© 2005 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim DOI:10.1002/piuz.200501059 Nr. 1 | 36. Jahrgang. 2005 | Phys. Unserer Zeit | 33

K R E I S E L N D E B Ü R O K L A M M E R N | S PI E LW I E S E

Bei der Realisation bediene man sich einer Büroklammeraus möglichst weichem Draht. Diese lässt sich sogar ohneZange verformen. Auf die genaue Einhaltung des Winkelsund der Kreisform kommt es nicht an. Wesentlich ist nur,dass der Schwerpunkt in der Achse liegt. Übrigens lassensich noch viele weitere Kreiselformen realisieren [2].

Ungewöhnlich einfach ist die Konstruktion eines Steh-aufkreisels aus einer Büroklammer (Abbildung 2), die wirnur bei Yoshio Kamishina gesehen haben [3]. Wie aus derAbbildung ersichtlich, fällt der Schwerpunkt des Kreiselsnicht mit dem Mittelpunkt des äußeren Kreises zusammen.Das ist ein charakteristisches Konstruktionsmerkmal desklassischen Stehauf- oder Wendekreisels, der normalerwei-se aus einem Kugelteil mit Stift besteht. Das Andrehen die-ses Stehaufkreisels ist etwas mühsam,da man ihn außen amKreisrand anfassen muss und deswegen keine sehr hoheDrehzahl erreicht. Der Effekt ist jedoch deutlich sichtbar.Etwas besser geht es, wenn man mit den Zeigefingern (je-weils in entgegengesetzte Richtung) gegen die gegenüber-liegenden Seiten des Kreisels stößt. Aber das muss man etwas üben. (Ein kurzes Video finden Sie auf www.phiuz.de unter „Zusatzmaterialien zum Heft.“)

Für das Verhalten des Stehaufkreisels gibt es leider kei-ne einfache Erklärung, die sich mit wenigen Sätzen formu-lieren lässt. Seit fast hundert Jahren bemühen sich Physikerin diversen Veröffentlichungen um eine zutreffende Be-schreibung. Dabei lassen sich nur wenige anschaulicheAspekte aus den oft komplexen mathematischen Aus-drücken herausholen. Als anspruchsvolle Übungsaufgabe

Büroklammern sind allgegenwärtig. Sie tau-gen aber nicht nur dazu, Ordnung im Papier-stapel zu schaffen, sondern lassen sich auchfür verblüffende physikalische Experimenteeinsetzen. So geben sie einfache Kreisel abund veranschaulichen die Formen von Kettenund Hängebrücken.

Dem Norweger Johan Vaaler wird die Erfindung derBüroklammer zugeschrieben. Doch patentieren ließ

er sie 1899 in Deutschland, weil es in Norwegen kein Pa-tentamt gab. 1999 erschien eine Briefmarke zum Gedächt-nis dieser epochalen Erfindung. Vaaler vermarktete seineErfindung nicht. Das geschah kurze Zeit später in den Ver-einigten Staaten. Dort beruft man sich auf ein noch frühe-res USA-Patent. Mittlerweile gibt es eine Vielzahl unter-schiedlicher Formen von Büroklammern, Milliarden wer-den jährlich verbraucht.

Kreisel aus BüroklammernWie kann man aus einer Büroklammer in einem Stück inmöglichst einfacher Weise einen Kreisel herstellen? TakaoSakai aus Japan hat einige interessante Möglichkeiten be-schrieben [1]. Man biege den Draht der Büroklammer aufeinem Kreis um eine Achse, so dass der Schwerpunkt desKreisels in der Kreiselachse liegt, die wiederum aus zweiHalbachsen besteht (Abbildung 1). Dazu muss der Winkelβ zwischen den Speichen gerade eine Größe von 53,13°haben. Diesen Winkel zu berechnen ist eine schöne Aufgabefür Physikstudenten im ersten Jahr ihres Studiums (siehe„Der Schwerpunkt des Kreisels“, S. 34).

Spielwiese

Die kreiselnde BüroklammerCHRISTIAN UCKE | H. JOACHIM SCHLICHTING

Abb. 1 Ein Kreisel, der sich aus einerBüroklammer biegen lässt.

Abb. 2 Ein Stehaufkreisel aus einergrößeren Büroklammer.

I N T E R N E T |Video eines Kreisels www1.physik.tu-muenchen.de/~cucke/ftp/lectures/sakaigir.htm

Programmewww.interactivephysics.com/www.ipn.uni-kiel.de/persons/michael/xyzet/

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für fortgeschrittene Physikstudierende ist der Stehaufkrei-sel in [4] abgehandelt.

Ketten aus BüroklammernWelche Kurvenform nimmt eine Kette (ein flexibles Kabeloder ein Seil) an, wenn man sie an beiden Enden aufhängt?Diese Frage stellte sich schon Galileo Galilei – und beant-wortete sie falsch, indem er auf eine Parabel tippte. Erst ge-gen Ende des 17. Jahrhunderts leiteten die Brüder Jacobund Johann Bernoulli sowie Gottfried Wilhelm Leibniz dierichtige Form ab. Es handelt sich um die Funktion cosinushyperbolicus (cosh), die auch als Summe zweier Exponen-tialfunktionen ausgedrückt werden kann. Die Ableitung derKettenlinie findet sich in vielen Lehrbüchern der Mathe-matik oder Mechanik und wird deshalb hier nicht wieder-gegeben.

