Die G r u n d z f i g e e ine r m a t h e m a t i s c h e n T h e o r i e e l e k t r o m a g n e t i s c h e r S c h w i n g u n g e n

Von CLAUS ]~ULLER in Bonn

Ausgehend yon den MAXW~LLSehen Gleichungen ffir zeitlieh periodisch verander- liehe Felder, die nach Einfiihrung eines geeigneten 5Iai~systems die Gestalt

v x v x (1)

annehmen, wurde eine Theorie der Ltisung dieses Gleichungssystem~ fiir r~umlieh veriinderliche e,/~ entwickeltl). In der physikalischen Literatur ist dieser Fragen- kreis unter der Bezeiehnung ,,Allgemeines Beugungsproblem" bekannt. Das Ziel

�9 der Arbeit ist die Durehftihrung der Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise.

Es ist bemerkenswert, da~ die konsequente mathematisehe Begrtindung der Theorie nut unter solehen Voraussetzungen mSglieh ist, die dureh die physikalisehe Bedeutung der Skalare m, s und/~, tier sogenannten ,,Konstanten" der ]~/[XXWELL- schen Gleichungen, gefordert werden. Diese sind

J m (~o) > O oder J m (co) = O , Re (~) > O

S = S o + ~ - ' , # = t , o + iJ~'

und (2)

(3)

mit den reellen GrS~en so > 0, #o > 0 und a >_ 0, a' > 0. Es ist a' eine aus Symmetriegriinden zugelassene fiktive magnetisehe Leitfiihigkeit. Die Forderung (2) besagt, da~ nur zeitlich anklingende bzw. periodisch veriinderliche Felder unter- sueht werden. Die in Verbindung mit der Sehwingungsgleichung wiehtige GrSl~e

(4)

wird so normiert, dab entweder

Jm(lr > 0 oder Jm(l~) = 0, /~e(k) > 0 (5)

1) Eiue ausfiihrliche Darstellung erschein~ demn~chst, CL. MiiLL~a: Mathematische- Theo- rie elektromagnetischer Schwingungen, ~Iathematische Forschungshefte, Wolfenbtitteler Verlags- anstal~.

Die Grundziige einer mathema~ischen Theorie elektromagne~ischer Schwingungen 297

ist. Die Ver~nderlichkeit der e und # wird auf folgende vier charakteristische F/ille beschr~nkt:

Es sind die stetig differenzierbaren StrSme i und i' so vorgegeben, dab beide nur in einem endlichen Raumtefl yon Null verschieden sind.

1. Es ist im ganzen Raum s = eonst, und tt = const.

2. Es ist im Aul]eren eines reguli~ren Bereiches grad e = 0 und grad tt = 0, w/ihrend ~ und # i m ganzen Raum stetig differenzierbar sind~).

3. Es ist im ~_uBeren eines regulliren Bereiehes e ---- ~, = const, und/~ = / ~ , = = const. Im Inneren dagegen s = si = const, und tt = tt,. = const. Hier fordert die M~xwEI, LSche Theorie, da[3 die Tangentialkomponenten yon und ~ Sich auf der Randfl/iche des regul/iren Bereiches stetig aneinander- schliel]en.

4. Es ist im Aul3eren eines regul/ixen Bereiches s -- e, = const, und tt = tt, = const. Im Inneren ist e = oo, tt ----tt,. = const. Die MXXWELLsche Theorie fordert das Versehwinden 6er Tangentialkomponenten yon ~ auf der Rand- flAche des reguliiren Bereiches.

Diese vier Fi~lle stellen jeweils eine eharakteristische Schwierigkeit der LSsung yon (1) dar. Aus ihnen lassen sich alle praktisch vorkommenden Fiflle herMten.

I. Itomogene Medien (Fall 1)

Ftir stetig differenzierbare i und i' ist bei konstantem e und # die LSsung yon (1) schon bekannta). Sie lautet mit den DefinitionsgMchungen ffir die Ladungen

Vi+i e= Vi' +i Q'=o

(6) 1 /I i' + 1 , ] 1 i f(i,n)Vwd_ v ~(x,y,z)=T-~" ions " 9 + i • - ~ V~ d r + 4 - ~ co#

h" F

wobei V der endliche Raumteil ist, in dem i und i' yon ~all verschieden sind, und n die Fllichennormale auf tier Randfliiche F yon V ist. Es stellt 9 eine Fundamental- 16sung der Gleichung

V=v(r); (7) 6ikr - - i k r

dar, die ftir r --> 0 wie 1__ singulgr wird; z.B. - - usw. Die Eindeutigkeit r r ' r

der LSsung yon (1) wird in Analogie zu" den SOMMERFELDSchen Betrachtungen fiber die Schwingungsgleichung dutch sogenannte Ausstrahlungsbedingungen erzwungen.

