Die Potenzreihe der reziproken Gammafunktion

Die Potenzreihe der reziproken Gammafunktion. Herrn; OSKArt PERRO~ zum 70, Geburtstag am 7. Mai 1950 gewidmet.

Von

Hellmuth Kneser in Tiibingen.

Die Haupteigensehaften der Gammafunktion, ihre Differenzen- gleiehung, Erganzungs- und Produktformel sowie ihre Darstellung durch ein unendliches Produkt, haben keinen engen Zusammenhang mit ihrer Darstellung durch Potenzreihen. Immerhin ist abe t der Kehr, wert der Gammafunktion eine der grundlegenilen ganzen Funktionen der Analysis, und so mag es lohnen, ihre tiberall konvergente - - Potenzreihe zu untersuehen. Wir setzen sie in der Form

(1) r~l s) n! n ~ 0

an. Nattirlich kann man jeden einzelnen Beiwert c. aus dem Produkt

1 - - e -es l ~ ( l - S ) e~/" F(1 s) ,~ = t

- - exp - - C s - - n=l m=~2 mnm ]

- - e x p ( ' - - C s - ~ ~ ) ~ s '~)

dureh die EULERSChe Konstante C und die Werte ~(2), ~(3) , . . . der RIEMAS~schen Zetafunktion ausdrficken; aber diese Augdrtidke geben keine Auskunft tiber die Grtige und das Vorzeichen vofi c, bei grogem n. Wir greifen deshalb zu der additiven Darstellung der Funktion (1) durch das HANKELSChe Integral

1 1 f (2) r(1 --s) 2~i wS-~eWdw"

Entwickelt man in ihm den Integranden nach Potenzen yon s und integriert man nach Gl iedern , so ergibt s ich ftir c, ein Integral, das zur Pal~integration einladt. Wir werden diese durchffihren bis zu dem folgenden Ergebnis : '

Mathemat ische Zeitschrift . Bd. 5"2. 44

656 H. Kneser:

Die Gleichung (3) z e ~ - - - - n ( z ~ x + y i )

hat fi~r n ~ 1 genau eine Wurzel p im Streifen 0 < y < ,~. Mit ihr gilt

cn ~ y ~ - n - Im [p"e-~IP(1 + o(1))]

(4) _--- | 2/~Tn [ p ] " e x p ( - - n a e ( p - ' ) ) { s i n n ( a r g p - I m ( p - 1 ) ) + o ( 1 ) } l ) . y ~ n

Was dies Haupte rgebn i s bedeute t , wird erst klar durch die folgende Aussage fiber die Abh~tngigkeit der komplexen Funk t ion p von n:

Bei hinreichend groBem n konvergiert und gilt eine Reihendar- stellung

=_ 11. + 1 ( l l l n . ~ " 1 8 p = l n - - l l n + q - g - - 1 - ~ _ l l n - - ~ ~ ] +

1 (1 3 3 ~ +T~cn 3 \ ~ - l l n * - - ~ 2 1 1 n ' + ( l = ~ ) l l n + ~ ) + " "

(5) + ~ i [ 1 1 1 -- ~ - + l~-n~ (-- l l n + 1) +

L

, , , 1 ) + l + ~-ns (-- l l n ' + 311n + - ~

Sie ist his au/ die ersten beiden Glieder eine Doppelpotenzreihe in den GrOBen l l n / l n und 1]In, so dab man die weggelassenen Glieder in ein 0 (ll n*/ln ~) zusammen/assen oder bei fri~[~erem Abbreehen entspreehend verfahren kann.

Man sieht hieraus, dab man nicht ohne Verlust an Gehal t d e r Aussage in (4) f t i r p einen festen Absehni t t der Reihe (5), ergi~nzt durch ein O-Glied einsetzen k a n n ; denn das O-Glied wiirde immer etwa O(lz -k) lau ten und k0nnte nie ,~uf die Gr01~enordnung o(1/n) gebraeht werden, wi~hrend die p en tha l t enden Teile yon (4) immer den F a k t o r . o d e r Exponen t en n mit sieh ftihren.

Durch (4) werden anscheinend der Folge (e,) dauernde Vorzeiehen- wechsel beigelegt . Auch fiber diese werden wir genauen Aufsehlul~ bekommen ; wit beweisen:

Das Argument des Sin'us in (4) nimmt bei ~edem geniigend groBen k W'erte aus der Strecke (k + ½) ~ < 9~ < (k + ~) ~ an. Zwisehen diesen und den in derselben Weise zu k + 1 start k geh6renden Werten yon n weehselt die Folge (c,) genau einmal das Vorzeichen.

1) Um die Formeln mit geh/tuften Logarithmenzeichen etwas zu kfirzen' sei die folgende Verabredung getroffen : I z bezeichnet den durch -- ~ < Im (l z) ~_ festgelegten Wert des natfirliChen Logarithmus; ferner sei l z -I = (lz) -~ und ent- spr'echend in/~hnlichen Fallen. Z. B. wfirde 3 ll z ~ ausfiihrlich geschrieben so lauten: 3 (log log z) ~.

