Die Schrödinger Katze

Hauptseminar Schlüsselexperimente der Quantenphysik

Jochen Fuchs

04.02.03

Themen des Vortrags

• Das Gedankenexperiment Schrödinger Katze• Der Quantenmechanische Messprozess Vielweltentheorie Kopenhagener Deutung Dekohärenz• Experimentelle Schrödinger Katze Grundlagen der Supraleitung SQUID Experiment

Ist das vielleicht die Schrödinger Katze ?

Oder vielleicht die ?

Im Jahr 1935 veröffentlichte Erwin Schrödinger seinen berühmten Grundsatzartikel zur derzeitigen Situation der Quantentheorie.In diesem Grundsatzartikel schlägt er ein Gedankenexperiment vor, dass als

Schrödinger Katze

bekannt wird.

Erwin Schrödinger erhielt 1933 zusammen mit Paul A. Dirac den Nobelpreis für Physik

Die Schrödinger KatzeA StahlkammerB radioaktive SubstanzC GeigerzählerD Relais mit HammerE Kolben mit BlausäureF Schrödinger KatzeG BeobachterH Umgebung

Der Überlagerungszustand kann als Quantenmechanischer Zustandsvektor imHilbertraum dargestellt werden. Er ist wegen des Superpositionsprinzips Lösungder Schrödingergleichung für das illustrierte Problem.

Es ist ein Zustand aus einer Überlagerung zweier verschränkter Zustände. Die Verschränkung besteht zwischen der radioaktivenSubstanz und der Katze.

Solche Zustände werden aber nicht in unserer alltäglichen Welt beobachtet.

Die Schrödinger Katze

Wie können wir diesen Widerspruch auflösen ?

• Vielweltentheorie

• Kopenhagener Deutung

• Dekohärenz

Die ideale Messung

Wir wollen das System S betrachten an dem die Eigenschaft |n > gemessen werden soll.Der Messapparat A hat die Zeiger-Zustände , die nach der Messsunganzeigen, dass sich S im Zustand |n > befindet.

n

Messung 0 nn n

Um das Problem besser zu verstehen, müssen wir uns mit dem Messprozess beschäftigen.

Vereinfachte Schrödinger Katzeohne Verschränkung

Die Messung an einem quantenmechanischen Überlangerungszustandwürde dann so aussehen:

n 0 n

n n

c n c n n

Das Messergebnis kann nicht klassisch interpretiert werden,da es die typisch Quantenmechanischen EigenschaftenVerschränkung und Superposition beinhaltet.

Die Vielweltentheorie

Diese Theorie wurde von Hugh Everett entwickelt.Nach seiner Theorie ist die Katze gleichzeitig tot und lebendig.Der Beobachter selbst gerät in eine Superposition aus zwei unterschiedlichen mentalen Zuständen, wobei jeder eine derbeiden Möglichkeiten wahrnimmt. Es sind also 2 Welten entstanden.Dieser Standpunkt vereinfacht die Theorie, indem er das Kollaps-Postulat der Kopenhagener Deutung aus der Welt schafft.Doch der Preis für diese Vereinfachung ist die Konsequenz, dass die parallelen Wahrnehmungen der Wirklichkeit alle gleichermaßen real sind.

Welt 1

Welt 2

Die Kopenhagener Deutung

Der obige Vorgang beschreibt die Messung noch nicht vollständig.Er wird deshalb in der Literatur als premeasurement bezeichnet.In der Kopenhagener Deutung wird an diesen Vorgang noch ein Kollaps angeschlossen.

0 0n

n nn n nc Der Superpositionszustand kollabiert zu einem definiten Messergebnis

Es ist allerdings nicht möglich, diesen Kollaps durch die Schrödingergleichung zu beschreiben. Es bleibt also ungeklärt, wann und wie dieser Kollaps eintritt.

Dekohärenztheorie

2n n n n n

n

c | n > | > {| n >| >,p =| c | }

John v. Neumann betrachtete die Möglichkeit einesquantenmechanischen Messapparats. Er schlug vor das Messergebnisals ein Ensemble von alternativen Ergebnissen zu sehen. Man verwendet dann die Dichtematrix um dieWahrscheinlichkeitsverteilung der alternativen Ergebnisse zu beschreiben.

Aus dem Superpositionszustand wird ein Gemisch von Zuständen

Nach dem premeasurement befindet sich das ganze System SA im Zustand

n n

n

| c | n > | >

*

,

| |

| | | |n m n mm n

c c n m

Dies ist ein reiner Zustand mit der Dichtematrix

Die Diagonalelemente geben die Besetzung der Basiszuständean, d.h. die Wahrscheinlichkeit, das Gesamtsystem SA in diesem Zustand zu finden. Die Nichtdiagonalelemente beschreiben Interferenzen zwischen den Basiszuständen.

