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ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN. Band 244. Nr. 5837. 5. Die Opazitat eines entarteten Gases. Von D. S. Kothrz' und R. C. Majzcmdar. Eine vorlaufige Ableitung des Opazitatskoeffizienten nach der halbklassischen Kramersschen Methode wurde kurz- lich in den A. N.l) gegeben. Die vorliegende Arbeit ist eine Fortsetzung und enthalt eine eingehende Untersuchung des Opazitatsproblems. In den Abschnitten I und 2 wird der Fall der hyperbolisch-hyperbolischen Ubergange behandelt. Die Form des Opazitatsgesetzes fiir den relativistischen Fall wird ebenfalls abgeleitet. Es sei vorweggenommen, daf3 im ent- arteten Gas im nichtrelativistischen Fall die Opazitat pro- portional r/Ta und unabhiingig von der Dichte ist. In Ab- schnitt 3 wird der Beitrag der hyperbolisch-elliptischen fjbergange zur Opazitat bestimmt, und zwar unter Be- rucksichtigung der Ionisationsverhaltnisse stellarer Materie im entarteten Zustand. I. Der Opazitatskoeffizient fur Nichtentartung ist von Eddingtona) und MiZnea) nach der zuerst von Kramed) gegebenen Methode berechnet worden. Gaunt') hat dasselbe Problem von einem strengeren wellenmechanischen Stand- punkt aus im einzelnen behandelt. Wir wollen hier den Wert des Koeffizienten fur Entartung bestimmen. Wir betrachten ein Gemisch von ionisierten Atomen (Ladung Ze) und freien Elektronen bei der Temperatur T. In einem solchen System kommt es zu einer Emission I. wenn ein freies Elektron, das mit einem ionisierten Atom ,zusammenstoDtc, von einer Hyperbelbahn zu einer anderen von geringerer Energie iibergeht - hyperbolisch-hyper- bolischer ubergang ; 2. wan ein freies Elektron in ein Bnergieniveau des ionisierten Atoms eingefangen wird - hyperbohch-elliptischer Uber- gang. Wir nehmen an, daD die freien Elektronen der Fermi- Dirac-Statistik gehorchen. Es sei Bo(B', V) der Betrag der Emission von Strahlung der Frequenz v pro Elektron und pro ionisiertes Atom fur freie Elektronen der Anfangsenergie (vor der Emission) E' und es sei %(E, V) der Betrag der Absorption pro Elektron und pro ionisiertes Atom fur Elektronen der Anfangsenergie (vor der Absorption) E, welche einer Strahlung der Intensitat eins und der Frequenz v ausgesetzt sind. Wenn B>o, so ist das Elektron anfknglich frei, und wenn E<o, so ist es anfiinglich gebunden. Wir beschrlnken uns in diesem und dem folgenden Abschnitt auf Ubergange der Art (I), d. h. E>o. Es gilt Die Emission von Strahlung der Frequenz v pro Volumeinheit E'=E+hv. (1) der Materie ist das Produkt von B,,(E', v) mit folgenden Faktoren: Zahl der ionisierten Atome 6, pro Volumeneinheit = Nz, Zahl der Elektronen mit der Energie E' pro Volumein- heit =n(E'), I - Dichte der die Elektronen darstellenden Punkte in dem Teil des Phasenraumes, der der Energie E entspricht I + Dichte der die Lichtquanten darstellenden Punkte in dem Teil des Phasenraumes, der der Energie hv ent- spricht. Die beiden letzten Terme sind die wesentlichen Zuge der neuen Statistik und geben die Abweichung gegenuber der klassischen Behandlungsweise. Nun ist (wenn nicht ausdriicklich erwiihnt, beschrhken wir uns auf Geschwindigkeiten. die so klein sind. daD jede =I -D(E), " Relativitatskorrektion vernachlassigt werden kann) n(E) = a (E) I - eElKT+ I A Ferner gilt (4 I D(E) = - = eE/KT+ I ' A Damit wird die Emission (3) (4) Entsprechend erhalten wir fiir die Absorption pro Volumen- einheit des Materials wobei I(v, T) die Intensitat der Strahlung der Frequenz v bei der Temperatur T ist. (7) . zAv3 I I(v, T) = __ * ca ehrlfl-I . 1) Mujumdar. AN 243.5 (1931). 4) K~UWYS. Phil. Mag. 46.836 (1923). 0) Die ionisierten werden wegen ihrer grof3en Masse als nichtentartet behandelt. *) Bddingtor. MN 84.104 (1924). *) Milnc. MN 85.750 (1925). 6) Guunt. Phil. Trans. Roy. SOC. A 229.163 (1930).