Die Potenzreihe der reziproken Gammafunktion. 657

Die Abseh/ i tzungen werden im folgenden ohne viel Rficksicht auf ihre zahlenm/iBige Brauchbarke i t vorgenommen. Bei e twas sparsamerem Ver fahren werden sie aber auch zur Zah lenrechnung brauchbar . Frl. A. WIEDERSHEIM hat in ihrer Tfibinger Pr t i fungsarbe i t die Probe da rauf gemach t : eines ihrer :Ergebnisse ist c. > 0 ftir n-----1000001.

§ 1 .

Ansatz zur PaBintegration.

In ( 2 ) k a n n der In teg ra t ionsweg fo lgendermaBen gew~thlt werden : sei ½ z ~ < f i < z und r > 0 ; dann fiihre der Weg 1/ings der Graden arg w ~- -- fl aus dem Unendl ichen nach re -~i, yon d a l~tngs des Kreises [w]-----r im posi t iven Sinne nach ?'e zi, yon da 1/ings der Graden arg w ~ fl ins Unendiiche. Setzen wir w ----- e ~, z ~ x + y i~ so erhal ten wir den fo lgenden W e g : von rechts aus dem Unendl ichen wagerech t nach 1 r - - ~i, yon da senkrech t nach 1 r ÷ fli, yon da wagerech~ nach rechts ins Unendliche. Wi t wollen gleich, weil es sp/iter bequem ist, r ~ e% l r - - ~ setzen, bezeichnen den Weg init L und haben dann

1 1 f F(1 -- s) - - 2 :r i e ~ exp (e ~) d z. L

En twieke ln wir den F a k t o r e ~ in die Exponent ia l re ihe und in tegr ieren wir gliedweise, so wird

'1 1 / " ( l - - s ) - 2z~i n~ znexp(eZ) d z ,

n ~ O L

und durch Vergleich mit (!) e rha l ten wir

(6) 2 ~ i c ~ = f z ~exp(e ~)dz. L

Die In tegra t ion naeh Gliedern bei der Reihe

(7) ~ exp (e,) s ~ z~/n ! ~ t ~ 0

ist auf dem senkreeh ten Teil von L wegen ihrer gleiehmliBigen Kon- ve rgenz zul~tssig. Auf den wagereeh ten Teilen ist [y] ~ f l < ~ ~_ x,

[z I < x V2; also ist oo

E l exp (e~)[ (x Is[ V2)'~/n ! = exp (e • cos It + x [s t V ~-) n ~ 0

eine konve rgen te Majorante yon (7). Da die reehte Seite wegen cos fl < 0 ein konve rgen te s In tegra l yon x z 7r bis x ~ oo liefert , war die Inte- gra t ion naeh Gliedern aueh auf den wage reeh ten Teilen yon L zul~ssig.

44*

658 g. Kneser:

Die obere H~lf te des Weges L, also der W e g von ~ iiber ~ + f l i na:ch f l i + ' c ~ heil~e H; die un te re ist das Spiegelbi ld yon H an der reel len Achse, in u m g e k e h r t e r R ich tung durchlaufen . S t a t t (6) kiinnen wir also

-= f exple) a z - f exp(e') az B H

schreiben. Da der I n t e g r a n d bei kon jug ie r t en Wer t en yon "z selbst- kon jug ie r t e Wer te ann immt , ist das zweite I n t eg ra l kon jug ie r t zum ersten, und wir haben

(8) ~ c, - - Im f z" exp (e ~) d z. H

§ 2 .

Der Pail.

Die Betragsfl~tehe, des . Integranden fiber der z -Ebene hat, wenn n > 0 ist. eine Mulde bei z - - 0 und ein Tal. das sich in der Brei te -} ~ < y < ~ w a g e r e c h t nach rechts ins Unendl iche e rs t reck t . Mulde und Ta l werden - - so vermute~t man dureh einen Pal~ ge t rennt . und fiber diesen wird man den I n t e g r a t i o n s w e g tegen. Wir schreiben den I n t e g r a n d e n als e l(z), setzen also

f ( z l - - n l z + e z:

dann mul~ der Part eine Nulls tel le yon f ' (z) - - n £-1 + e z, d. h. eine yon 0 versch iedene LSsung der Gle ichung (3) sein.

Wir beschr~tnken uns yon vo rnhe re in auf den St re i fen 0 < y < ~r. Bei jedeln reel len n muf~ am Paf~ der imagin~tre Teil e ~ ( x sin y + y cos y) yon z e z verschwinden , d . h . der Pal,~ l iegt a l lemal auf der K u r v e

(9) x --= -- y c tg y.

