Die u stetiger Gruppen im groBen. Von OTTO SCHREIER in Hamburg.

Nachdem wir yon LIE wissen, dab die Struktur kontinuierlicher Gruppen - - unter hinlanglich engen Voraussetzungen - - im kleinen bereits durch den Tensor ihrer Zusammensetzungskonstanten eindeutig bestimmt wird, und so die Untersuchung aller m(iglichen Gruppenstrukturen im kleinen auf ein algebraisches Problem zuriickgeftihrt ist, liegt die Frage nahe: Welche Beziehung besteht im groBen zwischen Gruppen, die im k le inen tibereinstimmen? Der Untersuchung dieser Beziehung war tier Hauptteil meiner Arbeit ,,Abstrakte kontinuierliche Gruppen" ~) gewidmet. Es ergab sich, dab alle kontinuierlichen.Gruppen, die im kleinen dieselbe Struktur haben, als Faktorgruppen einer bestimmten unter ihnen, der Uberlagerungsgruppe, aufgefafit werden k0nnen. Die dabei auftretenden Normalteiler sind ABELsch und mit der Fundamentalgruppe der - - als Raum aufgefaBten ~ zugeh0rigen Faktorgruppe isomorph. Zur Kon- struktion der Uberlagerungsgruppe wurde die Methode der abstrakten Gruppentheorie verwendet, eine Gruppe durch erzeugende Symbole und definierende Relationen zu bestimmen. Dadurch wird zwar die Bestimmt- heit durch das Verhalten im kleinen in Evidenz gesetzt, allein die topo- logische Seite der Fragestellung tritt dabei allzusehr in den Hintergrund.

Im folgenden sollen nun neue Beweise der angedeuteten Sittze gegeben werden. Im Gegensatz zu den frfiheren ist der topologische Gesichtspunkt in den Vordergrund gertickt. Man hat so den Vorteil, die Uberlagerungsgruppe unmittelbar im grofien definieren zu k0nnen. Auch zeigt die jetzige Anordnung deutlich, an welchen Stellen die ein- zelnen Voraussetzungen fiber die Gruppen wesentlich in den Beweis eintreten. Es ergibt sich so auch eine Erweiterung des Giiltigkeits- bereichs der Siitze. - - Auf A. k. G. wird dabei m(iglichst wenig - - so gut wie gar nicht - - zurtickgegriffen.

.

Es sei ~ ein K o n v e r g e n z r a u m ~ ) , also eine Menge, in der ein Grenzbegriff gem~B folgenden Forderungen festgelegt ist: a) Aus Pn ~ P

und P,~ -~ Q folgt P - - Q. b) Aus Pn -~ P folgt P~v -~ P fiir jede un- endliche Teilfolge. c) Aus Pn+l ~ P folgt P~-~ P. d) Ist Pn = P ftir alle n, so gilt P,~o P. Unter einem Weg w auf ~ verstehen wir eine

') Hamb. Abh., Bd. 4 (1926), S. 15--32; im folgenden kurz als A. k. G. zitiert. 2) Vgl. H. KNESER, Math. Zeitschr., Bd. 25 (1926), S. 362ff.

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234 0. Schreier.

im Intervall 0 ~ t ~ 1 (eindeutige und) stetige Funktion F(t), deren Werte Punkte von ~ sind. F(0) und F ( I ) heifen Anfangs- und End- punkt yon w; w ,,verbindet" F(0) mit F(1). Fallen Anfangs- und End-

punkt yon w zusammen, so ist w gesehlossen; ~ - ist dann eine

auf der Peripherie des Einheitskreises 0 < r < 1, 0 ~ 5o _< 2 ~ stetige

Funktion. L~gt sieh E{9-~- ) zu einer im ganzen Einheitskreis ein-

sehlieflieh des Randes stetigen Funktion ergftnzen, so heigt der Weg w zusammenziehbar.

Ist w der dureh F( t ) bestimmte Weg, so bezeiehnen wir den dureh F ( 1 - t) bestimmten ~Veg als den zu w inversen Weg w -1. Fill" je zwei Wege wl, w~, bei dene: der Endpunkt des ersten in dell Anfangspunkt des zweiten fiillt, definieren wir einen Produktweg w~ w.~ ~ w: es seien w~, u,~ durch F~ (t), F~ (t) gegeben ; dana wird die den Weg u, bestimmende Funktion durch

/F , (2 t ) , o < t _< F ( t ) ~ ] F~ (2 / - - 1 ) , ~- ~L t - 5 1

erklitrt. Nunmehr nennen wit zwei Wege u,x, w..,, die in ihren Anfangs- und

Endpunkten iibereinstimmen, einander gleich, w~ ~ w..,, wenn der Weg u,~ -a u,:, zusammenziehbar ist. Diese Gleichheitsdefinition ist miihelos als transitiv, symmetrisch und reflexiv zu erkennen, also zul~tssig. Derselbe Weg kann also jetzt durch verschiedene Funktionen bestimmt werden. Der inverse Weg und der Produktweg erweisen sieh als unabhangig v o n d e r Auswahl t,~:~ . . . . r Wege bestimmenden Funktionen. Ferner gelten die beiden Rechenregeln: 1. Wenn das Produkt w~ ~'~ - . . ,c,, bei einer gewissen Klammernsetzung sinnvoll ist, so trifft dies fiir jede (an sich sinnvolle) Klammernsetzung zu und das Produkt ist unabhitngig yon der Wahl der Klammernsetzung. 2. Der zu , -~ inverse Weg ist w und die Ausdrfieke w w -~ bzw. w -~ w diirfen in jedem Produkt gestrichen werden.