Die Opazität eines entarteten Gases

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Page 1: Die Opazität eines entarteten Gases

ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN. Band 244. Nr. 5837. 5.

Die Opazitat eines entarteten Gases. Von D. S. Kothrz' und R. C. Majzcmdar. Eine vorlaufige Ableitung des Opazitatskoeffizienten

nach der halbklassischen Kramersschen Methode wurde kurz- lich in den A. N.l) gegeben. Die vorliegende Arbeit ist eine Fortsetzung und enthalt eine eingehende Untersuchung des Opazitatsproblems. In den Abschnitten I und 2 wird der Fall der hyperbolisch-hyperbolischen Ubergange behandelt. Die Form des Opazitatsgesetzes fiir den relativistischen Fall wird ebenfalls abgeleitet. Es sei vorweggenommen, daf3 im ent- arteten Gas im nichtrelativistischen Fall die Opazitat pro- portional r / T a und unabhiingig von der Dichte ist. In Ab- schnitt 3 wird der Beitrag der hyperbolisch-elliptischen fjbergange zur Opazitat bestimmt, und zwar unter Be- rucksichtigung der Ionisationsverhaltnisse stellarer Materie im entarteten Zustand.

I. Der Opazitatskoeffizient fur Nichtentartung ist von Eddingtona) und MiZnea) nach der zuerst von Kramed) gegebenen Methode berechnet worden. Gaunt') hat dasselbe Problem von einem strengeren wellenmechanischen Stand- punkt aus im einzelnen behandelt. Wir wollen hier den Wert des Koeffizienten fur Entartung bestimmen.

Wir betrachten ein Gemisch von ionisierten Atomen (Ladung Ze) und freien Elektronen bei der Temperatur T. In einem solchen System kommt es zu einer Emission I. wenn ein freies Elektron, das mit einem ionisierten Atom

,zusammenstoDtc, von einer Hyperbelbahn zu einer anderen von geringerer Energie iibergeht - hyperbolisch-hyper- bolischer ubergang ;

2. w a n ein freies Elektron in ein Bnergieniveau des ionisierten Atoms eingefangen wird - hyperbohch-elliptischer Uber- gang.

Wir nehmen an, daD die freien Elektronen der Fermi- Dirac-Statistik gehorchen.

Es sei Bo(B', V) der Betrag der Emission von Strahlung der Frequenz v pro Elektron und pro ionisiertes Atom fur freie Elektronen der Anfangsenergie (vor der Emission) E' und es sei %(E, V ) der Betrag der Absorption pro Elektron und pro ionisiertes Atom fur Elektronen der Anfangsenergie (vor der Absorption) E , welche einer Strahlung der Intensitat eins und der Frequenz v ausgesetzt sind. Wenn B>o, so ist das Elektron anfknglich frei, und wenn E<o, so ist es anfiinglich gebunden. Wir beschrlnken uns in diesem und dem folgenden Abschnitt auf Ubergange der Art (I), d. h. E>o. Es gilt

Die Emission von Strahlung der Frequenz v pro Volumeinheit E'=E+hv . (1)

der Materie ist das Produkt von B,,(E', v) mit folgenden Faktoren:

Zahl der ionisierten Atome 6, pro Volumeneinheit = Nz, Zahl der Elektronen mit der Energie E' pro Volumein-

heit =n(E'), I - Dichte der die Elektronen darstellenden Punkte in dem

Teil des Phasenraumes, der der Energie E entspricht

I + Dichte der die Lichtquanten darstellenden Punkte in dem Teil des Phasenraumes, der der Energie hv ent- spricht.

Die beiden letzten Terme sind die wesentlichen Zuge der neuen Statistik und geben die Abweichung gegenuber der klassischen Behandlungsweise.

Nun ist (wenn nicht ausdriicklich erwiihnt, beschrhken wir uns auf Geschwindigkeiten. die so klein sind. daD jede

= I -D(E) ,

" Relativitatskorrektion vernachlassigt werden kann)

n ( E ) = a (E) I - eElKT+ I A

Ferner gilt (4 I D(E) = - =

eE/KT+ I ' A

Damit wird die Emission

(3)

(4)

Entsprechend erhalten wir fiir die Absorption pro Volumen- einheit des Materials

wobei I (v , T) die Intensitat der Strahlung der Frequenz v bei der Temperatur T ist.