Sie beg inn t bei z - 1 und f,iihrt fiber z - - 1., ~ i mit y -+ ~ nach rechts ins Unendliche. Auf ihr geh t der Real te i l yon z e ~ s te t ig von - - e -1 n a c h o0 und z w a r m o n o t o n ; denn an einer Umkehrs te l le miiBte, da auf (9) der !magin~irteil den fes ten Wer t 0 hat , die Able i tung yon z e ~" verschwinden , nnd das tu t s i e -nu r bei z - - - - 1 . Wir finden also bei j edem ~ > e ~ genau einen Pal~ ira Streifen 0 < y < ~ ; er heine ,~,--= p - - a - + f l i . Dami t ist zugleich gesag t , wie wir d e n bisher unbe- s t immten W e r t fl fest legen. Die Bed ingung fl > ½ ~ ist dabei ffir n > 1 erfiitlt. Dann fiihrt der W e g H fiber p, sofern a > 0v ist. Sp~tter werden wit" noch ve r l angen , da[~ auch der W e r t p - - ~ 2/5 auf H liegt, d .h . daI5 a--~-2,,5 > ~ ist. Auch dies ist fiir hinrei~'hend gro~e n der Fall, well p mit w a c h s e n d e m n nach rechts ius Unendliche r i ickt , Es geniigt ~ ~ 120. wie eine ( )be r sch lags rec lmung zeio't.


Um genauer zu ermit te!n , wie sich p bei groitem n verh~tlt, setzen wir

( !0) p = (1 + q) 1 ( - n).

Von den Logar i thmen gilt

(11) l p - - l l ( - - n) = 1 ( 1 + q)

ohne Zusatz eines Vielfachen von 2 ~i , weft der Imagin~rtei l der l inken Seite zwischen -- ½ ~ und ½z liegt. Da p die Gle ichung (3) erftillt, ist

(12) p + l p = l(-- n),

ebenfal ls ohne Zusatz eines Vielfachen yon 2 z i . Wit schlie$en je tz t p in ein Rech teck ein. Ist x_~> l n, so ist

] z e Z l > = n l n > n . Ist abe t 0 < y < : t O < x ~ l n - - l l n , so folgt

[z eZl = I z]n/1 n < (x + ~r) nil n <~ n -- (11 n -- ~) n]l n <~ n,

sobald l l n ~> ~t ist. Da abe t p die Gleichung (3) erftillt und daher IpeVJ = n ist, gehOrt p bei h inre ichend grogem n dem Rech teck

l n - - l l n < x < l n , 0 < y < ~

an. Nach (10) folgt daraus

11 n ~ q- l l n 0 ( n - ~ oo). (13) [q[< l(L--n-)~ < - - fn - -*

Aus (10), (11) und (12) folgt

q l ( - - n ) 4 l l ( - n ) + l ( l + q ) = 0.

Setzen wit in dieser Gleichung

u z - - l l ( - - n ) / l ( - n ) , v = 1 / l ( - n ) ,

so schreibt , sie sich

(14) q : u + v l ( l i- q).

Da 1 (1 + q) bei q = 0 regulfir is(, l~tl3t sich (14) durch eine bei u ~--- v ~ 0 ¢

regul~tre Funk t ion yon u und v aufl6sen. Genauer : es gibt einen Wef t r > 0 derar t , daf~ jede dem Bereich [u] < r, [v[ < r, [ql < r angehSrende LSsung yon (14) durch dis LAGm~NGEsche Umkehrre ihe

v I~ £,-~ 1 t 1 -4- u/~ q = .ll + ~ k! du k-' k = l (15)

- - 2 -i 3 . . . . + v~ u - 2 + " + v : ' ( u + ' ) + ' ' "

dargeste l l t wird. I)~t u und v mit n * o0 gegen Null gehen - - denn es ist ja I I ( - n ) ] > l l n l und ] l l ( n ) ] < = ~ + l ( ~ + l n ) - - und yon q nach (13) dasselbe gilt, wird also (lie du tch (10) erkl~trte Gr0i.~e q bei h inre ichend grogem n dutch dis Reihe (15) dargestel l t . Wir k0nnen den Gii l t igkeitsbereich der Reihe (15) noch genauer angeben. Sm stellt

660 It. Kneser:

eine analyt ische Funk t ion y o n u und v, und damit yon n dar, w e n n n sglche positi:cen Werte ann immt , dab das Wer tpaa r (u, v). dem Gebiet der absoluten Konvergenz der Doppelreihe (15) angeh5rt . Da abet, wie wir in] Anhang feststellen werden, f i i r n ~ 1 die Betr/ige lu] und Iv] mit wachsendem n abnehmen, ist das yon einer S te l le an~ etwa ffir n > n o der Fall. Ffir n > no stellt a l s 0 die Reihe in (15) eine analy- tische Funk t ion yon n dar, und ebenso ist q eine dort analyt ische Funkt ion von n. Ffir geniigend groi~e n s t immen be ide tiberein; al'~o s t immen sie als analyt ische Funk t ionen b e i allen n > n., tiberein. Das genaue Gebiet der absoluten Konvergenz der Reihe wird ebenfalls im Anhang ermit te l t werden.