Mit einigen Büroklammern lässt sich die Kettenlinie gutrealisieren. Bei wenigen Büroklammern spielt die Länge unddie Verbindung zwischen den Klammern noch eine Rolle.Je mehr man verwendet, umso besser ist die Annäherungan die ideale Kurve. In Abbildung 3 sind die ideale Ketten-linie und eine Parabel gleicher Länge über eine Kette mit16 Büroklammern gelegt. Deutlich erkennbar stimmt dierote Kettenlinie mit der Büroklammerkette überein, dieblaue Parabel hingegen nicht. Der Unterschied zwischenKettenlinie und Parabel ist besonders markant bei einem re-lativ starken Durchhang wie in Abbildung 4.

Hängt an jedem Glied einer Kette ein im Verhältnis zurMasse eines Kettenglieds sehr große Masse, wie es bei-spielsweise bei Hängebrücken der Fall ist, verändert sichdie Kettenlinie tatsächlich in eine Parabel (siehe „Die Hän-gebrückenparabel“). Auch das lässt sich mit Büroklammernrealisieren. In Abbildung 4 ist dieselbe Kette aus Büro-klammern wie in Abbildung 3 mit Massestücken versehen,wozu sich Büroklammern ebenfalls gut eignen. Es wurdengenügend lange Ketten von Büroklammen genommen, de-ren Masse um mindestens den Faktor 20 größer war als dieMasse einer Büroklammer in der Kette von 0,37 g. Die Zahl

D E R S C H W E R P U N K T D E S K R E I S E L S |Den optimalen Winkel zwischen denSpeichen des Kreisels ermittelt manwie folgt. Wird der Winkel zwischenden Speichen zu groß oder zu klein,liegt der Gesamtschwerpunkt nebendem Kreismittelpunkt. Zur Ermittlungdes korrekten Winkels kann man sichauf die Berechnung des Schwerpunktsder beiden Speichen und des gegen-überliegenden, kleinen Kreisbogensder Länge s beschränken. Die anderenTeile des Kreisbogens (rot markiert)sind symmetrisch zum Kreismittel-punkt und brauchen deshalb nichtberücksichtigt zu werden. Es ist für die Berechnung günstig, den halbenSpeichenwinkel α einzuführen.

In der rechten Abbildung sindSpeichen und Kreisbogen herausgeho-ben. Der Kreismittelpunkt sei derNullpunkt des Koordinatensystems.Der Abstand des Schwerpunkts desKreisbogens vom Nullpunkt betragex1. Ist s die Länge des Kreisbogens,berechnet sich wegen der Symmetrie

zur x-Achse der Schwerpunkt mit demLinienintegral

Sind ρ die Dichte des Drahtmaterialsund A der Querschnitt des Drahtes,dann ist die Masse des Kreisbogens m1 = s⋅ρ⋅A. Bezüglich des Nullpunkteserzeugt der Kreisbogen ein Moment

M1 = m1·x1 = 2·r 2·sinα·ρ·A.

Der Schwerpunkt der Speichen liegtbei x2 = r/2·cosα, die Masse beträgt m2 = 2⋅r·ρ·A. Das von den Speichenerzeugte Moment bezüglich desNullpunktes ist

M2 = m2⋅x2 = r 2⋅cosα·ρ·A.

Aus dem Gleichsetzen beider Momen-te ergibt sich tanα = 0,5, das heißt α = 26,565°. Der Winkel zwischen denSpeichen ist dann β = 2α = 53,13°.

xx ss

sr r r

s

1

21 2

= ∫

= ⋅ ⋅ ⋅ =∫ ⋅

d

cos sin –

ϕ ϕ α.α

αd

Der Büroklammerkreisel in der Aufsicht.

Zur Berechnung des Schwerpunkteswerden nur noch die Speichen undder gegenüberliegende Kreisbogenbetrachtet.

<<< Abb. 3 Kettenlinie mit 16 Büroklammern.

<< Abb. 4 Parabel mit 16 Büroklammern undGewichten. Eine idealeParabel (blau) wurdedarüber gelegt.

< Abb. 5 Simulation vonKettenlinie und Parabelmit Interactive Physics.

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der Büroklammern (also die Größe der Masse) muss in ei-nem bestimmten Verhältnis zur Steigung des betreffendenAbschnitts der Kettenlinie stehen. Je näher ein Kettengliedam Aufhängepunkt liegt,umso weniger darunter hängendesGewicht (beispielsweise von der Straße) muss es tragen.

Zu erkennen ist in diesem Fall die Übereinstimmungmit der Parabel (blau). Durch die an den unteren Ketten-gliedern hängenden relativ großen Gewichte wird die Kur-ve gegenüber der Kettenlinie am unteren Punkt weiter nachunten gezogen.