(7) . z A v 3 I

I ( v , T ) = __ * ca e h r l f l - I .

1) Mujumdar. AN 243.5 (1931). 4) K~UWYS. Phil. Mag. 46.836 (1923). 0 ) Die ionisierten werden wegen ihrer grof3en Masse als nichtentartet behandelt.

*) Bddingtor. MN 84.104 (1924). *) Milnc. M N 85.750 (1925). 6) Guunt. Phil. Trans. Roy. SOC. A 229.163 (1930).

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Durch Gleichsetzung von ( 5 ) und (6) erhalten wir

oder (9)

wobei P unabhangig von E und E' ist, wiihrend g von E und E' abhangt. Wie wir sehen werden, ist g in guter An- niiherung gleich eins, ferner geht, wie zu erwarten, die Tem- peratur nicht in P ein.

Bevor wir zu einer genaueren Berechnung iibergehen, ist es vielleicht von Interesse, aus allgemeineren Betrach- tungen herzuleiten, wie die Opazitat von der Elektronendichte (n) und der Temperatur abhangen wird. Wegen (9) und (10)

konnen wir den MittelweKt fur die Wahrscheinlichkeit der Emission proportional r/l/E annehmen, wo E den Mittelwert der kinetischen Energie bezeichnet. R sei der bei einer Begeg- nung im Mittel ausgestrahlte Energiebetrag. Dan: ist die Ausstrahlung pro Masseneinheit proportional R n/lE und die Absorption pro Masseneinheit ist die gleiche. Um die Opazitat zu erhalten, miissen wir die absorbierte Energie durch die gesamte hindurchgehende Energie dividieren, welche pro- portional T 4 ist. Also

Rn T4VE *

Opazitat h) - Nun ist im Fall der Nichtentartung

R w T f i w T n

Opazitat w pa . ( 1 2 )

Dies ist das bekannte Ergebnis von Eddington.

gegeben durch Bei Entartung ist die Energie fi bei der Temperatur T

Das erste Glied der rechten Seite gibt die Nullpunktsenergie, die zur Ausstrahlung verfugbare Energie ist im zweiten Glied enthalten, d. h. RwT2/nyla, und damit wird die Opazitat N I/Ta.

Zur Vollstandigkeit sei hinzugefugt, daO im relati- vistischen Falle, d. h. wenn die kinetische Energie des Elek-

trons groB ist gegeniiber seiner Ruhmassenenergie m c2, der gleiche Gedankengang befolgt werden kann. Wir haben nur an Stelle von (3), (9) (10) und (13) zu setzen

P'g' 2 h va P'g' B,(E', v ) = - * - - - E'2 c2 vl0(E, v)=- E2 (1 5)

Die folgende Obersicht zeigt, wie sich die Opazitit in den vier verschiedenen Fallen verhllt :

Nichtrelativistisch Nichtentartung En tartung

2. Gaunt') hat die Berechnung von '$I,,(E, v) ausgefuhrt. Er findet

Der Faktor g ist sehr nahe eins, auOer in dem Bereich sehr hoher und sehr geringer Frequenzen; wenn v+o, so ist

( 2 1) Y3 g = - log (E/h v) 11

und fur v+m findet sich

Wie RosseZand bei der Berechnung der Opazitlt im Sterninneren ausgefiihrt hat, spielen diese extremen Bereiche keine wesentliche Rolle. Der in der Hauptsache wirksame Frequenzbereich liegt ungefahr zwischen aKT/A und 8KT/6.

Damit erhalten wir aus (6) und (17), wenn wir g = I annehmen, die Absorption bei der Frequenz Y fur alle n Elek- tronen

1) Guunts wellenmechanische Behandlung hat gezeigt, daB die Krumerssche Formel im allgemeinen giiltig bleibt, a d e r in dem Bereich extrem hoher und extrem geringer Frequenzen. Es ist aber bei der Kramcrsschen Methode wesentlich, daB die von dem Elektron bei der Begegnung ausgestrahlte Energie vie1 kleiner ist als die anfiingliche kinetische Energie des Elektrons, eine Bedingung, die mit den astro- physikalischen Anwendungen nicht vertriiglich ist. Diese Schwierigkeit ist durch Cuunts Untersuchungen behoben worden, worin gezeigt wird, daB Krumers' Ergebnis auch ohne diese EinschrHnkung giiltig bleibt.

