Die Bestimmung aller stetigen Fastkörper über dem Körper der reellen Zahlen als Grundkörper

Die Bestimmung aller stetigen FastkSrper fiber dem KSrper der reellen Zahlen als GrundkSrper.

Von FRANZ KALSCHEUER aus K61n.

Vorwort. Die Untersuchung der Fastk6rper ist aus zwei Griinden yon Inter-

esse. Es erheben sich zuerst Fragen axiomatischer Art, wie sie in ahnlicher Weise DICKSON 1905 in den G0ttinger Nachrichten aufwarf. Er hat in seiner Arbeit bereits Beispiele fiir endliche Fastk0rper gegeben. ~ a n k6nnte vermuten, dab ffir d ie reellen Zahlen als GrundkOrper eines Fastk6rpers mit endlicher Basis das rechtsseitige Distributivgesetz eine Folge der iibrigen Schiefk0rperaxiome ist, wenigstens dann, wenn man noch die Stetigkeit der Multiplikation voraussetzt. Beispielsweise folgt ja bei endlichen K0rpern das Kommutativgesetz aus den anderen Axiomen. Es wird nun im Laufe der Arbeit gelingen, Fastk6rper zu konstruieren, bei denen das rechtsseitige Distribufivgesetz tats~chlich nicht gilt. Fordert man dagegen zus~tzlich, dab der K0rper der reellen Zahlen im Zentrum des Fastk6rpers liegt, so gibt es keine stetigen echten Fast- k6rper mehr.

Der zweite Grund ist physikalischer Natur. 1933 erschien ebenfalls in den G6ttinger Nachrichten eine Arbeit yon P. JORDAN fiber Ver- allgemeinerungsm6glichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik. Dort lal~t er unter den K6rperaxiomen alas Assoziativgesetz fehlen. Es fragt sich nun ebei~so, zu welchen allgemeineren Systemen physikalischer 0peratoren man gelangt, wenn man auf die Forderung des rechtsseitigen Distributivgesetzes verzichtet. Da ftir die Physik nur ~tetige Systeme von Interesse sind, kommt man also zu der Aufgabe, alle stetigen Fastk6rper mit endlichel Basis aufzustellen. Es wird sich zeigen, dal3 es aul~er den K6rpern der reellen und komplexen Zahlen und dem Schiefk6rper der Quaternionen eine einparametrige Schar nicht-isomorpher Fastk6rper mit viergliedriger Basis gibt, fiir die die regul~re Darstellung und das Multiplikationsgesetz aufgestellt werden.

Besonderen Dank schulde ich Herrn ZASSENHAUS ftir manchen Rat und die Anregung zu dieser Arbeit.

Einleitung. Ein Fastk6rper ist durch folgende Eigenschaften definiert:

1. Er ist eine additive Gruppe. Die Addition ist kommutativ. 413

414 Fr. Kalscheuer.

2. Er ist ohne Nullelement eine multiplikative Gruppe. Die Multi- plikation ist nicht notwendig kommutativ.

3. Er hat eine Basisdarstellung mit endlich vielen Basiselementen iiber einem Grundk6rper f.

4. Multiplikation und Addition sind durch ein (beispielsweise das linksseitige) Distributivgesetz miteinander verkniipft. Es gilt also

a ( b - ~ c ) = a b + a c .

Das re.chtsseitige Distributivgesetz braucht nicht zu gelten. Ist der Grundk6rper bewertet, kann man einen Limes komponenten-

weise erkliiren. Ist dann - - vorausgesetzt, da~ die drei Limiten existieren - -

lim ai bi - ~ lim ai. lim bt,

so heil3t der Fastk6rper stetig.

Zu einem Fastk6rper kann man die reguliire Darstellung bilden, indem man den Fastk6rper selbst als Darstellungsmodul nimmt. Ist dann R~ die dem Element a zugeordnete Darstellungsmatrix, so folgt aus dem Assoziativgesetz

Rob ~ - R~, . R , , .

Da das rechtsseitige Distributivgesetz aber nicht zu gelten braucht, ist nicht notwendig

Die Matrizen der reguliiren Darstellung eines stetigen Fastk6rpers bilden ohne Nullelement eine multiplikative Gruppe. Hat der Fast- k6rper n Basiselemente, so ist auch tier Grad der reguliiren Darstellung n. Welter hi~ngt di~ multiplikative Gruppe yon n unabhiingigen Parametern ab, etwa von den n Komponenten, die jedem von Null verschiedenen Element auf Grund der Basisdarstellung des Fastk6rpers zugeordnet sind. Aus der Stetigkeit folgt, da~ die Matrizen eine kontinuierliche Gruppe bilden. Naeh der NEUMAN.~schen Theorie (Literaturverzeiehnis 1) gibt es zu dieser Gruppe einen Infinitesimalring yon ebenfalls n Parametern und zu einer Darstellung der kontinuierlichen Gruppe eine Darstellung des Infinitesimalringes vom gleiehen Grade. Geh6rt A zur Darstellung des Infinitesimalringes, so geh6rt e A zur Darstellung der kontinuierlichen Gruppe.

Im Fastk6rper folgt aus a x ~ - x fiir x :~ 0, da~ a ~- 1 ist. Das bedeutet ffir die regul~ire Darstellung, dal~ keine Matrix aul3er E den Eigenwert 1 besitzt. Anderenfalls wtirde sie ja einen Vektor ~: 0 fest lassen. Dann hat aber die dazugeh0rige Darstellung des Infinitesimal- ringes nicht den Eigenwert Null auger bei der Nullmatrix.

Bestimmung aller stetigen FastkSrper. 415

Bewei s : Die Matrix X habe den Eigenwert 0 und geh(ire zur Darstellung D (L) des Infinitesimalringes L . Dann gehtlrt auch ~X ftir kleines reelles positives ~ zu D (L) und e ~X zur Darstellung D* (M) der multiplikativen Gruppe M des Fastk(~rpers. Ich transformiere ~X auf Dreiecksgestalt. Da eX den Eigenwert 0 hatte, steht bei T e X T -1

in der Diagonale irgendwo 0, bei e T~XT-1 also an derselben Stelle 1. T -1 e T6XT-1 T ~ - e ~x hi~tte also den Eigenwert 1, mull also E sein. e ~x ~ - E ftir jedes ~ ~ 0. Dann kann der Exponent nur 0 sein. X ~ 0.

Die Frage nach tier Bestimmung aller stetigen FastkOrper ffihrt also auf die Bestimmung aller Darstellungen n-ten Grades der Infinitesimal- ringe (oder Lie'schen Ringe) mit n Basiselementen, wo nur die Null- matrix den Eigenw.ert Null hat. Derartige Darstellungen will ich ,Dar- stellungen ohne Eigenwert Null" nennen.

E r s t e s Kap i t e l .

Bestimmung aller Lie'schen Ringe mit Darstellungen ohne Eigenwert Null.

