Derivate und Bewertung - bank.uni-hohenheim.de · Front Office Mitarbeiter/in Derivatives Settlement Risk Analyst Senior Quantitative Analyst - Derivatives • mein Wunsch, Sie an

Derivate und BewertungDerivate und Bewertung

Dr. Daniel Sommer

Universität HohenheimUniversität HohenheimWintersemester 2008/2009

In diesem Modul wird diskutiert

• warum diese Vorlesung für Sie sinnvoll sein kann,

• warum ich Lust habe, diese Vorlesung nochmals zu halten,

Modul I

Einführung

© Dr. Daniel Sommer 2

nochmals zu halten,

• welche Inhalte Sie in dieser Vorlesung erwarten,

• was ich von Ihnen in dieser Vorlesung erwarte,

• wie die Vorlesung organisiert ist.

Einführung

… warum diese Vorlesung für Sie … warum diese Vorlesung für Sie sinnvoll sein kannsinnvoll sein kann

Quelle: BIS

Eine moderne Ökonomie ohne Derivate ist undenkbar!


undenkbar!

Die meisten Derivate werden OTC gehandelt.

Zum OTC-Volumen kommt das Volumen börsengehan -



börsengehan -delter Derivate hinzu.

Börsen sind besonders stark im Op-tionshandel.

Eine Fülle von


Erfahrene Berater (m/w) Advisory Financial Services

Financial Risk Management (- Kredit-, Markt-Risikomanagement, Operational-, Liquiditäts-Risiko-management, Risikoberichtserstattung, Economic Capital Management, Limitsysteme , Risiko-Strategie, -Organisation, -Prozesse, Risikomessmethodik, Derivatebewertung, IT-Unterstützung


Eine Fülle von interessanten Jobs wartet auf Sie

Accounting Advisory Services (- IFRS-Conversions, Quality Close, - Budget, Forecasting & Financial Modelling, Accounting Support)

Consultant Investment Banking

Exotic Interest Rate Derivatives developer/analyst

Eine Fülle von


Referent/in Risikomanagement

Leading Austria House is looking for credit Quants/

Risikomanager/in Strategische Risikosteuerung


Eine Fülle von interessanten Jobs wartet auf Sie

Leading Austria House is looking for credit Quants/Front Office

Mitarbeiter/in Derivatives Settlement

Risk Analyst

Senior Quantitative Analyst - Derivatives

• mein Wunsch, Sie an meiner Erfahrung teilhaben zu lassen:

• 1996 Promotion in Bonn im Bereich Zinsstrukturmodelle

• 1996 – 1998 Tätigkeit im Handelsbereich einer deutschen Großbank

• 1998 bis heute Mitglied der Financial Risk Management Group bei KPMG, seit 2003 als Partner zuständig für Risk Methodology

… warum ich Lust habe, diese Vorlesung … warum ich Lust habe, diese Vorlesung zu haltenzu halten


bei KPMG, seit 2003 als Partner zuständig für Risk Methodology

• die Dynamik auf dem Gebiet der Derivate – sowohl in der Praxis als auch in der Wissenschaft,

• der unmittelbare Awendungsbezug der Theorie,

• meine Erfahrungen aus Vorstellungsgesprächen und bei der Arbeit mit Berufsanfängern,

• meine ständige Suche nach neuen Talenten für unsere Firma.


Modul II• was man unter Derivaten versteht,

• welche ökonomischen Prinzipien der Bewertung von Derivaten zugrunde liegen,

• was man unter Zero-Coupon Bonds, Arbitrage und

… welche Inhalte Sie erwarten… welche Inhalte Sie erwarten


• was man unter Zero-Coupon Bonds, FRAs, Swaps und Futures versteht und wie man sie bewertet,

• was eine Zinskurve ist, welche verschie-denen Darstellungen der Zinskurve es gibt und wie man sie ineinander überführt,

• welche Zinsrisikomaße es gibt und wie man sie einsetzt.

Arbitrage und nicht-optionale Zinsderivate


Modul III• was man unter Aktienoptionen versteht,

• was man aus statischen Portfoliostrategien über die Bewertung von Optionen lernen kann,



• wie man die Konzepte der Duplikation und der No-Arbitrage auf dynamische Wertpa-piermärkte übertragen kann,

• wie man ein dynamisches Bewertungs-modell für Optionen konstruiert und darin Optionen bewertet,

• was man unter Zustandspreisen versteht und wie man damit Derivate bewertet.

Aktienoptionen


Modul IV• wie man einen Überblick über die Welt der

exotischen Optionen gewinnen kann,

• ob und wie man einige exotische Optionen in den bisher diskutierten Modellen bewer-



ten kann,

• welche besonderen Charakteristika be-stimmte exotische Optionen aufweisen und welche Konsequenzen dies für das Hedging hat,

• wie man Dividenden in das bisherige Bewertungsmodell einbauen kann.

Besondere Bewertungsal-gorithmen:

Exotische Optionen und Dividenden


Modul V• was man unter Zinsparität versteht,

• was Zins-Währungsswaps sind, wie man sie bewertet und welche Rolle dabei Basis-



sie bewertet und welche Rolle dabei Basis-Swaps spielen,

• was Währungsoptionen sind und wie man sie bewertet,

• was Implizite Volatilitäten und Smiles sind.

Währungs-derivate


Modul VI

• warum Sie in dieser Vorlesung zwar



hoffentlich viel gelernt haben, aber dennoch der Satz gilt:

„Ich weiß, daß ich nichts weiß.“

Ausblick

• Begeisterung für Derivate und Finanzmärkte,

• Freude am Knobeln

• die Bereitschaft, über die Vorlesungsstunden hinaus intensiv am Stoff

… was ich von Ihnen in dieser Vorlesung … was ich von Ihnen in dieser Vorlesung erwarteerwarte


• die Bereitschaft, über die Vorlesungsstunden hinaus intensiv am Stoff zu arbeiten,

• den unbedingten Willen, sich durchzubeißen,

• Grundlagenkenntnisse in linearer Algebra und Analysis (im wesentlichen Abiturniveau).

• geplante Vorlesungstermine:

… wie die Vorlesung organisiert ist… wie die Vorlesung organisiert ist

Monat DatumOktober 17.10.; 31.10.November 21.11.; 28.11.Dezember 12.12.Januar 9.1.; 23.1.


• Nach jeder Vorlesung besteht bis 18:00 Uhr Gelegenheit für Fragen.

• Die Vorlesung wird begleitet von Felix Prothmann ([email protected])

• Die Folien zur Vorlesung werden nach jeder Vorlesung über den Lehrstuhl von Prof. Dr. Burghof per e-mail zur Verfügung gestellt.

Januar 9.1.; 23.1.Februar 6.2.

• was man unter Derivaten versteht,

• welche ökonomischen Prinzipien der Bewertung von Derivaten zugrunde liegen,

• was man unter Zero-Coupon Bonds,


Modul II

Arbitrage und nicht -optionale


• was man unter Zero-Coupon Bonds, FRAs, Swaps und Futures versteht und wie man sie bewertet,

• was eine Zinskurve ist, welche verschiednen Darstellungen der Zinskurve es gibt und wie man sie ineinander überführt,

• welche Zinsrisikomaße es gibt und wie man sie einsetzt.

nicht -optionale Zinsderivate

Definition

… was man unter einem Derivat versteht… was man unter einem Derivat versteht


Definition gemäß IAS 39

Quelle: IASCF

No-Arbitrage und

… ökonomische Prinzipien der Bewer… ökonomische Prinzipien der Bewer--tung von Derivatentung von Derivaten

Herr Professor P trifft seinen Stu-denten S an der Bushaltestelle. Da der Bus nicht kommt, macht S einen Vorschlag: „Herr Professor, lassen Sie uns folgendes Spiel spielen: Sie stellen mir eine Frage. Wenn ich sie


und Duplizierung:

Ein Rätsel!

stellen mir eine Frage. Wenn ich sie nicht beantworten kann, zahle ich Ihnen 1€. Dann stelle ich Ihnen eine Frage. Wenn Sie diese nicht beant-worten können, zahlen Sie mir 1€.“ „Nein,“ sagt P, „das ist nicht fair. Ich bin Professor, Sie Student. Wenn ich einen Fehler mache, zahle ich Ihnen 1,20€.“ Als der Bus kommt, hat P kein Geld mehr, um eine Fahrkarte zu kaufen. Wieso?

No-Arbitrage und


Definition: Zero-Coupon Bond

),( 10 ttB

0t 1t 2t

Preis zum Zeitpunkt t0 eines Euro ausgezahlt zum Zeitpunkt t1


und Duplizierung:

Eine einfache Anwendung

),( ji ttB Preis zum Zeitpunkt ti eines Euro ausgezahlt zum Zeitpunkt tj

Ein Zero-Coupon Bond mit Laufzeit von ti bis tj ist ein Finanzinstrument, das bei seiner Fälligkeit zum Zeitpunkt tj genau eine Wäh-rungseinheit zahlt. Weitere Zahlungen wäh-rend der Laufzeit finden nicht statt.

No-Arbitrage und


Problemstellung

0t 1t 2t

Zum Zeitpunkt t0 seien die Preise aller Zero-Coupon Bonds bekannt.

),( 0 •ttB


und Duplizierung:


Ein Unternehmen U weiß zum Zeitpunkt t0,

daß es zum Zeitpunkt t1 eine Zahlung Z erwarten kann, die es bis zum Zeitpunkt t2

anlegen kann. Auf welchen Betrag wird Z bis t2 angewachsen sein, wenn sich U in t0 ver-pflichtet, Z zum Zeitpunkt t1 zu einem bereits in t0 festgelegten Zinssatz anzulegen?

No-Arbitrage und


Zwei Portfolien in t 0

0t 1t 2t

P1: Kauf eines Zero-Coupon Bonds zum Zeitpunkt t0 mit Fälligkeit t2 mit einem Nominalvlumen von ),(/),( ttBttBZ ×


und Duplizierung:


),;( 210 tttF

Nominalvlumen vonKreditaufnahme i.H.v. mit Laufzeit von t0 bis t1.

P2: Zum Zeitpunkt t0 Abschluß eines Vertrages, in t1 den dann fälligen Betrag in einen Zero-Coupon Bond mit Laufzeit von t1 bis t2 zu einem in t0 festgelegten Preis von zu investieren.

),(/),( 2010 ttBttBZ ×),( 10 ttBZ ×

No-Arbitrage und


Analyse in t 1

0t 1t 2t

Die Anfangsinvestition in P1 und P2 zum Zeitpunkt t0 ist gleich und beträgt Null.Zum Zeitpunkt t erfolgt in P1 die Rückzah-


und Duplizierung:

Eine einfache Anwendung ),;( 210 tttF

Zum Zeitpunkt t1erfolgt in P1 die Rückzah-lung des Kredites aus der eingehenden Zahlung Z. In P2 wird Z zu dem zuvor festgelegten Preis

in einen Zero-Coupon Bond mit Fälligkeit t2 angelegt.Es erfolgt keine zusätzliche Ein- oder Auszahlung aus dem Portfolio.Konsequenz: P1 und P2 müssen zum Zeit-punkt t2 den gleichen Wert haben.

No-Arbitrage und


Definition: Terminpreis eines Zero-Coupon Bonds

0t 1t 2t

Damit gilt:

),(

),(

),;( 20

10

210 ttB

ttBZ

tttF

Z ×=


und Duplizierung:


),(),;( 20210 ttBtttF

),(

),(),;(

10

20210 ttB

ttBtttF =⇔

),;( 210 tttF wird als Terminpreis zum Zeitpunkt t0 des Zero-Coupon Bonds mit Laufzeit t1 bis t2 bezeichnet.

Die Zahlung Z wird auf den Wert anwachsen.

)t,t;t(F

Z

210

No-Arbitrage und


Definition: Terminpreis eines Zero-Coupon Bonds

0t 1t 2t

Mit der gleichen Argumentation wie zuvor gilt allgemein:


und Duplizierung:


),;( nmi tttF

zuvor gilt allgemein:

nmi tt t wobei,),(

),(:),;( ≤≤=

mi

ninmi ttB

ttBtttF

wird als Terminpreis zum Zeitpunkt ti des Zero-Coupon Bonds mit Laufzeit tm bis tn bezeichnet.

Zusammenhang zwischen

… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs versteht

Definition: Continuously Compounded Zinssätze

Der Continuously Compounded Zero-Coupon Bond Zinssatz ist definiert durch:

jitt

ttBtty

jiji ≤

−−= wobei,

),(ln:),(


zwischen (Termin-) Preisen und (Termin-) Zinsen

mn

mini

mn

nminmi

tt

ttBttB

tt

tttFtttf

−−

−=

−−=

),(ln),(ln

),;(ln:),;(

jitt

ttyij

ji ≤−

−= wobei,:),(

Der Continuously Compounded Zero-Coupon Bond Termin-Zinssatz ist definiert durch:



Infinitesimale Terminzinssätze

mini

mn

nmi

ttmi

ttBttB

tt

tttFttf

mn

−−=

−−=

→

),(ln),(lnlim

),;(lnlim:);(

Im Grenzwert ergibt sich für tn gegen tm:



m

mi

mn

mini

tt

t

ttB

tt

ttBttB

mn

∂∂

−=

−−

−=→

),(ln

),(ln),(lnlim

∫−=

j

i

t

ti

ijji ds)s;t(f

tt)t,t(y

1und außerdem:



Definition: Unterjährige Annually Compounded Zinssätze

Der unterjährige Annually Compounded Zero-Coupon Bond Zinssatz bei Tageszählkonven-tion k ist definiert durch:

),(:1

ji ttB=



),;(:);,(),;(1

1nmi

nmnmi

tttFktttttzf

=∆×+

),(:);,(),(1 ji

jiji

ttBkttttz

=∆×+

Analog ist der entsprechende Terminzins-satz definiert durch:


Quelle: ISDA


ISDA Market Conventions

Quelle: Trema

Quelle: Trema


Forward rate agreement (FRA) A contract between two parties to fix the forward r ate of interest on a notional loan, for an agreed period o f time starting on a specified future date.

Assume that firm A needs to borrow $1 million in th ree months time for a term of six months and wishes to protect


FRA: Definition und Beispiel

months time for a term of six months and wishes to protect itself against a rise in interest rates. It can buy an FRA from firm B at an agreed rate of, say, 10%. If, at the e nd of the three months, market interest rates have risen to 1 2%, B will pay A an amount based on the 2% difference app lied to the principal of $1 million for a period of six mon ths. Conversely, if interest rates drop to 9%, A will pa y to B an amount based on the 1% difference. Settlement is us ually made at the beginning of the forward period, rather than at the end, therefore the amount paid is discounted accordingly.

FRA Geschäfts-bestätigung:

… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs verstehtPART 1

To Be Used on the Agreement Date

F.R.A. CONTRACT AGREEMENT DATE CONFIRMATION NOTICE TO:-

FROM:-

We are pleased to confirm the following Forward Rate Agreement ('F.R.A.') made between ourselves as per FRABBA Recommended Terms and Conditions dated 1985. (Direct/Broker )

CONTRACT CURRENCY & AMOUNT

FIXING DATE

SETTLEMENT DATE MATURITY DATE

CONTRACT PERIOD (DAYS)

CONTRACT RATE % per annum on an actual over 360/365


bestätigung: Teil 1 Geschäfts-abschluß

CONTRACT RATE % per annum on an actual over 360/365 days basis (as applicable)

SELLER'S NAME

BUYER'S NAME

NON-STANDARD TERMS & CONDITIONS (IF ANY)

Any payment to be made to us under the F.R.A. hereby confirmed should be credited to our Account Number at

PLEASE ADVISE BY TELEX, OR CABLE US IMMEDIATELY, SH OULD THE PARTICULARS OF THIS CONFIRMATION NOT BE IN ACCORDAN CE WITH YOUR UNDERSTANDING .

Either:- Or:-

SIGNED TESTED TELEX CONFO

FOR AND ON BEHALF OF

……………………………………………………………………

FRA


Quelle: Reuters


FRA Quotierungen

FRA Geschäfts -

… was man unter FRAs versteht… was man unter FRAs verstehtP A R T I I

T o B e U sed o n th e S e t t le m e n t D a te

F .R .A . C O N T R A C T A G R E E M E N T D A T E

C O N F IR M A T IO N N O T IC E - S E T T L E M E N T

T O : -

F R O M :

W e re fe r to th e fo llo w in g F o rw a rd R a te A g ree m en t ( 'F .R .A .' ) m a d e b etw ee n o u rse lv e s a s p e r F R A B B A R ec o m m en d ed T erm s a n d C o n d it io n s d a ted 1 9 8 5 . (D irec t /B ro k e r … … … )


FRA Geschäfts -bestätigung: Teil 2 Settlement

C O N T R A C T C U R R E N C Y & A M O U N T F IX IN G D A T E S E T T L E M E N T D A T E M A T U R IT Y D A T E C O N T R A C T P E R IO D (D A Y S ) C O N T R A C T R A T E … … … … … ..% p e r a n n u m o n a n a c tu a l o v e r 3 6 0 /3 6 5 d a y s b a s is (a s a p p lica b le ) S E L L E R 'S N A M E ..

B U Y E R 'S N A M E … … … … … … … … … … … … … … ..

N O N -S T A N D A R D T E R M S & C O N D IT IO N S ( IF A N Y )

S E T T L E M E N T R A T E % p e r a n n u m S E T T L E M E N T S U M ($ /£ e tc .) S E T T L E M E N T IN S T R U C T IO N S :-

W E P A Y T H E S E T T L E M E N T S U M O N T H E S E T T L E M E N T D A T E T O Y O U R

A C C O U N T N O A T

W E R E C E IV E T H E S E T T L E M E N T S U M O N T H E S E T T L E M E N T D A T E A T O U R

A C C O U N T N O A T

FRA Berechnung


4. Settlement (for contract periods in excess of one year see Section E)

4.1 Wherever two parties enter into a F.R.A. the Buyer will agree to pay to the Seller on the Settlement Date (if the Contract Rate exceeds the BBA Interest Settlement Rate), and the Seller will agree to pay to the Buyer on the Settlement Date (if the BBA Interest Settlement Rate exceeds the Contract Rate) an amount calculated in accordance with the following formula:

(a) when L is higher than R

)()100(

)(

DLB

ADRL

×+×××−

Buyer of

Seller of money


FRA Berechnung der Zahlung am Settlement Date

or (b) when R is higher than L

)()100(

)(

DLB

ADLR

×+×××−

where L = BBA Interest Settlement Rate (expressed as a number and not a percentage, e.g. 10.11625 and not 10.11625%)

R = Contract Rate (expressed as a number and not a percentage) D = Days in Contract Period A = Contract Amount

B = 360 except where the Contract Currency is Pounds Sterling (or any other currency where the contract rate is calculated on 365 days according to market custom) when 'B' = 365.

Buyer of money

Bewertung eines


Aus Sicht des „protection sellers“ (Sicherungsgebers):

),()),;(( 0 nm ttB

ADRtttzf×

××−

Sichtweise: Absicherung gegen steigende Zinsen in der Zukunft


Bewertung eines FRA während der Laufzeit

),()),;(()100(

)),;((0

0

0m

nm

nm ttBDtttzfB

ADRtttzf×

×+×××−

Aus Sicht des „protection buyers“ (Sicherungsnehmers):

),()),;(()100(

)),;((0

0

0m

nm

nm ttBDtttzfB

ADtttzfR×

×+×××−

… was man Swaps versteht… was man Swaps versteht

An interest rate swap is a contract• between two or more parties • to pay each other interest streams

calculated on different bases, • on a notional principal, • for an agreed term.

