1

Diskontinuierliche Galerkin-Analyse für die lineare

Elastizität

CES-Seminararbeit

Vorgelegt von:

Siamak Mirzagholipour

Matr.Nr.: 284442

Betreuer:

M. Sc. Hamid Reza Bayat

November 2015

2

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung ....................................................................................................................................... 3

2. Basisgleichungen der linearen Elastizität ............................................................................... 4

3. Diskontinuierlichen Galerkin-Verfahren .................................................................................. 6

4. Diskretisierung ............................................................................................................................... 8

5. Simulationsergebnisse und Zusammenfassung ................................................................. 11

6. Literatur .......................................................................................................................................... 13

3

1. Einführung Diskontinuitäten können in verschiedenen Bereichen der Mechanik erscheinen. Einige Beispiele, wo die Diskontinuitäten entstehen, sind noch deutlicher, wie die Bildung von Rissen. Andere Quellen von Diskontinuitäten sind weniger sichtbar, wie die Schnittstellen zwischen verschiedenen Materialien. Darüber hinaus können kontinuierliche Felder mit Steigungen als diskontinuierliche Felder berücksichtigt werden. Diese Arbeit zielt auf die Einbeziehung der willkürlichen Diskontinuitäten in der finite-Elemente-Methode. Die finite-Elemente-Methode ist eine der hochentwickeltesten numerischen Werkzeuge in der modernen Technik. Die Berücksichtigung der Diskontinuitäten ist aber noch eine anspruchsvolle Aufgabe. Im Rahmen der klassischen Finiten Element Methode können solche Diskontinuitäten nur durch die Position der Elementgrenzen und nicht durch die physikalische Situation bestimmt werden. Die Simulation von Risswachstum erfordert eine häufige Anpassung des Netzes, was eine schwierige und rechenintensive Aufgabe sein kann. Die numerische Umsetzung des diskontinuierlichen Modells erfolgt mit der Anwendung der diskontinuierlichen Galerkin Methode.

4

2. Basisgleichungen der linearen Elastizität

In der Elastizitätstheorie wird das Verhalten eines Körpers unter dem Einfluss von

äußeren Kräften untersucht. Beschränkt man sich auf die lineare Elastizität, so

erhält man für Kinematik und Kräftegleichgewicht [4]:

𝜺 = 𝑠𝑦𝑚 (𝑔𝑟𝑎𝑑(𝒖)) 1

𝑑𝑖𝑣(𝝈) + 𝒇 = 0 2

wobei 𝜺 linearen Verzerrungstensor, 𝒖 Verschiebungsvektor, 𝑠𝑦𝑚 (𝑔𝑟𝑎𝑑(𝒖))

symmetrische Teil von Verschiebungsvektor, 𝝈 Spannungstensor und 𝒇 Vektor der Volumenkräfte darstellt. Um das Gleichungssystem zu Schließen benötigt man noch eine Gleichung, die der

Zusammenhang zwischen dem Verzerrungstensor 𝒖 und dem Spannungstensor 𝝈 beschreibt [2]. In der vollständig linearen Elastiziätstheorie kommt neben der geometrisch linearen Näherung auch ein lineares Materialgesetz, das Hookesche Gesetz zum einsatz:

𝛔 = 2 G 𝛆 + λ Spur(𝛆) 𝐈 3

mit:

wobei 𝐸 und 𝜈 die Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl repräsentieren. Zusammen mit den Randbedingungen

{

𝐮 = 𝐮

p auf ∂ℬu

𝛔 ∙ 𝐧 = 𝐭 auf ∂ℬt

4

kommt man auf die so genannte starke Formulierung. Der komplette Rand von ℬ

∂ℬ = ∂ℬu ∪ 𝜕ℬ𝑡 5

Wird in zwei Teile ∂ℬu,wo nur Verschiebung 𝐮p und ∂ℬt ,wo nur Ziehkraft definiert wird,

geteilt. Darüber hinaus gilt:

∂ℬ𝑡

ℬ ∂ℬ𝑢

∂ℬ

Abbildung 1: Kontinuierliches Rechengebiet

5

∂ℬu ∩ 𝜕ℬ𝑡 = ∅ 6

Setzt man die Gleichungen (1) und (3) in (2) und Multipliziert man die daraus ergebene

