Die Finite Elemente Methode von Galerkin für elliptische ... · Inhalt Die Finite Elemente Methode von Galerkin 1 Wiederholung Ausgangssituation Globale Basisfunktionen 2 Lokale

Die Finite Elemente Methode von Galerkin furelliptische PDEs:

Lokale Basisfunktionen und Fehleranalyse

Janka Bauer

Johannes-Gutenberg Universitat Mainz

16. November 2017

Janka Bauer Lokale Basisfunktionen und Fehleranalyse

Inhalt

Die Finite Elemente Methode von Galerkin

1 WiederholungAusgangssituationGlobale Basisfunktionen

2 Lokale Basisfunktionen

3 Fehleranalyse


Inhalt




3 Fehleranalyse


Ausgangssituation

Wir betrachten ein Randwertproblem mit Daten a und f:

−∇ · (a(x)∇u(x)) = f (x) , fur x ∈ D ,

mit Dirichlet-Randbedingungen.

Das zugehorige schwache Variationsproblem lautet

a(u, v) = `(v) , fur alle v ∈ V ,

wobei

a(u, v) :=

∫D

a(x)∇u(x) · ∇v(x) dx

eine Bilinearform uber V ist, und

`(v) :=

∫D

f (x)v(x) dx .


Ausgangssituation

Wir betrachten ein Randwertproblem mit Daten a und f:

−∇ · (a(x)∇u(x)) = f (x) , fur x ∈ D ,

mit Dirichlet-Randbedingungen.

Das zugehorige schwache Variationsproblem lautet

a(u, v) = `(v) , fur alle v ∈ V ,

wobei

a(u, v) :=

∫D

a(x)∇u(x) · ∇v(x) dx

eine Bilinearform uber V ist, und

`(v) :=

∫D

f (x)v(x) dx .


Globale Basisfunktionen

Galerkin: Wahle zwei endlichdimensionale Unterraume

W h ⊂W = H1g (D) und V h ⊂ V = H1

0 (D) .

Finde globale Basisfunktionen Φi , sodass

V h = span{Φ1, . . . ,ΦJ} .

Dann lasst sich das Variationsproblem (fur homogeneRandbedingungen) wie folgt umformulieren:

a(uh,Φi ) = `(Φi ) , i = 1, . . . , J

⇔J∑

j=1

uja(Φj ,Φi ) = `(Φi ) , i = 1, . . . , J

Aquivalent dazu ist das Losen des Gleichungssystems

A u = b .




W h ⊂W = H1g (D) und V h ⊂ V = H1

0 (D) .


V h = span{Φ1, . . . ,ΦJ} .


a(uh,Φi ) = `(Φi ) , i = 1, . . . , J

⇔J∑

j=1

uja(Φj ,Φi ) = `(Φi ) , i = 1, . . . , J


A u = b .




W h ⊂W = H1g (D) und V h ⊂ V = H1

0 (D) .


V h = span{Φ1, . . . ,ΦJ} .


a(uh,Φi ) = `(Φi ) , i = 1, . . . , J

⇔J∑

j=1

uja(Φj ,Φi ) = `(Φi ) , i = 1, . . . , J


A u = b .


Inhalt



2 Lokale Basisfunktionen3 Fehleranalyse


Lokale Basisfunktionen

Um A und b aufzustellen, konnen wir die ElementmatrizenAk ∈ Rnrxnr und die Elementvektoren bk ∈ Rnr verwenden, mit

akpq :=

∫∆k

a(x) ∇Φkp(x) · ∇Φk

q(x) dx , p, q = 1, . . . , nr , (2, 86)

bkp :=

∫∆k

f (x) Φkp(x) dx , p = 1, . . . , nr , (2.87)

wobei Φk1 , . . . ,Φ

knr die lokalen Basisfunktionen des Elements ∆k

sind.


Beispiel 2.57:Stuckweise lineare Elemente


Beispiel 2.57: (Stuckweise lineare Elemente)

Sei r = 1, also nr = 3.

Betrachte ∆k mit Eckpunkten (xk1 , yk1 ), (xk2 , y

k2 ) und (xk3 , y

k3 ).