Weiter sagen wir: Eine Folge {u'~} yon Wegen k o n v e r g i e r t gegen den P u n k t P, wenn die Wege wn so durch Funktionen F , , ( t ) bestimmt werden k(Jnnen, daf F n ( t , ~ ) ~ P ffir jede Folge {t~,} aus 0 ~ t ~ 1. Endlich heife eine Folge yon Wegen {Wn} mit dem festen Anfangs- punkt P k o n v e r g e n t , wenn es einen Weg w mit dem Anfangspunkt P gibt, so daft die Wege w -~ w~ gegen einen Punkt (den Endpunkt yon w) konvergieren. Wir schreiben w , ~ w. Im allgemeinen ist aber w durch diese Forderung n i ch t eindeutig bestimmt.

Wir wollen nun unseren Konvergenzraum ~ folgenden Postulaten unterwerfen:

'Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im groflen. 235

(a) J e zwei P u n k t e yon 3 k( innen durch e i n e n W e g auf 3 v e r b u n d e n werdenS).

(fl) K o n v e r g i e r t e ine F o l g e g e s c h l o s s e n e r W e g e gegen e inen P u n k t , so s ind f a s t a l le W e g e der F o l g e z u s a m m e n z i e h b a r . Unter diesen Voraussetzungen bilden die Wege auf 3 mit festem

Anfangspunkt P einen Konvergenzraum. Es ist offenbar nur zu zeigen, dab aus w.,-~ w, ~,vn-~ w* folgt w ~ ~v*. Wit setzen ?12 -1 ?f;n ~ Wn,

~t,,-i w,, ~ w~'. Nach Definition konvergieren dann die Wege a,~ und / / / - - 1 ]p ~',~ gegen P. Ferner sind die Wege wn w~ geschlossen und kon-

P- -1 ,'t vergieren gegen P. Also sind fast alle Wege w, wn zusammenziehbar, P/ d.h. w~ ~-w,~ ffir fast alle n. Daraus folgt aber unmittelbar die

Behauptung. Es sei m (P) der so gewonnene neue Konvergenzraum. m (P) geniigt

der Forderung (a). Es geniigt zu zeigen, da~ jedes Element yon re(P) mtt dem durch die konstante Funktion Fo (t) --- P bestimmten Element e auf re(P) verbunden werden kann. Sei also w ein beliebiger Weg auf mit dem Anfangspunkt P, definiert etwa durch F(t). Verstehen wir dann unter w(s) fftr jedes s aus 0 ~ s ~ 1 den durch die Funktion F(st) (0 < t < 1) bestimmten Weg auf 3 , so erkennen wir: w(s)hangt stetig yon s ab und der so bestimmte Weg auf m (P) verbindet emit u'. Auch Forderung (~) ist fiir re(P) erffillt, es gilt sogar

Sa t z 1. A u f tD(P) ist jeder geschlossene Weq zusammenziehbar. Offenbar gentigt es, diese Behauptung fiir die geschlossenen Wege

auf re(P) mit dem Anfangspunkt e zu beweisen. Sei zun~tchst ~ irgend- ein Weg auf re(P) mit dem Anfangspunkt e, bestimmt durch die stetige Fuuktion w(s), deren Werte in re(P) liegen. ,t,(s) selbst sei dutch die in t stetige Funktion F(s; t) bestimmt. Bemerken wir, dab F(s; l) stetig yon s abhangt! Denn ist s ~ limsn, so gilt w(sn)--*w(s), also kon- vergieren die Endpunkte yon w(sn) gegen den Endpunkt von ~c(s), d.h. F(s~; 1) -~F(s ; 1). Wir betrachten nun fiir 0 < s < 1 den Weg w'(s) auf 3 , der durch F(st; 1) gegeben ist (0 _< t < l), und behaupteu ~v'(s) ~ w(s). Zum Beweis sei sn eine konvergente Folge mit dem Grenzwert s. Wit bilden w,~ ~ w -1 (s) w(s,~) und w~, ~ u ,'-1 (s) w' (sn). Dann konvergieren sowohl die w, wie die w~ gegen den gemeinsamen Endpunkt F(s; 1) yon w(s) und w' (s). Da fiberdies w,~, ~,~ in Anfangs- und Endpunkt fibereinstimme||, folgt aus (~) wie zuvor u,n = w~ fiir fast alle n. Wir erkennen demnach: ]st l i m s n - - s , so sind die beiden Aussagen ,,w(s~)--- w'(s,,) fiir fast a l l e n " und ,,u~(s) ..... ~d(s)" i~qui- valent. Daher ist der Teil des ]ntervalls 0 ~-:~ s ?~ 1, in dem w(s) = w'(s),

