Die Wirkung unterschiedlicher ... · Einleitung 2 1 Einleitung In der Versicherungsindustrie vollzieht sich aktuell aufgrund von verändert en Rahmenbe-dingungen 1 ein Paradigmenwechsel

Die Wirkung unterschiedlicherRisikokapitalallokationsmethoden - Ubersicht

und Fallstudie

Dorothea Diers

Preprint Series 2007-20

Fakultat fur Mathematik und WirtschaftswissenschaftenUNIVERSITAT ULM

Die Wirkung unterschiedlicher Risikokapital-

Allokationsmethoden

Dorothea Diers

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Definition und Bestimmung von Risikokapital 4

21 Modellrahmen 3

22 Risikokapital 7

3 Fallstudie Konzepte fuumlr die Allokation von Risikokapital 10

31 Grundlagen zur Risikokapital-Allokation 9

32 Beschreibung des Beispielbestandes 11

33 Allokation von Risikokapital 12

4 Bewertung von Unternehmensstrategien 19

5 Zusammenfassung 19

6 Literaturverzeichnis 25

Einleitung

2

1 Einleitung

In der Versicherungsindustrie vollzieht sich aktuell aufgrund von veraumlnderten Rahmenbe-dingungen1 ein Paradigmenwechsel in der Unternehmenssteuerung der sich ausgehend von der klassischen Umsatzorientierung hin zu einer wert- und risikoorientierten Steue-rung auf Grundlage oumlkonomischer Groumlszligen entwickelt Bei der wert- und risikoorientierten Unternehmenssteuerung steht die Frage im Zentrum des Interesses ob die unternehmerischen Strategien den Unternehmenswert erhoumlhen bzw welche alternativen Strategien den Unternehmenswert maximieren wobei bestimmte Ne-benbedingungen zu erfuumlllen sind (zB Einhaltung der Risikokapitalvorgaben der bilan-ziellen und aufsichtsrechtlichen Vorgaben) Vor diesem Hintergrund stellt sich fuumlr das Management die komplexe Entscheidungs- und Steuerungsaufgabe einer effizienten Eigenmittelallokation und -bewirtschaftung Dieser Anspruch kann nur durch eine geeignete Strukturierung der Versicherungsbestaumlnde im Zusammenhang mit einer auf die Zahlungsstroumlme der Versicherungstechnik abgestimm-ten adaumlquaten Asset-Allokation erreicht werden bei der unter angemessener Ausnutzung von Diversifikationseffekten eine moumlglichst hohe Rendite in Relation zum eingegangenen Risiko auf das eingesetzte Kapital erzielt werden kann Auch die geeignete Festlegung der Art und Houmlhe des Risikotransfers an die Ruumlckversicherung sollte vor dem Hintergrund einer adaumlquaten Strategie auf Gesamtunternehmensebene erfolgen Hierbei sind quantita-tive Analysen auf Basis Interner Modelle unverzichtbar2 Da das Unternehmen in seiner Gesamtheit in der Regel weniger Risikokapital benoumltigt als bei Aufsummierung des Risikokapitalbedarfs der isoliert betrachteten einzelnen Ge-schaumlftssegmente stellt sich die Frage nach der risikoadaumlquaten Verteilung der Diversifika-tionseffekte auf die steuerungsrelevanten Unternehmenssegmente Dieser Vorgang wird mit Allokation von Risikokapital bezeichnet

1 Als Stichworte seien hier die Deregulierung die Entwicklung der Kapitalmaumlrkte zu Beginn dieses Jahrtau-sends und der Anstieg von Naturkatastrophen und Terroranschlaumlgen genannt So verschlechterte sich die Kapitalausstattung der weltweit taumltigen Erst- und Ruumlckversicherer (SchadenUnfall) im Zeitraum von 2000 bis 2002 um ca 25 (siehe [SwissRe 2002]) Das EU-Kommissionsprojekt Solvency II ist ein wichtiger Schritt zur Reform des Versicherungsaufsichtsrechtes das voraussichtlich 2012 auf nationaler Ebene gelten wird Versicherungsunternehmen haben hiernach ein Solvenzkapital vorzuhalten das sich an der tatsaumlchli-chen Risikolage des Unternehmens orientieren soll Dieses Solvenzkapital ist mit oumlkonomischen Eigenmit-teln zu bedecken die sich aus einer Marktwert-Bilanz ableiten (siehe Abbildung 1) 2 Der interessierte Leser findet einen konkreten Vorschlag zur Entwicklung eines stochastischen Internen Unternehmensmodells in [Diers 2007a] Dort werden die relevanten Schritte von der Konzeption bis zur vollstaumlndigen Erstellung und Umsetzung dargelegt Die einzelnen Modellierungsschritte werden anhand des Datensatzes eines Beispielunternehmens durchgefuumlhrt

Einleitung

3

Im Rahmen der risikoadjustierten Performancesteuerung3 minusminusminusminus bei der die Zielsetzung ver-folgt wird die Relation von Rentabilitaumlt und Risiko im Unternehmen mittels risikoadjus-tierter Performancekennzahlen zu bewerten und anhand dieser Strategien zu identifizie-ren die zu einer Verbesserung der Rendite-Risikoposition fuumlhren minusminusminusminus wird seitens des Un-ternehmensmanagements eine geeignete Allokation sowohl des benoumltigten als auch des verfuumlgbaren Risikokapitals auf steuerungsrelevante Teileinheiten gefordert da diese nach Rendite- und Risiko-Gesichtspunkten bewertet und gesteuert werden sollen Des Weiteren sehen sich die Versicherer vor dem Hintergrund der Anforderungen durch die MaRisk (Mindestanforderungen an das Risikomanagement) mit der Anforderung an eine Kapital-allokation auf die Unternehmenssegmente konfrontiert So fordert das Management minus mittels der Allokation von Risikokapital minus eine Unterstuumlt-zung im Hinblick auf die Identifikation der ldquoRisikotreiberrdquo Performancemessung von Segmenten strategische Steuerung von Teileinheiten nach Risiko- und Rendite-Aspekten Uumlbertragung der Ziele des Gesamtunternehmens auf Teileinheiten (Sparten Kunden-

gruppen Ruumlckversicherung Kapitalanlageklassen) erfolgsabhaumlngige Verguumltung Praumlmienkalkulation etc4 Das Risikokapital dient der Sicherheit des Unternehmens als Ganzes so dass es sich bei der Risikokapital-Allokation um eine Schluumlsselung von Gemeinkosten handelt die will-kuumlrfrei nicht moumlglich ist5 was ein fundamentales Problem aller Allokationsverfahren dar-stellt Dies ist vermutlich der Grund warum immer neue Kapitalallokationsverfahren vor-gestellt werden bdquoohne dass eine Konvergenz der Diskussion uumlber die Angemessenheit der Allokationsverfahren zu erkennen istldquo wie Gruumlndl und Schmeiser6 konstatieren Da die Modellierung der Unternehmensrisiken in Internen Modellen einen immer groumlszlige-ren Stellenwert annimmt und aufgrund der oben genannten Anforderungen (und der Aktu-alitaumlt durch die MaRisk) Kapitalallokations-Verfahren in Interne Modelle integriert wer-den werden in diesem Aufsatz folgende Themen behandelt Nach der Darstellung des allgemeinen Modellrahmens fuumlr die Erstellung ein- und mehrjaumlhriger Interner Modelle in Abschnitt 2 wird in Abschnitt 3 basierend auf den Zeichnungsrisiken eine Fallstudie durchgefuumlhrt bei der verschiedene in der Literatur bekannte Risikokapital-Allokationsverfahren anhand eines Beispieldatensatzes analysiert werden Der Beispielda-ten sind dabei so ausgewaumlhlt dass die Kumulrisiken im Tail der Ergebnis-Verteilung eine starke Dominanz ausuumlben7 wodurch zT extreme Effekte bei der Anwendung von Risi- 3 Die Maximierung des Unternehmenswertes ist unter bestimmten Voraussetzungen kompatibel mit der Maximierung von risikoadjustierten Performancekennzahlen wie EVA RoRAC etc Dies gilt wenn ein konstantes Eigenkapital vorausgesetzt wird siehe [Gruumlndl Schmeiser 2002] was bei Betrachtung eines mehrjaumlhrigen Zeithorizontes eine deutliche Einschraumlnkung dargestellt bei einem einjaumlhrigen Zeithorizont ndash wie hier betrachtet ndash jedoch unterstellt werden kann So weisen Gruumlndl und Schmeiser darauf hin dass die unterschiedlichen Performancemaszlige grundsaumltzlich nicht mit einer Unternehmenszielfunktion wie der Marktwertmaximierung kompatibel sind 4 Siehe hierzu auch [McNeil Frey Embrechts 2005] 5 Vgl [Gruumlndl Schmeiser 2005] 6 Siehe [Gruumlndl Schmeiser 2006] 7 Dies ist in der Praxis haumlufig im Bezug auf Erdbeben- Sturm- oder Uumlberschwemmungsrisiken der Fall

Definition und Bestimmung von Risikokapital

4

komaszligen und Allokationsverfahren auftreten was in der Praxis (im Bezug auf Erdbeben- oder Sturmrisiken) der Fall sein kann In Abschnitt 4 wird aufgezeigt unter welchen Vor-aussetzungen mittels der TVaR-Allokation die bdquorichtigenldquo Anreize fuumlr Strategien (zB Ausbau des Geschaumlftes Einbeziehung von Selbstbehalten Ruumlckversicherung) gegeben werden koumlnnen

2 Definition und Bestimmung von Risikokapital

21 Modellrahmen

Wir legen den Modellrahmen eines Internen Modells der Schaden- und Unfallversiche-rung zugrunde das auf Simulationen beruht8 Analytische Modelle sind bei Kompositver-sicherern in der Regel nicht einsetzbar da hierbei die Schaden- bzw Ergebnisverteilun-gen nur unter unrealistischen Annahmen bestimmt werden koumlnnen In dem Internen Modell werden die Ergebnisse der steuerungsrelevanten Versicherungs-sparten und Assetklassen nach oumlkonomischen Grundsaumltzen modelliert und unter Vorgabe geeigneter Abhaumlngigkeiten aggregiert9 Der fuumlr das zukuumlnftige Kalenderjahr t prognosti-zierte oumlkonomische Gewinn OumlkErg_Gest kann durch die Veraumlnderung der oumlkonomischen Eigenmittel innerhalb dieses Kalenderjahres dargestellt werden (siehe Abbildung 1)10 (1) OumlkEMtt minus OumlkEMt-1 = OumlkErg_Gest Abbildung 1 Komponenten einer Marktwertbilanz11

