Aus dem Physiologischen Institut der Universit~t Lausanne. (Direktor: A. Fleisch.)

Die Berechnung yon Mittelwerten in der Biologie. Von

A. Fleisch und J. Tripod. Mit 2 Textabbildungen.

(E4ngegangen am 23. April 1942.)

Die biologische Forsehung sucht, wem~ immer mSglich, quantitativ mes~ende Verfahren zu verwenden. Abet da dem biologischen Objekt eine starke Variabilit/it eigen ist, so kann man sich in der Regel nicht mit einer einzigen Messung zufriedenstellen, sondern es Jst eine Mehrzahl, eventuell eine Vielzahl vo*t Messungen erforderlich, ans denen dann, da sie stark streuen, der Mittelwert gezogen wird. Als Mittelwert ans einer solchen Versnchsserie wird in Pharmakologie, Physiologie nnd Biologie sozusagen dnrehwegs das arithmetische Mittel ans den Einzelversuchen verwende~, eventnell mit Angabe der mathematischen Dispersion, sofern der Antor einen Hang zur Pri~zision hat und mathematischen Begriffen nicht abhold ist.

DJeses Verfahren, a ls Mittelwert da- arithmetische Mitre] einer Versnchs- serie zu verwenden, Jst in vielen F/illen dnrchaus riohtig, in anderen Fs hingegen unrichtig und kann zn wesentliohen Irrtiimern fiihren. Gerade bei den pharmakologischen Methoden, wo h~ufig die Wirksamkeit einer Substanz an der Wirksamkeit einer Zweiten gemessen wird, veranlalh die Verwendung des ari~hmetischen MitteIs unter Umst~tnden grol]e Fehler.

Um die Unbrauchbarkeit des arithmetischeD Mittels auch dem mathematisch Wenig versierten Leser begreiflich zu machen, sei ein ein- laches, konstruiertes Zahlenbeispiel behandelt:

Zwei Substanzen A und B, von ~hnlicher oder gleicher Wirksamkeit, sind an einem biologischen Test auf ihre Wirksamkeit vergleichend unter- sucht worden. Wen~ das biologische Testobjekt eiue konstante Empfind- lichkeit aufweisen wiirde, so kSnnte einfach die Menge der Snbstanz A bestimmt werden, die einen gewissen Effekt ausl5st, nnd ebenso die Menge der Substanz 2~, die den gleichen Effekt gibt. Wenn abet, wie das meistens der Fall ist, das biologische Testobjekt, z. B. ein iiberlebender Darm oder Uterus, seine Empfindlichkeit ira Verlauf des Experirnentes /indert, so wird folgenderma~en verfahren; Die beiden Substanzen A nnd B werden abwechslungsweise in solcher Menge verabreicht, dal3 sie den gleiohen biologischen Effekt ausl6sen. Bei einer grSl]eren Versnchsserie werden ungefs 1/a bis ~/.~ der Vergleiche verschieden starken biologischen Effekt ergeben haben und kSnr~en somit nicht znm Vergleich der Wirknngsstgrke der beiden Substanzen A und B verwendet werden. Nut in den vet-

136 A. FL:EISCH und J. TltlPOD:

bleibendsn Vsrsuchen wird die Gleichheit der biologischen Wirkung der Substanzen A und B erhaltsa worden sein, und nut diese dienea zur Statistik, aus der das arithmetisehe Mitte] bsrechnet werden sell. Aus den variablea Dossa yon A und B wird nun das Dosenverhi~]tnis A : B = x : 1 berechnet, wobei die Substanz B als Standard angeaommen wird nnd ihr willkiirlieh der Weft 1 gegeben wird. Die Statistik lautet also folgender- maven:

Gle iehe b i o l o g i s c h e W i r k u n g wurde e r h a l t e n bei: A : B = x : l B : A = y : l

8 togA = 2mg B 4:1 0,25:1 2 togA ~ l m g B 2:1 0 , 5 : 1 2togA = 2 m g B 1:1 1 :1 4 togA = 2 m g B 2:1 0 , 5 : 1

Arithmetisches Mittel : 2,25 : 1 0,562 : 1

Das arithmetischs Mittel dieser Statistik ergibt fiir das Dosenverhaltnis A : B = 2,25 : 1, d. h. es miissen yon Substanz A 2,25mal grSl]ere Mengen als von Substaaz B vsrwendet we~den, um den glsichen biologisehen Effekt zn erhalten.

