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IX. Band, ~92~. Me y e r, Die Charakteristik zusammengesetzter Leitungen. 399 yon einer Wandlung unserer rea~en Weltanscbauung, von einem Umsturz im Koperni- kanischen System sprechen. Kfinftighin ist es nicht mehr verboten zu sagen: die Erde steht still und der Fixsternhimmel dreht sich um die Erde, oder: die Sonne bewegt sich und die Erde steht im Brennpunkte der Sonnenbahn (,,und sie bewegt sieh doeh nieht!"). Die Aussage, dab der Fixsternhimmel ruhe, hat relativistisch fiberhaupt keinen Sinn und Inhalt. DaB der sich drehende Fixsternhimmel an der ruhenden Erde genau dieselben Zentrifugalkr/ifte als GravitationswechselwJrkungen hervorruft, wie sie nach Newton und nach der Erfahrung an der sich drehenden Erde auftreten, ist durch die Einsteinsehe mathematische Weltordnung gesiehert und im einzelnen durch Rechnung nachgewiesen (diesmal .nicht yon Ei n s t ei n selbst, sondern yon Thirring). Freilich wird es immer bequemer und fiir die praktischen Zweeke der rechnenden Astronomen verntinftiger sein, mit K0p er n i k us den helio- zentrischen Standpunkt einzunehmen. Abet es ~st auc-h nicht widersinnig, sieh mit Ptole m~ius auf den geozentrischen Standpunkt zu stellen. Gerade der souver~ine Wechsel des Standpunktes ist es, den die Relativit~itstheorie uns frei gemacht hat und der. sie zu ihren Erfolgen in der Gravitationstheorie geffihrt hat. Die Charakterisiik zusammengesetzter Leitungen. Von UIfilas Meyer. (Mitteilung aus dem Telegraphentechnischen Reichsamt.) In letzter Zeit hat in der Fernsprechtechnik die Charakteristik der Leitungen sehr an Bedeutung gewonnen; besonders durch die Ausgleichsschaltungen bei Ver, stfirkereinrichtungen. W~ihrend bei homogenen Leitungen sich die Charakteristik in sehr einfacher Weise durch die elektrischen Konstanten ausdrficken l~iBt, es Jst /~ + iwL ~= + icaK' wird bei zusammengesetzten Leitungen diese Abh~ngigkeit ziemlich verwickelt. Um unsere Kenntnis fiber solehe Leitungen zu vertiefen, erscheint es jedoch nfitz- lieh, die.Abh~ingigkeit trotzdem einmal formelm~iBig zu entwickeln und Gesetz- m~fligkeiten darin aufzusuchen. Um zun~ichst mSglichst allgemein zu bleiben, wollen wir den Fall betrachten, dab in eine hornogene Leitung ein Stfick einer Leitung mit anderen Konstanten an irgend einer Stelle zwischengeschaltet ist. Die Konstan{en der einzelnen Abschnitte bezeichnen wir mit den Indizes I, 2 und 3. Dann ist, da der erste und dritte Ab- schnitt yon gleicher Bauart sein soil, ~a-----~, und 73 = 72. In der allgemeinen Gleiehung ,%=w.%+ gelten in diesem Fall die Beziehungen') 92f Cos 72 1~Cos 7, (1, + l~) + ~,~ Cos 7~ 1, Sin 7~ 1,a sin 7, I~ + ~ Sin 7, 1~Sin 7~ 12Cos 7, l~, 9A'= Cos y.212 CosT1 (1~ + la)+ ~--~Cos h 1, Siny21=Sinyrl ~ + .~ Sin 7~ II SinT~ 1.. CosTt ~) Die hyperbolischen Funktionen sind im Folgenden dutch groBe Anfangsbuchstabez~ gekennzeichnet: Sin, Cos usw.