Mit Physik-Simulationsprogrammen wie Interactive Phy-sics oder XYZet (siehe „Internet“, S. 33) lassen sich die be-schriebenen Sachverhalte ebenfalls sehr schön veran-schaulichen. Ein Simulationsprogramm,das im Rahmen vonXYZet läuft, finden Sie auf www.phiuz.de unter „Zusatzma-terialien zum Heft“. In Abbildung 5 sind simulierte 16-glied-rige Ketten übereinander gelegt: ohne Gewichte (dicke,rote Kettenlinie), die mit entsprechenden Gewichten ver-sehene „Hängebrücke“ (dicke,blaue Parabel) und eine idea-le Parabel (dünne, grüne Linie). Bei einer realen Hänge-brücke sind allerdings die Abstände der Haltekabel für dieStraße gleich groß. Auch das kann man natürlich mit demProgramm simulieren. Bei dieser Abbildung sind gerade dieAbstände der Angriffspunkte der Kabel für die Straße aufdem (Büroklammer-)Tragekabel gleich groß.

Im Internet finden sich unter den Begriffen Kettenlinie,Katenoide oder catenary viele Hinweise sowohl geschicht-licher Art als auch zu Ableitungen. Außerdem gibt es sehranschauliche Applets, die den Unterschied zwischen derKettenlinie und der Parabel verdeutlichen.

Zusammenfassung Mit Büroklammern lassen sich einfach und schnell physika-lische Experimente realisieren. Vorgestellt werden zwei un-gewöhnliche Kreisel (darunter ein Stehaufkreisel), die sich inwenigen Minuten biegen lassen. Weiterhin lässt sich mit Büro-klammern die schon von Leibniz abgeleitete Kettenlinie simu-lieren. Mit etwas Mehraufwand lässt sich eine „Hängebrücke“bauen, bei der sich für das Tragkabel eine Parabel als Kur-venform ergibt. Im Internet sind Programme verfügbar, mitdenen sich Kettenlinie und Hängeparabel simulieren lassen.

StichworteKreisel, Büroklammer, Hängebrücken, Kettenlinie,Katenoide.

Literatur [1] T. Sakai, Mathematical Sciences, 1986, 271 (1), 18 (in japanisch).[2] C. Ucke, Phys. Bl. 1998, 54, 440.[3] Y. Kamishina, Proceedings of International Workshop on Hands-On

Activities for In-School and Out-of-School Learners Focusing on theMarginalized Youth, Pattaya, Thailand 1999.

[4] F. Kuypers, Klassische Mechanik, 6. Auflage, Wiley-VCH, Weinheim2003.

Die Autoren Christian Ucke und Hans-Joachim Schlichting verfassen seit rund zehn JahrenArtikel für die Serie Spielwiese.

AnschriftenDr. Christian Ucke, Techn. Univ. München, FMI, Abt. Physik, Boltzmannstr. 3,85748 Garching. ucke@tum.deProf. Dr. Hans-Joachim Schlichting, Didaktik der Physik, Universität Münster,48149 Münster. schlichting@uni-muenster.de

D I E H Ä N G E B R Ü C K E N PA R A B E L |Stark vereinfacht und idealisiert lässtsich die Form der Kurve von Trage-kabeln bei Hängebrücken wie folgtableiten. In einen Punkt P des Trage-kabels einer Hängebrücke wirken dreiKräfte, deren vektorielle Addition sichgerade aufheben muss (Abbildung).Als Erstes wirkt die Gewichtskraft Gdes Straßenteils der Länge x senkrechtnach unten. Als Zweites wird durchdie Spannung des Kabels eine hori-zontale Kraft S ausgeübt. Diese istüber das ganze Kabel hinweg kon-

stant. Als Drittes wirkt eine Kraft F inRichtung der Tangente des Kabels.Diese Tangentialkraft entsprichtgerade der Steigung im Punkt P.

Sei nun µ das Gewicht pro Län-geneinheit der am Kabel hängendenStraße. Der Koordinatenursprung 0liege im Fußpunkt der Kurve. Dann ist das am Punkt P angreifendeGewicht G gerade gleich µx. Bezeich-nen wir mit y die Höhe des Kabels im Punkt x, dann ist die Steigung indiesem Punkt

Daraus erhalten wir durch Integration

Da der Koordinatenursprung 0 imFußpunkt der Kurve liegt, muss dieIntegrationskonstante C = 0 sein. Fürdie Form der Kurve ergibt sich somiteine Parabel.

y xS

xS

x C.= ⋅ = +∫ µ µ d2

2

y G

Sx

S’ .= = ⋅µ

Bei einer Hängebrücke ergibt sich als Kurvenform für das Tragekabeleine Parabel.

ZZuumm TThheemmaa

KKllaassssiisscchhee MMeecchhaanniikk,, 66.. AAuuffllaaggeeF. Kuypers, Wiley-VCH,Weinheim 2003, 665 S.,Broschur. 44,90 f. ISBN 3-527-40474-0