Diskret bewertete Ternärkörper und Hahn-Ternärk/ouml;rper auf Bbb Z

J. geom. 71 (2001) 162 – 1810047–2468/01/020162 – 20 $ 1.50+ 0.20/0© Birkhauser Verlag, Basel, 2001

Diskret bewertete Ternark orper und Hahn–Ternark orper auf Z

Erwin Schorner

Abstract. In this paper, we derive criteria for the regular embeddability of a discretely valued ternary field into anappropriate Hahn ternary field of formal power series with coefficients in the residue ternary field and exponentsin Z. Furthermore, we discuss these criteria also for richer algebraic structures and we give an example for thedivision algebra case.

Mathematics Subject Classification (2000):51A25, 13F25, 12K99.Key words:Uniformly valued ternary field, discrete valuation, Hahn ternary field, ternary field of formal powerseries, regular embedding, valued division algebra.

In seiner klassischen Arbeit [2] konstruierte Hahn die Korper formaler Potenzreihen mitKoeffizienten in einem Korper und Exponenten in einer angeordneten abelschen Gruppe.Krull zeigte in [5], daß jeder bewertete Korper eine maximale unmittelbare Erweiterungbesitzt, wahrend Kaplansky in [4] nachwies, daß ein bewerteter Korper genau dann maxi-mal ist, wenn der zugrundeliegende ultrametrische Raum spharisch vollstandig ist, und daßer sich in diesem Fall unter der beruhmten “Hypothese A” als Hahn-Korper mit Faktorsystemdarstellen laßt.

In [11] nun wurde gezeigt, daß jeder diskret bewertete Ternarkorper eine maximale unmit-telbare Erweiterung besitzt, wobei die Maximalitat zur spharischen Vollstandigkeit deszugrundeliegenden ultrametrischen Raumesaquivalent ist. Wir wollen nun durch eineCharakterisierung der Hahn–Ternarkorper aufZ in der Klasse aller diskret bewertetenTernarkorper der Frage nachgehen, unter welchen Voraussetzungen sich ein spharischvollstandiger diskret bewerteter Ternarkorper als Ternarkorper formaler Potenzreihen mitKoeffizienten in seinem Restklassenternarkorper und Exponenten inZ auffassen laßt.

Dabei wollen wir unter einemdiskret bewerteten Ternarkorper einen uniform bewertetenTernarkorper im Sinne Kalhoffs mit WertegruppeZ verstehen; fur die Definition undwichtige Eigenschaften uniformer Bewertungen von Ternarkorpern verweisen wir auf [3].Die Konstruktion der Hahn–Ternarkorper als Ternarkorper formaler Potenzreihen findetsich in [9], die Diskussion spezieller Faktorsysteme bei Hahn–Ternarkorpern in [10]; wirubernehmen hier ohne Erklarungen die dort eingefuhrten Notationen. In der Theorie derultrametrischen Raume stutzen wir uns auf die grundlegenden Arbeiten [6] und [8] vonPrieß–Crampe und Ribenboim. Zu den algebraischen Eigenschaften von Loops vergleicheman [1].

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Vol. 71, 2001 Diskret bewertete Ternarkorper und Hahn–Ternarkorper aufZ 163

In Verallgemeinerung der vorgelegten Fragestellung werden wir in Anlehnung an dieVorgehensweise von Prieß–Crampe und Ribenboim in [7] fur homogene ultrametrischeRaume einen beliebigen diskret bewerteten Ternarkorper (N, v, Z−∞) mit dem auf derWertegruppeZ uber dem RestklassenternarkorperNv mit einem geeigneten FaktorsystemC

gebildeten Hahn–Ternarkorper H = H(Z, Nv, C) vergleichen und nach Kriterienfur die Einbettbarkeit von(N, v, Z−∞) in (H, vH , Z−∞) vermoge eines isometrischenTernarkorperhomomorphismusθ : (N, v, Z−∞) → (H, vH , Z−∞) fragen; dabei ver-langen wir, daß das Bildθ(N) von N unter θ in H die Elemente [x] t0 und [1]tz furalle [x] ∈ Nv und z ∈ Z enthalt. In diesem Fall nennen wirθ eine regulare Einbet-tungvon (N, v, Z−∞) in (H, vH , Z−∞) und(N, v, Z−∞) regular einbettbar. Dann stellt(θ(N), dH , Z−∞) ≺ (H, dH , Z−∞) wieder eine unmittelbare Erweiterung ultrametrischerRaume dar, dav([1] tz) = z fur allez ∈ Z gilt und zudem fur alle f ∈ H undx ∈ N mitf 6= θ(x) undz = dH(f , θ(x)) wegenvH((f − θ(x))/([1] tz)) = 0 ein [y] ∈ Nv mit

dH((f − θ(x))/([1] tz), [y] t0) < 0

existiert, weswegen sich fur g = ([y] t0)([1] tz) + θ(x) ∈ θ(N) schließlich

dH(f , g) = dH(f , ([y] t0)([1] tz) + θ(x))

= dH(f − θ(x), ([y] t0)([1] tz))

= dH((f − θ(x))/([1] tz), [y] t0) + z < z

ergibt.

