Die Newtonschen AxiomeDie Newtonschen Axiome

Johann LangreiterJohann LangreiterDidaktik der PhysikDidaktik der Physik

24-01-200624-01-2006

Was sind Axiome?Was sind Axiome?Axiome sind nicht beweisbare grundlegende

Lehrsätze, die zusammen mit anderen, die Grundlage

zur Beschreibung komplizierter Zusammenhänge bilden.

Axiomensystem soll minimal sein.

Achtung:

Ergebnisse müssen nicht mit der „realen“ Welt übereinstimmen.

Es darf nur keine logischen Widersprüche oder Unbeständigkeiten geben.

Parallele zur MathematikParallele zur Mathematik

Axiome der Geometrie (Euklid)

Axiome der Mechanik (Newton)

Mathematik (Vorteil):

Euklids 3-D-Welt existiert nur in unseren Köpfen.

Physik:Axiome müssen auch in der „realen“ Welt gelten, sonst sind sie unbrauchbar.

Newton und seine ArbeitNewton und seine Arbeit

Sir Isaac NEWTONPhysiker, Mathematiker, Astronom

(1643 – 1727)

Newton 1: TrägheitsprinzipNewton 1: Trägheitsprinzip

Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn keine resultierende äußere Kraft auf ihn einwirkt(die resultierende Kraft ist die Vektorsumme aller Kräfte, die an einem Körper angreifen):

F = Σ Fi = 0i

Newton 2: AktionsprinzipNewton 2: Aktionsprinzip

Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt:

a = oder F = maF__m

Newton 3: ReaktionsprinzipNewton 3: ReaktionsprinzipKräfte treten immer paarweise auf. Wenn Körper A eine Kraft auf Körper B ausübt, so wirkt eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A.

Axiome in der „realen“ WeltAxiome in der „realen“ Welt

Newton 1: Körper bleibt ewig in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. nicht prüfbar!

Newton 2: Die Begriffe Masse und Kraft werden im Axiom nicht erklärt.

Man kann nur die Nettokraft berechnen, keine einzelnen Kräfte!

Gelten die Axiome in der „realen“ Gelten die Axiome in der „realen“ Welt überhaupt?Welt überhaupt?

Ein interessierter Schüler behauptet:

„Früher als unsere Mutter mich und meinen Bruder mit dem Schlitten gezogen hat, war ihre Geschwindigkeit auch annähernd konstant und trotzdem brauchte sie ständig Kraft um den Schlitten in Bewegung zu halten.“

Gelten daher die Newtonschen Axiome nicht?

Beispiel: Kräfte am SchlittenBeispiel: Kräfte am SchlittenZwei Kinder werden auf einem Schlitten gezogen:

Winkel zur Horizontalen

α = 40°

Masse Kinder, Schlitten

mK = 45 kg mS = 5 kg

Haft-, Gleitreibung

μH = 0,2 μG = 0,15

Was passiert bei einer Zugkraft von 100 N?

Lösung: Kräfte am SchlittenLösung: Kräfte am Schlitten1. Zerlegung der Zugkraft:

Vertikal: Zy = Z*sin40° = 100 N *0,643 = 64,3 N

Horizontal: Zx = Z*cos40° = 100 N *0,766 = 76,6 N

2. Bestimmung der Normalkraft:FN + Zy –mg = 0 FN = mg – Fy =50 kg * 9,81 m s-2 – 64,3 N = 426 N

3. Bestimmung der Haftreibungskraft:FH,max = μH*FN = 0,2 * 426 N = 85,2 N

Schlitten bleibt in Ruhe, da FH,max größer als Zx.

Die Axiome gelten!Die Axiome gelten!

Wir sehen:

Die Alltags-Erfahrung lehrt uns, dass man anfangs tatsächlich eine Kraft braucht, um den Schlitten überhaupt in Bewegung zu setzen.

Obwohl jemand eine Kraft auf den Schlitten ausübt, heißt das noch lange nicht, dass sich der Schlitten bewegt.Der Schüler hatte vergessen, dass auch andere Kräfte wirksam sind, außer der Zugkraft.

Ist Newton 1 ein Ist Newton 1 ein Spezialfall von Newton 2?Spezialfall von Newton 2?

Wozu brauchen wir dann Newton 1?

a = = 0 v ist konstant.dv__dt

Das erste Newtonsche Axiom definiert das Inertialsystem.Es erklärt somit, wo die Newtonschen Axiome gelten!

Inertialsystem = Impuls eines MP ohne Ww bleibt erhalten.

Nicht-InertialsystemeNicht-Inertialsysteme

Ein Nicht-Inertialsystem ist ein beschleunigtes Bezugssystem.

Beispiel:

Man stößt einen Holzklotz auf einer rotierenden Scheibe reibungsfrei an. Die Bahn, die dieser Klotz beschreibt, wird mit Sicherheit in Bezug auf die Scheibe keine geradlinige sein.

=> kein Inertialsystem

Newton 1 und 2Newton 1 und 2

Die ersten beiden Axiome beschäftigen sich mit einem Körper.

Was sagen sie aus?

Die ersten beiden Axiome erklären, wie sich ein Körper verhält, wenn eine Nettokraft wirkt. Diese Nettokraft kann auch null sein.

NettokraftNettokraft

Als Nettokraft bezeichnet man die Vektorsumme aller wirkenden Kräfte.