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- 1 I

Z2 n 2.06 x I O - ~ ~ 3 pro Ion

I I u=E/KT a -- aa=ACv'KT

' - A

zz 6.49 x 10-a - TZ Bezeichnen wir den Absorptionskoeffizienten pro Ion bei der

Frequenz Y mit Ky, so folgt aus (26)

32?rsZ8es KT n As 3113-k~ (Av)* 2(2nmKT)'"

fur Nichtentartung. Die Mittelbildung nach der Methode von RosseZand liefert daraus die Opazitat KR

8nz n h2 Zae6a

( 2 7 ) .-. K, =

KR = 3 15 113 - ( 2 , m)# c ( K T ) ' ~ ( 2 8 )

a=1.073. (29) Dies ist ein Sonderfall des von Eddingfon gefundenen Ergeb- nisses und bezieht sich in seiner Bezeichnungsweise auf den Fall, daB die uGuillotinecc bei v,=E'/A fdlt. Wenn die Guil- lotine bei v,=E'/A fallt, betrachten wir nur die h.-h. Uber- gange ; dann wird der Reduktionsfehler von Eddingfon (Innerer Aufbau, S. 2 2 3 , GI. 160.3) 2* (=256). In diesem Fall wird der Bereich 6v (siehe seine G1.157.6) K T / 3 5 h an Stelle von ~ . 4 4 K T / h .

Im Fall der Entartung erhalten wir aus (26): r I 1

pro Gramm vollig ionisierter Eisen-

32rr2ZZes KT CrIKT X .-. Kv =

3V3'AC (hv)3 8 V I K T - . I

n 1.49 fi

I

Die Frequenz vcugKT/h hat das gr6Bte Gewicht bei der Bildung des RosseZandschen Mittels, zu diesem Zweck konnen wir daher setzen

atome (2=26) I 3.62 X IOBa i

vorausgesetzt, daL3

4.71 X 10" - 2-2

(35)

A,> > 8 . 3 . (36) Fur KR erhalten wir nach dem Verfahren von Rosseland

1 6 d Z 2 f a K R = 45v33'Ac&? T4 ' (37)

Wir fassen die verschiedenen FLlle in der folgenden Tabelle zusammen :

Opazitatskoeffizient I Nichtentartet 1 Entartet

KR (nichtent.) I

K R (entartet) 7 = - A o ,

3. Wir haben soweit nur die h.-h. Ubergange betrachtet und haben nun noch die h.-e. Ubergange zu beriicksichtigen. Es ist etwas schwierig, den Beitrag dieser h.-e. Ubergange zur gesamten Opazitiit abzuschatzen, aber wir werden sehen, daB bei Entartung dieser Beitrag nicht sehr betrachtlich ist.

-1.5 -1.0 -0.5 0 I .o Fig. I . .

5.

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Es sei B,'(B' , v) der Betrag der Emission von Strahlung der Frequenz V , pro Elektron und pro ionisiertes Atom, welcher von dem Einfang eines Elektrons mit der Anfangs- energie E' herriihrt; und "(E, v ) sei der Betrag der Ab- sorption von Strahlung der Frequenz v , der vqn Photo- Ionisation herriihrt, wobei das Elektron nach der Ionisation die Energie B' besitzt. (Im Abschnitt I haben wir diese Symbole ungestrichen benutzt ; gestrichene Symbole sollen sich immer auf h.-e. fjbergange beziehen).

Pro Volumeneinheit seien N, r-fach ionisierte Atome vorhanden. Wir betrachten zunachst die Absorption infolge der Photo-Ionisation eines anfangs r-fach ionisierten Atoms und die Emission infolge des Einfangs eines Elektrons durch ein (r + I)-fach ionisiertes Atom. Nach dem im Abschnitt I be- sagten kann man die Ausdrucke fur die Absorption und Emission in diesem Fall leicht angeben.