Typically (in a “coupon” or “plain vanilla”


Swap: Definition und Beispiel

Typically (in a “coupon” or “plain vanilla” swap), one party pays a fixed rate of interest in exchange for a floating rate .

Receiver Swap : Betrachtung des Swaps aus Sicht desjenigen, der die fixed rate erhält.

Payer Swap : Betrachtung des Swaps aus Sicht desjenigen, der die fixed rate zahlt.

Swap Geschäfts -

… was man unter Swaps versteht… was man unter Swaps versteht


Swap Geschäfts -bestätigung (Teil 1)

Swap Geschäfts -




Swap Geschäfts -




Swap Geschäfts -




Swap


Quelle: ReutersQuelle: Reuters


Swap Quotierungen


Quelle: ISDA

Bond Basis



Basis


Quelle: Trema



Bewertung eines Swaps während


Zahlungstermine des Float-Legs

a 1t 2t

2s1s 3s 4s

Zahlungstermine des Fixed-Legs

Bewertungs-datum

bAbschluß-datum

0t


Swaps während der Laufzeit:

Fixed-Leg ∑ = − ×∆×=I

i iswiiIfix tbBktttaswPV1 1 ),();,(),(:

Der Wert des Fixed-Legs ist gegeben durch:

wobei den Swapsatz zum Ab-schlußdatum des Swaps mit Laufzeit bis tI bezeichnet.

),( Itasw

Bewertung eines Swaps während


Idee zur Bewertung des Float-Legs: Durch den Abschluß einer Serie von FRAs kann sichergestellt werden, daß alle Zahlungen des Float-Legs an den noch nicht gefixten Terminen den Termin-Zinssätzen zum Zeit-punkt b für diese Termine entsprechen.

Der Abschluß des FRAs ist kostenlos.


Swaps während der Laufzeit:

Float-Leg

)t,b(B)t,b(B

)t,b(B

)t,b(B)k;t,t()t,t(z)t,b(B

)t,b(B)k;t,t()t,t;b(zf

)t,b(B)k;t,t()t,t(z:PV

IJ

tbfür

Jfl

J

j jfljjjj

flfloat

−=−=

−+∆××=

×∆×+

×∆×=

=

= +++∑

11

1

0

110101

1 111

11010

Der Abschluß des FRAs ist kostenlos.

Damit ergibt sich für den Wert des Float-Legs:

Bestimmung des Swapsatzes zu


swappayfloatfixedswaprec PVPVPVPV −− −=−=

Zu jedem Zeitpunkt der Laufzeit eines Swaps gilt:

Zu Beginn der Laufzeit eines Swaps gilt:

swappayswaprec PVPV −− −== 0


Swapsatzes zu Beginn der Lauf-zeit

fixedfloat PVPV =

swappayswaprec PVPV −− −== 0

Damit ist der Swapsatz definiert durch:

∑= − ×∆×=−⇔I

i iswiiII taBktttaswtaB1 1 ),();,(),(),(1

∑= − ×∆

−=⇔I

i iswii

II

taBktt

taBtasw

1 1 ),();,(

),(1),(

Der Zusammen-hang zwischen


Umstellen der Bestimmungsgleichung für den Swapsatz ergibt:

Die rechte Seite der Gleichung hat die Struktur der Bewertungsgleichung für einen

∑= − ×∆×+=I

i iswiiII taBktttaswtaB1 1 ),();,(),(),(1


hang zwischen Swaps und Coupon Bonds

Struktur der Bewertungsgleichung für einen Coupon Bond, wobei der Coupon c gleich dem Swapsatz sw ist.

∑= − ×∆×+=I

i iswiiIBond taBkttctaBPV1 1 ),();,(),(

Damit kann der Swapsatz als Par-Coupon für einen Bond interpretiert werden, der die gleiche Kreditqualität wie ein Swap hat.

Vorüberlegun-gen:

Terminpreise für

… was man unter Futures versteht… was man unter Futures versteht

Eine Portfoliostrategie:

• Kaufe zum Zeitpunkt t0 einen Coupon Bond mit Coupon c und Laufzeit bis tI und Coupon-Zahlungsterminen ti, i=1... I

• Finanziere den Kauf durch einen Kredit in Höhe von PVBond


Terminpreise für Coupon Bonds und Terminswap-sätze

Höhe von PVBond

• Verkaufe den Bond auf Termin zum Zeitpunkt tF < tI zum Preis von FPVBond

• Investiere alle zwischen t0 und tF anfal-lenden Couponzahlungen zu den in t0 für den jeweiligen Zahlungstermin gültigen Terminzinsen mit Fälligkeit tF

• Tilge den Kredit zum Zeitpunkt tF


Analyse:

• Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt t0beträgt Null.

• In der Zeit zwischen t0 und tF werden keine zusätzlichen Beträge in das Port-folio investiert, noch werden Beträge aus

Vorüberlegun-gen:

Terminpreise für


folio investiert, noch werden Beträge aus dem Portfolio entnommen. D.h., die Portfoliostrategie ist selbstfinanzierend .

Konsequenz:

• Der Wert des Portfolios zum Zeitpunkt tFmuß ebenfalls Null betragen. Anderenfalls ergäbe sich eine Arbitragemöglichkeit.



Damit läßt sich der Terminpreis des Cou-pon Bonds aus folgender Gleichung bestim-men:

),(

);,(

);,(),(

),();,;(0

0

0

1 10

00

F

IBond

J

i iiF

iIFBond

ttB

cttPV

kttttB

ttBcctttFPV

−

∆××+= ∑= −Vorüberlegun-gen:

Terminpreise für


),( 0 FttB

Dabei ist t1 < tJ < tF. Und tJ ist der letzte Cou-pon Zahlungstermin vor dem Zeitpunkt des Terminverkaufs des Bonds, tF. Nach Umformung folgt:

∑ += −∆××+

=

I

Ji iiF

i

F

IIFBond

kttttB

ttBc

ttB

ttBctttFPV

1 10

0

0

00

);,(),(

),(

),(

),();,;(



Analog zu den vorangegangenen Überle-gungen ergibt sich der Terminswapsatz als Par-Coupon Satz für den Termin Coupon Bond.

= IFIFBond

ttB

tttfswtttFPV 00

),(

)),;(;,;(1

Vorüberlegun-gen:

Terminpreise für


∑ += −∆××+

=

I

Ji iiF

iIF

F

I

kttttB

ttBtttfsw

ttB

ttB

1 10

00

0

0

);,(),(

),(),;(

),(

),(

∑ += −∆×

−=⇔

I

Ji iii

IFIF

kttttB

ttBttBtttfsw

1 10

000

);,(),(

),(),(),;(



Unterschiede FORWARDS FUTURES

TABLE 2.3 (p. 41)

FORWARDS FUTURES

TABLE 2.3 (p. 41)

Finanz-Terminkontrakte (engl.: Forwards) und Finanz-Futures sind insofern gleich, als sie den (Ver-)Kauf eines Finanzinstruments zu einem Termin in der Zukunft zu einem heute festgelegten Preis erlauben. Jedoch gibt es einige wichtige Unterschiede:


Unterschiede zwischen Terminkontrak-ten und Futures

Quelle: Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition, John C. Hull 2005

Private contract between 2 parties Exchange traded

Non-standard contract Standard contract

Usually 1 specified delivery date Range of delivery dates

Settled at end of contract Settled daily

Delivery or final cashsettlement usually occurs

Contract usually closed outprior to maturity

FORWARDS FUTURES

Some credit risk Virtually no credit risk

Private contract between 2 parties Exchange traded

Non-standard contract Standard contract

Usually 1 specified delivery date Range of delivery dates

Settled at end of contract Settled daily

Delivery or final cashsettlement usually occurs

Contract usually closed outprior to maturity

FORWARDS FUTURES

Some credit risk Virtually no credit risk


• Bei Abschluß eines Futures-Kontraktes stellt der Kontraktpartner dem Clearing-haus der Terminbörse eine Initial-Marginin Form von Cash oder Wertpapieren erstklassiger Bonität. Die Margin wird auf das Margin-Konto gebucht.


Daily Settlement und Margins

• Alle Preisveränderungen des Futures werden über das Margin-Konto abge-rechnet.

• Sinkt das Guthaben auf dem Margin-Konto unter einen bestimmten Betrag, erfolgt ein Margin-Call . Der Kontrakt-partner muß dann Variation-Marginstellen.


Gleichheit von Termin - und

Behauptung:

Unter Vernachlässigung des Kontrahenten-ausfallrisikos sind bei deterministischer Zins-


Termin - und Futures-Preis bei determinist-ischen Zinsen

ausfallrisikos sind bei deterministischer Zins-entwicklung Termin- und Futures-Preise für denselben zugrunde liegenden Coupon Bond und für denselben Liefertermin in der Zukunft zum Zeitpunkt des Vertragsab-schlusses und während der gesamten Vertragslaufzeit gleich.


Gleichheit von Termin - und

Begründung:

• Bei deterministischer Zinsentwicklung sind der Termin-Preis und der Futures-Preis für einen Coupon Bond konstant in t. Wäre dies nicht so, könnten zu unterschiedlichen, aber bereits heute sicher bekannten Zeit-

);,;( ctttFPV IFBond

);,;( ctttFuPV IFBond


Termin - und Futures-Preis bei deterministi-schen Zinsen

aber bereits heute sicher bekannten Zeit-punkten kostenlos gegenläufige Positionen in den Verträgen eingegangen und so si-chere Gewinne erzielt werden (Arbitrage-möglichkeit!).

• Am Ende der Laufzeit sind die Auszah-lungsprofile von Termin- und Futures-Verträgen identisch.

• Damit müssen beide Preise identisch sein, sonst Arbitragemöglichkeiten!.


Abweichung von Termin - und

Achtung:Bei stochastischen Zinsen fallen Forward-und Futurespreise auseinander!

Begründung:

• Der Inhaber einer Long-Position im Futures muß bei steigenden Zinsen Ausgleichszahlungen leisten, d.h. er muß


Termin - und Futures-Preis bei stochastischen Zinsen

Ausgleichszahlungen leisten, d.h. er muß Kredit zu ungünstigen Konditionen aufnehmen. Bei fallenden Zinsen erhält er Ausgleichszahlungen, kann diese aber nur zu ungünstigen (weil niedrigeren) Zinsen anlegen.

• Damit muß der Futurespreis unter dem Forwardpreis liegen.


Contract SpecificationsVersion 08 Jul 2005

Contract StandardNotional long-term debt instrument issued by the Federal Republic of Germany with a six percent coupon.Contract ValueEUR Fixed Income Futures: EUR 100,000


.Beispiel: Bund-Futures

EUR Fixed Income Futures: EUR 100,000SettlementA delivery obligation arising out of a short position in a Bund Futures contract may only be fulfilled by the delivery of certain debt securities issued by the Federal Republic of Germany with a remaining term on the Delivery Day of 8.5 to 10.5 years.Such debt securities have a minimum issue amount of EUR 5 billion.


Price Quotation and Minimum Price ChangeThe Price Quotation is in percent of the par value. The Minimum Price Change is 0.01% or EUR 10.Delivery DayThe tenth calendar day of the respective quarterly month, if this day is an exchange trading day; otherwise, the following exchange



trading day.Contract MonthThe three successive quarterly months of the March, June, September and December cycle.NotificationClearing members with open short positions on the Last Trading Day of the maturing delivery month must notify Eurex which debt instruments they will deliver. Such notification must be given by the end of the Post-Trading Full Period (20:00 CET).


Last Trading DayTwo exchange trading days prior to the Delivery Day of the relevant delivery month. Trading in the maturing delivery month ceases at 12:30 CET.Daily Settlement PriceThe closing price determined within the closing auction;



auction; if no price can be determined in the closing auction or if the price so determined does not reasonably reflect the prevailing market conditions, the daily settlement price will be the volume-weighted average price of the last five trades of the day, provided that these are not older than 15 minutes; or, if more than five trades have occurred during the final minute of trading, the volume-weighted average price of all trades that occurred during that period……


Daily Settlement Price…… If such a price cannot be determined, or if the price so determined does not reasonably reflect the prevailing market conditions, Eurex will establish the official settlement price.



Final Settlement PriceThe volume-weighted average price of the last ten trades of the day, provided that these are not older than 30 minutes; or, if more than ten trades have occurred during the final minute of trading, the volume-weighted average price of all trades that occurred during that period. The Final Settlement Price is determined at 12:30 CET on the Last Trading Day.


Deliverable BondsExpiry month Dec 2005

Deliverable Bond ISIN

Coupon Rate (%)

Maturity Date

Conversion Factor

DE0001135259 4.25 04.07.2014 0.885160 DE0001135267 3.75 04.01.2015 0.846069 DE0001135283 3.25 04.07.2015 0.803899 Ergebnis für den Inhaber einer Verkaufsposi -



Ergebnis für den Inhaber einer Verkaufsposi -tion im Bundfutures bei Final Settlement:

( ) 000.100 nStückzinse

factorConversion

__

_EUR

PV

FuPV

iBondiBond

Bond_iiBond ×

−−

×

Lieferoption:Der Inhaber der Verkaufsposition liefert die Anleihe aus der obigen Liste, die sein Ergebnis bei Lieferung maximiert. Diese Anleihe heißt Cheapest to Deliver (CTD).


Zusammenhang zwischen theore-tischem Futures -

Problemstellung:Durch den Conversion-Factor wird keine exakte Barwert-Bewertung der einem Fu-tures zugrundeliegenden Anleihe auf Basis der jeweils akuellen Zinskurve erreicht. Au-ßerdem enthält der börsenquotierte Futu-res-Preis keine aufgelaufenen Stückzinsen.


.

tischem Futures -Preis und dem börsenquotierten Futures-Preis

res-Preis keine aufgelaufenen Stückzinsen. Damit entspricht der börsenquotierte Fu-tures-Preis nicht dem oben abgeleiteten theoretischen Futures Preis. Der Zusam-menhang ist gegeben durch:

CTD

CTDCTDexchCTD

FuPVFuPV

factorConversion

nStückzinse;

−=


Begriffsdefinition• Open Interest:

das Gesamtvolumen der offenen Positionen, d.h., entweder Summe aller Kauf- oder Verkaufspositionen

• Volume:


.Volume und Open Interest

• Volume:Handelsumsatz in einer Handelsperiode

Fragen• Wie verändert sich das Open Interest bei

Abschluß eines neuen Kontraktes?

• Kann das Handelsvolumen in einer Periode größer sein als das Open Iterest in dieser Periode?


Beispiel Bund-Futures


.Volume und Open Interest

… was eine Zinskurve ist… was eine Zinskurve ist

Die „Zinskurve“ oder „Yield-Curve“ ist eine Funktion, die einem bestimmten Beobach-tungszeitpunkt s und einer Fälligkeit bzw. Endzeitpunkt t einen Zinssatz ir (s,t) zuord-net:

( ) ≤→ℜ→ℜ×ℜ ++


.Darstellungen( ) tststs ≤→ ; ,ir,

Interpretationen:• Swapkurve: ir (s,t)= sw(s,t) bezeichnet

den Swapsatz beobachtet zum Zeitpunkt s für einen Swap mit Endzeitpunkt in t.

• Zero-Yield-Curve: ir (s,t)= y(s,t) bezeichnet die cont. compounded Rendite eines Zero Coupon Bonds mit Fälligkeit t beobachtet zum Zeitpunkt s.


Die Zero Coupon Bond Curve ist eine Funktion, die einem bestimmten Beobach-tungszeitpunkt s und einer Fälligkeit t den Preis eines Zero Coupon Bonds B(s,t)zuordnet:

+++


.Darstellungen ( ) tstsBts ≤→ℜ→ℜ×ℜ +++

; ,,


Eine „Termin-Zinskurve“ oder Forward-Curve ist eine Funktion, die einem be-stimmten Beobachtungszeitpunkt s, einem Termin t und einer Fälligkeit u einen Termin-Zinssatz F(s;t,u) zuordnet:

( ) ≤≤→ℜ→ℜ×ℜ×ℜ +++


.Darstellungen( ) utsutsfuts ≤≤→ ; ,,,,

Interpretationen:• 1-Tages-Terminzinskurve: f(s;t,t+1Tag)

bezeichnet die cont. compounded Termin-Rendite einer Null-Coupon Anleihe, beobachtet zum Zeitpnkt s, erworben zum Termin t, fällig in t+1 Tag.

• Alternativ könnten auch Fälligkeiten von t+1Monat, t+1 Jahr etc. betrachtet werden.


Zinskur -

Trade date 31-Dec-03 Source Mode: HIST Quote: MID Date Adfin DF

IRS Structure TR_USD_AM3LCCY code USD

Swap RIC mid AM3L Rate Structure (DF) RM:YC IM:CUBD ZCTYPE:DFSwap RIC end AdMode (DF) RET:A32

Real time update FRQ:500SDays to swap 2

Calendar USAInput to Adfin zero curve Adfin zero curve

PeriodInstrument

TypeInput quote

Used Instrument

Start DateMaturity

DateCoupon

RateMarket

Instrument Structure

Date Adfin DF

ON D 1.09% D 31-Dec-03 2-Jan-04 0% 1.09% USD 31-Dec-03 1.0000000TN D 1.03% D 2-Jan-04 5-Jan-04 0% 1.03% USD 02-Jan-04 0.9999397SW D 1.04% D 5-Jan-04 12-Jan-04 0% 1.04% USD 05-Jan-04 0.99985392W D 1.02% D 5-Jan-04 20-Jan-04 0% 1.02% USD 12-Jan-04 0.99965183W D #VALUE! 5-Jan-04 26-Jan-04 0% #VALUE! USD 20-Jan-04 0.99942911M D 1.06% D 5-Jan-04 5-Feb-04 0% 1.06% USD 05-Feb-04 0.9989421

LBOTH CLDR:USA ACC:MMA0 ARND:NO CCM:MMA0 CFADJ:YES CRND:NO DMC:MODIFIED EMC:SAMEDAY IC:S1 PDELAY:0 REFDATE:MATURITY RP:1 RT:BULLET XD:NO LPAID LTYPE:FIXED FRQ:Y LRECEIVED LTYPE:FLOAT SPREAD:0 FRQ:Q

Marktda-ten Input berechnete Preise von

Zero Coupon Bonds


Zinskur -ven: ein reales Beipsiel

1M D 1.06% D 5-Jan-04 5-Feb-04 0% 1.06% USD 05-Feb-04 0.99894212M D 1.08% D 5-Jan-04 5-Mar-04 0% 1.08% USD 05-Mar-04 0.99805743M D 1.11% D 5-Jan-04 5-Apr-04 0% 1.11% USD 05-Apr-04 0.99705634M D 1.13% D 5-Jan-04 5-May-04 0% 1.13% USD 05-May-04 0.99607085M D 1.14% D 5-Jan-04 7-Jun-04 0% 1.14% USD 07-Jun-04 0.99500166M D 1.16% D 5-Jan-04 6-Jul-04 0% 1.16% USD 06-Jul-04 0.99399277M D #VALUE! 5-Jan-04 5-Aug-04 0% #VALUE! USD 05-Oct-04 0.99035648M D #VALUE! 5-Jan-04 7-Sep-04 0% #VALUE! USD 05-Jan-05 0.98582249M D 1.26% D 5-Jan-04 5-Oct-04 0% 1.26% USD 05-Jan-06 0.957531310M D #VALUE! 5-Jan-04 5-Nov-04 0% #VALUE! USD 05-Jan-07 0.919520311M D #VALUE! 5-Jan-04 6-Dec-04 0% #VALUE! USD 07-Jan-08 0.87602501Y D 1.40% D 5-Jan-04 5-Jan-05 0% 1.40% USD 05-Jan-09 0.83055892Y S 2.15% S 5-Jan-04 2Y 0% 2.15% TR_USD_AM3L 05-Jan-10 0.78702753Y S 2.77% S 5-Jan-04 3Y 0% 2.77% TR_USD_AM3L 05-Jan-11 0.74358414Y S 3.26% S 5-Jan-04 4Y 0% 3.26% TR_USD_AM3L 05-Jan-12 0.70071565Y S 3.65% S 5-Jan-04 5Y 0% 3.65% TR_USD_AM3L 07-Jan-13 0.65901506Y S 3.92% S 5-Jan-04 6Y 0% 3.92% TR_USD_AM3L 06-Jan-14 0.61935387Y S 4.14% S 5-Jan-04 7Y 0% 4.14% TR_USD_AM3L 05-Jan-16 0.54709448Y S 4.34% S 5-Jan-04 8Y 0% 4.34% TR_USD_AM3L 07-Jan-19 0.45035199Y S 4.50% S 5-Jan-04 9Y 0% 4.50% TR_USD_AM3L 05-Jan-24 0.327363610Y S 4.64% S 5-Jan-04 10Y 0% 4.64% TR_USD_AM3L 05-Jan-29 0.243796912Y S 4.85% S 5-Jan-04 12Y 0% 4.85% TR_USD_AM3L 05-Jan-34 0.187161115Y S 5.08% S 5-Jan-04 15Y 0% 5.08% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.000000020Y S 5.29% S 5-Jan-04 20Y 0% 5.29% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.000000025Y S 5.36% S 5-Jan-04 25Y 0% 5.36% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.000000030Y S 5.36% S 5-Jan-04 30Y 0% 5.36% TR_USD_AM3L 00-Jan-00 0.0000000


Bootstrapping

Zielsetzung : Leite aus den beobachtbaren nicht-optionalen Zinsinstrumenten am Markt eine Yield-, Zero-Coupon-Bond oder Forwad-Curve so ab, daß:

• alle beobachtbaren Zinsinstrumente, die in die Konstruktion der Kurve eingeflos-


.

