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ner Beanspruchung durch äußere Kräfte. Die Laplace-Gleichung er- möglicht die Beschreibung von Temperaturfeldern und die Lö- sung der Navier-Stokes-Glei- chungen gibt Einblick in das Strö- mungsverhalten eines Fluids. Die Maxwell-Gleichungen beschrei- ben die Magnetfelder und die Helmholtz-Gleichung löst Pro- Was ist die FEM? Bei der Konstruktion einer Brücke interessiert uns zum Bei- spiel, ob sie ihr Eigengewicht tra- gen und auch Windböen und Erd- beben widerstehen wird. Das neu Autor Die Finite Elemente Methode: Vierzig Jahre in der Produktentwicklung Als Ingenieure sind wir daran interessiert, das Verhalten von Bauwerken und Konstruktionen in bestimmten Belastungsszenarien im Voraus zu bestimmen. Mit der rechnerischen Simulation können Produkte, bevor sie gebaut werden, am Bildschirm auf ihre Tauglichkeit überprüft werden und es können notwendige Änderungen schnell und ohne großen Aufwand vorgenommen werden. Der Beitrag will Antwort geben auf die Fragen: Was ist FEM, welches sind ihre Anwendungsbereiche und ihr Nutzen und wo stehen wir heute? Bild 1 Dr.-Ing. Günter Müller Geschäftsführender Gesellschafter CADFEM GmbH E-Mail: [email protected] Kontakt: CADFEM GmbH Marktplatz 2 85567 Grafing b. München Tel.: 0 80 92/70 05-0 Fax: 0 80 92/70 05-77 E-Mail: [email protected] www.cadfem.de Bild 2 Erste Crashsimu- lationen mit dem Programm LS-DYNA3D im Jahr 1987 entwickelte Bügeleisen soll sich möglichst gleichmäßig und schnell erwärmen. Der Hubmag- net muss ausreichend starke Mag- netfelder erzeugen, um die ge- wünschten Kräfte zu ermögli- chen. Bei einer Mikropumpe inte- ressieren uns die Strömungsver- hältnisse in der Pumpe. FEM hat sich über die Jahre als rechnerisches Verfahren durchgesetzt, weil es auf Com- puter zugeschnitten ist und mit diesen die Lösungsmöglichkei- ten gewachsen sind. Die rechnerische Simulation baut auf der Lösung der Differen- tialgleichungen auf, die das Ver- halten unserer Strukturen mathe- matisch beschreiben. So liefern zum Beispiel die Differentialglei- chungen der Elastizitätstheorie, etwa die Differentialgleichung für den Biegebalken, die Verformun- gen und Spannungen infolge ei- „Schwedentest“: sehr gute Übereinstimmung zwischen Versuch und FEM-Berechnung (Quelle: MAN) 24 Konstruktion Oktober 10-2009 SONDERTEIL PLM bleme in der Akustik. Die Lösungsfunktionen der Differentialgleichungen gewinnt man entweder analytisch oder nu- merisch. Analytische Lösungen sind in der Regel nur für einfache akademische Fälle gegeben. Für die vielfältigen und meist komple- xen Aufgaben der Praxis kommen nur numerische Näherungsver-

Die Finite Elemente Methode: Vierzig Jahre in der ...efem.esocaet.com/file.php/1/KAP-CADFEM.pdf · ner Beanspruchung durch äußere Kräfte. Die Laplace-Gleichung er-möglicht die

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Page 1: Die Finite Elemente Methode: Vierzig Jahre in der ...efem.esocaet.com/file.php/1/KAP-CADFEM.pdf · ner Beanspruchung durch äußere Kräfte. Die Laplace-Gleichung er-möglicht die

ner Beanspruchung durch äußere

Kräfte. Die Laplace-Gleichung er-

möglicht die Beschreibung von

Temperaturfeldern und die Lö-

sung der Navier-Stokes-Glei-

chungen gibt Einblick in das Strö-

mungsverhalten eines Fluids. Die

Maxwell-Gleichungen beschrei-

ben die Magnetfelder und die

Helmholtz-Gleichung löst Pro-

Was ist die FEM?

Bei der Konstruktion einer

Brücke interessiert uns zum Bei-

spiel, ob sie ihr Eigengewicht tra-

gen und auch Windböen und Erd-

beben widerstehen wird. Das neu

Autor

Die Finite Elemente Methode: Vierzig Jahre in der Produktentwicklung Als Ingenieure sind wir daran interessiert, das Verhalten von Bauwerken und Konstruktionen in

bestimmten Belastungsszenarien im Voraus zu bestimmen. Mit der rechnerischen Simulation können

Produkte, bevor sie gebaut werden, am Bildschirm auf ihre Tauglichkeit überprüft werden und es können

notwendige Änderungen schnell und ohne großen Aufwand vorgenommen werden. Der Beitrag will

Antwort geben auf die Fragen: Was ist FEM, welches sind ihre Anwendungsbereiche und ihr Nutzen und

wo stehen wir heute?