3) Auf Grund yon (-) bilden ,tie Wege auf ~ ein Gruppoid im Sinn von Herrn it. B r a n d t , Math. Ann., Bd. 96 (1926), S. 360ff. Die Einheiten sind (tie durch kon- stante Funktionen bestimmbarm~ Weg~,

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236 O. Schreier.

abgesehlossen, ebenso aber aueh der Tell, in dem w(s) ~ w' (s). Einer yon beiden Teilen ist also leer. Da w(0) ~ w'(0) ~ e, so gilt also besti~ndig w'(s)----w(s), i-~ wird also aueh dureh w'(s) bestimmt. Jetzt nehmen wir an, daft ~ geschlossen ist. Dann ist w'(I) ~ w'(0) ~ e,

also ist w'(i) zusammenziehbar. F ( - ~ ; 1)l~flt sich daher zu einer r

im abgesehlossenen Einheitskreis stetigen Funktion G(r, ~) erglinzen.

War wollen zeigen, daft auch w~(,2~ ) zu einer im abgeschlossenen

Einheitskreis stetigen Funktion erweitert werden kann. Zu diesem Zweek sei r ---- r(t), ~ ~ ~(t) ein im Einheitskreis verlaufender Weg, der den Punkt (r == 1 ~ ~ 0) mit dem Punkt (ro, ~o) verbindet; dann sei f(ro, ~o) der durca H(t) -~-G(r(t), ~(t)) definierte Weg auf ~ . Da im Einheitskreis jeder gesehlossene Weg zusammenziehbar ist, h~trgt f(ro, ~o) nicht yon der Wahl des Wegs im Einheitskreis ab und

f (r , ~) ist eine Ergi~nzung von w ~ (2-~)" Aus der Stetigkeit v o n G(r,

folgt unmittelbar die Stetigkeit von f (r , ~). Damit ist aber unser Satz bewiesen.

1

Es sei jetzt (~ eine L - G r u p p e , also eine Gruppe, deren Elemente einen Konvergenzraum bilden, in dem das Produkt zweier Elemente sowie das inverse Element stetige Funktionen sind: Aus A~--->A, B,~--)B folgt An B,,-~ A B, aus An--) A folgt A~loA -1. Ffir (~ setzen wir ferner die Forderungen (a), (f) als erftillt voraus. Da w i r e s jetzt mit einer Gruppe zu tun haben, ktinnen wir auch Wege mit verschiedenen Anfangs- punkten vergleiehen. Wir kommen iiberein, die dutch F(t) und AF(t) bestimmten Wege auf (~ als gleich zu bezeichnen, wenn A irgendein (yon t unabhiingiges) Element yon (~ ist. Durch passende Wahl yon A k0nnen wir den Anfangspunkt eines gegebenen Weges nach einem beliebigen Element yon (~ verlegen, den Weg also yon einem beliebigen Punkt aus durchlaufen. Wir sind daher auch in der Lage, irgend zwei Wege miteinander zu multiplizieren. Aus 1. folgt, daft wir so die Menge der Wege auf (~ zu einer Gruppe .q machen. Jedes Element yon repr~tsentieren wit dutch einen Weg vom Einheitselement Eder Gruppe (~ aus.

Die Grenzdefinitiofi, die in 1. ffir Wege gleichen Anfangspunktes gegeben wurde, kann jetzt so ausgesprochen werden. Die Folge {w~} konvergiert gegen w, wenn die Wege w-l~l:,, yon E aus durchlaufen, gegen E konvergiere.. Wir wollen zeigen, da~ ~ zufolge dieser Grenz- definition eine L-Gruppe ist, da~ also Produktweg und inverser Weg stetige Funktionen sind.

Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im groflen. 237

Dazu bediirfen wir einiger Vorbemerkungen tiber Wegfolgen, die yon E aus durchlaufen, gegen E konvergieren. Wir wollen sol,he Folgen yon Wegen kurz als E-Folgen bezeichnen.

a) Es sei {wn/eine E-Folge, dann ist auch {w~ ~ } eine E-Folge. wn l~flt sieh dureh Fn(0 bestimmen, wobei F n ( 0 ) ~ E und Fn ( t , )- . E

fiir jede Folge {~}. Dann ist w~ -1 dureh F~ 1 (1) F , ( 1 - - 0 bestimmt und offenbar gilt F~l(1) Fn(1--tn)-~E. Analog zu beweisen ist

b) Sind {w~}, {w~'} E-Folgen, so aueh {w~w~}. c) Ist {wn} eine E-Folge, so auch {w-~wnw} fiir jedes feste w.

Es sei w dureh F(t), wn dureh Fn (t) bestimmt, wobei F(0) ~ Fn (0) ----- E und Fn(t , , )~E fiir jede Folge {tn}. Wir bflden

G(x, y) = F-~(1) Fn(y) F ( l - - x ) .

