Didaktik der Geometrie - aau.at · Formeln für Flächeninhalte von Dreiecken und Vierecken begründen und damit Flächeninhalte berechnen können,

Didaktik der Geometrie

Lektion 5: Ahnlichkeitsgeometrie, Korper

Andreas Vohns

Zugehoriges interaktives Video unter: https://goo.gl/iY6RyW

Wintersemester 2017/8

Ubersicht

UbersichtInhalte des Lehrplans

Geometrische ModelleModellbilden, Darstellen, Konstruieren

AhnlichkeitsgeometrieAhnlichkeit und StrahlensatzeSatz von PythagorasKreismessung

KorperObjektbegriffe: KorperVolumensformeln fur Korper

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Ubersicht: Inhalte des Lehrplans

5. Klasse: ausgehend von Objekten der Umwelt durch Idealisierung und Abstraktion

geometrische Figuren und Krper sowie ihre Eigenschaften erkennen und beschreiben knnen,

aufbauend auf die Grundschule Kenntnisse ber grundlegende geometri-sche Begriffe gewinnen,

Skizzen von Rechtecken, Kreisen, Kreisteilen, Quadern und ihren Netzen anfertigen knnen,

Zeichengerte zum Konstruieren von Rechtecken, Kreisen und Schrgris-sen gebrauchen knnen, -Mastabszeichnungen anfertigen und Lngen daraus ermitteln knnen;

Umfangs- und Flchenberechnungen an Rechtecken (und einfachen dar-aus zusammengesetzten Figuren),

sowie Volums- und Oberflchenberechnungen an Quadern (und einfa-chen daraus zusammengesetzten Krpern) durchfhren knnen,

Formeln fr diese Umfangs-, Flchen- und Volumsberechnungen aufstel-len knnen;

Winkel im Umfeld finden und skizzieren, Gradeinteilung von Winkeln kennen, Winkel mit dem Winkelmesser (Geodreieck) zeichnen knnen;

einfache symmetrische Figuren erkennen und herstellen knnen.

6. Klasse: Dreiecke, Vierecke und regelmige Vielecke untersuchen, wesentliche Ei-

genschaften feststellen, -die Figuren skizzieren und konstruieren knnen, Erkennen, ob Angaben mehrdeutig sind oder berhaupt nicht in Konstruk-

tionen umgesetzt werden knnen, kongruente Figuren herstellen knnen, die Kongruenz begrnden knnen;

Eigenschaften von Strecken- und Winkelsymmetralen kennen, und fr Konstruktion anwenden knnen;

Flcheninhalte von Figuren berechnen knnen, die sich durch Zerlegen o-der Ergnzen auf Rechtecke zurckfhren lassen,

Volumina von Prismen berechnen, mglichst in Anwendungsaufgaben.

7. Klasse: Vergrern und Verkleinern von Figuren, hnliche Figuren erkennen und beschreiben;

Formeln fr Flcheninhalte von Dreiecken und Vierecken begrnden und damit Flcheninhalte berechnen knnen,

Umkehraufgaben lsen knnen, Gegenstnde, die die Gestalt eines Prismas oder einer Pyramide haben,

zeichnerisch darstellen knnen, Oberflche, Rauminhalt und Gewicht von Gegenstnden, die die Gestalt

eines Prismas oder einer Pyramide haben, berechnen knnen;

den Lehrsatz des Pythagoras fr Berechnungen in ebenen Figuren nutzen knnen.

8. Klasse: den Lehrsatz des Pythagoras fr Berechnungen in ebenen Figuren und in

Krpern nutzen knnen, eine Begrndung des Lehrsatzes des Pythagoras verstehen, Berechnungsmglichkeiten mit Variablen darstellen knnen;

Schranken fr Umfang und Inhalt des Kreises angeben knnen, Formeln fr die Berechnung von Umfang und Flcheninhalt des Kreises

wissen und anwenden knnen, Formeln fr die Lnge eines Kreisbogens und fr die Flcheninhalte von

Kreisteilen herleiten und anwenden knnen;

Formeln fr die Berechnung der Oberflche und des Volumens von Drehzylindern und Drehkegeln sowie fr die Kugel erarbeiten und nutzen knnen.

Geometrische Modelle Darstellen Wintersemester 2017/8 4

Modellbilden, Darstellen, Konstruieren

LehrplanLehrplan

Skizzen von [. . . ] Quadern und ihren Netzen anfertigen

Zeichengerate zum Konstruieren von [. . . ] Schragrissengebrauchen

Mastabszeichnungen anfertigen und Langen daraus ermitteln

Gegenstande, die die Gestalt eines Prismas oder einerPyramide haben, zeichnerisch darstellen


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Geometrische Modelle Darstellen Wintersemester 2017/8 5

Modellbilden, Darstellen, Konstruieren

Standards M8Standards M8

. . . in der Lesart dieser Lehrveranstaltung

Modellbildenreale Gegenstande durch mathematische Figuren

und Korper beschreiben und ggf. auch zeichnerisch . . .