Mit Hilfe der Zerlegung des oumlkonomischen Gesamtergebnisses koumlnnen versicherungs-technisches Risiko Kapitalanlage- und operationale Risiken definiert und quantifiziert werden

8 Siehe zB [Diers 2007a] 9 Siehe hierzu ausfuumlhrlich [Diers 2007a] 10 Etwas vereinfachte Darstellung zB Vernachlaumlssigung der sonstigen Aktiva und Passiva Siehe hierzu auch [Osetrova Schmeiser 2005] 11 Der Marktwert der Passiva entspricht dem Best Estimate der Ruumlckstellungen den sonstigen Passiva und der Risikomarge

Marktwertder

Aktiva

Aktivseite Passivseite

Freie oumlkonomischeEigenmittel oderExcess Capital

Reserverisiken

Zeichnungsrisiken

Marktwert derPassiva

Vorh

andene oumlk Eigenmitte

l

SCR

BenoumltigteAssetsnachSolvency II

Finanzrisiken

Unternehmensrisiken

Marktwertder

Aktiva



Reserverisiken

Zeichnungsrisiken


Vorh


l

SCR


Finanzrisiken

Unternehmensrisiken


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(2) OumlkErg_Gest = OumlkErgKA t + OumlkErgvt t minus O t minus A t Hierbei bezeichnen wir mit Ot den Einfluss der operationalen Risiken und mit At die

Steuern und Gewinnausschuumlttung an die Anteilseigner Fuumlr eine oumlkonomische Bewertung der Kapitalanlagen (KA) wird der Kapitalanlagebestand (unter Beruumlcksichtigung der Einfluumlsse der versicherungstechnischen Cashflows) im Zeit-punkt t = 0 mittels Kapitalmarktszenarien die stochastischen Real World Modellen ent-stammen und einer Vielzahl von Managementregeln fuumlr ein Jahr oder in mehrjaumlhrigen Modellen fuumlr mehrere Jahre fortgeschrieben Analog zum versicherungstechnischen Er-gebnis das pro Sparten-Kundengruppen-Kombination ermittelt werden kann kann auch das oumlkonomische KA-Ergebnis je nach Modellierungstiefe auf der kleinsten Ebene der modellierten Assets dargestellt werden Das oumlkonomische Kapitalanlageergebnis OumlkErgKAt errechnet sich aus den Ergebnissen

OumlkErgAsset at der einzelnen Assetklassen aisinA am Ende des Jahres t Somit wird der oumlko-

nomische Gewinn auf der kleinsten Ebene der modellierten Assets berechnet12

(3) OumlkErgKA t = sumisinAa

atOumlkErgAsset und

(4) OumlkErgAsset at = MWE a

t + Ert at + Til a

t minus MWA at minus AufKA a

t

mit dem Marktwert MWE at von a am Ende des Jahres t vor Neuanlage bzw Verkauf dem

Marktwert MWA at von a am Anfang des Jahres t nach Neuanlage bzw Verkauf den Er-

traumlgen Ert at von a im Jahr t den Tilgungen Til a

j von a im Jahr t und den Aufwendungen

fuumlr Kapitalanlagen AufKA at am Jahresende die ebenfalls den einzelnen Assetklassen zu-

geordnet werden sollten13 Um eine unterjaumlhrige Steuerung der Kapitalanlagen zu ermoumlglichen kann das oumlkonomi-sche Kapitalanlageergebnis ndash wenn dies gewuumlnscht ist ndash auch unterjaumlhrig berechnet wer-den14 Das versicherungstechnische Ergebnis OumlkErgvtt ermittelt sich aus den Ergebnissen auf deren Basis Zeichnungs- und Reserverisiko bestimmt werden koumlnnen (5) OumlkErgvt t

12 In dem oumlkonomischen KA-Ergebnis sind alle der Kapitalanlage zuzuordnenden Kostenpositionen zu be-ruumlcksichtigen A bezeichne die Menge aller Assetklassen 13 Mit Ertraumlgen sind hier Zinsen inklusive aufgelaufener Stuumlckzinsen Dividenden und Mieten bezeichnet Es handelt sich hierbei um Ertraumlge nach Ausfall (von Zinspapieren) Tilgungen treten nur bei Zinspapieren auf Wenn die Summe aus Ertraumlgen und Tilgungen der Aktiva und vt Cashflow positiv ist wird diese Summe neu in Assets angelegt (ggf findet ein Rebalancing statt) Ist die Summe negativ werden Assets verkauft um den Fehlbetrag auszugleichen 14Allerdings muss in diesem Fall auch der versicherungstechnische Cashflow unterjaumlhrig vorliegen


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=15 Bt ndash Kt ndash Ut Anfalljahresergebnis Zeichnungsris (Kaljahr)

ndash Pt + Pt-1 Abwicklungsergebnis

Reserverisiko Kalenderjahr mit

Bt verdiente Beitragseinnahmen in t Kt Kosten (Betriebskosten Provisionen interne Schadenregulierungskosten

Feuerschutzsteuer) in t Ut Prognose fuumlr den Endschadenstand fuumlr Geschaumlftsjahresschaumlden im Zeit-

punkt t Pt Prognose fuumlr den Endschadenstand fuumlr Vorjahresschaumlden (in Bezug auf t)

im Zeitpunkt t Pt-1 Prognose fuumlr den Endschadenstand fuumlr Vorjahresschaumlden (in Bezug auf t)

im Zeitpunkt t-1 wobei alle versicherungstechnischen Groumlszligen wie Beitraumlge Endschadenstaumlnde (diskontier-te Cashflows) und Kosten als Nettogroumlszligen dh nach Ruumlckversicherung betrachtet und die externen Schadenregulierungskosten zusammen mit dem Schaden erfasst werden und ndash genau wie die Kapitalanlageergebnisse ndash Zufallsgroumlszligen sind die es (auf der Basis von Beobachtungen) zu prognostizieren gilt16 In Internen Modellen werden die Zeichnungsrisiken zunaumlchst brutto modelliert17 und die Ruumlckversicherungsvertraumlge auf Einzelvertragsebene abgebildet Dies ermoumlglicht eine Be-wertung des Bruttogeschaumlftes nach Ertrags- und Risikogesichtspunkten und eine Beurtei-lung einzelner Ruumlckversicherungsvertraumlge oder alternativer Ruumlckversicherungsstrukturen auf ihre Effizienz Die Prognosen fuumlr die Endschadenstaumlnde Ut und Pt koumlnnen zB mittels Re-Reserving be-rechnet werden was bedeutet dass in jedem Simulationspfad im Zeitpunkt t eine bdquoBest Estimaterdquo-Schaumltzung eines bdquoautomatisierten Aktuarsrdquo18 durchgefuumlhrt wird So liegt dem fuumlr das zukuumlnftige Kalenderjahr t prognostizierten oumlkonomischen Gewinn OumlkErg_Gest eine auf ein Kalenderjahr abgegrenzte Risikosicht zugrunde Risiken die sich erst in spauml-ten Abwicklungsjahren realisieren zeigen sich in mehrjaumlhrigen Risikomodellen demnach erst in spaumlteren simulierten Kalenderjahren19 Die Versicherungstechnik stellt der Kapitalanlage den Anlagebetrag zur Verfuumlgung und wuumlrde ansonsten den risikolosen Zins darauf erwirtschaften koumlnnen Deswegen sollte der Versicherungstechnik und auch den sonstigen Passivpositionen dieser risikolose Zins (auf

15 Diese Gleichung beschreibt die Trennung in Zeichnungs- und Reserverisiko in der Kalenderjahressicht 16 Dabei geschieht die Prognose auf der Basis von Beobachtungen (Schaumlden der Vergangenheit) Zur Mo-dellierung in Internen Modellen siehe [Diers 2007a] 17 Eine Modellierung auf Nettobasis waumlre schon alleine aufgrund der sich aumlndernden Ruumlckversicherungs-struktur nicht moumlglich 18eine Diskussion bzgl der Moumlglichkeiten und Einschraumlnkungen wird an dieser Stelle nicht gefuumlhrt ist aber notwendig 19 In einjaumlhrigen Modellen kann auch die ultimative Risikosicht herangezogen werden Zu diesen Darstel-lungen siehe auch [Diers 2007c] Zu der analytischen Darstellung der Berechnung von Abwicklungsergeb-nissen auf der Basis des Chain-Ladder-Modells siehe [Wuumlthrich Merz Lysenko]


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die Ruumlckstellungen das zugeteilte Risikokapital etc) auch gutgeschrieben werden und gleichermaszligen die Kapitalanlage um diesen Betrag belastet werden Mittels dieser Ergebnisgroumlszligen kann nun das benoumltigte Risikokapital (als Abweichung von Null) berechnet werden Eine Alternative besteht darin als Risiko die Abweichung vom Erwartungswert zu messen Dann sind zur Risikokapitalberechnung die Ergebnisgroumlszligen um den Erwartungswert zu vermindern (Diese Risikodefinition wurde in den QIS 3 ge-waumlhlt) Im Gegenzug ist der Erwartungswert bei den oumlkonomischen Eigenmitteln zu be-ruumlcksichtigen Die Kapitalgeber werden auf das von ihnen zur Verfuumlgung gestellte Kapital eine risiko-orientierte Mindestverzinsung (die sogenannten Kapitalkosten) verlangen Diese Anforde-rung wird in bestimmten Kennzahlen zB dem Economic Value Added (EVA) als Ab-zugsterm beruumlcksichtigt so dass dann das erwartete Ergebnis gemessen wird das uumlber die zu erwirtschaftenden Kapitalkosten hinausgeht

22 Risikokapital

Bei der Bestimmung von Risikokapital stellt sich die Frage nach der Wahl eines bdquogutenldquo Risikomaszliges So definieren Artzner20 et al die folgenden vier Axiome und bezeichnen ein Risikomaszlig kohaumlrent wenn es alle vier Axiome erfuumlllt Sei χ eine Menge von reellen Zufallsvariablen die als Zufallsvariablen des Verlustes in-terpretiert werden koumlnnen Dann ist die Funktion

ρ χ rarr IR ein kohaumlrentes Risikomaszlig wenn fuumlr alle X Y isin χ und λ isin IR die vier folgenden Axiome erfuumlllt sind 1 Translationsinvarianz ρ (X + a) = ρ (X) + a fuumlr alle a isin IR