Probleme:Aus den ersten beiden Newtonschen Axiomen erhalten wir lediglich die Nettokraft. Wir wissen nicht woher die Kräfte kommen und auch nicht wie viele separate Kräfte wirken.

Selbst wenn die Nettokraft gleich null ist, können wir nicht behaupten, dass keine Kraft wirkt. Wir wissen lediglich, dass sich die Kräfte kompensieren.

Newton 3Newton 3

Das dritte Axiom ist ein Zwei-Körper Axiom:

Kräfte treten in einem abgeschlossen System immer paarweise auf.

Übergang vom einzelnen Massenpunkt zu einem System von Massenpunkten

Wichtigste Konsequenz:

Es ermöglicht:

Häufige FehlinterpretationHäufige Fehlinterpretation

Richtig:

Falsche Folgerung:

Kräfte treten in einem abgeschlossen System immer als Kraft-Gegenkraft-Paar auf.

Kraft und Gegenkraft sind bekanntlich betragsmäßig gleich und entgegengesetzt gerichtet, daher heben sie sich immer auf!

Was ist am Gedanken falsch?Was ist am Gedanken falsch?

Richtigstellung:Kraft und Gegenkraft können sich niemals aufheben, weil sie auf verschiedene Körper wirken!

Kräfte am TischKräfte am Tisch

Block spürt nach unten wirkende Kraft FG. (Erde)

Körper übt die Kraft FG‘ = -FG auf die Erde aus.

Einzigen Kräfte Block nach unten, Erde nach oben beschleunigt

Zusätzlich wirkt aber FN, diese gleicht die Gewichtskraft der Blockes aus (nicht FG‘!)

FN‘ wirkt vom Körper auf den Tisch.

Kräftegleichgewicht (Beispiel)Kräftegleichgewicht (Beispiel)

FG = 8 N

Welche Zugkraft ist größer FS,1 oder FS,2?

Kräftegleichgewicht (Lösung)Kräftegleichgewicht (Lösung)

FS,1 + FS,2 + FG = 0

Fx = FS,1 cos 30° - FS,2 cos 60°+ 0 = 0

Fy = FS,1 sin 30° + FS,2 sin 60°+ FG = 0

FS,2 = FS,1 * = FS,1 * √3cos 30°cos 60°

FS,1 sin 30° + (FS,1* √3) sin 60°+ FG = 0

FS,1 = ½ FG = 4 N

FS,2 = Fs,1 * √3 = 6,93 N

Der Begriff „Kraft“Der Begriff „Kraft“Eine Kraft kann als Stoß oder Zug definiert werden. Sie ist das Ergebnis einer Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlichen Körpern.

Eine Kraft kann wirksam sein :

durch direkten Kontakt jemand zieht einen Schlitten.

ohne direkten Kontakt zwei Magnete ziehen sich an.

WICHTIG: Kräfte treten immer als Paare auf!

Sieht man, dass Kräfte wirken?Sieht man, dass Kräfte wirken?Einem Körper auf den Kräfte wirken, kann eines oder mehrere folgender Dinge widerfahren:

1. Er ändert seine Form.

2. Er beginnt sich zu bewegen.3. Er beschleunigt.

4. Er wird abgebremst oder bleibt stehen.

5. Er ändert die Richtung, in die er sich bewegt.

ODER

6. Es passiert nichts, weil sich die Kräfte ausgleichen!

v ↑↑ av ↓↑ a≮ (v,a)

KurzdefinitionKurzdefinition

Als physikalischer Fachbegriff bezeichnet Kraft die Fähigkeit die Bewegung eines Körpers zu ändern (Richtungsänderung oder Beschleunigung) oder einen Körper zu verformen.

Diese Definition vereinigt alle Punkte der vorigen Folie.

Die Einheit der KraftDie Einheit der Kraft

Die Einheit der Kraft ist 1 N (Newton).

1 N ist jene Kraft, die man benötigt um einen Körper mit der Masse von 1 kg, eine Beschleunigung von 1 m s-2 zu verleihen.

1 N = 1 kg * ms-2

MasseMasseDie Masse (genauer: die träge Masse) ist die jedem Körper innewohnende Eigenschaft, sich einer Beschleunigung zu widersetzen.

F = m0a0 = m1a1 = m0

m1a1

a0

Das GravitationsgesetzDas GravitationsgesetzTycho Brahe

(1546 – 1601)Messungen

Johannes Kepler(1571 – 1630)

Auswertung

Isaac Newton(1643 – 1727)

Gravitationsgesetz

Gravitation: Newton 4?Gravitation: Newton 4?Nein!:

Das Gravitationsgesetz ist eine Formel zur Berechnung des Zahlenwertes einer speziellen Kraft.

Newton berechnete die Abweichung der Mondbahn von einer geradlinigen Bewegung pro Sekunde (1,3 mm).

Axiome können keine solchen Ergebnisse liefern.

Außerdem gelten die Axiome nur im Inertialsystem!

Das MinuszeichenDas MinuszeichenDas Minuszeichen im Gravitationsgesetz soll darauf hinweisen, dass die Kraft anziehend ist.

Zwei-Körper-Problem: F1 + F2 = 0

F1 = – Gm1m2

r2

Gm1m2

r2F2 = +

Herleitung aus Epot: Epot = – Gm1m2

r ?

Empfehlung:Empfehlung:

|F1| = Gm1m2

r2Betrag:

Vektor: F12 = – Gm1m2

r122

r12

r12

ENDEENDE

Ich danke für Ihre Aufmerksamkeit!