Dann gilt fur v ∈ V h

v |∆k= vk1 Φk

1 + vk2 Φk2 + vk3 Φk

3

mit den lokalen Basisfunktionen Φk1 , Φk

2 und Φk3 , wobei

Φki ∈ P1(∆k) , Φk

i =

{1, x = (xki , y

ki )

0, x = (xkj , ykj ), j 6= i .



Sei r = 1, also nr = 3.

Betrachte ∆k mit Eckpunkten (xk1 , yk1 ), (xk2 , y

k2 ) und (xk3 , y

k3 ).

Dann gilt fur v ∈ V h

v |∆k= vk1 Φk

1 + vk2 Φk2 + vk3 Φk

3

mit den lokalen Basisfunktionen Φk1 , Φk

2 und Φk3 , wobei

Φki ∈ P1(∆k) , Φk

i =

{1, x = (xki , y

ki )

0, x = (xkj , ykj ), j 6= i .



Suche nun eine explizite Form fur Φki (x) = aix + biy + ci :xk1 yk1 1

xk2 yk2 1xk3 yk3 1

aibici

= ei , i = 1, 2, 3

→ ai , bi , ci hangen von den Knoten und der Flache |∆k | ab!

Wir konnten so nun Ak und bk bilden.

→ ineffizient!

Stattdessen: Ubergang zu einem Referenzelement ∆∗




xk2 yk2 1xk3 yk3 1

aibici

= ei , i = 1, 2, 3



→ ineffizient!





xk2 yk2 1xk3 yk3 1

aibici

= ei , i = 1, 2, 3



→ ineffizient!



Referenzelement

Definition 2.58: Referenzelement

Fur Dreiecksgitter ist das Referenzelement ∆∗ ein rechtwinkligesDreieck in der s-t-Ebene mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0) und(0, 1):

Definition 2.59: Basisfunktionen des Referenzelements

Die Basisfunktionen Ψ1, . . . ,Ψnr des Referenzelements von Grad rsind definiert durch

Ψi ∈ Pr (∆∗) , Ψi (s, t) =

{1, (s, t) = (si , ti )

0, (s, t) = (sj , tj), j 6= i

wobei (si , ti ), i = 1, . . . , nr die Knoten des Referenzelements sind.


Referenzelement

Definition 2.58: Referenzelement

Fur Dreiecksgitter ist das Referenzelement ∆∗ ein rechtwinkligesDreieck in der s-t-Ebene mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0) und(0, 1):

Definition 2.59: Basisfunktionen des Referenzelements

Die Basisfunktionen Ψ1, . . . ,Ψnr des Referenzelements von Grad rsind definiert durch

Ψi ∈ Pr (∆∗) , Ψi (s, t) =

{1, (s, t) = (si , ti )

0, (s, t) = (sj , tj), j 6= i

wobei (si , ti ), i = 1, . . . , nr die Knoten des Referenzelements sind.


Beispiel 2.60:Stuckweise linearer Fall


Beispiel 2.60: (Stuckweise linearer Fall)

Sei r = 1.Dann sind die stuckweise linearen Basisfunktionen zu den Knotenvon ∆∗ gegeben durch

Ψ1(x) := 1− s − t

Ψ2(x) := s

Ψ3(x) := t

Suche nun eine affine Abbildung vom Referenzdreieck ∆∗ zu jedembeliebigen ∆k ∈ Th:

x(s, t) = xk1 (1− s − t) + xk2 s + xk3 t

y(s, t) = yk1 (1− s − t) + yk2 s + yk3 t

mit (xki , yki ), i = 1, . . . , 3, die Knoten von ∆k .



Sei r = 1.Dann sind die stuckweise linearen Basisfunktionen zu den Knotenvon ∆∗ gegeben durch

Ψ1(x) := 1− s − t

Ψ2(x) := s

Ψ3(x) := t

Suche nun eine affine Abbildung vom Referenzdreieck ∆∗ zu jedembeliebigen ∆k ∈ Th:

x(s, t) = xk1 (1− s − t) + xk2 s + xk3 t

y(s, t) = yk1 (1− s − t) + yk2 s + yk3 t

mit (xki , yki ), i = 1, . . . , 3, die Knoten von ∆k .



diese Transformation einsetzen in (2.86) liefert

akpq =

∫∆∗

a(x(s, t),y(s, t)) ∇Φkp(x(s, t), y(s, t))

· ∇Φkq(x(s, t), y(s, t)) det(Jk) ds dt ,

fur p, q = 1, . . . , nr ,

wobei ∇ :=(

∂∂x ,

∂∂y

)Tund Jacobi-Matrix Jk =

(∂x∂s

∂y∂s

∂x∂t

∂y∂t

).



