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0 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
FAKULTÄT FÜR INFORMATIK, INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
Digitale SignaturensEUF-CMA & Pairings | Gunnar Hartung, Björn Kaidel
KIT – Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Socrative: Wiederholung
1 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
https://b.socrative.com/login/student/Room: SIGNATUREN
Kann man aus jeder CH eine Einmalsig. konstruieren?Kann man aus jeder Einmalsig. eine CH konstruieren?Def. von Kollision bei CH?Verstärkung von EUF-CMA?
Werbung: Algorithmen 1 Tutoren gesucht!
2 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Prof. Müller-Quade liest im SS 2017 „Algorithmen 1“Übungsleiter: Björn KaidelWir suchen Tutoren/innen!Anstellung vom 01.04 bis 31.07.2017Aufgaben: Übungsblätter korrigieren, Tutorien halten (ein Tutorium proWoche)Vorraussetzung: Bestandene "Algorithmen 1" Klausur
Interesse? Mail an [email protected]!
Frage vom letzten Mal - EUF-CMA 2. Variante
3 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
EUF-CMA Variante 2CEUF-CMA A
(pk , sk)← Gen(1k )
(ch, τ)← GenCH(1k )
pk , ch
mi , chi
σi ← Sign(sk ,mi , chi )σi
Anfragen nacheinanderq = q(k) Anfragenq Polynom
m∗ , σ∗
Vfy(pk ,m∗, σ∗, ch) = 1?∧
m∗ /∈ {m1, . . . ,mq}?
Frage: Kann man das nicht mit der DLog-CH erreichen, indem manH(m) statt m signiert? (H Hashfunktion)
EUF-CMA 2. Variante (Antwort)
4 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Frage: Kann man das nicht mit der DLog-CH erreichen, indem manH(m) statt m signiert? (H Hashfunktion)Antwort: Nein!
A erhält ch = (g,h) vom Challenger.A wählt zwei Nachrichten m1 6= m2
A generiert chA = (gH(m2)/H(m1),h)Dies ist eine gültige CH-Fkt.!
A lässt m1 mit chA signieren und erhält Signatur σ = (σ′, r ). Es gilt
chA(H(m1), r ) = gH(m2)·H(m1)/H(m1) · hr = gH(m2) · hr = ch(H(m2), r )
Damit ist σ eine gültige Signatur für m2 bzgl. ch
EUF-CMA 2. Variante (Antwort)
4 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Frage: Kann man das nicht mit der DLog-CH erreichen, indem manH(m) statt m signiert? (H Hashfunktion)Antwort: Nein!
A erhält ch = (g,h) vom Challenger.A wählt zwei Nachrichten m1 6= m2
A generiert chA = (gH(m2)/H(m1),h)Dies ist eine gültige CH-Fkt.!
A lässt m1 mit chA signieren und erhält Signatur σ = (σ′, r ). Es gilt
chA(H(m1), r ) = gH(m2)·H(m1)/H(m1) · hr = gH(m2) · hr = ch(H(m2), r )
Damit ist σ eine gültige Signatur für m2 bzgl. ch
EUF-CMA 2. Variante (Antwort)
4 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Frage: Kann man das nicht mit der DLog-CH erreichen, indem manH(m) statt m signiert? (H Hashfunktion)Antwort: Nein!
A erhält ch = (g,h) vom Challenger.A wählt zwei Nachrichten m1 6= m2
A generiert chA = (gH(m2)/H(m1),h)Dies ist eine gültige CH-Fkt.!
A lässt m1 mit chA signieren und erhält Signatur σ = (σ′, r ). Es gilt
chA(H(m1), r ) = gH(m2)·H(m1)/H(m1) · hr = gH(m2) · hr = ch(H(m2), r )
Damit ist σ eine gültige Signatur für m2 bzgl. ch
Socrative-Fragen vom letzten Mal
5 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Hinweis: immer mehr Fragen online! :)(Bitte nicht nur diese Fragen zur Prüfungsvorbereitung verwenden!)
„Wann wurden CH-Funktionen zum ersten Mal definiert?“1998, in [KR98]
„Das kleine r an der Tafel sieht aus wie ein µ!“Soµµy! Veµsuche mich zu besseµn!
„Signaturverfahren darf NUR für Chamäleon-Signaturen verwendetwerden, da jeder der Signatur hat, UUF-Angriffe trivial durchführenkann.“
Frage war mir nicht ganz klar... Fragesteller anwesend?