G (x, y) ist im Einheitsquadrat 0 ~ x _~ 1, 0 ~ y ~ 1 stetig. Der Weg w-~w~w wird erhalten, wenn wir der Reihe nach die Seiten y ~ 0, 0 ~ x ~ 1; x ~-- 1, 0 ~ y ~ 1; y ~ 1, 1 ~ x ~ 0 dieses Quadrats

f durchlaufen. Daher wird wn ~ w -~ w~ w a!:ch dureh die Durchlaufung der letzten Quadratseite x ~ 0, 0 ~ y ~ 1 bestimmt, also durch die Funktion F/~(t) -~- F-~(1)F,~(t)F(1). Nun ist aber evident, daft {w~,} eine E-Folge ist.

Jetzt ist es leicht, 9 als L-Gruppe zu erkennen. Es sei w~-~w', t I - - 1 r / { W l P - - 1 w~-~w". Dann sind /w w ~ und w~} E-Folgen. Sodann gilt

( / / y , ' , , , - -1 , ' ! _ - - ( W H - - 1 , - - 1 ! " W " ) " H - - 1 , , w ) wnwn .w w~ w wn, also ist nach a), b), c) auch (w'w")-~w',,w~ eine E-Folge, d .h. ' " 'w" w,~w,, --.w . Analog folgt aus a) undc) , dal3 der inverse Weg stetig ist.

g i s t mit (~ homomorph. 4) Wir ordnen ni~mlich jedem, yon E aus durchlaufenen Weg auf (~ seinen Endpunkt zu. So ist eine eindeutige Abbildung a v o n .q auf q~ definiert. Wegen Forderung (a), die ja ftir (~ erfiillt sein sollte, ist jedes Element A a u s (~ auf einem Weg a yon E aus erreiehbar, also gibt es zu jedem A in (~ (mindestens) ein a in g, so dab (~(a) ~--- A. 0ffenbar gilt ~(a) ~(b) ~ ~(ab) fiir je zwei Elemente a und b von ft. Die Wege a, ftir (lie ~(a) ----- E, sind die geschlossenen Wege auf (~; sie bilden die Fundamentalgruppe [ yon (~ und wir sehen: ~ ist Norm~lteiler von 9 und (~ ist mit .q/~ isomorph.

Bezeichnen wir einen Normalteiler einer L- Gruppe als di s k r e t , wenn er kein Hi~ufungselement besitzt, so folgt aus (~), daft [ ein diskreter Normalteiler yon g i s t . A . k . G . Satz 8 lehrt, daft ~ AB~Lsch ist. Jede L-Gruppe, die den Bedingungen (a), (~) gentigt, besitzt dem- nach eine kommutative Fundamentalgruppe. Zu schi~rferen Aussagen gelangen wir, wenn wir (~ noch eine weitere Bedingung auferlegen:

~) Wi~ verwenden ,,homomorph" stets in der Bedeutung yon ,,ein- oder mehr- stufig isomorph", ,,isomorph" aber nut in der Bedeutung yon ,,einstufig isomorph"

238 0. Schreier.

(u K o n v e r g i e r e n die E l e m e n t e A n ~ E , so g ib t es W e g c auf (~ yon E naeh A,, die e ine E - F o l g e bi lden.

Ist (r) erffillt, so vermittelt n~imlich a sogar eine stetige Homo- morphie ~) von g mit ~ . Zun~chst ht~ngt ja der Endpunkt stetig vom Weg ab, also ist a stetig. Ist ferner {An} eine konvergente Folge aus (~, An ~ A, so gibt es nach (7) eine E-Folge von Wegen wn, die yon E aus durchlaufen nach A -1 An, also yon A aus durchlaufen nach An ftihren. Ist a ein Weg von E nach A, so bilden demnach die Wege a w , - - a n eine konvergente Folge aus g, fiir die a ( a , ) ~ A~,. Damit haben wir auf Grund von Satz 1 und A. k. G. Satz 2 den

S a t z 2. Sei (~ eine L-Gruppe, die den Forderungen (a), (~), (y) geniigt, g die [rGruppe ler Wege auf 63, [ die Fundamental.qruppe von ~. Dann ist [ ein diskrewr Normalteiler yon fl und ~ ist stetig isomorp/~ mit der Faktor-L-Gruppe (.q/[)L. A u f .q ist jeder geschlossene Weq zu- zammenziehbar. [ ist Abelsch. 5)

3. Es sei ~ eine beliebige L-Gruppe. Unter einem offenen Teil

von ~ verstehen wir einen Teil yon ~, ~essen Komplement auf Grund der Grenzdefinition in 63 abgeschlossen ist. Eine Teilmenge ~: yon 63 ist dann und nur dann often, wenn fiir jedes Element T yon ~ aus S,, ~ T folgt, daft fast alle Sn zu ~ gehOren. Eine (nicht-leere) offene Menge I)ezeichnen wir als Umgebuug jedes ihrer Elemente. Der Durch- schnitt zweier Umgebungen eines Elements A ist wieder eine Umgebung von A.

Wir definieren nun: Zwei L-Gruppen 63, ~* heifien i s o m o r p h ira k l e i n e n , wenn cs eiee Umgebung U der Einheit E in 63, eine Um- gebung U* der Einheit E* in (~* und eine topologische Abbildung a yon U auf U* yon folgender Art gibt: Ist U~, U~ : Ua (U~, ~2, U3 in U). so ist a(U~)a(U~) : a(Us); ist U~* U2* = U~* (U*, U2*, U~* in U*), so ist a -x (UI*) a -L (U2*) ~ a -~ (U-a*). U und U* heii~en stetig isomorph.