Die Infinitesimalringe oder Lie'schen Ringe L sind folgendermaBen definiert. In einem endlichen Modul ist eine Kreismultiplikation erkli~rt, derart, dab zu je zwei Elementen x, y aus L eindeutig ein drittes x o y definiert ist'. Diese Kreismultiplikation soll distributiv sein, nicht notwendig assoziativ, aber mit der skalaFen Multiplikation assoziativ ver- kntipft. AuBerdem soll gelten

x o y . : - - y o x

und die JAKOBI-Identitiit

( x o y ) o z : x o ( y o z ) - - y o ( x o z ) .

Ein Vektorbereich ~ tiber dem GrundkOrper f yon L heiBt Dar- stellungsmodul ftir L, ~enn es ein L-Modul ist und ftir je zw~i Elemente x, y aus L u n d jeden Vektor a aus ~ gilt:

(0) ( x o y ) a = x (y a) - - y (x a) .

Aus der JAKOBI-Identiti~t folgt, dab man einen Darstellungsmodul erhi~lt, wenn man L als k-Modul isomorph auf einen Vektormodul abbildet, dai~ es also eine reguli~re Darstellung gibt. Diesen Vektorbereich und L werden wir mit gleichen Buchstaben bezeichnen.

Def in i t ion:

�9 . o (x ( . . . . . (x o)))) . . . . ),

o = (x o (x o (x o ( . . . . . (x o . . . . ) ,

x , y C L , a c ~ .

4 1 6 F r . K a l s c h e u e r .

Aus

und x a - ~ .4 a (mod y)

x o y --~- a y

folgt nach Formel (0) sofort die Formel

(1) x (y a) = (.4 fi- a) (y a).

Es sei x ~ y o z , d.h .

( y o z ) a ~ . 4 a (mody)

und ( y o z ) o y ~ a y .

Dann wende ich Formel (1) mehrmals an und erhalte ftir y"a ~--- a,,

. 4 a : - ( y o z ) a = y ( z a ) - - za l ,

( . 4 -J[- Of) {I x ~ (y o z ) t'[ 1 ~ y ( z al) - - z a~,

[.4 ~- (u - - 1) a] a,,-1 z (y o z) a,,-1 : y (z a~-l) - - z a . .

Multipliziere ich diese Gleichungen der Reihe nach yon links mit y , , -1 ,

y~-" usw. bis yO und addiere, so erhalte ich die Formel

(2) ,(.4+ ) cr f l r - I ~ Z a - - Z f l r . 2

w 1. A l g e b r a i s c h a b g e s c h l o s s e n e r G r u n d k O r p e r .

a) Charakteristik Null. Fiir nilpotente Lie'sehe Ringe gilt der Satz yon LIE. Es gibt

nur eindimensionale irreduzible Darstellungen. Damit der EigenWert Null nur bei Null auftritt, darf der Ring nur aus den Vielfachen eines Elementes bestehen.

L : (x).

Fiir nicht-nilpotente Ringe gibt es nach dem Satz yon ENGEL in L ein Element h, das nicht nur die Wurzel Null hat, (1. h. man kann ein weiteres Element e ~ : 0 finden, so dal~ h o e : a e ist. a 4 0 .

Hat h in einem gegebenen Darstellungsmodul den Eigenwert Null, so scheidet die Darstellung bereits aus. Also gibt es mindestens einen Vektor ao ~: 0, so dai~

h ao ---- .4 ao ( . 4 4 0 ) .

Setze ich e; ao ~ a,, , so ergibt mehrmalige Anwendung von Formel (1)

ha~ ---- ( A q - v . ) a,,.


Die a, geh0ren zu verschiedenen Eigenwerten von h. Da der Darstellungs- modul ~ in eine direkte Summe nach den verschiedenen Eigenwerten zerfi~llt, so sind die von 0 verschiedenen a~ linear unabhangig. Der Darstellungsmodul ist endlich. Daher gibt es einen Index n, so da~ a,~ ~: 0, a,+l ~ ea, ---- 0. Also hat e den Eigenwert 0. Es gibt demnach bei Charakteristik Null uud algebraisch abgeschlossenem Grundk(irper keine Darstellung eines nicht-nilpotenten Lie'sehen Ringes ohne Eigen- wert Null.

b) Charakteristik /I. In nilpotenten Ringen gibt es mindestens ein Element ~ 0, das alle

anderen annulliert (siehe Literaturverzeichnis 4). Es sei also z o x ~ 0 ftir jedes x. ~ vermittle eine irreduzible Darstellung, in der z den Eigen- wert a babe. Ist of = 0, kommt die Darstellung nicht in Frage. Also sei a ~: 0. Es gibt dann einen Vektor u, so da]~ zu ~ au . Ich bilde alle Vektoren xu , u fest, x durehlauft ganz L. Ware ~ eindimensional, so folgte wie bei Charakteristik Null L ~ (x).

Da ~ irreduzibel ist, muff also unter den Vektoren x u ein von u linear unabhangiger Vektor ~ vorkommen. Es sei

Dann folgt

d.h. o = (z o x i ) u = z(x~a)--x,(zu),

zt) ---- at).

Ich multipliziere den Modul (u, ~) mit ganz L. Besteht ~ nicht nur aus (u, ~), so gibt es einen Vektor x~(it~u+~t~) ~-- m, der von u und t~ linear unabh~ngig ist. Dann folgt wie oben

zlv ~ a t ~

usw., bis !lJ} ersch(ipft ist. Spanne ich 2}~ durch u, ~, m . . . auf, so wird bei der Darstellung z auf a E abgebildet, wobei E die Einheits- matrix ist. Gibt es nun in L ein Element x, das yon z unabhangig

ist, so hat dies einen Eigenwert ~ und x - - - - z den Eigenwert Null. Of

Da dies Element ungleich Null ist, hat nur der eindimensionale Ring Darstellungen ohne Eigenwert Null.

Bei nicht-nilpotenten Ringen gibt es nach dem Satz yon E~GEL wieder ein Element h, das nicht nur die Wurzel Null hat,

h e - ~ a e .

]n einem gegebenen Darstellungsmodul hat h den Eigenwert _4, d.h.

h. ao = Aao (% 4 o) 27

4 1 8 Fr. Kalscheuer.

und h . a , , - 64+~,,*)a,,,

wobei {:lr ~ CrflO

ist. Ist a,, einmal Null, so spanne ieh !IR yon a,, aus auf, w o n der

grOgte Index ist, fiir den a,, :~ 0 ist, und e bekommt den Eigenwert Null. Also sei a,, immer ungleich Null. Da ~ in eine direkte Summe nach den Eigenwerten yon h zerfi~llt, k6nnen nur a,, mit naehp kongruenten Indizes linear abh~ngig sein. a,~ sei der erste Vektor, der yon den vorhergehenden abhi~ngt. Aus der expliziten Darstellung sieht man sofort, dab am yon ao abhangen mug, wenn e nieht den Eigenwert Null haben soll. Also

a,, ----- Co ao + cp ap + �9 .- § cm-p a,n-p.