DaΦkp(x(s, t), y(s, t)) = Ψp(s, t)

fur jedes Element ∆k ∈ Th, erhalten wir

akpq =

∫∆∗

a(x(s, t), y(s, t)) ∇Ψp(s, t) · ∇Ψq(s, t) det(Jk) ds dt ,

sowie

bkq =

∫∆∗

f (x(s, t), y(s, t)) Ψq(s, t) det(Jk) ds dt .

Achtung: es gilt immernoch ∇ :=(

∂∂x ,

∂∂y

)T!



DaΦkp(x(s, t), y(s, t)) = Ψp(s, t)

fur jedes Element ∆k ∈ Th, erhalten wir

akpq =

∫∆∗

a(x(s, t), y(s, t)) ∇Ψp(s, t) · ∇Ψq(s, t) det(Jk) ds dt ,

sowie

bkq =

∫∆∗

f (x(s, t), y(s, t)) Ψq(s, t) det(Jk) ds dt .

Achtung: es gilt immernoch ∇ :=(

∂∂x ,

∂∂y

)T!



Mithilfe der Jacobi-Matrizen Jk konnen wir dennoch effizientintegrieren:

Fur jede der nr Basisfunktionen Ψp eines Referenzelements gilt

∇Ψp =

(∂Ψp

∂x∂Ψp

∂y

)=

( ∂s∂x

∂t∂x

∂s∂y

∂t∂y

)(∂Ψp

∂s∂Ψp

∂t

)= J−1

k

(∂Ψp

∂s∂Ψp

∂t

).



...zuruck zu den Dreiecken ∆k : Hier hatten wir die Abbildungen

x(s, t) = xk1 (1− s − t) + xk2 s + xk3 t ,

y(s, t) = yk1 (1− s − t) + yk2 s + yk3 t .

Dies liefert uns

Jk =

(xk2 − xk1 yk2 − yk1xk3 − xk1 yk3 − yk1

), J−1

k =1

det(Jk)

(yk3 − yk1 yk1 − yk2xk1 − xk3 xk2 − xk1

).

Dabei hangen die Eintrage in Jk und J−1k nicht von s und t ab.

Außerdem gilt

det(Jk) = (xk2 − xk1 )(yk3 − yk1 )− (yk2 − yk1 )(xk3 − xk1 ) = 2|∆k | .



...zuruck zu den Dreiecken ∆k : Hier hatten wir die Abbildungen

x(s, t) = xk1 (1− s − t) + xk2 s + xk3 t ,

y(s, t) = yk1 (1− s − t) + yk2 s + yk3 t .

Dies liefert uns

Jk =

(xk2 − xk1 yk2 − yk1xk3 − xk1 yk3 − yk1

), J−1

k =1

det(Jk)

(yk3 − yk1 yk1 − yk2xk1 − xk3 xk2 − xk1

).

Dabei hangen die Eintrage in Jk und J−1k nicht von s und t ab.

Außerdem gilt

det(Jk) = (xk2 − xk1 )(yk3 − yk1 )− (yk2 − yk1 )(xk3 − xk1 ) = 2|∆k | .


Beispiel 2.61:Uniforme Gitter


Beispiel 2.61: (Uniforme Gitter)

Betrachte ein uniformes Gitter aus rechtwinkligen Dreiecken auf[0, 1]2.(z.B. erstellt durch Algorithmus 2.4: uniform mesh info[4])Die Triangulierung besteht dann aus zwei Typen von Dreiecken:

⇒ det(Jk) = 2|∆k | = h2 , sowie

Typ A: Jk =

(h 00 h

), J−1

k =

(1h 00 1

h

)Typ B: Jk =

(−h 00 −h

), J−1

k =

(− 1

h 00 − 1

h

)Janka Bauer Lokale Basisfunktionen und Fehleranalyse

Beispiel 2.61: (Uniforme Gitter)