Die Beziehung ,,isomorph im kleinen" ist transitiv, symmetriseh und reflexly. Die L-Gruppen zerfallen also in Klassen im kleinen isomorpher Gruppen.

Unser Ziel ist es, unter gewissen Voraussetzungen zu zeigen, dail die L-Gruppe der Wege auf 63 fiir alle Gruppen eiuer Klasse gleieh ausfallt und selbst der Klasse angeh6rt.

Wir sehicken drei Hilfss~ttze voraus. H i l f s s a t z 1. 63, (~*. U, U* und a m6gen dieselbe ]3ede~dung

haben wie zuvor. Es seien {Un}, {I~} konverqente Folgen aus U, und

5) ,,Stetig homomorph" ist bier an Stelle des in A. k. G. verwendeten ,,mehrstufig stetig isomorph" gebraucht. Fiir diesen Begriff sowie die Begriffe ,,stetig isomorph" und ,Faktor-L-Gruppe" vergleiche man A. k. G. (a. a. 0. S. 16 f.).

Die Verwandtschaft stetiger Gruppeu im grofien. 239

zwar Us ---, U, T~ ~ E, wobei auch U zu 11 geh6rt. Dann gilt f i ir fast a l l en : ~(U -1 Vs Us) -~- (~(U) -1 ~(Vn) a(Un).

Wir setzen U-"Vn Un ~ T,,, also V,, Us ----- UTs. Es gilt VsUs--,U, also liegen fast alle Vs Us in 11 undes ist ffir diese n ! a (.Vn) a(Us) ---- a( Vs Us); ebenso gilt Tn ~ E und folglich fiir fast a l l en auch a(U) a(T~) = a(UTn) = (r(V:, Un) -~ ~(Vs) r d. h. (r(Ts) = o'(U) -1 o'(Vn) o'(U,).

TTa)I H i l f s s a t z 2. Mit denselben Bezeichnungen wie zuvor seien {,~s (i ~ -1 . 2, . . . , s) konvergente Folgen aus U und U (i) ihre gleichfalls in 1I enthaltenen Grenzelemente. Dann j i l t f i ir fast alle n:

1 f l ) f l f l ~ ( H v( i ) - i UIn') = (~ ( Y(i))-I ff (U~:')) �9 - i~l i=s i~l

Dies ist ftir s ~- 1 im Hilfssatz 1 enthalten. Unter Anwendung vollstandiger Induktion ergibt sich dann auf Grund yon Hilfssatz 1 miihelos die allgemeine Richtigkeit.

H i l f s s a t z 3. (~, (~*, 11, 11" und a haben dieselbe Bedeutung wie bisber. Es sei t ein beschr~inkter, abgeschlossener, konvexer K6rper eines Euklidischen Raumes, dessen Punkte wit n~it x bezeichnen. F(x) sei eine stetige Funktion auf t, deren Wert in (~ liegt. Dann gibt es eine Funk- lion F* (x) auf f, deren Wert in (~* liegt und die folgende Eigenschaft ]tat: Aus Xs ---, x folgt a (F -1 (x) F(xs)) : F *-1 (x) F* (xn) f i ir fast alle n. F*(x) ist sogar eindeutig bestimmt, wenn F*(xo) flir einen Punkt x o von ~ vor.qeschrieben wird. F* (x) ist stetig.

Beweisen wir zuerst die Existenz einer solchen Funkfion F* (x)! Sicher gibt es eine positive Zahl 0, so da~ fiir je zwei Punkte x, y yon r, deren Abstand r(x, y).<Q, das Element F - ~ ( x ) F ( y ) in 11 liegt. Denn andernfalls gabe es eine Folge yon Paaren {xn, ys} aus t, so daft lira r(xn, y~) = 0 und trotzdem kein F- l (xn )F(yn) in 11 liegt. Indem wir n0tigenfalls zu einer Teilfo]ge tibergehen, k0nnen wir annehmen x,~--, z, ys--" z, wo auch z zu ! geh0rt. Wegen der Stetigl~eit von F(x) hi~tten wir daher F - ~ ( X s ) F ( y s ) ~ F -~ ( z ) F ( z ) ~ E, was nicht mtiglich ist, wenn alle F-~(Xs).F(yn) au~erhalb yon 1.l li-egen. Q sei also gemi~fi unserer Bedingung gewahlt. Nun bestimmen wir eine natfirliche Zahl s

so groin, dal] d < 0, wobei d den Durchmesser yon t bedeutet. Jeden s

Punkt yon f verbinden wir mit Xo dutch eine Strecke und wi~hlen auf X (s) ~ X. F - I ( x ( i - 1 ) ) F ( x (i)) ihr die i~quidistanten Punkte Xo x (~ x (1), . . . ,

----- U/(x) ist dann ein Element von 11, das offenbar steti~ yon x abhangt (i z 1, 2, . . . , s), und wir erhalten

8

240 0. Schl~ier.