Die Translationsinvarianz besagt dass ein Verlust in Houmlhe von a Geldeinheiten voll-staumlndig mit Kapital hinterlegt werden muss Hieraus folgt die Beziehung ρ (X ndash ρ (X)) = 0 Verfuumlgt ein Unternehmen demnach uumlber das Risikokapital ρ(X) so ist die Ge-samtrisikoposition zum vorgegebenen Sicherheitsniveau tragbar dh es entsteht kein weiterer Kapitalbedarf

2 Positive Homogenitaumlt ρ (λX) = λ ρ (X) fuumlr alle λ ge 0 Zeichnet ein Unternehmen ein Risiko X und veraumlndert seinen Anteil auf λX so aumlndert sich das Risikokapital ebenfalls proportional Dies ist beispielsweise bei der Quoten-ruumlckversicherung der Fall bei der der Erstversicherer den Anteil λ 0 le λ le 1 selbst traumlgt und den Anteil (1-λ) an den Ruumlckversicherer uumlbergibt

20 Siehe [Artzner Delbaen Eber Heath 1999]


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3 Monotonie ρ(X) ge ρ(Y) fuumlr alle X ge Y Wenn ein Segment mit Sicherheit einen houmlheren Verlust ausweist als ein anderes Segment so ist fuumlr dieses auch mehr Kapital zu hinterlegen

4 Subadditivitaumlt ρ(X + Y) le ρ(X) + ρ(Y)

Die Subadditivitaumlt besagt dass das Risiko zweier zusammengelegter Portefeuilles niemals groumlszliger ist als die Summe der Einzelrisikopositionen

Diese vier Axiome beschreiben Eigenschaften die einem intuitiven Risikobegriff entspre-chen Gerade dem Axiom der Subaddivitaumlt wird dabei eine groszlige Bedeutung beigemes-sen da mit dessen Hilfe Diversifikationseffekte im Versicherungsportefeuille erfasst wer-den koumlnnen21 Wir werden im Folgenden zwei in der Praxis haumlufig angewandte Risikomaszlige heranziehen Beim Value-at-Risk wird der negative Wert des Ergebnisses als Risikokapitalbedarf fest-gesetzt das lediglich mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit von α unterschritten wird22 dh der Value-at-Risk zu einem hohen Konfidenzniveau 1-α ist definiert als das (1ndashα)-Quantil der Verteilung FL des Verlustes L

VaRα(L) = Q αminus1 (L) = [ ]αminusgeisin 1)(inf xFIRx L

Unterschiedliche Risikocharakteristika jenseits des interessierenden (1-α)-Quantils flie-szligen nicht in die Value-at-Risk-Konzeption mit ein so dass die Risikoeinstufung zweier Handlungsalternativen in Abhaumlngigkeit des betrachteten Konfidenzniveaus durchaus vari-ieren kann Das Tailverhalten der zugrunde liegenden Ergebnisverteilung hat demnach jenseits des definierten Konfidenzniveaus keine Auswirkung auf den Value-at-Risk Ge-rade die Einbeziehung des Tails ist bei der Bestimmung des Risikokapitals in der Scha-den- und Unfallversicherung aufgrund der Auswirkungen von Extremereignissen (zB Terroranschlaumlgen oder Naturkatastrophen wie Stuumlrmen Erdbeben Uumlberschwemmungen oder Hagelereignissen) von Interesse23

Ein weiterer Nachteil des Value-at-Risk ist die fehlende Eigenschaft der Subadditivitaumlt womit der Value-at-Risk kein kohaumlrentes Risikomaszlig ist24 Allerdings erfuumlllt der Value-at-Risk die Subadditivitaumltsbedingung fuumlr normalverteilte (und allgemeiner elliptisch verteil-te) Zufallsgroumlszligen bei hinreichend groszligem Sicherheitsniveau25 Bei den Schadenverteilun-gen von Schaden- und Unfallversicherern wird in der Regel die Klasse der elliptischen Verteilungen verlassen was zur Folge hat dass die Subadditivitaumltsbedingung verletzt ist26

21 Siehe zB [Koryciorz 2004] In [Kluumlppelberg Rootzeacuten 1999] wird zum Axiom der Subadditivitaumlt und zu dessen impliziter Aussage ldquobig is beautifulldquo im Fall von Katastrophenrisiken kritisch Stellung bezogen 22 Zur Definition des Value-at-Risk vgl zB [Albrecht 2003] 23 Hierbei handelt es sich um selten auftretende Ereignisse mit enormer Schadenhoumlhe 24 Siehe hierzu [Albrecht 2003] Der Value-at-Risk erfuumlllt die ersten drei Axiome 25 Fuumlr 05 le 1-α lt 1 ist der Value-at-Risk im Falle elliptisch verteilter Zufallsgroumlszligen subadditiv Zu den Details siehe zB [McNeil Frey Embrechts 2005] 26 Siehe [Artzner Delbaen Eber Heath 1999]


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Der Tail-Value-at-Risk (TVaR) weist die oben genannten Schwaumlchen nicht auf Fuumlr eine Zufallsvariable des Verlustes L gilt

TVaRα(L ) = E[L | L ge VaRα (L)] = VaRα(L) + E[L ndash VaRα(L)L ge VaRα(L)]

groumlszligtmoumlglicher Verlust mittlere bedingte Uumlber- in 100(1-α) der Faumllle schreitung dieses Verlustes Der TVaR gibt demnach den (bedingten) erwarteten (durchschnittlichen) Verlust in den Faumlllen an in denen dieser mindestens so groszlig ist wie der Value-at-Risk dh der TVaR beinhaltet zur Quantilsreserve VaR eine zusaumltzliche Excessreserve fuumlr die mittlere Uumlber-schreitung des VaR An dieser Stelle flieszligen demnach die Risikocharakteristika des Tails (jenseits des Konfidenzniveaus) in die Risikokapitalberechnung ein Der TVaR ist fuumlr Zufallsvariablen X Y mit stetiger Verteilung ein kohaumlrentes Risikomaszlig Das heiszligt insbesondere dass der TVaR unter dieser Voraussetzung das Axiom der Subad-ditivitaumlt erfuumlllt Neben den dargestellten Vorteilen des TVaR bezuumlglich der Subadditivitaumlt und der Tatsa-che dass die Risikocharakteristika des Tails (jenseits des Konfidenzniveaus) mit in die Risikokapitalberechnung einflieszligen sollen hier einige kritische Anmerkungen gemacht werden Die Anwendung des TVaR setzt eine sehr sorgfaumlltige Modellierung des Tails vor-aus die sich in der Praxis ua aufgrund der fehlenden Erfahrungswerte oft als aumluszligerst schwierig herausstellt27 Gleiches gilt fuumlr die Struktur und Houmlhe der Abhaumlngigkeiten die Extremereignisse betreffend die starke Auswirkungen auf den Risikokapitalbedarf haben Des Weiteren wird konstatiert dass das Auftreten von seltenen Ereignissen extremen Ausmaszliges (zB bei der Naturgefahrenmodellierung) zu absurden Risikokapitalien fuumlhren kann28 Ein weiterer Kritikpunkt betrifft die Konzeption des TVaR dem der Erwartungs-wertbegriff zugrunde liegt Den empirischen Gegenpart des Erwartungswertbegriffs stellt das Gesetz der groszligen Zahlen dar Dieses ist allerdings unvereinbar mit einem bdquoeinmali-genldquo Ereignis naumlmlich der ruinoumlsen Uumlberschreitung eines Schwellenwertes29 Trotz dieser Kritik verwenden wir im Folgenden fuumlr die weiteren Betrachtungen den TVaR als Risi-komaszlig obwohl deutlich darauf hingewiesen werden soll dass die Wahl eines adaumlquaten Risikomaszliges im Einzelfall gut uumlberlegt werden muss

27 Ursache hierfuumlr ist die Tatsache dass Extremereignisse (wie 1000- 10000- oder auch 100000- Jahres-ereignisse) modelliert werden muumlssen fuumlr die keinerlei Erfahrungswerte vorliegen Hier koumlnnen zB geeig-nete Naturgefahrenmodelle herangezogen werden die Schadeninformationen in Form sogenannter Event Loss Tables fuumlr den Bestand des Versicherers erzeugen Diese Informationen sind mit Hilfe der internen Schadendaten zu plausibilisieren siehe zB [Diers 2007d] 28 Zur kritischen Beurteilung des TVaR siehe [Pfeifer 2004] [Straszligburger 2006] und [McNeil Frey Embrechts 2005] 29

Siehe [Rootzeacuten Kluumlppelberg 1999] und [Pfeifer 2007]

Fallstudie Konzepte fuumlr die Allokation von Risikokapital

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3 Fallstudie Konzepte fuumlr die Allokation von Risikokapital

31 Grundlagen zur Risikokapital-Allokation

Da der Diversifikationseffekt durch den Ausgleich zwischen den Risiken erst auf Ge-samtunternehmensebene entsteht ist es kaum moumlglich den Anteil der einzelnen Risiken am Gesamtdiversifikationseffekt objektiv bzw frei von Willkuumlr zu bestimmen Allerdings koumlnnen Verfahren definiert werden die den Diversifikationseffekt den einzelnen Risiken zuordnen und mit den jeweiligen uumlbergeordneten Zielen die mit den Allokationsverfahren unterstuumltzt werden sollen vereinbar sind (siehe Abschnitt 4) Sei ρ χ rarr IR ein Risikomaszlig wobei χ die Menge aller reellen Zufallsvariablen darstel-le Ein Allokationsverfahren ρA ist eine Abbildung

ρA χ rarr IR

die die Segmentverluste Li auf die zugehoumlrigen Allokationsbeitraumlge ρA(Li | L) abbildet In der Literatur ist eine Vielzahl von Allokationsverfahren bekannt Ein Allokationsverfah-ren heiszligt kohaumlrent wenn es den vier Axiomen von Denault genuumlgt30

1 Vollstaumlndige Kapitalallokation sum=

=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ

Das Axiom der vollstaumlndigen Allokation fordert demnach den Risikokapitalbedarf des Gesamtunternehmens vollstaumlndig auf die Segmente aufzuteilen

2 Kollektives Exzessverbot sum sumisin isin

le

TKi TKi

iiA LLL )()|( ρρ fuumlr alle TK sube 1 n

Das Axiom 2 besagt dass das auf ein Teilkollektiv TK allokierte Risikokapital nie-mals groumlszliger sein darf als das Risikokapital das fuumlr dieses Teilkollektiv bei isolierter Betrachtung ermittelt worden waumlre Bei Verstoszlig gegen dieses Axiom koumlnnte fuumlr ein Teilkollektiv der Steuerungsimpuls abgeleitet werden sich vom Unternehmen zu louml-sen was sich aus Gesamtunternehmenssicht negativ auswirken wuumlrde