Betrachte ein uniformes Gitter aus rechtwinkligen Dreiecken auf[0, 1]2.(z.B. erstellt durch Algorithmus 2.4: uniform mesh info[4])Die Triangulierung besteht dann aus zwei Typen von Dreiecken:

⇒ det(Jk) = 2|∆k | = h2 , sowie

Typ A: Jk =

(h 00 h

), J−1

k =

(1h 00 1

h

)Typ B: Jk =

(−h 00 −h

), J−1

k =

(− 1

h 00 − 1

h

)Janka Bauer Lokale Basisfunktionen und Fehleranalyse

Beispiel 2.61: Uniforme Gitter

Nun haben wir alles Notwendige fur

akpq = 2|∆k |∫

∆∗

a(x(s, t), y(s, t)) ∇Ψp(s, t) · ∇Ψq(s, t) ds dt

bkq = 2|∆k |∫

∆∗

f (x(s, t), y(s, t)) Ψq(s, t) ds dt

fur p, q = 1, . . . , nr , wobei ∇Ψp = J−1k

(∂Ψp

∂s∂Ψp

∂t

)T.

⇒ effizientes Losen der Integrale per Quadratur moglich:Fur ein Set von Q Gewichten wi und Knoten (si , ti ) von ∆∗ folgt

akpq = 2|∆k |Q∑i=1

wia(x(si , ti ), y(si , ti )) ∇Ψp(si , ti ) · ∇Ψq(si , ti )

und analog fur bkq .


Beispiel 2.61: Uniforme Gitter

Nun haben wir alles Notwendige fur

akpq = 2|∆k |∫

∆∗

a(x(s, t), y(s, t)) ∇Ψp(s, t) · ∇Ψq(s, t) ds dt

bkq = 2|∆k |∫

∆∗

f (x(s, t), y(s, t)) Ψq(s, t) ds dt

fur p, q = 1, . . . , nr , wobei ∇Ψp = J−1k

(∂Ψp

∂s∂Ψp

∂t

)T.

⇒ effizientes Losen der Integrale per Quadratur moglich:Fur ein Set von Q Gewichten wi und Knoten (si , ti ) von ∆∗ folgt

akpq = 2|∆k |Q∑i=1

wia(x(si , ti ), y(si , ti )) ∇Ψp(si , ti ) · ∇Ψq(si , ti )

und analog fur bkq .


Zusammenfassung

Der Ubergang zum Referenzelement ermoglicht uns eineeffizientere Aufstellung von Ak und bk .

Das Integral uber das Referenzelement lasst sich perQuadraturformel losen.

Fur ”einfache” Funktionen a und f (z.B. stuckweise konstantoder Polynome) kann eine exakte Quadraturformel gefundenwerden.

Falls nicht: lose ein Problem der Form (2.69):

a(uh, v) = ˜(v) , ∀ v ∈ V h ,

wobei a(., .) und ˜(.) aus der inexakten Integration kommen.


Zusammenfassung

Der Ubergang zum Referenzelement ermoglicht uns eineeffizientere Aufstellung von Ak und bk .

Das Integral uber das Referenzelement lasst sich perQuadraturformel losen.

Fur ”einfache” Funktionen a und f (z.B. stuckweise konstantoder Polynome) kann eine exakte Quadraturformel gefundenwerden.

Falls nicht: lose ein Problem der Form (2.69):

a(uh, v) = ˜(v) , ∀ v ∈ V h ,

wobei a(., .) und ˜(.) aus der inexakten Integration kommen.


Inhalt




3 Fehleranalyse


Fehleranalyse bei Finiten Elementen

Ubergang zum Referenzelement ∆∗ verkurzt nicht nur dieRechenzeit, sondern erleichtert auch die Fehleranalyse!

Betrachte nun:

endlichdimensionales Galerkin Problem (2.65):

a(uh, v) = `(v) , ∀ v ∈ V h

Beschrankung auf stuckweise lineare Elemente, das heißt

V h = {v ∈ C (D) mit v = 0 auf ∂D und

v |∆k∈ P1(∆k) fur alle ∆k}



Ubergang zum Referenzelement ∆∗ verkurzt nicht nur dieRechenzeit, sondern erleichtert auch die Fehleranalyse!

