Die Crenze der Totalreflexion. II Strenge wellenoptische Betechnung

Von H . Maecker

(Mit 7 Abbildungen)

Inhaltsiibersicht Der Intensitatsverlauf in der Umgebung des Grenzwinkels der Totalreflexion

wird streng wellenoptisch fur ein spezielles Beispiel numerisch berechnet. Es er- gibt sich eine Kurve, die von der partiellen Reflexion her stetig in die Totalreflexion einschwingt.

I. Problemstellung Die vorangehende Abhandlung (I) uber die Reflexion einer Kugelwelle an der

Grenzflache zum dunneren Medium mit der neuen Strahldefinition von W o l t e r hat gezeigt, da13 durch die Strahlversetzung bei der Totalreflexion neben der total- reflektierten Kugelwelle auch eine Kegelwelle, die Grenzschichtwelle, entsteht. Die Uberlagerung beider fuhrt zu Interferenzen in der Nahe des Grenzstrahles. Wenn auch die Strahlenauffassung das Gesamtbild der bei der Totalreflexion auf- tretenden Erscheinungen gut beschreiben kann, so bleibt daran doch unbefrie- digend, da13 zwischen dem p a r t i e l l reflektierten Grenzstrahl und der Kaustik der totalreflektierten Strahlen eine kleine strahlungslose Lucke bleibt, die sicher nicht reell ist, sondern durch Beugungsvorgange ausgefiillt wird. Hieruber kann nur die strenge wellenoptische Betrachtung Auskunft geben. H. O t t 1 ) hat diese Rechnung bis zur zweiten Naherung allgemein gelost, aber seine Resultate erreichen noch nicht ganz die strahlenoptischen Ergebnisse. Zwar findet O t t keine Lucke zwischen partiell und total reflektierter Welle, aber seine Naherung versagt in der unmittelbaren Umgebung des Grenzwinkels, was sich u. a. darin iiuL?ert, daIJ die Intensitat dort unendlich wird.

Um daher die Vorgange in der unmittelbaren Umgebung des Grenzwinkels kennenzulernen, mu0 eine strenge wellenoptische Losung fur diesen Rereich gesucht werden. Die a l lgemeine Berechnung dieser Wellenfunktion stofit auf uniiberwindliche Schwierigkeiten, mir miissen uns daher mit der Durchrechnung eines Spezialfalles begnugen. Von diesem Ergebnis aus konnen wir uns aller- dings auch ein qualitatives Bild fur andere Fiille machen. Als Spezialfall greifen wir uns den gleichen heraus, der schon in I durchgerechnet worden ist, namlich Abstand vom Spiegelpunkt

n 1 R ’ e 6cm, n =>=- A, ’ nl 1,52

2 n Itl kR’ =; lV, k =-

und parallele Polarisation.

H. O t t , Ann. Physik (5) 41, 443 (1942).

154 A m a h der Physik. 6. Folge. Band 10. 1952

11. Die wellenoptisehen Rcchnungen yon H. 0 t t Unsere Rechenmethodik baut auf der von 0 t t angewendeten nu€, weswegen

wir zunachst den Ottschen Gedankengang in den fur uns wichtigen Teilen kurz rekapitulieren wollen.

Nach Sommer fe ld liDt sich der 17-Vektor (IT= rot rot E) einer Kugelwelle, die von einem in der z-Achse schwingenden Hertzschen Dipol ausgesendet wird, darstellen als Uundel ebener Wellen in den Zylinderkoordinaten r , p', z :

,i kR no = - R - = i b ~ ~ . ~ i l i ( I s i n ~ c o s ( p - p ' ) + 1 z / c o s ~ } j i n 2 q i c ~ 6 d ~ , 2 n (1)

wenn sich der Koordinatenursprung in der Lichtquclle befindet. Es ist also zur Ermittlung des 11-Vektois irn Punkte T , p', z der Ueitrag aller ebenen Wellen, die durch diesen Funkt gehen und deren Normale durch den Azimutwinkel p und durch die Neigung gegen die positive x-Achse 6 in ihrer Richtung bestimrnt ist,, zu summieren, und zwar mit, den Integrationsgrenzen fur p von 0 his 2 7c und fur