Eine Entwick lung yon p nach s te igenden Potenzen yon u und v bekommen wit, indem wit (15) in (10) einsetzen. Dabei ordnen wit gleich nach dem Gesamtgrad :

p = I ( . n) - q / v

= 1 ( - n) • u v - 1 _ u + (~ u '~ - u v ) + ( - ~ u 3 + ~ u s v - u v") + . . . .

Um hieraus Real- u n d Imagin~trteil yon p kennen zu lernen setzen wi t ein

l ( - n ) - - - - - l n + z ~ i ,

u v -1 = 11 ( - n) = l l n + 1(1 + z~i / in) ~--

~i + ~2 ~.~i = l l n + ~-n- 21n~ 31n a + " ' ~

1 1 ~i ~ V - l ( - - n ) ~ - - T n + l , n ~ + l n - ~ + " ; '

l l n l ln ~i z~ ~ l ln 3zd" U ~ UV - 1 . v = - - - i n 7 + ~ i in s ~ + in ~ - 2--1n--V+.'.~

1 U: lln2 . lln s . l ln ~- = 2in ~ ~Z l ~ - + g ~ + " ' ,

l ln l ln a~i - - U V - - In s ~-2~i in a in a + - . . ~

�9 1 U 3 'lln a' ~_ 3 311n 2 l ln - - ~ --- ~ . . .~ ~ U 2 V ~ 2|n3 ~-.. . , - - U V ' - - in a .~ . . . .

und erhalten

p = ~ + [ ~ i l ln 1 (1 n~ - l z r +

~ l n - - l l n + - ~ n - + 1~ v ~- l l l l n

~ - ~ - l l n 3 - - ~ l l n 2 + ( 1 - - ~ - ) l l n + ~ 2 + . . .

+ ~ i l l 1 1 1 . l l n ~ + 3 1 1 n + y ~ o 1 + " " ; , --Tn-~ +-1~; ~ - ( - l l n + l ) + l~- k

das ist grade die Reihe (4) aus der Einleitung. Der Konvergenzbereieh dieser Reihe ist wehiger fibersiehtlieh als der der naeh Potenzen yon


u und v fortsehreitenden Reihen, umfafit aber jedenfalls ein Gebiet (I l / ln] < r,, ] l ln/ ln] < r,) mit r~ > 0; denn wir haben ja nur ftir u und v die sie darstellenden konvergenten Potenzreihen ohne absolutes Glied eingesetzt, die nach Potenzen yon l / I n und l l n / l n fo r t schre i t en .

w

Integralauswertung. Wit haben jetzt das in (8) stehende Integral

H = f z € z) dz �9 H

asymptotisch auszuwerten. Um aber die in der Einleitung gemachten Aussagen tiber die Zeichenwechsel der Beiwerte c~ zu begrtinden, ziehen wir auch das Integral

H, ~ - f l ( z / p ) z ~ exp (e ~) d z ------ d H o / d n - - 1 p . H o 11

heran. Den Hauptbeitrag zu Ho wird die Umgebung des Passes p liefern. Wir trennen daher eine Strecke der L~nge 2 a mit dem Mittel- punkt p von H ab und teilen fiberhaupt H in die folgenden grad- linigen Tei[e :

A von ~ bis ~ + f l i ,

B - yon z + f i i bis p - - a ,

C yon p - a bis p + a ,

B+ yon p + a bis f i i + 2 .

Von vornherein wolle~ wir

(.16) 0 < a - - 0 (n-~ c~)

annehmen; dann liegt b e i genfigend grofiem n d e r Teilpunkt p - a sicher auf H. Die yon den Teilen A bis B + herriihrenden BeitrSge zu den Integralen Ho und H 1 bezeichnen wit mit A o bis B+, AI bis B, +.

Ftir die Integrale A o und A1 gentigt eine grobe Sch~tzung. Auf A ist exp(e z) beschrankt, x ~ ~, 0 ~ y < ~ und daher [z I < :~V ~. Da die L~nge yon A kleiner als z ist, haben wir

(17) �9 A = o((~V2)~).

Da auf A ferner 0 ~ a r g z < n / 4 ~ also lZ beschr~nkt und p r ~ l n , l p ~ l l n ist, wird

(18) A, = 0 ((~ W2) " ll n).

Fiir die anderen Integrale brauchen wir vor allem einige Kenntnis des Verhaltens der Funktion f(~) und ihrer Ableitungen auf der Streeke C.

662

Es ist

f ( z ) -~ n l z + e z,

(19)

und daher auch

(20)

H. Kneser:

n 2 n + eZ ~ l ' (z) = ~ + e ~, f ' (z) = - - ~ + e ~, /'" (z) . . . . . Z Z 3

t " x . - - - - l'(p)=o, l"(p)-- ~,~ ~, 1,~

R e / " (p) ~,~ - n / l n.