Bild 1

Dr.-Ing. Günter Müller

Geschäftsführender Gesellschafter

CADFEM GmbH

E-Mail: [email protected]

Kontakt:

CADFEM GmbH

Marktplatz 2

85567 Grafing b. München

Tel.: 0 80 92/70 05-0

Fax: 0 80 92/70 05-77

E-Mail: [email protected]

www.cadfem.de

Bild 2 Erste Crashsimu-

lationen mit

dem Programm

LS-DYNA3D im

Jahr 1987

entwickelte Bügeleisen soll sich

möglichst gleichmäßig und

schnell erwärmen. Der Hubmag-

net muss ausreichend starke Mag-

netfelder erzeugen, um die ge-

wünschten Kräfte zu ermögli-

chen. Bei einer Mikropumpe inte-

ressieren uns die Strömungsver-

hältnisse in der Pumpe.

FEM hat sich über die Jahre

als rechnerisches Verfahren

durchgesetzt, weil es auf Com-

puter zugeschnitten ist und mit

diesen die Lösungsmöglichkei-

ten gewachsen sind.

Die rechnerische Simulation

baut auf der Lösung der Differen-

tialgleichungen auf, die das Ver-

halten unserer Strukturen mathe-

matisch beschreiben. So liefern

zum Beispiel die Differentialglei-

chungen der Elastizitätstheorie,

etwa die Differentialgleichung für

den Biegebalken, die Verformun-

gen und Spannungen infolge ei-

„Schwedentest“: sehr gute Übereinstimmung zwischen Versuch und FEM-Berechnung (Quelle: MAN)

24 Konstruktion Oktober 10-2009

SONDERTEIL PLM

bleme in der Akustik.

Die Lösungsfunktionen der

Differentialgleichungen gewinnt

man entweder analytisch oder nu-

merisch. Analytische Lösungen

sind in der Regel nur für einfache

akademische Fälle gegeben. Für

die vielfältigen und meist komple-

xen Aufgaben der Praxis kommen

nur numerische Näherungsver-

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fahren in Betracht. Sie gehen von

einer genäherten Lösungsfunk-

tion aus, die aus einem Satz von

frei gewählten Ansatzfunktionen

multipliziert mit unbekannten

Parametern zusammengesetzt ist.

Die noch unbekannten Parameter

der Lösungsfunktion werden

durch ein Minimalprinzip (Feh-

lerquadrat- oder Energiemini-

mum) bestimmt. Mathematisch

gesehen wird so das Differential-

gleichungsproblem in ein Varia-

tionsproblem übergeführt. An-

stelle des Differentialgleichungs-

systems wird ein algebraisches

Gleichungssystem für die einge-

führten unbekannten Parameter

gelöst. Die Güte der Näherungslö-

sung hängt von den gewählten

Ansatzfunktionen und der Anzahl

der unbekannten Parameter ab.

Die FEM ist ein solches nu-

merisches Verfahren, das aber die

Besonderheit aufweist, dass die

Ansatzfunktionen gebietsweise

(elementweise) gewählt werden

und die freien Parameter physika-

lisch deutbare Größen an den Ver-

bindungsstellen (Knoten) der Be-

reiche (Elemente) sind, z. B. Ver-

schiebungen, Temperaturen oder

magnetische Potentiale.

Historie der FEM

Die FEM wurde in den 60er

Jahren von Professor Argyris

(Universitäten Stuttgart und Lon-

don) und unabhängig von Profes-

sor Clough (Universität Berkeley,

Kalifornien) erfunden. Clough’s

Idee war es, das Gesamtgebiet in

Bereiche (Elemente) aufzuteilen

und die Gesamtlösungsfunktion

durch bereichsweise einfache An-

satzfunktionen mit noch freien

Parametern zu beschreiben. Als

freie Parameter, d.h. Unbekannte,

hat Clough Verschiebungsgrößen

eingeführt. Argyris hat die Glei-

chungen der Statik bereichsweise

in Matrizenschreibweise auf-

gestellt und kam auf diesem Wege

zur FEM. Die Erfindung der FEM

geschah also ingenieurmäßig.

Erst anschließend wurde der Be-

zug zur Mathematik hergestellt

und FEM als bereichsweises Va-

riationsverfahren oder noch all-

gemeiner, als bereichsweise Me-

thode der gewichteten Reste er-

kannt. Eigentlich müsste auch

Courant als einer der Begründer

der FEM gelten. Er hat bereits

1943 vorgeschlagen, das Ritz´sche

Variationsverfahren bereichs-

weise anzuwenden. Da damals

noch keine leistungsfähigen

Computer zur Lösung des aus die-

sem Verfahren resultierenden,

verhältnismäßig größeren Glei-

chungssystems zur Verfügung

standen, ist sein Lösungsvor-

schlag nicht beachtet worden.