2) Vgl. O. D. KELLOGG, Foundation of Potential Theory, Berlin 1929, S. 112, 113. 3) STRATTON and CHU, Phys. Rev. 99, 56 (1939). Dor~ auch Ang~obe /ilterer Literatur.

298 C~. ~ I ~

Sie besagen, da~ stets ~ : - -

Gesetze

8ikr .

T zu w~hlen ist und fiihren auf die asymptotischen

R - ~ und R - ~ bleiben endlich ftir R-->

~ m ~ ( ~ ~(u • e ) - ~ ) = o

~ ~(~ ~(~ • 8) + ~ ) = o .

Dabei ist R der Abstand yon einem beliebigen, aber fest gewfilflten endlichen Punkt P, und 11 die ins ~u~ere weisende Fliiehennormale auf der Kugel vom Ra- dius R u m P. Diese asymptotisehen Gesetze reichen aus, um die Eindeutigkeit der LSsung yon (1) zu erzwingen. Der Beweis benutzt den POY~TI~Gschen Satz und einen Satz yon F. RELLICH4).

Dutch Anwendung eines Analogons zur Gaww~schen Formel in Vektorform zeigen STaATTON Und CHU, dal~ sich jede L~isung yon (1) - - bei konstantem s und # - - in einem regularen Gebiet G, das yon F berandet ist, dutch

~(x,y,z)=-~ {~i. ~--i' xV~ +TeV ~ dV-- ~ (s)

1 ] [~ ~ ~(~ • %). ~ + (a • ~) • V~ + (~ dF F

und 1 I

G

+~-~- [i~ e(u x r ~--(u x �9 xV~--(~u)V~]~F F

(9)

darstellen l~Bt. Definiert man

]F=--UX~ und i~=nX

V'~ v b = - - ~(~ ~) L~ = - - ~ (~ ~) (XO)

sls F1Rchenstrtime, so findet man Satz 1: Jedes Feld ~, ~, das im Inneren eines regul~ire~ Gebietes G ralt der Ober-

fliicheF bei konstantam s und /~ des GIeichungen (1) geniigt, kann ira Inneren yon G

dargestellt werden durch die Volumenstrgme iund i" und die Oberfliichenstrgme ? F-'~ - - 11 X und i'F = 11 X ~ au/ F. Das yon diesen Str6men dargestelZte Feld verschwindet im

~uflere~ yon G identisch.

Die letzte Aussage ist eine Folge der Sprungrelation flit FliichenstrOmeS).

4) F. RELLICH, J ahresber. D. M. V. 53, 57 (1943). ~) STaATTON und CHU, 1. c.

Die Grundziige einer mathematischen Theorie elek~romagnef.ischer Schwingungen 299

II. Inhomogene Medien

Stetig differenzierbare ~ und ~ (Fall 2).

Mit den Konstanten G, F, des AuBenraumes wird das einfallende Feld

, = -'4-~'~ i co la a i " 9 X V ~ ~ = q V ~ d V q 4 a a;-e ,,

o F (11)

1 f [ �9 'Vq laV44 y,;.f /a, G F

e,'k=*" gebildet, wobei ~ = r und k , = ~ ist.

Die Li~sung der ]gJtXWELLschen GMchungen im inhomogenen Medium erfordert die Bestimmung zweier Felder ~,, ~, auf~erhalb a (reflektiertes Feld) und ~;, ~,. in G (gebrochenes Feld). Dio L~sung yon (1) wird dann aul]erhalb G: ~ + ~,, ~), + (0, und innerhalb G: ~,., ~31-

Fiir ~i, ~ mtissen in G die Gleichungen

V x @, +ico ,9 =i; V x e , - - i co �9 = - - i'

geltene). Das l ~ t sieh schreiben

V x ~,- + i co G @," = i + i co (8, - - e,-) @/= ~ (13)

V x co

Setzen wit in (6) ~ und ~' an SteUe yon i bzw. i' ein, so erhalten wit nach einigen Umformungen fiir ~i und ~,. die Integralgleichungen

8i'8, ~V~dV G

4 ~

G

f ~--~, e,.VgdV_ (14)

G

4 ~ �9

G"

Auf dieses Integralgleichungssystem ist die FR1~DHOLM-HILBERTSehe Theorie an- wendb~r. Die Existenz der L6sung ist also nachgewiesen, sobald gezeigt wurde, da~ keine Eigenliisungen yon (14) existieren. Dieser Beweis wird, wie im Falle

�9 ) Zum Unterschied zwischen den Konstanten ea,/~a aul]erhalb G, se~zen wir innerhalb q

~ = si, I~ = F i .