3 Symmetrie

Das Axiom der Symmetrie fordert dass die Risikokapitalallokation keinen anderen Einfluumlssen als der Verteilung und den stochastischen Abhaumlngigkeiten zwischen den Segmentergebnissen unterliegt31

4 Risikolose Allokation )|( LLiAρ = c falls Li = c isinIR

30 Vgl [Denault 2001] 31 Vgl hierzu ergaumlnzend [Koryciorz 2004]


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Einem Unternehmenssegment das einen sicheren Verlust von c generiert ist somit genau dieser Betrag als Risikokapital zuzuweisen Ebenso ist bei einem sicheren Ge-winn ein entsprechend negatives Risikokapital auszuweisen

Diese Axiome sind intuitiv eingaumlnglich und bilden sicherlich eine Grundlage fuumlr die Beur-teilung der Adaumlquanz von Allokationsverfahren32 Dennoch sollte die Guumlte von Allokati-onsverfahren immer vor dem Hintergrund der Fragestellungen die in diesem Zusammen-hang untersucht werden sollen beantwortet werden An dieser Stelle soll darauf hinge-wiesen werden dass die Rangfolge bzgl der Houmlhe der Allokationsbeitraumlge der einzelnen Segmente von der Wahl des Sicherheitsniveaus und des zugrunde liegenden Risikomaszliges abhaumlngt

32 Beschreibung des Beispielbestandes

In den folgenden Abschnitten sollen vier Allokationsverfahren vor dem Hintergrund der praktischen Einsetzbarkeit bei der risikoadjustierten Performancesteuerung einer kriti-schen Analyse unterzogen werden Wir legen im Folgenden einen einjaumlhrigen Betrach-tungshorizont zugrunde und werden anhand der Verteilungen der Anfalljahresergebnisse (vor Ruumlckversicherung) das fuumlr das Zeichnungsrisiko33 benoumltigte Risikokapital ermitteln wobei wir analog zu den Darstellungen in Abschnitt 2 das Anfalljahresergebnis G wie folgt definieren

G = B ndash K ndash S + P Mit S seien die diskontierten zukuumlnftigen Cashflows der Schadenzahlungen des betrachte-ten Anfalljahres bezeichnet P sei das Kapitalanlageergebnis das der Versicherungstech-nik zugeordnet wird (Zinsen siehe Abschnitt 2) Wir modellieren 6 Unternehmenssegmente eines Beispielunternehmens das eher Privat-kundengeschaumlft und kleingewerbliches Geschaumlft zeichnet Abbildung 8 zeigt die Beitrags-struktur Bei der Schadenmodellierung wurde in Kumulschaumlden (dh Schaumlden die aus Naturkatastrophen resultieren hier Sturm Hagel und Uumlberschwemmung) und bdquonormale Schaumldenldquo unterschieden wobei letztere pro Sparte getrennt in Basis- und Groszligschaumlden modelliert wurden34 Ohne Beruumlcksichtigung von Diversifikationseffekten dh bei Standalone-Betrachtung der 6 modellierten Unternehmenssegmente des Beispielunternehmens wird den einzelnen Segmenten der in Abbildung 2 dargestellte Risikokapitalbedarf (fuumlr das Zeichnungsrisiko

32 Siehe [Koryciorz 2004] 33 In den folgenden Abschnitten steht somit das Brutto-Zeichnungsrisiko im Vordergrund Wir betrachten an dieser Stelle nicht das Risiko des Gesamtunternehmens da die Ergebnisse aufgrund der vielen Komponen-ten wie Zeichnungsrisiko Reserverisiko Finanzrisiken Ruumlckversicherung und die Allokation auf Sparten Ruumlckversicherung und Kapitalanlageklassen deutlich komplexer fuumlr eine Analyse zugaumlnglich sind Die Vor-gehensweise kann analog erfolgen 34 Auf die Darstellung der Modellierung soll hier verzichtet werden da sie analog der in [Diers 2007a] dar-gestellten Vorgehensweise erfolgt


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brutto) zugewiesen35 Hierfuumlr fuumlhren wir 100000 Simulationen durch und ermitteln das Risikokapital nach dem TVaR zu den Sicherheitsniveaus von 99 und 998 Abbildung 2 Beitragsstruktur und undiversifiziertes Risikokapital (Standalone) fuumlr das Zeichnungsrisiko des Beispielunternehmens

Im Rahmen der Standalone-Betrachtung entsteht keine Allokationsproblematik da keine Diversifikationseffekte betrachtet werden In der Realitaumlt sind die versicherten Segmente nicht alle vollstaumlndig positiv korreliert In diesem Zusammenhang spielen die Abhaumlngig-keitsstrukturen zwischen den einzelnen Zufallsvariablen (Basisschaumlden Groszligschaumlden Kumulschaumlden der einzelnen Sparten) eine wichtige Rolle die geeignet zu modellieren sind In unserem Beispielunternehmen resultieren die Abhaumlngigkeiten zwischen den Zu-fallsvariablen der Anfalljahresergebnisse der von (gemeinsamen) Kumulereignissen (wie Stuumlrmen und Hagel) betroffenen Sparten (Sturm Kasko) aus der Kumulmodellierung36 Zwischen den Kumulereignissen Sturm und Hagel wird eine lineare Korrelation von 20 unterstellt die Uumlberschwemmungsereignisse werden als dazu unabhaumlngig modelliert Da-bei gehen wir von einem sehr geringen Bestand an Uumlberschwemmungsrisiken aus (gerin-ge Elementar-Anbuumlndelung in der Gebaumlude-Versicherung) Ansonsten wird die stochasti-sche Unabhaumlngigkeit der Zufallsvariablen unterstellt

33 Allokation von Risikokapital

Fuumlr das Brutto-Zeichnungsrisiko des Beispielunternehmens ergibt sich unter Beruumlcksich-tigung der Diversifikationseffekte ein benoumltigtes Risikokapital von 95 Mio euro (zum TVaR 998) Im Vergleich zur Standalone-Betrachtung nach der wir einen undiversifizierten Risikokapitalbedarf von 186 Mio euro ermittelt haben sinkt der Risikokapitalbedarf bei der diversifizierten Betrachtung somit auf ca 51 Es stellt sich demnach die Frage nach der bdquoangemessenenldquo Verteilung des Diversifikationseffektes Abbildung 3 stellt die Allokationsergebnisse von drei betrachteten Allokationsverfahren fuumlr das Beispielunternehmen nebeneinander Die hier angewandten Verfahren werden in den naumlchsten Abschnitten erlaumlutert und vor dem Hintergrund der Anwendbarkeit im Steu-erungskontext bewertet Da sich bei den Allokationsbeitraumlgen in diesem Beispiel keine

35 Bei der Standalone-Betrachtung wird davon ausgegangen dass jedes der 6 modellierten Unternehmens-segmente fuumlr sich allein betrachtet wird Es wird kein Risikoausgleich zu anderen Segmenten zugelassen 36 Der starke Einfluss der Kumule auf den Risikokapitalbedarf des Gesamtunternehmens wird sich bei allen Unternehmen die Kumule wie Sturm- oder Erdbebenrisiken versichern in mehr oder weniger deutlicher Weise zeigen

In Mio euro RAC (Standalone)

Beitrag TVaR 99 TVaR 998

Allgemeine Haftpflicht 49 2 7Kraftfahrt gesamt 84 16 35

Kraftfahrt-Haftpflicht 50 4 12Kasko 34 12 23

HUK 133 18 42SACH 89 87 144Feuer 45 20 25Sturm 40 61 100Uumlberschwemmung 4 6 19Summe 222 105 186


13

strukturellen Unterschiede zwischen den verwendeten Konfidenzniveaus zeigen analysie-ren wir im Folgenden die Ergebnisse zum houmlheren Konfidenzniveau 998 Abbildung 3 Risikokapital-Allokation nach verschiedenen Verfahren

331 Standalone-Proportionale Allokation

Das Standalone-Proportionale Kapitalallokationsprinzip37 weist neben dem Vorteil des sehr einfachen und leicht nachvollziehbaren Aufbaus einen wesentlichen Nachteil auf naumlmlich die Ignorierung der Abhaumlngigkeitsstrukturen des betrachteten Portefeuilles Da der Risikokapitalbedarf in unserem Beispiel bei der diversifizierten Betrachtung im Ver-gleich zur Standalone-Betrachtung auf ca 51 sinkt wird der undiversifizierte Risikoka-pitalbedarf jedes Segmentes bei der Standalone-Proportionalen Allokation dementspre-chend auf 51 des Standalone-Risikokapitals reduziert (siehe Abbildung 3) Die Sturmsparte scheint ein wesentlicher Treiber des Risikokapitalbedarfs zu sein ndash allein 100 Mio euro des Standalone-Riskokapitals entfallen auf diese Sparte Dies bestaumltigt Abbil-dung 4 in der die simulierten Anfalljahresergebnisse des Gesamtunternehmens gegen die der Sparte Sturm aufgetragen wurden Hier zeigt sich deren starke Dominanz im Tail-Bereich des Gesamtergebnisses denn die schlechtesten Szenarien des Unternehmens fal-len mit den schlechtesten Szenarien der Sturmsparte zusammen was bei der Risikokapi-tal-Allokation geeignet beruumlcksichtigt werden sollte Abbildung 4 Abhaumlngigkeitsstruktur der simulierten Anfalljahresergebnisse des Gesamtunternehmens versus Sturm

37 Siehe [Koryciorz 2004] oder [Albrecht 1997]

Allokiertes Risikokapital in Mio euro Standalone- Kovarianz- TVAR -

Proportional Prinzip Prinzip

TVaR 99 TVaR 998 TVaR 99 TVaR 998 TVaR 99 TVaR 998

Allgemeine Haftpflicht 1 4 2 3 -5 -5Kraftfahrt gesamt 8 18 8 14 -3 -2

Kraftfahrt-Haftpflicht 2 6 2 4 -7 -7Kasko 6 12 6 10 4 5

HUK 9 21 10 17 -8 -7SACH 45 74 44 78 62 102Feuer 10 13 8 14 4 4Sturm 31 51 36 63 58 98Uumlberschwemmung 3 10 0 1 0 0Summe 54 95 54 95 54 95

Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14

Die Abhaumlngigkeitsstrukturen werden bei der hier betrachteten Allokationsmethode nicht einbezogen Vor diesem Hintergrund ist der Diversifikationseffekt der den Sturmsparten bei der Standalone-Proportionalen Allokation zugewiesen wird sehr hoch Ein im Rah-men der strategischen risikoadjustierten Performancesteuerung sinnvolles Allokationsver-fahren sollte die Segmente die untereinander eine gute Diversifikation aufweisen zum Ausbau des Geschaumlftes anregen Demnach sind Allokationsverfahren zu bevorzugen die stochastische Abhaumlngigkeiten im Allokationsergebnis beruumlcksichtigen

332 Kapitalallokation nach dem Kovarianz-Prinzip

Das Kovarianz-Prinzip stellt im Vergleich zur Standalone-Proportionalen Kapitalallokati-on eine deutliche Verbesserung dar da hier zumindest lineare Abhaumlngigkeitsstrukturen explizit erfasst werden Die Allokation nach dem Kovarianz-Prinzip erfolgt proportional zu den einzelnen Segmentbeitraumlgen zur Gesamtvarianz Var(L)

xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n

Die Allokationsfaktoren offenbaren die Analogie zum Beta-Faktor des CAPM 38 39

Da in Internen Modellen aus Gruumlnden der Vorsicht in der Regel nicht von negativen Kor-relationen ausgegangen wird fuumlhrt das Kovarianz-Prinzip auf keine negativen Risikokapi-talien40 Die Sparte Sturm erhaumllt aufgrund der groszligen Varianz des Anfalljahresergebnisses das groumlszligte Risikokapital zugewiesen (siehe Abbildung 3) Obwohl das Anfalljahresergebnis der Sparte Kasko eine deutlich geringere Varianz aufweist als das der Sparte Feuer er-klaumlrt sich der (verhaumlltnismaumlszligig hohe) Allokationsbeitrag der Sparte Kasko durch die hohe lineare Korrelation (von ca 50) zu den Ergebnissen der Sturm-Sparte und damit zu den Gesamtergebnissen So weisen die Allokationsbeitraumlge dieses Verfahrens auf die Schwankungen (Varianzen) der Spartenergebnisse und auf die linearen Abhaumlngigkeiten innerhalb des Kollektivs hin Nachteil des Kovarianz-Prinzips ist dass nur lineare Abhaumlngigkeiten erfasst werden so dass die Abhaumlngigkeitsstruktur zB eine verstaumlrkte Tail-Abhaumlngigkeit die in der Scha-den- und Unfallversicherung nicht selten auftritt unzureichend beruumlcksichtigt wird Die daruumlber hinaus undifferenzierte Erfassung von Uumlber- und Unterschreitungen des Erwar-tungswertes41 kann zur Folge haben dass ein Segment in der Standalone-Betrachtung weniger Risikokapital benoumltigt als nach Allokation wodurch das Segment den aus Ge-

38 Eine Uumlberpruumlfung der Axiome fuumlr die kohaumlrente Kapitalallokation zeigt dass zwar die Axiome der voll-staumlndigen Allokation und der Symmetrie erfuumlllt sind Dies gilt im Allgemeinen nicht fuumlr die Axiome des individuellen Exzessverbotes und der risikolosen Allokation da sichere Verluste in einer Sparte immer zu einem Risikokapitalbedarf von null fuumlhren siehe [Koryciorz 2004] 39 CAPM Capital Asset Pricing Model 40 Auch im GDV-Modell und im Rahmen der QIS-Studien wurden negative Korrelationen explizit ausge-schlossen um die Gefahr einer Uumlberschaumltzung der Diversifikationseffekte einzudaumlmmen vgl [BaFin 2006] 41 Dieser kann mit dem Co-Semivarianz-Prinzip eingedaumlmmt werden Siehe [Bamberg Dorfleitner Glaab 2005]


15

samtunternehmenssicht unerwuumlnschten Impuls erhielte sich aus dem Gesamtunternehmen abzuloumlsen Hierzu soll ein Beispiel gegeben werden Ein Unternehmen versichere zwei Risiken dieses Beispielunternehmens zum einen die Sparte Feuer mit Verlust LF zum anderen die Sparte Uumlberschwemmung mit Verlust LEL wobei der Bestand der Sparte Uumlberschwemmung (durch die Erhoumlhung der Vertragsan-zahl) um das fuumlnffache vergroumlszligert wurde Die Schadenverlaumlufe beider Sparten seien sto-chastisch unabhaumlngig Abbildung 5 Sim Verteilungsfunktion der Anfalljahresergebnisse unter Angabe der Risikokapitalien RK zum TVaR 998 (links) und Ausschnitt der zugehoumlrigen Haumlufigkeitsverteilung (rechts)

Die Sparte Uumlberschwemmung ist durch sehr selten auftretende Extremereignisse gekenn-zeichnet ist die den Tail des Gesamtrisikos dominieren (siehe Abbildung 5 links) Dabei resultiert die hohe Standardabweichung von σ(LEL) = 502106 aus den extrem hohen Schaumlden die mit sehr geringen Wahrscheinlichkeiten auftreten Abbildung 6 Abhaumlngigkeitsstruktur der Anfalljahresergebnisse der beiden Sparten zum Gesamtrisiko (Va-lue Scatter)

div Summe (96 Mio euro RK) Uumlberschwemmung (95 Mio euro RK)Feuer (25 Mio euro RK)

Anfalljahresergebnis in Mio euro

In

Uumlberschwemmung

Gesamtunternehmen Gesamtunternehmen

Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16

Im Gegensatz hierzu resultiert die Standardabweichung σ(LF) = 464106 des Anfalljah-resergebnisses der Feuer-Sparte sowohl aus deutlichen Uumlber- als auch Unterschreitungen des Schadenerwartungswertes Die Feuer-Sparte dominiert das Gesamtergebnis im Be-reich der Perzentile die fuumlr die Risikokapitalermittlung irrelevant sind waumlhrend der Tail-Bereich der Gesamtergebnisse mit guten und mittleren Ergebnissen der Feuer-Sparte zu-sammenfaumlllt (siehe Abbildung 6 rechts im Kreis finden sich die Szenarien die fuumlr die Risikokapitalermittlung fuumlr das Gesamtunternehmen nach dem TVaR 998 relevant sind)

Aufgrund der stochastischen Unabhaumlngigkeit der Zufallsvariablen der Verluste LF und LEL

erhaumllt die Sparte Feuer wegen

)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046

ein Risikokapital von 046 96 Mio euro = 442 Mio euro zugewiesen Dieser Wert ist nicht nur deutlich houmlher als das Standalone-Risikokapital von 25 Mio euro sondern auch als der groumlszligte Verlust der fuumlr die Feuer-Sparte in den 100000 Simulationen erzeugt wird was ndash wie oben bereits erwaumlhnt ndash zu falschen Steuerungsimpulsen fuumlhren wuumlrde Entsprechend entfaumlllt auf die Sparte Uumlberschwemmung ein (verhaumlltnismaumlszligig niedriges) Risikokapital von 52 Mio euro

Im Gegensatz hierzu beruumlcksichtigt das TVaR-Prinzip (siehe Abschnitt 334) den Risiko-Beitrag der Sparten zum Gesamt-Risikokapitalbedarf so dass gemaumlszlig TVaR-Prinzip der Feuer-Sparte ein sehr viel geringer Risikokapitalbedarf von 09 Mio euro zugewiesen wird (siehe Abbildung 7)

Abbildung 7 Risikokapital-Allokation nach dem Kovarianz-Prinzip und dem TVaR-Prinzip

333 Shapley-Wert

Das auf der Berechnung des Shapley-Wertes fuszligende Verfahren ist eine Erweiterung der inkrementellen Allokationsprinzipien und geht auf Shapley zuruumlck Grundidee dieses Ver-fahrens ist es nicht nur ndash wie bei der Basisvariante der inkrementellen Kapitalallokation ndash

0

20

40

60

80

100

120

Standa lone Allokiert

Risikokapital zum TVaRSicherheitsniveau 998

0

20

40

60

80

100

120


Standalone Allokiert nachKovarianz-Prinz

0

100

In Mio

Allokiert nachTVaR-Prinz

95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17

willkuumlrliche Beitrittsreihenfolge der Geschaumlftssegmente sondern alle moumlglichen Beitritts-reihenfolgen zu betrachten Somit wird der Shapley-Wert als arithmetisches Mittel uumlber die Allokationsergebnisse unter den einzelnen Beitrittsreihenfolgen berechnet42

ρShapley(Li | L) =

minus

minusminussum sumsumisin isinsubeisin TKk iTKk

kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ

wobei |TK| = card(TK) die Maumlchtigkeit des Teilkollektivs TK und n die Anzahl der Ge-schaumlftssegmente bezeichne43 Ein wesentlicherer Nachteil des Shapley-Wertes ist die komplexe Berechnungsformel So gibt es bei einem Unternehmen mit n Segmenten 2nndash1 kombinatorisch moumlgliche Teilkol-lektive Dies hat eine starke Begrenzung der Anzahl der Segmente zur Folge die im Steu-erungskontext allerdings nicht gewuumlnscht ist Fuumlr unseren Beispielbestand fuumlhren wir zwei alternative Berechnungen durch indem wir den Bestand auf zwei verschiedene Weisen segmentieren Zum einen bilden wir vier Segmente indem wir drei verschiedene Kumulsparten (1 Sturm 2 Kasko 3 Uumlber-schwemmung) und eine Nicht-Kumulsparte (bestehend aus allen weiteren Sparten) bilden Auf die so entstehende Unternehmensstruktur mit vier Geschaumlftssegmenten wird der Shapley-Wert angewandt Zum anderen waumlhlen wir drei Segmente indem wir eine Ku-mulsparte (bestehend aus Sturm Kasko und Uumlberschwemmung) eine HUK-ohne-Kumul-Sparte bestehend aus den restlichen HUK-Sparten (ohne Kasko) und eine Sach-ohne-Kumul-Sparte bestehend aus der Sparte Feuer definieren Abbildung 8 Shapley-Wert