Die Idee, eine Näherungs-

lösung durch bereichsweise einfa-

che Funktionen zu erhalten ist

nicht neu. Bereits Archimedes von

Syrakus (287 – 212 vor Christus)

hat das Verhältnis von Kreis-

Bild 3 Virtueller Busumsturz:

Vergleich globale De-

formation Versuch –

FEM-Berechnung

(Quelle: MAN)

Bild 4 Weniger Prototypen

durch FEM-Einsatz bei

der Entwicklung einer

Bernina-Nähmaschine:

Deformationen am Kern-

träger aus Aluguss

(Quelle: Bernina)

Konstruktion Oktober 10-2009 25

SONDERTEIL

PLM

umfang zu Durchmesser, d.h. die

Zahl Pi, durch Näherung des Krei-

ses durch gerade Linien bestimmt.

Je mehr Geradenstücke (Berei-

che) gewählt werden, desto ge-

nauer wird das Ergebnis. Gott-

fried Leibnitz hat 1696 das Bra-

chistochrone Problem durch die

Annäherung mit Geradenstücken

gelöst.

Die ersten kommerziellen

Programme sind Anfang der 70er

Jahre auf den Markt gekommen.

Dazu zählen Programme wie

STRUDL, ASKA, NASTRAN,

TPS-10, STARDYNE, MARC und

ANSYS. Etwas später kamen dazu

ABAQUS, ADINA, PERMAS, LS-

DYNA und FE-Programme, die in

CAD-Systemen integriert sind wie

I-DEAS oder Pro/MECHANICA.

Heute sind hauptsächlich die Pro-

gramme ANSYS, SIMULIA (ABA-

QUS und COSMOS), MSC.NA-

STRAN, NX NASTRAN sowie

Programme von Altair und ESI

und LSTC (LS-DYNA) im Einsatz.

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ANSYS ist dabei mit deutlichem

Vorsprung Markt führer.

Der große Erfolg der FEM

hängt stark mit der Rechnerent-

wicklung zusammen. In den An-

fangszeiten liefen FE-Programme

nur auf sogenannten „Mainf-

rames“ von IBM und Control

Data. Berechnungen konnten nur

in Rechenzentren durchgeführt

werden. Zugang verschaffte man

sich über Lochkarten im Batch-

Betrieb, später über Terminals im

Timesharing-Modus. Mitte der

70er Jahre kamen erstmals Mini-

computer auf den Markt, die

direkt bei der Berechnungs-

abteilung installiert wurden. Sol-

che Rechner wurden von einer

Vielzahl von Herstellern, darunter

Digital Equipment und Prime

Computer, geliefert. Die Leis-

tungsfähigkeit der Rechner hat

sich über die Zeit extrem ent-

wickelt: Der Speicherplatz von

Kilo-Byte auf Tera-Byte, die Re-

chengeschwindigkeit von Kilo-

FLOPS auf Penta-FLOPS (Floa-

ting Point Operations / Sec.). So

sind heute Berechnungen von

Modellen mit mehreren Millionen

Freiheits-graden in akzeptabler

Zeit auf Workstations oder Lap-

tops möglich.

Anwendungsbereiche der FEM

Erste FEM-Anwendungen

wurden in der Luft-und Raum-

fahrt (Apollo-Programm), im

Bauwesen (Hochhäuser, Brücken)

und im Kernkraftwerksbau (Flug-

zeugaufprall auf Reaktorhülle)

durchgeführt. Andere Industrie-

bereiche wie Schiff- und Off-

shorebau, Automobilbau, Ma-

schinenbau, Elektronik, Konsum-

güter, Kunststoff und Medizin-

technik folgten. Heute wird FEM

in den Entwicklungs- und Kon-

struktionsabteilungen aller In-

dustriebereiche eingesetzt. Stan-

den anfangs Sicherheitsaspekte

im Vordergrund, sind später Ent-

wurfsoptimierungen und schließ-

lich Prozesssimulationen, z. B.

Schweißen, Gießen, Umformen,

Trocknen oder Lackieren hin-

zugekommen. Exotische Anwen-

dungen simulieren in der Nah-

rungsmittelindustrie zum Bei-

spiel die Umströmung von Par-

mesankäse oder den Trocknungs-

prozess von Pasta.

Die FEM wurde zunächst für

Lösungen auf dem Gebiet der Sta-

tik und Dynamik herangezogen.