3 0 0 CL. i~O LLEII

des homogenen Mediums, mit l=iilfe der Ausstrahlungsbedingungen fiber den PoYI~- TI~Gscheii Satz geftihrt.

Sprunghafte Anderung yon s uiid # (Fall 3).

Durch mehrfache Anweiidung yon Satz I erhiilt~ man im inhomogeneii Fall

Satz 2: ])as reflektierte Eeld @a, ~ , und das gebrochene FeId @i, ~i werden durch die in der Grenzfldche F der beiden Medien ,,fliefienden" Str6me

i . = - - ~ x .~.; i: = '~ x e . (15)

erzeugt, wobei @i, ~ das ein/alIende .Feld im Medium der Konstanten e~ und iz, dar- stelZt und 11 die au] ~" ins ~uflere von G weisende $'liichennormale ist.

Da linch Vorgabe yon i u n d j' das Feld ~,, ~, bekannt ist, wurde die LSsung des Beugungsproblems damit auf die Bestimmung der yon Grenzflaehenstriimen (StrSme an der Grenze zweier Medien) erzeugten Felder zurfiekgeffihrt.

Es gelten die Sprungrelationen .!

x ( ~ , , - - e ; ) = - - ;. ; ,~ x ( ~ , . - - ,~;) = L , (16)

wobei @,, ~ , und @,., ~,. als Grenzwerte bei Aniiiiherung an F voii innen bzw. au~eii zu verstehen sin& Setzen wir nun

n x @ ~ - = - - j ; n x @ ; = i ' , (17)

so ist auf Grund yon Satz 1, solange der Aufpunkt im ~u6eren VOlt G liegt,

1 / 1 i / ( i ~ ) V g , . d F 0 ---- ~ [i m# i ~. q~i-- J" X VTi] dF ~ 4 ~ o~ 8~

~ (18)

O = y - E �9 ~,. + i XVqg;]dF + 4~ o,z; ( i 'V)Vr F /v

6i ki r mit 9," . . . . und k,.----- ] / ~ s, #,. Die Umwandlung der Integrale reehter Hand q"

dutch Einfiikrung tier Fli~chenladung, vgl. (10), wurde hier unterlassen. Es bleibt (18) bestehen, wenii sieh der Aufpunkt (x) auf der iiui~eren Fliichennormale der RandflacheF filbert. Ist n(x) die Normale im Punkte (x)7), so ist demnach

o = ~ - i ~ ~i(rt(~) x i)~o,.--n(z) x i' x V~o, + - 2 L n ( ~ ) x (iV)v~o,- dF (.0 ~z"

s,, (19) 1

.Pa -,.,->

Dureh das Symbol F , soll dabei angedeutet werdeii, dal3 die Integrale als Grenz- -.->

werte zu verstehen sind, die bei der Ann~herung des Aufpunktes an den Rand auf tier iiuBeren Fliichennormaleii erhalteii werden. Es ist nach (16) und (17)

~) Es steht (x) als Abkiirzung fiir (x, y, z).

o = i , +

Die Grundziige einer mathematischen Theorie elek~romagnetischer Schwiln~l-n~a~ ~ ]

E x ~ ~ n x G = i ' - - i : .

Werden durch F; die Grenzwerte der Integrale bei Annaherung auf ~ ~lg~r~a~

l~'lachennormalen bezeiehnet, so ergibt sieh nach Satz 1, dal~

o = - i : + ~o ~a(~(~). X i) ~a ~(~) X i 'x Vg~, + ~ a ~(~) X (iV)v~,] as'

(21)

~~ x i')~~ + ~(~) x i x v~~ + .-2-~. ~(~) x ~'v)v~,] ~ I

ist. Die nahere Diskussion zeigt, dal~ die Grenzwerte existieren, wean ) und i' auf F stetig differenzierbar sind, und ihre ersten Ableitungen in jedem Punkte yon F einer H6LDER-Bedingung geniigenS). Wird die erste Gleiehung yon (19) mit 8,. und die erste Gleichung yon (21) mit G multipliziert, so liefert die Differenz beider Gleichungen nach vollzogenen Grenziibergangen die Integralgleiehung

i ' = ~,+~~ ~e + ~,'+ ~------U" 1 . 2-G1 i ~ ( ~ X i)(~'q~i--~a~a) + i ' ~,N--~. ~ ' F