Bei der Berechnnng der obigen Statistik wurde die Substanz B als Standard angenommsn, was abet willkiir]ich ist. Mit der gleiehsn Be- rechtigung kSnnen wir anch die Substanz A als Standard almehmen; denn mathematiseh gesproehelr ist keine bevorzugt. Wit berechuen somit das Dossnverh~ltnis B : A = y : l nnd srhalten so als arithmetisches Mitte] B : A = 0,562 : 1, d .h . dab 0,562 mg B den gleichen biologisehen Effekt gebsn wie 1 mg yon Substanz A. Wird aus dem Verh~ltnis B : A = 0,562 : 1 das Verhgltnis A : J~ berechnet, so erhiilt man A : B -- 1,78 : 1~ wi~hrend wir nach der ersten Berechnungsart erhalten haben A: B = 2,25 : 1. Je nachdem die Snbstanz B oder abet die Substanz A als Standard aagenommsn wird, erhalten wir fiir das Dossnverhiiltnis A : B zwsi vsrschiedene Werte, niimlich 2,25 : 1 bzw. 1,78 : 1. Dies ist sicher falseh, denn den beiden Be- rechmmgsarten liegt die gleiche Versuchsreihe zngrunde, and beide Be- rechnungsarten sollten, wenn sie richtig sind, das gleiche Resultat ergeben. Dabei ist zu bstonen, dab sowohl die Berechnungsart A :/~ wie auch die- jeaige yea B : A die gleiche Berechtigung habea; dean mathematisch gesl0rochen kana keine Substanz als Standard bevorzugt werdsn. Tat- s~chlieh ist es reine ~iiUkiir, ob wir A oder B als Standard wKhlen und ibm den Vergleiohswert ! gebsn. Die Tatsache der zwei verschiedeaea arith- metisshen Mittel des gleiehen Kollektivs fiihrt uns zur Auffassnng, dal] die Bereclmnng des arithmetisehsa Mittels ffir diessn Fall nnbrauohbar ist.

Eia vsrniinftiges Resultat wird hingegen erhalten, wemx man anstat t des arithmetischen das geometrische Mittel bereehnet. Wit gehen wiederum aus yon dsr Reihe A : B = x : 1 der obigea Tabelle. Die n-Werte fiir x werden llntereiaxander multipliziert nnd naehher dis n4e Wurzel aus dem

Die Berechnung yon Mittelwerten in der Biologie. 137

Produkt gezogen. Bei grSl~eren Versuchsreihen wird man praktisch so vorgehen, dal~ man die Logarithmen der verschiedenen Werte you x addiert, dnreh n dividiert, und der zugehSrige humerus logarithmus gibt darm das geometrische 5Iittel der Werte yon x an. Das geometrische Mittel der Reihe A : B = x: 1 ergibt fiir x den Weft 2; A : B ist also gleich 2 : 1.

Wenn man die umgekehrte Berechnungsart wi~hlt, ngmlich B :A = y: 1, so erh~lt mad ftir das geometrische Mittel B : A = 0,5 : 1, und wenn daraus das Wirkungsverh~ltnis A : / ~ = 0::1 berectmet wird, so bekommt man A : B = 2 :1 . Bei Verwendung des geometrischen Mittels ist es also gleichgiiltig, welche Substanz als Standard gewiihlt wird; in beiden Fiillen wird das gleiche Resultat erhalten.

Es ergib~ sich also, dal~ in dem als Beispiel herangezogenen Falle das arithmetische Mittel falsche Werte liefert, w/ihrenddem das geometrisehe ~i t te l imstande ist, den Nittelwert verniinftig anzugeben. Die GrSl~e des Fehlers, den man bei Berechnung des arithmetischen Mitteis begeht, ist variabel. Dieser Fehler ist klein, wenn die Dispersion klein ist, er wird aber mit znnehmender Dispersion immer gr513er. Da nun gerade in der Biologie die Dispersionen wegen der stark verschiedenen Empfindlichkeit der Objekte h~nfig grol~ shad, so ka~n auch d e r begangene Fehler bei t~ildung des arithmetischen Mittels betri~chtlich ~erden. Ein 1%11 yon besonders groSem Fehler bei Berechnung des arithmetischen Mittels sei im folgenden zitiert:

Wir haben ~m ~iberlebenden t~aninehendarm die spgsmolytisohe Wirkmag yon Syntropan mit derjenigen yon Atropin vergliehen. Die Versuehsteehnik ist kurz folgende: Der tiberlebende Kaninehendarm wird zuerst duroh eine Menge von e~wa 5~ Azetyloholin zu 20 corn Badeinhalt zur Kontraktur gebraoht. D&nn wird eine solche Dosis Atropin zugesetzt, da3 die Kontraktur gut reduzier~ wird. Nun wird ausgewasehen, wiederum die gleiehe ~enge Azetyleholin zugesetzt und nun die l~Ienge Syntroloan gesueht, die die gleiehe tIemmung bewirkt.