Auf der ganzen S t recke C ist ~)

(-) (21) /" (z) = -~n + ep e z-~ = 0 i ~ - 7 \ l . / "

Durch mehrfache In tegra t ion und mit Riicksicht auf die gleichm/iiSige Gtil t igkeit der O-Aussagen folgt daraus

(22) / ' ( p + a ) = - + a f ' ( p ) + ~ I n / - v - ~ - ,

(23) / (z) ~-~ f (p) + ~/" (p) (z -- p)' + 0 (a ~ ,/1 n),

dies le tz te nattirl ich nur ftir z auf C. J e t z t kOnnen wir Co und Cz absch~ttzen. Auf C ist

exp (f (z) -- f (p)) -~ exp [½ f ' (p) (z - - T) 2 + 0 (a 3 n i l n)].

Setzen wir yon je tz t an (24) a '~ n/1 n - , 0

voraus~ so erhal ten wir

exp ([ (z) - - f (p)) -~ exp [½ f" (p) (z - - p)~] + exp [:~ Re f ' (p) (z - - p)~j O(aa n/1 n).

Setzen wit z ~ - p + t u n d in tegr ieren wir von - a bis a, so f o l g t a a

(25) e - t tP )Co = f e x p ( ~ - / " ( p ) t 2 ) d t + f exp (½ Re f ' ( p ) t ~) d t O ( a S n / l n ) . - - a - - t t

Wegen (19) und (20) konverg ie ren bei grol~em n die beiden Integrale, wenn Wir sie yon - - c ~ bis c~ s ta t t v o n - a bis a ers t recken. Dabei wird das zweite, das einen posi t iven In t eg randen hat, vergrSt~ert zu

V: 2 me f'(p) = Im ersten setzen wir

rr :

und erhal ten, mit dem F a k t o r ] , - -2 / / (p) versehen, das Fehler in tegra l

2) Alle Grenzwert- oder Beschr~tnkungsaussagen, also Formeln mit den Zeichen O, o oder ¢-~ in denen von n unabh~tngige Ver~nderiiche vorkommen, sollen gleich- m~ig in diesen Ver~tnderlichen gelten, nattirlich soweit diese Werte aus den ihnen zugewiesenen, tdtufig von n abh~tngigen'Bereichen annehmen, so wie bier z auf der von n abh~ngigen Strecke C beliebig, ist.


f e - -~ d u, e rs t reckt yon -- b bis b, worin b a U ~ [ " ~ ) ) gesetzt ist. Ftir die Quadra twurzel nehmen wir den W e r t (oder einen der beiden Werte) mit nicht nega t ivem Realteil . Nach (19) gilt dann ~

R e b - + § a r g b - ~ 0 ,

wenn wir an die Gr0f te a die weitere Anforderung

(26 ) n--+ c~

stellen. Damit wird dann b , ,

f +-::tin+V;, - - b

f exp (lf ,(p)t:) d t ~ V-2~r/f'(p),.,~ ]/~-~lnln, - - r

und aus (25) folgt

(27) e-l<v) Co = (1 4- o (1)) ]/2z~ 1 n/n + 0 ( V l ~ ) O(a~n/ln) r V ~ l n / n . �9 /

Zur AbSchi~tzung yon C, geniigt es, die ffir alle z auf C gfiltige Be- ziehung

l(z/p) = O(a/[pl) ----- O(a/1 n)

heranzuziehen; mit (20) ergibt s i e l 1

e-l(~)C1 = O(a]ln) f exp (�89 f ' ( p ) t 2) d t (~s) -~,

( a = 0 ln[--Ref"@) "

Auf den St reeken B e be t raehten wir den Realtei l von f ( z ) . Es ist dor t x ~ ~ > y, c o s y = eosfi < 0; daraus folgt

R e / ' (~) = - n I~ I -~ Re (~) + e= cos ~ < 0. Setzen wir

z = p + - a • ~ ( t ) = R e f ( z ) , b.+--~+c~, b - - - - - ~ - a - - = ,

so durehl~uft z die St reeke B e, wenn t yon 0 bis b e gehti u n d e s ist

r (0) = Re / (p 4- a), r (0) = -4- Re f (p 4- a), eft' (t)----- Re f ' (z) ~- 0,

r (t) ~ cp (0) + t (p' (0) = Re f (p _+ a) 4- t Re f (p 4- a).

(In jeder Formel ist durchweg das obere oder durchweg das untere Vorzeichen zu lesen.) Wegen (22) ist nun 4- R e f ( p 4- a )< 0 bei bin- reichend gro~em n und daher

�9 b -+

I B+I ~ f ~+ + d t < f +xp (w (o) + t +' (o)) d t (29) o o

---- T- exp (Re [(p + a))/Re f (p -+ a).

664 H. Kneser:

Bei den Integralen B~ kommt der Faktor l(z/p) h inzu. Auf de r Strecke B - ist

l < [ z ] ~ p , 0 < a r g z < ~ / 4 , 0 < a r g p < g / 4 ,

[ l (z /p) l _<--_ II[z/pl] + [arg(z /p )] < lip] + = / 4 = 0(11 n); das gibt (30) BT- = 0 (ll n) exp (Re f (p - a))/Re f (p -- a).