Absorption =Ny%o'(E,v) I ( v , T ) [I --)I n(E') . (40) (Photo-Ionisation) Setzen wir die beiden gleich und bedenken, daRl)

wobei 4,. das Gewicht des r-fach ionisierten Atoms bezeichnet, I,!I,. die Energie der 7-ten Ionisation und wo A wie iiblich durch 00

0

gegeben ist, so erhalten wir Bo'(E',v) 2 / 5 9 I

(42) _____ - -- . - U0'(E, v ) - c2 %(E')

P'g' 2hv3 B,'(E', v ) = 7 - - VE c2 (43)

9110'(E, v) = P"g'. (44) Mehr laBt sich durch thermodynamische Betrachtungen allein uber diese Koeffizienten nicht aussagen. Nun hat Gaunt ao'(B, v) berechnet, und aus (18) und (40) erhalten wir die Absorption

1

Damit konnen wir die Absorption fur jede Frequenz berech- nen, wenn der Ionisationszustand der Materie bekannt ist. Im Falle der Nichtentartung erhalten wir diese Kenntnis aus der Sahaschen Gleichung. Auf diese Weise konnen wir den mittleren Absorptionskoeffizienten fur Nichtentartung leicht bestimmen. Wenn wir dem Verfahren von Milne2) folgen, so

nussen wir auch noch die verschiedenen Anregungszustiinde beriicksichtigen. Es sei N,% die Zahl der r-fach ionisierten htome im ;-ten Anregungszustand. (Wir werden im folgenden ien Index 7 fortlassen, soweit es sich urn Atome im gleichen lonisationszustand handelt.) Der Beitrag der r-fach ionisierten Atome zur Absorption ist nach (45) fur den betrachteten nichtentarteten Fall

-

I 16.rr2Z2e6 4n2mZa8 NG n2 3V3.c/53 h 3 2 v3

- - I ( v , T> - (46) --. - -

Dies liefert zu dem mittleren Absorptionskoeffizienten den Beitrag

-. I 1 6 n ~ Z ~ e ~ . q n ~ m Z ~ e ~ J -- dvN; /[ v3dv . (47) n2 3V3.c/53 /53Z3

Nun folgt3) aus dem Bohmannschen Prinzip (die Anwendung des Boltzmannschen Prinzips ist hier in dieser Form nicht korrekt, es mUD im Sinne von Planck, Urey und Permi ab- gelindert werden; dieser Punkt sol1 an anderer Stelle unter- sucht werden) :

00

eWKr - I ,hvlSl' - I -

+;;/KT

- IP0-G N;; 4;; -+O-+" --

NO q o e (48)

(49)

____ - KT = & Z e KT

wobei #; die Energie der ;-ten Anregungsstufe ist. Damit haben wir

Um daraus den Beitrag fur alle Anregungszustiinde zu finden, mussen wir die Summe berechnen:

- -.

E r e I -- KTlog +n ( I - e -%) 00

n3

Setzen .wir I,!Il = I /P /~ und nehmen wir statt der Summe an- genahert das Integral, wobei

so ist t b r

1) Maj~rncrur u. K o t h u i . Z. f. Phys. 61.712 (1930). - Milnc. MN 90.7% (1930). - Majumdat. AN =.I45 (1931). *) Mihe. MN 85.750 (197.5). *) Faule~. Statistical Mechanics S. 340 (1929).

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Nehmen wir angenahert 2 d P e % ~

k' p=--

so erhalten wir fur die Summe

Die Summation uber alle Ionisationszustande ergibt

Nun ist (P, sei der Elektronendruck)

Aus (56) und (57) folgt die endgultige Absorptionsformel

Dies ist das Ergebnis von Milne bis auf einen Faktor, der in seiner Bezeichnungsweise') lautet

(59)

und bei &lKT steht. Die Anwesenheit dieses Faktors ruhrt daher, da13 er nach Kramers die Linienbreite proportional

r - 1 I 1 @--- - (q J

annimmt. Wie Count ausgefuhrt hat, verkleinert die Ab- wesenheit dieses Faktors in ( 5 8 ) Mzlnes Abschatzung der Absorption durch die gebundenen Elekronen.

Wir gehen nun zu dem Fall der Entartung uber, der uns hier hauptsiichlich interessiert. Gleichung (45) giibe die Absorption fur Entartung, wenn wir den Ionisationszustand der Materie kennen wurden. Man konnte an eine Anwendung der Sahaschen Gleichung denken, die in der Weise abzu- lndern ist, da13 die Entartung des Elektronengases beruck- sichtigt wird. Dann ergibt sich aber

woraus nullprozentige Ionisation folgen wiirde. In Wirklich- keit muB aber die Materie in weiBen Zwergen nahezu vollig ionisiert sein, denn sonst wiren Dichten von der Groknord- nung xo6 g cm-3 nicht miiglich. Diese Tatsache ist von einigen Seiten als Widerspruch angesehen worden. Man hat sogar gesagt, wenn die Ionisationsformel wie in (60) nullprozentige Ionisation fur jeden Wert des Ionisationspotentials ergibt, musse das als Anzeichen dafur angesehen werden, daD die Materie v6llig ionisiert und entarteta) ist. DaB diese Deutung wenig Wert hat, ist leicht ersichtlich.