Die Charakteristik zusammengesetzter Leitungen

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Page 1: Die Charakteristik zusammengesetzter Leitungen

IX. Band, ~92~. M e y e r, Die Charakteristik zusammengesetzter Leitungen. 399

yon einer Wandlung unserer rea~en Weltanscbauung, von einem Umsturz im Koperni- kanischen System sprechen. Kfinftighin ist es nicht mehr verboten zu sagen: die Erde steht still und der Fixsternhimmel dreht sich um die Erde, oder: die Sonne bewegt sich und die Erde steht im Brennpunkte der Sonnenbahn (,,und sie bewegt sieh doeh nieht!"). Die Aussage, dab der Fixsternhimmel ruhe, hat relativistisch fiberhaupt keinen Sinn und Inhalt. DaB der sich drehende Fixsternhimmel an der ruhenden Erde genau dieselben Zentrifugalkr/ifte als GravitationswechselwJrkungen hervorruft, wie sie nach N e w t o n und nach der Erfahrung an d e r sich drehenden Erde auftreten, ist durch die E i n s t e i n s e h e mathematische Weltordnung gesiehert und im einzelnen durch Rechnung nachgewiesen (diesmal .nicht yon Ei n s t ei n selbst, sondern yon T h i r r i n g ) . Freilich wird es immer bequemer und fiir die praktischen Zweeke der rechnenden Astronomen verntinftiger sein, mit K0p er n i k us den helio- zentrischen Standpunkt einzunehmen. Abet es ~st auc-h nicht widersinnig, sieh mit P t o l e m~ius auf den geozentrischen Standpunkt zu stellen. Gerade der souver~ine Wechsel des Standpunktes ist es, den die Relativit~itstheorie uns frei gemacht hat und der. sie zu ihren Erfolgen in der Gravitationstheorie geffihrt hat.

Die Charakterisiik zusammengesetzter Leitungen. Von

UIfilas Meyer.

(Mitteilung aus dem Telegraphentechnischen Reichsamt.)

In letzter Zeit hat in der Fernsprechtechnik die Charakteristik der Leitungen sehr an Bedeutung gewonnen; besonders durch die Ausgleichsschaltungen bei Ver, stfirkereinrichtungen. W~ihrend bei homogenen Leitungen sich die Charakteristik in sehr einfacher Weise durch die elektrischen Konstanten ausdrficken l~iBt, es Jst

/ ~ + i w L ~ = + icaK'

wird bei zusammengesetzten Leitungen diese Abh~ngigkeit ziemlich verwickelt. Um unsere Kenntnis fiber solehe Leitungen zu vertiefen, erscheint es jedoch nfitz- lieh, die.Abh~ingigkeit trotzdem einmal formelm~iBig zu entwickeln und Gesetz- m~fligkeiten darin aufzusuchen.

Um zun~ichst mSglichst allgemein zu bleiben, wollen wir den Fall betrachten, dab in eine hornogene Leitung ein Stfick einer Leitung mit anderen Konstanten an irgend einer Stelle zwischengeschaltet ist. Die Konstan{en der einzelnen Abschnitte bezeichnen wir mit den Indizes I, 2 und 3. Dann ist, da der erste und dritte Ab- schnitt yon gleicher Bauart sein soil, ~a-----~, und 73 = 72. In der allgemeinen Gleiehung

,%=w.%+ gelten in diesem Fall die Beziehungen')

92f Cos 72 1~ Cos 7, (1, + l~) + ~,~ Cos 7~ 1, Sin 7~ 1,a sin 7, I~ + ~ Sin 7, 1~ Sin 7~ 12 Cos 7, l~,

9A'= Cos y.212 CosT1 (1~ + la)+ ~--~ Cos h 1, Siny21=Sinyrl ~ + . ~ Sin 7~ II SinT~ 1.. CosTt

~) Die hyperbolischen Funktionen sind im Folgenden dutch groBe Anfangsbuchstabez~ gekennzeichnet: Sin, Cos usw.

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Archly fi ir 400 M e y e r, Die Charaktefistik zusammengesetzter Leitungen. Elektrotectmik

N = 8, Cos)'.2 12 Sin)q (1, + 1,) +~3 Cos)q 1, Sin)'31~ Cos 7,1a + Sin )', l, Sin )'3 13 Sin )q ts,

tg =--~, Cos 7213 Sin )'~ (1, + la) + ~I Cos )'1 11 Sin )'~ 12 COs )'11~ + 8~ S|n7!8_~ �9 . i, Sin 7212 Sin )q la.