/[ ] _ 1___3__ ~ ., x ( i v ) v ( ~ , - - ~ ~ e y - ~i+~a 2= ( I ~ ) V ( ~ ~ , _ _ ~ , a ~ a ) _ _ Z ~ , (22)

F

wobei ~t stets als Funktion der Aufpunktskoordinaten (x) aufzufassen ist. Fiir erhalt man durc h ~[ultiplikation der zweiten Gleichungen yon (19) und (21) mit /z i bzw. /x, und nachfolgende Subtraktio-

i = i. 2 ,u i + ,u a ,u~. + ,u a

F

+ pi+ ] p----~" 2-El (i n)V(~,..~i-- ~a~a)--in~ X (i'V)V(~i-- ~) df . F

Die Gleichungen (22) und (23) bilden ein System yon Integralgleichungen, auf das die Fa~.DHOLM-ttm~EaTsche Theorie anwendbar ist, da kein Bestandtefi der Kern-

matrix starker als 1__ singular wird. r

Aus der wiederum mit I-Iilfe der Ausstrahlungsbedingungen bewiesenen Ein- deutigkeit der LSsang ergibt sich, da~ keine Eigenliisung des Integralgleichungs- systems (22), (23) existiert. Daraus folgt die Existenz einer eindeutigen LSsung, yon der gezeigt werden kaan, da~ sie fiir analytische Randflachen_~' stetig diffe-

s) o. D. I~LLOGQ, (1. C.), S. 150 ff. Archiv der Mathematik, Bd.I, Heft 4. 21

~02 CL.~OLLER: Die Grundziige einer ma~hematischen Theorie etektromagnetischer Schwingungen

renzierbar ist, und ihre ersten Ableitungen noeh gleichmi~ig einer HSLDER-Be- dingung genfigen. Dutch weitere UTberlegungen ergibt sich, da~ die dutch LSsung yon (22) und (23) gefundenen i und i' aueh die Gleiehungen (19) und (21) befriedigen. Es ist damit die Bestimmung der yon Grenzfl~ichenstriimen erzeugten Felder auf die LSsung des Systems (22), (23) zurfickgeftthrt, wobei sich die Existenz der LSsung aus den FREDHOLM-HILBERTSehen Satzen ergibt.

s,. = co (Fall 4i.

Es lal3t sich der Grenzfibergang s,. -+ oo nieht in einfaeher Weise in den Integral- gleichungen (22), (23) durchffihren, so dal~ es fiir diesen auch praktisch sehr wich- tigen Fall gtinstiger ist, eine neue L0sungsmethode zu benutzen.

Sind n • ~, die Tangentialkomponenten des einfallenden Feldes auf $', so last sich das reflektierte Feld durch magnetische FlachenstrSme i' darstellen, die die Integralgleichung

) nx ~, 1 i'--T~ i ' ' ~ - 2 ~ - +O,i ' )Vq~ d~ (24) F

15sen. Itier ist u eine Funktion' der Koordinaten des Aufpunktes. Die Frage naeh den EigenlSsungen yon (24) fiihrt in diesem Falte auf das Problem der Eigenschwin- gungen des yon _~ berandeten Gebietes Gg). Jede LSsung i' yon

~ - - - 1 . , 1

F

ffihrt niimlieh zu einer magnetisehen Eigensehwingung yon G, wobei sich i' = ~t • ~o dureh die Tangentialkomponenten des elektrischen Vektors einer magnetisehen Eigensehwingung ausdrtieken lal~t. Die Eigenl(isung i't des transponierten Kernes (n wird eine Funktion tier Koordinaten des Quellpunktes, und V~ geht in --Vq~ fiber) lassen sich ebenfalls dutch die Tangentialkomponenten des elektrischen Vek- tors einer magnetischen Eigenschwingung darstellen. Es ist dann i't = ~o- Fiir die Existenz der LSsung yon (24) ist notwendig und binreicbend, da~

.F

ist. Diese Bedingung ist stets erftillt, solange das Feld ~,, ~, durch StrSme erzeugt wird, die ganz im :iu~eren yon G liegen.

Absehliel3end sei bemerkt, da$ die Ergebnisse nieht mehr gelten, wenn die Bedingung (2) fallengelassen wird.

(Eingegange a a~n 24. 12. 1947)

9) L. DE BROGLIE, Probl~mes de Propagations Guid6es des 0ndes Electromagn6tiques, Paris 1941, S. 42ff.