Wenn die Materie eine derartige Dichte erreicht, da13 Atomvolumen

ionisierten Atoms

Zahl der Kerne pro Volumeneinheit

wobei 7 in erster Naherung gleich eins gesetzt werden kann, dann kiinnen bei einer solchen Dichte fur jede Temperatur die Atome im Durchschnitt nicht mehr r-fach ionisiert sein, sondem es mussen die Atome im Mittel (r + 1)-fach ionisiert sein. Die Ionisation ist lediglich eine Folge des Verdichtungszustandes, und die Ionisationsformel (60) verliert fur einen solchen Fall jeden Sinn - die Temperatur bestimmt nur, ob die Gesamtheit entacet ist. Diese Betrach- tungen fuhren zu einem einfachen aber wichtigen SchluB : keine Gesamthei t a u s f re ien Elekt ronen und ioni- s ier ten Atomen kann bei E n t a r t u n g de r Elek t ronen exis t ieren, solange sie n ich t d ie Bedingung (61) erfull t . Die bei Erfiillung dieser Bedingung erfolgende Ionisation werde als Druckionisationa) bezeichnet. (Die Erscheinung der Druckionisation sol1 in einer anderen Arbeit eingehend behandelt werden.)

Die Bedingung (61) kann a d verschiedene Weise aus- gedriickt werden. Sind die Atome r-fach ionisiert, so gilt

(11) Tn>2&>$rv,' wobei A', die Ionen-Polarisation des r-fach ionisierten Atoms bedeutet, d die Dichte, M das Atomgewicht und E, die Null- punktsenergie pro Elektron. q1 und 7)* sind numerische Koeffizienten, welche d r in der. Annaherung gleich I an- nehmen. Bedingung (I) druckt das Ergebnis aus, das Hera- feld4) aus etwas anderen Uberlegungen gefunden hat, um das Vorkommen freier Elektronen in Metallen zu erklaren. Wir benutzen unten Bedingung (11), die fur die folgende Anwen- dung besser geeignet ist.

Hartrd) hat die sukzessiven Ionisationspotentiale fur eine Reihe von Elementen tabuliert. Die Potentiale lassen sich in klar bestimmte Gruppen ordnen, die den K, L , M- -. -Schalen entsprechen. Bei Eisen ist z. B. das mittlere Ionisations- potential fur die K- und L-Schale 8900 bzw. 1500 Volt. Die folgende Tabelle illustriert die Anwendung von Bedingung (11) (62):

n Ionisation der K-Schale >7.79 - IO* <1.3 * 108

* L- B I >7.55 - 1oa6 I T ( 2 . 8 - 10'

In der dritten Spalte sind die maximalen Temperaturen angegeben, bei denen das Elektronengas von der in der zweiten Spalte stehenden Konzentration noch entartet ist. Fur Kon- zentrationen >xom wird das Atom v6llig ionisiert sein, und es werden uberhaupt keine h.-e. Uberglnge auftreten konnen. Wir gehen nun dazu uber, zu zeigen, daD auch fur geringere Konzentrationen der Beitrag zur Opazitiit nicht betrkhtlich wird.

*

1) Milnc. MN 85.760 (1925). a) Brid?. Phys. Rev. 29.188 (1927). - Anderron. Phys. 2.30.360 (1929). - F r d e l . 2. f. Phys. 29.214 (1924). 4) Herzfrld. Phys. Rev. 29.701 (1927).

*) Chondrusekhm. MN 91.446 (1931).

8 ) Hartref. Proc. Camb. Phil. Sac. 22.464 (1924).