Darstellen Zeichnungen erstellen, denen geometrische Figurenals Gestaltungselemente zu Grunde liegen.

Konstruieren Mit ausgewahlten Werkzeugen, uber die man gutBescheid wei, Zeichnungen regelgeleitet erstellen, ausdenen man sich zutraut, auch Zusammenhange uberdie zu Grunde liegenden Figuren zu entnehmen.

Alle drei haben mit geometrischen Modellengeometrischen Modellen zu tunDidaktik der Geometrie

Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 6

Ahnlichkeit

Intuitives Begriffsverstandnis:Intuitives Begriffsverstandnis: Mastab (1. Klasse)

Expedition Mathematik 1 (Kraker, Plattner & Preis, 2007)


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Ahnlichkeit

Schulbuch-Erklarung:Schulbuch-Erklarung: Ahnlichkeit (3. Klasse)

Figurlich orientiert (Kraker, Plattner und Preis, 2009)

Bei ahnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich gro undentsprechende Streckenlangen stehen im gleichen Verhaltniszueinander.

Fruher auch ublich:

Abbildungsgeometrisch orientiert

Zwei Figuren sind ahnlich, wenn eine Ahnlichkeitsabbildung(Verknupfung von Kongruenzabbildung und zentrischer Streckung)existiert, die die eine auf die andere abbildet.



AhnlichkeitFiguren vergroern und verkleinernFiguren vergroern und verkleinern

Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)


4


AhnlichkeitFiguren vergroern und verkleinernFiguren vergroern und verkleinern




Strahlensatze



5


Strahlensatze: Begrundung



Strahlensatze: Begrundung



6


Strahlensatze: Anwendungen

Ahnliche DreieckeAhnliche Dreiecke




Strahlensatze: AnwendungenVermessungsprobleme: Messung kleiner und groer Strecken wird wechselseitig austauschbar (auch: unzugngliche Strecken knnen vermessen werden)

Teilungsprobleme: Vorgegebene Strecken lassen sich in jedem (kommensurablen) Verhltnis teilen: (alte) Anwendung:Nomogramme(Rechenbltter)

Bildquellen: Lambacher und Schweizer (1971)


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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 15

Sachverhalte erarbeiten (Grundfragen des MU)

146Jrgen Roth Fachdidaktische Grundlagen

Didaktische Aufgaben

Entdecken von SachverhaltenInduktiv, deduktiv o. Hypothesen widerlegenBeispiel: Quadrieren vergrert.

Formulieren der Sachverhalteals mathematische Aussagen

Begrnden der AussagenLogische Struktur (Voraussetzung, Behauptung) herausarbeitenZiele des Begrndens

Wahrheit einer Aussage sichernEinsicht in den Sachverhalt vermitteln

Verstehen der Sachverhalte

Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu (neuen) mathematischen Erkenntnissen fhren

Fallunter-scheidung

-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5

0 5

0,5

1

1,5

2

2,5

3

x

y

22 = 4 > 232 = 9 > 342 = 16 > 42 >

\[0; 1]

(Roth (2016) in Anlehnung an Vollrath und Roth, 2012, S. 248)



Satz von Pythagoras



8


Satz von Pythagoras




Satz von Pythagoras



9


Satz von Pythagoras

Mathematik heute 9 (Realschule (DE); Griesel und Postel, 2002)



Satz von Pythagoras

Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al., 2006)


10


Satz von Pythagoras




Satz von Pythagoras



11


Satz von Pythagoras




Satz von Pythagoras

Nach einer Idee von Danckwerts und Vogel (2003)


12


Satz von Pythagoras

Ahnlichkeitsbeweis der SatzgruppeAhnlichkeitsbeweis der Satzgruppe



Satz von Pythagoras



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Satz von Pythagoras

Mathematik heute 9 (Realschule (DE); Griesel und Postel, 2002)


Ahnlichkeit Kreismessung Wintersemester 2017/8 28

Kreismessung

NaherungNaherung

Expedition Mathematik 4 (Kraker, Plattner & Preis, 2010)


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KreismessungIterationIteration (mit DGS)



KreismessungIterationIteration (mit Rechnung)

Wir beschrnken uns im Folgenden auf ein-beschriebene n-Ecke. Wir zeigen, wie manaus der Seitenlnge sn und dem Inkreisradiusn des regelmigen n-Ecks diejenigen desregelmigen 2n-Ecks rekursiv berechnenkann (siehe Figur):Es sei AB = BC = ... = s2n die Seitenlnge desregelmigen 2n-Ecks und AC = sn diejenigedes regelmigen n-Ecks.Ferner sei x = PB = r n, wobei n = MP derInkreisradius des regelmigen n-Ecks ist.Nach dem Kathetensatz fr Dreieck BCH gilt:s2n = BC = BP BH = x 2 r = (r n) 2 r

MA

B

C

P

H

Q

s2n

nsn

2nr

Damit erhlt man: s2n = n2 r (r ) (I)Satz von Pythagoras fr Dreieck MAQ ergibt:2n = r (s2n/2) = r (r + n)/2.Damit erhlt man: 2n = nr (r ) / 2 + (II)