Bootstrapping und Zinskurven-interpolation: Einführung

in die Konstruktion der Kurve eingeflos-sen sind auf Basis der Kurve korrekt be-wertet werden

• andere nicht-optionale Zinsinstrumente mit Zahlungen zu beliebigen Zeitpunkten auf Basis der Kurve bewertet werden können.


Bootstrapping

Ansätze : Eine eindeutige Vorgehensweise zur Konstruktion hat sich in der Praxis bis-her nicht herausgebildet. Wir betrachten drei Varianten und diskutieren ihre Vor- und Nachteile:

1. Bootstrapping von Zero Coupon Bond Preisen aus Geldmarkt, FRAs und Swap-


.

Bootstrapping und Zinskurven-interpolation: Einführung

Preisen aus Geldmarkt, FRAs und Swap-sätzen; danach lineare Interpolation der daraus berechneten continuously comp-ounded (cc) Zero Coupon Bond Zissätze

2. wie zuvor, jedoch lineare Interpolation von 1-Tages cc Zero Coupn Bond Terminzins-sätzen

3. Lineare Interpolation der Geldmarkt und Swapsätze und Bootstrapping von Zero Coupon Bondpreisen für alle Fälligkeiten aus dieser Kurve.


Bootstrapping und Zinskurven -

Beobachtete Marktzinssätze in t 0 :Geldmarktsätze: ON, TN, SW, 2W-4W, 2M-12MFRAs: 2X14, 3X15, 6X18, 9X21, 12X24Swapsätze:3Y-30Y

Bootstrapping der Gelmarktsätze:


.und Zinskurven -interpolation:

Ansatz 1


),(),();,(),;(1

100

0nm

nmnm

ttBttBktttttzf

=×∆×+

),();,(),(1

10

00j

jj

ttBkttttz

=∆×+

Bootstrapping der FRAs:



Bootstrapping der Swapsätze:nehme an, alle Zero Coupon Bond Preise bis B(t0,tn) seien bereits ermittelt worden:

),(),();,(1

),();,(),(110

1 0110

+++

= −+=

×∆+

×∆×− ∑n

n

i iswiinttB

ttswktt

ttBkttttsw



Ansatz 1

Interpolation:Gegeben seinen die Stützstellen B(t0,tn) und B(t0,tn+k), gesucht sei B(t0,tn+i) mit tn < tn+i < tn+k und k auf 1-Tages-Basis:

),();,(1 10101

+++ ×∆+ n

nswnn ttswktt

))(),(exp(),(

),(),(),(

000

000

ttttyttB

tt

tttty

tt

ttttytty

ininin

nkn

inknn

nkn

ninknin

−×−=−

−×+

−−

×=

+++

+

++

+

+++



Anmerkung:Falls zwischen zwei beobachteten Swapsätzen mehrere Jahre liegen, kombiniere lineare Interpolation der Zero Coupon Bond Zinssätze und Bootstrapping des nächsten bekannten



Ansatz 1

und Bootstrapping des nächsten bekannten Swaps zur impliziten Bestimmung der Steigung der Kurve der Zero Coupon Bond Zinskurve. Verfahren analog zur Vorgehensweise bei der Interpolation von 1-Tages-Terminzinssätzen, wie auf Folien 75 und 76 dargestellt.



Ausgangssituation:gegeben seien alle Zero Coupon Bond Preise B(t0,t.), soweit sie mittels Bootstrapping wie in Ansatz 1 aus den beobachteten Zinssätzen er-mittelt werden konnten.



Ansatz 2

Startpunkt der Interpolation:Startpunkt der Interpolation ist der cc Zero Coupon Bond Zins, der aus dem aus dem ON-Zinssatz ermittelten Zero Coupon Bond B(t0,t1)ermittelt wurde:

),(),(ln

),;( 1001

10100 tty

tt

ttBtttf =

−−=



Idee für die weitere Interpolation:nutze den Zusammenhang zwischen cc Zero Coupon Bond Zinssätzen und Terminzinssät-zen in stetiger Zeit und übertrage diesen auf ein Diskretisierung von 1 Tag:



Ansatz 2∫−

=jt

tjj dsstf

tttty

0

);(1

),( 00

0

Formel in stetiger Zeit:

Übertragung auf 1-Tages-Diskretisierung:

∑ = −=n

i iin tttfn

tty1 100 ),;(

1),(



Annahmen für die weitere Interpolation:Gegeben seien aus früheren Interpolations-schritten f(t0;tn-1,tn), sowie aus dem Bootstrap-ping die Zero Coupon Bonds B(t0,tn) und B(t0,tn+k), k gemessen in Tagen. Weiterhin be-stehe folgender linearer Zusammenhang:



Ansatz 2

0 n+kstehe folgender linearer Zusammenhang:

kik

iatttftttf nninin ≤≤×+= −+−+ 1 ; ),;(),;( 10)1(0



Bestimmung von a:Gemäß Folie 73 gewährleistet folgende Bestim-mungsgleichung für a die Verträglichkeit der in-terpolierten Terminzinssätze und der aus den Marktdaten abgeleiteten Zero Coupon Bond Preise:



Ansatz 2

Preise:

),;(1

exp

),(),(

1 10

00

×+×

=

∑ = −

+

k

i nn

nkn

k

iatttf

k

ttBttB



Beobachtete Marktzinssätze in t 0 :Geldmarktsätze: ON, TN, SW, 2W-4W, 2M-12MSwapsätze:2Y-30Y

inknnin tttt −×+

−×= +++

Interpolation der Geldmarktsätze :



Ansatz 3

nkn

inknn

nkn

ninknin tt

ttttz

tt

ttttzttz

−−

×+−−

×=+

++

+

+++ ),(),(),( 000

nkn

inknn

nkn

nknin tt

ttttsw

tt

ttttswttsw

−−

×+−

−×=

+

++

+++ ),(),(),( 000

Interpolation der Swapsätze :Betrachte den 12M Geldmarktsatz als ersten Swapsatz.




),();,(),(1

10

00j

jj

ttBkttttz

=∆×+



Ansatz 3

Bootstrapping der Swapsätze:nehme an: alle Zero Coupon Bond Preise bis B(t0,tn) seien bereits ermittelt worden:

),(),();,(1

),();,(),(110

101

1 0110

+++

= −+=

×∆+

×∆×− ∑n

nswnn

n

i iswiinttB

ttswktt

ttBkttttsw



Beachte beim Bootstrapping der Swapsätze:• Im Gegensatz zu Ansatz 1, wo der Abstand

zwischen tn und tn+1 1 oder mehrere Jahre betragen hat, beträgt er hier exakt 1 Tag.

• Das Bootstrapping liefert ein anderes



Ansatz 3

• Das Bootstrapping liefert ein anderes Ergebnis, je nach dem ob man die verkürzte Periode des Swaps an den Anfang oder an das Ende der Swaplaufzeit setzt.

• Die für die Interpolation verwendeten Swap-sätze müssen die gleiche Zahlungsfrequenz (Compounding Frequency) z.B. jährlich, halb-jährlich, vierteljährlich besitzen.


Boot-strap-ping und

Flache ZinskurveLZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,5000%Zero Bonds 99,9932% 97,5310% 95,1229% 92,7743% 90,4837% 88,2497% 86,0708%Swaps 2,5001% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315% 2,5315%

Interpolation Zero Zinsen

0,03


.

ping und Zinskur-veninter-polation:

Beispiele

0,02

0,025

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze Interpol ZY

1dfwdrate

Swapsätze


Boot-strap-ping und


Zinskurven bei Interpolation 1-Tages-Terminzinsen

0,03


.


Beispiele

0,02

0,025

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze 1dfwdrate

Swapsätze

ZY


Boot-strap-ping und


Interpolation Swapsätze

0,04


.


Beispiele

0,02

0,025

0,03

0,035

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze 1dfwdrate

Swapsätze

ZY


Boot-strap-ping und

Linear ansteigende Zinskurve ab Jahr 3LZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5000% 2,5000% 2,6000% 2,7000% 2,8000% 2,9000%Zero Bonds 99,9932% 97,5310% 95,1229% 92,4964% 89,7628% 86,9358% 84,0297%Swaps 2,5001% 2,5315% 2,5315% 2,6314% 2,7306% 2,8287% 2,9256%


0,04


.


Beispiele

0,02

0,025

0,03

0,035

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze Interpol ZY

1dfwdrate

Swapsätze


Boot-strap-ping und



0,04


.


Beispiele

0,02

0,025

0,03

0,035

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze 1dfwdrate

Swapsätze

ZY


Boot-strap-ping und



0,04


.


Beispiele

0,02

0,025

0,03

0,035

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze 1dfwdrate

Swapsätze

ZY


Boot-strap-ping und

Zinskurve mit Maximum bei 3 und 4 JahrenLZ ON 1 2 3 4 5 6CC Zero Zinsen 2,5000% 2,5500% 2,6000% 2,6500% 2,6500% 2,6000% 2,5500%Zero Bonds 99,9932% 97,4822% 94,9329% 92,3578% 89,9425% 87,8095% 85,8130%Swaps 2,5001% 2,5828% 2,6334% 2,6836% 2,6840% 2,6356% 2,5873%


0,03


.


Beispiele

0,02

0,025

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze Interpol ZY

1dfwdrate

Swapsätze


Boot-strap-ping und



0,03


.


Beispiele

0,02

0,025

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze 1dfwdrate

Swapsätze

ZY


Boot-strap-ping und



0,03


.


Beispiele

0,02

0,025

0 1 2 3 4 5 6

Jahre

Zin

ssät

ze 1dfwdrate

Swapsätze

ZY

… welche Zinsrisikomaße es gibt… welche Zinsrisikomaße es gibt

Definition

Ausgangspunkt Bewertungsgleichung Coupon Bond:

∑

∑

=−×−−×−

= −

×∆×+=

×∆×+=I

i

ttttyi

tttty

I

i iBondiiIBond

iiII ece

ttBkttcttBPV

1

))(),(())(),((

1 010

0000

),();,(),(


.

Definition Duration und Convexity

Taylorentwicklung nach y bis zur zweiten Ableitung ergibt:

2

21 02

002

0

1 0000

)(Convexity 2

1Duration

)(),()(),()(

2

1

),()(),()(

yy

yPV

ttBttcttBtt

yPV

ttBttcttBtt

PV

PV

Bond

I

i iiiII

Bond

I

i iiiII

Bond

Bond

∆××+∆×−=

∆×

×−×∆×+×−

×+

∆×

×−×∆×+×−

−≈∆

∑

∑

=

=


Definition

Ausgangspunkt Bewertungsgleichung Coupon Bond:

∆×+×=

×∆×+=

∑

∑ = −

I i

I

i iBondiiIBond

c

ttBkttcttBPV1 010

11

),();,(),(


.

Definition modified Dura-tion

+

∆×+

+

×

−×+

= ∑ =

I

i ttMt

ittM

tti

i

I

I

m

zc

m

zm

ttz 1 ),(),(01

001

11

1

)(1

1

Taylorentwicklung nach z bis zur ersten Ableitung ergibt nach exzessiver Rech-nerei:

……


zttM

cttMtt

z

m

z

mttMc

m

z

mttM

PVm

tt

m

ttzPV

PV

I iiIzz

I

i ttMt

iittM

t

I

BondtBond

Bond

t

i

i

I

I

∆×

×∆×+×+

−×−=

∆×

+

×∆×+

+

×+−

×

−×+

−≈∆

∑

∑

≡

= ++

• ),(),(11)(1

1

),(

1

),(1)(

)(1

1

0001

1 1),(0

1),(001

0100

1


.

zz

m

z

z

m

z

ttMc

m

z

ttM

mPVm

z

z

m

z

ttMc

m

z

ttM

mPVm

zm

tt

m

ttz

I

i ttMii

ttMI

Bond

tt

I

i ttMii

ttMI

Bond

iI

iI

∆×=∆××

+=

∆×

+

×∆×+

+

××

×

+=

∆×

+

×∆×+

+

××

++

−×

−×+−=

∑

∑

=

=

=

Duration modified Duration 1

1

1

),(

1

),(1

1

1

1

),(

1

),(1

1

1)(

)(1

1

1 ),(0

),(0

1 ),(0

),(001

01

00

01

00


Kommentare

Beachte:

Bei der Darstellung mit cc Zinssätzengilt die Approximationsformel für die Än-derung des Bondpreises bei Änderung der Zinssätze unter wesentlich schwächeren Annahmen als bei der Darstellung mit peri-odischer Zinseszinsrechung:


.

Kommentare (modified) Dura-tion und Convexity

odischer Zinseszinsrechung:

• Es mußte nicht unterstellt werden, daß die Ausgangszinskurve flach ist.

• Es mußte keine Annahme über die Länge der Teilperioden getroffen werden. Insbesondere bleibt die Formel auch bei ungerader erster Periode gültig.


Kommentare

Aber:

Alle Darstellungen von Wertveränderun-gen von Anleihen bei Ändeurng der zu-grundeliegenden Zinsen mit Hilfe von Duration und Convexity unterstellen eine parallele Verschiebung der Zinskurve.


.

Kommentare (modified) Dura-tion und Convexity

parallele Verschiebung der Zinskurve.

Daher ist es in der Praxis üblich, die mög-lichen Wertveränderungen von Zinsrisiko-positionen bei Änderung der zugrundelie-genden Zinssätze für verschiedene Lauf-zeitbänder (Buckets) getrennt anzugeben.

Man spricht von PVBP (present value of a basis point) oder PV01 pro bucket .


Hedging mit

Problemstellung:

Gegeben seien zwei Bonds, Bond1(c1,T1)und Bond2(c2,T2), mit unterschiedlichen Coupons und Fälligkeiten. Bond2 soll durch Bond1 gehedged werden. D.h. es soll gerade eine solche Position in Bond1


.

Hedging mit Duration und Convexity

soll gerade eine solche Position in Bond1 eingegangen werden, daß die Wertverän-derungen in dieser Position die Wertverän-derungen in der Position in Bond2 gerade ausgleichen.

Welche Position in Bond1 muß eingegan-gen werden?


Hedging mit

Hedgeratio auf Durationbasis:

11

2221

222

!

11111

Duration

Duration

Duration

Duration

BondBond

BondBondBondBond

BondBondBond

BondBondBondBondBond

PV

NPVN

yNPV

yNPVNPV

×××

=⇔

∆×××−=

∆×××−=×∆


.

Hedging mit Duration und Convexity

Hedgeratio auf Duration- und Convexitybasis:

111

2222

1

222

22

!

112

1111

Convexity 21

Duration

Convexity 21

Duration

)( Convexity 2

1 Duration

)( Convexity 2

1 Duration

BondBondBond

BondBondBondBond

Bond

BondBondBondBond

BondBondBondBondBondBond

PVy

NPVy

N

NPVyy

NPVyyNPV

×

∆××+−

××

∆××+−=⇔

××

∆××+∆×−=

××

∆××+∆×−=×∆


Hedging mit

Hedging von Bonds mit Swaps:

Berechne Duration und Convexity des Bonds und des Swaps und wende obige Gleichungen für die Hedgeratio an. Approximativ genügt es bei langlaufenden Swaps, das Fixed Leg des Swaps darge-


.

Hedging mit Duration und Convexity: Anwendungen

Swaps, das Fixed Leg des Swaps darge-stellt als Coupon Bond zu betrachten.

Hedging von Bonds mit Futures:

Berechne Duration und Convexity der Terminpreise des Bonds und des vermutlichen CTDs, letzterer multipliziert mit dem Conversion Faktor, und wende obige Gleichungen für die Hedgeratio an.


Hedging mit

Anmerkungen:Die oben dargestellten Hedges sind aus verschiedenen Gründen nicht perfekt, d.h. nicht völlig risikofrei:• Swap- und Bondzinsen entwickeln sich

nicht immer parallel. D.h. der Spread zwischen Swaps und Bonds kann


.

Hedging mit Duration und Convexity: Anwendungen

zwischen Swaps und Bonds kann schwanken.

• Der CTD im Futures kann sich während der Laufzeit ändern.

• Der Futurespreis entspricht in der Reali-tät (richtigerweise) nicht dem Forward-preis. Der Unterschied zwischen beiden ist zufallsabhängig.

• Die Hedgeratios gelten nur lokal. Bei jeder marginalen Zinsänderung müßte der Hedge dynamisch angepaßt werden.


Modul III

• was man unter Aktienoptionen versteht,

• was man aus statischen Portfoliostrategien über die Bewertung von Optionen lernen kann,

• was man unter Zustandspreisen versteht


• was man unter Zustandspreisen versteht und wie man damit Derivate bewertet,

• wie man die Konzepte der Duplikation und der No-Arbitrage auf dynamische Wertpa-piermärkte übertragen kann,

• wie man ein dynamisches Bewertungs-modell für Optionen konstruiert und darin Optionen bewertet.