Die Methode wurde stetig aus-

gebaut, um neben linearen Be-

rechnungen auch nichtlineare Be-

rechnungen unter Berücksichti-

gung von großen Verformungen,

Plastizität und Kontakt zu ermög-

lichen. Der weitere Ausbau der

Methode erfolgte über Tempera-

turfeldberechnungen zu Magnet-

feldsimulationen und Strömungs-

untersuchungen. Da oft physika-

lische Effekte gleichzeitig auftre-

ten, sind Entwicklungen auch da-

hin gegangen, mehrere Differenti-

algleichungen simultan zu lösen.

Dazu dienen Mehrfeldelemente,

die zum Beispiel gleichzeitig Tem-

peraturen, Magnetfelder und Ver-

schiebungen erfassen und so ge-

koppelte Probleme lösen können.

Als Gründe für die große Ver-

breitung der FEM sind zu nennen:

die Ausgereiftheit der Methode und

das weite Anwendungsspektrum,

leistungsfähige Pre- und Postpro-

zessoren, einfache Handhabung,

gute Visualisierungsmöglichkei-

ten, schnelle Modellerstellung, die

Verfügbarkeit kostengünstiger und

leistungsfähiger Rechner.

Nutzen der FEM und Ausblick

Die FEM hat sich in den letz-

ten 40 Jahren in Entwicklung und

Konstruktion aller Branchen

etabliert. Mit FEM können Ent-

wicklungszeiten und Herstellkos-

ten reduziert werden. Der Einsatz

von FEM fördert die Innovation

und die Qualität von Pro dukten

und sie erlaubt eine schnelle Re-

aktion auf verschärfte Richtlinien.

Der Nutzen von FEM kommt be-

sonders dann zum Tragen, wenn

FEM von Anfang an und beglei-

tend in der Produktentwicklung

eingesetzt wird, was ein effizien-

tes Datenmanagement erfordert.

Der Einsatz von FEM wird sich

in den kommenden Jahren noch

deutlich verstärken. Bereits heute

hat die Berechnung einen festen

Platz neben dem Versuch, doch es

ist die Tendenz erkennbar, dass die

numerische Simulation gegenüber

dem Versuch zunehmend an Bedeu-

tung gewinnt. So lässt bereits heute

die EU für Busumsturz den rech-

nerischen Nachweis zu (Bild 3).

Bild 5 FEM-Berechnung

heute: Die Simu-

lationsumgebung

ANSYS Workbench

(Quelle: SEW-Euro-

drive)

Literatur

Zur Geschichte der FEM:

Rannacher, R., Stein E.: Finite Elemen-

te, Spectrum der Wissenschaften, März

1997, ISSN 0170–2971

Zur Zukunft der Simulation:

Simulation-Based-Engineering Sciences,

NSF Report

Praktische Einführung in FEM:

Müller, G., Groth, C.: FEM für Praktiker,

8. Auflage 2007, expert Verlag, Rennin-

gen, ISBN 978–3–8169–2685–6

Einführung in FEM-Theorie:

Bathe, K.-J.: Finite Element Procedures

in Engineering Analysis, Prentice-Hall,

Inc., Englewood Cliffs, New Jersey

07632, 1982, 1996,

ISBN 0–13–317305–4

26 Konstruktion Oktober 10-2009

SONDERTEIL PLM

Neue Herausforderungen, zum

Beispiel im wachsenden Markt der

Umwelttechnik und der alterna -

tiven Energieantriebe (Batterien,

Brennstoffzellen) werden den Ein-

satz von Strömungsberechnungen

und gekoppelten Feldberechnun-

gen beschleunigen. Die Forderung

nach ressourcenschonendem Mate-

rialeinsatz wird die Entwicklung

von neuen Materialien vorantrei-

ben. Für die numerische Beschrei-

bung solcher Mate rialien ist ein

Multiskalenansatz erfor derlich, der

es erlaubt, die Mikro- und

Makrowelt zu erfassen. Die Betrach-

tung gesamter Systeme und der

Wunsch, FE- Modelle für Kom-

ponenten in die Regelungssoftware

einzubinden macht es erforderlich,

ausreichend genaue, reduzierte FE-

Modelle zu entwickeln.

Das sind nur einige aktuelle

Anforderungen. Die Vision ist die

vollständige virtuelle Produktent-

wicklung und die virtuelle Frei-

gabe der Produkte. Nicht nur in

der Produktentwicklung hat die

FEM noch eine große Zukunft. Im

unten zitierten Bericht der NSF

(siehe unter „Literatur“) haben

Professoren sich ausgedacht, wo

überall die FEM in Zukunft sich

ausbreiten wird: in der Gesund-

heitsforschung (Operationsvor-

bereitung, Auswirkung von Medi-

kamenten), bei der Simulation

von Umweltkatastrophen (Feuer,

Hochwasser, Erdbeben) oder gar

der Terrorbekämpfung ...