Betrachte nun:

endlichdimensionales Galerkin Problem (2.65):

a(uh, v) = `(v) , ∀ v ∈ V h

Beschrankung auf stuckweise lineare Elemente, das heißt

V h = {v ∈ C (D) mit v = 0 auf ∂D und

v |∆k∈ P1(∆k) fur alle ∆k}



W h die Menge der Funktionen der Form (2.78):

w(x) =J∑

i=1

wiΦi (x) +

J+JB∑i=J+1

wiΦi (x) =: w0(x) + wg (x) ,

mit w0 ∈ V h, w0|∂D = 0 und fixem wB := [wJ+1, . . . ,wJ+JB ] ,

die die Randbedingungen interpolieren.

g : ∂D → R sei ein passendes lineares Polynom, sodass

W h ⊂ H1g (D)



Dann folgt mit Theorem (2.49) die Abschatzung

|u − uh|E ≤ |u − w |E , ∀ w ∈W h ,

und mit

√amin |w |H1(D) ≤ |w |E ≤

√amax |w |H1(D) (2.57)

folgt weiter

|u − uh|2E ≤ amax |u − w |2H1(D)

= amax

ne∑k=1

|u − w |2H1(∆k ) , ∀ w ∈W h . (2.104)

Hier beginnt die Fehleranalyse!




|u − uh|E ≤ |u − w |E , ∀ w ∈W h ,

und mit

√amin |w |H1(D) ≤ |w |E ≤

√amax |w |H1(D) (2.57)

folgt weiter

|u − uh|2E ≤ amax |u − w |2H1(D)

= amax

ne∑k=1

|u − w |2H1(∆k ) , ∀ w ∈W h . (2.104)





|u − uh|E ≤ |u − w |E , ∀ w ∈W h ,

und mit

√amin |w |H1(D) ≤ |w |E ≤

√amax |w |H1(D) (2.57)

folgt weiter

|u − uh|2E ≤ amax |u − w |2H1(D)

= amax

ne∑k=1

|u − w |2H1(∆k ) , ∀ w ∈W h . (2.104)




Idee:

Betrachte eine Interpolante Ihu ∈W h.

Definiere den Fehler

e := u − w = u − Ihu

und den von ∆k auf ∆∗ abgebildeten Interpolationsfehler

e(s, t) = e(x(s, t), y(s, t)) .

Suche nun eine Schranke fur |e|H1(∆k ), um alle Elementegleichzeitig betrachten zu konnen:

wie hangt |e|H1(∆k ) von |e|H1(∆∗) ab? → Lemma 2.65wie hangt |e|H1(∆∗) von |u|H2(∆∗) ab?Gesamtfehler zuruck abbilden auf |u|H2(∆k ) → Lemma 2.66



Idee:



e := u − w = u − Ihu


e(s, t) = e(x(s, t), y(s, t)) .





Idee:



e := u − w = u − Ihu


e(s, t) = e(x(s, t), y(s, t)) .





Idee:

→ Betrachte eine Interpolante Ihu ∈W h.


e := u − w = u − Ihu


e(s, t) = e(x(s, t), y(s, t)) .





Es sei Ihu eine Interpolante der schwachen Losung u mit

Ihu(xi ) = u(xi ) , i = 1, . . . , J + JB , (2.105)

wobei xi Knoten des Gitters sind und

Ihu|∆k∈ P1(∆k) , fur alle ∆k ∈ Th . (2.106)

Die Annahme an g , W h ⊂ H1g (D), garantiert:

w = Ihu erfullt die Randbedingungen

ABER: u muss nicht stetig sein⇒ Ihu muss nicht stetig sein



Es sei Ihu eine Interpolante der schwachen Losung u mit

Ihu(xi ) = u(xi ) , i = 1, . . . , J + JB , (2.105)

wobei xi Knoten des Gitters sind und

Ihu|∆k∈ P1(∆k) , fur alle ∆k ∈ Th . (2.106)

Die Annahme an g , W h ⊂ H1g (D), garantiert:

w = Ihu erfullt die Randbedingungen

ABER: u muss nicht stetig sein⇒ Ihu muss nicht stetig sein



zusatzliche Annahme: schwache Losung u ∈ H2(D)

Annahme 2.64: H2-Regularitat

Es existiert eine Konstante K2 > 0, sodass fur alle f ∈ L2(D) dieschwache Losung u zu H2(D) gehort, und es gilt

|u|H2(D) ≤ K2‖f ‖L2(D) .