8 in der kornplexen 6-Ehcne von 0 his - i 00. Die Integration uber liefcrt 2 7c

rr O - - 2 J H: ( r lc sin 6 ) eik IZI cos 0 sin 6 d6 (2) n n mit den geanderten Grenzen fur 6 von - -- + i 00 bis - - i 00. Fallt nun diese

Kugelwelle im Abstand -Tz von der Lichtquelle auf eine zur z-Achse senk- 2 2

I

P

Abb. 1. Koordinaten des Aufpunktes P fur die reflektierte Welle

rechte Grenzflache zu einem optisch dunneren Medium, dann findet man ent- sprechend fur die gebrochene Welle (Koordinatenursprung in der Grenzflache)

.~

(3) fig = % J H ; ik ( I c r ~-ikz\/~rs-sina9.+ikhcosB s i n 6 d 8

mit dem Amplitudenfaktor g nach den Fresnelschen Formeln

H. Maeeker: Strenge wellenoptisehe Berechnung 155

Bur die reflektierte Welle gilt ahnlich

(Koordinatenursprung im Spiegelpunkt der Lichtquelle, s. Abb. 1 ) .

Fur grolje Entfernungen vom Spiegelpunkt ist

so da5 aus (5) init (6) und (7) wird

Fiihrt inan statt der Koordinaten r , z fur den Aufpunkt P die Polarkoordinaten urn den Spiegelpunkt R', 01 mit

r = R's ina x = R'cos iy (9)

ein, dann wird aus dern Exponent in (8)

i k R' cos (6 - 01) = i Jc R' {sin (& - 01) Gin 6, + i cos (6, - a) Qoi 6,}, (10)

wmn 6 = 8, + i6, ist.

Gebirge mit einem Sattel, dessen PaBtraBe Der Integrand in (8) mit (10) bildet in der komplexen 6-Ebene ein welliges

cos (6, - a) eoy 6, = 1 (11)

von --

Achse nach - ? - iw + DI verlauft (Abb. 2). + iw + a iiber den Pal3 6, = a mit 45" Neigung gegen die reelle 6- 2

2 Von den singularen Punkten interessiert uns der zweiblattrige Verzweigungs-

punkt der Wurzel w = I n 2 - sin2 6 auf der reellen Achse zwischen 0 und -- 2 fiir reelles n, definiert durch sin 6 = n, narnlich 6, = arc sinn. Von ihm aus ziehen wir einen Verzweigungsschnitt, auf dern der Imaginarteil der Wurzel sein Vorzeichen wechselt. E r verlluft von 8, auf der reellen Achse nach Null und dann auf der irnaginiiren Achse entlang. Piir das positive Vorzeichen der Wurzel ist der Imaginarteil positiv links und unterhalb des Verzweigungsschnitts, dagegen negativ rechts und oberhalb des Verzweigungsschnitts. Als oberes Blatt sol1 dasjenige mit positivem Imaginarteil der Wurzel definiert sein. Auf diesem Rlatt mussen Anfang und Ende des Integrationsweges liegen, darnit das Integral (3) fur die gebrochene Welle konvergiert. Solange a < 6, ist, kann diese Forderung ohne weiteres erfullt werden, wenn die Pal3stral3e auch zwischen der imaginaren und der reellen Achse auf dern unteren Blatt verlauft. 1st dagegen a > a,, dann

?G __ -~

156 Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 10. 1952

bleibt die PaBstraBe, wenn man von unten kommt, auf dem oberen Blatt bis zur imaginaren Achse, wo sie auf das untere Blatt iibergeht, also nicht die vorgeschrie- bene Grenze auf dem oberen Blatt (Abb. 2) erreicht. Um dennoch diese Grenze zu erreichen, mu13 der Integrationsweg wieder zuruckgefuhrt werden, und zwar urn den Verzweigungspunkt herum auf das untere Blatt, um schlieDlich jenseits y

C

der imaginaren Ache die richtige Grenze auf dem oberen Blatt mit positivem Imaginarteil der Wurzel zu erreichen. Es tri t t also zu dem Integral iiber die Pa& straBe in dem Augenblick, wenn 01 den Grenzwinkel6, uberschreitet, ein Zusatz- integral um den Verzwei- gungsschnitt auf. Aus diesem Grunde identifiziert O t t das

Abb. 2. Komplexe 8-Ebene mit Verzweigungsschnitt (stark ausgezogen). PaBstraBe durch a1 < 6,. Inte- grationsweg durch a2 > 8,. Wege auf dem unteren