42 Es basiert auf spieltheoretischen Verfahren Vgl [Shapley 1953] und [Shapley 1971] 43 Denault zeigt dass der Shapley-Wert den Axiomen der vollstaumlndigen Allokation der Symmetrie der risikolosen Allokation und des individuellen Exzessverbotes genuumlgt Allerdings ist das kollektive Exzess-verbot nur fuumlr additive Risikomaszlige erfuumlllt Additive Risikomaszlige bilden jedoch den Diversifikationseffekt nicht ab Das Allokationsproblem ist in diesem Fall trivial Siehe [Denault 2001] Bei nicht-additiven Risi-komaszligen ndash weder der Value-at-Risk noch der Tail-Value-at-Risk sind additiv ndash die im Versicherungskontext eingesetzt werden ist demnach das Axiom des kollektiven Exzessverbotes nicht immer sichergestellt was sicherlich eine gewisse Einschraumlnkung bei der Einsatzfaumlhigkeit des Shapley-Wertes bedeutet Ob und in-wieweit dieser Aspekt tatsaumlchlich einen Nachteil darstellt muss am konkreten Bestand und vor dem Hinter-grund der konkreten Zielsetzung untersucht werden

Allokiertes Risikokapital in Mio euro Shapley-Wert

Segmentierung Version 1 TVaR 995 TVaR 998

Sturm 48 82

Kasko 5 9

Uumlberschwemmung 4 5

Nicht-Kumulsparte -3 -1

Summe 54 95

Segmentierung Version 2

Kumul 51 88

HUK Rest (AH KH) -7 -5

Feuer 10 12

Summe 54 95


18

Die Allokationsergebnisse des Shapley-Wertes liegen in unserem Beispiel zwischen den Ergebnissen der Standalone-Proportionalen Allokation und dem TVaR-Prinzip (siehe Ab-bildungen 8 und 3) woraus allerdings nicht gefolgert werden kann dass der Shapley-Wert einen Kompromiss zwischen den beiden Verfahren darstellt da die in Abschnitt 334 dargestellte Aussagekraft des TVaR- Prinzips nicht auf den Shapley-Wert uumlbertragbar ist Der Shapley-Wert beruumlcksichtigt die Abhaumlngigkeiten zwischen den Teilbestaumlnden die sich aber nicht so stark auswirken wir beim TVaR-Prinzip

334 Kapitalallokation nach dem TVaR-Prinzip

Das TVaR-Prinzip hat einen risikotheoretischen Ursprung und basiert auf der Linearitaumlt und somit der linearen Zerlegbarkeit von Erwartungswerten Fuumlr die Geschaumlftssegmente i (1 le i le n) ist nach dem TVaR-Prinzip das Risikokapital

ρTVaR ( Li | L) = E[Li L ge VaRα(L)] vorzuhalten wenn als Risikomaszlig der Tail-Value-at-Risk gewaumlhlt wird44 Auf das Segment i wird gerade der Betrag allokiert der an das Segment im Erwartungs-wert zum Verlustausgleich zu zahlen ist wenn das Ergebnis des Gesamtunternehmens zu den schlechtesten α aller Ergebnisse gehoumlrt Das Allokationsergebnis erlaubt demnach sowohl eine oumlkonomisch als auch intuitiv nachvollziehbare Interpretation und kann als verursachungsgerechtes Verfahren angesehen werden45 Weiter beruumlcksichtigt das TVaR-Prinzip neben linearen auch nicht-lineare Abhaumlngigkeitsstrukturen die in der Praxis bei Schaden- und Unfallversicherern von groszliger Bedeutung sind Und schlieszliglich werden die Axiome der kohaumlrenten Kapitalallokation erfuumlllt die als (in der Praxis je nach mit der Allokation verfolgtem Ziel mehr oder weniger) sinnvolle Grundlage fuumlr eine risikoadauml-quate Kapitalallokation angesehen werden koumlnnen Aufgrund der Linearitaumlt des bedingten Erwartungswertes gilt die sogenannte (Aggregations-) Konsistenz nach der die interne Organisationsstruktur eines Versicherers keinen Einfluss auf das Allokationsergebnis ei-ner Steuerungseinheit ausuumlbt was eine im Steuerungskontext sinnvolle Eigenschaft ist Der Allokationsbetrag eines Teilkollektivs TK von Steuerungseinheiten entspricht dem-nach der Summe der Allokationsbetraumlge die sich fuumlr die einzelnen das Teilkollektiv bil-denden Steuerungseinheiten ergeben46 Der Tail der Ergebnisverteilung unseres Beispielunternehmens ist durch die Sturmereig-nisse dominiert (siehe Abbildung 4) Aufgrund der vorausgesetzten Unabhaumlngigkeit der Sturmereignisse zu Schadenverlaumlufen der anderen Sparten (bis auf Kasko) treten in den Extremszenarien der Sturmereignisse nicht viele weitere Groumlszligtschadenereignisse in ande-ren Sparten auf Waumlhrend alle anderen Sparten somit deutlich von der Diversifikation im Portefeuille profitieren muumlssen die Sturm-Sparten ein Risikokapital stellen das in etwa in

44 Wir definieren dieses Allokationsprinzip sinnvollerweise im Zusammenhang mit dem TVaR als der Risi-kokapitalbestimmung zugrundeliegendes Risikomaszlig Es gibt auch eine allgemeinere Definition wonach das Allokationsverfahren allerdings nicht kohaumlrent ist Siehe hierzu auch [Koryciorz 2004] 45 Siehe auch [Koryciorz 2004] 46 Siehe auch [Koryciorz 2004]

Bewertung von Unternehmensstrategien

19

der Houmlhe ihres undiversifizierten Risikokapitals liegt Das fuumlhrt dazu dass in unserem Beispielunternehmen die HUK-Sparten (bis auf Kasko) ausschlieszliglich negatives Risiko-kapital zugewiesen bekommen Auch die anderen Sach-Sparten (auszliger Sturm) erhalten nur ein geringes oder sogar negatives Risikokapital zugewiesen Aufgrund der expliziten Einbeziehung der bedingten Erwartungswerte der Segmentverlus-te die zur Entstehung des Gesamt-Risikokapitalbedarfs beigetragen haben in die Festle-gung des Allokationsbetrages ist dieses Allokationsprinzip ist sicherlich unverzichtbar zur Identifikation der Risikotreiber im Portefeuille Dies wird auch am Beispiel in Abschnitt 332 verdeutlicht Somit koumlnnen auch im Rahmen der risikoadjustierten Performance-steuerung wichtige Hilfestellungen bei der Auswahl geeigneter Strategien gegeben wer-den Aus der TVAR-Allokation des Beispielunternehmens (Abbildung 3) kann zB der sinnvolle Steuerungsimpuls abgeleitet werden das Geschaumlft in profitablen Nicht-Sturmsegmenten auszuweiten da sich der Gesamt-Risikokapitalbedarf nicht wesentlich erhoumlhen wird um so das Rendite-Risikoverhaumlltnis fuumlr das Gesamtunternehmen zu stei-gern Allerdings weist auch das TVaR-Prinzip ndash wie man an Daten des Beispielunternehmens erkennt ndash Nachteile auf Obwohl es sich wie keines der anderen vorgestellten Allokati-onsverfahren zur Identifikation der Risikotreiber eignet ist es bei andern Fragestellungen (zB erfolgsabhaumlngige Verguumltung Bestimmung von Risikozuschlaumlgen im Rahmen der Beitragskalkulation aber auch im Rahmen der Unternehmenssteuerung) haumlufig nicht sinnvoll einsetzbar da es beim Vorliegen extremer Risiken zu einer Vielzahl negativer Allokationsbeitraumlge fuumlr die anderen Sparten fuumlhrt47 Des Weiteren kann es im Rahmen der risikoadjustierten Performancesteuerung falsche Steuerungsimpulsen hervorrufen (siehe das Beispiel (Abbildung 9) in Abschnitt 4) So sollte das TVaR-Prinzip sowie kein anderes Allokationsprinzip universell fuumlr alle Fra-gestellungen des Unternehmens eingesetzt werden Im Einzelfall ist genau zu pruumlfen wel-ches Allokationsverfahren fuumlr welche Fragestellungen dienlich sein koumlnnte

4 Bewertung von Unternehmensstrategien

Ziel der risikoadjustierten Performancesteuerung ist die Maximierung Rendite-Risikoverhaumlltnisses unter Nebenbedingungen (Einhaltung der Risikokapitalvorgaben bi-lanzielle aufsichtsrechtliche Vorgaben)48 Die Loumlsung dieses Optimierungsproblems ist aufgrund einer Vielzahl von Restriktionen (zB Beruumlcksichtigung von Cross-Selling- bzw Cross-Storno-Effekten Wirkung von Preis-Absatz-Funktionen etc) sehr komplex so dass wir im Folgenden nicht von bdquoOptimierungldquo sondern von Verbesserung des Rendi-te-Risiko-Verhaumlltnisses im Gesamt-Unternehmen sprechen werden wobei im Rahmen einer Vielzahl von moumlglichen Strategien diejenigen zu identifizieren sind die in diesem Sinne die positivste Wirkung haben

47 Zu einer kritischen Bewertung des TVaR-Prinzip bei Vorliegen von Extremereignissen siehe auch [Pfeifer 2004] 48 Nur unter bestimmten Bedingungen sind die Maximierung der risikoadjustierten Performancekennzahlen und die Maximierung des Unternehmenswertes kompatibel Dies ist bei der Annahme eines konstanten Ei-genkapitals der Fall vgl [Gruumlndl Schmeiser 2002]


20

Da die Geschaumlftssteuerung auf Segmentebene durchgefuumlhrt wird sollen durch die bdquoadauml-quateldquo Allokation von Risikokapital und die hierdurch vorgegebene Definition der Steue-rungskennzahlen auf Segmentebene Richtungen fuumlr bdquozielfuumlhrendeldquo Strategien auf Ge-samtunternehmensebene identifiziert werden Dies soll im Folgenden erlaumlutert werden Zunaumlchst aber folgende Anmerkung In Abschnitt 3 wurden einige Vorzuumlge der TVaR-Allokation gegenuumlber anderen Verfahren herausgestellt Allerdings lassen sich auch fuumlr dieses Verfahren Fehlsteuerungsimpulse nicht ausschlieszligen wie das folgende Beispiel zeigt Gegeben sei ein Versicherungsunternehmen das aus den zwei Segmenten S1 und S2 be-steht Der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum sei ein Laplace-Raum mit drei Zu-staumlnden49 Das Risikokapital werde mit dem Tail-Value-at-Risk zum Konfidenzniveau 23 berechnet In Abbildung 9 wird die Wirkung zweier das Segment 1 betreffenden Strate-gien auf RoRAC und EVA verglichen wobei der EVA wie folgt definiert ist

EVA = E(OumlkErgGes) ndash rCap sdot eingesetztes Kapital

wobei wir rCap mit 10 ansetzen Der Segmentverantwortliche von Segment 1 wird sich fuumlr Strategie 2 entscheiden da RoRAC und EVA steigen50 Fuumlr das Gesamtunternehmen waumlre die Strategie 1 allerdings vorteilhafter