Die Charakteristik der Gesamtleitung ,st d u r c h die Gleichung best,mint

Daraus ergibt sich. dutch Einsetzen der

~t [ C~ )'2 12 Sin 2 )'~ (11 + 1~)

obigen Werte

+ Sin3 )'3 12 Sin 2 7t 11 Cos 2 )11 Ig] -Jr-

I , (11 la) Sin2731~ Sin Cos 2 13] [Cos 72 12 Sin 2 71 + + . 2 71 11 )'t +

8' + 82 Cos ;/1 It Sin 2 )'2 12 Cos )q (11 + 2 13) + ~ Sin 7, 1, Sin 2 72 12 Sin )', (l i + 2 I~) + ~2

+ ~ Cos 71 1, Sin'2 )'2 12 Cos 7, (It + 2 13) + 8= 1~ Sin), t 1 t Sin 2 7~ 1~. Sin )I1 (1, + 2 la) +

= " 8~Sin2y, liSin 2 13Sin2 18 + ~ Cos3 )h It Sin2 73 13 Sin 2 )It I a + ~ Y~ 7, (~)

8~ Sin 2 + Cos* 71 Ii Sin2 g2 12 Sin 2 )'1 18 + ~..~8 )'1

Diese Gleichung I/itS, sich dutch einige Umformungen

1, Sin e 72 le Sin 2 71 1~

auf folgende etwas einfachere

Form bringen, wobei zur Abkfirzung 8 2 9)2 gesetzt ,st: 8 , -

8:1 - - 8 ~ __ (~f~2 __ I) Sill 72 12 (2 ~[~ Cos 72 l~ Cos 2 )/i 18 -1- ~2 + 8~ -- 2 gJl 2 Cos 2 Y213 Sin 2 7, (1, + ls) + g)2 (.g)l ~ + I) Sin 2 7212 Cos 2 7, ( It + 13) +

+ (~* + l) Sin 73 12 Sin 2 )', ]a) + (gJ~* -- I) 3 Sin" 73 13 Cos 2 7, 11 Sin 2 71 13" (2)

Mit dieser allgemeinen GIeichufig ,st zun~ichst wenig anzufangen; um zu brauchbaren Folgerungen zu gelangen, mfissen wir besondere F~ille ins Auge fassen, be, denen sich eine Vereinfachung ergibt. Wit nehmen daher einmal an, dab 82 nur sehr wenig yon 8t abweicht, so daft ~J[----I klein ,st und h6here Potenzen davon ver- nachl~issigt werden k6nnen. Dieser Fall ,st yon praktischer Bedeutung, denn d i e elektrischen Gr6fien jeder , ,homogenen" Leitung sind kleinen Schwankungen unter- worfen; unsere Gleichung wird uns daher die Frage beantworten, welchen EinfluB

V ~ - + i ~ ~ dieGr6Be kleine r~umliche Schwankungen der ' Charakteristik ,8 ~-~ + i oJ K

der Charakteristik der gesammten Leitung haben. Be, Durchffihrung der eben er- w~ihnten Vernachl~issigungen vereinfacht sich unsere Grundgleichung auf folgende Form:

8 2 ~,~ ~ 2 ol I Sin 7, 12 Cos (73 12 + 2 7, la) 8 ' + ~ = ~J~ S i n 2 ( y t l , + y 3 1 2 + y , ls) " (3)

Die Abweichung der Charakteristik der Gesamtleitung ~ v o n d e r Charakteristik 8t- wird also um so gr6fier, je gr6f~er der Ausdruck auf der rechten Seite wird, und zwar seinem absoluten Betrage nach. Nun ,st

Sin y, i 3 Cos (Y2 I~ + 2 )', 13)

(Sin2//2 13 + sin 2 a, 1,) [Sin* (~2 13 + 2 ~t 1~) + cos*(% 12 + 2 a, la) ]

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IX. Bano. ~9._~t. M eye r, Die Charakteristik zusammengesetzter Leitungen. 401

W~ihrend die Hyperbelfunktionen mit wachsendem 1 stets zunehmen, schwanken die Quadrate der trigonometrischen Funktionen zwischen den Werten o und I. Wir betrachten zun~ichst den Faktor (Sin ~8212 + sin2 e212). Da die Schwankungen der elektrischen Gr6fien nur sehr geringe r~iumliche Ausdehnung haben, ist 1~ immer kurz und s,omit wird bei gew6hnlichen Leitungen dieses ganze Glied klein, daher ist die Abweichung der Charakteristik erst recht zu vernachl~issigen, denn dabei ist