Aktienoptionen

… was man unter Aktienoptionen ver… was man unter Aktienoptionen ver--stehtsteht

Definition Call:

Europäischer Call:Ein Europäischer Call auf eine Aktie einer be-stimmten Gattung ist ein Finanzinstrument, das seinem Käufer das Recht gibt, eine Aktie die-ser Gattung zu einem festen Termin in der Zukunft zu einem zum Kaufzeitpunkt der Option festgelegten Strikepreis zu erwerben .


.Europäischer vs. Amerikanischer Call

Option festgelegten Strikepreis zu erwerben .

Amerikanischer Call:Im Gegensatz zum Europäischen Call kann der Käufer beim Amerikanischen Call nicht nur zum Fälligkeitszeitpunkt , sondern jederzeitzwischen Erwerbszeitpunkt und Fälligkeitszeit-punkt des Calls entscheiden, ob er die Aktie zum festgelegten Preis erwerben möchte oder nicht.


Definition Put:

Europäischer Put:Ein Europäischer Put auf eine Aktie einer be-stimmten Gattung ist ein Finanzinstrument, das seinem Käufer das Recht gibt, eine Aktie die-ser Gattung zu einem festen Termin in der Zukunft zu einem zum Kaufzeitpunkt der Option festgelegten Strikepreis zu verkaufen .


.Europäischer vs. Amerikanischer Put

Option festgelegten Strikepreis zu verkaufen .

Amerikanischer Put:Im Gegensatz zum Europäischen Put kann der Käufer beim Amerikanischen Put nicht nur zum Fälligkeitszeitpunkt , sondern jederzeitzwischen Erwerbszeitpunkt und Fälligkeitszeit-punkt des Puts entscheiden, ob er die Aktie zum festgelegten Preis verkaufen möchte oder nicht.


Payoffprofile zum

Payoff Payoff

ST STK

K

Payoff Payoff

ST STK

K

Long Call Short Call


.

Payoffprofile zum Ausübungszeit-punkt

ST STK

K

Payoff Payoff

ST STK

K

Short PutLong Put

K:= Strikepreis

ST:= Aktienkurs bei Ausübung


Long Call

PayoffPayoff

FS(t;T)Kout-of-the-money

in-the-money


.Moneyness at-the-money

Kout-of-the-money

Beachte:

Die korrekte Bestimmung der Moneyness bezieht sich auf die Lage des Terminprei-ses der Aktie relativ zum Strikepreis der Option.


tstsD

tD

tS

t

t

in zahlbar in Dividendeder Schätzung :),(~

Zeitpunktzumzahlbar Dividende :

Zeitpunktzum Aktienkurs :

=

==

ts

tsB

tsBDStsFS

tti itsi

i

in fällig in Aktieder sTerminprei

;),(

),(:);(

|∑ ≤×−

=

K sStrikeprei :=


.Notation TKS

E)C(S,K,T

K

Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 auf Caller Europäisch

:,

sStrikeprei :

==

TKS

tE)S,K,TPVC(t

TKS

A)P(S,K,T

TKS

E)P(S,K,T

TKS

A)C(S,K,T

Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1

auf Callsen Europäisch eines in Preis :,;

Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 aufPut cher Amerikanis

:,

Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 aufPut er Europäisch

:,

Fälligkeit und sStrikepreimit Aktie 1 auf Callcher Amerikanis

:,

=

=

=

=

… was man aus statischen Portfoliostra… was man aus statischen Portfoliostra--tegien lernen kanntegien lernen kann

Preisober - und

0),,;(),,;( ≥≥≥ ETKtPVCATKtPVCSt

Call

),(),(),,;( TtBKttBDSETKtPVC Dtt D×−×−≥

P1: 1 Aktie; P2: C(K,T,A); P3: C(K,T,E)


.

Preisober - und Untergrenzen für Calls

P1: 1 AktieP2: C(K,T,E) + ),(),( TtBKttBD DtD

×+×

KSATKtPVC t −≥),,;(

Zahlung bei (vorzeitiger) Ausübung

)/,,;()/,,;( 2121 AETKtPVCAETKtPVCKK ≤⇒≥

P1: C(K1,T,E/A); P2: C(K2,T,E/A)


Konsequenzen

22121 );,,;(),,;(;0 TtETKtPVCETKtPVCTTD ≤∀≥⇒≥=•

Call

)E,T,K;T(PVC

);KSmax(

));T,T(BKSmax()E,T,K;T(PVC

T

T

22

1212

0

0

2

2

=

−≥

×−≥denn:


.

Konsequenzen der Dividenden-losigkeit

TtKSATKtPVCD t <∀−>⇒=• ;),,;(0

Außerdem:

)0;max(

)0);,(max(

),,;(),,;(

KS

TtBKS

ETKtPVCATKtPVC

t

t

−>×−≥

≥

denn:

Also:TtETKtPVCATKtPVCD <∀=⇒=• );,,;(),,;(0


Preisober - und

0),,;(),,;( ≥≥≥ ETKtPVPATKtPVPK

Put

),(),(),,;( TtBKttBDSETKtPVP Dtt D×+×+−≥

P1: K; P2: P(K,T,A); P3: P(K,T,E)

P1: 1 Aktie + P(K,T,E)


.

Preisober - und Untergrenzen für Puts

P1: 1 Aktie + P(K,T,E)P2: ),(),( TtBKttBD DtD

×+×

tSKATKtPVP −≥),,;(

Zahlung bei (vorzeitiger) Ausübung

)/,,;()/,,;( 2121 AETKtPVPAETKtPVPKK ≥⇒≥

P1: P(K1,T,E/A); P2: P(K2,T,E/A)


Fehlende

221

21

);,,;(),,;(

nicht folgt ;0

TtETKtPVPETKtPVP

TTD

≤∀≥≥=•

Put

Außerdem:

SKATKtPVP t−≥ )0;max(),,;(


.

Fehlende Konsequenzen der Dividenden-losigkeit

TtSTtBK

SKATKtPVP

t

t

<−×>−≥

);0;),(max(

)0;max(),,;(

Damit kann es auch bei dividendenlosen Ak-tien zu vorzeitigen Ausübungen von Puts kommen.

Also:

TtETKtPVPATKtPVP <∀≥ );,,;(),,;(


tdt SttBDTtBK

ETKtPVCETKtPVP

d−×+×+

=),(),(

),,;(),,;(

Europäische Optionen


.Put-Call-Parität Kauf: P(K,T,E)Verkauf: C(K,T,E)Kauf: Aktie SKreditaufnahme: K X B(t,T)Kreditaufnahme: D X B(t,td)


tdt

t

SttBDKATKtPVC

ATKtPVP

STtBKATKtPVC

d−×++

≤≤−×+

),(),,;(

),,;(

),(),,;(Amerikanische Optionen

Nehme an, die Ungleichung sei nicht erfüllt Nachweis 1. Ungleichung:


.Put-Call-Parität

Nehme an, die Ungleichung sei nicht erfüllt und betrachte folgende Portfolien:P1: Verkauf: C(K,T,A),

Kreditaufnahme: K X B(t,T) P2: Kauf: Aktie S und P(K,T,A)

Nehme an, die Ungleichung sei nicht erfüllt und betrachte folgende Portfolien:P1: Verkauf: P(K,T,A) und Aktie SP2: Kauf: C(K,T,A); Anlage Dtd

in Bond B(t,td), Kassenhaltung i.H.v. K

Nachweis 2. Ungleichung:


Box-Spreads: Zusammenhang


Payoff

STK2K1

K2-K1

Box


.

Zusammenhang zwischen Optio-nen und Geld-markt

Kauf: C(K 1,T,E); Verkauf: P(K 1,T,E)Kauf: P(K 2,T,E); Verkauf: C(K 2,T,E)

Der Preis dieser Optionsposition zum Zeitpunkt t beträgt:

),()( 12 TtBKK ×−Damit ist diese Position – je nach Laufzeit der Optionen äquivalent zu einer Anlage am Geld- oder Kapitalmarkt.


Butterfly -


Payoff

STK1 K3K2


.

Butterfly -Spreads: Konvexität von Optionspreisen Kauf: C(K 1,T,E); Kauf: C(K 3,T,E)

Verkauf: 2xC(K 2,T,E)

Es gilt:

0),,;(2),,;(),,;(

)(2

1

231

312

>×−+

⇒+=

ETKtPVCETKtPVCETKtPVC

KKK


Butterfly -


Das vorige Ergebnis läßt sich auf beliebige Konvexkombinationen von Strikepreisen übertragen. Es gilt:

0),,;(),,;()1(),,;(

))1(( );1,0(

231

312

>−−+⇒−+=∈

ETKtPVCETKtPVCETKtPVC

KKK

λλλλλ


.

Butterfly -Spreads: Konvexität von Optionspreisen

231

Payoff bei gegebenem Zustand der Welt in T

Position

0

0 0 0

0 0

Summe Payoff

0 > 0 0

1KST < 21 KSK T <≤ TSK <332 KSK T <≤

)( 1KCλ

)()1( 3KCλ−

)( 2KC−

)( 1KST −λ )( 1KST −λ )( 1KST −λ

))(1( 3KST −− λ

2KST − 2KST −

0

)1( 3

>−−+

T

T

S

KS λλ

… was man unter Zustandspreisen … was man unter Zustandspreisen verstehtversteht

Butterfly-Spreads:


Payoff

STK2∆−= 21 KK ∆+= 23 KK

Flächen-inhalt 1€!

∆1


.

Spreads: Zusammenhang mit Zustands-preisen

Es gilt für den Wert dieses Portfolios:

22

22

2222

0

);(

);();();();(1lim

K

KtPVC

KtPVCKtPVCKtPVCKtPVC

∂∂

=

∆∆−−−

∆−∆+

∆→∆

Kauf: 1/( )² C(K 1,T,E); Kauf: 1/( )² C(K 3,T,E)Verkauf: 2/( )²xC(K 2,T,E)


Intuitive Bewertungsregel:Wert = Summe über Menge x Einzelpreis

Derivatebewer -

Anwendung auf Derivate, deren Auszahlung nur von S T abhängt:Angenommen, die Auszahlung eines Derivates zum Zeitpunkt T hängt ausschließlich von dem Kurs ab, den die zugrundeliegende Aktie zum Zeitpunkt T an-


.

Derivatebewer -tung mit Zu-standspreisen

nimmt, dann läßt sich der Wert dieses Derivates heu-te bestimmen, wenn alle Zustandspreise für das Ein-treten der jeweiligen Aktienkurse heute bekannt sind. Diese sind bekannt, wenn die Preise aller Europä-ischen Call Optionen mit allen positiven reellwertigen Strikes bekannt sind. Es gilt:

dKK

ETKtPVCKTDTtPVD

2

2

0

),,;();();(

∂∂= ∫

∞


Derivatebewer -

Speziell gilt für :

dKK

ETKtPVC

TtB

dKK

ETKtPVCTtB

∫

∫

∞

∞

∂∂×=

⇔∂

∂×=

0 2

2

2

2

0

),,;(

),(

11

),,;(1),(

44444 344444 21

1);( ≡KTD


.

Derivatebewer -tung als Erwar-tungswert

Q

KT

∂ 44444 344444 21

Damit ist der Integrand in der zweiten Gleichung eine Dichte, die wir mit QT bezeichnen wollen, und wir können die Bewertungsformel der vorangegan-genen Folie als Erwartungswert bezüglich dieser Dichte schreiben:

[ ]);(),();( STDTtBTtPVDTQΕ×=


Derivatebewer -

Beachte:Die Darstellung des Preises eines Derivates als Erwartungswert hat nichts damit zu tun, daß die Wirtschaftssubjekte tatsächlich das Eintreten eines bestimmten Aktienkurses mit der Wahrscheinlich-keit QT erwarten.

Es ist lediglich eine formale Schreibweise für die


.


Es ist lediglich eine formale Schreibweise für die Regel Wert = Summe über Menge x Einzelpreis, wobei die Einzelpreise die aus den Optionspreisen abgeleiteten Zustandspreise sind.

Die tatsächlichen Erwartungen der Wirtschaftssub-jekte sind zusammen mit ihren Präferenzen und ih-rer je individuellen Vermögenslage in den unter-schiedlichen Zuständen der Welt in die Options-preise eingeflossen.


Derivatebewer -

Problemstellung:

Die Kenntnis aller Optionspreise impliziert die Kenntnis aller Zustandspreise.

Mit Hilfe der Zustandspreise lassen sich alle anderen Derivate, deren Auszahlung zum Zeitpunkt T nur von dem in T realisierten Aktienkurs abhängt, bewerten.

Angenommen, die Optionspreise sind unbekannt.


.


Angenommen, die Optionspreise sind unbekannt. Wohl aber ist der Kurs der zugrundeliegenden Aktie zu jedem beliebigen Zeitpunkt während der Optionslaufzeit beobachtbar, und es können zu jedem beliebigen Zeitpunkt Aktien gekauft und verkauft sowie „Geld“ aufgenommen oder angelegt werden.

Ist es unter diesen Voraussetzungen möglich, wiederum die Zustandspreise und damit dann die Optionspreise selbst zu bestimmen?

… wie man No… wie man No--Arbitrage und Duplikation Arbitrage und Duplikation in dynamischen Märkten nutztin dynamischen Märkten nutzt

Problemstellung 1:

Wie lassen sich in dem unten angegebenen dynamischen Marktmodell Zustandspreise für das Eintreten der Zustände ω1 bzw. ω2 aus den Preisen der Aktie und des Zero Coupon Bonds berechnen?

PVADt1(ω1;ω1)=1


.Zwei-Perioden-Modell

0t 1t

PVADt1(ω1;ω1)=1PVADt1(ω2;ω1)=0

St1(ω1)=90B(t1,t1)=1

8,02 =p

2,01 =p


St1(ω2)=120B(t1,t1)=1

PVADt0(ω1)=?PVADt0(ω2)=?

St0=100B(t0,t1)=1/1,1


Lösungsidee zu Problemstellung 1:

Betrachte folgendes duplizierendes Portfolio für AD(ω1;.):

( )1)()()(

mit )();(:)(

11

111

11

11

11

1=+×

=

tSt

ttt

BtS

BS

θωθ

θθθ



0)()()( 11

211

1=+×∧ tSt BtS θωθ

( )

1)()()(

0)()()(

mit )();(:)(

12

212

12

112

12

12

12

1

1

=+×∧

=+×

=

tSt

tSt

ttt

BtS

BtS

BS

θωθ

θωθ

θθθ

und folgendes duplizierendes Portfolio für AD(ω2;.):



Aufgrund der Duplikationseigenschaft der beiden Portfolien für AD(ω1;.) bzw. AD(ω2;.) muß zur Erfüllung der No-Arbitrage-Bedingung gelten:

)();()()( 11011

11

00ωθθ tBtS PVADttBtSt =×+×



)();()()( 21012

12

00

00

ωθθ tBtS PVADttBtSt =×+×

Oder in Zahlen:

−=

−= 3;30

1:)( ; 4;

30

1:)( 1

21

1 tt θθ

33

20)( ;

33

10)( 21 00

== ωω tt PVADPVAD


Interpretation zu Problemstellung 1:

Definition: Die Verträge AD(ω1;.) und AD(ω2;.) heißen Arrow-Debreu-Securities. Allgemein versteht man unter Arrow-Debreu-Securities Wertpapiere, die genau in einem Zustand der Welt eine Konsumeinheit auszahlen.

Beobachtung 1: Die Preise der Arrow-Debreu-



Beobachtung 1: Die Preise der Arrow-Debreu-Securities PVADt0(ω1) und PVADt0(ω2) sind dementsprechend Zustandspreise.

Beobachtung 2: In einem arbitragefreien Zwei-Perioden-Modell muß daher gelten:

( ) 1);(

1)()(

);()()(

;0)(

1021

1021

00

00

0

=+⇔

=+

>•

ttBPVADPVAD

ttBPVADPVAD

PVAD

tt

tt

t

ωω

ωω



Beobachtung 3: Aus Beobachtung 2 folgt, daß durch die Arrow-Debreu-Preise in folgendem Sinne ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben ist:

);(

1)(q;

);(

1)(q:Q

1022

1011 00

×=×==

ttBPVAD

ttBPVAD tt ωω

Beobachtung 4: Damit gilt in einem arbitrage-



Beobachtung 4: Damit gilt in einem arbitrage-freien Zwei-Perioden-Modell folgende allgemei-ne Bewertungsgleichung für Derivate, die vom Aktienkurspfad abhängen:

[ ]);();();( 110101

•Ε×= ωtDttBttPVDtQ

Beobachtung 5: Die physischen Wahrschein-lichkeiten p spielen bei der Bewertung von Deri-vaten im Zwei-Perioden-Modell keine Rolle. Dies ist eine Konsequenz der Duplikation.


Problemstellung 2:

Anwendung der in Problemstellung 1 ange-wandten Methode zur Bestimmung der AD-Preise führt zu folgendem Ergebnis. Worin be-steht der Fehler in diesem Marktmodell?

PVADt1(ω1;ω1)=1



0t 1t


St1(ω1)=90B(t1,t1)=1

8,02 =p

2,01 =p


St1(ω2)=110B(t1,t1)=1

PVADt0(ω1)=0PVADt0(ω2)=10/11

St0=100B(t0,t1)=1/1,1


Lösungsidee zu Problemstellung 2:Beobachtung 1: Die Tatsache, daß AD(ω1;.) = 0 ist, zeigt, daß es möglich ist, aus Aktien und Zero-Coupon Bonds ein Portfolio zu konstru-ieren, das heute Wert Null hat, aber in der Zu-kunft in einem Zustand der Welt eine strikt po-sitive und im anderen Zustand der Welt eine nicht-negative Auszahlung impliziert. Dieses



nicht-negative Auszahlung impliziert. Dieses Portfolio ist also wie eine Lotterie, bei der man nie verliert, manchmal gewinnt und für die Teil-nahme nichts bezahlen muß. Dies ist eine Arbitragemöglichkeit .Beobachtung 2: Grund für die Existenz dieser Arbitragemöglichkeit ist die Tatsache, daß der Zero-Coupon Bond die Aktie dominiert , d.h. die prozentuale Wertsteigerung des Bonds immer mindestens so groß ist wie die der Aktie.



Beobachtung: Das aus den AD-Preisen abgeleitete Wahrscheinlichkeitsmaß ist im Gegensatz zu dem physischen W-Maß in Zustand ω2 konzentriert. Es belegt Zustand ω1der Welt mit Wahrscheinlichkeit Null, den das physische W-Maß mit positiver Wahrschein-



lichkeit belegt:

( ) 1q;0q:Q 21 ===Wäre der Aktienkurs in ω2 noch geringer gewe-sen, wäre q1sogar negativ geworden.

Beobachtung: Sind alle AD-Preise strikt posi-tiv, so ist das Zwei-Perioden-Modell arbitrage-frei.


Problemstellung 3:

Wie lauten die AD-Preise in diesem Modell? Ist das Modell arbeitragefrei?