Von der ganzen Versuehsreihe ist es in 29 Fiillen gelungen, solehe Dosen von Syntropan nnd Atropin zu fhaden, dal3 der gleiehe IIemmungseffekt auftrat. Wit berechnen nun fiir dieses Kollektiv yon 29 Gleichheiten das Mengenverhi~ltnis Syntropan : Atropin = x : 1. Wird aus den 29 Wer~en yon x das arithmetisehe Mittel gezogen, so erhi~lt man Syntropan : Atropin = 202: 1.

Wiihlen wit a ber nmgekehrt fiir dasselbe Kollektiv Syntropan als Standard nnd bereehnen das Menge~verMlgnis Atropha : Syntropan = y : 1, so ergibt das arithmetisehe l~iittel y : 1 = 0,024=: 1, und erreehnen wir darans das Verhiiltnis Syntropan: Atropin, so bekommt man Syntropan :Atropin = 12: 1. Verglichen mit dem ersten ResuItat, ist das eine Ver- schiedenheit yon 1 : 5, wirklieh ein unannehmbarer Fehler, der nur dadurch znsgande kommt, dag wir im selben Kollektiv die eine oder die andere Snbstanz als Standard w/iNert.

138 A. FLWlSCH und J. T]~IPOD:

Berechnen wit abet fiir das gleiche Kollektiv aus den 29 Werten von x das geometrisehe Mittel, so erhalten wir Syatropan:Atropin ~ 109:1, wobei das geometrische Mittel aus y : 1 ebenfalls den gleiehen Weft ergibt. F r o m h e r z (1), der fdiher schon das gleiehe Dosenverhs mit s Methode bestimmt hat, land als Wirkungsverh~iltnis fur Atiopia : Syntropan 50 : l, also gleichen Effekt bei einem Dosenverh~ltnis Syntiopan : Atropin von 50:1. Sp~iter gibt F romherz (2) fiir dieses selbe Dosenverh~iltnis als Durehschnitt 20:1 an, wobei wir nicht wissen, wie er den Mittelwert berechnet hat.

Naehdem gezeigt worden ist, dai~ fiir gewisse Versuehsreihen nur das geometrisehe Mittel vemtinftigeiweise gebraucht werden kann, erhebt sich sofort die Frage, warm ist das arithmetische und wann das geometrische N[ittel angezeigt ? Ohne auf alle MSg]ichkeiten eJngehen zu wollen, kSnnen folgende Richtlinien allgemeiner Natur angegeben werden. Das arith- metisehe Mittel ist im allgemeinen dann indiziert, wenn absolute Magzahlen vorliegen, wie z. B. W~igen von Substanzen, Messen von Strecken, Zghlen yon Einheiten, und bei kolorimetrischen Bestimmungen. Bei der Entnahme der 20 cram Blut fiir H~moglobinbestimmnng machen wit notwendigerweise Fehler in der Abmessung der Blntmenge, aber diese Fehler sind naeh oben und unten extensiv nnd in der Flequenz gleieh h~iufig. Sie valiieren nach dem Prinzip M =~ S (M = Mittelwert, S = Stienung), nnd in diesem Fall ist das arithmetische Mittel angezeigt. Das gleiche ist der Fall beim kolorimetrischen Vergleieh, wo ebenfal]s die Abweiehnngen nach beiden Seiten nach der Wahrscheinliehkeit gleich h~iufig nnd gleieh stark sind.

Das geometrische Mittel ist darn angezeigt, wenn keine absoluten MaBzahlen vorliegen, sondem wenn das Kollektiv aus Verhaltniszahlen besteht, aus denen der Mittelwelt bereehnet werden soll. Solehe Verhs zahlen resultieren beim Vergleich der AktivitEt yon 2 Substanzen, die in ihrer relativen Menge so gew~ihlt werden, dab gleiche biologisehe Wirknng erzeugt wird.