In dem Darstellungsteilmodul (ao, a l , . . . , a~_t) fiir den Lie'sehen Ring (h, e) wird h-f-he auf eine Matrix mit der Determinante

.4 (• + , ) . . . (A + On - - 1) , ) - - (aM Co + z m-p cp + . . . + z2, ,'m-~,)

abgebildet. Entweder ist nun

A ( d + t t ) . . . ( A + ( m - - 1 ) a )

Null, oder es ~b t fiir algebraiseh abgeschlossenen Grundk6rper ein )., so da6 obige Determinante versehwindet. Es hat also entweder h, e oder h -[- ), e den Eigenwert Null.

Z u s a m m e n f a s s u n g : Bei algebraisch abgeschlossenem Grundk0rper hat nur der eindimensionale Ring Darstellungen ohne Eigenwert Null.

w 2. Der KOrper de r reel len Zah len als GrundkOrper .

a) Aufl6sbare Systeme. Es sei L ein aufl6sbarer Lie-Ring mit der Basis 11, l~_, �9 �9 lm tiber

dem K6rper der reellen Zahlen und ~ ein Darstellungsmodul yon L, der eine Darstellung ohne den Eigenwert 0 vermittelt.

Lasse ieh als Koeffizienten meines Lie'schen Ringes L ~ (ll,l,,..., l~) Elemente des algebraisch abgesehlossenen KOrpers, also komplexe Zahlen, zu, so erhalte ich einen anderen Lie'schen Ring S mit denselben Basis- elementen. Ebenso erhalte ieh aus meinem Darstellungsmodul ~0~ einen anderen Darstellungsmodul ~). (Diese Bezeichnungsweise will ieh bei- behalten.) Fiir S und ~ gilt der Satz yon LIE, d. h.

s . d ---: A.~d;

Bestimmung aller stetigen FastkSrper.

speziell gilt dieser Satz ftir die Basiselemente yon S, also

lr d ~ AI d,

12 d ~ - A~ d,

419

l~ d -~ .4~ d.

Ist m ~ 2, so sind die .45 linear abhi~ngig in bezug auf den Grund- k~rper und es gibt ein Element 1 c L, so daft

1 .d - - - -O,

d. h. l hat den Eigenwert 0. Also ist m htichstens gleich 2. seits ist

(l~ o tk) d ---- li (t~ d) - - tk (Z~ d) = 0.

Anderer-

Also hat l~o lk den Eigenwert Null, ist also selbst Null. Jedes Produkt ist Null. Einen solehen Ring nennt man abelsch.

Im Falle des Ktirpers der reellen Zahlen als Grundk(Jrper gibt es nur zwe'i aufl(isbare Ringe, die eine Darstellung ohne Eigenwert Null gestatten, namlieh L ~ (x) und L ~- (x, y) mit x o y ~ O.

b) NichtauflOsbare Systeme. Ist L nicht auflCisbar, so ist es sicher nicht nflpotent u n d e s gibt

nach dem Satz yon ENGEL ein Element, das nicht nut die Wurzel Null hat. Es sei h Element mit mt~glichst vielen verschiedenen Wurzeln. K bestehe aus allen Elementen k, ftir die gilt h o k ~ 0. K ist Unterring.

Satz 1. Dieser Unterring K ist nilpotent. Annahme, K sei nicht nilpotent. Dann gibt es nach dem Satz

von ENGEL ein Element kl C K, das eine Wurzel a ~: 0 in K hat. Ich bilde die charakteristische Gleichung f ( t ) yon h + ~ k l . Diese ist das Produkt zweier charakteristischer Gleichungen, und zwar in K und in L modK. In K hat~h~-).kl den Eigenwert ).a. In L modK ist die charakteristische Gleiclaung ein Polynom in ~ mit Koeffizienten, die ihrerseits Polynome in t sind. Das yon ~ unabhi~ngige Glied g(t) ist his auf einen-Faktor t ~ die eharakteristische Gleiehung yon h, die also die Maximalzahl der yon Null verschiedenen Wurzeln hat. Hierzu werden die mit it~ multiplizierten Polynome in t addiert. Da bei be- werteten Grundk(~rpern die Wurzeln eines Polynoms stetige Funktionen der Koeffizienten sind, kann ich X fest so klein, ungleich Null wiihlen, daft die Koeffizienten yon g(t) sich so wenig andern, dab seine verschiedenen Wurzeln verschieden bleiben, andererseits ira eine yon den

~7"

420 Fr. Kalscheuer.

fibrigen versehiedene Wurzel wird. h+~k~ hatte eine Wurzel mehr als h. Dies wiirde einen Widersprueh bedeuten. K mug nilpotent sein.

Da eine Darstellung des ganzea Ringes aueh eine von K liefert, mug, wenn der Eigenwert Null nicht auftreten soll, K abelsch sein. Ffir den K6rper der reellen Zahlen kann K h6chstens zweidimensional sein: K = (h,k). In diesem Fall gibt es kein Element x, so dag h ~ o x ~ O , aber h o x ~ - O ist. Ware namlich K zweidimensional, so ware das dreidimensionale System (h, k, x) aufl6sbares Teilsystem, yon dem aber keine Darstellung ohne Eigenwert Null existieren kann. Wena K eindimensional ware, mfigte h ox = r h sein (r reell, 4 0 ) . Dana gabe es aber ein zweidimensionales nicht abelsches aufl0sbares Teil- system, was auch nicht geht.

Ich gehe zum K6rper der komplexen Zahlen fiber, also yon L zu S. Hat ein beliebiges Element I C L eine Wurzel a # 0, so gibt es einen yon 0 verschiedenen Vektor s, fiir den

l o s ----- as;

s ~ l l + i l , ; a ----- u l + i a , ; al, a, reell ll, 1 2 c L ;

Zoq~+iZ,) = ( - 1 + i - , ) q , + i ~ ) .

Nach tier JACOBI-Identitat fol~t

go (ll o 12) = 2al (11Q 12).

Ist lx ol~-~-O, so ist das dreidimensionale System (l, 11, l,) aufl0sbar, was nicht geht. Ist al ~: 0, so ist das zweidimensionale System (1, lx o l~) nichtabelseh, was ebenfalls nieht geht. Also mug It old4 0 sein und at ~ 0, d. h. es gibt nur rein imaginare Wurzeln 4 0 .

Hilfssatz. Hittte h e i n e Doppelwurzel ~= 0, so auch K. Bewei s : Durch Normierung yon h kann ich eine etwaige Doppel-

wurzel zu i ~--- V ~ l l machen. Ich zerlege S nach den Wurzeln yon h.

S = S o + S ~ + . . . . . .

S~ ist mindestens zweidimensionaler Darstellungsmodul far So = K. Hatte K in S~ versehiedene Wurzeln, so sieht man leieht, daft man h dureh ein Element h + Z k ersetzen kOnnte, alas mehr versehiedene Wurzeln hat als h.