St1(ω1)=80B(t1,t1)=1

1,01 =p



0t 1t

St1(ω2)=90B(t1,t1)=1

St1(ω3)=120B(t1,t1)=1

St0=100B(t0,t1)=1/1,1

B(t1,t1)=11

2,02 =p

7,02 =p


Lösungsidee zu Problemstellung 3:Wir stellen uns vor, es würde neben der Aktie und dem Bond noch AD(ω1) gehandelt. Wir ermitteln duplizierende Portfolien für AD(ω2) und AD(ω3) und parametrisieren das Preis-system im Preis von AD(ω1):

( ) mit )();();(:)( 12

)(12

12

12

1= tttt ADBS θθθθ ω



( )

0)()()(

1)()()(

0)()()()(

mit )();();(:)(

12

312

12

212

12

)(12

112

1)(111

1

1

11

1

=+×∧

=+×∧

=++×

=

tSt

tSt

ttSt

tttt

BtS

BtS

ADBtS

ADBS

θωθ

θωθ

θθωθ

θθθθ

ω

ω

( )

1)()()(

0)()()(

0)()()()(

mit )();();(:)(

13

313

13

213

13

)(13

113

13

)(13

13

13

1

1

11

1

=+×∧

=+×∧

=++×

=

tSt

tSt

ttSt

tttt

BtS

BtS

ADBtS

ADBS

θωθ

θωθ

θθωθ

θθθθ

ω

ω

AD(ω2)

AD(ω3)



Aufgrund der Duplikationseigenschaft der beiden Portfolien für AD(ω2;.) bzw. AD(ω3;.) muß zur Erfüllung der No-Arbitrage-Bedingung gelten:

0)()();()()( 112

)(1012

12

010>×+×+× ωθθθ ω tADBtS PVADtttBtSt



0)()();()()( 113

)(1013

13

010>×+×+× ωθθθ ω tADBtS PVADtttBtSt

Oder in Zahlen:

−=

−−=3

1;3;

30

1:)( ;

3

4;4;

30

1:)( 1

31

2 tt θθ

22

5)(0 10

<< ωtPVAD



Beobachtung 1: Die auf der vorangegangenen Folie abgeleiteten Ungleichungen zeigen, daß es in diesem Marktmodell möglich ist, strikt po-sitive AD-Preise für alle AD-Securities abzulei-ten. Daraus folgt, daß es sich bei dem aus den Preisen der AD-Securities abgeleiteten Maß Q



um ein strikt positives W-Maß handelt. Damit ist das Marktmodell arbitragefrei.

Beobachtung 2: Es gibt kein Portfolio aus Aktie und Bond, mit dem die AD-Securities exakt dupliziert werden können. Der Markt aus Aktie und Bond heißt deshalb unvollständig . Ein Markt heißt vollständig , wenn alle AD-Securities durch Portfolien aus gehandelten Wertpapieren dupliziert werden können.


Interpretation zu Problemstellung 3:Beobachtung 3: Wegen der Unvollständigkeit des Marktes in den gehandelten Wertpapieren, sind ihre Preise nicht eindeutig bestimmt. Den-noch sind die Preise nicht beliebig. Es ließen sich vielmehr nicht-triviale Wertgrenzen angeben, innerhalb derer die entsprechenden Preise liegen müssen.



müssen.

Es gibt zahlreiche Vorschläge, wie man aus den möglichen Preissystemen für AD-Securities bzw. aus den daraus abgeleiteten W-Maßen eines zur Bewertung von Derivaten auswählen kann. Eine Idee besteht darin, das abgeleitete W-Maß so zu wählen, daß es sich in gewissem Sinne möglichst wenig vom physischen Maß unterscheidet.

Merke: Bei unvollständigen Märkten ist die Be-wertung von Derivaten im allgemeinen nicht unabhängig vom physischen W-Maß!


Problemstellung:Ist der Wertpapiermarkt vollständig? Ist er arbitra-gefrei? Wie lassen sich in diesem Modell AD-Se-curities definieren? Wie lassen sich deren Preise zu den Zeitpunkten t1 und t0 bestimmen?

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1


.Mehr-Perioden-Modell

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

B(t1,t2)=1/1,1St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

0t 1t 2t


Terminologie und Interpretation:ωωωω: repräsentiert eine vollständige Historie der Welt. In unserem Fall besteht eine solche Histo-rie typischerweise aus einer Abfolge von Preisen gehandelter Wertpapiere.

ΩΩΩΩ: repräsentiert die Menge aller denkbaren Histo-rien der Welt.

stochastischer Prozeß: eine Abbildung wie folgt:



stochastischer Prozeß: eine Abbildung wie folgt:

( ) ( )),(;);,();,(),(, 21 ωωωωω tStStStSt n

n

K=→ℜ→Ω×ℜ +

z.B. der Aktienkursprozeß, bei dem jedem Zeit-punkt und jeder Historie der Welt genau ein Ak-tienkurs zugeordnet wird.

S(.,ω): ω): ω): ω): Pfad eines stochastischen Prozesses, d.h. z.B. der Verlauf des DAX über einen gewissen Zeitraum


Terminologie und Interpretation:F: Sigma-Algebra, eine Menge von Teilmengen, die Ereignisse heißen, mit folgenden Eigenschaf-ten:

repräsentiert das unterscheidbare Wissen. Z.B. ( ) FAAAAFA

FAFA

FΩ

nnIii

c

∈∩∩∩→∈∈→∈

∈

+∈ LL 121 3.

2.

1.



repräsentiert das unterscheidbare Wissen. Z.B. kann man F=Ω, Φ so interpretieren, daß man nur unterscheiden kann, ob Aktienkurse grundsätzlich beobachtbar sind oder nicht.Zufallsvariable : : : : eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:

( ) ( ) FXX ii

n

∈→

ℜ→Ω

=−

= n1i1

n1i und )( KKωωMan sagt, X ist F-meßbar, d.h. das, was man grund-sätzlich wissen kann, reicht aus, um die unter-schiedlichen Werte von X zu beobachten.


Terminologie und Interpretation:

Beispiel zur Zufallsvariablen : : : : Jemand sitzt in einem hermetisch abgeschlossenen dunklen Raum. X kann die Werte annehmen „Sonne scheint“; „Sonne scheint nicht“. X ist für diese Per-son keine Zufallsvariable.

: Filtration, Folge von Sigma-Algebren mit folgender Eigenschaft:( ) TttF ∈



Das Konzept der Filtration bedeutet, daß das potentielle Wissen um die Historie der Welt mit der Zeit stets zu- und nie abnimmt. Anders ausge-drückt: die Historie der Welt enthüllt sich im Zeit-ablauf und kann beliebig gespeichert werden.

folgender Eigenschaft:

2121 tt FFtt ⊂→<


Terminologie und Interpretation:Adaptierter stochastischer Prozeß : : : : Ein stochastischer Prozeß Sheißt adaptiert an eine Filtration (Ft) wenn gilt

D.h., der stochastische Prozeß ist zu jedem Zeit-punkt meßbar, oder das potentielle Wissen reicht zu jedem Zeitpunkt aus, um die Werte des stochasti-

TtFtS t ∈∀∈•− ),(1



jedem Zeitpunkt aus, um die Werte des stochasti-schen Prozesses zu beobachten.

Vorhersehbarer stochastischer Prozeß : : : : Ein stochastischer Prozeß θ heißt vorhersehbar be-züglich einer Filtration (Ft) wenn gilt

TtFt t ∈∀∈•+− ),1(1θD.h., das Wissen um die Historie der Welt bis zum heutigen Tag reicht bereits aus, um den Wert des stochastischen Prozesses in der Folgeperiode zu kennen.


Beispiel:

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

S (ω )=140

Aktienkurspfad


.Mehr-Perioden-Modell )( ;,;,;; ;;

210 4321 ittt PFFF ωωωωωφφ =Ω=Ω=

S und B sind adaptierte stochastische Prozesse, wobei B sogar vorhersehbar ist, da B nicht von ω abhängt und damit Ft0-meßbar ist.

Ein Zustand der Welt ist ein Pfad durch den Baum. Da die Entwicklung der Bondpreise deterministisch ist, ist ein solcher auch durch einen Aktienkurspfad gegeben.

)( iP ωMit der Potenzmenge, d.h. der Menge aller Teilmengen von Ω.

B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1



Wertpapierpreisprozeß : : : : Eine Wertpapierpreis-prozeß Π ist ein vektorwertiger, adaptierter sto-chastischer Prozeß. Die einzelnen Komponenten des Vektors geben den jeweilige Preis des Wert-papiers an, der zu Beginn der Periode, bevor die Portfolien umgeschichtet werden können, bekannt gegeben wird. Beispiel:



gegeben wird. Beispiel:

( ) ( )98,0;100),();()( ==Π TtBtSt

Portfoliowertprozeß : : : : Der Portfoliowertprozeß Vist ein reellwertiger, adaptierter stochastischer Prozeß, der wie folgt definiert ist:

)()1(:)( tttV TΠ×+= θ



selbstfinanzierende Portfoliostrategie : : : : Eine Portfoliostrategie θ heißt selbstfinanzierend, wenn für jeden Zeitpunkt t > t0gilt:

D.h., durch die Umschichtung des Portfolios ist dem Portfolio weder „Geld“ hinzugefügt, noch

)()()()1( tttt TT Π×=Π×+ θθ



dem Portfolio weder „Geld“ hinzugefügt, noch entnommen worden.

Wertprozeß einer selbstfinanzierenden Portfo-liostrategie : : : : Für eine selbstfinanzierende Portfo-liostrategie läßt sich der Portfoliowertprozeß wie folgt schreiben:

( )

444 3444 21Integral hesstochstisc

101

1 101

)()()()(

)()()()()()(

∑

∑

=

= −

∆Π×+Π×=

Π−Π×+Π×=I

i iT

iT

I

i iT

iT

iT

I

tttt

ttttttV

θθ

θθ



Duplikation mittels selbstfinanzierender Portfo-liostrategie : : : : Eine Derivat sei eine FtI -meßbare Zu-fallsvariable D(tI). Eine Portfoliostrategie θ heißt selbstfinanzierend und das Derivat D duplizierend, wenn gilt:

∑ =∆Π×+Π×=

I

i iT

iT

I tttttD101 )()()()()( θθ



Arbitragemöglichkeit : : : : Eine Arbitragemöglichkeit ist eine selbstfinanzierende Portfoliostrategie, für die gilt:

≥∆Π×=

∧≤ ∑ =

ω

θ

ein mindestensfür ngleichungstrikten Ueiner mit

0)()()( 0)( 10

I

i iT

iI tttVtV

∑ =i 1

oder

0)()()()( 0)( 100 ≥∆Π×+=∧< ∑ =

I

i iT

iI tttVtVtV θ


Lösungsidee:

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

S (ω )=140


.Mehr-Perioden-Modell Definition AD-Security: Wertpapier, das in ge-

nau einem der 4 Zustände der Welt, ω1 … ω4, eine Auszahlung von einer Konsumeinheit liefert.

B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

Bewertung AD-Security: Konstruiere für jede AD-Security eine selbstfinanzierende, duplizieren-de Portfoliostrategie aus Aktie und Bond. Marktvollständigkeit: Wenn für jede AD-Security eine selbstfinanzierende, duplizierende PF-Stra-tegie existiert, ist das Marktmodell vollsändig.


Lösungsidee:

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

S (ω )=140



B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

Beispiel zur Bewertung AD-Security: Für den roten Zustand der Welt, ω1, sind folgende Gleichungssys-teme zu lösen:

=

×

0

1

)(

)(

1105

180

2,1

2,1

2

2

ωθωθ

Bt

St

×+×=

×

0

)(1110)(901110120

111090 2,12,1 22

1

1ωθωθ

θθ B

tSt

Bt

St


Lösungsidee:

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

S (ω )=140



B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

Beispiel zur Bewertung AD-Security: Für den roten Zustand der Welt, ω1, ergibt sich damit der aus der selbstfinanzierenden Duplizierungsstrategie abgelei-tete Wert der zugehörigen AD-Security zu:

( )

×= B

t

St

tPVAD1

1

0121100100)( 1 θ

θω


Zusammenhang 1: Ergibt sich aus der selbstfinanzie-renden Duplizierungsstrategie für mindestens eine AD-Security ein Wert kleiner oder gleich Null, so ist das Marktmodell nicht arbitragefrei. Gleiche Aussage: Exi-

Zusammenhang zwischen AD-Preisen und Arbitragefreiheit bei vollständigem Markt:



Marktmodell nicht arbitragefrei. Gleiche Aussage: Exi-stiert keine Arbitragemöglichkeit, so sind die aus den jeweiligen sebstfinanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleiteten Werte der AD-Securities alle strikt positiv.

Beleg: Die selbstfinanzierenden Duplizierungsstrate-gien für diejenigen AD.Securities, die zu Werten kleiner oder gleich Null führen, sind bereits Arbitragemöglich-keiten.


Zusammenhang 2: Gibt es keine Arbitragemöglich-keiten, so ist für jede AD-Security der aus selbstfinan-zierenden Duplizierungsstrategien abgeleitete Wert eindeutig. Gleiche Aussage: Gibt es mindestens eine AD-Security, für die es unterschiedliche aus selbstfi-




AD-Security, für die es unterschiedliche aus selbstfi-nanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleitete Werte gibt, so gibt es Arbitragemöglichkeiten.

Beleg: Gehe die selbstfinanzierende Duplizierungs-strategie, die die höhere Anfangsinvestition erfordert short und die mit der geringeren Anfangsinvestition long. Dies ist ein Arbitragemöglichkeit, da der Wert dieses Portfolios heute negativ ist, es aber ausschließ-lich zu nicht-negativen Auszahlungen in der Zukunft kommt.



Zusammenhang 3: Sind die aus den jeweiligen sebst-finanzierenden Duplizierungsstrategien abgeleiteten Werte der AD-Securities alle strikt positiv, so existiert keine Ar-bitragemöglichkeit. Gleiche Aussage: Existiert eine Arbitra-gemöglichkeit, so ist für mindestens eine der AD-Securities der aus der jeweiligen sebstfinanzierenden Duplizierungs-



Beleg: Jede nicht-negative Zahlung in der Zukunft läßt sich eindeutig als Linearkombination von AD-Securities mit positiven Koeffizienten schreiben. Da die Werte aller AD-Securities strikt positiv sind, hat jede strikt positive Zahlung einen strikt positiven Wert, eine Zahlung von Null einen Wert von Null. Damit ist die Existenz von Arbitragemöglichkeiten ausgeschlossen.

der aus der jeweiligen sebstfinanzierenden Duplizierungs-strategie abgeleiteten Werte kleiner oder gleich Null.


Mehr-Perioden-Modell :

Wir verallgemeinern die für die AD-Securities einge-führte Notation wie folgt:

Zusammenhang zwischen AD-Preisen und Wahrscheinlichkeitsmaßen:

A: Zum Zeitpunkt s bekanntes Ereignis

( ) ts FBFAtsBtAsPV ∈∈≤ ,, ;,;,1


.

Modell :

Bewertung und Erwartungs-wertbildung

A: Zum Zeitpunkt s bekanntes Ereignis

B: Zum Zeitpunkt t bekanntes Ereignis

PV1(s,A;t,B): Wert einer Zahlung von einer „Konsum-einheit“ zum Zeitpunkt t bei Eintritt von Ereignis B er-mittelt zum Zeitpunkt s im Ereignis A.

Speziell:

( ) )(,;,1 1120 0ωω tPVADttPV =Ω


Beispiele:

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

S (ω )=140



.

B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

Modell :


( )( )( )

( )11

2,;,1

121

8,;,1

definiertnicht ,;,1

0,;,1

,;,

321

120

3230

321

4321

=

=Ω

==

==

ω

ω

ωωω

ωωωω

tBtPV

ttPV

ttPV

tAtPV

BA


Martingal

St0=100B(t0,t2)=(1/1,1)²

St2(ω1)=80B(t2,t2)=1

St1(ω3,4)=120B(t1,t2)=1/1,1

St1(ω1,2)=90B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω2)=105

B(t2,t2)=1

St2(ω3)=100B(t2,t2)=1

S (ω )=140



.

B(t1,t2)=1/1,1 St2(ω4)=140B(t2,t2)=1

Modell :

Bewertung und Erwartungs-wertbildung ( )∑ =

=Ω4

1 2020

1,;,1);(

1i ittPV

ttBω

Wie zuvor gilt auch im Mehrperiodenmodell:

[ ]);();();( 22020 •Ε×= ωtDttBttPVD Q

Läßt sich der Preis des Derivates auch zum Zeit-punkt t1 auf den Ereignissen A und B als Erwar-tungswert der Endauszahlung darstellen?


MartingalMehr-Perio-den-Modell :

Bewer -

( ) ( )

( ) ( ) )t;A,t(B,t;,tPVA,t;,tPV

);t(D

);t(D,t;,tPVA,t;,tPV

),t;A,t(PVD

i i

i ii

=

•

=•

=ΩΩ

≡

×ΩΩ

=

∑

∑

ω

ω

ωωω

212

1 2010

2

2

1 22010

21

1

damit

11

1

1für speziell

11

1


.Bewer -tung und Erwar-tungs-wertbil-dung

( ) ( )

( )( )

[ ]A|);t(DE)t;A,t(B

);t(D)A|(q)t;A,t(B

);t(D,t;,tPV

,t;,tPV)t;A,t(B),t;A,t(PVD

,t;,tPV)t;A,t(B

A,t;,tPV

Q

i ii

i i

i i

i

i i

•

=

=

=

•

=

×=

××=

×Ω

Ω×=

Ω=Ω

∑

∑∑

∑

ω

ωω

ωω

ωω

ω

221

2

1 221

2

1 22

1 20

202121

2

1 2021

10

1

1

damit

11

1

ACHTUNG: Im Folgenden nutzen wir, daß Zinsen determi nistisch sind.


Martingal


[ ] jiFXEXiji tt

Qt ≤= ; |

Martingal: Ein an die Filtration F adaptierter stochastischer Prozeß X heißt Martingal unter dem Maß Q, wenn gilt:


.

Modell :


Beobachtung: Unter dem aus den Preisen der AD-Assets abgeleiteten Wahrscheinlichkeitsmaß Q sind die Prozesse der Terminpreise aller gehandelten Wertpapiere Martingale. Es gilt:

jj tktiiJj

JkjQ

Jj

Jij

tiiQi

FC;FAA)t;t(B

),t;C,t(PVDE

)t;t(B

),t;A,t(PVD

FAA)t;t(B

);t(DE

)t;t(B

),t;A,t(PVD

∈∈∀

=

∈∀

=

−

•

−

•−

••

1

1

r allgemeineoder

1

1

22

2

21

21

ωω

ωω


Interpretation


Das aus den Preisen der AD-Securities abgeleite-te Wahrscheinlichkeitsmaß Q ist das Martingal-maß für die Terminpreisprozesse aller gehandel-ten Wertpapiere. In einem vollständigen und arbitragefreien Wertpapiermarktmodell ist dieses Maß eindeutig , weil die aus duplizierenden und selbstfinanzierenden Handelsstrategien abge-


.

Modell :


selbstfinanzierenden Handelsstrategien abge-leiteten Preise aller AD-Securities eindeutig sind.