Es gibt nun aber Fglle, in dene~ keine Verhs vorliegen, sondeln absolute Zahlen, und bei denen trotzdem das geometrisehe Mittel angezeigt ist. u165 wit z.B. die durehsehnittliche Substanzmenge M bestimmen wol]en, die einen bestimmten biologischen Effekt auslSst, z. B. die tSdliehe Dosis, so ist der die Strennng bedingende Faktor in erster Linie die variable Empfindlichkeit des Versuehstieres. Diese variiert nicht um einen absolute~ Betrag M • S oder am einen gewissen Prozentsatz nach oben bzw. unten, z.B. ~-50 ~o, sor~dern die Empfindlichkeit ver- doppelt oderhalbiert sich. Die Richtigkeit dieser ~berlegung ist sofort zu erkennen, wean wit ein extremes Zahlenbeispiel heranziehen. Nehme~ wit an, 1 mg sei im Durchschnitt die tSdliehe Dosis. Fiir ein resistentes Tier sind es z. B. 2 rag, abet niemals kSnnen es 0 mg sein, d. h. die Strenungen erfolgen ~ieht naeh dem Prinzip M ~ S. Das Gegenstiick zum resistenten Tier mR deI' doppelten tSdliehea ])osis vo~ 2 mg ist ein empfmdliches Tier

Die Berephnung yon Mittelwerten in der Biologie. 139

mit der halben tSdiichen Dosis yon 0,5 rag. Die Streuung infolge der variablen Empfindlichkeit der Tiere erfolgt also naeh dem Prinzip M . [ bzw. M �9 1//, wobei ] den Faktor der Strennng darstellt. In solchen Fallen ist das geometrische Mittel richtig, das in diesem Zahlenbeispiel yon 2, 1 und 0,5 m g = 1 mg ist. Wenn wit aber in diesem Beispiel die Fehler betraehten, die beim Abw~gen der Substanz g~maeht werden, so schwanken diese nm einen gewissen Prozentsatz des gesuchten Gewichtes nach oben und nach nnten. Ffir diese Fehler wgre also die BeIechnung des arithmeti- schen Mittels richtig.

Allgemein kann also gesagt werden, dab das arithmetische Mittel dann richtig ist, wenn die Streunng als Piozentsatz yore Mittelwert in gleieher Weise nach oben und unten schwankt, d. h. wenn die Strenung nach dem Prinzip M • S erfolgt. Das geomet~ische Mittel ist dann anzuwenden, wenn der Streuungsbereich sinng~m~B dutch Multiplikation bzw. Division des Mittelwertes dutch einen Faktor eharakterisieIt wird.

Da in gewissen F•llen die Streuung einer Versuehsreihe dutch Fehler bedingt sein karm, die naeh dem Prir_zip 21I =kS auftreten, teilweise abet dutch Fehler, die sinngemgB duieh 2tl �9 21/- 1//ansgedriiekt werden miissen, so wird die Entseheidm~g, ob arithmetisehes oder geometrisehes Mittel, manehmal sehwierig fallen und einwandfrei weder dutch die eine noeh dureh dig andere Art zu 16sen sein. Einen solehen gemisehten Fall eines Kollektivs aus unserem Laboratorium (3) haben wit variations- statistiseh untersucht, u n d e r verdient als prinzipielle Illustraticn Er- w/ihnung.

Am Kaninehen haben wit, naeh der lV[ethode yon R o s k a m (4), die Blutungszeit naeh obeifl~ehlichem Sehnitt ins Ohr bestimmt. Am volt- st~ndig no~malen Kaninehen verffigen wir fiber 6500 Blutungszeiten.

Die Methode ist kurz angedeutet folgende: Die l~aninehen werden dutch 2,5 oem/kg Urethan 25 % intra!0eritoneal in t-talbn~rkose gebraeht and in Bauchlage aufgespannt. In die tags zuvor rasier~en Ohren werden mit der Rasierktinge ober- fl~ehliehe Sehnitte gemaeht und das austretende Blur mit 0,9~oiger NaC1-L6sung dauernd abgesp~llt, bis die Blutung sistiert. Naeheinander werden am gleichen Kaninehen total 20 Sehnitte gemaeht.

Die resultierenden Sehwanknngen in der Blutnngszeit siM a priori dureh zwei versehiedene Prinzipien bedingt:

A. Das Abstoppen der Blutungszeit selbst birgt einen Fehler in sieh, der naett dem Prinzip • S (S--- Streuung) eharakterisieit wird. Daffir w~tre das arithmetisehe Mittel angezeigt. Es ist denkbar, dab aueh die Blutungszeit selbst nach dem Prinzip • S variiert, und datm wiire dafiir ebenfalls das arithmetisehe Mittel angezeigt.