Demgemfifl maehen wir den Ansatz $

F* (x) ==- F* (xo) H U* (x), i = = l

wobei U*(x)--= a(Ui(x)) gesetzt ist. Wenn dann xn eine konvergente Folge aus [ mit dem Grenzpunkt x ist, so haben wir

1 8

F* = 1-I Ut -1 U* (x.),

also nach Hilfssatz 2:

.F*- (x) F*(xn) = a(F -1 (x) F(Xn))

fiir fast a l l e n . Ersichtlich ist F* (x) stetig. Es bleibt noch die Eindeutigkeit yon F*(x) zu beweisen. Seiea

F~ (x), F~'(x) zwei Funktionen, die beide die verlangte Eigensehaft haben und im Punkt Xo tibereinstimmen. Aus x,,--, x folgt dann F~-l(x) F*(xn )~ F*-l(x)F*(xn) ftir fast alle n. Wie in 1. sind daher die beiden Aussagen ,,FI* (x) = F2* (x):' und ,,FI* (xn) = F~* (x~) ftir fast alle n" i~quivalent. Also ist der Teil yon f, in dem F~* und F~ iibereinstimmen, abgeschlossen, ebenso aber auch der iibrige Teil von f. Einer yon beiden Teilen ist also leer. Da F~* und F2* im Punkt xo iibereinstimmen, so stimmen sie auf ganz f iiberein.

Nunmehr sind wir imstande, die Gruppen der Wege auf zwei im kleinen iSomorphen Gruppen $ und (~* in Beziehung zu setzen. Sei namlich w ein Weg auf (~ und F(t) eine ihn bestimmende Funktion, F(0) -~- E. Dann bestimmen wir die Funktion F* (t) gemi~B Hilfssatz 3 mit dem Anfangswert F* ( 0 ) ~ E*. (Als konvexer Ktirper tritt bier die Strecke 0 ~ t ~ 1 auf.) Den durch F*( t ) auf (~* bestimmten Weg w* ordnen wir dem Weg w zu. Da F* nach Hilfssatz 3 eindeutig bestimmt ist, ergibt sieh mtihelos, dab bei dieser Zuordnung dem Produkt zweier Wege das Produkt der entsprechenden Wege, dem inversen eines Wegs der inverse des entsprechenden Wegs zugeordnet ist. Ist ins- besondere w ein zusammenziehbarer Weg auf (~, so li~Bt sich die ibn bestimmende Funktion F(t) nach der Substitution ~ ----- 2 7r t zu einer im abgeschlossenen Einheitskreis stetigen Funktion ergi~nzen. Vermtige yon Hilfssatz 3 fibertragt sich diese Eigenschaft unmittelbar auf F*(t). Also entsprechen bei unserer Zuordnung zusammenziehbaren Wegen stets wieder zusammenziehbare Wege. Daraus folgt jetzt, dab der zugeordnete Weg w* dureh w allein bereits bestimmt ist, also nieht vonder Auswahl der w bestimmenden Funktion F(t) abhi~ngt. Weiter erkennen wir, daft einer E-Folge von Wegen auf (~ wieder eine E*-Folge yon Wegen auf (~*

Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im groflen. 241

entspricht. Sei n~mlich {w~} eine E-Folge, repr~sentiert durch {Fn(t)}. Sicher verlaufen fast alle w, ganz in 11. Denn andernfalls gi~be es eine unendliche Folge n~, so daft keiner der Wege wn, ganz in 11 verliefe, also gi~be es auch eine Folge {t~}, so daft Fn~(t,~) nicht zu 11 gehClrte. Nach Definition der E-Folge ware aber F,~v(tv ) ~ E, was zu einem

Widersprueh ftihrt. Ffir fast a l l e n ist also F,*(t)~-a(F,,(t)) sinnvoll und gentigt tier Bedingung yon Hilfssatz 3. Also ist w* ffir diese n durch F* (t) bestimmt, woraus unmittelbar zu ersehen ist, dag {w*} eine E*-Folge ist. Unsere Abbildung der Wege w (auf qfi) auf die Wege w* (auf ~*) ist demnach eindeutig, isoInorph und stetig. Da aber qfi und qfi* bei dieser Abbildung die gleiche Rolle spielen, ist unsere Abbfldung sogar topologisch und isomorph.

Nehmen wir jetzt an, daft (~ und (~* den Forderungen (a), (~) genfigen, so erhalten wir den

Sa t z 3. Sind (~ und (~* im kleinen isomorphe L-Grul)pen , die den Forderungen (a) und (~) geniigen, so sind die L-Gruppen ~ und fl* der Wege auf q5 und ~* stetig isomorph.

4. Wir verschi~rfen jetzt unsere Voraussetzungen fiber qg, indem wir

auger (a), (/~) und (7) noch folgende Forderung stellen: ($) Es g i b t e ine U m g e b u n g 1I des E i n h e i t s e l e m e n t s E, so

daft a l le E l e m e n t e von 1I i n n e r h a l b von 11 mi t E d u r c h W e g e v e r b u n d e n w e r d e n k t i n n e n und al le in 11.1I v e r l a u f e n d e n ge- s c h l o s s e n e n W e g e z u s a m m e n z i e h b a r s ind.

