Discrete-Time Random Walk Vortrag : wir Betreuer : Datum:heute

Discrete-TimeDiscrete-TimeRandom WalkRandom Walk

Vortrag : wirVortrag : wir

Betreuer :Betreuer :

Datum:heuteDatum:heute

InhaltInhalt Was ist ein Random-WalkWas ist ein Random-Walk Klassisch <-> QM Klassisch <-> QM „„Realisierung“ durch coin- & shift-Realisierung“ durch coin- & shift-

OperatorOperator Realisierung des Quanten-Random-Realisierung des Quanten-Random-

WalksWalks Die Rettung des Lemmings Die Rettung des Lemmings AusblickAusblick

Was ist ein (1-D) Was ist ein (1-D) Random-Walk ?Random-Walk ?

Fairer Frosch auf Fairer Frosch auf dem Zollstockdem Zollstock

Galtons BrettGaltons Brett GaußverteilungGaußverteilung Klassisch: Klassisch:

Messung nach Messung nach jedem Schrittjedem Schritt

Jeder Ort wird Jeder Ort wird irgendwann irgendwann erreichterreicht

Was ist ein Random-Was ist ein Random-Walk ?Walk ?

Für QM : Hilbertraum Für QM : Hilbertraum Orts- und Spin-Orts- und Spin-

Freiheitsgrade Freiheitsgrade Zustände: Zustände:

Schritte durch OperatorenSchritte durch Operatoren Münzwurf und BewegungMünzwurf und Bewegung

(„coin- & shift“)(„coin- & shift“)

Was ist ein Random-Was ist ein Random-Walk ?Walk ?

Coin-Operator C entscheidet Richtung des Coin-Operator C entscheidet Richtung des WalksWalks

z.B. „Hadamard“-Operator (wirkt auf Spin)z.B. „Hadamard“-Operator (wirkt auf Spin)

Angewandt auf Zustand:Angewandt auf Zustand:

Wahrscheinlichkeiten sind gleich (balanced Wahrscheinlichkeiten sind gleich (balanced coin)coin)

Coin- & Shift-OperatorCoin- & Shift-Operator

Anwenden des shift-operators S :Anwenden des shift-operators S :

Bewirkt Verschiebung um 1 nach Bewirkt Verschiebung um 1 nach links/rechtslinks/rechts

(abhängig vom Spin)(abhängig vom Spin) Ausführen des gesamten Schrittes Ausführen des gesamten Schrittes

durch U:durch U:

Coin- & Shift-OperatorCoin- & Shift-Operator Anwenden auf Zustand Anwenden auf Zustand

Orts-Wahrscheinlichkeiten symmetrischOrts-Wahrscheinlichkeiten symmetrisch => Werfen->Messen->Ausführen-=> Werfen->Messen->Ausführen-

>Werfen->usw. führt auf klassischen >Werfen->usw. führt auf klassischen Random-WalkRandom-Walk

Symmetrische VerteilungSymmetrische Verteilung

Coin- & Shift-OperatorCoin- & Shift-Operator 3-maliges Anwenden auf Zustand 3-maliges Anwenden auf Zustand

ergibt Asymmetrienergibt Asymmetrien

Asymmetrische Asymmetrische VerteilungVerteilung

Coin- & Shift-OperatorCoin- & Shift-Operator

Wiederherstellung der Symmetrie:Wiederherstellung der Symmetrie: Wähle anderen Operator , z.B:Wähle anderen Operator , z.B:

Wähle anderen Anfangszustand:Wähle anderen Anfangszustand:

Verteilung mit sym. Verteilung mit sym. Anfangsbed.Anfangsbed.

Klassisch - QMKlassisch - QM

KlassischKlassisch Jedesmal anwenden und direkt messen, Jedesmal anwenden und direkt messen,

daraus Wahrscheinlichkeiten ermittelndaraus Wahrscheinlichkeiten ermitteln

QMQM Operator n Schritte anwenden, Operator n Schritte anwenden,

Messung erst am EndeMessung erst am Ende Inter-/Kohä-/DifferenzInter-/Kohä-/Differenz

„„discrete – time“ ?discrete – time“ ?

Man geht wirklich schrittweise vorMan geht wirklich schrittweise vor Operatoren wirken diskretOperatoren wirken diskret Keine kontinuierlichen Keine kontinuierlichen

Übergangswahrscheinlichkeiten/-Übergangswahrscheinlichkeiten/-ratenraten

ExperimentExperiment

Optisches Gitter Optisches Gitter realisiert Shift-realisiert Shift-Operation Operation Gegenläufige Laser Gegenläufige Laser

– linear polarisiert– linear polarisiert E-Felder um Winkel E-Felder um Winkel

θθ verdreht verdreht Stehende WelleStehende Welle Links- und Links- und

rechtszirkular rechtszirkular polarisierte Anteile polarisierte Anteile


Erhalte Potential Erhalte Potential

Energieniveaus :Energieniveaus :

Shift entspricht Shift entspricht Drehung von Theta Drehung von Theta 0..Pi/20..Pi/2


Hadamard-Walk realisiert durch Hadamard-Walk realisiert durch Laser-Pulse zu den Zeiten t=nd/v Laser-Pulse zu den Zeiten t=nd/v (d:Lattice Spacing)(d:Lattice Spacing)

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Fluoreszens MessungFluoreszens Messung Wiederholung ergibt Wiederholung ergibt

WahrscheinlichkeitsverteilungWahrscheinlichkeitsverteilung

LemmingLemming

Habe absorbierende Wand / Klippe bei 0Habe absorbierende Wand / Klippe bei 0 Lemming steht 1 vor Klippe bei 1Lemming steht 1 vor Klippe bei 1

LemmingLemming

„„Gesetz der großen zahlen“:Gesetz der großen zahlen“: Klassischer Lemming erreicht klippe für t->8Klassischer Lemming erreicht klippe für t->8 Also fallwahrscheinlichkeit p=1Also fallwahrscheinlichkeit p=1

Lemming-QM-MatheLemming-QM-Mathe

Lemming-operator W(UnitäresU)Lemming-operator W(UnitäresU) Mit abbruchbedingung bei klippeMit abbruchbedingung bei klippe Abbruch durch PI-funktionAbbruch durch PI-funktion

Lemming-MatheLemming-Mathe

Erzeugende Funktion(en) f (und g)Erzeugende Funktion(en) f (und g) (diskrete) fouriertrafo(diskrete) fouriertrafo BlablaBlabla

Es gilt intuitiv offensichtlich Es gilt intuitiv offensichtlich p_1=summe der koeffp_1=summe der koeff


Hadamard-ProduktHadamard-Produkt EinführenEinführen Ausrechnen für f,fquerAusrechnen für f,fquer


Argumentatives ermitteln von f und Argumentatives ermitteln von f und g g

AusrechnenAusrechnen Minus wechmachenMinus wechmachen Integral ausrechnenIntegral ausrechnen Erstaunt tunErstaunt tun


Grenzwerte für weiter wegge klippe Grenzwerte für weiter wegge klippe machenmachen

AusblickAusblick

Quanten-computersQuanten-computers WWF(lemming-rettung)WWF(lemming-rettung) KubusKubus Sat2/3/1Sat2/3/1

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