B. Anderseits ist es ebenso wahrseheinlieh, dab die Blntungszeit der Kaninchen naeh dem Prinzip 21//. ] bzw. 21I. 1// variiert. Tatsiiehlich finden wir in unserer Statistik Blntungszeiten, die doppelt und selbst

140 A. FLI~ISClt und J. TRIPOD:

dre imal so hoch sind v i e das Mitte]. Aber eine Blu tungsze i t yon M + 100 ~y,~ f inder kein Gegenst i ick in einer Blu tungsze i t von M - - 100 ~o. Das wiirde heil3en, dal] i i be rhaup t keine B lu tung aufge t re ten wiire, a n d in d i e sem Fa l le h~ t t en wir angenommen, dal~ der Schn i t t zu wenig t i e r gegangen sei, und dieser Fa l l wgre somi t gar n icht ber i icks ieh t ig t worden. E r s t reeh t f inder eine Blu tnngsze i t von M + 200Yo niemals ein Gegenst i ick in M 200 ~ So i s t man also geneigt , fiir die Schwankmlgen der Blu tungs- zeiterl n i ch t das Pr inz ip M d= S , sondern das Pr inz ip M - [ bzw. 21//- 1 / / anznnehmen. Der geometr isehe Mi t te lwer t erscheint somit a pr ior i r icht iger als der a r i thmet i sehe , wobei wi t aber e rwar te ten , dal3 aneh der geomet r i sehe Mi t te lwer t dieser speziellen S t a t i s t i k l l icht ganz en tsprechen diirfte. Ehae A n t w o r t auf die F rage , ob der a r i thmet i sche oder der geometr i sche Mi t te l -

/ / / /

7 ,~o/ . "//

-s -} -~ o +'I +2 +s x

Abb. 1.

wef t fi ir diese S ta t i s t ik r icht ig ist , e rha l ten wir du tch Bearbe i tung des Mater ia l s nach der Var ia t io i l s s ta t i s t ik .

Das ganze Magerial yon n = 6500 Blutungszeiten wird in Klassen yon der Breite w = 10 Sekundei1 aufgeteilt, und fiir jede Klasse (x) wird die Zahl der F~tlle : (x) ~usgezghlt. Die Klasse mit der grSgten Zahl bekommt die Ordnungsnummer x = 0, und die naeh unten folgenden Klassen die Ordnungsnummern x = -- t , -- 2 usw, Die Iglassen oberhalb x = 0 erhalten die Ordnungsnummern x ~- + 1, + 2 usw. Die Klassennummer x wird mit der Zahl der F/ille in der betreffenden Iqlasse / (x) multipliziert und ergibt die Iqolonne x / (x ) . Dutch noehmalige Multi- plikagion tier Werte x / ( x ) mit x wird die Rubrik x~[(x) erhatten. Die Iql~ssenrnitte mit der Ordnungszahl x = 0 wird a.ls M o bezeichnet. Es berechnet sich d~nn der arithmetische Mittelwert M nach F u e t e r (5) zu M = M o + b. b ist ein Korrektur-

glied berectmet naeh b = n ~ x/(x).

Die Streuung a der Einzelwerte berechnet sich nach folgender Formeh

ry

und e, der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels, nach e = ~ .

Die Bereehnung yon Mittelwerten in der Biologie.

Die ganze Rechnung stellt sich wie folgt dar:

141

K l a s s e n - K l a s s e f (~) z z f (x) ~2 f (~e) m i t t e ~ + - -

14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5

104,5 114,5 124,5 134,5 144,5 154,5 164,5 174,5 184,5 194,5 204,5 214,5

10- - 19 2 0 - - 29 30 - - 39 40- - 49 50-- 59 60 - - 69 70-- 79 80- - 89 90 - - 99

100--109 110--119 120--129 1 3 0 - - 1 3 9 140--149 150--159 160--169 170--179 180--189' 190--199 200--209 210--219

4 38

181 382 655 907

1016 894 818 516 373 276 155 106

65 47 27 21 10

5 4

6500

10

24 - 19o --4 724

1146 1319

907 0

894 1636 1548 1492 1380

930 742 520 423

10 270 ii 231 , 12 120 13 65 14 56

144 950

2896 3438 2620

907 0

894 3272 4644 5968 6900 5580 5194 4160 3807 2700 2541 1440

845 784

w = 1 0 , M o=74,5, b = + 6 5 0 0 x 6 0 0 6 = + 9 , 2 4 , M = 74,5+9,24 ~83,74.

100 an--6500 x 59 684--85,4=832,8, a =28,8 e=0 ,36 .

Fiir ~ erhglt man 28,8 Sekunden, und fiir das arithmetische Mittel M = 83,74 i 0,36.