~ J ~ 2 I (4) noch mit der kleinen Gr6t3e ~ - - multipliziert. Anders liegen die Verh~ilt-

nisse aber bei Pupinleitungen, bei diesen muff die L~inge eines Spulenabstandes mit der zugeh6rigen Spule als einheitliches Element aufgefafit werden, 12 ist daher hier nicht so ganz klein und da auch das Winkelmafi bei Pupinleitungen verhtiltnism~ifiig grog ist, ist der Weft yon sin a212 yon der Gr61;enordnung I. Im allgemeinen werden die Abmessungen so gew~hlt, daft cr 212 bei der Frequenz 5000 ungefiihr 3 ~

I ist, d: h. sin a 212 ~ �9 in diesem Fall bewirkt also dieser erste Faktor kein Ver-

2 '

schwinden des Ausdrucl~s (4), die Abweichung der Gesamtcharakteristik kann hier merklich werden.

Der Ausdruck (4) wird ferner um so gr6fier, je kleiner der Nenner ist; am gr6fiten daher, wenn das Winkelmafi der Gesamtleitung a 111 + a 212 + a 118 gleich

7~ . einem Vielfachen y o n - - 1st. Da die Wellenl~ingenkonstante a der Frequenz pro-

2

portional ist, wird diese letztere Bedingung bei jeder Leitung ffir gewisse Frequenzen erfiillt sein. Unsere Formel gibt uns demnach eine Erkl~irung fiir die schon h~iufig beobachtete Tatsache, daft bei Pupinleitungen, und zwar nur bei diesen, die Charakteristik verh~iltnism~igig stark yon der Frequenz abh~ingt, und daft ftir die Frequenzen, fiir welche die Leitungsl~inge ein Vielfaches einer Viertelwellenl~inge ist, Maximas der Abweichung auftreten. Je l~inger die Leitung ist, desto schw~icher werden sich dabei die Abweichungen infolge des Gliedes Sin s 2 (/~1 tt + ~'~ 12 + fit 18) bemerkbar maehen.

Es bleibt uns nun noch i]brig, den EinfluB des zweiten Faktors im Z/ihler des Ausdruckes (4) abzuscNitzen. Man ersieht daraus, daft die Abweichungen am st~irksten sind, wenn der Abstand der Mitte des mittleren Leitungsstiickes vom Ende der Leitung gleich einem Vielfachen einer Viertelwellenl~inge ist, weil dann cos2(a212 + 2a, la) am gr6flten, n~imlich gleich I ist, dal; aber im fibrigen.die Lage des mittleren Leitungssttickes nur yon geringem Einflufi auf die GrSfie der Ab- weichung ist, sie wird wegen des Gliedes Sin 2 (~21~ + 2 ~113) langsam um so st~irker, lJei~ sonst gleichen Verh~iltnissen, je weiter das abweichende Sttick vom Ende ent- fernt ist, je n~iher es also am Anfang liegt. Die Gleichung (3) l~ifit ferner ohne weiteres erkennen, daft die Abweichung der Gesamtcharakteristik yon ~1 gr6fier werden kann als die Abweichung des ~, von ~ , da der Faktor (4) gr6fier als I

werden kann. Wir wollen uns hier mit diesen allgemeinen Folgerungen begntigen; eine genauere Ableitung des Wertes der Gesamtcharakteristik, sowohl dem absoluten Wert wie dem Phasenwinkel nach, wtirde zu sehr unhandlichen Formeln fiihren. Ftir besondere FNIe l~ifit sich die Rechnung mit Hilfe der Gleichung (3) ohne grSflere Schwierigkeiten durchffihren. In der Praxis.sind aufierdem die VerhNtnisse noch etwas verwickelter, denn die einzelnen Elemente der Pupinleitung sind in ihren elektrischen Werten alle etwas voneinander verschieden. Durch f3bereinander- lagerun-g der yon ihnen herrtihrenden Abweichungen wird die scheinbar ganz regel- lose Abhlingigkeit der Charakteristik yon der Frequenz hervorgerufen, wie sie bei den Beobachtungen an l~ingeren Kabelstiicken gefunden worden ist (siehe H 6 p fn e r, 13ber Fernsprechverst~irker. Telegraphen- u. Fernsprechtechnik, 1919, 3. Sonderheft, Seite 84, Abb. 16).