Auf der Strecke B+ ist Re(z/p) ~ 1, also lu'l ~ 1, wenn w die grade Strecke yon 1 bis z i p durchl~tuft; auf B+ gilt daher

I zlP i

l1 (z/p)] ' f d w = u '-~ ~= I z / p - 1[ = (a + t ) / lp I. 1

So bek0mmen wir

]B + g i p ] - ~ e x p R e f ( p + a ) f ( a + t ) e x p ( t R e f l ( p + a ) ) d t (31) o

{ a , 1 [ , l - ' exp Ref (p + a),\ i~e f' (p :+ a, + (Re-] (i0-~-aD '~]"

w

SchluBfolgerungen. Aus den Ergebnissen (17), (18) und (27) bis (31) werden wir die in der

Einleitung behaupteten S~tze ableiten. Zun~tchst kSnncn wit die in w 3 fiber a gemachten Voraussetzungen (16), (24) und (26) erfiillen, indem wir

a ----- n -2/5

setzen. Dann vergleicl!en wir alle behandelten Integrale mit Co. Dazu stellen wit fest

f (p ) = n l p + eP ~- n l ( l n + O( l ln ) ) - -n /p ~ n l ln .

Mit (27) zusammen gib t das

(32) l lCo[ ~., n ll n.

Aus. (i7) und (18) entnehmen wir

l[A. ln[ < k n ( v = O, 1)

m i t festem k, so dab sich

l [A~l n/Co] - ~ - o r ,

(33 ) Ao = o (Co), A , 1 n = o (Co)

ergibt. Der Vergleich yon (27) und (28) ergibt

C,/Co = 0 (all n) ~-- o (1/I n),

(34) C, 1 n = o (Co).


Um die Abscha tzungen (29) his (31) entspreehend auszuwerten, ziehen wir aug (22) die Folgerung

-T- f' (P _-4- a).~-~ n3/~[1 n.

Sie zeigt, dal~ der Faktor . mit dem exp R e f (p +_ a) in (29) bis (31) versehen ist, allemal mit n-~ o0 gegen Null geht, sogar wenn ihm noch ein F a k t o r In hinzugesetzt wird. Es ist als(~

(35) B, ~ 1 n - - o (exp Re f (p +- a)).

Aus (23) folgt aber, wenn man (20) heranzieht,

t i e / ( p +- a)--: Re/ (p ) - - : a Re f ' ( p ) + O(n- l lS / ln )

-- (1 + 0(1))nl/~]2 1 n --k O(n :/5/l n) ,-,o -- nlt5/21 n.

Bei gentigend groBem n ist also

Re f ( p +- a) -- Re [(p) < - - n l i 5 / 3 In.

Mit (27) und (35) folgt daraus +

1 [B;-ln/Co[ < -= n:/5/3 In + O(ln) -~ - c<D,

By I n --- O(Co).

Naeh der Zer legung des Integ~'ationsweges zu Anfang des w 3 ist

H~ = A, + B;- + C,.+ B+ (v = 0, 1);

naeh (33), (34) und (36) gilt, daher

(37) H.. C [/9 i

(38) H, l,,, - - o (Co) = o (Ho).

Nun ist Ho das Integral auf der rechten Sei te yon (8), und es ist

/ (p) --= n l p + e~' - - n t p n/p.

Setzen wir dies in (37) ein, so baben wir die B e h a u p t u n g (4)tier Ein- leitung. Die andere Behauptung, (lie fiber die Zeichenwechse], folgt aus (38). Es ist ja

dHo H, = -tin -- Ho l P - - o(Ho/l n),

d arg Ho ( 1 d Ho ) __ im (l p q_ H / Ho ) t i n ~- Im - o d n "

- - I m l p + o(1 / ln ) ~ ~/In ,

wobei der letzte Sehri t t ohne weiteres aus (5) fo lg t . Das Argument yon Ho w~ehs t also fiber alle Grenzen und nimmt bei hinreiehend grogem n dauernd zu, aber beliebig l a n g s a m Daraus folgt die Be- haup tnng der Einlei tung tiber die Zeiehenweehsel der Folge (c~).

666 I-I. Kneser:

A n h a n g .

Wie in w 2 angekfindigt , wolien wir hier best~ttigen, dab die Gr6Ben -[u[ und Iv] mit wachsendem n > 1 monoton gegen Null streben. Da- bei war

u = - 11 ( - n)/1 ( - n) , v = - I/1 ( - n).