Das ganze Material wird nun auf die Koordinaten der G a u B schen Fehlerkurve nmgerechnet, wobei die Werte fiir die Abszisse X und die Ordinate Y nach folgenden Forme]n berec�89 werden:

X -- w x - - b und Y = 5__G~. [ (x). (7 U S

Die so erhaltene Kin're ist in Abb. 1 eingetragen und mit Arith. bezeichnet. Die Knrve G ist die theoretisch richtige GanB sche Fehler- kurve. Die anf Grund des ar i thmetischen M ittels berechnete Kurve Arith. besitzt eine starke negative Schiefheit und einen positiven Exzel]. Dies besagt, dag die nach ar i thmetischen G e s i e h t s p u n k t e n aufgestelIte Statist ik nieht einwandfrei ist. Die wahre Dispersion ist eben nicht M ~ a, sondern die S t renung ist nach reehts, also in der Rich tnng der grS•eren Blutungs- zeiten sehr vie] gr61~er als nach links. Die I t aup t s t r euung der Statist ik erfolgt eben nicht naeh dem ari thmetischen Prinzip M =~ S, sondern eher nach dem Prinzip M - / bzw. M . 1/[.

§ 10307-- 43011 59684

= + 6006

142 A. FLI~ISCW und J. TRIPOD:

Wenn die GauBsche Kurve eine Schiefheit aufweist, so gibt das arithmetische Mittel nicht den wahrscheinlichsten Weft der Eigenschaft [Ch.arlier (6)]. Das arithmetische Mitre1 ist somit fiir dieses Kollektiv der Blutungszeiten ungeeignet.

Friiher betrachtete man eine Schiefheit der GauBschen Kurve als unmSglich und eine solche Statistik wegen eines angeblich darin enthaltenen systematischen Fehlers als nicht einwandfrei. Der Statistiker Qne t e l e t hat solehe schiefe Kurven gezeigt und O p p e r m a n hat sehiefe Frequenz- kurven analysiert. Gram erkannte, dab die symmetrische Gaul]sche Kurve nur einen Spezialfall darstellt und gab als erster die mathematische Theorie der schiefen Frequenzkurven [Fisher (7)]. Schiefe Kurven kSnnen h~iufig in symmetrische GauBsche Kurven nmgewandelt werden, wen~ fiir die x-Achse statt der arithmetischen Progression der x-Werte eine

Funktion yon x verwendet wird, wie z. B. ~/x oder log x, und F e c h n e r hat auf die groBe Bedeutung der letzteren Transformation hingewiesen.

Wir haben deshalb unser Kollektiv der Blutungszeiten statistisch berechnet unter Verwendung des Logarithmns der Blutungszeiten, also log x als Abszisse.

Von s~mtlichen um je ] Sekunde verschiedenen Zahlenwerten wurde tier Logarithmus gesucht und nun die ansteige~de Reihe der Logarithmen in neue Klassen eingeteilt vonder Breite 0,08 des Logarithmus. Im iibrigen wurde diese logarithmisehe Statistik genan gleieh bereehnet wie die obige arithmetisehe. Der aus der Statistik bereehnete Logarithmns des Mittel- wertes ist = 1,8959. Der Logarithmus der Streuung betriigt 0,1521. Daraus erhalten wir fiir den Mittelwert M und seinen mittleren Fehler

M = 78,6 -b 0,41 - - 0 , 2 9 "

Die Dispersion ist + 33,1

a = _ 23,2"

Dieser auf Grund des arithmetischen Mittels der Logarithmen be- rechnete Mittelwert ist der geometrische; er ist etwas kleiner als der oben berechnete arithmetische, nnd die Dispersion nach oben grSBer als nach nnten, wie das den tats~chlichen Verhifltnissen entspricht.

Anch aus dieser Iogarithmischen Statistik haben wit die GauBsehe Fehlerkurve berechnet, die in der Abb. 1 mit Log. bezeichnet ist. Diese zeigt eine positive Schiefheit, di e allerdings viel geringer ist als die negative der Kurve Arith. Diese Asymmetrie beweist, dab auch die logarithmische Statistik dem Kollektiv nicht ganz entspricht. Der die Schiefheit erzeugende EinfluB der arithmetischen Statistik ist in der logarithmischen iiber- kompensiert worden. Aber die logarithmische Kurve kommt der GauB- schen niiher als die arithmetische, nnd wit kSrmen somit feststellen, dab das gesamte statistisehe Material besser, wenn auch noch nicht ganz richtig, dutch die logarithmisehe Statistik behandelt wird.

