Gedruckt mit Untersti i tzung d e r Universitiit Wien

Die Aquivalenz der Ces/lro'schen und HOlder'schen Mittel

Yon

Hans Hahn in Wien

Anliil31ich der vorstehenden Untersuchungen iib~r Reihen mit monoton abnehmenden Gliedern ergab sich mir ein ganz einfacher Beweis ffir die ~quivalenz der Ces/tro'schen und HSlder'schen Mittel, der nur von den allerelementarsten Hilfsmitteln Gebrauch mactit, und ganz direkt, ohne jeden Kunstgriff zum Ziele gelangt. Da er, wie mir scheint, noch leichter zug/inglic h ist als der bekannte Beweis yon J. S c hu r , ~ so gest'atte ich mir, ihn im folgenden mit- zuteilen.

Wir werden uns auf den folgenden bekannten Grenzwertsatz sttitzen: 2

1. Es e n t s t e h e die F o l g e {x~} a u s de r F o t g e {x~} d u r c h di, e l i n e a r e T r a n s f o r m a t i o n

- - 2 a , , ~ x~, (n - - 1, 2 . . . . ) .

O e l t e n d a n n fiir d ie K o e f f i z i e n t e n a~,k d i e s e r T r a n s - f o r m a t i o n die B e d i n g u n g e n :

1, 2 an, hi <: M ffir alle n;

2. l i m a, , ~ ~--- 0 ftir alle k ;

1 Math. Ann., f4 (1913), p. 447. 2 0 . T o e p l i t z , Prace mat. fiz. 22 (191t), p. 113.

136 H. Hahn,

k = l

so fo lg t aus der K o n v e r g e n z der Fo lge {x$} K o n v e r g e n z tier Fo lge {x~} u n d e s ist:

lim ~---~ lim xl~. n = o o k = o o

Sei in der Tat:

lim x~ = l; k = ~ O

ist ~ > 0 beliebig gegeben, so gibt es ein ko, so daft:

I xe--Z[ <~ e fiir k :> k 0,

auch die

(t)

Wegen Bedingung 3. i s t

n

lira y , a~, ~ . l = l,

E s genfig t, a l so zu zeigen; daft:

n

k = l -

(2)

ist. Nun i s t aber (sobald n > ko)"

k = l k = l k = l

- l) + (3)

+ f i a a . , ~ (xk ~ l). -

Wegen Bedingung 2. ist:

/z 0

k = t

also: ko

n. (4)

.Aquivalenz der Ces&ro'schen und HSlder'schen Mittel. 137

Wegen Bedingung i. und (1) ist:

2 , a~, e (xk - - l) ] <:: e M ftir alle te. ]~=/%

auS (4) und (5) iolgt fth" (3):

2 I x~n- as, ~. ! < ~ ( M + 1) for fast alle ~.

Damit aber ist (2) und somit c~er Grenzwertsatz bewiesen.

(5)

2. Sei {~} eine beliebige Zahlenfolge. Wir setzen

kann~er Weise:

s;~ = ~ ; s % * ' ) = s( ; ) + s( ; ) + . + s ( ~ ).

in be-

Dann sin, d die r - t e n finiert durch:

Es entstehen a l so die C(~ ) Transformation der Gestalt:

C e s ~ t r o ' s c h e n Mit te l

CT = ( ~ 4 - : - - 1 )

aus den

aus den u~ d e -

~ durch e ine lineare

(b,,,~ =V o);

es kann also auch umgekehrt u~ linear ausge.drtickt werden durch , ~ / ,

C(';),. , . , C(~), und somit ist jede Linearform v~u~ in ~1,-- . , ~,~ k = I

auch (auf eine und nur eine Weise) darstellbar .als Linearform in C ( [ ) , . . . , C(~), und zwar. kann diese Linearform s0fort explizit auf- geschrieben werden. Zu dem Zwecke erg/inzen wit die endliche Folge vl, . . . . , v~ zu einer unendlichen Folge {v~}, indem wir ftif k ~ n setzen v~---0, und definieren die r-ten_Differenzen der Folge {ve} durch:

D~ -:- v~; D(r+l)vt~ ~ D(r)v~ - - D(r)v]~+~.,

Dann ist:

D(Ov~ 0 ftir k >- n. (6)

138 H. Hahn,

Eine bekannte Umformung ergibt unter Beachtung yon (6):

2 8~ ' D(r> v~ z S(~+~) DO')v, + (S<~+~>- S(~+~>) D(~>v 2 +... + (S(~+I) --

- s%tl)) n(,')v~ = S<,,+~> (D(Ov,--D(r)v~) + S(r+ 1) (D(Ov~--D(Ov~) +

+ . . . + s( ,+ ~) (n('> ~ . - - n w ~,i+J),

d. h. es ist:

k=l ~=I

und da ffir r - - 0 .die linke Seite in 2 vl~#~ tibergeht, haben wir . k___:t

die gewtinschte Darstellung:

Ftir die in der Linearform rechts auftretenden Koeffizienten

~(~+; -~1 l ~ l < y I ~+~ '1 ~ l <~

in der Tat, es ist:

�9 ( # + s . - - t ' - - 1 ~

~=I k=l q~

/ r

3. Sei wieder {u~} eine beliebige Zahlenfolge. Wit setzen:

1 H ''+~' (H<~ + H ( f + , + s T ) ;

~quivalenz der Ces~.ro'schen und HSlder'schen Mittel. 139

dann sind die H(~ ~ die r- ten HSlder'schen Mittel aus den uk. Auch sie entstehen aus den uz. dutch eine lineare Transformation der Gestalt:

k = l

sodaf~ jede Linearfo~m

r

2 vie u~ in u ~ , . , . , u~ gleichzeitig (auf eine

und nur eine Weise) als Linearform in H c D , . . . , H(~ ) geschrieben werden kann. Man erh/ilt diese Linearform in folgender Weise. Wie in w 2 erg/inzen wir v l , . . . , % zu einer unend!ichen Zahlenfolge {vk}, indem wir v ~ - - 0 setzen ffir k ::> n. Aus dieser Folge {Vk} bilden wi t Zahlen E(r)v~ naeh der Regel:

E(~ = v~; E("+l)vT~ = k (E(~) v~ - - E(~)v~+l). (9}

Dann ist:

EO')v~ = 0 for k > n, (10)

u n d eine s'chon in w 2 benutzte Umformung ergibt:

2 2 E(r)v~ H(~ ~ - - (EO')v~, - - E(~)vk+~) ' (H(~')+H<~')+... +H(~ )) "-- k = l k = l

- - 2 k (E(i'iv~ - - E(r)vk+x) H ( ~ 1), k = l

d. h. es ist:

75 r

k : ] k : l

D a r a u s folgern wir:

~t S t

k = l k = l

(tl)

Ffir die rechts auftretenden Koeffizienten E(")vk gilt auch hier: Ff i r s - < : r i s t

k=1 k=l

(i2)

t40 H. Hahn,

In der Tat, unter Ber/icksichtigung yon (9) und (t0) hat man:

k = l k - - 1 1:--1

4. Durch vollst/indige Induktion besffitigt man ohneweiters, daft (ftir r~:~ 1) zwischen den E(ev~ und den D(r)v~ eine Relation der folgenden Gestalt besteht:

E(r)v~ k r D(r)v~+PrC)I (k,) D(r-1)v~+l + . , . + P(~) (1~) DO)v~+r_l , (13)

"wo P~P(k) ein ( v a n der Fo tge {v~} unabh~ngiges) Polynom /-ten Grades in k bedeutet.

In der Tat, nehmen wit (13) als erwiesen an, so ist:

(k+ 1) r D(~)v~+i--P(r_)~(k+ 1) D(r-gv~+~. . . . P('~)(k+ 1)D0)v~+~};

das aber kann, wenn Qi(k) ein Polynom /-ten Grades in k bedeute t , auch so geschrieben werden:

E(~+l)v,~-- k{ler(D(~)v~ D(~)vk+~) + Q,.-t(Ie)DC*)v~+I + P~(e)l(k)(D(~ 1)v~+, - - D ( ' - ~ ) v > ~ ) + O , _ ~ (k ) D ( " - ~ v ~ + ~ + . . . +P(D (~) (DO)v~+.~_~

DO)v~+r) + Qo (k) D0)v~+~}

und das hat tats/ichlich die Gestalt:

E(~+l)v~: k~+) D(~+l)v~ + p(r+O (k)D(~)v~41 + . . . + p(r+l) (k) D(~)v~+~_~ + + p ( r + l ) (lg) D(1)v t ,~+r �9

Sei nun eine lineare Transformation gegeben:

u" --: 2 v,, ~ u~ 0'z - - 1, 2 , . . . ).

Wir bilden ffir jede Zeile die beiden Ausdriicke:

D(~) - - 2 'k - f -r - - 1~ D(~)v,~, 1~ ," E(~ : I EO')v,, h : l ~ - - 1

und behaupten: Die be iden F o l g e n D('~),D('s D(~),... E('~),,E('s s ind s t e t s g l e i c h z e i t i g b e s c h r g n k t ) ~

Lind

a Es gentigt, dies fiir r ~ - 1 naehzuweisen, denn fiir r - - 0 sind die beiden

Folgen identiseh.