Unter dem Martigalmaß gilt: Die erwartete Ren-dite aller gehandelten Wertpapiere ist gleich und entspricht in jeder Periode dem „risikofreien“ Periodenzinssatz :

( )1

11 11

−

−− ∈∀

==

•−

•

−

−j

jjittii

Jij

jQ

Jj

JjttrFAA

),t;A,t(PVD

);t(PVDE

)t;t(B

)t;t(Be

ωω

… wie man ein Bewertungsmodell für … wie man ein Bewertungsmodell für Optionen konstruiertOptionen konstruiert

Konstruktions-verfahren:

PVADt1(ω1;ω1)=1St1(ω1)=St0u

B(t1,t1)=1

eu t− ∆µ

du

dep

t

−−=

∆µ

1

PVADt1(ω1;ω2)=0S (ω )= S d

PVADt0(ω1)= St0

B(t0,t1)=tre ∆−

du

dee

trtr

−−∆

∆−


.Beobachtung 1: Unter dem physischen Wahrschein-lichkeitsmaß P ergibt sich für die erwartete Rendite der Aktie:

verfahren:

2-Perioden-Modell

du

eup

t

−−=

∆µ

2

St1(ω2)= St0dB(t1,t1)=1

t

t

t

t

te

S

dSp

S

uSp ∆=×+× µ

0

0

0

021

Da µ beliebig ist, gilt unter dem aus den Preisen der AD-Securities abgeleiteten W-Maß Q:

tr

t

t

t

te

S

dSq

S

uSq ∆=×+×

0

0

0

021


Wahl von u und d : Folgende Wahl von u und d er-laubt es, mit wachsender Genauigkeit eine vorge-gebene Varianz der Aktienkursrendite σσσσ2222 im Modell abzubilden:


tt ed;eu ∆−∆ == σσ denn:

( )[ ]

−+−+ 222 1 dpupdpup


.verfahren:

2-Perioden-Modell

( )[ ]

( )

( )

+

∆−−=

∆−−∆+=

∆−−+=

∆−+−+

=

∆∆∆

→∆

∆∆

→∆

∆∆

→∆

→∆

22

0

22

0

2

0

211

22

21

0

2

12lim

12lim

lim

1lim

σ

σ

σ

µµµ

µµ

µµ

ttt

t

tt

t

tt

t

t

et

ee

t

ete

t

euddue

t

dpupdpup



Beobachtung 2: Bei der gegebenen Wahl von uund d ist das 2-Perioden-Modell arbitragefrei, solan-ge die Zinsen nicht negativ sind und die Aktienkurs-entwicklung mit Unsicherheit behaftet, d.h., σ σ σ σ posi-tiv ist.

Beobachtung 3: Da µ in der vorangegangenen


.verfahren:

2-Perioden-Modell

Beobachtung 3: Da µ in der vorangegangenen Rechnung beliebig war, gilt auch unter dem aus den Preisen der AD-Securities abgeleiteten Martin-galmaß, daß das Modell bei der vorgegebenen Wahl von u und d in der Lage ist, die vorgegebene Varianz der Akienkursrendite für ∆t 0 mit belie-biger Genauigkeit zu treffen. D.h., der Wechsel des W-Maßes ändert in diesem Modell die er-wartete Rendite , nicht aber die Schwankung der Rendite des Aktienkurses.



Ein Mehr-Perioden-Modell erhält man durch Aneinanderreihung von 2-Perioden-Modellen:

St0B(t ,t )=

St2(ω1)= St0uuB(t2,t2)=1St1(ω1,2)=St0u

B(t1,t2)= St2(ω2)= St0ud= St2(ω3)

B(t2,t2)=1tre ∆− 2

tre ∆−


.verfahren:

Mehr-Perioden-Modell

B(t0,t2)=

St1(ω3,4)= St0d

B(t1,t2)=

B(t2,t2)=1

St2(ω4)= St0ddB(t2,t2)=1

e

tre ∆−

Beachte: Das Konzept, daß ein Pfad durch den Baum einen Zustand der Welt repräsentiert, ist auch hier nach wie vor gültig, auch wenn der Aktienkurs zu einem Zeitpunkt nur von der Anzahl, nicht aber von der Reihenfolge der up- und down-moves abhängt.


Bewertung

Vorgehensweise: Die Bewertung erfolgt durch rekursive Erwartungswertbildung über den Zah-lungsstrom der Option unter dem Martingalmaß und Diskontierung unter dem „risikofreien“ Zinssatz:

Ct2(ω1)= [St0uu-K]+



.

Bewertung Europäischer Optionen

St0B(t0,t2)=

St1(ω3,4)= St0d

B(t1,t2)=

t1 1,2

B(t1,t2)=

tre ∆− 2

tre ∆−

tre ∆−

Ct2(ω2,3)= [St0-K]+

St2(ω2,3)= St0

B(t2,t2)=1

Ct2(ω4)= [St0dd-K]+


[ ][ ]

121

121

);(),(

);(),(

2143

2121

ttQ

t

ttQ

t

FCEttBC

FCEttBC

×=

×=

ωω

ωω

[ ]010

);()( 10 ttQ

t FCEttBC ×=Ω


Bewertung

Vorgehensweise: Die Bewertung erfolgt durch rekursive Erwartungswertbildung über den Zah-lungsstrom der Option unter dem Martingalmaß und Diskontierung unter dem „risikofreien“ Zinssatz:

Ct2(ω1)= [K-St0uu]+



.

Bewertung Amerikanischer Optionen

St0B(t0,t2)=

St1(ω3,4)= St0d

B(t1,t2)=

t1 1,2

B(t1,t2)=

tre ∆− 2

tre ∆−

tre ∆−

Ct2(ω2,3)= [K-St0]+

St2(ω2,3)= St0

B(t2,t2)=1

Ct2(ω4)= [K-St0dd]+


[ ][ ][ ][ ]

1121

1121

2143

2121

tttQ

t

tttQ

t

SK;FPE)t;t(Bmax),(P

SK;FPE)t;t(Bmax),(P

−×=

−×=

ωω

ωω

[ ][ ]0010

;);(max)( 10 tttQ

t SKFPEttBP −×=Ω


Options -Delta

Vorgehensweise: Berechne die duplizierende, selbstfinanzierende Portfoliostrategie für die Option:

St0B(t0,t2)=

C (ω )

Ct1(ω1,2)St1(ω1,2)=St0u

B(t1,t2)=

tre ∆− 2

tre ∆−


.

Options -Delta und Options-Hedgingstrategie

B(t0,t2)= Ct1(ω3,4)

St1(ω3,4)= St0d

B(t1,t2)=

e

tre ∆−

1

1

11

11

1 )()(

)()(

4,32,1

4,32,1

t

t

tt

ttSt S

C

SS

CC

∆∆

=−−

=ωωωω

θ

Interpretation: Der Aktienanteil an der duplizieren-den, selbstfinanzierenden Portfoliostrategie ent-spricht der „Ableitung“ des Optionspreises nach dem Aktienkurs.


Die Bewertungs -

Idee: Berechne den Erwartungswert der diskon-tierten Zahlungsströme unter dem Martingalmaß

6Su

42 uSd

33 uSd

24 uSd

5Sdu

S

KSu −6

KSdu −5

0

0

KuSd −42

K


Die Bewertungs -formel für Euro-päische Calls im Binomialbaum

[ ][ ]( )

( )

( ) jJj)t,T(J

aj

jJj)t,T(J

aj

jJj)t,T(J

aj

tJrjJj)t,T(J

aj

jJjjJj)t,T(J

aj

Ttt

)q(qj

JK)T,t(Bq)q(

j

JS

)q(qj

JK)T,t(Bed)q()qu(

j

JS

KSdu)q(qj

J)T,t(B

KSE)T,t(B)T,K;S(PVC

**

**

*

−∆

>

−∗∗∆

>

−∆

>∆−−∆

>

−−∆

>

+

−×

××−−×

×=

−×

××−×−×

×=

−×−×

×=

−×=

∑∑

∑∑

∑

11

11

1

0

0

0

000

mit

KSdu aJa =∗∗ −

6Sd

15 uSd

0

0

0


Die Bewertungs-formel für Euro -

Idee: Betrachte im Binomialmodell die Situation ∆t 0, wobei die Varianz des Logarithmus des Aktienkurses über einem beliebigen Zeitintervall [0;t], d.h. σ²t, konstant gehalten wird.

[ ][ ]( )

( )( ) ( )( )),(,;B1),(),(,;B1

)1(),(1)(

),(),;(

),(0

),(

0

**0

00

tTJqaKTtBtTJqaS

qqj

JKTtBqq

j

JS

KSETtBTKSPVC

jJjtTJ

aj

jJjtTJ

ajt

Ttt

∆−××−∆−×=

−×

××−−×

×=

−×=

∗∗∗

−∆

>

−∗∗∆

>

+

∑∑


formel für Euro -päische Calls im Grenzwert für stetige Zeit

( )( ) ( )( )),(,;B1),(),(,;B1 00tTJqaKTtBtTJqaSt ∆−××−∆−×= ∗∗∗

( ):,;B npa

Wegen des Zentralen Grenzwertsatzes konvergieren binomialverteilte Zufallsva-riablen in Verteilung gegen normalverteil-te Zufallsvariabeln

−

×××−

+

××

T

TTtBK

S

TtBKT

TTtBK

S

S

tt

t σ

σ

σ

σ 2

00

2

0 21

),(ln

N),(21

),(ln

N

00

0

kumulierte Binomialverteilung an der Stelle a mit Erfolgswahr-scheinlichkeit p und n Versuchen

( ):N x kumulierte Standardnomalverteilung an der Stelle x


Optionspreis -

Delta: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Erhöhung des Aktienkurses: bei Calls positiv, bei Puts negativ.Gamma: Marginale Änderung des Deltas bei mar-ginaler Erhöhung des Aktienkurses: bei Calls und Puts positiv.

Vega: Marginale Änderung des Optionspreises bei


.

Optionspreis -sensitivitäten:

Die „Griechen“

Vega: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Erhöhung der Volatilität (d.h. Varianz oder Standardabweichung) der Aktienkursrendite: bei Calls und Puts positiv.

Rho: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Erhöhung des Zinssatzes: bei Calls positiv, bei Puts negativ.

Theta: Marginale Änderung des Optionspreises bei marginaler Reduzierung der Restlaufzeit: bei Calls negativ, bei Puts i.d.R. negativ, aber ggf. positiv bei ITM Puts.


Die Griechen

Portfolio-Preis

0

5

10

15

20

25

30

35

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

1

Portfolio-Vega

0

5

10

15

20

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

0


Griechen für Standard Calls

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

The

ta

Portfolio-Rho

05

101520253035

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho


Die Griechen

Portfolio-Preis

0

5

10

15

20

25

30

35

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

0

Portfolio-Vega

0

5

10

15

20

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

2


Griechen für Standard Puts

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

The

ta

Portfolio-Rho

-40

-30

-20

-10

0

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

AktienkursR

ho


Die Griechen

Portfolio-Preis

0

5

10

15

20

25

30

35

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

1,2

Portfolio-Vega

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

15


für Call Spreads (kurze Laufzeit)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

-10

-5

0

5

10

15

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

The

ta

Portfolio-Rho

-4-3-2-101234

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho


Die Griechen

Portfolio-Preis

0

5

10

15

20

25

30

35

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

1,5

Portfolio-Vega

0

5

10

15

20

25

30

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

2


Griechen für long Strad-dles

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

-8

-6

-4

-2

0

2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

The

ta

Portfolio-Rho

-30

-20

-10

0

10

20

30

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho


Die Griechen

Portfolio-Preis

0

2

4

6

8

10

12

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

1

Portfolio-Vega

0

2

4

6

8

10

12

14

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

2


Griechen für long Stran-gles

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

00,020,040,060,080,1

0,120,14

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

The

ta

Portfolio-Rho

-10

-5

0

5

10

15

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho


Die Griechen für long

Portfolio-Preis

-3

-2

-1

0

1

2

3

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

0,3

Portfolio-Vega

-20

-15

-10

-5

0

5

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

5


für long Butterfly-spreads

Was ist falsch?

-0,5-0,4-0,3-0,2-0,1

00,10,20,3

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

0,06

0,08

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

-2

-1

0

1

2

3

4

5

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

The

ta

Portfolio-Rho

-15

-10

-5

0

5

10

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho


Die Griechen für long

Portfolio-Preis

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

0,2

Portfolio-Vega

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

2


für long Butterfly-spreads

Richtig!-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-0,02-0,015-0,01

-0,0050

0,0050,01

0,0150,02

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

The

ta

Portfolio-Rho

-6

-4

-2

0

2

4

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho


Welche

Portfolio-Preis

-2

0

2

4

6

8

10

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

1,5

Portfolio-Vega

-4

-3

-2

-1

0

1

2

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

150


Welche Position hat der Händler? -1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

-100

-50

0

50

100

150

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

The

ta

Portfolio-Rho

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho


Portfolio-Preis

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta

0

Portfolio-Vega

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta

2


Was ist falsch?

-1,4

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

-6-5-4-3-2-1012

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

The

ta

Portfolio-Rho

-40

-30

-20

-10

0

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho


Wie man den Feh -

Portfolio-Preis: Delta-neutral

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

Portfolio-Delta: Delta-neutral

1

Portfolio-Vega

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Veg

a

Portfolio-Theta: Delta-neutral

0


den Feh -ler nut-zen kann

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Del

ta

Portfolio-Gamma

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Gam

ma

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

020 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

The

ta

Portfolio-Rho: Delta-neutral

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Rho


Idee: Betrachte das Theta eines delta-neutralen Portofolios

Das delta-neutrale Portfolio ist wie folgt zusammen-gesetzt:

Kauf des ursprünglichen Options-Portfolios PF und Finanzierung auf Kredit für eine Laufzeit kleiner der Laufzeit der Optionen


ökonomische Interpretation

Laufzeit der Optionen

Kauf von Aktien in der Anzahl des negativen Deltas von PF und Finanzierung auf Kredit für eine Lauf-zeit kleiner der Laufzeit der Optionen

Zusammensetzung und Wert des delta-neutalen Portfolios:

0),(),(

),(),(

...

=××

∂∂

+×∂

∂−×−

=∆

TtBTtB

SS

PVPF

SS

PVPFTtB

TtB

PVPFPVPF

neutralPVPF

const

t

t

constconst

tt

t

443442143421321


Das Thea des delta-neutralen Portfolios ergibt sich zu:

=××

∂∂

×+

×∂

∂∂

−××−∂

=∂∆∂

tt

t

const

t

tt

t

TtBS

S

PVPF

r

SS

PVPF

TtBPVPF

rPVPF

t

neutralPVPF

),(),( .43421


ökonomische Interpretation

×∂

∂−×−

∂∂

=×∂×+∂

−××−∂

∂

=

tt

tt

const

const

const

tt

SS

PVPFPVPFr

t

PVPF

TtBTtB

Srt

TtBTtB

PVPFr

t

PVPF),(

),(),(

),(.0

.

.443442144 344 21321

Arbitragefreiheit erfordert, daß gilt:

2

2

t

tt

tt

t

t

S

PFS

S

PVPFPVPFr

t

PVPF

t

neutralPVPF

∂∂

−∝

×∂

∂−×−

∂∂

=∂∆∂


Wie man den Feh -

Portfolio-Preis

30

40

Idee: Nutze Verstoß gegen die Put-Call-Parität


den Feh -ler auch nutzen kann

-40

-30

-20

-10

0

10

20

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 80

Aktienkurs

Pre

is

In diesem Modul wird diskutiertModul IV

• wie man einen Überblick über die Welt der exotischen Optionen gewinnen kann,

• ob und wie man einige exotische Optionen in den bisher diskutierten Modellen bewer-ten kann,

Besondere Bewertungsal-gorithmen:


• welche besonderen Charakteristika be-stimmte exotische Optionen aufweisen und welche Konsequenzen dies für das Hedging hat,

• wie man Dividenden in das bisherige Bewertungsmodell einbauen kann.

Exotische Optionen und Dividenden

… wie man einen Überblick über exoti… wie man einen Überblick über exoti--sche Optionen gewinnen kannsche Optionen gewinnen kann

Versuch einer Klassifizierung

Digital-Optionen

Cash-Or-Nothing

Asset-Or-Nothing

pfadabhängi-ge Optionen

von expliziten Schranken abhängig

von Optimalitätskriterien abhängig

von Kursdurchschnitt abhängig (Asian Options)

von Kursextrema abhängig


Achtung: Jede Klassifizie-rung ist unvoll-ständig!

exotischeOptionen

(Lookback Options)

korrelations-abhängige Optionen

Forward-Start/ Cliquet/ Reverse Cliquet/ Napoleon

Spread zwischen zwei Assets

best/worst-of (Rainbow) Optionen

Outperformance Optionen

Quanto Optionen

pfad- und kor-relationsab-hängige Op-tionen

Outside-Barrier Optionen

Himalaya Optionen

… wie man einen Überblick über exoti… wie man einen Überblick über exoti--sche Optionen gewinnen kannsche Optionen gewinnen kann

pfadabhängige pfadab-

von expliziten Schranken abhängig

von Optimali-

Barrier up/down-and-in/out

Continuous/Discrete Monitoring

Partial/Window/Double Barriers

Parisian Option

Simple/Complex Chooser

Range accruals: Hamster etc.


pfadabhängige Optionen im Detail

pfadab-hängige Optionen

von Optimali-tätskriterien abhängig

von Kurs-durchschnitt abhängig

von Kursextrema abhängig

Forward-Start/(Reverse)Cliquet/Napoleon

Simple/Complex Chooser

Option-on-Option (Compund)

Geom. /Arithm. Avg. Rate

Geom. /Arithm. Avg. Strike

max/min Rate

max/min Strike

… was man über Charakteristika und … was man über Charakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann

Payoff eines Cash-or-Nothing Call:

Payoff eines Cash-or-Nothing Put:


Europäische Digitaloptionen Payoff eines Asset-or-Nothing Call:

Payoff eines Asset-or-Nothing Put:

… was man über Chrakteristika und … was man über Chrakteristika und Bewertung sagen kannBewertung sagen kann

Cash-or-Nothing Call

Call-

Hedge-Portfolio für CON-Call in der Nähe des Strikepreises K2 ist nicht beherrschbar, Gamma geht gegen Unendlich, daher Hedging und Bewertung in der Praxis über Call-Spreads.


.

Kauf: C(K 1,T,E); Verkauf: C(K 2,T,E)

Payoff

STK2K1

K2-K1

Europäische Digitaloptionen

Call-Spread

CON-Call


Europäische

Payoff Up-and-In Barrier Call:6Su

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

SK

B

KSu −6

KSdu −5

0

0

0

KuSd −42 0


Europäische Pfadabhängige Optionen: Barrier-Optionen

6Sd

uSd 0

0

Payoff Up-and-Out Barrier Call:6Su

6Sd

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

SK

BKuSd −42

0

0

0

0

0

0

0


Europäische

Bewertung von Barrier Optionen:

Die Bewertung von Out-Barrier-Optionen kann im Bino-mialbaum durch Rückwärtsinduktion erfolgen. Dabei wird der Wert der Option jeweils bei Berühren der Bar-riere auf Null gesetzt.

Zur Bewertung von In-Barrier-Optionen kann man die Tatsache nutzen, daß für sonst gleiche Optionstypen

In-Barrier -Option plus Out -Barrier -Option =



In-Barrier -Option plus Out -Barrier -Option = Standard-Option

ist.

Beachte aber folgende Probleme bei der Bewertung von Barrier-Optionen im Baum:

Fehlbewertung und schlechte Konvergenzeigen-schaften der Bewertung im Baum, falls die Barriere nicht auf Knoten des Baumes fällt.

Fehlbewertung und schlechte Konvergenzeigen-schaften, falls die Optionsdefinition eine kontinuierliche Beobachtung der Barriere verlangt.


Europäische

Veranschaulichung der Fehlbewertung von Barrier Optionen und der schlechten Konvergenzeigen-schaften des Binomialmodells bei nicht auf den Baumknoten liegenden Barrieren:




Europäische

Hedging von Barrier Optionen:

Aufgrund der Diskontinuität im Preis an der Barriere sind Barrier-Optionen schwieriger zu hedgen als Standard-Optionen (sehr hohes Gamma in der Nähe der Barriere).