Page 4: Die Charakteristik zusammengesetzter Leitungen

Archiv ffir 40~ Meyer , Die Charakteristik zusammengese.tzter Leitungen. Elektrotechnik.

Die Herren K. W. W a g n e r und K f i p f m f i l l e r haben i n einer im n~ichsten Archivheft erseheinenden Arbei t .e ine eingehendere theoretische und experimentelle Untersuchung der Charakteristik yon Spulenleitungen ausgefiihrt , wodurch die be- obachteten eigenartigen Schwankungen der Charakteristik in ihrer Abh/ingigkeit yon den verschiedenen maggebenden Faktoren vollst/indig aufgekl/irt werden.

Die Fernleitungen werden jetzt, auch wenn sie Freileitungen sind, meist mittels Kabel in das Gebiet der St/idte eingeffihrt, Der Fernleitung ist also dabei ein kurzes Stfick einer Leitung mit erheblich abweichender Charakteristik vorgeschaltet, die Charakteristik einer Freileitung unterscheidet sich yon der eines Pupinkabels hauptsiichlich im absoluten Betrag, yon der eines gew6hnlichen Kabels im Phasen- winkel. Wir wollen auch auf diesen Fall unsere Formel anwenden und sehen, was

�9 wir mit ihrer Hilfe fibdr die Charakteristik der Gesamtleitung aussagen k6nnen. Es ist also jetzt in Formel (2) 13 = o zu setzen" (wenn man auch am Ende der Frei- leitung eine gleiche L~inge Einftihrungskabel ann immt , also 1~ = 19 setzt, gelangt man fast zu der gleichen Formel wie unten). Dann wird

2 -- ~ (~[R 2 -- I) Sin 2 7'~ 12

, ~ + ~ -- 29J~Cos27~l~Sin27111+(gj~.2+ I )Sin27~12Cos27~lr (5) oder

.B2-- 82, _ 8~ - - 8 ~ I (6)

2 8 t ~ Sin 2 71 11 Cotg 2/2 I~ 8' + + Cos: rl l, + +

Da die Freileitung.verhiiltnism~igig lang ist, kann Cotg 2 7~ 1~ .in erste Ann~iherung gleieh I gesetzt werden, dann ei-gibt sich

8 82 Cos 7~ I~ + 8, Sin 7, 1, 8, -- 8t Cos 7t 1, + 83 Sin 71 11" (7)

Am meisten interessiert auch hier die Abh~ingigkeit des ~ yon der Frequenz, um darfiber ein Bild zu gewinnen setze'n wir ~ = x + i y , trennen das Reelle vom Imagin~iren und eliminieren aus den beiden so erhaltenen Gleichungen a t , da diese Gr6fle sich am st/irksten mit der Frequenz /indert. Die Gleichung zwischen x und y wird uns dann angeben, auf was ffir einer Kurve die Endpunkte des Vektors liegen wfirden, wenn ~1, ~ und # unabh~ingig yon d e r Frequenz w~iren. Die Gleichung I/igt sich in der Form schreiben

(x - - ]/r ' + Z~ cos rft ) ' q- (y - - ] / ' r 2 + Z~ s i ~ ) = -- r', (a)

wobei r = Z t t/Z~ + Z~ - - 2 Z~I Z~ cos 2 (q~ - - % ) 2 Z 1 Z~ cos (9% - - 9~ Cos 2 gt 1 11 + (Z ~, + Z~) Sin 2 #, l~ ; (9)

es ist also die Gleichung eines Kreises. Dieser Kreis wtirde einmal durchlaufen werden, wenn al It um r~ w/ichst; da 11 im altgemeinen kurz ist, wird eine so starke Anderung des Winkelmages bei den in Betracht kommenderi Frequenzen nicht er- reicht, es wird also nur ein Teil des Kreises durehlaufen. Bei nieht pupinisierten Kabeln ist auch a t klein und daher werden in diesem Fall die Anderungen der Gesamtcharakteristik mit der Frequenz nur sehr gering sein. Genau genommen sind die in (9) auftretenden Gr6geri nicht unabh~ingig von der Frequenz, aber sie /indern sich in dem fiir die Fernsprechteehnik in Betracht kommenden Frequenz- bereich doch nur sehr wenig; am st/irksten ist die Anderung wohl noeh bei den Pha~enwinkeln qo; da jedoch in (9) nur der Cosinus ihrer Differenz, die selbst nicht grog ist, auftritt, wird r dadurch nur wenig ge~indert. Die Lage der Endpflnkte des Vektors ~ bei verschiedenen Frequenzen wird also auch bei Beriicksichtigung der Frequenzabh/ingigkeit aller Gr6gen nur wenig yon dem durch Gleichu.ng (8) best immten Kreise abweichen.