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A n m e r k u n g bei d e r Korrektur . In Abschnitt 2 bei unserer qualitativen Ableitung der Form der Opazitats- keoffizienten im relativistischen Fall haben wir angenommen, wie es fiir die nichtrelativistische Kramers-Gauntsche Theorie charakteristisch ist, daB die von einem Elektron wahrend der Begepung mit einem Kern oder einem ionisierten Atom ausgesandte Strahlung unabhangig von der Wellenlange ist. Aber in neueren Arbeiten von Hall und Oppenheimerl) und von Sauter2) wird gezeigt, daD die relativistische photoelek- trische Absorption umgekehrt proportional der ersten Potenz

Die Bedingung, daD die Atome ( r - I)-fach ionisiert sind (d. h. das r-te Elektron behalten), lautet

+, .>24l (63)

der Frequenz ist im Gegensatz zur Kramers-Gauntschen Theorie, wo sie der dritten Potenz der Frequenz umgekehrt proportional ist. Daher wird der relativistische Opazitats- koeffizient cine Funktion der Frequenz, wie die folgende einfache Ableitung zeigt:

relativistische Absorption - I / V

Emission Absorption

1.9

Nun liegt der Frequenzbereich, auf den es beim Rosseland- schen Mittel vor allem ankommt, in der Nahe von 5KT/h. Setzen wir gKT/h = vm, so folgt aus (62)

vy > 0.30 vm A”’ vr = +r/h wenn O . ~ O A ’ ~ ~ > I

d. h. A>5.g v,.>vnr

Nun ist bei Entartung A > > I und Gleichung (65) zeigt, daB fur A>5.g die mittlere Frequenz vm<vr wird und daher keine Photo-Ionisation erzeugen kann, d. h. die durch Photo- Ionisation hervorgerufene Absorption wird auDerhalb des Frequenzbereiches liegen, der zum Rosselandschen Mittel beitragt, und wird daher zur Opazitat nur einen sehr geringen Beitrag liefern.

Der tatsachliche Absorptionskoeffizient fur die h.-e. uberglnge bei der Frequenz v,~=sKT/A la& sich leicht aus (45) erhalten:

Drucken wir ihn pro ionisiertes Atom aus, so wird

Die Einfuhrung numerischer Werte ergibt bei Z= 24 (Eisen- atome, die bis zur K-Schale ionisiert sind) und n = I

4. Wir haben damit den Haupteffekt behandelt, von dem die Opazitat im Steminneren herriihrt, und es bleiben jetzt noch die sekundaren Faille zu betrachten, unter denen die Streuung an den Elektronen der wichtigste ist. Der Beitrag der Streuung zur Opazitat wird sehr gering sein. Die Streu- ung im entarteten Gas sol1 in einer anderen Arbeit behandelt werden.

Jena, Universitats-Stemwarte, 1931 Aug. 31.

Wir sind Herrn Prof. Vogt fur sein freundliches Inter- esse sehr zu Dank verpflichtet; ebenso danken wir Herrn Dr. Siedentopf fur die Freundlichkeit, die Arbeit ins Deutsche zu ubertragen und auch fur seine Diskussionen uber diese Arbeit mit uns. Der eine von uns (R. C. Majumdar) dankt dem indischen Institut der Deutschen Akademie in Munchen sehr fur die Gewahrung des ZeiO-Stipendiums.

Anhang. In der neuen Statistik von Bose-Einstein-l;ermi-Dirac

ist die Wahrscheinlichkeit fur das Zusammentreffen zweier Partikel in verschiedenen Weisen ausgedriickt worden, welche unten zum Vergleich angegeben sind. Es zeigt sich, daO in allen Fallen die Abweichung von der klassischen Statistik in den Faktoren (I + p n , ) ( ~ +pnv) und(1 + p n l ) ( ~ +pnk) besteht. n, n,,... bezeichnet die Zahl der Partikel in der Einheitszelle

N, Nv. . . bezeichnet die Zahl der Partikel in Z,Z,...-Zellen

n, = N,/Z,*. -

des Phasenraums,

des Phasenraums,

p= + I (Bose-Einstein) p= - I (Permi-Dirac) .

Ornstein und Kramers [Z. f. Phys. 42.481 (1g27)]:

W =% n m (I +fin,) (I +pn, ) W e = Wn,n, (I +pak) (I + p n l )

%=F. Pauli [Probleme der modemen Physik, p. 30 (1928).

Sommerfeld zum 60. Geburtstage gewidmet]:

w = p N&N/(z,+pN,)(zlP+pN”) we = P”,N”(Z& +bN&) (Z/ +pNl)

(Z,Z,ZvZ,)P=% (wenn wir mit der Kramersschen Form vergleichen). Wir brauchen in dieser Arbeit:

W = P’ NkNl (I +pn,) (I +pn.) W’= PfeN,Nv(~ +pnk) (I +pnl )

a= P’/Z*Z/ . Siehe auchJordan, Z. f. Phys. 41.652 (1927); Bothe, Z. f. Phys. 46.327 (1927); Nordheim, Proc. Roy. SOC. A 119.689 (1928); R. H. Fowler, Statistical Mechanics p. 556.