Die Bereolmung yon Mittelwerten in der Biologie. 143

Immerhin ergeben die beiden Kurven Arith. nnd Log., dal~ das Kollek- tiv weder rein nach dem Prinzip M ~ S, noch rein nach dem Prinzip M �9 / bzw. M - 1//streut, und um die Art der Streuung n~iher abzukl~iren, haben wit eine Kombination der arithmetischen nnd der logarithmischen Statistik verwendet. Die Sekundenwerte der arithmetischen Reihe werden multi- pliziert mit dem zngeh5rigen Logarithmus, darans die Quadratwurzel gezogen and die so erhaltenen Werte in Klassen yon der gleichen Breite eingeteilt. Wenn die Statistik anf dieser Basis welter verarbeitet and die Gauitsche Kurve berechnet wird, so erh~lt man eine negative Schiefheit, die allerdings geringer ist als diejenige der arithmetischen Kurve Arith. Da der Einfln13 der arithmetisehen Reihe also noeh zn grol~ ist, wurde noch folgende Bereclmung ausgefiihrt.

Die arithmetische Reihe der Sekundenzahlen wird mit der dritten Potenz des zugehSrigen Logarithmus multipliziert and darans die vierte Wurzel gezogen, die Statistik durchgefiihrt und die Gaul]sche Kurve

2-

/(or. x /

-3 - 2 - 7" "+i +2 -~2 X

Abb. 2. 4

berechnet. Dies ergibt die in Abb. 2 mit J"a �9 (log a) s bezeichnete Kurve (a == arithmetische Reihe). Diese Kurve ist nun befriedigend symmetrisch, was bedeutet, dal~ bei Verwendung dieser Funktion die Statistik wenigstens angen~ihert einwaI)dfrei wird. Ein befriedigender Mittelwert dieses Kol-

4 lektivs bereehnet sich also nach der Funktion l/a- (tog a) s-_

Es gibt also in der Biologie Fglle, wo sowohl der arithmetisehe, als aneh der geometrische Mittelwert den tats~chlichen Verh~ltnissen nieht entsprechen, wo abet der beste ~ittelwert zwischen den beiden Extremen des arithmetischen und des immer kleineren geometrisehen Mittelwertes liegt.

Zum Vergleieh seien die versehiedenen Mittelwerte saint ihren zu- gehSrigen mittleren Fehlern s und Dispersionen a angefiihrt :

O

]/a. (log)a s

geometrisch

arithmetisch

I Mit~elwert I e

79,9 { q- 0,38 - - 0,31

78,6 { + 0,41 - - 0,29

83,7 ] ~= 0,36

q - 31,1 -- 24,7 q- 33,1 - - 23,2 i 28,8

14~ A. :FLEISCH und J. TRIPOD:

Die Verschiedenheit der drei MittelweIte zeigt, dal~ es nicht gleiehgiiltig ist, welcher berechnet wird, dies um so weniger, als auch die Be~eiche yon M ~ s sich nieht heriihrem

4

Die Funktion 1/a �9 (log a) 3 hat wohl zu ether ziemlich gilt symmetri- schen Knrve gefiihrt, aber sie besitzt, wie Abb. 2 zeig% in der Mitte einen positiven Exzel~ und ist dafiir in den Seitenteilen etwas zu flaeh verlaufend. Dies besagt, dat~ die GrSlle der Streuung und ihre Frequenz sich nieht gesetzm~iilig nach der Ganl~sehen Fehlerkurve verhalten. Die Statistik enthiiit, wie die Interpretation dieses Knrvenverlaufes ergibt, zu viele sehr grolle Abweiehungen. Dies kann bedingt sein dutch einen Teilfehler, der relativ se]ten auftritt, aber wenn er auftritt, grol~ ist. Es erscheint uns mSglieh, dal] dieser selten auftretende abet grolte Fehler dutch das gelegent- liehe LoslSsen eines sich bildenden Thrombas erzeugt wird, set es, dab der auf die Sehnittwunde fallende Wasserstrahl den Thrombus losreillt, set es, dal~ die das Ohr haltende Hand sieh bewegt oder d~l~ das Tier ehle Be- wegung macht. Wenn nun dieser die Blutung bald sistierende Thrombus aus ~iul]erer meehanischer Ursaehe entfernt wird, so beginnt die Blnt~ngs 2 zeit yon neuem, und man erh~ilt in diesen F~illen eine fast doppelte Blutungs- zeit. Tatsaehlieh kann dieses Losreillen des Thrombus keine kleinen Fehler erzengen, sondern nur grolle, well das LosreiBen erst eintreten kaim, wenn der Thrombus s chon gebildet ist und die Blntnng also nahe daran ist, sistiert zu werden. Natiirlich kann sieh dieses Ph~inomen des sich los- 15senden Thlombus beim gleichen Yereach wiederholen, und es wird sieh gerade dann wiedeiholen, wenn die Neigung zur Hiimostase schlecht ist, so dal] dann die Blutungszeit auf nahezn das Dreifaehe ansteigen karm.

