Ztschr. f. angew. 56 Kleine Mitteilungen Math. und Mech.

KLEINE MITTEILUNGEN D I m ISOptl8ChOn Kuwmn der Zykloldmn. Dreht sich eine G e r a d e t' mit fester Winkel-

geschwindigkeit o um einen P u n k t S', der seiner- seits mit fester Winkelgeschwindigkeit ci auf einem K r e i s e k' wandert, so umhUllt sie bekanntlich I)

eine Z y k 1 o i d e. Wir betrachten nun neben die- cIer noch eine zweite Gerade t", die sich mit dersel- ben Geschwindigkeit o um einen Punkt S" dreht, der mit der Geschwindigkeit rsi einen zu k' konzen- trisclien Kreis k" durchllnft; ihre Hiillkurve ist eine zur ersten ihnliche, konzentrische Zykloide.

Qrm 4' [*

Der W i n k e l t ' t "=a bleibt wiihrend der Be- wegung offenbar k o n s t a n t , und der Schnitt- punkt P = [t't"] beschreibt eine Kurve, aus deren Punkten das Zykloidenpaar unter dem Winkel u erscheint, a160 eine i s 0 t i s c h e K u r v e d e s Z y k l o i d e n p a a r e s . s e n k e n wir uns fur den Augenblick S' und S" fest, so beschreibt Y nach dem Satz vom Peripheriewinkel einen K r e i s C, und zwar mit konstanter Geschwindigkeit; da sich aber in Wahrheit c rnit S' und S" gleichfbrmig um 0 dreht, ist der Ort von P eine T r o c h o i d e :

S a t z I. Gleiten die Schenkel eines festen Win- kels an awei konzentrischen ghnlichen Zykloiden, so besclireibt sein Scheitel i. a. eine Trochoide.

Jecle mit deni Winkel fest verbundene Geradk durch den Scheitel umhiillt hierbei eine zu den gegebenen ihnliche, konzentrische Zykloide.

Die Richtigkeit des zweiten Teiles von Satz I ergibt sich wieder unmittelbar au8 dem Satz vom Peripheriewinkel: Der zweite Schnittpunkt einer Ge- raden des Biischels (t'l") rnit dem Kreis c bleibt auf diesem fest, er wandert rnit der Geschwindigkeit T;, um 0, und die Gerade dreht sich urn ihn rnit der Geschwindigkeit o, vollfiihrt also dieselbe Bewegung wie t' und t"

Wlhrend dieser Satz iiber das ,,Reiten" eines Winkels auf einer Zykloide oder einem Zykloiden- paar seit langem bekannt ist'), sei hier eine Be- merkung iiber die P o I k u r v e n dieser Bewegung geatattet, die neu zu sein scheint.

Zunlchst konnen nach Satz I die Strahlen t', t" durch zwei beliebige andere des Biischels P ersetzt werden (natiirlich samt den zugehorigen Zykloiden), ohne da6 die Bewegung verlndert wird. Wir wlh- len jene Strahlen tl und t ~ , die die Endpunkte SI, $3, des durch 0 gehenden Durchmessers von c mit P verbinden. t1 und 12 stehen aufeinander senkrecht, itnd ihre Hiillzykloiden 11, %a sind so gelegen, da13

1) C h n s l c s : ,,Apercu hi6to1'ique". (Briissel 18%).

immer ein Scheitel rler einen und ein Riickkehrpunkt der anderen auf einem Strahl durch 0 liegen.

Das M o m e n t a n z e n t r u m Z erhglt man nun, wenn man in den Beriihrungepunkten TI, 2'1 der Schenkel t l , tr rnit den zugehbrigen Zykloiden z l , zr die Normalen errichtet und zum Schnitt bringt. D i m Normalen umhiillen qi5m Laufe der Beweping die Evoluten von z1 und ZZ, das sind bekanntlich zii z1 und za ihnliche Zykloiden, die iiberdies die- sclbe egenseitige Lage haben wie %[ und ZZ. I)a dieaormalen wie tl und t l senkrecht aufeinander titehen, ergibt sich mit BenUtzung von Satz I fur den Ort der Punkte 2 - also fur die R a s t p o l - b a h n -- eine zur Bahntrochoide von P Phnliche T r o c h o i d e.

Denkt man sich 21 durch Rollung eines Kreises auf einem festen (fl) erzeugt, so kann die genannte Normale leicht gezeichnet werden, da sie durch den Bertihrungspunkt NI des Rollkreises mit 1, gehen mu6; NI liegt rnit SI auf einem Strahl durch 0. Entsprechend erhilt man einen Punkt Nr der anderen Normalen auf dem Fixkreis t o von ZZ.

Nunmehr lP5t sich auch leicht eine Aussage Uber die G a n g p o l b a h n - d. i. der Ort vou Z imbe- w e e n System (11 t a ) - machen. Man liest au6 der Flgur unmittslbar die Koordinaten t,, tr von Z im Achsenkreuz 21, t~ ab;

t l = 5 x . sinpl, t , = b ~ - c o s ~

und erkennt die Gangpolbahn ah E 11 i p 8 e ').

S a t z 11. Das Gleiten eines festen Winkels an zwei konzentrischen ihnlichen Zykloiden ltl6t sich i. a. durch das Abrollen einer Ellipse auf einer Trochoide ersetzen; letztere ist lhnlich zur Bahn des Winkelscheitels.

Einen Sonderfall erhilt man, wenn Irl und ka zu- Jammenfallen, so da6 c auf einen Punkt zusammen- schrumpft. Es handelt sich dann urn eine gew6hn- liche Kreisrollung: Der Mittelpunkt P des Roll- kreises beschreibt einen Kreis, die Durehmesser des Rollkreises umhiillen (kongruente) Zykloiden.

Ein anderer Sonderfall ergibt sich' durch das Zu- earnmenfallen von kl rnit tl oder k ) rnit tl. Dann wird eine -4chse der Ellipse gleich Null, und es han- delt sich urn die Bewegung beim Abwickeln einer Zykloide.

also beim Glei- ten eines Zyftloidenpaares an fe; Schenkeln dee festen Winkels - beschreibt der gemeineame Mittel- punkt 0 der Zykloiden eine E l l i p s e ; man ent- nimmt nlmlich aus der Fi ur unmittelbar die Koor- dinaten von 0 im Acbeeareuz 11, t;:

Bei der um ekehrten Bewegun

Ohne Beweis sei noch bemerkt, da6 sich das Gleiten eines festen Winkels an zwei konzentrischen, Shnlichen (auch kornplexlhnlichen' P s e u d o - z y k l o i d e n ' ) i. a. durch daa Abrollen einer H y p e r b e l auf einer P s e u d o t r o c h o i d e er- setzen 1l13t. Fiir die Bahnkurve des gemeinsanieii Mittelpunktes der Pseudozykloiden bei der umge- kehrten Bewegung ergibt sich eine H y p e r b e 1.

Walter W u n d e r l i c h (Wien). 625

Da entsprechendc Stiicke von Rast- und Gaugpolbahii nleich latilt siiid. . laBt sich within zu jedem Trochuideii- bogrn iiilsrhwcr eiit Ellipseril)ogen Kleicher Liinge ongelwit.

3) W ii I f I i i i g : ..Cber Pspiiclo~I.ochuiclc.ii", Zcilschrift 1. M. U. rib., DL 44 ( i e w .