Aquivatenz der CesAro'schen und H61der'schen Mittel. 14::I

Sei zun~ichst die Folge der D(~) beschr/inkt:

D~). ~ < M f f i r a l t en .

Nach (8) ist dann a4ch:

D(~) <~ M fiir s - - 0, 1, 2 , . . . , r u n d alle ~4.

Da kS '< s, ( l e + s - 1 ) so folgt daraus, daft ffir ein geeignetes \ s

M ~ auch:

' [ D(s)vn, a, ! "< s - - 0, 1, 2 , . . . , r u n d alle 14, ks M 1 fiir k = l

mithin erst recht:

k s j D(s)v,a, 1~+r-s j<-~ flit s -~- O, 1, 2, . . . , r u n d alle .n, ~ M I

k = l

daher auch:

ki l D (s)v~, ~§ I <_~ M' mr 0 "%_ i <~ s ~ r u n d alle ~. k = l

Aus (I3). ergibt sich sodann, dal3 auch die Folge E(I') , E(~),.. ~, E~), . . . . #eschrS.nkt ist.

Wir haben n o c h die Umkehrung zu beweisen: ist die F01ge der E(~) beschr/inkt, so auch die der D(~). Dies beweisen wir durch vollst~indige Induktion. Die Behauptung ist riehtig f~r r = 1; denn es ist:

E(1)v~ ( ~ ) D(1)v~.

Angenommen, die Behauptung sei richtig ftir s - - 1, 2 , . . . , r - -1 . Ist nun die Folge der E(~) beschrgnkt, so nach (12) auch jede der

F o l g e n E(n s) ( s = 1 , 2 , . . , , r - - l ) , daher nach Annahme auch jede tier Fotgen D(s) (s~__tl, 2 , . . . , r - - l ) , mithin, wie wir eben sahen

r

auch . jede der Folgen 2 kr l D(*)v,,, ~+~_~ (0 <= { <__ s <__ r - - ! i) mit- k = J .

qr

2 hin in (13) jede der Folgen 1P$2~ (k) D("-*)v,,, ~+~ t, mithin zu- k = l

folge (13) auch die Folge 2 k" I D(r)vn, 1~ I, mithin, da

k + 1 <: m - k" ,auch die Folge der D([~).

142 l-I. Hahn,

5: Die HGlder'schen Mittei aus den {uk} drficken sich, wie wir in w 3 sahen, durch die u~ aus vermSge yon Formeln:

H(r) --- 2 on' k $#k.

Nach (7) kSnnen wir start dessert schreiben:

(t4)

WO

t J k ~

k = l

05)

cn ~ - - - D (r) cn , ~.

Wir zeigen, dab die cn,(r)l~ den Bedingungen 1., 2., 3. des Grenz- wertsatz~s yon w 1 gentigen,

Um zu beweisen, daft Bedingung 1. erffillt ist, genfigt es nach w 4, zu zeigen, dab die Folge der Zahlen:

k = l

beschr/inkt ist. Nach (11) ist aber:

It. n

k = l 1~-----1

es ist also:

01 fur k - < n E(") c~, ~ - - fiir k - - n,

womit die Behauptung bewiesen ist. Um zu zeigen, dat3 Bedingung 2. erffillt ist, bemerke man, daf3

w e n n in der Folge {uk} ein G l i ed - - 1, alle a f i d e r e n - - 0 sind, die zugeh5rigen H([) gegen 0 konv'ergieren. Daraus folgt, daft in (14):

daher ist auch:

lira c..,~ = 0 ffir al le 'k;

lim D('j)Cn, k - - 0 ffir alle k,

und somit nach (16) auch:

5quivalenz der Ces~,ro'schen und H61der'schen Mittel. 143

lim - (r) ~n, l~ --- 0~

womi t die Beha'uptung bewiesen.

Um endlich zu zeigen I dal3 Bedingung 31 erffillt ist, se tze man u~ - - 1 ftir atle'~k. Dann ist auch H(~) -~ 1 ftir a l l e n und C~ ) :-~" 1 ffir alle k und aus (15) folgt:

n

c 1 ffir alle ~r ( r ) _ _ n , / ~ - -

k = l

Also ist auch Bed ingung 3. erffillt.

Der Grenzwer t sa tz yon w 1 ergibt also:

I m m e r , w e n n d i e F o l g e d e r C~) k o n v e r g i e r t , s o k o n - v e r g i e r t a u c h d i e F o l g e d e r H(~) g e g e n d e n s e l b e n G r e n z - w e f t . Und g e n a u so beweis t man die Umkehrung .