Die einfache/multiple lineare Regression

Ziel

Funktionaler Zusammenhang zwischen einer oder mehreren unabhängigen Variablen (UV, X) und der abhängigen Variablen (AV, Y)

Ermitteln von bestimmten Prädiktoren (X) der abhängigen Variable Y

Werte prognostizieren bzw. vorhersagen Untersuchung von Unterschiedshypothesen

intervallskalierter, stetiger Variablen.

Streudiagramm - Regressionsgerade

36 38 40 42 44 46 48 50

X

150

160

170

180

190

200

Y

ayx, Konstante

byx (=Beta, =Steigung)

Residuum

Begriffe

Residuen: sind Schätzfehler. Differenz von AVgeschätzt und AVwahr

Regressionsgleichung:(wichtig für Wertschätzung!):

Y = β0(Konst) + β1X1+ β2X2+…..

mit: β…Regressionskoeffizient (wird geschätzt) Xn…Wert des Prädiktors Xn (ist gegeben)

(korrigiertes) R-Quadrat (=Bestimmtheitsmaß)

Modellprüfung „wie gut ist die Regression“ „wie sinnvoll ist es, die Regression

anzuwenden“ Zusammenhang zwischen UV(s) und AV Anteil der erklärten Varianz von Y durch die

Prädiktoren (X)

F-Wert

wird ebenfalls zur Modellprüfung herangezogen

H0: alle Regressionskoeffizienten sind Null; sie sind nicht sinnvolle Prädiktoren

H1: mindestens ein Koeffizient ist ungleich 0; min. ein Prädiktor beschreibt die AV gut

Regressionskoeffizient (Beta)

1. Konstante (=Intercept, ayx ): – Höhenlage der Regressionsgeraden– Abstand auf der Y-Achse vom Ursprung

2. Regressionskoeffizienten (ßi)

der Prädiktoren (Xi)

Beispiel 1 – Interpretation

Regressionsberechung:X: Gewicht -> Y: Körpergröße

R=0.634R2korr=0.401Konstante= 136,867Beta (Gewicht)= 0.574

Bedeutung:

Konstante (ayx): 136,867 (hier: Gewicht auf Größe) Im Ursprung des Diagramms dh. bei 0kg ist die geschätzte

Größe 136,9cm (hier nicht sinnvoll, besser bei zB: Lernaufwand und Punkteanzahl)

Regressionskoeffizient Beta: 0.574 „Ändert sich das Gewicht (X) um eine Einheit (also 1 kg) so

ändert sich die Größe (Y) um 0.574 Einheiten (also 0.574cm) pro 1kg -> 5.7mm größer

-> positiver signifikanter (p=0.03) Zusammenhang bzw. signifikanter Unterschied

Beispiel 2 multiple lineare Regression

inkl. Wertschätzung

Regressionsberechung:X1: GewichtX2: Schuhgröße

-> Y: Körpergröße

-> 2 Prädiktoren (UVs) auf eine AV

Beispiel 2 - Wertschätzung

Model Summary

,764a ,584 ,582 6,394Model1

R R SquareAdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

Predictors: (Constant), Schuhgröße, Gewichta.

Coefficientsa

66,050 5,422 12,183 ,000,123 ,042 ,137 2,928 ,004

2,443 ,174 ,656 14,034 ,000

(Constant)GewichtSchuhgröße

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Dependent Variable: Körpergrößea.

Streudiagramme

36 38 40 42 44 46 48 50

Schuhgröße

60

80

100

120

140

160

180

200

Kör

perg

röße

40 60 80 100 120

Gewicht

60

80

100

120

140

160

180

200

Kör

perg

röße

Schätzung einer neuen Person: Bekannt: Gewicht 80kg, Schuhgröße 45 Gesucht: Körpergröße

-> Formel:Y = β0(Konst.) + β1X1+ β2X2

Körpergröße = Konstante + beta1*Gewicht + beta2*Schuhgröße

Körpergröße = 66.05 + 0.123*80 + 2.443*45 = 185.8 cm

Coefficientsa

66,050 5,422 12,183 ,000,123 ,042 ,137 2,928 ,004

2,443 ,174 ,656 14,034 ,000

(Constant)GewichtSchuhgröße

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Dependent Variable: Körpergrößea.

Varianzanalyse

Eine AV (quantitativ) Ein oder mehrere Faktoren (UVs) (qualitativ

oder quantitativ in Klassen) Testung von Unterschiedshypothesen auf

Basis von Varianzvergleichen (mQT, mQZ, mQI, F = mQZ/mQI

Verschiedene Hypothesen (Anzahl?)

Varianzanalyse

Achtung auf genügend Versuchspersonen pro Zelle! (Faktorkombination (mind. 10))

-> Dies wird mit steigender Anzahl der UVs (Faktoren) immer schwieriger

Post Hoc Tests: z.B. Scheffé-Test (SPSS) Alpha Kumulierung: p(k≥1 falsche H1) = 1-(1-α)m

Alpha Adjustierung: – α´= 1-(1- α)1/m

– Bonferoni Korrektur: α´= α/m– α´…Alpha pro Einzeltest, m…Anzahl der Einzeltests

Rechenbeispiel:

Der Einfluss von Geschlecht und Alter auf Punkte in einem Leistungstest

Faktor 1: Gender Faktor 2: Alter (Ist stetig daher Klassen

bilden!)– 3Klassen:

-19 20-22 23-

Kontrolle der Verteilung der VPN auf die Faktorkombinationen

Min. 10 VPN pro Zelle

Alter in Klassen * Geschlecht Crosstabulation

Count

31 47 7818 50 6813 14 2762 111 173

-1920-2223-

Alter inKlassen

Total

männlich weiblichGeschlecht

Total

Ergebnisse:Deskriptive Statistik

Between-Subjects Factors

-19 7820-22 6823- 27männlich 62weiblich 111

123

Alter inKlassen

01

Geschlecht

Value Label N

Ergebnisse:Sum of Squares (mQI, mQT, mQR, mQZ)

Tests of Between-Subjects Effects

Dependent Variable: score

79,900a 5 15,980 1,816 ,11210243,303 1 10243,303 1163,780 ,000

13,807 2 6,904 ,784 ,45837,971 1 37,971 4,314 ,03959,555 2 29,777 3,383 ,036

1469,892 167 8,80215455,000 1731549,792 172

SourceCorrected ModelInterceptAlter1genderAlter1 * genderErrorTotalCorrected Total

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

R Squared = ,052 (Adjusted R Squared = ,023)a.

Ergebnisse:Post Hoc nach Scheffé

Post Hoc für Altersklassen (keine sign. Unterschiede) )

Multiple Comparisons

Dependent Variable: scoreScheffe

,09 ,492 ,982 -1,12 1,31-,26 ,662 ,926 -1,90 1,38-,09 ,492 ,982 -1,31 1,12-,35 ,675 ,871 -2,02 1,31,26 ,662 ,926 -1,38 1,90,35 ,675 ,871 -1,31 2,02

(J) Alter in Klassen20-2223--1923--1920-22

(I) Alter in Klassen-19

20-22

23-

MeanDifference

(I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound95% Confidence Interval

Based on observed means.

Ergebnisse:signifikante Wechselwirkungen

Grafik der WW