Satz 2. h hat keine Doppdumrzel # O. Beweis : Mit h hatte nach dem Hi~fssatz ganz K eine Doppel-

wurzel 4 0 , d. h. ~r ---- A(x)ie,

x o f ~ ) . ( x ) i f (mode) f ~ 0 (mode).

Bestimmung aller stetigen Fastkiirper. 421

Dabei ist ~ r O~-e-----e~-ie~; e~ , e2CL . Ich bezeichne e l - - ie~ m i t e . e geh(irt zur Wurzel - - i von h, eo~-also zur Wurzel Null, d. h. eoe , = x l C K .

Da (e o~) o f : gl o f ~ ~'(~fl)"f mode

und (eo-g) o e = x~oe = ~(x~).e,

lagt sieh Formel (2) anwenden ffir z = e-, y : e, a : f , .4 : a = it(x1):

~,(~-}- 1) ~(~q) e ~-1 o f = eVo ( - ~ o f ) - - ~ o (eVof ) .

1. ~ r geh0rt zur Wurzel Null, liegt also in K, e o ( ~ o f ) also in (e) und e~o(e o f ) = O.

2. X(Xl) # 0. Denn

(e o ~) ~ e = [(e~+ i~ ) o (e,--ie~)] o (el-}- ie,) = - - 2 i(e1 ~ e,) a (el-~ ie,).

Ware dies gleich Null, so ware das dreidimensionhle System (e~, e~, el o e~) aufittsbar.

3. e n o f mu~ ftir n ~ N o Null werden, denn e " o f geh0rt zur Wurzel (n-~ 1)i yon h. Da L in eine direkte Summe nach den wrsehiedenen Wurzeln yon h zerfallt, sind die e ~ o f linear unabhi~ngig. Da L endliche Dimension hat, k(Innen nicht alle ungleich Null sein. Ich setze in der obigen Formel ~, = No. Dann folgt ffir No ~ 1~

f=--- 0 mode entgegen der Voraussetzung, fiir No ~ 1 folgt e N ~ O, daraus wieder e ~ ~ 0 usw. bis e o f = O. Ffir u-----1 gilt die Formel nur rood e und es ergibt sie h wieder entgegen der Voraussetzung f------ 0 mode.

$aiz 3. Zst L nicht halbeinfach und nichtabelsch, so hat h nur die Wurzeln 0 u~d -4-i.

B e w e i s : Das Radikal des Ringes ist h(~chstens eindimensional. Anderenfalls k0nnte man es durch Hinzunahme eines weiteren Elementes zu einem mehr als zweidimensionalen auflt~sbaren Teilring ergiinzen.

R = ( r ) , L o (r) c ( r ) ,

rl. h.: l o r =- ;'a) �9 r.

Ware r(~ aueh nur ffir ein Element l c L ungleich Null, gabe es ein aufl0sbares nichtabelsches System. Is t L nieht nilpotent, so hat h mindestens eine Wurzel 4-0 und K = (h, r). he ---- ie, h~----- - - i ~ . Ich nehme an, h h atte noch eine weitere Wurzel ~i 4-O, d.h.: h o f ==-~if; e o -~ c K , also: e o ~ = ;, h -}- J r, ;,, r komplex r 4- 0. Dann sind fib- y = e , z = ~ , a = f , , 4 = r ~ i , a , = r i die Voraussetzungen yon

422 Fr. Kalscheuer.

Formel (2) erftillt.

v(r$i + 2 2 ~ ri) e~-~o f = e~o (~of)- - -do (eVof).

Ieh kann $ so wahlen, daf ( ~ - - 1 ) i nieht Wurzel ist. Dann ist ~-of~---0. Da die e = o f linear ,unabhangig sind, mtissen sie ftir v ~ No Null sein. elV~ sei noeh ~: 0, e N ~ O. Dann folgt aus obiger Formel

No- -1 2

Ist N o - - 1 eine gerade Zahl, so bedeutet das: 3 ist eine negative ganze Zahl. - - 1 seheidet aus, da $ i ~: 4- i sein sollte.

N0~'I Also ist 3 - - No- - 1 mindestens - - 2. Dann gehOrt e 2 of---- u

2 zur Wurzei 0, eou zur Wurzel + i . Da diese Wurzel einfach ist,

No- - 1 mindestens 2 muff e o u C (e) liegen. Andererseits soil aber, da

ist, eZo u noch yon Null versehieden sein, was nicht geht. ~o_, 1

Ist No- -1 ungerade, so gibt es ein Element e ~ o f ~ : 0, das zur W u r z e l - - � 8 9 geh0rt. Dann kann aber, wie oben bewiesen, das Doppelte davon, n~mlieh ~ i, nicht Wurzel. sein. Also bei nicht-halb- einfachen Ringen hat 1~ nur zwei einfaehe Wurzeln ~: 0. Durch geeignete Wahl des Elementes h und Normierung kann ieh erreichen, daft

h oel = --e~,

h oe~ ~ et~

eloe~ ~ - - h ,

lor ~- 0 fiir jedes 1CL.

Dies ist das einzige nicht-halbeinfache System, das vielleieht eine Dar. stellung ohne Eigenwert Null gestattet. Das System (h, el, e~) ist der Infinitesimalring der Drehgruppe.

8atz 4. 1st L halbeinfach, aber nicht einfach, so ist es die direkte Summe zweier Drehgruppen.

Beweis : Ein halbeintacher Lie'scher Ring zerfallt in die direkte Summe von einfachen Ringen. Bat die Summe mehr als zwei Summanden, kann ich aus jedem Summanden ein beliebiges Element herausg~eifen und erhalte einen mehr als zweidimensionalen abelsehen Teilring, was nicht vorkommen darf. Ist L nicht einfach, zerfMlt es also in genau zwei einfaehe Ringe. I n emem dieser einfachen Ringe suche ich ein Element h, das in diesem einfachen Ring die Maximalzahl versehiedener Wurzeln hat. Der dazugeh0rige Unterring K ist eindimensional. Wi~re


er namlich zweidimensional, k0nnte ich ihn durch ein Element aus dem zweiten einfaehen Ring zu einem dreidimensionalen abelsehen Teilring erganzen. Also ist K-----(h). Da es sieh um einen einfaehen Teilring handelt, hat heine Wurzel ~: 0. Naeh passender Normierung wird wieder

h o e ---= ie ,

ho ~ - ~ - - i -d .

e r ~ liegt wieder in K - - (h). Dann folgt aber genau wie bei Satz 3, dal~ es keine weitere Wurzel ~: 0 gibt.

Es k0nnte also h0chstens noeh einfache Lie'sche Ringe geben, die Darstellungen ohne Eigenwert ~ull gestatteten. Einfache Lie'sehe Ringe mit h(~ehstens zweidimensionalen aufl0sbaren Teilringen gibt es noch, die drei CARTANSchen Typen mit ebenen Wurzelkoufigurationen. Daft diese ebenso wie die direkte Summe zweier Drehgruppen keine Dar- stellungen ohne Eigenwert Null haben, wird sieh sofort zeigen.