Eine L-Gruppe, die den Forderungen (a), (~), 0'), (~) genfigt, nennen wir eine s t e t i g e Gruppe. Ist qfi eine stetige Gruppe, so ist auch die L-Gruppe g der Wege auf qfi stetig, denn (a), (~), (y) sind offenbar fiir ~ erftillt, ($) aber sogar in trivialer Weise, indem man g selbst ffir die in (J) vorkommende Umgebung der Einheit verwendet.

Sa t z 4. Jede stetige Gruppe ist mit der stetigen Gruppe ihrer Wege isomorph im kleinen.

Sei q5 eine stetige Gruppe, 11 die in ($) vorkommende Umgebung tier Einheit E yon qfi und .q die stetige Gruppe der Wege auf (~. Dann sei u die Menge der Wege auf (~ mit dem Anfangspunkt E, die ganz in 1I verlaufen, u ist eine Umgebung der Einheit e yon .g. Sei ni~mlich u ein Element von u und {u,d eine Folge yon Wegen, die gegen u kon- vergieren. Wir setzen u -~ u,~--~ wn. {w~} ist dann eine E-Folge. u sei etwa durch U(t) gegeben (U(t) in 11), w~ durch F~(t), U(O) ~ E, Fn(0) ~ E. Dann ist un durch

(;~,~(t) ==- [U(1)F,~(2t--1) ~ ~ t ~ 1

242 O. Schreier.

bestimmt; aus der Eigenschaft der wn, eine E-Folge zu bilden, folgt jetzt, daft fast alle u , zu u gehOren. Da tiberdies e zu u geh0rt, ist damit u als Umgebung von e erkannt.

Wir wollen nun eiue stetige Isomorphie zwischen u und U her~ stellen. Dazu ordnen wir jedem, yon E aus durchlaufenen Weg u aus n seinen Endpunkt U zu: U ~ a(u). a ist offenbar eindeutig und stetig; ferner gibt es noch (~) zu jedem U aus 1I mindestens ein u aus u, so dai] U--- ~(u). ~ ist aueh eindeutig umkehrbar; denn ist U ~--- ~(ul) ~ ~(us), so verlRuft der geschlossene Weg u~ -1 u2, von U aus durchlaufen, ganz in 1I, erst recht in U. 11, ist also zusammenziehbar, d . h . u, ~ us. Is t ferner ulu~ ~ u3, wo ul , us, us zu u geh(iren, so ist natfirlich ~(ui)(r(us) ~ ~(us). Abet aueh wenn ffir drei Elemente aus 11 die Beziehung UI Us ~ 5~ gilt, so haben wir - - (~-1 (U i ) ~ ui gesetzt - - u~ u 2 ---- ~ta; denn u [ ~ u t u o ist, yon U aus dur~hlaufen, ein ganz in 11 �9 11 liegender geschlossener Weg, also zusammenziehbar, d .h . u~ us ~ us. Endlich ist ~-1 eine stetige Abbildung. Gilt nRmlich U.-~ U, so gibt es wegen (7) Wege w,~ von U naeh U,~, die gegen U konvergieren; durch eventuelle Abiinderung endlich vieler unter il~nen erreichen wir nach einer in 3. benutzten Schluflweise, daft alle u,~, von U aus durch- laufen, in 11 lie~en. Ist nun o.-1 ( U ) ~ ~t, S0 ist U Wn ein in 11 ver- laufender Weg yon E nach U~, also a -1 (U~) ~ uwn und gemi~l~ unserer Wahl der w, gilt u w ~ - ~ u . Damit ist abet Satz 4 bewiesen.

Zwei Fragen, die sich sofort aufdra,gen, sollen noch erledigt werden. Aus unseren bisherigen Ergebnissen folgt, daft .q eine mit | im kleinen isomorphe Gruppe yon der Art ist, dal] jede stetige, mit (~ im kleinen isomorphe Grul~pe (~* mit der Faktor-L-Gruppe eines diskreten Normalteilers b* yon fl stetig isomorph ist. Wir wollen untersuchen, ob ~ durch diese Eigenschaft (bis auf stetige Isomorphie) gekennzeichnet ist und ob der Typus des Normalteilers b* yon ~q durch (~* eindeutig bestimmt ist.

Es erweist sich dazu als zweckmhfiig, den Begriff des eigentlich- diskreten Normalteilers einer L-Gruppe einzuftihren: Ein Normalteiler ~) der L-Gruppe (~ heiflt e i g e n t l i c h - d i s k r e t , wenn es in (~ eine Um- gebung 11 der Einheit gibt, so daft in 11-1 �9 1I. 11 aufier der Einheit kein Element yon ~) liegt.

Es gilt dann folgender Satz, aus dem sich die Beantwortung unserer Fragen mtihelos ergeben wird:

S a t z 5. Ist (~ eine L-Gruppe, die der Forderung (a) geui~gt, und ein eigentlich-diskreter Normalteiler yon ~, so ist [(~/~)L mit (~ iso-

morph im kleinen. Die Fundamentalgr~lppe yon ( ~ / ~ ) L enthiilt einen mit der Fundamentalgruppe yon (~ isomorphen Normalteiler, dessen Fak- torgruppe mit ~) isomorph ist.