Blatt gestrichelt

Integral uber die PaBstraIje allein mit der reflektierten Kugelwelle, wahrend das Zu- satzintegral um den Ver- zweigungsschnitt der Grenz- schichtw-elle zugeschrieben wird. Indes ist diese Tren- nung nicht zwingend, denn man hatte auch einen f e s t e n Integrationsweg dies- seits des Grenzwinkels 6, wahlen konnen, so da13 nie- mals, auch nicht fur 01 >6,, ein Zusatzintegral aufpe- -

treten ware. Oder man konnte auch einen f e s t e n Weg jenseits des Grenzwinkels einschlagen niit dem Umweg um den Verzweigungsschnitt, dann ware immer, auch fur 01 < Go ein Zusatzintegral entstanden. Trotzdem wird die von O t t vor- genommene Trennung nachtraglich durch die Rechnung und den Vergleich mit der Erfahrung gerechtfertigt, und wir wollen sie uns auch hier zu eigen machen.

111. Neue Integration in der Umgebnng des Grenzwinkels

Fur die strenge Losung des Integrals in der Umgebung des Grenzwinkels, die, wie gesagt, nur nurnerisch erfolgen kann, ist es nun sehr vie1 einfacher, nicht die PaBstraDe selbst als Integrationsweg zu nehmsn, sondern die feste Parallele ciazu durch Go, weil dann alle von 6 abhangigen Funktionen, vor allem der komplizierte Ausdruck g, fur die verschiedenen Integrationen mit jeweils anderem 01 unver- lndert bleiben. Die Integration wird oherhalb des Verzweigungspunktes auf beiden Blattern durchgefuhrt. Das Integral vor dem Verzweigungspunkt ( A + B in Abb. 3) ist dann die Gesamterregung, das dahinter (C + B) ergibt die Kugelwelle, und die Differenz beider ( A - C ) ist als Umweg urn den Verzweigungsschnitt die Grenzschichtwelle, die nun natiirlich auch fur Werte OL < 6, existiert.

H. Maeeker: Strenge wellemptische Berechnung 157

Der beschriebene Integrationsweg ist aus praktischen Grunden nur fur die Umgebung des Grenzwinkels brauchbar, weil mit zunehmender Entfernung des Integrationsweges von der PaBstraBe durch 01 hindurch der Integrand immer welliger und daher die Ermittlung des Integrals immer ungenauer wird.

$0

j '\A \ \

6

Abb. 3. I n dieser Arbeit benutzter Integrationsweg. A + B Gesamterregung; C + B Kugelwelle; A - C Grenzschichtwelle

Wir wollen nun das Integral mit dem Integrationsweg durch Go explizit hin-

Die reflektierte Welle ist nach G1. (8) und (10) schreiben und es in einer fur die Ausrechnung geeigneten Weise umformen.

An die Stelle der PaBstraBe (11) tr i t t die Parallele durch 6,: cos (6, - 6,) %of 6, = 1.

Diese in Gl. (12) eingesetzt, ergibt:

mit e eip = g m. Da der Realteil des Exponenten - k R' -___ - - schnell grol3e negative Werte

annimmt, zieht sich der Integrand auf den Bereich einiger Minuten um die ein-

COB (a, - a ) C08 (6, - &J)

158 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 10. 1952

i ~

ander benachbarten Punkte Go und a zusammen, so daB 1 - gesetzt werden kann. I n der so entstchenden Gleichung

= )I-- 2 i cos (8, - 6,)

sind e und die einmal fur alle Intcgrationen axis der Fresnelschen Formel fur g zu berechnen sind. xhnliches gilt fur die

gleich bleibende Funktionen von

Jntegmnd Reafteil relatw

Abb. 4. Integrand als Funktion Ton 6,. Die schraffierte Grenzschichtwelle wurde in 10-fachem

OrdinatenmaBstab planimetriert

Funktionen von S,-t9,,. Nur cos (6, - a) und sin (6, - a) verandern mit versehiedenem a den Integranden. Auf diese Weise ist der rechnerische Auf- wand auf ein ertragliches MaB zuriickgeschraubt. Die Zwei- blattrigkeit kommt in der Doppeldeutigkeit von g = e eip zum Ausdruck. Fur die Integration sclbst wurde der Integrand in Real- und Ima- ginirteil getrennt als Funktion von 6, aufgetrager, und gra- phisch integriert. Ein Beispiel fur die beiden Teile des Inte- granden ist in Abb. 4 darge- stellt.