Besonders problematisch bei Up-and-Out Calls und



Besonders problematisch bei Up-and-Out Calls und Down-and-Out Puts. Weniger bedeutsam bei Down-and-Out/In Call oder Up-and-Out/In Put. (Warum?)

Praktische Abhilfe:

Verschiebung der Barriere und Überhedging der Optionen (Wohin?)

Statisches Hedging


Europäische

Statisches Hedging von Barrier Optionen:Methode von Derman, Egerer, Kani (1995)




Europäische

Partial-/Window-, Double-Barrier und Parisian Options:

Partial-/Window-Barriers:

Die Barriere-Bedingung gilt nur für einen Teil der Laufzeit



Die Barriere-Bedingung gilt nur für einen Teil der Laufzeit der Option, der entweder am Anfang oder Ende der Lauf-zeit (Partial) oder in irgendeinem Fenster zwischen Beginn und Ende der Laufzeit (Window) liegt.

Double-Barriers:

Es gibt eine obere und eine untere Schranke. Überqueren oder Berühren einer der beiden Schranken genügt, um die mit der Barriere verbundenen Konsequenzen (In/Out) auszulösen.


Europäische

Parisians:

Es genügt nicht, die Barriere zu einem einzigen Zeitpunkt zu berühren oder zu überqueren. Um die damit verbun-denen Konsequenzen auszulösen, muß sich der Aktien-

Partial-/Window-, Double-Barrier und Parisian Options:



denen Konsequenzen auszulösen, muß sich der Aktien-kurs während eines vorher festgelegten Mindestzeitraums laufend jenseits der Barriere aufhalten.

Die „Uhr“ beginnt jedesmal von vorne zu laufen, wenn die Barriere überschritten wird, bis entweder der Fälligkeits-termin der Option erreicht ist oder sich der Kurs der Aktie für ein Zeitintervall von mindestens der vorgeschriebenen Länge dauerhaft jenseits der Barriere aufgehalten hat.


Europäische

6Su

6Sd

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

S

dB

uB

Hamster, Hase, Boost:

Hamster:


Europäische Pfadabhängige Optionen: Range Accrual Options

6SdHamster:

Am Ende der Laufzeit wird für jeden Handelstag der Laufzeit, an dem der Aktienkurs innerhalb der Schranken lag eine Geldeinheit gezahlt.

Hase:

Am Ende der Laufzeit wird für jeden Handelstag der Laufzeit, an dem der Aktienkurs außerhalb der Schranken lag eine Geldeinheit gezahlt.

Boost:

Nur wenn der Kurs während der gesamten Laufzeitinnerhalb der Schranken gelegen hat, erfolgt eine Zahlung in vorher festgelegter Höhe.


Europäische

6Su

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

S

dB

uB

Vegaposition beim Hamster0>Vega

0<Vega


Europäische Pfadabhängige Optionen: Range Accrual Options

6Sd0>Vega

6Su

6Sd

42 uSd

33 uSd

24 uSd

15 uSd

5Sdu

S

dB

uB

Vegaposition beim Hasen0<Vega

0>Vega

0<Vega


Europäische Pfadabhängige

6Su

42 uSd

33 uSd

5Sdu

S

Payoff und Bewertung einer Chooser Option

Put

vo

rtei

lhaf

tC

all

vort

eilh

aft

0


Pfadabhängige Optionen: Chooser Optionen

6Sd

24 uSd

15 uSd

Put

vo

rtei

lhaf

t

Zeitpunkt der Entscheidung zwischen Call und Put

24 uSdK −

Die Bewertung der Chooser Option kann per Rückwärtsinduktion erfolgen:

Man bewertet zunächst sowohl Put wie Call.

Am Entscheidungszeitpunkt läßt man in jedem Knoten die billigere der beiden Optionen fallen und führt die Bewertung mit der jeweils verbleibenden Option zu Ende.



Complex und Simple Chooser Option

Complex Chooser:

Strike und Laufzeit von Put und Call sind unterschiedlich.

Simple Chooser:

Strike und Laufzeit von Put und Call sind gleich.


Pfadabhängige Optionen: Chooser Optionen

Bewertung von Simple Chooser Optionen am und vor dem Auswahltermin

[ ][ ]

[ ]),),,(;0(),,;0(

),(;0max),,;(

),(),,;();,,;(max

),,;();,,;(max

EtTtBKPVPETKPVC

STtBKETKtPVC

TtBKSETKtPVCETKtPVC

ETKtPVPETKtPVCerPVsimChoos

t

t

×+→−×+=

×+−==



6Su

42 uSd

33 uSd

24 uSd

5Sdu

S

Payoff und Bewertung eines Call on Call

Aus

übun

g un

vort

eilh

aft

Aus

übun

g vo

rtei

lhaf

t

KSdu −50

0


Pfadabhängige Optionen: Compound Optionen

6Sd

15 uSdAus

übun

g un

vort

eilh

aft

Zeitpunkt der Entscheidung über Ausübung der 1. Option

Die Bewertung der Call on Call Option kann per Rückwärtsinduktion erfolgen:

Man bewertet zunächst den 2. Call.

Am Entscheidungszeitpunkt setzt man in jedem Knoten, in dem der Strike der ersten Option größer als der Wert der 2. Option ist, den Wert des Call-on-Call auf Null und führt die Bewertung zu Ende.

Weitere Compound Optionen sind: Call-on-Put, Put-on -Put, Put-on-Call

Zeitpunkt der Entscheidung über Ausübung der 2. Option

0



Geometrisches Mittel

( )

−== ∫∏ =

T

tt

cgnn

i tndg dtS

tTTtASttA

iln

1exp:),( :),( ,

11,

Arithmetisches Mittel

∫∑ −==

=

T

tt

can

i tnda dtS

tTTtAS

nttA

i

1:),(

1:),( ,

11,


Pfadabhängige Optionen: AsiatischeOptionen

[ ] [ ]

[ ] [ ]0;max: 0;max:

0;max: 0;max:

,,

,,

TTTT

TT

SAkePAsianStriASkeCAsianStri

AKPAsianKACAsian

−=−=

−=−=

••••

••••

Asians und Asian-Strikes

Für die Bewertung von Asiatischen Optionen unter Nutzung von geome-trischen Mitteln lassen sich im Black-Scholes-Modell geschlossene Formeln ableiten. Asiatische Optionen auf arithmetische Mittel kann man im Binomialbaum nur unter Einführung einer weiteren Dimension für den aufgelaufenen Mittelwert, durch Monte-Carlo-Simulation oder durch andere numerische Verfahren bewerten. Ein geschlossene Formelexistiert im Black-Scholes-Modell nicht .



Kursextrema

[ ] [ ] s,

s,

Smin:),( Smax:),(TtsTts

TtmTtM∈∈

==

[ ] 0;K)T,t(Mmax:CMLookback −=

Lookbacks und Lookback-Strikes


Pfadabhängige Optionen: Lookback Optionen

[ ][ ]

[ ][ ]0

0

0

0

;S)T,t(Mmax:StrikePmLookback

);T,t(mSmax:StrikeCmLookback

);T,t(MKmax:PMLookback

;K)T,t(Mmax:CMLookback

T

T

−=−=

−=−=

Für die Bewertung von Lookback Optionen existieren geschlossene Formeln im Black-Scholes-Modell. Darüber hinaus können sie mit Hilfe der Monte-Carlo Simulation bewertet werden.

Wichtig ist wie bei Barrier-Optionen die Häufigkeit der Kursbeobachtung zur Ermittlung des Extremums entlang eines Aktienkurspfades.



Forward-Start-Option

Option wird zum Zeitpunkt t0 abgeschlossen, Laufzeit beginnt aber erst zu einem Zeitpunkt t1>t0. Strike wird erst zum Zeit-punkt t1 als Prozentsatz des dann gültigen Aktienkurses St1festgelegt.

Vorteil: Optionspreis ist unabhängig von der Aktienkursentwick-


Pfadabhängige Optionen: Forward-Starts und Cliquets

Vorteil: Optionspreis ist unabhängig von der Aktienkursentwick-lung und eventuellen Dividendenzahlungen zwsichen t0 und t1.

Nachteil: Die zum Zeitpunkt t1 gültige Volatilität muß heute prognostiziert werden.

Cliquet-Option

Serie von relativ kurz laufenden Forward-Start-Optionen, die jeweils ein bestimmtes Zeitintervall in der Zukunft abdecken.



Zahlung in Periode i:


Pfadabhängige Optionen: Napoleon

Mit B=8% halbjährlich ergibt sich in Periode i=1 eine Zahlung von 7% und in Periode i=2eine Zahlung von 0%.

1t

2t



Zahlung am Ende der Laufzeit:


Pfadabhängige Optionen: Reverse Cliquet

Mit X=50% ergibt sich am Ende der Laufzeit eine Zahlung von 11,59% .


Europäische

Spread-Call-Option

( )[ ]021 ;KSSmax TT −−α

Spread-Put-Option

( )[ ]021 ;SSKmax TT −− α

Rainbow-Call-Optionen

( )[ ]021 ;S;SmaxKmax TTα− ( )[ ]021 ;KS;Smaxmax TT −α

Rainbow-Put-Optionen


Europäische korrelationsab-hängige Optio-nen

( )[ ]0;S;SmaxKmax TTα− ( )[ ]0;KS;Smaxmax TT −α

( )[ ]021 ;S;SminKmax TTα− ( )[ ]021 ;KS;Sminmax TT −α

Outperformance-Optionen

− 0

2

2

1

1

00

;S

S

S

Smax

t

T

t

T [ ]

>

×−20

2

10

1101

t

T

t

T

S

S

S

ST ;KSmaxα


Europäische

Quanto-OptionenIdee: Spekulation auf Aktien, die in fremden Wäh-rungen gehandelt werden, ohne daß man das Wechselkursrisiko tragen möchte.

Problem: Wert einer Option auf den Kauf einer IBM-Aktie in New York hängt nicht nur vom Kurs der IBM-Aktie, sondern auch vom Wechselkurs ab.


Europäische korrelationsab-hängige Optio-nen

Lösungsansatz: Unterstelle, daß der Kurs der IBM-Aktie in New York nicht den US-Dollar-Wert der Aktie, sondern den EUR-Wert der Aktie darstellt und zahle in EUR

[ ]0;KSmax EUREURNYIBM −−−

Beachte: Der EUR-Wert einer in New York gehan-delten Standardoption auf IBM wäre:

[ ]0;KSmaxe USDNYIBM

USD

EUR −× −


Europäische korrelationsab -

Aktienkursmodell

( )

( )

( )( )∆+∆+∆+=

∆+∆+∆+∆

−+=

∆+∆

−=

=

∆+

tottrS

totttrS

ttrexpSS

t

ttt

1

2

1

2

11

2

1

1

1

21

211

21

1

121

11

0

00

σε

εσσεσ

σεσ


korrelationsab -hängige Optio-nen: ein Bewer-tungsmodell

( )( )( )

( ) ( ) ( )

−−

∆+∆−+∆

−++∆+=

∆

−++∆

−=

∆+∆+∆+=

∆+

q;

q;~

totttrS

ttrexpSS

tottrS

.d.i.i

i

t

ttt

t

11

1

111

12

1

1

221

22

2212

2

2212

22

22

11

0

00

0

ε

ρρεεσρερεσ

ρερεσσ

σε

Frage : Welchen Wert hat q, in einem arbitragefreien Modell, wenn q das aus den Preisen der AD-Assets abgeleitete WS-Maß sein soll?



Idee: Benutze Beobachtung, daß unter dem aus den AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß die erwartete Rendite pro Zeiteinheit aller gehan-delten Wertpapiere gleich r ist.

Definiere Aktienrendite R als:

[ ] [ ] ( )2

1111

=⇔=∆

∆+∆+∆=

∆qr

t

totEtrlim

t

RElim

qq εσ

10

0 −= ∆+it

itt

S

S:R



[ ]

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( )

2

1

11

2

221

22

221

22

0

2

0

00

=⇔=

∆

∆+∆−+∆

−++∆

=∆

=⇔=∆

=∆

→∆

→∆

→∆→∆

qr

t

totEEtEEtrlim

t

RElim

qrt

limt

lim

qqqq

t

q

t

tt

ρρεεσρερεσ

Ergebnis: Asymptotisch ist q gleich 0,5.

Übung: Zeige dies durch direkte Betrachtung der Preise der AD-Assets.



Beobachtung: Für q = 0,5 gilt

[ ] ( ) [ ]( )

[ ] ( ) [ ]( )22

22222

0

21

21211

0

σ

σ

=∆

−

=∆

=∆

−

=∆

→∆

→∆

t

RERE

t

RVarlim

t

RERE

t

RVarlim

qqq

t

qqq

t



Übung: Nachrechnen.

und außerdem

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) [ ] ρρερεε

ρ

=+−=

×

−=

×=

→∆

→∆→∆

21

221

21

2121

0

21

21

0

21

0

1 qqq

qq

qqq

t

qq

q

tt

EEE

RVarRVar

RERERRElim

RVarRVar

R;RcovlimR;Rlim



Bewertungsgitter zum Zeitpunkt mx∆∆∆∆t mit mgeradzahlig:

0

2

n+2

εεεε2



0 2 n-2-n εεεε1

0

-2

-n-2

[ ] ( )( ) ( )( )m

nm,

m

nm,

mn;nQ

×

+−××

−−×=+−

4

1

250502

Dabei ist 0,5x(m-j) die Anzahl der Fälle, in denen εi = -1 war.


Europäische pfad - und

Idee: Das Auszahlungsprofil entspricht dem von Barrier-Optionen. Jedoch hängt die Barrier-Bedingung nicht von der Kursentwicklung der Aktie ab, die die terminale Auszahlung bestimmt, sondern von der Kursentwicklung einer weiteren Aktie:


pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Outside Barriers

[ ]

[ ][ ]

Monitoring stetigem und

Optionen-In bei 0ein mindestensfür

Optionen-Out bei 0 allefür

erfüllt Bedingung-Barrier die falls

02

1

T;t

T;t

S

,;KSmax

t

T

∈∈

−



Zugrunde liegende Portfoliostrategie: Kaufe Portfolio aus N Aktien. In jeder Periode verkaufe die Aktie, die seit Erwerb des Portfolios die beste Performance gezeigt hat. Die Performance des Gesamtportfolios (ohne Berücksichtigung von Zinseffekten) ist dann wie in folgendem Beispiel:

Akt

ienk

urse

Per

form

ance


pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Himalaya-Optionen

Akt

ienk

urse

Per

form

ance

Pay

off



Payoff-Varianten : Ursprüngliche Himalaya-Stra-tegie hat unter Vernachlässigung von Zinseffekten den Wert Null, da Payoff durch kostenfreie selbstfi-nanzierende Portfoliostrategie erzeugt werden kann.

Betrachte daher Varianten mit positivem Wert:

Nur die L besten Aktien



besten Aktien

Mindestperi-odenperfor-mance von Null

Mindestgesamt-performance von Null

Quelle: Risk 2002, Marcus Overhaus

Keine Berücksichti-gung der Performance der Vorperioden

























Positive Korrelation bei OTM-Himalaya erhöht die Wahrscheinlichkeit eines positiven Payoffs, wohingegen das Risiko einer Verschlechterung wegen des Floors bei Null ohne Bedeutung ist. Umgekehrt erhöht eine negative Korrelation bei ITM-Himalayas die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem hohen positiven Payoff. Das Risiko, daß der zweite Payoff vollständig ausfällt, ist gering, da beide Aktien tief im Geld sind.




Problemstellung: Geschlossene Formeln sind nur noch in Aunahmefällen verfügbar. Große An-zahl von Aktien macht Baum- und Gitterverfah-ren im Hinblick auf Komplexität und Rechenzeit prohibitiv teuer.

Lösungsansatz: Monte Carlo Simulation

( ) +− −= ∑∑1 2

K Ijj ελσσ


pfad - und korrelationsab-hängige Optio-nen: Bewertung

( )

=Λ×Λ

=Λ

−

−−

+−

−=

−

−

−

= =∑∑

1

1

;

00

0

00

00

0

0

0

2

1

1

1

1

111

1

1

1

2

1

1 10

20

L

MOM

L

L

MOM

L

L

MOM

M

L

MM

,J

J,T

I,J,J

I,,

kk

kk

kk

.d.i.i

t,I

t,

t,

k it,ii,jjKj

jt

jt

:

tt

tt

tt

;N~

ttrexpSS

k

k

k

kK

ρ

ρ

λλ

λλ

ε

εε

ελσσ

… wie man Dividenden in das Bewer… wie man Dividenden in das Bewer--tugsmodell einbauen kanntugsmodell einbauen kann

stetige versus

Problemstellung: Viele exotische Optionen haben Laufzeiten von mehreren Jahren z.T. mehr als 10 Jahren. Insbesondere bei langen Laufzeiten und bei Amerikanischen Optionen müssen Dividenden im Bewertungsmodell berücksichtig werden.

Diskrete Dividenden: Die klassische Situation, daß Aktien zu bestimmten Zeitpunkten ex Dividendenotieren und ein fester Betrag, unabhängig von der


stetige versus diskrete Dividenden

notieren und ein fester Betrag, unabhängig von der absoluten Höhe des Aktienkurses an die Aktionäre ausgezahlt wird. Der Kurs der Aktie sinkt im Augenblick der ex Dividende-Notierung um den Betrag der Dividende.

Stetige Dividenden: Im Aktienbereich nur in bezug auf nicht-dividendengeschützte Indizes sinnvoll. Soll die Tatsache approximieren, daß bei einem breit gestreuten Index (z.B. S&P 500) und quartalsmäßiger Zahlung praktisch immer eine der Aktien Dividenden zahlt.


stetige versus

Dividendenschutz: Keine Notwendigkeit der Berücksichtigung von Dividenden ergibt sich, wenn der Index „dividendengeschützt“ ist. Dies wird z.B. beim DAX 30 dadurch erreicht, daß die Dividenden wieder in die dividendenzahlenden Aktien reinvestiert werden und damit der Effekt der Dividendenzahlung für den


stetige versus diskrete Dividenden

und damit der Effekt der Dividendenzahlung für den Indexstand eliminiert wird.

Bei bestimmten Optionen finden sich Dividenden-schutzklauseln, die z.B. die Reduzierung des Strike-Preises bei Zahlung von Dividenden vorsehen. Hier ist die jeweilige Klausel zu prüfen und zu entscheiden, ob auf eine Modellierung der Dividende verzichtet werden kann.


Diskrete Dividenden: Zerlege die Aktie in ein Portfolio aus einem Zero-Coupon Bond in Höhe des Barwertes der Dividende und den verblei-benden stochastischen Teil der Aktie. Damit ist der Aktienkurs St zu einem beliebigen Zeitpunkt vor Zahlung der Dividende D gegeben durch:

)T,t(BDSS tt ×+= ∗


Modellierung von Dividenden

Dividendeder eitpunkt Zahlungszals mit TAlle bisher eingeführten Modelle können in unveränderter Form für die Modellierung des Kursprozesses von S* genutzt werden.

