Die Schrödinger Gleichung Egon Berger Didaktik der Physik 19.06.07

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  • Die Schrdinger GleichungEgon BergerDidaktik der Physik19.06.07

  • Historisch grundlegende ExperimenteAbleitung der Schrdinger GleichungAnwendung der SG:Unendlich tiefe Potentialkasten

    2. Endlich tiefe Potentialkasten

    3.Harmonische OszillatorInhalt:4. Superposition ebener Wellen

  • Die graphische Interpretation der Wellenfunktion:

    BetragPhaseNulldurchgngeKrmmungExponentielles Abfallen

    Im Vordergrund steht:

  • Wiederholung: Die Quantentheorie des Lichtes Beugung und Interferenz (1800)

    Hohlraumstrahlung (1900) Photoelektrische Effekt (1902) Comptoneffekt (1922)Licht ist eine WelleLicht besteht aus Teilchen,den sog. Photonen.Unsere heutige Vorstellung:Licht besitzt sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter.1. Historisch grundlegende Experimente

  • Die de-Broglie-Wellenlnge:

    Louis de Broglie machte 1924 den Vorschlag die duale Beschreibung durch Wellen- und Teilchenmodell, die sich bei Licht bewhrt hatte, auch auf Teilchen wie Elektronen, Neutronen oder Atome zu bertragen.Deren Wellencharakter wurde bis damals nie beobachtet.Beispiel:Ein Elektron besitze eine kin. Energie von 100eV.ausfolgtseine de-Broglie-Wellenlnge l=0,12 nm.seine Frequenz n=2,4*10^16 Hz.

  • Davisson und Germer: Beugung von ElektronenSie demonstrierten 1926 den Wellencharakter von Teilchen. Ergebnis: Beugungsringe genau wie bei Rngtenstrahlung.Experiment:dnne Schicht(Al-Puder)e--StrahlSchirml=1nm - 5pml (100eV)=0,12nmWas heit: Wellencharakter haben?

  • Einfall einer ebenen Welle

    Wellengleichung

    Ausbreitung von Kugelwellen

    Interferenz

    Intensitt

    dnne Schicht(Al-Puder)SchirmRntgen-Strahlung: Zustandekommen der Beugungsringe

  • Einfall einer ebenen Welle

    Wellengleichung

    Ausbreitung von Kugelwellen

    Interferenz

    Intensitt

    dnne Schicht(Al-Puder)SchirmElektronen-Strahl: Gleiche Ergebnisse e- ist eine Welle?

  • Licht: Elektronen:Beschreibung:Zusammenstellen der Ergebnisse:Intensitt:Wellengleichung:Im VakuumFolgt aus den Maxwell- gleichungen fr den ladungs- und stromfreien Raum (Physik 2).?

  • Wir suchen eine Gleichung, von der wir eine Lsung kennen.Nmlich:Ist es vielleicht mglich diese Gleichung durch eine ihrer Lsungen zu rekonstruieren?2. Ableitung der Schrdinger Gleichung

  • Differentiation nach x bzw. t ergibt: Also erfllt E(x,t) die DifferentialgleichungAber: Linkslaufende Wellen kommen als Lsungen nicht vor! Wir testen diese Strategie am Beispiel der e.m. Welle!

  • Darum differenzieren wir die ebene Welleein zweites Mal: Dies fhrt auf die Differentialgleichungund entspricht der Wellengleichung im Vakuum.mitDispersionsrelation

  • Da uns die Rekonstruktion geglckt ist, versuchen wir nun auf diese Weise eine Wellengleichung fr Teilchen zu erhalten.Jedoch zuerst: Wie lautet die Dispersionsrelation fr Teilchen? Fr freie Teilchen gilt: Dispersionsrelation

  • Nun gehen wir aus Symmetriegrnden gleich zur zweiten Ableitung ber:Dispersions-relationAuch negative Frequenzen wrden die Gleichung erfllen:Unphysikalisch!

  • Weiters mchte man allein schon mit bestimmen knnen.Zu diesem Zweck darf nur die erste Zeitableitung vorkommen. Wir versuchen also miteinander zu kombinieren.

  • Die Ableitungen ergeben:?Wir versuchen nun eine andere mgliche Wellenfunktion:Bemerkung:In der klassischen Physik wird diese Funktion nur verwendet, weil damit leichter zu rechnen ist. Physikalische Relevanz hat jedoch nur der Realteil.

  • Zweimalige Differentiation vonergibt:

  • Diskussion von Y(x,t):In unserem Experiment:Was geschieht wenn jeweils nur ein Elektron auf die Folie trifft?Hypothese: entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass das Elektronen an der Stelle [x,x+Dx] auftrifft. Physlet: Doppelspalt

  • Postulat:Der Zustand eines aus einem Massenpunkt bestehenden quantenmechanischen Systems zum festen Zeitpunkt t0 ist durch Angabe der (komplexen) Wellenfunktion

    beschrieben.Statistische Interpretation:Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu t0 im Volumen d3x um x0 zu finden ist:

    Normierung:

  • Postulat:Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion ist durch die Schrdingergleichung

    gegeben.Erwin Schrdinger (* 1887 in Wien; 1961 in Wien) 1926 formulierte Schrdinger die nach ihm benannte Schrdinger-Gleichung. Sie bildet eine der Grundlagen der Quantenmechanik. Diese Arbeiten brachten ihm Weltruhm und schlielich auch den Nobelpreis fr Physik im Jahre 1933 ein.

  • Lsungen der SG:=H HamiltonianSeparartionsansatz:Einsetzen ergibt:Lsung:zeitunabhngige SG

  • Ea0xAuerhalb des Potentialkastens:Innerhalb:=03. Anwendung der Schrdinger Gleichung 1. Der unendlich tiefe Potentialkasten:

  • Lsung:Randbedingungen:

  • Energie En?SG:Normierung:

  • Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Energieeigenwerte:Ea0xBemerkung:Anzahl der Nulldurchgnge von Y entspricht dem Anregungsniveau.Bemerkung:Die Phase geht nicht inein.

  • Darstellung von in C:Wir hatten:Physlet 7.6Geogebra: Unendlich tiefer Potentialtopf

  • Anwendung der SG2. Der endlich tiefe Potentialkasten:Bemerkung:Eindringen der Wellenfunktion in die Wnde mit exponentiellem Abfall. Physlet 7.2

  • Unbekanntes PotentialPhyslet 7.5 Pot1 Was sagt die Krmmung der Wellenfunktion aus?SG:

  • Lsung:ExV(x)

  • Anwendung der SG3. Der harmonische Oszillator.

  • Weitere Unbekannte PotentialePhyslet 7.5Aufgaben:Physlet P.7.1Physlet P.7.2

  • 4. Superposition ebener WellenKann geschrieben werden als:Physlet 7.7Physlet P.7.3Physlet P.7.4Geogebra: Superposition

  • Vielen Dank fr die Aufmerksamkeit