Es m6ge also das Element h mit der MaximaJzahl verschiedener Wurzeln i~n ganzen Ring zwei verschiedene Wurzelpaare ~: 0, beispielsweise • i und 4-_/~i haben, also

h o e --= ie ,

h o ~ -~ - - i ~ ,

h o u ~ ~ i u ,

h o ~ -~ - - ~ i ~ ~ 0). I

Da es sich nur um halbeinfache Ringe handelt, deren A_bleitun~der

ganze Ring ist, kann ich annehmen, daii e o~ u ou i und . linear un-

abhi~ngig sind. Ich kann also K durch diese beiden Elemente aufspannen. Nun sei eine Darstellung gegeben, Gehe ich zum K0rper der

komplexen Zahlen t~ber, so gibt es nach dem Satz yon LIE einen von 0 verschiedenen Vektor a, so daft k. a-----.4ka fiir alle k aus K ist. Da es nur endlich viele Eigenwerte gibt, kann ich yon .4 annehmen, dal~ weder . 4 - - i noch . 4 - - f l i Wurzel ist. Welter ergibt sich, wie friiher, dal~

( ~ = ) oe =: ~ie ,

Es lfigt sieh also Formel (2) sowohl ffir y ~ e, z = e, wie ffir y --= u, z -= g anwenden. Da weder A - - i noeh A - - , ~ i Wurzel war, f~llt der erste Ausdruek reehts fort. Setze ieh fiir v den kleinsten Wert ein, fiir den a,, versehwindet, so ergibt sieh, daft .4(eo~ und -4(uo~ bei,]e

t i

424 Fr. Kalscheuer.

rein imaginitr sind. Also

Dann ist aber

.d (,~f) = ri'[

d (,, ~ ~,) (~ i f r, r reell.

[~ e o ~ u o ~ ] i r - 7 - - ] a = O.

Der Ausdruck in der eckigen Klammer hat den Eigenwert Null. Er selbst ist aber nicht Null, da r und ~ nicht Null shad. Dann htitte

er u v ~ ja i oder ~ schon den Eigenwert Null. Es gibt also vier

Systeme, die noch Darstellungen ohne Eigenwert Null haben k0nnen.

1. L l --~ (x) ,

2. L , = (x , , x , ) ,

3: L , = (h, e,, e,),

4. L4 = (h, e,, e,, r).

Es gilt nun die Darstellungen ohne Eigenwert Null dieser Ringe aufzusteUen. Der Grad der Darstellung muff naeh der Einleitung gleich der Dimension des Ringes sein, wenn zu dem Infinitesimalring ein Fast- k0rper geh0ren soll.

Z w e i t e s Kap i t e l .

Die B e s t i m m u n g de r D a r s t e l l u n g e n o h n e E i g e n w e r t Null.

Ftir System 1 gibt es nur eindimensionale Darstellungen x ~ (a). Ffir jede Darstellung besteht die Menge der darstellenden Matrizen aus allen reellen Zahlen.

System 2 ist aufRIsbar. Gehe ich zum Ktirper der komplexen Zahlen fiber, so gibt es nach dem Satz yon LIE einen yon 0 verschiedenen Vektor

ro = u + i ~ ,

so daft 1 m = (Za) + i/~a)) m,

lt~ ---~ #(t) u + Za) ~.

$ind u und ~ linear abhimgig, gibt es eindimensionale Darstellungen, die ausseheiden,, weil sie den Eigenwert Null nieht bur bei der Nullmatrix haben. Sind u und ~ linear unabh~tngig, ist die Darstellung zweidimensional.


( X(xO t { x(x,) I a x ~ b x ~ , a i _ t + ( x L ) X(x~)] + b ~ - ~ ( x ~ ) l(x2)]

Ftir alle Darstellungen besteht die Menge der darstellenden Matrizen

aus allen Natxizen ( I ~) wo t u n d t~ unabhangig voneinander alle

reellen Zahlen durchlaufen. Der Eigenwert Null tritt nur bei der Null- matrix auf. Damit diese nur dem Nullelement zugeordnet wird, darf das Gleiehungssystem

a l l + b l ~ = 0,

a l+t-4- b tt~ = 0

nur die trivialen Ltisungen a = b ~ 0 haben, d. h. es mug

sein. System 3.

Ii l~ 4 0

h m(/ge in einer Darstellung den Eigenwert 1/liaben, d. h.

ha = .4a;

. 4 - i sei nicht mehr Eige'nwert.

Nach Formel (2) folgt wie frfiher

.4 ~ - - g - - i , 9+ .q_

wenn % ~ 0 , aber a o + l = O ist. Ist g gerade, dann gehOrt e 2a zum Eigenwert Null. Also mug g ungerade sein. Dann hat h die Eigenwerte

l i, . ~ 1 g . - - ~ i , ( - - ~ § . . . , 2 + i , . . . , ( ~ - - , ) i , + + .

Es lafit sich leicht nachrechnen, dab ich als Ausgangselement h mit Maximalzahl verschiedener Wurzeln jedes Element aus L nehmen konnte. Daher hat bei dieser Darstellung jedes Element bis auf einen reellen Proportionaliti~tsfaktor dieselben Eigenwerte. Alle diese Darstellungen haben also nicht den Eigenwert Null, wenn g ungerade ist. Da zu ungeradem g eine Darstellung geraden Grades geh0rt, kann es keine Darstellung dritten Grades yon System 3 geben. Da System 3 aber in System 4 enthalten ist, liefert eine Darstellung vierten C:/~ad.es yon System 4 auch eine solche yon System 3. Diese ist zuerst zu suchen.

426 Ft. Kalscheuer.

In Frage kommt g ---- 3 und zweimal g ~ 1. Es wird sich zeigen, da5 die Darstellung zu g---~ 3 sich nicht ins Reelle transformieren li~l~t.

B e w e i s : Es sei ~o tier Vektor mit dem Eigenwert - - � 8 9 yon h. Dann geh0rt ero ~ ~,~ zum Eigenwert + � 8 9 ~'o, v~, geh(3ren zu ~ , nicht unbedingt zu ~ , d. h.

1 " 2 - - - + c ).

Ich bezeichne v~--iv~ mit ~o. Dann gehOrt, wie man leicht sieht, v-o ebenfalls zum Eigenwert + } i . Ist dieser Eigenwert nun einfach, dann muff -~o----rvt sein. (r komplex.)

Dann gilt lv 0 _ _ _ ---- ---- vl -= ero ---- evo ----- 7e~'1. 7

Um ~u~ zu berechnen, wende ich wieder Formel (2) an und erhalte ffir

y--~e, z=-e , . ,4=g, a = - - 2 , ~,-- g + l 2

[g+ l ~2 = -

Setze ich obige Gleichung welter fort, so erhalte ich

Vo = - - r r ~o.