Bei v erkennt man sofort : mit n ~ w~tchst [ l ( -n ) [~ - - - - ln ~ + ~ monoton ins Unendliche, nimmt also ]v] monoton gegen Null ~b. Um bei u dasselbe zu erkennen, bilden wir

1 t u] ~--- Re (111 ( . n) - - l l (-- n)) ,

(39) dl iui _ R e ( 1 1 ) dn n l ( = ~)11(-- n) n 1 (-- .r

= - - : R e 1 -- 11 (-- n)-~-r'~ ----I n I ( - - n) n 1 n "

Das Schlufiglied ist die Ablei tung von - l l n ; aus - - l l n - ~ - c o folgt daher 1 [u] -~ - c~. Die Monotonie wird erwiesen, indem wir uns davon iiberzeugen, da~ das vorletzte Glied in (39) ffir n=~ 1 nega t i v i s t , und dies wiederum ist gesichert, wenn wir sehen, dab Z~thler und Nenner des Bruehes beide in der r e c h t e n oberen Viertelebene liegen. Beim Nenner n(ln + ~i) ist das klar. Um den Z/~hler zu behandeln, setzen

w i r ffir den Augenblick l l(-- n ) = 7 + d i; dann ist

7 : l l l ( - -n)[ => 1 ~ > 1, 6 = a r g l ( - - n ) > O.

Daraus folgt ~2

Re (ll(-- ,)-1) _ ~ + 6-' +

Re (1 -- l l (-- . . )-1) > 0,

Im (1 - - I1 (- T/) - 1 ) = V";-~- ~2- > 0,

w i e behaupte t war. Die zwei te Aufgabe dieses Anhangs ' ist es, den genauen Bereich

tier (absoluten) Konvergenz der Doppelpotenzreihe (15) festzustellen. Dieser hat bekanntl ich, abgesehen yon Randpunkten , die Gestalt [u[ <w([vD, worin cp(s) bei nieht negat ivem s der grSBte derjenigen Werte r ist, for die die durch (15) dargestel l te Funkt ion in dem ganzen Doppelzylinder ]u[ < r, Iv[ < s bzw. ffir [u] < r, v = 0 regular ist.

Um die Prof i l funkt ion ~(s) zu ermitteln, gre i fen wir auf die Er- kl~trung der Funk t ion q(u, v) zuriick. Setzen wir

F (q, u, v) = u + v 1 (1 + q) - q,

so ist q diejenige analyt ische Funkt ion von u und v, die im Nullpunkt regullir ist und den Wert 0 hat und die in ihrem ganzen Verlauf die

Die Potenzreihe der reziproken C-ammafunktion. 6 6 7

Gleichung F ~ 0 - - gegebenenfal ls mit ~einem anderen Wer t des Logar i thmus erffillt. Wir stellen zuni~ehst f e s t , wie weir sie auf den Aehsen u = 0 und v = 0 reguli~r ist. Ffir u-=--0, [ v ] < l 15st q -= 0 die Gleichung F ---- 0, und e s i s t F~ ~ v/(1 + q)-- 1 =1= 0; also i s t q dor t regul~tr. Ffir v = 1, q ~ u ~--0 dagegen ist Fq---- 0, F~ = 1 --t = 0; also ist dor t q singul~tr. Fiir v ~ 0 haben wir die LSsung q = u; und solange lui < I bleibt, ist F regul~tr und Fq =I= 0, so daft wieder q regular ist.

Wei te r be t rach ten wir reelle Wer te q, u und v. Die Gleiehung F = 0 ver langt , in der reel len q-t-Ebene einen Schn i t tpunk t der K u r v e n

t ~ q - - u , t = v l ( l + q )

z u finden. Ist v ~ 0 , so gibt es genau einen; ist 0 < v < l > so sind es genau zwei, solange u nieht un te r den - - nega t iven - - W e r t sinkt, bei dem Ber i ihrung z~wisehen den beiden K u rv en eintri t t . Der rechts gelegene geht for u - - - -0 in den Nul lpunkt fiber. All das e rkenn t man sofor t uus d e r Monotonie d e r beiden K u r v e n und der Konvexit~tt der zweiten. Ber i ihrung t r i t t ein, wenn aufter F--~ 0 noch

1 - - d(q--u) __ d ( v l ( l + q ) ) - - v dq dq i t q

gilt, d .h . wenn

- u = l ~ v - v l v - - - - ~ ( v )

ist. Dann fallen zwei Wurze ln der Gleichung F - ~ 0 zusammen; die Funk t ion q(u 7 v) verzweig t sich, ist also singullir. Die Funk t ion ~(v) n immt stet ig yon 1 zu 0 ab, wenn v yon 0 bis 1 geht. Wi r fassen zusammen :

Die durch die Reihe (15) dargestellte Funkt ion q(u, v) ist reguliir fi;tr 0 <= v < 1, 0 ~= - u < ~P(v), dagegen singul~ir bei den Stellen 0 < v < 1, u = - ~ ( v ) .