D. S. Kofhari, R. C. Majumdar.

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h t l c ( 1931 Weltzeit \IRA. 1931.01 Dekl. 1g31.o I Febr.13 21~37msg?r 8h52m 6813 +24'26'5814 I1 # 23 20 49 2.6 8 43 16.01 + 24 27 59.5 I11 P 2421 16 49.78 42 29.49'+24 27.1%.2 I V Mirz 420 36 25.08 37 25.65 +24 1 7 2.5

daher relativistische Emission hr 9

1Beob.-Eph. -0?57 +4!2 -0.58 +3.4 -0.58 +3.8 -0.53 +3.8

und Rn relativistische Opazitat - - v2. T4Xa

Da nach Rosseland u 2 5KZ'/L, kann man in erster Naherung schreiben

R n rel. Opazitat N xZ .

Nun ist bei Njchtentartung R- T, E m T und bei Entartung R -W T2/n"*, -?hn'la, mithin in erster Niiherung :

rel. Opazitnt (n/TS fur Nichtentartung

Mit diesen neuen Werten bekommt die Tabelle der Opazitat in den 4 Fallen folgendes Bild:

konstant fur Entartung

Nichtrelativiatisch Relativistisch Nichtentartet nI T'le n/T3 Entartet 1lT2 konstant

Wegen der Berechnung der numerischen Werte der Koeffi- zienten vgl. Nature 128.908 (1931).

Jena, 1931 Nov. 20. D. S.Kofhari, R. C.Majunzdar.

Vier Orter des Planeten 29 Amphitrite. Hierin ist der mittlere Fehler des Ortes von Amphitrite

in RA. f o k ~ g und in Dekl. foY26.

Da bei der Ausgleichung der mittlere Gesamtfehler fur die Anhaltsterne zu f01827 bzw. &of809 in RA. und Dekl. uberraschend groD erschien, wurde er naher untersucht. 13 Sterne kamen gleichzeitig auf 2 oder 3 Platten vor, so daS der mittlere Fehler der einzelnen Platten gegeneinander bestimmt werden konnte. Er ergab sich zu &01302 bzw. f01322 in der x- und y-Richtung. Hierin ist naturlich der reine MeSfehler (foT105; fo'l104) sowohl, wie die Unsicher- heit der Orientierung des Koordinatensystems infolge der unsicheren Anhaltsterne enthalten.

Der rnittlere Katalogfehler der Anhaltsterne ergibt sich nun zu koS056 und foT742, obwohl die Orter unter Beriicksichtigung der EB. gerechnet waren. Allerdings liegen die Beobachtungen der Kataloge 20 bzw. 30 Jahre zuriick. ZurheZZen gibt in einer ahnlichen Arbeit (Bonner Verijffent- lichungen Nr. 11, Anhang, 3 Orter 1go0.0 des Planeten 190 Ismene) die mittleren Fehler zu & I ~ I I und f0T64 an, was den hier gefundenen Werten entspricht. DaB sie nicht iibermaoig groD sind, sieht man auch daran, daD die 23 den beiden Katalogen Greenwich und Abbadia gemeinsamen Sterne schon eine mittlere Schwankung von io?o44 und fo!41 zeigen, obwohl die Epochen beider Kataloge nur etwa 10 Jahre auseinander liegen.

Man sieht hieran, wie notig es trotz Beriicksichtigung der EB. ist, fiir Planetenbeobachtungen, falls es sich um eine Prazisionsbahn handeln soll, stets neue und genaue Anhalt- sternorter zu haben.

Als ein weiteres Beispiel mijchte ich noch 3 Beobach- tungen von Amphitrite aus derselben Zeit anfuhren, die von der Kopenhagener Sternwarte in AN 243.10 veroffentlicht sind. Die folgende Tabelle gibt die Differenz Beobachtung minus Ephem. fur die Beobachtungen wieder, wobei einmal die benutzten alteren, dann die in obiger Arbeit gebrauchten neueren &ter einschliel3lich EB. Verwendung fanden.

B-R neuere Orter -0?24 +417 -0.74 +3.4 -0.69 + 2 . 1

G. Bedig.

- 1931 Febr. 21 Miirz 7

* 8

B-R iiltere Orter

-0?14 +6:8 -0.62 + 2.4 -0.42 +g.8