1 Es mii~te also r r - = ( _ ~ _ ~ ) 2 sein. Eine komplexe Zahl, deren

Absolutbetrag negativ ist, kann es aber nicht geben. Es folgt also, dab bei einer Darstellung der Drehgruppe ohne Eigenwert Null, die sich ins Reelle transformieren lassen soll, die Eigenwerte -J-�89 und - - ~ i nicht einfach sein k6nnen. Eine vierdimensionale Darstelhmg kann nur so aussehen:

h . ro : - - ~ i ~'o e ~'o = ~'x e- ~'o : 0,

h . ~ l = ~i~1 ev, = 0 e-~l = - - ' o ,

h "-~1 = - - �89 ev -a= ~ o e-~l = O,

h . ~o = �89 e~o = 0 e vo = ~1.

Es kann nur diese eine vierdimensionale Darstelhmg geben. Trans-

formiert man sie ins Reelle, indem man als Basis yon L (h, ]

e - J F

2 '

- - - ~ ) und als Basis yon ~ (~o+~-o Vo v~+v l ,,~--~,~ ) e - - ~ '0

2 i 2 ' 2 i ' 2 ' 2 i

Bestimmung aller stetigen Fastk6rper. 427

wiLhlt, so erh~lt man

2h----, 1 0 0 : B , 0 0 0 - -1 0

! 0 ~ 1 0 0 0 - -1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 - -1 \ (00010 - -1 0 0 I ~ D .

1 0 0 0

= C,

Genau auf dieselbe Art wie oben kann man zeigen, dab auch der grtifite

Eigenwert 4- g i nicht einfach sein kann. Man mul~ statt von Y0 von Q

ausgehen und mit Formel (2) e gag ausrechnen. Da naeh dieser Formel

ist, erh~lt man

Y (g - - Y -~- l) CI~'--1 - -

e g ag ~ (-- 1)g c a,

wobei c reell und posi t ivis t . Da g ungerade ist, rotate wieder r,7 negativ sein, was unmtiglich ist. Die einzige irreduzible reelle Dar- stellung 2 n-ten Grades der Drehgruppe erhalt man also, indem man

auf die iibliche Art die mit i ~ 1 / ~ l l multiplizierte Basis der komplexen Darstellung fiir g ~ n - 1 zu dieser Basis hinzuftigt.

Die Darstellung der Drehgruppe ist aufgestellt. Es fehlt noch die zu r geh(irige Matrix. Da r alle anderen Elemente annulliert, mul~ diese Matrix mit den drei anderen vertauschbar sein. Stellt man eine beliebige vierzeilige quadratische Matrix auf und rechnet die B~dingungen hierftir durch, so erhiLlt man

( 0r a' 0 ) - -a~ al 0 0

r ~ 0 0 al a~ "

0 0 - - a s al

Also li~l~t sich r abbilden, entweder

1. ftir a~ ~ 0,

r , T E

oder 2. fiir a ~ 4 0 auf eine lineare Schar

r , c i ( F - [ - x E ) ,

428 Fr. Kalscheuer.

wobei

F =

(: o o) - - 0 0 0

0 0 1 ' 0 0 --1 0

x = 0, d.h. al = 0, az ~ 0 scheidet aus, da dann der Eigenwert 0 bei einem Element 4 0 vor.kommt.

D r i t t e s Kapi te l .

Die Aufstellung der stetigen FastkOrper. Wenn A eine Matrix der gesuehten Darstelh~ng des Lie'schen

Ringes ist, dann gehtirt nach der Einleitung e a zur reguli~ren Darstellung des FastkClrpers. Es wird sich also zuerst darum handeln, die Matrizen der gefundenen Darstellungen in den Exponenten zu setzen. Betrachtet man die aus den so gewonnenen Matrizen erzeugte multiplikative Gruppe M, so ist dann zu untersuchen, ob es sich um die reguli~re Dar- stellung der multiplikativen Gruppe eines Fastk(irpers handelt. Den Fastk(irper konstruiert, man nach ZASSE~HAUS, Lehrbuch der Gruppen- theorie, auf folgende Weise: Die n-dimensionalen Matrizen bilden eine Automorphismengruppe des n-dimensionalen Vektorraumes mit dem- selben Grundk0rper. In den vorkommenden Fallen hat keine Matrix aul~er E den Eigenwert 1. Daher li~t kein Automorphismus aui~er dem identischen auch nut einen Vektor ~= 0 fest. Man nehme dann einen beliebigen Vektor ~= 0 - - ich werde der Einfachheit halber

( ! ) n e h m e n - und bezeichne ihn m i t i . Die Elemente des Fast-

kCirpers sind die n-dimensionalen Vektoren, ihre Addition ist die Vektor- addition. Um das Produkt zweier Vektoren a . ~ zu berechnen, suehe ich den Automorphismus, der 1 in a fiberftihrt, und wende ihn auf an. Damit die so definierte ]i~ultiplikation ftir jedes Produkt erkliirt und eindeutig ist, mutt die Automorphismengruppe folgende beiden Eigenschaften haben.

1. Sie mui~ 1 in jeden Vektor tiberftihren. m

2. Es gibt nur einen Automorphismus, der 1 in einen vorgegebenen Vektor tiberftihrt. Die erste Bedingung ist in jedem speziellen Fall nachzuprtifen,

die zweite ist sicher erfiillt, denn aus

A-1 = a, J

B . l = a


wiirde folgen A -1 . B �9 1 ~ _ ] , d. h. A - 1 . B hi~tte den Eigenwert 1, mfi6te also E sein. A ~ B. DaB die vorgegebene Matrizengruppe auch wirklich die reguli~re Darstellung der multiplikativcn Gruppe des (Oo)(o) gefundenen Fastk~rpers ist, sieht man sofort, wenn man . . . .

i als Basis des Fastk~rpers w~.hlt.

Vorstehende Uberlegungen fithre ieh also fttr tmsere geNndenen Darstellungen dureh. Ffir System 1 i~t das trivial. Bei jeder Darstellung besteht die Menge der darstellenden Matrizen aus allen reellen Zahlen r, e ~ also aus allen posit.iven reellen gahlen. Der dazugeh~rige Fas tk6~er ist der K ~ e r der reellen gahlen.

Ffir System 2 bestehen die darstellenden l~Iatrizen aus allen

Yiatrizender F o r m i t A + , E , wobe iA = ( _ l I) ist. D a t ~ E m i t i t A

vertausehbar ist, wird naeh NEUMANN (Literaturverzeichnis 1)

e zA+~E ---~ e9 �9 e ~'A.