Socrative-Fragen vom letzten Mal
5 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Hinweis: immer mehr Fragen online! :)(Bitte nicht nur diese Fragen zur Prüfungsvorbereitung verwenden!)
„Wann wurden CH-Funktionen zum ersten Mal definiert?“1998, in [KR98]
„Das kleine r an der Tafel sieht aus wie ein µ!“Soµµy! Veµsuche mich zu besseµn!
„Signaturverfahren darf NUR für Chamäleon-Signaturen verwendetwerden, da jeder der Signatur hat, UUF-Angriffe trivial durchführenkann.“
Frage war mir nicht ganz klar... Fragesteller anwesend?
Socrative-Fragen vom letzten Mal
5 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Hinweis: immer mehr Fragen online! :)(Bitte nicht nur diese Fragen zur Prüfungsvorbereitung verwenden!)
„Wann wurden CH-Funktionen zum ersten Mal definiert?“1998, in [KR98]
„Das kleine r an der Tafel sieht aus wie ein µ!“
Soµµy! Veµsuche mich zu besseµn!
„Signaturverfahren darf NUR für Chamäleon-Signaturen verwendetwerden, da jeder der Signatur hat, UUF-Angriffe trivial durchführenkann.“
Frage war mir nicht ganz klar... Fragesteller anwesend?
Socrative-Fragen vom letzten Mal
5 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Hinweis: immer mehr Fragen online! :)(Bitte nicht nur diese Fragen zur Prüfungsvorbereitung verwenden!)
„Wann wurden CH-Funktionen zum ersten Mal definiert?“1998, in [KR98]
„Das kleine r an der Tafel sieht aus wie ein µ!“Soµµy! Veµsuche mich zu besseµn!
„Signaturverfahren darf NUR für Chamäleon-Signaturen verwendetwerden, da jeder der Signatur hat, UUF-Angriffe trivial durchführenkann.“
Frage war mir nicht ganz klar... Fragesteller anwesend?
Socrative-Fragen vom letzten Mal
5 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Hinweis: immer mehr Fragen online! :)(Bitte nicht nur diese Fragen zur Prüfungsvorbereitung verwenden!)
„Wann wurden CH-Funktionen zum ersten Mal definiert?“1998, in [KR98]
„Das kleine r an der Tafel sieht aus wie ein µ!“Soµµy! Veµsuche mich zu besseµn!
„Signaturverfahren darf NUR für Chamäleon-Signaturen verwendetwerden, da jeder der Signatur hat, UUF-Angriffe trivial durchführenkann.“
Frage war mir nicht ganz klar... Fragesteller anwesend?
Inhalt
6 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
sEUF-CMA durch Chamäleon-Hashing (Kap. 3.6)
Pairing-basierte Signaturen (Kap. 5)
EUF-CMA - Verstärken?
7 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
CEUF-CMA A
(pk , sk)← Gen(1k ) pk
mi
σi
Anfragen nacheinanderq = q(k) Anfragenq Polynom
m∗ , σ∗
Ver (pk ,m∗, σ∗) = 1?∧
m∗ /∈ {m1, . . . ,mq}?
A gewinnt, falls Vfy(pk ,m∗, σ∗) = 1 und m∗ /∈ {m1, ...,mq}
Frage: Stärkerer Sicherheitsbegriff als EUF-CMA?
sEUF-CMA - Sicherheitsexperiment
8 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
CsEUF-CMA A
(pk , sk)← Gen(1k ) pk
mi
σi
Anfragen nacheinanderq = q(k) Anfragenq Polynom
m∗ , σ∗
Ver (pk ,m∗, σ∗) = 1?∧
(m∗, σ∗) /∈ {(m1, σ1) . . . , (mq , σq)}?
A gewinnt, falls Vfy(pk ,m∗, σ∗) = 1 und(m∗, σ∗) /∈ {(m1, σ1) . . . , (mq , σq)}
Definition: sEUF-CMA
9 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Def. 51: (sEUF-CMA)Ein digitales Signaturverfahren Σ = (Gen, Sign,Vfy) istsEUF-CMA-sicher , falls für alle PPT A gilt, dass
Pr[ACsEUF-CMA(pk) = (m∗, σ∗) : Vfy(pk ,m∗, σ∗) = 1∧
(m∗, σ∗) /∈ {(m1, σ1), ..., (mq , σq)}
]im Sicherheitsparameter k vernachlässigbar ist.
sEUF-CMA: Anwendungen
10 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
A kann nun auch gewinnen, wenn zu m∗ eine Signaturanfragegesendet hat...... dann muss σ∗ aber neu sein
Hauptsächlich als Baustein für komplexe Krypto-AnwendungenBeispielsweise um IND-CCA2-sichere PKE zu konstruieren
CH + EUF-CMA→ sEUF-CMA (Skript)
11 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
EUF-CMA Σ′ = (Gen′, Sign′,Vfy′)CH-Fkt. CH = (GenCH,TrapCollCH)
Konstruiere sEUF-CMA-sicheres Σ = (Gen, Sign,Vfy).