Strategie 1 Strategie 2

S1 S2 Gesamt S1 S2 Gesamt

Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31

EVA 10 18 28 13 12 25 Abbildung 9 Wirkung von Strategien

In diesem Beispiel kann S1 beeinflussen in welchem Zustand das schlechteste Gesamter-gebnis realisiert wird das fuumlr die Berechnung des TVaR relevant ist Haumlufig liegt aber der Fall vor dass die bdquoschlechtesten Gesamtergebnisseldquo (die Menge T in Satz 1) unabhaumlngig von der Wahl der Strategie eines Segmentes feststehen Dies ist zB der Fall wenn ndash wie in unserem Beispielunternehmen ndash das Risikokapital durch Extremereignisse wie Stuumlrme oder Erdbeben dominiert ist In diesen Faumlllen ist die optimale Strategie fuumlr ein Segment auch optimal fuumlr das Gesamtunternehmen denn es gilt

49 Somit wird jeder Zustand mit der Wahrscheinlichkeit 13 realisiert 50 Folgende Aussagen sind aumlquivalent RoRAC gt rCap hArr EVA gt 0


21

Satz 1 Ein Unternehmen mit n Segmenten verwendet den Tail-Value-at-Risk zum Konfidenzni-veau 1-α als Risikomaszlig und als Allokationsverfahren das TVaR-Verfahren Segment k

kann eine Strategie j mit Ergebnis G jk Ω rarr IR j isin 1 m waumlhlen (mit L j

k = ndashG jk )

wobei fuumlr alle j gilt

Τ equiv ωisinΩ L1 + + L jk + + Ln ge VaRα( L1 + + L j

k + + Ln)

dh Τ ist unabhaumlngig von j Sei j isin 1 m die Strategie mit

EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)

was leicht nachzurechnen ist In unserem Beispielunternehmen tragen die HUK-Sparten mit einem EVA von 8 Mio euro sehr positiv zum Gesamtergebnis bei (siehe Abbildung 10) Vor diesem Hintergrund pla-nen wir einen Ausbau dieses Segmentes (durch Steigerung der Vertragsanzahl) um 10 so dass von weiteren Diversifikationseffekten ausgegangen werden kann51 Die Auswei-tung des Geschaumlftes soll keinen nennenswerten Personalanbau nach sich ziehen so dass die Personalkosten weitgehend konstant bleiben Abbildung 10 Wirkung der Strategien auf Unternehmenskennzahlen

Da die Sparte Sturm ein sehr hohes Risikokapital bindet planen wir dieses durch die flauml-chendeckende Einfuumlhrung von Selbstbehalten von 250 euro in Sturm zu reduzieren Welche Strategien tatsaumlchlich fuumlr das Unternehmen sinnvoll sind muss vor dem Hintergrund des Gesamtrisikokapitals (einschlieszliglich Reserverisiken Kapitalanlagerisiken operationellen Risiken und der Einbindung der Ruumlckversicherung) und der Gesamtrendite untersucht werden Wir wollen hier nur einen Einblick in die Effekte unterschiedlicher Strategien auf das Zeichnungsrisiko geben (siehe Abbildung 10) 51 Zur Darstellung der Modellierung von Wachstumsszenarien siehe [Diers 2007a]

in Mioeuro TVaR-Prinzip

Beitrag E(Ei) RK EVA

HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12

Vor Strategien Sturm 40 0 98 -10

Summe Sach restliche Sparten 49 -1 4 -2Summe 222 6 95 -4

HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9

Nach Strategien Sturm 33 0 70 -7

Summe Sach restliche Sparten 49 -1 4 -2Summe 229 7 68 1


22

Aufgrund der Kosteneffekte steigt das erwartete Anfalljahresergebnis E(Ei) der HUK-Sparten (um mehr als 10) von 7 Mio euro auf 9 Mio euro an das Standalone-Risikokapital steigt aufgrund der Risikoausgleichseffekte nur leicht an Sowohl vor als auch nach Stra-tegien weist das nach dem TVaR-Prinzip allokierte Risikokapital fuumlr die HUK-Sparten einen fast unveraumlnderten negativen Wert aus Diese Effekte fuumlhren zu einem leichten An-stieg des EVA von 8 Mio euro auf 9 Mio euro In der Sparte Sturm fuumlhrt die Einbeziehung der Selbstbehalte zu einem deutlichen Ruumlckgang des Standalone-Risikokapitalbedarfs um ca 28 Auch das allokierte Risikokapital sinkt in etwa dergleichen Groumlszligenordnung Dies resultiert aus der ndash in den Extremszenarien auftretenden ndash groszligen Anzahl von relativ klei-nen Schaumlden die somit auch durch geringe Selbstbehalte schon stark entlastet werden Das mittlere Anfalljahresergebnis in Sturm ist nahezu unveraumlndert da die mittlere Scha-denentlastung durch niedrigere Beitraumlge an die Kunden weitergegeben wird Ein houmlheres Beitragsniveau lasse der Markt zur Zeit nicht zu und das Unternehmen moumlchte keine Ver-luste von Kundenbeziehungen in Kauf nehmen da die Kunden in der Regel weitere Ver-traumlge in profitablen Sparten bei dem Beispielunternehmen haben Aufgrund der Risikoka-pitalentlastung steigt der EVA in der Sturmsparte von -10 Mio euro auf -7 Mio euro an bleibt aufgrund des unzureichenden Ertrages aber immer noch negativ Nehmen wir an diese beiden Strategien seien die aus einer Menge moumlglicher Strategien (im Sinne von Satz 1) optimalen fuumlr die beiden Sparten Da das Risikokapital unseres Beispielunternehmens durch Sturmrisiken dominiert ist sind die Voraussetzungen von Satz 1 fuumlr alle Strategien die diese Dominanz nicht antasten erfuumlllt was hier sogar auch fuumlr die Einfuumlhrung der Selbstbehalte in Sturm gilt Aus Satz 1 folgt somit dass die Strategien die fuumlr die Segment-EVA bdquooptimalldquo sind auch auf Ge-samt-Unternehmensebene bdquooptimalldquo sind Demnach kann hier von der Optimierung auf Segmentebene auf die Optimierung auf Unternehmensebene geschlossen werden In unse-rem Fall wird der Gesamt-EVA nach Strategien positiv52 Anschlieszligend soll die Wirkung der Aufnahme eines weiteren Segmentes mit Ergebnis

neuneu LG minus= in das Gesamtunternehmen anhand der Performancekennzahlen RoRAC und

EVA untersucht werden Zielfuumlhrend ist hierbei die Betrachtung der Performance des neu-

en Segmentes in Bezug auf das inkrementelle Kapital inkneuRK = )()( LLL neu ρρ minus+ Durch

einfache Aumlquivalenzumformungen laumlsst sich folgender Satz 2 zeigen Satz 2

a) Sei inkneuRK gt 0 Die Einbindung eines zusaumltzlichen Segmentes erhoumlht cp genau dann

den Gesamt-RoRAC wenn der RoRAC auf das inkrementelle Risikokapital den Ge-samt-RoRAC uumlbersteigt dh wenn gilt

inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ

52 Aufgrund des negativen allokierten Risikokapitals faumlllt der EVA der HUK-Sparten groumlszliger aus als das erwartete Anfalljahresergebnis was in diesem Kontext den risikosenkenden Beitrag der HUK-Sparten im Gesamtunternehmen widerspiegeln soll Inwieweit negative Risikokapitalien bei der erfolgsabhaumlngigen Verguumltung etc sinnvoll sind muss diskutiert werden


23

b) Die Einbindung eines zusaumltzlichen Segmentes erhoumlht cp genau dann den Gesamt-EVA wenn der Segment-EVA in Bezug auf das inkrementelle Risikokapital positiv ist

capinkneuneu rRKGE sdotminus)( gt 0

hArr capneuneu rGGGGE sdot+minus+ )()( ρ gt EVA(G)

Hieraus ergibt sich folgender Satz 3

Satz 3 Ein Unternehmen bestehe aus n Segmenten Hat ein Segment k le n einen positiven EVA der nach einem kohaumlrenten Allokationsverfahren A ermittelt wurde so verschlechtert sich durch die Ausgliederung von Segment k der Gesamt-EVA dh aus53

EVA( kG ) = capkAk rGGE sdotminus )()( ρ gt 0 folgt )(GEVA gt )( kGGEVA minus

Eine analoge Aussage von Satz 2a ist im Ruumlckversicherungskontext von Interesse wobei das weitere Segment mit dem Ergebnis neuG zB als Ruumlckversicherungsergebnis (Ergeb-

nissicht des Zedenten) gewertet werden kann In diesem Falle entspricht neuGG + der

Zufallsvariablen des Nettoergebnisses In diesem Kontext soll bewertet werden ob sich die Wirkung der Ruumlckversicherung performancesteigernd auswirkt Da der Risikokapital-bedarf durch den Kauf von Ruumlckversicherungsschutz gesenkt werden soll gilt allerdings

in der Regel inkneuRK lt 0 Ebenso setzen wir 0)( ltneuGE voraus da die Ruumlckversicherungs-

praumlmie im Erwartungswert die Kompensationszahlungen (Recoveries) des Ruumlckversiche-rers uumlbersteigen wird Man kann zeigen dass im Ruumlckversicherungskontext gilt54

)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE

nisNettoergebEbnisBruttoergeE

stNettoverlu

stNettoverluustBruttoverl minusgt

minus

ρ

ρρ

was bedeutet dass ein Ruumlckversicherungsvertrag genau dann den RoRAC steigert wenn die relative Reduktion des Risikokapitalbedarfes die relative Reduktion des Erwartungs-wertes des Gesamtergebnisses uumlbersteigt Bezeichnen 1 miRi lele die Ruumlckversicherungsergebnisse fuumlr den Ruumlckversicherungsver-

trag i Bei Anwendung eines vollstaumlndigen Allokationsverfahrens wobei der Netto-

53 Satz 3 folgt aus Satz 2b und der Ungleichung )()()( kAk GGGG ρρρ leminusminus die fuumlr beliebige kohaumlrente

Allokationsverfahren A und fuumlr alle Segmente k gilt was bedeutet dass das inkrementelle Kapital eines Segmentes eine Untergrenze der Allokationsbeitraumlge von kohaumlrenten Verfahren darstellt 54 Siehe hierzu auch [Schradin 1994]

Zusammenfassung

24

Risikokapitalbedarf auf das Bruttogeschaumlft und die Ruumlckversicherungsvertraumlge allokiert wird55 gilt