Theorem 1.51⇒ u ∈ C (D)




Annahme 2.64: H2-Regularitat

Es existiert eine Konstante K2 > 0, sodass fur alle f ∈ L2(D) dieschwache Losung u zu H2(D) gehort, und es gilt

|u|H2(D) ≤ K2‖f ‖L2(D) .






Theorem 1.51

Sei D ein beschranktes Gebiet in Rd , u ∈ H r (D), r ∈ N.Falls r > d

2 kann u : D → R zu einer stetigen Funktion u : D → Rerweitert werden.





⇒ Ihu ∈W h

Theorem 1.51

Sei D ein beschranktes Gebiet in Rd , u ∈ H r (D), r ∈ N.Falls r > d

2 kann u : D → R zu einer stetigen Funktion u : D → Rerweitert werden.



Idee:

X Betrachte eine Interpolante Ihu ∈W h.


e := u − w = u − Ihu


e(s, t) = e(x(s, t), y(s, t)) .





Idee:


X Definiere den Fehler

e := u − w = u − Ihu


e(s, t) = e(x(s, t), y(s, t)) .





Idee:



e := u − w = u − Ihu


e(s, t) = e(x(s, t), y(s, t)) .

→ Suche nun eine Schranke fur |e|H1(∆k ), um alle Elementegleichzeitig betrachten zu konnen:

→ wie hangt |e|H1(∆k ) von |e|H1(∆∗) ab? → Lemma 2.65wie hangt |e|H1(∆∗) von |u|H2(∆∗) ab?Gesamtfehler zuruck abbilden auf |u|H2(∆k ) → Lemma 2.66



Lemma 2.65

Fur alle Dreiecke ∆k ∈ Th gilt

|e|2H1(∆k ) ≤ 2

(h2k

|∆k |

)|e|2H1(∆∗) . (2.107)



Lemma 2.65


|e|2H1(∆k ) ≤ 2

(h2k

|∆k |

)|e|2H1(∆∗) . (2.107)

Fur formregulare Gitter gilt nach Definition 2.54

∃ K > 0 , sdρkhk≥ K , ∀ ∆k ∈ Th

und somit

h2k

|∆k |≤

ρ2k

K 2|∆k |≤

ρ2k

K 2(πρ2

k

) ≤ 1

πK 2, ∀ ∆k ∈ Th .

⇒ die Konstante in Lemma 2.65 ist unabhangig von h nach obenbeschrankt⇒ Gitterverfeinerung moglich ohne dass der Fehler explodiert!



Lemma 2.65


|e|2H1(∆k ) ≤ 2

(h2k

|∆k |

)|e|2H1(∆∗) . (2.107)


∃ K > 0 , sdρkhk≥ K , ∀ ∆k ∈ Th

und somit

h2k

|∆k |≤

ρ2k

K 2|∆k |≤

ρ2k

K 2(πρ2

k

) ≤ 1

πK 2, ∀ ∆k ∈ Th .




Lemma 2.65


|e|2H1(∆k ) ≤ 2

(h2k

|∆k |

)|e|2H1(∆∗) . (2.107)


∃ K > 0 , sdρkhk≥ K , ∀ ∆k ∈ Th

und somit

h2k

|∆k |≤

ρ2k

K 2|∆k |≤

ρ2k

K 2(πρ2

k

) ≤ 1

πK 2, ∀ ∆k ∈ Th .




Idee:



e := u − w = u − Ihu


e(s, t) = e(x(s, t), y(s, t)) .