Gleichung mit der Testfunktion 𝛿u und nach einigen Umformungen ergibt sich die sogenannte schwache Formulierung:

∫ 𝛿𝛆 : 𝛔 ⅆV

ℬ− ∫ 𝛿𝐮 ∙ 𝐟 ⅆV

ℬ− ∫ 𝛿𝐮 ∙ 𝐭 ⅆA = 0

∂ℬ 7

𝛿𝛆 kann man auch als 𝑠𝑦𝑚 (𝑔𝑟𝑎𝑑(𝛿𝒖)) umschreiben. Spannungstensor ist auch durch Elastizitätsgesetz gegeben. So gibt es in die Gleichung (5) nur ein

Unbekanntes Verschiebungsfeld 𝒖(𝒙).

6

3. Diskontinuierlichen Galerkin-Verfahren Im Rahmen dieser Seminararbeit wird angenommen dass die potenzielle

Unstetigkeitszone bekannt ist. Wir führen eine interne Oberfläche Γ entlang dieser Zone. Damit werden zwei Teilgebiete 𝓑+ und 𝓑− in der unmittelbaren Nähe der Diskontinuität gebildet.

Der Einheitsnormalenvektor zu Γ bezeichnen wir mit �̅� = �̅� + = �̅� − . So unterteilt sich unsere Lösungsgebiet in [1]:

𝒖(𝒙) =

{

𝐮

+(𝒙) in ℬ+

𝐮−(𝒙) in ℬ−

8

Entsprechend wird die symmetrische Spannungstensor auch separat für ℬ+ und ℬ− als symmetrischer Teil der Gradient des Verschiebungsfeldes ausgedrückt:

𝜺 = {𝜺+ = 𝑠𝑦𝑚 (𝑔𝑟𝑎𝑑(𝒖+)) 𝑖𝑛 ℬ+

𝜺− = 𝑠𝑦𝑚 (𝑔𝑟𝑎𝑑(𝒖−)) 𝑖𝑛 ℬ− 9

Zur Behandlung der Diskontinuitäten führen wir einen Sprung- und Mittelwertterm:

⟦𝒖⟧ = 𝒖+|𝛤 − 𝒖−|𝛤 10

{𝒖} =1

2 (𝒖+|𝛤 + 𝒖

−|𝛤) 11

Sie wurden anhand der Feldvariabel 𝒖 ausgewertet an beide Seiten von Diskontinuität

Γ berechnet.

Wir müssen zusätzliche Randbedingungen für die Diskontinuität definieren. Diese

sind die Kontinuität der Verschiebung und die Zugkraft:

⟦𝒖⟧ = 0 12

⟦𝝈⟧ ∙ �̅� = 0 13

∂ℬ𝑡 ∂ℬ𝑢 ∂ℬ

ℬ+ ℬ−

𝑛

𝛤 𝛤

Abbildung 2:Diskontinuierliches Rechengebiet

7

Um das Diskontinuierlichen Galerkin-Verfahren zu definieren, führen wir den Begriff

gemittelter Zugkraft:

{𝝈} ∙ �̅� =1

2 [𝝈 |𝛤+ + 𝝈

|𝛤−] ∙ �̅� 14

Um die schwache Formulierung des Randwertproblems zu erhalten, multiplizieren wir

wie beim kontinuierlichen Fall die starke Form des Randwertproblems mit der

Testfunktion 𝛿𝐮 .Nach der partiellen Integration über ℬ+ und ℬ− erhalten wir

∫ 𝛿𝜺 ∶ 𝝈(𝒖) 𝑑𝑉

ℬ+∪ℬ−− ∫ 𝛿𝒖+ ∙ 𝝈(𝒖+) ∙ �̅� + ⅆ𝛤

𝛤− ∫ 𝛿𝒖− ∙ 𝝈(𝒖−) ∙ �̅� − ⅆ𝛤

𝛤=

∫ 𝛿𝒖 ∙ 𝒇 ⅆ𝑉 ℬ+∪ℬ−

− ∫ 𝛿𝒖 ∙ 𝒕 ⅆ𝐴

𝜕ℬ𝑡 15

Mit der Definition von dem Normalenvektor:

−∫ 𝛿𝒖+ ∙ 𝝈(𝒖+) ∙ �̅� + ⅆ𝛤

𝛤− ∫ 𝛿𝒖− ∙ 𝝈(𝒖−) ∙ �̅� − ⅆ𝛤

𝛤= ∫ [ ⟦𝛿𝒖 ∙ 𝝈(𝒖)⟧ ∙ �̅� ] ⅆ𝛤

𝛤 16

, der Identität ⟦𝛿𝒖 ∙ 𝝈(𝒖)⟧ = ⟦𝛿𝒖⟧ ∙ {𝝈} + ⟦𝒖⟧ ∙ {𝛿𝝈} und der Stätigkeit der

Verschiebung ⟦𝒖⟧ = 0 erhalten wir:

∫ 𝛿𝜺 ∶ 𝝈(𝒖) 𝑑𝑉

ℬ+∪ℬ−+ ∫ ⟦𝛿𝒖⟧ ∙ {𝝈(𝒖)} ∙ �̅� ⅆ𝛤

𝛤= ∫ 𝛿𝒖 ∙ 𝒇 ⅆ𝑉

ℬ+∪ℬ−− ∫ 𝛿𝒖 ∙ 𝒕 ⅆ𝐴

𝜕ℬ𝑡 17

Solange die resultierende Gleichung weder symmetrisch noch stabil ist, der

Term∫ ⟦𝒖⟧ ∙ {𝛿𝝈} ∙ �̅� 𝑑𝛤

𝛤 kann dazu addiert werden um die Gleichung zu

symmetrisieren. Ein zusätzlicher Term nach Nitsche Methode ∫ 𝜃⟦𝛿𝒖⟧ ∙ ⟦𝒖⟧ 𝑑𝛤

𝛤 wird

dazu addiert um die Methode zu stabilisieren.

∫ 𝛿𝜺 ∶ 𝝈(𝒖) 𝑑𝑉

ℬ+∪ℬ−+ ∫ [ ⟦𝛿𝒖⟧ ∙ {𝝈} ∙ �̅� + ⟦𝒖⟧ ∙ {𝛿𝝈} ∙ �̅� ] ⅆ𝛤

𝛤+ ∫ 𝜃⟦𝛿𝒖⟧ ∙ ⟦𝒖⟧ ⅆ𝛤

𝛤=

∫ 𝛿𝒖 ∙ 𝒇 ⅆ𝑉 ℬ+∪ℬ−

− ∫ 𝛿𝒖 ∙ 𝒕 ⅆ𝐴

𝜕ℬ𝑡 18

Mit dem Koeffizient 𝜃 kann man der Einfluss des Stabilisators verstellen.

8

4. Diskretisierung Die schwache Formulierung wird mittels der finite-Elemente-Methode gelöst. Die

räumliche Diskeretisierung des betrachteten Problems charakterisiert sich durch

Berücksichtigung der internen Schnittstellen.

Die schwache Form verbunden mit der Domains ℬ+ und ℬ− ist mit dem

isoparametrischen Standard-Element diskretisiert. Die Geometrie 𝒙 ist Elementweise

mit der Formfunktionen 𝑁𝑘 und 𝑛𝑒𝑛 der Anzahl der Elementknoten entwickelt [3]:

ℬ = ⋃ ℬ𝑒𝑛𝑒𝑙𝑒 𝒙|𝐵𝑒

= ∑ 𝑵𝒊𝑛𝑒𝑛𝑖=1 𝒙𝑖 19

und nach isoparametrische Konzept, die Verschiebung 𝐮 und ihre Variation 𝛿𝐮 sind mit derselben Formfunktion entwickelt:

𝒖|ℬ𝑒 = ∑ 𝑵𝑖

𝑛𝑒𝑛𝑖=1 𝒖𝑖 𝛿𝒖|ℬ𝑒

= ∑ 𝑵𝑖𝑛𝑒𝑛𝑖=1 𝛿𝒖𝑖 20

Basierend auf den obigen Diskeretisierungen bekommen die entsprechende

Gradientenfelder 𝛜 und 𝛿𝛜 folgende Form:

𝛜|ℬ𝑒 = ∑ 𝒖𝑖∇𝑵

𝑖𝑛𝑒𝑛𝑖=1 𝛿𝛜|ℬ𝑒

= ∑ 𝛿𝒖𝑖∇𝑵𝑖𝑛𝑒𝑛

𝑖=1 21

und Die Diskeretisierung der Sprung- und Mittelterme

⟦𝒖⟧|𝛤 = ∑ 𝑵𝑖+|

𝛤𝒖𝑖

+𝑛𝑒𝑛+

𝑖=1 − ∑ 𝑵𝑖−|

𝛤𝒖𝑖

−𝑛𝑒𝑛−

𝑖=1 22

{𝒖}|𝛤 = 1

2[∑ 𝑵𝑖+|

𝛤𝒖𝑖

+𝑛𝑒𝑛+

𝑖=1 + ∑ 𝑵𝑖−|

𝛤𝒖𝑖

−𝑛𝑒𝑛−

𝑖=1 ] 23

Dies bedeutet, dass die Methode Doppelknoten entlang der Schnittstellen verlangt.

Deswegen gehören die Werte 𝒖+ und 𝒖− verschiedenen unabhängigen Knoten, die

𝜞

8

5

7

6

𝑁𝐸6+ = 0

𝑁𝐸7+ = 0

𝑁𝐸2−

𝑁𝐸8+

2 1

3 4

𝑁𝐸3−

𝑁𝐸1− = 0

𝑁𝐸4− = 0

𝑁𝐸2−

Abbildung 3:Darstellung der dG-Formfunktionen

9

auf demselben Ort platziert sind. Die zusätzlichen Integralterme kann man in der neue

dG-Elementsteiffigkeitsmatrix 𝑲 zusammenfassen:

𝑲 = 𝑲1 + 𝑲2

+ 𝑲3

24

∫ ⟦𝛿𝒖⟧ ∙ {𝝈} ∙ �̂� ⅆ𝐴

𝛤= [𝛿𝑢

𝑇]

1×16∙ [

1

2∫ 𝑁𝑇16×2 ∙ 𝑛

2×3 ∙ �̂�

3×3 ∙ 𝐵3×16 𝑑𝐴

𝛤]16×16

∙ [𝑢]16×1

25

∫ ⟦𝒖⟧ ∙ {𝛿𝝈} ∙ �̂� ⅆ𝐴

𝛤= [𝛿𝑢

𝑇]

1×16∙ [

1

2∫ 𝐵𝑇16×3 ∙ �̂�3×3

𝑇 ∙ 𝑛 3×2𝑇 ∙ 𝑁2×16 𝑑𝐴

𝛤]16×16

∙ [𝑢]16×1

26

∫ 𝜃⟦𝛿𝒖⟧ ∙ ⟦𝒖⟧ ⅆ𝐴

𝛤= [𝛿𝑢

𝑇]

1×16∙ [∫ 𝜃1×1 ∙ 𝑁

𝑇16×2 ∙ 𝑁

2×16 𝑑𝐴

𝛤∙]

16×16∙ [𝑢]16×1

27

Mit:

𝐮 =

[ (𝑢1

+)𝑥(𝑢1

+)𝑦⋮

(𝑢4+)𝑥

(𝑢4+)𝑦

(𝑢1−)𝑥

(𝑢1−)𝑦⋮

(𝑢4−)𝑥

(𝑢4−)𝑦]

1×16

, δ𝒖 =

[ (δ𝑢1

+)𝑥(δ𝑢1

+)𝑦⋮

(δ𝑢4+)𝑥

(δ𝑢4+)𝑦

(δ𝑢1−)𝑥

(δ𝑢1−)𝑦⋮

(δ𝑢4−)𝑥

(δ𝑢4−)𝑦]

1×16

, �̂� = [𝑛1 0 𝑛20 𝑛1 𝑛2

]2×3

�̂� = [𝜆 + 2𝐺 𝜆 0

𝜆 𝜆 + 2𝐺 00 0 2𝐺

]