IV. Ergebnisse Die Ergebnisse der ganzen

Berechnungen sind in den Abb. 5-7 zusammcngefaflt. I n ihnen sind auch die Resultate der strahlenoptischen Berech- nungen aus der vorigen Arbeit eingetragen. Folgende Punkte sind beniorkenswert :

1. Als Mcrkmal von Inter- ferenzen treten in der Ampli-

tude dcr totalreflektierten Welle Schwingungen auf, und zwar sowohl nach der Wellentheorie als. auch nach der Strahlentheorie (Abb. 7 ) .

2. Wahrend aber die Strahlentheorie eine Lucke zwischen dem partiell re- flektierten Grenxstrahl und der mit unendlicher Amplitude einsetzenden Grenze der Totalrcflexion laBt, ergibt die Wellentheorie einen stetigen Anstieg von der partiellen zur totalen Reflexion.

3. Beide Theorien ergeben, daB die Grenze der Totalreflexion, definiert als absolutes Maximum der Intensit at, nicht auf dem par1 iell reflektierten Grenz- strahl liegt, sondern uin ein kleines Stuck nach groBeren Rcflexionswinkeln ver- schoben ist.

H . Maecker: Xtrenqe wellenoptische Berechnung 159

4. Die Aufteilung der Gesamtamplitude in Kugelwelle und Grenzschiclitwelle laBt sich prinzipiell sowohl vor als auch hinter dem Grenzwinkel durchfiihren (Abb. 5 u. 6). Da aber beide Teile im Rereich der partiellen Reflexion konstante

Abstondvarn (irenzw I

in tinuten, -a- .9., . - -6 -4 -2 1-96 2 b 6 8 ?O

I I

---_ -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 1 J

Abb. 6. Amplituden der Kugelwelle und der Grenzschichtwelle nach der Wellenoptik (ausgezogen) und nach der Strahlenoptik

(gestrichelt)

-4 t Abstand vom Gre0.w

, -i O 2 b 7 i f l y&<a-a ; ,l Abb. 6. Phasen der reflektierten Welle im BogenmaB auf der Kugel k R' = 1 0 b fur

n n = -.Z = ~ ' und parallele Polarisation. - 4 n, 1,52

a) Kugelwelle, b) Grenzschichtwelle. Abb. 7. Gesamterregung nach der Wellen- Wellenoptische Rechnung ausgezogen, optik (ausgezogen) und nach der Strahlen- strahlenoptische Rechnung gestrichelt optik (gestrichelt)

160 Annden der Phyeik. 6. Fdge. Band 10. 1952

(entgegengesetzte, vgl. Abb. 5a u. b) Phaaendifferenz haben, so hat hier die Tren- nung keinen Sinn. Aber in der Nahe des Grenzwinkels set& eine schnelle ungleich- maI3ige hderung beider Phasen ein, so dd3 von hier ab zu groI3eren Winkeln eine Trennung in Kugelwelle und Grenzschichtwelle .sinnvoll ist.

5. Der Verlaiif der Gesamterregung ahnelt dem der Beugungserscheinung an einer Schirmkante. Das nimmt nicht Wunder, wenn man bedenkt, daI3 nach der alten Strahlenauffassung (vgl. Abb. 1 in I) ein scharfer Intensitatssprung von der totalen zur partiellen Reflexion stattfindet, ahnlich dem Sprung an der Licht-Schatten-Grenze bei Beleuchtung einer Schirmkante, allerdings mit dem Unterschied, dsI3 hier die Intensitat, strahlenoptisch betrachtet, uns te t ig auf Null fallt, wahrend sie bei der partiellen Reflexion nach einem Intensitiitsknick zwar schnell, aber s t e t ig auf Null sinkt. Auch Ar tmann fiihrt das Integraln, auf ein Beugungsintegral zuriick a),

Herrn stud. phys. W. Bott icher danke ich fur die fleiI3ige Mitarbeit bei den numerischen Rechnungen.

*) K. Artmann, Ann. Physik (6). 8, 270 (1961).

Kiel, Institut fur Experimentalphysik der Universitat.

(Bei der Redaktion eingegangen am 29. Oktober 1961.)