Ieh brauche also lediglich e ~A zu berechnen. Dazu transformiere ich (1 1) ist: es auf Diagonalgestalt. Ftir T---- i - - i

[l--~i 0 I T - 1 A T - = ~ 0 1 - - i ] '

also

e IA = T e T - I~AT T - 1 = T 0 e ~'(1-') \sinit cos "

./e~ itsin it - - sin itit)cos e~A+# E besteht also aus allen Matrizen der Form e7 1 I

Der dazugehtirige Fastktirper ist der K(irper der komplexen Zahlen. System 4. Samtliche Matrizen des Systems 4 kann man durch

geschickte Transformation immer leicht auf eine solche Gestalt bringen, daft sie in zwei Matrizen der Form i t A + ~ E zerfallen. Tut man dies, so ergibt sich

\// cos).0 sinit 0 0 ) e~ B = | - - sin it cos )~ 0

0 cos it - - s in it ' \ 0 0 sin it cos it /

cos it 0 sin/~ 0 \ eL, C __-- 0 cos t~ 0 sin t~ ) - - sin ~ 0 cos it 0 '

0 -- sin tt 0 cos It

430 Fr. Kalscheuer.

eY E ~ .

ed(F+xE) = dfx

cos v 0 0 sin ~ \

) 0 cos ~, - - s i n ~, 0

0 sin v cos v 0 '

- - s i n r 0 0 cos v

o o o ) 0 e~" 0 0 0 0 eY 0 ' 0 0 0 eY

I cos~ - - s i n ~ 0 0 \

) sin ~ cos ~ 0 0

0 0 cos ~ - - s i n ~ " 0 0 sin ~ cos

Als Erzeugendensystem der Automorphismengruppe kann ich nehmen:

I: eZB~ e~ C, evn~ eY E;

If: e~B~ e} ~C, e up, ed(FA -xE).

Es wird sich zeigen, dal~ zur ersten Automorphismengruppe der Schief- k0rper der Quaternionen, zur zweiten Gruppe eine vom Parameter x abhiingige lineare Schar nichtisomorpher Fastktirper geh0rt, e )'B, e pC, e rD

erzeugt die regul~re DarstelIung der multiplikativen Gruppe der Quater- nionen q mit 3,'(q)= 1.

B e w e i s : Die Quaternionen mit N(q)= 1 haben fo]gende Gestalt:

q = a l - ~ b i - ~ c l ~ - d k ,

a~--4 - b~--~ ('~--~ (l 2 = 1 i ~ = 12--- k 2 = - - 1 ,

i k = 1 k l = i l i -~ k ,

k i = - - 1 l k ---~ - - i i k - = - - k .

Simmt man l, i, l, k als Basis der Quaternionen, so sieht malt sofort, daI~ zu e ~B die Quaternion cos 2 - - i sin )., zu d "c cos ~ - - 1 sin t~ und zu e ~l) cos v - - k sin r geh(irt. Zu beweisen ist also, dag sich jede Quaternion mit Norm 1 aus diesen drei multiplikativ erzeugen lal~t. Ich stelle zuerst lest, welche Eigenschaft eine beliebige Quaternion haben mug, damit sie nach Multiplikation yon rechts mit tcos t~-- 1 sin i~) -~ die Form cos ~ - - i sin). hat. Diese Eigenschaft mug sich dann bei einer beliebigen Quaternion mit Norm 1 durch Multiplikation yon rechts mit (cos v - - l, sin y)--I erreiehen lassen.

= (" Y, - - r Y~) + (~ y, + ~ y~) i + (r y, + , y..) 1 + (~ : / , - - ~ y:) L.

~ y l - - ~ y . ~ = O,

y y l @ a y e ~- O.


Damit dieses System nicht trivial losbar ist, muB a~--k~r-~ 0 sein. Ist dies der Fall, kann ich yl, y, so w/ihlen, dab y l + l y , die Norm 1 hat.

(a ~ bi + cl + dk) ( x ~ kxs) = (axl - - dx~) + (bx,-- cx~)i + (cxl+ bx~)l--}- (dxl-{- ax~)k.

Man mug also x~, x~ so w/ihlen k6nnen, dab

(axl-- dx2) (dx,+ axe) + (bx,-- cx~) (cxl+ bx,) = 0 wird.

(ad + bc)x~ + (a2+ b 2 - c2--g2)xlx2--(ad + bc)x~ --~ O.

Ist adobe--=-O, so ist die Division durch x~--kx~ fiberiifissig. Sonst ist

xt a-~+ b ~ - c ~ - d ~

x~ 2(ad + bc) 1

4- 2(ad+bc) W(a*-~b*--c*--d*)*+4(ab4"cd)* '

also x_~i reell. Ich kann xi, x, so wahlen, da$ x~-t-kx, die Norm 1 hat. X2 Wenn a ~ bi ~ cl+ dk die Norm 1 hat, die beiden Divisoren eben-

falls, dann mug aueh der Quotient die Norm 1 haben, d. h.

(a 4- b i -{- c1-4- dk) = (cos Z - - i sin ).) (cos it - - 1 sin it) (cos v - - k sin ~,),

wenll a*-4- b*-~ c* + d s =- 1.

Nun konstruiere ich auf die frfiher angegebene Methode die FasthOrper,

indem ich die Automorphismen auf den Vektor 0 anwende, gs ist

nachzuprfifen, ob sich dabei fiir jede Automorphismengruppe jeder Vektor ergibt. In jeder dieser Gruppen kommt die reguli~re Darstellung der Quaternionen q ~ aq-bi - -kc l~dk mit Norm 1 vor. Die in tier reguli~ren Darstellung ffir die Basis 1, i, l, k zu q geh6rige Matrix kann ich aber auch in der Form (oo lO ) (. 1o). (o o Oo1 ) 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 - - 1 0 0 1 0 1 0 0 1 ~ c 1 0 0 0 -v'd O - - 1 0

a

0 0 1 "0 0 - - 1 0 / ~0 1 0 0 / \1 0 0 0

= a d - - - - d a

d c - -b a

schreiben, da die Quaternionen beiderseitig distributiv sind.

432 Fr. Kalscheuer.

Bei der Multiplikation dieser Matrix mit dem Vektor 1 ] O0 ergibt

~ich ersichtlich jeder Vektor mit dem skalareu Quadrat 1. Die Determinante der Matrizen aus der vierten Schar des vorhin

gegebenen Erzeugendensystemes nimmt, da in Gruppe II x =~ 0 ausfi~llt, jeden positiven Wert genau einmal an. Ich erhalte also jeden beliebigen

Vektor ( ~ ) ; denn wenn ieh diesen Vektor yon reehts mit der reziproken

vierten Matrix bei passend gewi~hltem Parameter ~, bzw. ~ multipliziere,

b mit dem skalaren Quadrat 1. In diesen ffihrt erhalte ieh einen Vektor c " d

aber ein Produkt der ersten drei Matrizen den gektor 1 iiber. Im ganzen erseheint also jeder Vektor, und zwar, wie ersiehtHeh, genau einmah Damit sind die Fastkt~rper konstruiert.

Dag die Fastktirper der Gruppe H ftir versehiedene x nieht isomorph sind, sieht man so:

Bei Isomorphismus w~ren auch die Zentren, die aus den Elementen

-4-e 'r bestehen, isomorph. Die regularen Darstellunge, mtifiten ineinander transformierbar sein, d.h.