3×3

𝑁 = [𝑁1

+ 0 … 𝑁1+ 0 −𝑁1

− 0 … −𝑁4− 0

0 𝑁1+ … 0 𝑁1

+ 0 −𝑁1− … 0 −𝑁4

−]2×16

𝑲1

𝑲𝟐 = 𝑲𝟏

𝑻

𝑲3

10

𝑩 =

[ 𝜕𝑁1

+

𝜕𝑥0 ⋯

𝜕𝑁4+

𝜕𝑥0

𝜕𝑁1−

𝜕𝑥0 ⋯

𝜕𝑁4−

𝜕𝑥0

0𝜕𝑁1

+

𝜕𝑦⋯ 0

𝜕𝑁4+

𝜕𝑦0

𝜕𝑁1−

𝜕𝑦⋯ 0

𝜕𝑁4−

𝜕𝑦

2𝜕𝑁1

+

𝜕𝑦2𝜕𝑁1

+

𝜕𝑥⋯ ⋯ ⋯ 2

𝜕𝑁1−

𝜕𝑦2𝜕𝑁1

−

𝜕𝑥⋯ ⋯ ⋯

]

3×16

Die numerische Lösung des 2-dimensionalen Problems erfolgt durch die Auswertung

der Integralterme auf vier Gaußpunkte die auf den Schnittstellen und das Lösen des

Gleichungssystems. Als das globale Residuum erhält man:

𝑹 = ∑ [𝒏𝑬𝑬 𝑲𝟏

+ 𝑲𝟐 + 𝑲𝟑

]𝒖 28

+ -

�̂�

𝜂

𝜁

8

1 2

3 4

5 6

7

𝜂

𝜁

Abbildung 4: Darstellung des 2D dG-Elementes mit den Gaußpunkten

11

5. Simulationsergebnisse und Zusammenfassung Hier sind die Ergebnisse eines Modellbeispiels dargestellt, das aus zwei

verschiedenen Materialien zusammengesetzt ist.

Abbildung 5: 1D Stab

Wie schon vorher erwähnt wurde, beim dG-Solver sind zusätzliche Knoten bei der

Diskontinuität benötig.

Abbildung 6: Darstellung des cG- und dG-Elementes

Standard-cG-Element dG-Element

Abbildung 7:Simulationsergebnisse

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

1 2 3 4 5 6

Ver

sch

ieb

un

g [m

m]

KnotenNr.

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

1 2 3 4 5 6 7

Ver

sch

ieb

un

g [m

m]

KnotenNr.

0,00%

0,02%

0,04%

0,06%

0,08%

0,10%

0,12%

0,14%

0,16%

1 2 3 4 5

Deh

nu

ng

[-]

ElementNr.

0,00%

0,02%

0,04%

0,06%

0,08%

0,10%

0,12%

0,14%

0,16%

1 2 3 4 5

Deh

nu

ng

[-]

ElementNr.

12

Die eindimensionale Simulation des dG-Problems zeigen identische Ergebnisse mit

der Standard-Galerkin-Methode. Diese Identität lässt sich durch lineare Elastizität

erklären. Aufgrund der Gleichheit der exakten und approximierten Lösung in linearen

Elastizität sind keine Unterschiede in der Ergebnisse zu erkennen.

Im Rahmen dieser Arbeit wurde das Prinzip eines linear elastischen dG-Solver

verstanden und zum Vergleich mit dem vorhandenen Solver ein Programm in Matlab

zum Berechnen der dG-Steifigkeitsmatrix geschrieben. Basierend auf einem

kartesichen Netz wird zunächst ein zweites Gitter mit der gleichen Elementanzahl und

Geometrie erzeugt. Der Unterschied hierbei ist, dass bei dem neuen Gitter besitzen

alle Elemente an der Schnittstellen die zusätzliche Knoten die für die Berechnung des

dG-Steifigkeitsmatrixes notwendig sind. Im nächsten Schrritt berechnet das Programm

durch die Auswertung der Integralterme auf der Gaußpunkte das dG-Steifigkeitsmatrix.

13

6. Literatur

1. A hybrid discontinuous Galerkin/ interface method for the computational modelling of failure, J. Mergheim, E. Kuhl and P. Steinmann, 2003

2. A posteriori Fehlerschätzer für gemischte Finite Elemente in der linearen Elastizität, Dissertation, Marco Lonsing, 2002

3. Computational Modeling of Strong and Weak Discontinuities, Dissertation, Julia Mergheim, 2006

4. Finite Element Technology, Lecture Notes, Stefanie Reese, 2015