Seien m′, σ′ zufällige Werte, aber fest Gen(1k ) :(pk ′, sk ′)← Gen′(1k )
(chF , τF )← GenCH(1k )
(chH , τH)← GenCH(1k )
pk = (pk ′, chF , chH)
sk = (sk ′, τH)
CH + EUF-CMA→ sEUF-CMA (Skript)
11 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
EUF-CMA Σ′ = (Gen′, Sign′,Vfy′)CH-Fkt. CH = (GenCH,TrapCollCH)
Konstruiere sEUF-CMA-sicheres Σ = (Gen, Sign,Vfy).
Seien m′, σ′ zufällige Werte, aber fest Gen(1k ) :(pk ′, sk ′)← Gen′(1k )
(chF , τF )← GenCH(1k )
(chH , τH)← GenCH(1k )
pk = (pk ′, chF , chH)
sk = (sk ′, τH)
CH + EUF-CMA→ sEUF-CMA (Skript)
12 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Seien m′, σ′ zufällige Werte, aber fest
Sign(sk ,m) : sk = (sk ′, τH)
rF ← R, r ′H ← Rh := chH(m′‖σ′, r ′H)m̃ := chF (h, rF )σ̃← Sign′(sk ′, m̃)
rH ← TrapCollCH(τH , (m′‖σ′, rH),m‖σ̃)σ := (σ̃, rF , rH)
Vfy(pk ,m, σ): pk = (pk ′, chF , chH), σ = (σ̃, rF , rH)h := chH(m‖σ̃, rH)m̃ := chF (h, rF )
Vfy′(pk ′, m̃, σ̃)?= 1
CH + EUF-CMA→ sEUF-CMA (Skript)
12 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Seien m′, σ′ zufällige Werte, aber fest
Sign(sk ,m) : sk = (sk ′, τH)
rF ← R, r ′H ← Rh := chH(m′‖σ′, r ′H)m̃ := chF (h, rF )σ̃← Sign′(sk ′, m̃)
rH ← TrapCollCH(τH , (m′‖σ′, rH),m‖σ̃)σ := (σ̃, rF , rH)
Vfy(pk ,m, σ): pk = (pk ′, chF , chH), σ = (σ̃, rF , rH)h := chH(m‖σ̃, rH)m̃ := chF (h, rF )
Vfy′(pk ′, m̃, σ̃)?= 1
CH + EUF-CMA→ sEUF-CMA (Skript)
13 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Theorem:Σ ist sEUF-CMA-sicher, wenn CH kollisionsresistent und Σ′
EUF-CMA-sicher ist.
Beweisidee: Siehe TafelAnm.: Konstruktion mit Sicherheitsbeweis findet sich in [SPW07]
(Konstruktion im Skript leicht anders!)
Transformationen: Übersicht (Skript)
14 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
EUF-naCMA EUF-1-naCMA
EUF-CMA
CH
sEUF-CMA
SUF-naCMAdieses Jahrnicht be-sprochen
Transformationen: Übersicht (Skript)
14 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
EUF-naCMA EUF-1-naCMA
EUF-CMA
CH
sEUF-CMA
SUF-naCMAdieses Jahrnicht be-sprochen
Transformationen: Übersicht (Skript)
14 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
EUF-naCMA EUF-1-naCMA
EUF-CMA
CH
sEUF-CMA
SUF-naCMAdieses Jahrnicht be-sprochen
Transformationen: Übersicht (Skript)
14 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
EUF-naCMA EUF-1-naCMA
EUF-CMA
CH
sEUF-CMA
SUF-naCMAdieses Jahrnicht be-sprochen
Transformationen: Übersicht (Skript)
14 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
EUF-naCMA EUF-1-naCMA
EUF-CMA
CH
sEUF-CMA
SUF-naCMAdieses Jahrnicht be-sprochen
Socrative: sEUF-CMA
15 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
https://b.socrative.com/login/student/Room: SIGNATUREN
Ist jede EUF-CMA-sichere und deterministische SignatursEUF-CMA-sicher?Wie unterscheiden sich EUF-CMA und sEUF-CMA?Welche Transformationen wurden in der VL besprochen?