→ Suche nun eine Schranke fur |e|H1(∆k ), um alle Elementegleichzeitig betrachten zu konnen:

X wie hangt |e|H1(∆k ) von |e|H1(∆∗) ab? → Lemma 2.65→ wie hangt |e|H1(∆∗) von |u|H2(∆∗) ab?→ Gesamtfehler zuruck abbilden auf |u|H2(∆k ) → Lemma 2.66



Lemma 2.66

Fur jedes Dreieck ∆k ∈ Th gilt

|e|2H1(∆∗) ≤ Kh2k

(h2k

|∆k |

)|u|2H2(∆k ) , (2.108)

wobei K > 0 eine von hk unabhangige Konstante ist.

⇒ Jedes Mal, wenn wir von ∆∗ zuruck nach ∆k abbilden,bekommen wir eine Potenz von hk .



Lemma 2.66

Fur jedes Dreieck ∆k ∈ Th gilt

|e|2H1(∆∗) ≤ Kh2k

(h2k

|∆k |

)|u|2H2(∆k ) , (2.108)

wobei K > 0 eine von hk unabhangige Konstante ist.

⇒ Jedes Mal, wenn wir von ∆∗ zuruck nach ∆k abbilden,bekommen wir eine Potenz von hk .



Idee:



e := u − w = u − Ihu


e(s, t) = e(x(s, t), y(s, t)) .

X Suche nun eine Schranke fur |e|H1(∆k ), um alle Elementegleichzeitig betrachten zu konnen:

X wie hangt |e|H1(∆k ) von |e|H1(∆∗) ab? → Lemma 2.65

X wie hangt |e|H1(∆∗) von |u|H2(∆∗) ab?

X Gesamtfehler zuruck abbilden auf |u|H2(∆k ) → Lemma 2.66 eine h-Potenz

→ Gesamtfehlerbetrachtung fur |u − uh|2E → Theorem 2.67



Idee:



e := u − w = u − Ihu


e(s, t) = e(x(s, t), y(s, t)) .

X Suche nun eine Schranke fur |e|H1(∆k ), um alle Elementegleichzeitig betrachten zu konnen:

X wie hangt |e|H1(∆k ) von |e|H1(∆∗) ab? → Lemma 2.65

X wie hangt |e|H1(∆∗) von |u|H2(∆∗) ab?

X Gesamtfehler zuruck abbilden auf |u|H2(∆k ) → Lemma 2.66 eine h-Potenz

→ Gesamtfehlerbetrachtung fur |u − uh|2E → Theorem 2.67



dafur kombiniere:

(2.107): |e|2H1(∆k ) ≤ 2(

h2k|∆k |

)|e|2H1(∆∗)

(2.108): |e|2H1(∆∗) ≤ Kh2k

(h2k|∆k |

)|u|2H2(∆k )

(2.104): |u − uh|2E ≤ amax |u − w |2H1(D)

= amax

ne∑k=1

|u − w |2H1(∆k ) ∀ w ∈W h

zu Abschatzung in der Energienorm: |u − uh|E ∈ O(h)



Zusammengefasst ergibt das:

Theorem 2.67

Sei u ∈W eine Losung des Variationsproblems (2.55),a(u, v) = `(v) ∀v ∈ V , und sei uh ∈W h die stuckweise lineareGalerkin-Approximation, die (2.65) erfullt, das heißta(uh, v) = `(v) ∀v ∈ V h.Falls Annahme 2.64 gilt(H2-Regularitat: ∃K2 : |u|H2(D) ≤ K2‖f ‖L2(D) ∀f ∈ L2(D))und das Finite Elemente Gitter formregular ist, dann gilt:

|u − uh|E ≤ K√amaxh‖f ‖L2(D) ,

wobei K > 0 eine von h unabhangige Konstante ist.



Korollar 2.68

Falls die Annahmen von Theorem 2.67 gelten, so gilt

|u − uh|H1(D) ≤ K h

√amax

amin‖f ‖L2(D) .


Abschließende Bemerkung

Bei der Implementierung der Finiten Elemente sind wir von a und fstuckweise konstant ausgegangen!

Falls die Daten nicht stuckweise konstant sind, landen wir im Fallder Galerkin-Approximation unter angenaherten Daten, das heißt

a(uh, v) = ˜(v) , ∀ v ∈ V h ,

und es ergibt sich der Fehler

|u − uh|H1(D) ≤ |u − uh|H1(D) + |uh − uh|H1(D) .


Lokale Basisfunktionen und Fehleranalyse

Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit!


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