Achtung: Gegebenenfalls ist es erforderlich, die Volatilität für S* höher als die Volatilität von Sanzusetzen. Die Beziehung ist approximativ gegeben durch: ( )

∗

∗∗ ×+=

S

)T,t(BDSσσ


Stetige Dividenden: Wirken wie eine laufend aus-geschüttete Verzinsung. Da der erwartete Ertrag jedes gehandelten Wertpapiers unter dem aus den Preisen AD-Assets abgeleiteten Martingalmaß gleich dem „risikofreien“ Zinssatz sein muß, muß die Zahlung stetiger Dividenden bei der


Modellierung von Dividenden

die Zahlung stetiger Dividenden bei der Modellierung der Wachstumsrate der Aktien (Indizes) berücksichtigt werden

Sei d die stetige Dividendenrate, dann ersetze in allen Modellen die stetige risikolose Verzinsung rdurch den Ausdruck r-d.

Achtung: Die Diskontierung erfolgt nach wie vor mit der Rate r.

In diesem Modul wird diskutiertModul V• was man unter Zinsparität versteht,

• was Zins-Währungsswaps sind, wie man sie bewertet und welche Rolle dabei Basis-Swaps spielen,

• was Währungsoptionen sind und wie man Währungs-derivate


• was Währungsoptionen sind und wie man sie bewertet,

• was Implizite Volatilitäten und Smiles sind,

• welche Typen von Optionen auf ausländi-sche Aktien es gibt und wie man sie bewer-tet.

derivate

… was man unter Zinsparität versteht… was man unter Zinsparität versteht

Direkte Quotierung: USD/JPY: 118,00/118,10

heißt: Bank kauft USD für 118 JPY für 1 USD und verkauft USD für 118,10 JPY für 1 USD

Aus Sicht eines Japaners stellt diese Notierung eine Preisnotierung dar. Die Dimension bei einer Preisnotierung lautet:

en Währunginländischder Einheiten x


Wechselkursquo-tierung

ghen Währunausländiscder Einheit 1

en Währunginländischder Einheiten x

In der Finanzmathematik wird überwiegen die Preisnotierung verwendet. Den Wechselkurs in Preisnotierung bezeichnet man mit e.

ACHTUNG: Die Euroquotierung erfolgt als Men-gennotierung. Die Dimension dieser Notierung ist:

en Währunginländischder Einheit 1

ghen Währunausländiscder Einheiten y




Cross-Rates : USD/CHF: 1,20/1,2010

Frage: Wie muß die Quotierung für CHF/JPY lauten, wenn man beim Tausch über den USD


Wechselkursquo-tierung

lauten, wenn man beim Tausch über den USD gehen muß?

Fall 1: Bank verkauft 1 CHF für x JPY heißt: Bank verkauft 1 USD für 118,10 JPY und kauft 1 USD für 1,20 CHF, ergo Bank verkauft: 1 CHF für 118,10 /1,20 JPY

Fall 2: Bank kauft 1 CHF für y JPY heißtBank verkauft 1 USD für 1,2010 CHF und kauft 1 USD für 118 JPY, ergo Bank kauft: 1 CHF für 118/1,2010 JPY.




Fragen :

Frage 1: Unternehmen leiht sich 118,10 JPY durch Emission eines JPY-Bond mit Kurs BJPY(0,t) und


Ableitung Zinsparität

Emission eines JPY-Bond mit Kurs BJPY(0,t) und legt diesen Betrag in einem USD-Bond mit Kurs BUSD(0,t) an. Bei Anlage im USD-Bond kann das Unternehmen das den Betrag von 1 USD zum Zeitpunkt t zu einem im Zeitpunkt 0 festgelegten Wechselkurs wieder in JPY zurücktauschen. Wie hoch muß dieser Wechselkurs USD/JPY0,t,B sein, damit diese Transaktion einen Wert von Null hat?

Frage 2: Was ist, wenn das Unternehmen sich 1 USD leiht und eine Anlage in JPY tätigt?


Überlegung zu Frage 1 :

Unternehmen kauft 1 USD für 118,10 JPY und legt diesen in USD-Bond an. Zum Zeitpunkt t verfügt das Unternehmen über 1/BUSD(0,t) USD, den es zum Kurs USD/JPY0,t,B in JPY zurücktauscht. Ergebnis: 1/BUSD(0,t)xUSD/JPY0,t,B JPY. Wert des zurückzuzahlenden Bonds in JPY ist


Ableitung Zinsparität

zurückzuzahlenden Bonds in JPY ist 118,10/BJPY(0,t). Transaktion hat Wert Null für: USD/JPY0,t,B=118,10xBUSD(0,t)/BJPY(0,t).

Überlegung zu Frage 2 :

Unternehmen erhält 118 JPY für 1 USD und verfügt zum Zeitpunkt t über 118/(BJPY(0,t)xUSD/JPY0,t,G). Wert des USD-Kredites beträgt 1/BUSD(0,t). Transaktion hat Wert Null für:USD/JPY0,t,G=118xBUSD(0,t)/BJPY(0,t)



Quotierung FX-Forwards


Konstruktion :

Ein FX-Swap ist der gleichzeitige Abschluß eines FX-Forwards und einer entgegengesetzten FX-Spot-Transaktion:

Kauf JPY Forward, Verkauf JPY Spot oderVerkauf JPY Forward und Kauf JPY Spot


FX-Swaps

Verkauf JPY Forward und Kauf JPY Spot

Verwendung :

• Überrollen von auslaufenden FX-Forwards auf den nächsten Termin

• Spekulation auf die Zinsdifferenz zwischen beiden Währungen ohne das Eingehen eines Wechsekursrisikos

… was (Zins… was (Zins--)Währungsswaps und )Währungsswaps und BasisBasis--Swaps sindSwaps sind

Währungs - und

Währungsswap :

Tausch von Festzinszahlungen in einer Währung in Festzinszahlungen in einer anderen Währung.

Zins-Währungsswap:


Währungs - und Zins-Wähurngs-swaps

Tausch von Festzinszahlungen in einer Währung in variable Zinszahlungen in einer anderen Währung

Achtung:

Im Gegensatz zu „normalen“ Zinsswaps erfolgt bei (Zins-)Währungsswaps zu Beginn und zum Ende der Laufzeit ein Austausch der Nominalbeträge in den jeweiligen Währungen.


Währungs - und

Replikation eines Währungsswaps :

Abschluß eines Receiver-Zinsswaps in Währung A mit Nominalbetrag NA

Abschluß eines Payer-Zinsswaps in Währung B mit Nominaletrag NB

Problem:



Problem:

Elimination der Floating-ZahlungenAbbildung des Austausches der Nominale

Lösung Basisswap:

Direkter Tausch von variablen Zinszahlungen in Währung A in variable Zinszahlungen in Währung B


Währungs - und

Replikation eines Zins-Währungsswaps :

Abschluß eines Receiver- oder Payer-Zinsswaps in Währung A mit Nominalbetrag NA

Problem:



Problem:

Tausch der Floating-Zahlungen in Währung BAbbildung des Austausches der Nominale

Lösung Basisswap:

Direkter Tausch von variablen Zinszahlungen in Währung A in variable Zinszahlungen in Währung B.

Quotie -



Quotie -rung Basis-Swaps


Existenzberech -

Ausgangslage :

In einem Markt ohne Transaktionskosten ist die Aufnahme eines variabel verzinslichen Kredites in einer Währung und die variabel verzinsliche Anlage des Kapitals in einer anderen Währung eine Transaktion mit Wert Null. Sichert man nun zusätzlich mittels Zins- und FX-Termingeschäften alle Zahlungen ab und rollt alle Zahlungen auf das


Existenzberech -tigung von Basisswaps

alle Zahlungen ab und rollt alle Zahlungen auf das Ende der Laufzeit des Kredites und der Anlage, so muß der Wert der Endzahlung wieder exakt Null sein.

Konsequenz:

Der Basisswap-Spread müßte stets Null betragen. Mit anderen Worten: Basisswap-Spreads können nur innerhalb der durch die Geld-Brief-Spannen beim Wechselkurs und bei den Terminzinssätzen gegebenen Schranken existieren.


Bewertung von

Methode 1 :

Berechne den Barwert jedes Legs des Swaps auf Basis der aus den Swapsätzen und Terminzins-sätzen der jeweiligen Währung generierten Zero-Coupon-Bond Kurve. Konvertiere einen der Bar-werte mit Hilfe des aktuellen Spot-Wechselkurses in die andere Währung und bilde die Differenz. Fehler! Die in den FX-Forwards enthaltenen


Bewertung von (Zins-) Währungs-swaps

Fehler! Die in den FX-Forwards enthaltenen Transaktionskosten werden nicht korrekt abgebildet.

Methode 2:

Konvertiere jede Zahlung in einer der beiden Währungen mit Hilfe der laufzeitadäquaten FX-Forwards in die andere Währung und berechne den Barwert aller Zahlungen nur noch mit Hilfe der Zero-Coupon-Kurve der Währung, in die die Einzelzahlungen umgerechnet wurden. Korrekt!

Bewer-tungs -



tungs -unter-schie-de

… wie man Währungsoptionen bewertet… wie man Währungsoptionen bewertet

Anpassung des

Idee zur Bestimmung der arbitragefreien Modellierung des Wechselkurses :

tf

ttt

ft

ftt

tt

rtrexpttexpElim

)tt,t(Be

)tt,tt(BeElim

000

0

0

0

!21

0

00

00

0

2

11

11

=

∆××

∆+∆

−∆

=

−

∆+×

∆+∆+×∆

→∆

∆+

→∆

σεσµ


Anpassung des stochastischen Modells

ftt

t

rr00

0 2

−=→ ∆→∆

µ

Konsequenz:

Wechselkursoptionen können (unter Vernachläs-sigung der Transaktionskosten) behandelt werden wie Optionen auf Aktien, die eine kontinuierliche Dividende in Höhe des „ausländischen“ „risiko-freien“ Zinssatzes bezahlen. Alle Erkenntnisse aus Aktienoptionen übertragen sich entsprechend.


Bisheriger Ansatz:

Bilde ein Bewertungsmodell, bestimme die Ein-gangsparmeter und berechne den Preis der Option.

Jetzt Umkehrung:

Gegeben einen Optionspreis und alle direkt beobachtbaren Eingangsparameter, bestimme den


Implizite Volatilitäten

beobachtbaren Eingangsparameter, bestimme den letzten freien Parameter, nämlich die Volatilität, so, daß der beobachtete Preis sich als Resultat aus dem Modell ergibt.

Die so berechnete Volatilität heißt Implizite Volatilität .

Die Höhe der Impliziten Volatilität hängt von der Moneyness bzw. dem Delta der Option ab. Diese Abhängigkeit bezeichnet man als Skew oder Smile-Effect .


Impli -

ATM Implizite Volatilitäten USD/JPY:


Impli -zite Volati-litäten


Impli -

Volaspreads

0,02

0,025

0,03

0,035

Differenz Implizite Volatilitäten USD/JPY +/- 0,25 Del ta:


Impli -zite Volati-litäten

0

0,005

0,01

0,015

0,02

03ju

n200

3

19ju

n200

3

09ju

l200

3

28ju

l200

3

13au

g200

3

29au

g200

3

15se

p200

3

02oc

t200

3

20oc

t200

3

05no

v200

3

21no

v200

3

09de

c200

3

25de

c200

3

12ja

n200

4

27ja

n200

4

12fe

b200

4

04m

ar20

04

22m

ar20

04

07ap

r200

4

23ap

r200

4

12m

ay20

04

31m

ay20

04

16ju

n200

4

02ju

l200

4

20ju

l200

4

05au

g200

4

23au

g200

4

08se

p200

4

24se

p200

4

12oc

t200

4

28oc

t200

4

15no

v200

4

01de

c200

4

Date

[%]

25P6M-25C6M

… wie man Optionen auf ausländische … wie man Optionen auf ausländische Aktien bewertetAktien bewertet

Aktienkurs und Strike in Fremdwährung

[ ]0;KSmaxe ffTT −×

Aktienkurs in Fremdwährung, Strike in inländischer Währung

[ ]0;KSemax dfTT −×


Optionstypen[ ]0;KSemax TT −×

Aktienkurs in inländischer Währung, Strike in Fremdwährung

[ ]0;KeSmax fT

dT ×−

Quantooptionen: fixierter Wechselkurs, Strike in inländischer Währung

[ ]0;KSemax dfT −×


Bewertung:

[ ]0;KSmaxe ffTT −×

Ein einfaches Duplizierungsargument:

Kaufe in t0 die Option mit Zahlungsprofil

[ ]0;KSmax ffT −

Halte diese Option bis zur Fälligkeit T.


Aktienkurs und Strike in Fremd-währung

Halte diese Option bis zur Fälligkeit T.Konvertiere die zum Zeitpunkt T in Fremdwäh-rung erhaltene Auszahlung zum in T gültigen Wechselkurs eT in inländische Währung.Diese Strategie erzeugt gewünschten Zah-lungsstrom zum Zeitpunkt T.

Der Preis dieser Strategie zum Zeitpunkt t0beträgt: )E,T,K;t(PVCe f

t 00×

kann mittels BS-Formel bestimmt werden.

)E,T,K;t(PVC f0


Bewertung:

Aktienkurs in

Problem:Wie sieht ein arbitragefreies Modell aus für

[ ]0;KSemax dfTT −×

? fSe ×


Aktienkurs in Fremdwährung, Strike in inlän-discher Währung

? ftt Se ×

Ansatz:

ist ein Wertpapier in inländischer Währung. Damit muß die erwartete Rendite dieses Wertpapiers in einem arbitragefreien Modell gleich dem risikolosen inländischen Zinssatz sein.

ftt Se ×

dtr


Bewer-tung:

Aktien-kurs in Fremd -

Aktien-/ Wechselkursmodell

( )

( ) ( )

∆

−++∆

−−=

∆+∆

−−=

∆+

∆+

ttrrexpee

ttrexpSS

eefd

ttt

SSeSff

tf

tt

221

2

12

12

1

2

1

00

00

ρερεσσ

εσσρσσ


Fremd -währung, Strike in inlän-discher Währung

( ) ( ) ( )

( ) ( )

∆Σ+∆

Σ−×=

∆+++∆

++−×=

∆

−+++∆

++−×=× ∆+∆+

ttrexpSe

ttrexpSe

ttrexpSeSe

dftt

SeSeSeSedf

tt

d

eSeSeSedf

ttf

tttt

32

32222

221

22

2

1

222

1

1221

00

00

0000

ε

εσρσσσσρσσσ

ρσεσρσεσρσσσ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Σ−

=Σ

+=2

32313211

10 10ρσεερσσεεεε eeS

.d.i.i

, ;cov;;cov;;N~;;N~

Damit ist diese Option mit der BS-Formel bewertbar.


Bewertung:

Aktienkurs in

Inländische und ausländische AD-Preise

Beobachtung 1:Das aus den inländischen AD-Preisen abgeleitete WS-Maß für den Risikofaktor ε1 ist

( )10;N


Aktienkurs in Fremdwährung, Strike in inlän-discher Währung

( )1;tN e ∆ρσ

Beobachtung 2:Das aus den ausländischen AD-Preisen abge-leitete WS-Maß für den Risikofaktor ε1 muß zur Gewährleistung von Arbitragefreiheit lauten:

oder äquivalent unter dem ausländischen aus den AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß ist

( )101 ;N~te ∆− ρσε


Betrachte den Wert von unter Berücksichtigung der Dynamik der ausländi-schen Aktie unter dem aus den inländischen AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß:


Bewertung:

fTSe×


Bewertung:

Quanto-optionen

+

−−= TTrexpSeSe SSeSff

tf

T 12

2

10

εσσρσσ

Problem:Was ist der Wert dieses Payoffs unter den inländischen AD-Preisen zu einem beliebigen Zeitpunkt t0 < t < T?



Bewertung:

Lösung:Berechne den Erwartungswert des Payoffs unter dem aus den inländischen AD-Preisen abgeleiteten WS-Maß:

( )

+

−−−−= FTTrexpSeEtTrexpS ffQdf d 21 εσσρσσ


Bewertung:

Quanto-optionen

( )

( )

+

−=

+

−−−=

+

−−−−=

=

ttrexpS

ttrexpSeTrrexp

FTTrexpSeEtTrexpS

SSdf

t

SSd

S

ftSe

df

tSSeSff

tQdf

t

ft

12

12

12

2

1

2

1

2

1

0

0

0

0

εσσ

εσσσρσ

εσσρσσ

44444 344444 21

Damit ist diese Option mit der BS-Formel bewertbar.


Modul VI • was man unter Caps, Floors, Collars und Swaptions versteht,

• was man aus statischen Portfolien aus


diesen Instrumenten über ihre Bewertung lernen kann,

• wie man die Black-Formel für Caplets herleiten kann,

• was ein Cap-Smile ist.

Optionale Zinsderivate

In diesem Modul wird diskutiertModul VII

• warum Sie in dieser Vorlesung zwar hoffentlich viel gelernt haben, aber Ausblick


dennoch der Satz gilt:

„Ich weiß, daß ich nichts weiß.“

Ausblick

… Ausblick… Ausblick

Vorlesung hat Grundlagen gelegt und wichtig Begriffe und Konzepte dargestellt. Sie sind damit KEINE DERIVATE-EXPERTEN!

Wichtige Erweiterungen betreffen:

• Einführung in den zeitstetigen stochastischen Kalkül

• Vertiefung Implizite Volatilitäten, Smiles und stochastische Volas

• Vertiefung/Einführung in andere Assetklassen


Was fehlt • optionale Zinsderivate und zugehörige Bewertungsmodelle, insbesondere LIBOR-Market

• Kreditderivate

• Modellkalibrierung

• Verbesserte numerische Methoden (Bestimmung der Griechen, American Monte-Carlo)

• Hedging in unvollständigen Märkten und mißspezifizierten Modellen

In diesem Modul würde diskutiert

VertiefungModul VI

• wie man dynamische stochastische Model-le für Zinsderivate konstruieren kann,

• wie das Hull/White/Vasicek-Modell für Zinsderivate aufgebaut ist und wie man es mittels Vorwärtsinduktion kalibriert,



mittels Vorwärtsinduktion kalibriert,

• wie man in diesem Modell Bermuda-Swaptions bewertet,

• welche Herausforderungen sich bei anderen exotischen Zinsderivaten stellen

• u.v.a.m.

Optionale Zinsderivate


Modul VIII

• was man unter CDS, TRS, CLN, FTD, CDO und CDO² versteht,

• was der Unterschied zwischen impliziten und historischen Ausfallwahrscheinlichkei-ten ist und wie man eine Credit-Curve konstruieren kann,



konstruieren kann,

• wie man diese zur Bewertung von CDSs nutzen kann,

• welche Bedeutung die Ausfallkorrelation bei der Bewertung bestimmter Kreditderi-vate besitzt

• wie man Ausfallkorrelation handeln kann

• u.v.a.m.

Kreditderivate


Modul N



• ……………...Thema N

• Die Vorlesung hat mir Spaß gemacht. Sie hat auch mir geholfen, manche Dinge noch einmal klarer zu sehen.

• Ich hoffe, Sie hatten ebensoviel Freude daran und werden auch Spaß daran haben, den Stoff nachzuarbeiten.

• Ich wünsche Ihnen Viel Erfolg in der Klausur!

… Schlußwort… Schlußwort


Dr. Daniel SommerKPMG+49 (69) [email protected]

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Derivate und Bewertung - bank.uni-hohenheim.de · Front Office Mitarbeiter/in Derivatives Settlement Risk Analyst Senior Quantitative Analyst - Derivatives • mein Wunsch, Sie an