Aus

folgt

Te $'(F+x'E) T -~ : 4- e~2(F4-x2E) .

l e~(~§ = I e'C~(F+~,E' I

e a,x,~-- e #~x2 : x, d.h. d s : xt ~1").

Es miil~te also folgende Abbildung bestehen:

l eos ~1 --sin $1 0 0 \ e ~,(F+~,E) ---- x sin ~1 cos ~ 0 O. | ~ ) • e~,(F+x,E)

0 0 cos dl --sin d, I 0 0 sin~t cosd, /

/ cos d~ --sinJ~ 0 0 \ | sind8 cos J2 0 0 | .

4-x \ 0 0 cos d, - -s in r ] sin d, \ 0 0 cos J, /


Die erste Matrix hat die Eigenwerte ~r e ~ und x. e -d~i , die zweite

x e ~'~ und 4 - x e - 5 ~ . Da die Matrizen ineinander transformierbar sein sollen, mfissen die Eigenwerte gleich seiq, d. h. entweder

xs

oder

~ __-- a~ g - - x~. ~ . ; k~, k, ganzzahlig. x~

Lasse ich ~1 nach Null gehen, folgt mit *) kl = ka = 0. Es is~ also entweder x~ ~ x~ oder xi = - - x ~ . Da5 das letztere keine Isomorphie liefert~ wird sich spater zeigen.

Die Fastk0rper sind bisher dutch ihre reguliire Darstellung charak- terisiert. Wir wollen nun auch ihre Multiplikationsregeln aufstellen. Zur Automorphismengruppe I geh(irt, wie sofort ersichtlich, der Schief- k(Irper der Quaternionen. Die Automorphismengruppe II hat fiir jedes x die Untergruppe, die zu den Quatel~ionen der Norm I gehtirt. Ich i~ndere die Multiplikation der Quaternionen so ab, dab sie ftir Quaternionen mit Norm 1 erhalten bleibt. Dazu mache ich folgenden Ansatz

~ x O = Ox~" = O,

~ x ~ = ~ " P:v c : ~ . P ; ~ . (~ 4 o).

P daft nur yon ~ abhi~ngig sein, damit das linksseitige Distributivgesetz erhalten bleibt. Rechnet man die Bedingung ftir das Assoziativgesetz durch, so erhalt man

Ich setze also fiir y 4 0

P(~vO ~ cos ( 1 l o g N ~ ) - b i s i n ( 1 log~V~).

Die FastkCirperaxiome sind erffillt, das rechtsseitige Distributivgesetz gilt nicht, z. B.

(2 -- 1)x i :~ 2 x i - - I x i ;

denn 2•

Ich will noch die regulare Darstelhmg aafstellen. Dazu brauche ich lediglich die Darstellung tier ZentrumseIemente ungleich Null und ungleich 4-1. Alles andere ist trivial. Die Zentrumselemente ~ suche ich zuerst auf.

434 Ft. Kalscheuer.

Wenn iV( 0 = 1 ist, ist ~/• = ~/�9 ~,

- - ~. P(N~. ~. (~P(~:))-~.

Wenn ~ Zentrumselement ist, muff ~P6vc) mit allen Elementen ~/ mit N~ = 1 vertausehbar sein. Daraus folgt

Dies ergibt ~,, --- e ~y (cos r - - i sin v).

(Z reell).

Zu ~ geh6rt die Matrix e eI(Fq-yE), Die vom Parameter y abhiingige Schar von Fastk~rpern ist isomorph der durch die Automorphismen bestimmten linearen Schar. Zu gleichen Parametern x und y gehOren isomorphe K6rper. Es bleibt noch zu zeigen, daft sich fiir x~ = - x~ bzw. y~ = - - y ~ nicht-isomorphe Ktlrper ergeben. Die multiplikative Gruppe unserer Fastk6rper zerfi~llt in ein direktes Produkt mit ver- einigter Untergruppe - - diese enth~lt nur - -1 - - aus dem Zentrum und den Quaternionen mit Norm 1. Die letzteren bilden die Kommutator- gruppe des Fastktirpers. Dal3 diese nieht gr613er ist als die Gruppe der Quaternionen mit Norm 1 ist klar; denn a• b • a - l • b -1 hat ersichtlich die Norm 1. Andererseits ist ffir a ~q-B s = 1

kx(ff, "Jl- ~i) x k - l ( a 21-~i)-1 = (g ..]_ ~ i ) -2

l x ( a + ~ k ) x l - l ( , -Jl-~k) -1 = (cr -Jl-~k) -2,

ix(a -~-~1) X i--l(a ql_~l)--I = (a -]-/~1) -~.

Da (aq-~i) -2 alle Quaternionen der Form cos v q - i sin v durchliiuft, entsprechend (aq-~k) -2 und (aq-~ / ) -2, und man aus diesen die ganze Gruppe der Quaternionen mit Norm 1 erzeugen kann, ist diese gerade die Kommutatorgruppe. Die Kommutatorgruppe ist invariant gegentiber Isomorphie. Ffir Zentrumselemente ~ ist die Abbildung ~-* ~ so, daft

ist. Allgemein ist also ~ = r = - ~ ~ q,, wobei q, eine Quaternion - /

der Norm 1 ist. Daraus folgt

~/" q<~+'~)Ni~+~)-- + ~~q(~+*~)N~+~)2 = ~+~-~ = ~ + ~ - ~'q~N 2 + _~1 __N~~ q<E~).

Fiir e -+ 0 bleiben in dieser Gleichung alle Ausdrticke his auf -~- ~ q(:~)

beschriinkt, w/~hrend dieser Ausdruck unbeschri~nkt grol] wird. Damit ist gezeigt, dab auch zu x und - - x nicht-isomorphe Fastk6rper geh6ren.


Man sieht sofort, da8 in allen echten Fas tk0rpern der K0rper

tier reellen Zahlen nicht im Zentrum liegt. Es w~re noch interessant, auf abs t raktem Wege zu zeigen, daft aus den Fastk0rperaxiomen, der Stet igkeit und dieser Bedingung das rechtsseiti~e Distributivgesetz folgt.

Literaturverzeichnis. 1. J. v. NEUMANE, Gruppen linearer Transformationen. Math. Ztschr. Bd. 1. 2. H. ZASSE~]]AUS, Ober endliche Fastk~tper. Abhdl. aus dem Math. Seminar der

~[ansischen Univ. Bd. 11.

3. H. WEYL, Theorie der Darstellung kontinulerHcher haibeinfacher Gruppen dutch ]ineare Transformationen Iund II. Math. Ztschr. Bd. 93 und 24.

4. H. ZASSENHAUS, f~ber Lie'sche Ringe mit Primzahlcharakterisik Abhdl. aus dem Math. Seminar der Hansischen Univ. Bd. 13.

Schlul3 des red~ktionellen Teiles.

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Die Bestimmung aller stetigen Fastkörper über dem Körper der reellen Zahlen als Grundkörper