Pairings
16 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Definition 78 (Pairings):Seien G1,G2,GT zyklische Gruppen mit Ordnung p prim. Ein Pairing(bilineare Abbildung) ist eine Abbildung
e : G1 ×G2 → GT
mit den Eigenschaften:
1) Bilinearität: ∀g1,g′1 ∈ G1,g2,g′2 ∈ G2 :
e(g1 · g′1,g2) = e(g1,g2) · e(g′1,g2)
e(g1,g2 · g′2) = e(g1,g2) · e(g1,g′2)
⇒ e(ga1 ,g2) = e(g1,g2)
a = e(g1,ga2)
Ermöglicht eine Multiplikation im Exponenten.
Pairings
16 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Definition 78 (Pairings):Seien G1,G2,GT zyklische Gruppen mit Ordnung p prim. Ein Pairing(bilineare Abbildung) ist eine Abbildung
e : G1 ×G2 → GT
mit den Eigenschaften:1) Bilinearität: ∀g1,g′1 ∈ G1,g2,g′2 ∈ G2 :
e(g1 · g′1,g2) = e(g1,g2) · e(g′1,g2)
e(g1,g2 · g′2) = e(g1,g2) · e(g1,g′2)
⇒ e(ga1 ,g2) = e(g1,g2)
a = e(g1,ga2)
Ermöglicht eine Multiplikation im Exponenten.
Pairings
16 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Definition 78 (Pairings):Seien G1,G2,GT zyklische Gruppen mit Ordnung p prim. Ein Pairing(bilineare Abbildung) ist eine Abbildung
e : G1 ×G2 → GT
mit den Eigenschaften:1) Bilinearität: ∀g1,g′1 ∈ G1,g2,g′2 ∈ G2 :
e(g1 · g′1,g2) = e(g1,g2) · e(g′1,g2)
e(g1,g2 · g′2) = e(g1,g2) · e(g1,g′2)
⇒ e(ga1 ,g2) = e(g1,g2)
a = e(g1,ga2)
Ermöglicht eine Multiplikation im Exponenten.
Pairings
17 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
2) Nicht-Ausgeartetheit (engl. non-degenerate, auchNicht-Degeneriertheit)Für Erzeuger g1 ∈ G1,g2 ∈ G2 gilt:
e(g1,g2) ist Erzeuger von GT|GT |prim⇔ e(g1,g2) 6= 1
3) Effiziente Berechenbarkeit
Anm.: Es gibt auch Pairings mit Gruppen ohne Primordnung! (spielen indieser VL keine Rolle)
Pairings
17 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
2) Nicht-Ausgeartetheit (engl. non-degenerate, auchNicht-Degeneriertheit)Für Erzeuger g1 ∈ G1,g2 ∈ G2 gilt:
e(g1,g2) ist Erzeuger von GT|GT |prim⇔ e(g1,g2) 6= 1
3) Effiziente Berechenbarkeit
Anm.: Es gibt auch Pairings mit Gruppen ohne Primordnung! (spielen indieser VL keine Rolle)
Pairings
17 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
2) Nicht-Ausgeartetheit (engl. non-degenerate, auchNicht-Degeneriertheit)Für Erzeuger g1 ∈ G1,g2 ∈ G2 gilt:
e(g1,g2) ist Erzeuger von GT|GT |prim⇔ e(g1,g2) 6= 1
3) Effiziente Berechenbarkeit
Anm.: Es gibt auch Pairings mit Gruppen ohne Primordnung! (spielen indieser VL keine Rolle)
Pairing: Anmerkungen
18 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
G1,G2 in der Regel elliptische Kurven („Ursprungsgruppen“)GT ⊆ FQ („Target-Gruppe“)
Ursprüngliche Anwendung:KryptoanalyseBsp: Ist Dlog in GT einfacher als in Gi , kann e helfen, den Dlog zuberechnen
gx , x gesuchtberechne e(gx ,g) = e(g,g)x und dann Dlog von e(g,g)x
Manche Annahmen (wie DDH) gelten in solchen Gruppen nicht!