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IX. Band. ~92~. F le i sehmann, Selbsterregung einer GleichstromnebenschluBmaschine usw. 403

Um den aus der Frequenzabh~ingigkeit der Gesamtcharakteristik yon Fern- leitungen entspringenden Nachteil ffir die Abgleichung der Leitungen zu vermeiden, wird es sich vielleicht empfehlen, die Einffihrungskabel nur so weit mit Selbst- induktion zu belasten, dab die Charakteristiken der Freileitung und des Kabels m6glichst genau gleiehwerden, die Vergr6t3erung der D~impfungskonstante des Kabels kommt bei dessen Kiirze nur wenig in Betracht, besonders da die Reflexionen gleichzeitig vermindert werden.

Z u s a m m e n f a s s u n g . Aus der Bereehnung der Charakteristik zusammen, gesetzter Leitungen lassen sich folgende Folgerungen ableiten: Bei Pupinleitungen k6nnen Unterschiede in den elektrischen Konstanten der einzelnen Glieder erheb- liche _~nderungen der Gesamtcharakteristik mit der Frequenz verursachen; d ie Anderungen werden besonders grog bei den Frequenzen, bei denen die L~inge der Leitung ein Vielfaches einer Viertetwellenl~inge ist. Die Lage des abweichenden Gliedes ist nur yon geringem Einfluf~ auf die Gr6Be der ]knderung, diese nimmt mit zunehmender Entfernung des Gliedes vom Anfang ab. Bei gew6hnlichen nicht pupinisierten Leitungen sind r~iumliche Schwankungen der elektrischen Konstanten yon geringem Einfluf~ auf die Gr6~e der Gesamtcharakteristik.

Bei langen Femleitungen mit vorgeschalteten Einfiihrungskabeln anderer Charakteristik liegen die Endpunkte der als Vektor auf der komplexen Zeichnungs- ebene aufgetragenen Gesamtcharakteristik bei verschiedenen Frequenzen angen~ihert auf einem Kreise.

Seibsterregung einer Oleichstromnebenschlugmaschine fiir Wec hseistromabgabe.

Von

L. Fleischmann.

Im Archiv ffir Elektrotechnik, 9. Band, 2./3. Heft, 8. Juli I92O , Seite 95, gibt L e y e r er eine Ableitung der Bedingungen ffir die Wechselstromselbsterregung yon Gleichstromnebenschlut;maschinen mittels Differentialgleichungen. Es soll hier unter der Voraussetzung, dab sinusf6rmige Wechselstr6me entstehen k6nnen, auf elemen- tarem Wege dasselbe ahgeleitet werderi. Die Schaltung (Bild I) ist die folgende: die Erregerspule ist, zum Unterschied yon der normalen Schaltung, nicht yon den Biirsten direkt, sondern hinter einem Widerstand (Regulator) abge'zweigt und liegt parallel zu einer anderen Spule mit Widerstand und Selbstinduktion. Es be- zeichnet rn ~ten Widerstand und Ln den Selbstinduktionsk0efiizienten der Erreger- wicklung, R und La den Widerstand und SJK des Regulators, rr und Lr Widerstand und SJK des Verbrauchskreises und Nn den Koeffizienten der rotatorischen Induktion. Es ist ~ = R - - j w L a , ~ , = r n - - j w L n , ~ r = r r - - j w L r , w die (zun~ichst un, bekannte) Kreisfrequenz j = l / - - t. Ist @ = Nn ~1 die EMK der Maschine in Phase mit ~ (es wird yon Eisenverlusten und Wirbelstromverlusten abgesehen), ~ die Stromst~irke in ~ der Erregerwicklung, ~2 die Stromst~irke in ~r, ~a die Stromst~irke in ~a, so haben wir die Gleichungen in komplexen Gr613en

+ ,% = ,%. (3)