Von der Prof i l funkt ion q;(s) wissen wir hie rnach das folgende. Well q ftir v = (}, [ul < 1 regul~tr ist, ist cp (0)~ 1. Weil q regular ist fiir u ~- 0, Iv] < 1, aber nicht fiir u = 0, v ----- !, ist ~(s) > 0 ffir 0 < s < 1, aber c p ( l ) ~ 0. Fe rne r ist cp(s)_~= ~(s), weil q ftir v s, u - - - - ~ ( s ) singul~tr ist. Schlieftlich weiB man allgemein, daft lop(s), soweit ~ > 0 ist, eine nach oben konvexe nicht zunehmende F u n k t i o n yon l s ist. Aus all dem folgt~ daft ~ ( s ) f t i r 0 <_ s <_ 1 eine abnehmende s t e t i g e Funk t ion ist. Nun sei 0 <so < 1; dann ist q jedenfal ls regulitr fiir ]u]<cp(s) , [ v ] < s : Ist [u]<cP(So)~ aber [ v ] = s o , so w~thlen wir s '>so so nahe bei so, daft noeh ]u]<cp(s ') gilt. Dann ist [ul<qo(s') , ] v ] < s ' und dahei" q an der Stelle (u,v) regular . Ist tu] = ~(s,.), Iv] <So, so w~thlen wi t s" zwisehen Iv] und s o . Dann ist Iul<q~(s"), ]v]<s" und daher wieder q an der Stelle (u, v) regular . Damit erffillt die Funk t ion f (w, z) --~ - q (-- w, z) die Vorausse tzungen des Singular i t f i tensatzes iiber

6 6 8 H:.Kneser: Die Potenzreihe der reziproken Gammafunktion.

P o t e n z r e i h e n m i t p o s i t i v e n B e i w e r t e n , d e n w i t in d e r f o l g e n d e n F o r m a ~ a w e n d e n a):

Sei ro > O, S O > 0 . Die F u n k t i o n f ( w , z) sei reguldr , w e n n die Un- g l e i c h u n g e n Iwl ~ to, l zl ~ s o g e l t e n u n d in m i n d e s t e n s e iner yon ilmen, die Gle ichhe i t n i ch t bes teh t . S ie sei aber n ich t in al len P u n k t e n mi t Iwl ~ to, lzl z s o regulgir. Die B e i w e r t e in ihrer P o t e n z r e i h e se ien reetl u n d n i c k t nega t iv . D a n n ist w ~ r o~ ~ ~ s o ein s ingu ldrer P u n k t t~r l(w, ~).

I n d e r T a t s i eh t m a n a n 0 5 ) , d a b (lie V o r a u s s e t z u n g i i b e r d ie B e i w e r t e e r f t i l l t i s t ; d i e a n d e r e n V o r a u s s e t z u n g e n - - m i t ro ~ ¢p(So) - - warel~ g r a d e bes t~ t t ig t w o r d e n . D a n a c h i s t u ~ - - ~ ( s , . ) , v == s o e ine s i n g u l a r e S t e l l e f t i r q ( u , v ) . E s m u B d a h e r ( p ( S o ) ~ ta(So) se in . D a w i t s c h o n f r i i h e r ¢p(So) ~ ~(so) f e s t g e s t e l l t h a b e n , i s t ¢p (So) ~ ~P(so) f i i r j e d e s so z w i s c h e n 0 u n d 1 , U n s e r E r g e b n i s i s t d a h e r :

Der Bere ich der abso lu t en K o n v e r g e ~ z der R e i h e (15) bes t eh t ab- g e s e h e n yon R a n d p u n k t e n , aus den P u n k t e n (u, v ) m i t

i v l < l , l u l < l - ] v l - t - l v ! l [ v [.

E i n e t ~ b e r s e h l a g s r e e h n u n g ze ig t , dal~ d i e R e i h e (15) e t w a ffir n ~ 100 k o n v e r g i e r t , a l l e r d i n g s n o c h n i e h t so s c h n e l l , d a b sie z u r Z a h l e n - r e c h n u n g b r a u e h b a r w~tre.

• ~) Bei F u n k t i o n e n einer Ver~inderlich(m ist dies der friiher sogenannte Satz von VXV,XNTL Der bier ausgesprochene Satz wird genau so b~wiesen. Nimmt man an: f(w, z) sei regul~ir bei z --- to, w --= So und setzt man w := ½ ro -]- u, z : ~- so ~ v,

regul~ir ist. Ihre so erh~tlt man eine Funkt ion yon u und v, die ftir I u ! ~ ~ to, v ! _~ ~ So Potenzreihe konverg ie r t daher bei geeignctem d > 0 fiir u ~ -~ ro ~ & v ~ ,~ So -~ & Sie ents teht aber aus der Potenzreihe fiir f(w,z) durch Zerlegen der posit iven Glieder in positive Teile und Zusammenfassen der Teile. Daher konvergier t die Reihe der Funk t ion /'(w~ z) ftir w == to-f- 6, z := So -~ 3 und die Funk t ion f(w, z) ist regul~tr ffir Iw ~ .... to, iz] .... so, entgegen der Voraussetzung'.

(Eingegangen am 6. Juli 1949.)

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