Pairing: Anmerkungen
18 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
G1,G2 in der Regel elliptische Kurven („Ursprungsgruppen“)GT ⊆ FQ („Target-Gruppe“)
Ursprüngliche Anwendung:KryptoanalyseBsp: Ist Dlog in GT einfacher als in Gi , kann e helfen, den Dlog zuberechnen
gx , x gesuchtberechne e(gx ,g) = e(g,g)x und dann Dlog von e(g,g)x
Manche Annahmen (wie DDH) gelten in solchen Gruppen nicht!
Typen von Pairings
19 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Typ 1: G1 = G2, „symmetrisches Pairing“e : G×G→ GT
Typ 2: G1 6= G2, „asymmetrisches Pairing“Es existiert effizienter, nicht-trivialer Homomorphismus
ψ : G2 → G1
Typ 3: G1 6= G2, „asymmetrisches Pairing“Es existiert kein effizienter, nicht-trivialer Homomorphismus
ψ : G2 → G1
Anm: In der VL betrachten wir hauptsächlich „symmetrische Pairings“!
Typen von Pairings
19 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Typ 1: G1 = G2, „symmetrisches Pairing“e : G×G→ GT
Typ 2: G1 6= G2, „asymmetrisches Pairing“Es existiert effizienter, nicht-trivialer Homomorphismus
ψ : G2 → G1
Typ 3: G1 6= G2, „asymmetrisches Pairing“Es existiert kein effizienter, nicht-trivialer Homomorphismus
ψ : G2 → G1
Anm: In der VL betrachten wir hauptsächlich „symmetrische Pairings“!
Typen von Pairings
19 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Typ 1: G1 = G2, „symmetrisches Pairing“e : G×G→ GT
Typ 2: G1 6= G2, „asymmetrisches Pairing“Es existiert effizienter, nicht-trivialer Homomorphismus
ψ : G2 → G1
Typ 3: G1 6= G2, „asymmetrisches Pairing“Es existiert kein effizienter, nicht-trivialer Homomorphismus
ψ : G2 → G1
Anm: In der VL betrachten wir hauptsächlich „symmetrische Pairings“!
Typen von Pairings
19 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Typ 1: G1 = G2, „symmetrisches Pairing“e : G×G→ GT
Typ 2: G1 6= G2, „asymmetrisches Pairing“Es existiert effizienter, nicht-trivialer Homomorphismus
ψ : G2 → G1
Typ 3: G1 6= G2, „asymmetrisches Pairing“Es existiert kein effizienter, nicht-trivialer Homomorphismus
ψ : G2 → G1
Anm: In der VL betrachten wir hauptsächlich „symmetrische Pairings“!
Pairings: Forschung
20 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Pairings bereits „sehr mächtig“Multi-lineare Abbildung wären sehr starkes Werkzeug!Man kannte bis vor wenigen Jahren keine Kandidaten für solche Abb.2012: Garg, Gentry, Halevi „Candidate Multilineaer Maps from IdealLattices and Applications“ [GGH12]Seitdem viele Kandidaten, Angriffe, Konstruktionen die multilineareAbb. verwenden...Sehr turbulentes Forschungsfeld!
Joux’s 3-Parteien Schlüsselaustausch
21 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
Grundprinzip wie beim Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch für 2Parteien3 Parteien A, B, CEinfaches Anwendungsbeispiel für Pairingse : G×G→ GT , g Erzeuger von G, |G| = |GT | = p prim.