Es ist natiir]ieh anf Giund des experimentellen Materials nicht abzu- sehiitzen, wie oft eine solehe Thlomb~slosl6sung eintritt nnd wie stark sie die Statistik verandert. Ein gewisser Anhaltsp~nkt dariiber kan~ abet erhalten werden, wean aus der Statistik eine gewisse Anzahl der besonders langen Blutnngszeiten entfernt werden. Um eine persSnliehe Orientierung zu bekommen, haben wir ans der Gesamtstatistik yon 6500 Messnngen 220 der hSehsten Blutmlgszeiten eliminiert nnd mit dem Restmaterial yon

4

,6280 Fiillen die Gaul~sehe Knrve naeh der Funktion 1/a �9 (log a) 3 be- reeimet. Diese korrigierte Kurve Kor. stimmt fast voilstiindig mit der Gau 1~ sehen Fehlerkurve iiberein. Die der korrigierten Knrve entsprechen- den Punkte sind in Abb. 2 als gefiillte Quadrate eingetragen, otme unter- einander verbunden zu sein. Diese Ynnkte liegen vollstiindig symmetrisch, der positive Exzel~ ira Abszissenpnnkt 0 ist verschwunden, nnd aneh die zu sehmalen Flanken sind ausgeglichem Dieses Res~ltat spricht mit gewisser Wahrscheinliehkeit daftir, dal] tats~iehlieh die Thrombuslosl5sung

4

ftir die noeh nicht ganz einwandfreie Statistik der Funktion 1 / a . (log a) 8 verantwoItlich ist.

Die Bereehnung yon Mittelwerten in der Biologie. 145

Wenn wir dieselben Fglle weglassen und darm mit dieser reduzierten 8tatistik die Kurve Arith. neu bereclmen, so wird der positive ExzeB nnr um weniges verkleinert, und die starke negative Sehiefheit bleibt erhalten. Dies beweist, dab die Linksverschiebung der Knrve Arith. nicht durch diese ThrombuslSsung zustande kommt.

Z u s a m m e n f a s s u n g .

Wegen der hgufig stark streuenden Einzelresultate werden in der Biologie meistens Reihenversuche ausgefiihrt, aus denea dann das arith- metische Mittel gezogen wird.

Es wird gezeigt, dab das arithmetische Mittel in zahlreichen F~llen uavernii~ftige und falsche Mittelwerte liefert. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die Wirkung yon 2 Substanzen relativ zueinander verglichen wird. Je nachdem die eine oder 8ie andere SubstaLz als Standard gew~hlt wird, bekommt man fiir das gleiehe Wirkungsverh~iltnis der beiden Sub- stanzen zwei versc]aiedene arithmetische Mittel, was der Vernunft wider- spricht. Der Unterschied ist ~ra so grhBer, je st~irker die Dispersion der Versuchsreihe ist. Die Yerwendung des geometrischen Mittels e r g i b t hingegen in diesen Fgllen ein befriedigendes Resultat.

E s wird auseinandergesetzt, warm dab arit]lmetisehe und warm das geometrische Mittel angezeigt ist.

An Hand der variationsstatistisehen Bearbeitnng eines Kollektivs yon 6500 Blutungszeiten wird gezeigt, dab in gewissen F~llen weder das arith- metische noch das geometrische Mittel den besten Mittelwert der Versuchs- reihe darstellt, und fiir den konkreten Fall wb:d eine befriedigende Lhsung gefundeu.

Literatar.

1) Fromherz, K. : Quart. J. Pharmacy a. Pharmacol. 9, 1 (1936). -- 2) Frora- herz, K.: J. Pharmacol. (Am.)fi0, I (1937). -- 3)Fle isch , A., u. J. Tripod: Naunyn-Schmiedebergs Arch. 200, 118 (194~).-- 4) Roskam, J., u. L. Pauwen: Arch. internat. Pharmaeodynam. 57, 450 (1937). -- 5) Fueter , R.: Das mathe- matische Werkzeug. Orell-Ffissli (1926). -- 6) Charlier: Vortesung fiber Grund- z(ige der mathematischen Statistik. Hamburg (1920). -- 7) Fisher, A.: ~a~he- marital Theory of Probabilities, Macmillan (1930).

Archly f. expe r imen t . Path . u, P h a r m a k r Bd. 200. 10