Krauter und Bescherer (2013)


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Korper Wintersemester 2017/8 31

Raumvorstellung

PflichtlektureQuelle: Arbeitsgemeinschaft Didaktische Innovation fur Geometrie (2015)


Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 32

Objektbegriffe: KorperWahrnehmen und Beschreiben:Wahrnehmen und Beschreiben: (1. Klasse)



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Objektbegriffe: KorperDarstellen: SchragrisseDarstellen: Schragrisse (1. Klasse)




Objektbegriffe: Korper

Darstellen: ProjektionenDarstellen: Projektionen (GZ)

(Krauter & Bescherer, 2013)


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Objektbegriffe: KorperDarstellen: SchragrisseDarstellen: Schragrisse (6. Schulstufe (DE))

Bildquelle: Weigand (2004)



Objektbegriffe: KorperKonstruieren: SchragrisseKonstruieren: Schragrisse (3. Klasse)

Das ist Mathematik 3 (2. Auflage; Reichel, Litschauer und Gross, 2003)


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Objektbegriffe: KorperAbfolge / SystematikAbfolge / Systematik

Prisma

Bildquelle: Weigand (2004)



Objektbegriffe: KorperAbfolge / SystematikAbfolge / Systematik

Bildquelle: Weigand (2004), Affolter (2011)


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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 39

Volumen: Wurfel und Quader

Mabegriff bilden:Mabegriff bilden: (1. Klasse)

Quelle: Baireuther (1990, S. 85)



Volumen: PrismaZerlegenZerlegen (3. Klasse)



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Volumen: Pyramide

ZerlegenZerlegen (3. Klasse)



Volumen: PyramideSchuttversuch, ZerlegenSchuttversuch, Zerlegen (3. Klasse)



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Volumen: Cavalieri-Prinzip

Herleitung

Herleitung (anschaulich)

Mathematik 9 (Griesel & Postel, 2002)



Volumen: ZylinderNaherungNaherung (4. Klasse)

Expedition Mathematik 4 Kraker et al., 2010


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Volumen: KegelNaherungNaherung (4. Klasse)

Expedition Mathematik 4 Kraker et al., 2010



Volumen: Cavalieri-Prinzip

Kegelvolumen:Kegelvolumen: Begrundung

Mathematik heute 9 (Griesel & Postel, 2002)


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Volumen: Cavalieri-PrinzipKugelvolumen:Kugelvolumen: Begrundung

Quelle: Howe (2013)


Literatur

Affolter, W. (Hrsg.). (2011). Das Mathematikbuch 7, Ausgabe A: Lernumgebungen. Stuttgart: Klett.Arbeitsgemeinschaft Didaktische Innovation fr Geometrie. (2015). Raumvorstellung die vier Fakto-

ren. https://goo.gl/7mpFS6.Baireuther, P. (1990). Konkreter Mathematikunterricht. Bad Salzdetfurth: Franzbecker.Danckwerts, R. & Vogel, D. (2003). Dynamisches Visualisieren und Mathematikunterricht. Ein Ausloten

der Chancen an zwei Beispielen. Mathematik lehren, (117), 1922, 39.Griesel, H. & Postel, H. (Hrsg.). (2002). Mathematik heute 9, Realschule. Schulbuch. Schroedel Verlag.Heinrich, R., Hirsch, A., Rothkirsch, U., Schmidt, U., Schneider, C., Schunk, J. & Unger, M. (Hrsg.). (2006).

Level 9 Mathematik: Lehrbuch fr die Klasse 9 Gymnasium Sachsen. Berlin, Frankfurt a. M.: DUDENPAETEC Schulbuchverlag.

Howe, P. (2013). Herleitung des Kugelvolumens mit Halbkugel und Vergleichskegel (GeoGebra Applet,CC BY 3.0). https://goo.gl/Z9oCDH.

Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2007). Expedition Mathematik 1: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner.Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2009). Expedition Mathematik 3: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner.Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2010). Expedition Mathematik 4: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner.Krauter, S. & Bescherer, C. (2013). Erlebnis Elementargeometrie. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Hei-

delberg.Lambacher, T. & Schweizer, W. (1971). Geometrie. Lambacher-Schweizer Mathematisches Unterrichts-

werk. Stuttgart: Klett.Reichel, H.-C., Litschauer, D. & Gross, H. (2003). Das ist Mathematik: Lehrbuch und Aufgabensammlung fr

die 3. Klasse der allgemeinbildenden hheren Schulen und der Hauptschulen (2. Aufl.). Wien: bv & hpt.Roth, J. (2016). Fachdidaktische Grundlagen: Vorlesungsfolien. Koblenz. Zugriff unter https://goo.gl/tE1iPsVollrath, H.-J. & Roth, J. (2012). Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (2. Aufl.). Hei-

delberg: Spektrum Akademischer Verlag.Weigand, H.-G. (2004). MaDiN: Didaktik der Geometrie. https://goo.gl/bBBDHH.

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