Joux’s 3-Parteien Schlüsselaustausch
22 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
A
B C
a← Zp
b ← Zp c ← Zp
ga g a
ga ga
gb
gb
gb
ga,gbg c
gc
gb,gc
ga,gc
k = e(gb,gc)a = e(g,g)abc
k = e(ga,gc)b = e(g,g)abc k = e(ga,gb)c = e(g,g)abc
Gemeinsamer Schlüssel ist k = e(g,g)abc
Nachrichtenaustausch muss nicht nacheinander sein!(über multilineare Abb. auf größere Anzahl Parteien erweiterbar)
Joux’s 3-Parteien Schlüsselaustausch
22 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
A
B C
a← Zp
b ← Zp c ← Zp
ga g a
ga ga
gb
gb
gb
ga,gbg c
gc
gb,gc
ga,gc
k = e(gb,gc)a = e(g,g)abc
k = e(ga,gc)b = e(g,g)abc k = e(ga,gb)c = e(g,g)abc
Gemeinsamer Schlüssel ist k = e(g,g)abc
Nachrichtenaustausch muss nicht nacheinander sein!(über multilineare Abb. auf größere Anzahl Parteien erweiterbar)
Joux’s 3-Parteien Schlüsselaustausch
22 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
A
B C
a← Zp
b ← Zp c ← Zpg
a g a
ga ga
gb
gb
gb
ga,gbg c
gc
gb,gc
ga,gc
k = e(gb,gc)a = e(g,g)abc
k = e(ga,gc)b = e(g,g)abc k = e(ga,gb)c = e(g,g)abc
Gemeinsamer Schlüssel ist k = e(g,g)abc
Nachrichtenaustausch muss nicht nacheinander sein!(über multilineare Abb. auf größere Anzahl Parteien erweiterbar)
Joux’s 3-Parteien Schlüsselaustausch
22 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
A
B C
a← Zp
b ← Zp c ← Zp
ga g a
ga
ga
gb
gb
gb
ga,gb
g cgc
gb,gc
ga,gc
k = e(gb,gc)a = e(g,g)abc
k = e(ga,gc)b = e(g,g)abc k = e(ga,gb)c = e(g,g)abc
Gemeinsamer Schlüssel ist k = e(g,g)abc
Nachrichtenaustausch muss nicht nacheinander sein!(über multilineare Abb. auf größere Anzahl Parteien erweiterbar)
Joux’s 3-Parteien Schlüsselaustausch
22 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
A
B C
a← Zp
b ← Zp c ← Zp
ga g a
ga ga
gb
gb
gb
ga,gbg c
gc
gb,gc
ga,gc
k = e(gb,gc)a = e(g,g)abc
k = e(ga,gc)b = e(g,g)abc k = e(ga,gb)c = e(g,g)abc
Gemeinsamer Schlüssel ist k = e(g,g)abc
Nachrichtenaustausch muss nicht nacheinander sein!(über multilineare Abb. auf größere Anzahl Parteien erweiterbar)
Joux’s 3-Parteien Schlüsselaustausch
22 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
A
B C
a← Zp
b ← Zp c ← Zp
ga g a
ga ga
gb
gb
gb
ga,gb
g cgc
gb,gc
ga,gc
k = e(gb,gc)a = e(g,g)abc
k = e(ga,gc)b = e(g,g)abc k = e(ga,gb)c = e(g,g)abc
Gemeinsamer Schlüssel ist k = e(g,g)abc
Nachrichtenaustausch muss nicht nacheinander sein!(über multilineare Abb. auf größere Anzahl Parteien erweiterbar)
Joux’s 3-Parteien Schlüsselaustausch
22 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
A
B C
a← Zp
b ← Zp c ← Zp
ga g a
ga ga
gb
gb
gb
ga,gb
g cgc
gb,gc
ga,gc
k = e(gb,gc)a = e(g,g)abc
k = e(ga,gc)b = e(g,g)abc k = e(ga,gb)c = e(g,g)abc
Gemeinsamer Schlüssel ist k = e(g,g)abc
Nachrichtenaustausch muss nicht nacheinander sein!(über multilineare Abb. auf größere Anzahl Parteien erweiterbar)
Socrative: Pairings
23 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
https://b.socrative.com/login/student/Room: SIGNATUREN
Was impliziert die Bilinearität von Pairings?Wieviele Parteien können an Joux’s Schlüsselaustausch teilnehmen?Müssen in Joux’s Schlüsselaustausch die Nachrichten nacheinanderverschickt werden?
References I
24 2017-01-20 B. Kaidel – Digitale Signaturen: sEUF-CMA & Pairings
S. Garg, C. Gentry, and S. Halevi. “Candidate MultilinearMaps from Ideal Lattices and Applications”. In: IACRCryptology ePrint Archive 2012 (2012), p. 610. URL:http://eprint.iacr.org/2012/610.
H. Krawczyk and T. Rabin. “Chameleon Hashing andSignatures”. In: IACR Cryptology ePrint Archive 1998 (1998),p. 10. URL: http://eprint.iacr.org/1998/010.
R. Steinfeld, J. Pieprzyk, and H. Wang. “How to StrengthenAny Weakly Unforgeable Signature into a StronglyUnforgeable Signature”. In: Topics in Cryptology - CT-RSA2007, The Cryptographers’ Track at the RSA Conference2007, San Francisco, CA, USA, February 5-9, 2007,Proceedings. 2007, pp. 357–371. DOI: 10.1007/11967668_23.URL: http://dx.doi.org/10.1007/11967668_23.