)()()()( 1 mREVAREVAbnisBruttoergeEVAnisNettoergebEVA +++=

Falls das verwendete Allokationsverfahren zusaumltzlich kohaumlrent ist folgt aus Satz 3 dass das Unternehmen durch den Ruumlckversicherungsvertrag k mit positivem EVA( kR ) seinen

EVA steigert56

Die in diesem Abschnitt dargestellten Eigenschaften der Performance-Kennziffern EVA und RoRAC im Zusammenhang mit Anforderungen an Allokationsverfahren koumlnnen bei der Rendite- und Risikoorientierten Unternehmenssteuerung im Hinblick auf steuerungs-relevante Unternehmenssegmente sicherlich dazu dienen Richtungen fuumlr zielfuumlhrende Strategien in den Segmenten aufzuzeigen so dass die entsprechenden Performance-Kennzahlen auf Gesamtunternehmensebene gesteigert werden koumlnnen Dennoch sollte die strategische Unternehmenssteuerung nicht ausschlieszliglich auf Basis des RoRAC und des EVA erfolgen da schon allein durch die Wahl des zugrunde liegenden Risikomaszliges und des Sicherheitsniveaus die Wirkung von Strategien voumlllig unterschiedlich bewertet wer-den koumlnnen57 Des Weiteren ist die Maximierung von Performance-Kennzahlen nur unter restriktiven Bedingungen kompatibel zur Maximierung des Unternehmenswertes58 Dar-uumlber hinaus wurde in den Berechnungen ein konstanter Kapitalkostensatz unterstellt Tiefgreifende strukturelle Veraumlnderungen koumlnnen aber eine Veraumlnderung des Kapitalkos-tensatzes nach sich ziehen Vor diesem Hintergrund sollten Unternehmensentscheidungen immer unter Beruumlcksichtigung der Wirkung auf Gesamtunternehmensebene gefaumlllt wer-den da diese Sichtweise die fuumlhrende sein muss wobei optimalerweise die Gesamtergeb-nisverteilung ergaumlnzend herangezogen wird

5 Zusammenfassung

Anhand der Analyse der Beispieldaten zeigt sich dass es weder das bdquorichtigeldquo Risikomaszlig noch das bdquorichtigeldquo Allokationsverfahren fuumlr alle Datenkonstellationen bzw Fragestellun-gen gibt Es ist moumlglich Risikomaszlige und Allokationsverfahren anhand gewisser Guumltekri-terien zu bewerten die allerdings zT von wissenschaftlicher Seite kritisch diskutiert werden (zB Kohaumlrenz von Risikomaszligen im Zusammenhang mit Katastrophenrisiken59) Im Vergleich der hier untersuchten Verfahren hat sich gezeigt dass das TVaR-Prinzip unter Verwendung des TVaR als Risikomaszlig ein geeignetes Verfahren zur Identifikation der Risikotreiber im Bestand ist und in diesem Zusammenhang durchaus Einsatz finden sollte Des Weiteren laumlsst zeigen dass unter bestimmten Voraussetzungen die Allokation nach dem TVaR-Prinzip im Rahmen der Rendite- und Risikoorientierten Unternehmens-

55 Legt man das TVaR-Prinzip zugrunde sind die Allokationsbeitraumlge der Ruumlckversicherungsvertraumlge in der Regel negativ 56 Zu den Saumltzen 1 bis 3 siehe auch die Diplomarbeit [Schluumltter 2006] 57 Siehe hierzu auch Abschnitt 22 58 Siehe [Gruumlndel Schmeiser 2006] und Fuszlignote 3 59 Siehe zB [Rootzeacuten Kluumlppelberg 1999] und [Pfeifer 2004] im Bezug auf das Risikomaszlig Tail-Value-at-Risk

Literaturverzeichnis

25

steuerung in dem Sinne einsetzbar ist dass sich durch ein bdquoHerunterbrechenldquo von Perfor-mancekennzahlen auf Segmentebene Richtungen fuumlr zielfuumlhrende strategische Veraumlnde-rungen aufzeigen lassen Zusammenfassend bleibt zu konstatieren dass ein einzelnes Verfahren bzw eine einzelne Kennzahl in der Regel nicht aussagekraumlftig ist so dass kein Verfahren universell fuumlr alle Fragestellungen im Unternehmen einsetzbar ist Im Steuerungskontext sollten demnach vielfaumlltige Informationen (zB mehrere Verfahren oder die gesamte Ergebnisverteilung) beruumlcksichtigt werden wobei das Gesamunternehmen immer Vorrang vor den steuerungs-relevanten Segmenten haben muss

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Die Wirkung unterschiedlicher Risikokapital-

Allokationsmethoden

Dorothea Diers

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Definition und Bestimmung von Risikokapital 4

21 Modellrahmen 3

22 Risikokapital 7

3 Fallstudie Konzepte fuumlr die Allokation von Risikokapital 10

31 Grundlagen zur Risikokapital-Allokation 9

32 Beschreibung des Beispielbestandes 11

33 Allokation von Risikokapital 12

4 Bewertung von Unternehmensstrategien 19

5 Zusammenfassung 19

6 Literaturverzeichnis 25

Einleitung

2

1 Einleitung



Einleitung

3




4



21 Modellrahmen




Marktwertder

Aktiva



Reserverisiken

Zeichnungsrisiken


Vorh


l

SCR


Finanzrisiken

Unternehmensrisiken

Marktwertder

Aktiva



Reserverisiken

Zeichnungsrisiken


Vorh


l

SCR


Finanzrisiken

Unternehmensrisiken


5






atOumlkErgAsset und


t + Ert at + Til a


t









6











7


22 Risikokapital







8










9







10




ρA χ rarr IR



=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ



le

TKi TKi



3 Symmetrie





11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28







Einleitung

2

1 Einleitung



Einleitung

3




4



21 Modellrahmen




Marktwertder

Aktiva



Reserverisiken

Zeichnungsrisiken


Vorh


l

SCR


Finanzrisiken

Unternehmensrisiken

Marktwertder

Aktiva



Reserverisiken

Zeichnungsrisiken


Vorh


l

SCR


Finanzrisiken

Unternehmensrisiken


5






atOumlkErgAsset und


t + Ert at + Til a


t









6











7


22 Risikokapital







8










9







10




ρA χ rarr IR



=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ



le

TKi TKi



3 Symmetrie





11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

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LVar

LLCov =

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2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

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746

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333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28







Einleitung

3




4



21 Modellrahmen




Marktwertder

Aktiva



Reserverisiken

Zeichnungsrisiken


Vorh


l

SCR


Finanzrisiken

Unternehmensrisiken

Marktwertder

Aktiva



Reserverisiken

Zeichnungsrisiken


Vorh


l

SCR


Finanzrisiken

Unternehmensrisiken


5






atOumlkErgAsset und


t + Ert at + Til a


t









6











7


22 Risikokapital







8










9







10




ρA χ rarr IR



=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ



le

TKi TKi



3 Symmetrie





11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

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L

GE

ρ



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)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








4



21 Modellrahmen




Marktwertder

Aktiva



Reserverisiken

Zeichnungsrisiken


Vorh


l

SCR


Finanzrisiken

Unternehmensrisiken

Marktwertder

Aktiva



Reserverisiken

Zeichnungsrisiken


Vorh


l

SCR


Finanzrisiken

Unternehmensrisiken


5






atOumlkErgAsset und


t + Ert at + Til a


t









6











7


22 Risikokapital







8










9







10




ρA χ rarr IR



=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ



le

TKi TKi



3 Symmetrie





11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








5






atOumlkErgAsset und


t + Ert at + Til a


t









6











7


22 Risikokapital







8










9







10




ρA χ rarr IR



=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ



le

TKi TKi



3 Symmetrie





11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








6











7


22 Risikokapital







8










9







10




ρA χ rarr IR



=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ



le

TKi TKi



3 Symmetrie





11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








7


22 Risikokapital







8










9







10




ρA χ rarr IR



=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ



le

TKi TKi



3 Symmetrie





11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








8










9







10




ρA χ rarr IR



=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ



le

TKi TKi



3 Symmetrie





11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








9







10




ρA χ rarr IR



=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ



le

TKi TKi



3 Symmetrie





11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








10




ρA χ rarr IR



=

n

i

iA LLL

1

)()|( ρρ



le

TKi TKi



3 Symmetrie





11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

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100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








11








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








12












13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








13











Sturm in Mioeuro

Gesamt in Mioeuro


14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








14




xi = )(

)(

LVar

LLCov i 1 le i le n





15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








15





In

Uumlberschwemmung


Feuer

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20


16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








16




)(

)(

Ges

GesF

LVar

LLCov =

)()(

)(22

2

ELF

F

LL

L

σσ

σ

+ asymp

746

5321 = 046




333 Shapley-Wert


0

20

40

60

80

100

120



0

20

40

60

80

100

120



0

100

In Mio


95

25

5244

947

09 VGV-ELFeuer


17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








17


ρShapley(Li | L) =

minus


kknTKTKi

LLn

TKnTK

1

)()(

|)|()1|(|ρρ





Sturm 48 82

Kasko 5 9



Summe 54 95


Kumul 51 88


Feuer 10 12

Summe 54 95


18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








18







19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








19






20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








20






Zustand 1 14 16 30 14 16 30

Zustand 2 -10 -2 -12 -5 -2 -7

Zustand 3 2 -8 -6 -4 -8 -12

erw Ergebnis 20 20 40 17 20 37

TVaR-Allokation 100 20 120 40 80 120

RoRAC 20 100 33 42 25 31





21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








21



k = ndashG jk )



k + + Ln)


EVA(Gj

k ) = 1

maxmjisin

EVA(G jk )

Dann gilt

EVA (G1 + + Gj

k + + Gn) = 1

maxmjisin

EVA (G1 + + G jk + + Gn)





HUK 133 7 -7 8

SACH 89 -1 102 -12



HUK 146 9 -6 9

SACH 82 -1 74 -9




22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








22








inkneu

neu

RK

GE )( gt

)(

)(

L

GE

ρ



23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








23












)(

)()(

)(

)()(

nisNettoergebE


stNettoverlu


minus

ρ

ρρ





Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28







Zusammenfassung

24




EVA steigert56


5 Zusammenfassung




25















26


















27


















28








25















26


















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28








26


















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28







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Die Wirkung unterschiedlicher ... · Einleitung 2 1 Einleitung In der Versicherungsindustrie vollzieht sich aktuell aufgrund von verändert en Rahmenbe-dingungen 1 ein Paradigmenwechsel