Interferenzen im Phasen Raum

rDie reduzierte Dichtematrix Gibt es nun einen Beobachter B des Systems, so ist dieser auch verschränkt mit dem Gesamtsystem SA. Man erhält die Dichtematrixdurch vernachlässigen(Spurbildung über) der unkontrollierbaren Feiheitsgrade

n

r | |

c n >< n

r B k kk

Die reduzierte Dichtematrix enthält keine Nichtdiagonalelemente mehr.Die Interferenzterme sind verschwunden.

r ist die Dichtematrix eines Gemischs in dem jeder Zustand | n

mit der Wahrscheilichkeit ncnp vorkommt.

Dieses Resultat würde man nach einer Messung an einem Ensemblevon Systemen erwarten.

Wo sind die Interferenzen hin ?

Die Interferenzen stecken noch im Zustand SAB.Sie sind delokalisiert worden. Vor der Messung stecken siein der Superposition des Systems S. Nach dem Premeasurement stecken sie in der Verschränkung des Zustandes des Gesamtsystems SAB

n n

n

c | n > | >

Makroskopische quantenmechanische Systeme sind nichtisoliert von ihrer Umgebung, deshalb folgen sie auch nicht der Schrödingergleichung die auf das abgeschlossenen System angewandt wird.

Offene Fragen und Probleme

In der Quantenmechanik hat man es mit Verschränkungen zu tun.Deshalb beschreibt keinen eigentliches Gemisch vonSystemen S und wird deshalb als uneigentliches Gemisch bezeichnet. Dies ist ein ernstes Interpretationsproblem aber kein Praktisches Problem. S verhält sich wie ein echtes Gemisch undes gibt keine Möglichkeit, die beiden Fälle durch lokale Messungenan S zu unterscheiden. Es sieht lokal so aus, als sei S scheinbar in die Basis kollabiert. Man spricht von scheinbarem Kollaps!!!

r

n

Dieser scheinbare Kollaps sorgt dafür, dass die Interferenzennicht mehr beobachtet werden können.

Bei einer idealen Messung scheint das System S unverändert zu

bleiben lediglich der Messapparat A scheint beeinflußt zu werden.

0 n| n | | n |

Ist S jedoch ein Superpositionszustand, dann führt das Auftreten der Verschränkung von S und A zu einer Rückwirkung auf S, diefür den scheinbaren Kollaps sorgt und damit dafür, dass eine klassische Eigenschaft ist.Die klassischen Eigenschaften sind keine Eigenschaften des Systems San sich, sondern sie entstehen durch Wechselwirkung mit A. Dabei muß A kein Messapparat sein, sondern einfach nur die wechselwirkende Umgebung.

|n

S erhält klassische Eigenschaften nicht als makroskopisches Objekt, sondern als nicht-isoliertes Objekt.

Der Messablauf

p re m e a sure m e ntSc hrö d ing e r - Dyna m ik

De ko hä re nz

Sup e rp o sitio nVe rsc hrä nkung

Ko lla p s G e m isc h

Ko lla p s

n 0

n

c n

n

n

c n n

0 0n n

nn

Experimentelle Schrödinger Katzen

• Ionen in Fallen (Wineland, NIST)

• Atome in Resonatoren (Haroche, Paris)

• C60-Moleküle (Zeilinger, Wien)

• SQUIDs ( Friedman, van der Wal)

• ...

Supraleitung

Zwei Elektronen können durch PolarisationDer Nachbaratome eine attraktive Wechselwirkung empfinden.Diese Wechselwirkung entsteht durch

Die Gitterverzerrung (virtuelle Phononen)

Zwei Elektronen bilden ein Cooper-PaarDie Cooper-Paare nehmen alle einenZustand ein und bilden eine Wellenfunktion

Der magnetische Fluß durch einen SQUID ist quantisiert.Er kann nur diskrete Werte annehmen

0n 1,2,3,...n

11 20 2 10 T cm

2

h

e

Die Flußquantisierung

mit

Der magnetische Fluß

A

B dA L I

Ist ein Maß für die magnetischen Kraftlinien durch die Fläche A

Das Flußquant

SQUID (Superconducting Quantum Interference Device)

Ein angelegtes magnetisches Felderzeugt einen Strom in demSupraleitenden Ring

Für den resultierenden magnetischen Fluß, der sich ausdem von außen angelegten Flußund dem durch den Strom im Ring erzeugtenFluß zusammensetzt, gilt die Quantisierungsbegdingung

Ein SQUID besteht aus einemSupraleitenden Ring mit 2 Josephson Kontakten.

Josephson-Kontakt

Zwei durch einen Isolator getrennteSupraleiterCooper-Paare tunneln durch denIsolator

Phasendifferenz

Stromdichte

Energie des Josephson-Kontakts

20

2eUt

0 sinI I

0 cosJE E

Versuch

Wenn man von außen ein magnetisches Feld anlegt, dann wird ein Strom im supraleitenden Ring induziert. Dieser Strom läuft im oder gegen den Uhrzeigersinn, um den angelegten Fluß entweder zu erhöhen oder zu erniedrigen, so dassein ganzzahliges Vielfaches des Flußquantes entsteht.