Die Verwandtschaft stetiger Gruppen im grofien. 243

Sei U die Umgebung der Einheit in (~, die verbiirgt, daft eigentlich-diskret ist. Die Menge 11 der Nebengruppen U ~ , wo U die Umgebung U durchlauft, bildet dann eine Umgebung der Einheit von ~ = ((~/~). Denn aus A,~ ~) ~ U~) (U in U) folgt An Dn ~ U ftir passende D,, aus ~), also liegen fast alle A,, Dn in U, d .h . fast alle A,, ~) in il. Aus den Eigenschaften yon 11 ergibt sich nun ohne weiteres, daft U mit U verm(ige der Abbildung a ( U ) : U~) stetig isomorph, also q~ mit (~ im kleinen isomorph ist.

Sei w ein Weg auf (~ mit dem Anfangspunkt E und durch F(t) bestimmt. Die Funktion F ( t ) = F(t)~) gentigt ersichtlich den Bedin- gungen yon Hilfssatz 3. 0rdnen wir also dem Weg w auf (~ den auf (~ durch F(t) bestimmten Weg '~u zu, so erhalten wir eine, auf Grund der (~berlegungen, die zu Satz 3 ftihrten, eineindeutige und isomorphe Ab- bildung. Die geschlossenen Wege-ej auf ((~/~))L bilden die Fandamen- talgruppe i-yon (~. Ihnen entsprechen alle und nur die Wege g auf (~, die, yon E aus durchlaufen, nach Elementen yon ~) ffihren; da wegen (a) auch alle Elemente yon ~ Wirklicb erreichbar sind, erhalten wir so eine homomorphe Abbildung yon [-auf ~ . ~ ist daher mit einer Fak- torgruppe yon [ isomorph. Der entsprechende Normalteiler besteht aus den geschlossenen Wegen auf (~, die beim (~bergang zu (~ geschlossen bleiben, ist also mit der FundamentalgTuppe yon (~ isomorph.

Nunmehr ergibt sich Sa tz 6. Es sei (~ eine stetige Gruppe, g die stetige Gruppe der

Wege auf (~. Dann bestehen folgende Beziehungen: (a) Jede mit (~ im kleinen isomorphe stet~qe Gruppe ist stetig isomorph

mit der Faktor-L-Gruppe eines eigentlich-diskreten Normalteilers yon g.

(b) Umgekehrt ist die Faktor-L-Gruppe jedes eigentlich-diskreten Normal- tellers yon g eine mit (~ im kleinen isomorphe L-C~'uppe.

(c) A~tf ~ ist jeder geschlossene Weg zusammenziehbar. (d) .q ist unter allen L-Gruppen, die der Forderung (a) geniigen, dt~rch

die Eigensch~ft (a) his a~tf stetige Isomor2fl~ie gekennzeichnet. (e) Unter allen mit (~ im kleinen isomorphen L-Gruppen, die der For-

derttng (a) ge~ziJflen ist'.q dt~rch die Eigenschaft (c) bis a,tf stetige Isomo~Thie gekc~nnzeichnet.

(f) _[st b irgendein eige~tlich-diskreter Normalteiler yon g, mit dessen Faktor-L-Gruppe (~ stetig ison~o~Th ist, so ist b isomo~Th milder Fundamentalgr~ppe yon (~. (a) geht fast unmittelbar aus Satz 2 und 3 und dem Beweis yon 4 hervor. (b) ist in Satz 5 enthalten. (c) ist in Satz I enthalten.

Satz

244 O. Schreier.

Zum Beweis von (d) sei (~* eine L-Gruppe, die die Eigenschaft (a) von .q hat und der Forderung (a) geniigt. Dann ist insbesondere g stetio" isomorph mit der Fak to r -L-Gruppe eines eigentlich diskreten Normal- tellers ~ * von @*. Nach Satz 5 ist ~* mit einer Faktorgruppe der Fundamentalgruppe von g isomorph, besteht also nach (c) blofi aus der Einheit; d. h. g i s t mit (~* stetig isomorph.

Sei andererseits f$ eine mit (~ im kleinen isomorphe L-Gruppe, die der Forderung (a) genfigt und auf der jeder geschlossene Weg zusammenziehbar ist; (~) und (~') sind fiir @ erffillt, demnach auch ffir ~ , well es sich ja in (~) und (y) nur um das Verhalten im kleinen handelt. Nach Satz 2 ist also ~ stetig isomorph mit der Gruppe der Wege auf @. g a er ist nach Satz 3 mit g stetig isomorph. Also ist (c) eine kennzeichnende Eigenschaft yon g.

Um endlich (f) zu beweisen, sei @ stetig isomorph mit (g/b)L, wo b ein eigentlich diskreter Normalteiler yon g ist. Dann ist nach Satz 5 b isomorph mit einer Faktorgruppe der Fundamentalgruppe [ yon (~, wobei der entsprechende Normalteiler yon f mit der Fundamentalgruppe yon g isomorph ist, demnach bloB aus der Einheit besteht. Also ist b m i t [ isomorph.

H a m b u r g , Mathematisches Seminar, im Februar 1927.