichen Anzahl yon Abbildungen der Form u,. Dann sind alle v~F 1 linear, paarweise vertauschbar mit v(S) c S und mit stetigen Restriktionen auf S (Satz 2.1).

2) ~ : = {v(S), v~F1} ist Filterbasis auf S: ~3 ist nicht leer, da ida~F 1. Seien v, w~F 1 und u:=vw=wv, dann gilt u~F 1, u ( S ) = v ( w ( S ) ) c v ( S ) und ebenso u (S )= c w(S). Das heisst u(S) c v(S) c~ w(S).

Nach Satz 2.6 sind alle B ~ 3 kompakt und daher abgeschlossen. Daher folgt, dass der Durchschnitt A aller BE~ nicht leer ist. Ffir jedes x e A und alle uEF gilt nun: u(x)=x: Sei n>0 , x~A. Dann ist x~u,(S) , also gilt

x = n - l ( y + u ( y ) + . . . + u " - ' ( y ) ) fiirein y~S.

z : = u ( x ) - x = n - l (u(y) + u2(y) + . . . + u" (y ) ) -

- n - l ( y + . . . + u"- l (y ) ) = n - l ( u " ( y ) - y ) e n - l ( S - S).

T: = S - S ist kompakt, konvex und syrnmetrisch. Wir nehmen an, dass z :~ 0. Es folgt nz~T ffir alle n~N, also auch 2 . z ~ T ffir alle 2~R. Der eindimensionale U R F : = {2z, 2~R} liegt in T, und nach Satz 2.8 ist die auf ihm induzierte Limitierung die natiirliche Topologie. F i s t somit vollst/indig und nach Satz 2.2 abgeschlossen, also kompakt. Da dies nicht m6glich ist, ergibt sich z--0.

q.e.d.

LITERATUR

[1] BAUMANN, V. : W.A.J. Luxemburgs Beweis des Satzes yon Hahn-Banach, Arch. Math. 18 (1967), 271-272.

[2] BERGE, C. : Espaces topologiques, fonctions multivoques, 2 e ed., Dunod, Paris, 1966. [3] BOURBAKI, N. : Espaces vectoriels topologiques, Chap. 1 et 2, 2 e ed., Hermann, Paris, 1966.

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[4] COURANT, S.: Beitriige zur Theorie der limitierten Vektorriiume, Diss. Universit~it Bern, 1968. Comment. Math. Heir. 44 (1969), 249-268.

[5] FAN, K.: A Generalization ofTychonoff's FixedPoint Theorem, Math. Ann. 142 (1961), 305-310. [6] FAN, K. : Sur un thdordme minimax, C.R. Acad. Sci. Paris 259 (1964), 3925-3928. [7] FISCHER, H. R. : Limesriiume, Math. Ann. 137 (1959), 269-303. [8] GLICKSBI~gG, I. L. : A Further Generalization of the Kakutani Fixed Point Theorem, with Applica-

tion to Nash Equilibrium Points, Proc. Am. Math. Soc. 3 (1952), 170-174.

Eingegangen den 20. Oktober 1969