Die schwache Kopplung über die Josephson Kontakte erlaubtdann Übergängen zwischen diesen beiden Zuständen.

Schematische Darstellung des Stromkreispotentials

Die Energie ist auf der vertikalenAchse gegen die Josephson Phasenkoordinate auf der horizontalen Achse aufgetragen.

Ist der Fluß kleiner als ,dann sind die beiden niedrigstenEigenzustände klar lokalisiert auf beiden Seiten der Energiebarriere.Sie entsprechen den beiden klassischen Stromzuständen.Wenn der Fluß aber in die Nähe von kommt, dann ist einTunneln zwischen den beiden Zuständen möglich. Die Eigenzustände teilensich in einen symmetrischen und antisymmetrischen Superpositionzustandder beiden Stromzustände auf.

0

1

2ext

0

1

2ext

Energielevel und Ströme als Funktion des anglegten magn. Flußes

Die Energien der beiden lokalisiertenStromzustände werden durch die gestrichelten Linien beschrieben. Sie kreuzen sich bei

Die blaue Linie zeigt den quantenmechanischen Grundzustand und die rote Linie den ersten angeregten Zustand, diese schneidensich nicht zwischen ihnen liegt eineEnergiedifferenz von E

0

1

2ext

Das untere Schaubild zeigt den quantenmechanischen Erwartungswertfür

/q i extI

den Strom im Grundzustand und im ersten angeregten Zustand

Es werden Mikrowellen mit niedriger Amplitude angelegt,um einen Übergang zwischen den Zuständen zu bewirken.

Die beiden quantenmechanischen Zustände haben die Energien

2

20(1) 0

1( )

2p extE t I

Damit ist die Energiedifferenz der beiden Zustände

2

2

0

12 2

2p extE t I

Experimenteller Aufbau

Im inneren befindet sich der supraleitendenStromkreis mit 3 Josephson Kontakten.Der Stromkreis ist aus Aluminium, die Josephson Kontakte sind mit einer Aluminimoxidschicht Al-Al2O3-Alrealisiert. Der ganze Aufbau befindet sich auf einemSiliziumoxidsubstrat und wurde mit Hilfe von ElektronenstrahlLithographie hergestellt.

Um den Stromkreis herum befindet sich ein DC-SQUID zur Strommessung

Dieser Aufbau befindet sich in einer Kupfer-Kammer, die durchzwei mu-Metall und eine supraleitende Schicht abgeschirmt wird.Das Experiment wir bei ca. 30 mK durchgeführt.

Der zu messende magn. Fluß kann in das SQUID eindringen,man legt zusätzlich von außen ein wechselndes Magnetfeld an dasSQUID an. Damit ist der gesamte äußere Fluß den das SQUID spürt

* sina g Rt

Das Spannungsignal bei ist dann gegeben durch

R

J1 ist die Besselfunktion 1. Ordnung

*

10 0

2 cos 2 sinR

gR RV J t

Der SQUID als Magnetfeldmesser

d dR gV

Um sehr kleine Änderungen des Magnetfeldes zu bestimmen,überlagert man dem Fluß eine kleine niederfrequente Änderungdiese kleine Änderung von tastet aba

a

Das resultierende Signal wird dazu verwendet, um eine Zusatzspule so zu steuern, dass wirksame Fluß konstant bleibt. Der Strom durch die Kompensationsspule ist ein Maß für die Abweichung des Außenfeldes von dem eingestellten Wert.Bei einer wirksamen Fläche des SQUIDs von 0,1cm bedeutet

dies eine Empfindlichkeit der Feldmessung von

g

2

142 10 T

Ergebnis

Man kann deutlich 2 Spitzen in der Messkurve erkennen.Diese Spitzen tretten nur auf, wenn die Mikrowellenstrahlungvon außen angelegt wird. Die eine Spitze, ist der symmetrische Überlagerungszustand, die andere Spitze der antisymmetrischeÜberlagerungszustand.

Ausblick

Der Quantencomputer

E. Schrödinger, ``Die gegenwartige Situation in der Quantenmechanik,'' Naturwissenschaftern 23 (1935).

J. E. Mooij, T. P. Orlando, L. Levitov, Lin Tian, C. H. van der Wal, S. Lloyd, Science 285(1999)

T. Leggett, Physics World, Aug. 2000, 23

J. R. Friedman, V. Patel, W. Chen, S. K. Tolpygo, J. E. Lukens, Nature 406 (2000) 43

Werner Buckel, Supraleitung, VCH Verlagsgesellschaft, 1990

J.R. Waldram, Superconductiviy of Metals and Cuprates, Institut of Physics Publishing,1996

W.H. Zurek Decoherence and the transition from quantum to classical, Physics today, October 1991

M. Tegmark und J.A. Wheeler, 100 Jahre Quantentheorie, Spektrum der Wissenschaft, April 2001

PhD theses C.H. van der Wal

Literaturangaben

Die Schrödinger Katze lebt !

Oder ?