Zunachst sollen notwendige Bedingungen fur die regulare Einbettbarkeit eines diskretbewerteten Ternarkorpers(N, v, Z−∞) in den Hahn–TernarkorperH = H(Z, Nv, C) miteinem geeigneten verallgemeinerten FaktorsystemC vermoge des isometrischen Ternarkor-perhomomorphismusθ : (N, v, Z−∞) → (H, vH , Z−∞) betrachtet werden.

Da die MengeNv t0 = {[x] t0 | [x] ∈ Nv} einenuber ı : Nv 3 [x] → [x] t0 ∈ Hzu Nv isomorphen Unterternarkorper vonH bildet, istK = θ−1(Nv t0) ein ebenfalls zuNv isomorpher Unterternarkorper vonN , der zudem ein Vertretersystem vonN0(0)/≡−

0darstellt: zum einen gilt fur alle k, l ∈ K mit k 6= l wegen der Injektivitat vonθ auchθ(k) 6= θ(l) und damitdv(k, l) = dH(θ(k), θ(l)) = 0, und zum anderen existiert fur jedesx ∈ N0(0) ein k ∈ K mit dH(θ(x), θ(k)) < 0, woraus [k]≡−

0= [x]≡−

0folgt; demnach

ist K uber die Einschrankungν|K der kanonischen Restklassenabbildungν : AN 3 x 7→[x] ∈ Nv zuNv isomorph, womit wirK alsReprasentantenternarkorpervon(N, v, Z−∞)

erkannt haben.

Identifizieren wir [x] ∈ Nv mittels θ−1 ◦ ı mit θ−1([x] t0) ∈ K, so konnen wirH unterVereinfachung der Schreibweise alsH(0, K, C)auffassen, und fur allek = θ−1([x] t0) ∈ K

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gilt θ(k) = [x] t0 ∼ (θ−1([x] t0)) t0 = k t0. Ferner konnen wir ohne Beschrankung derAllgemeinheit

µ0,z(m, 1) = m

fur alle z ∈ Z und m ∈ K annehmen, denn fur z ∈ Z definiertµ0,z(m%z, 1) = m fur

alle m ∈ K eine Abbildung%z ∈ S(K) mit 0%z = 0 und%0 = idK , weswegenH uberr = (%z)z∈Z zu(H, T r) = H(Z, K, Cr)kanonisch isomorph ist (vgl. [10]); wegen%0 = idK

und 1%z = 1 fur allez ∈ Z bleiben dabeiKt0 und{1 tz | z ∈ Z} punktweise fest, und fur

alle z ∈ Z undm ∈ K gilt µr0,z(m, 1) = Cr

0,z(m, 1, 0) = (C0,z(m%−1

0 , 1%−1z , 0%−1

z ))%z =(C0,z(m, 1, 0))%z = (µ0,z(m, 1))%z = m%−1

z %z = m. Wir durfen also von(m t0)(1 tz) =µ0,z(m, 1) tz = m tz fur allez ∈ Z undm ∈ K ausgehen.

Nach Voraussetzung umfaßtθ(N) die Menge{1 tz | z ∈ Z}, und fur z ∈ Z ergibt sich furdas Urbildu(z) ∈ N von 1tz unterθ sofort v(u(z)) = vH(θ(u(z))) = vH(1 tz) = z mitu(0) = 1 undθ(k u(z)) = θ(k) θ(u(z)) = (k t0) (1 tz) = k tz fur k ∈ K. Zudem erhaltenwir f ur allea, b ∈ Z undm, x, c ∈ K

θ(S(m u(a), x u(b), c u(a+b))) = T (θ(m u(a)), θ(x u(b)), θ(c u(a+b)))

= T (m ta, x tb, c ta+b) = Ca,b(m, x, c) ta+b = θ(Ca,b(m, x, c) u(a+b));

es existiert also inC = (Ca,b)a,b∈Z eine Familie von ternaren VerknupfungenCa,b : K ×K × K → K auf K, die insbesondere den Bedingungen (F1), (F2) und (F3) sowie derGleichung

S(m u(a), x u(b), c u(a+b)) = Ca,b(m, x, c) u(a+b)

fur allea, b ∈ Z undm, x, c ∈ K genugt.

Fur allez ∈ Z undx, c ∈ K gilt x u(z) + c u(z) = S(1u(0), x u(z), c u(z)) = C0,z(1, x, c)

u(z) = (x +z c) u(z), so daßKu(z) eine Unterloop von(N, +) ist. Zum Nachweis ihrerNormalitat reicht es zu zeigen, daßθ(Ku(z)) = Ktz eine normale Unterloop von(H, +)

ist: fur alle f = ∑z∈Z fz tz, g = ∑

z∈Z gz tz ∈ H undk ∈ K gibt esh = ∑z∈Z hz tz und

k = ∑z∈Z kz tz ∈ H mit

f + k tz = h + f bzw. (f + g) + k tz = f + (g + k),

wobei fur alle z′ ∈ Z mit z′ 6= z ausfz′ = hz′ + fz′ bzw. fz′ + gz′ = fz′ + (gz′ + kz′)undgz′ = gz′ + kz′ mit hz′ = 0 bzw.kz′ = 0 folgt, daßh, k ∈ K tz gilt; die restlichenInklusionen sieht man entsprechend.

Sei nunE = 〈⋃z∈Z Ku(z)〉 die von allenKu(z) fur z ∈ Z erzeugte Unterloop in(N, +),die wegenE = ⋃

n∈N0(∑n

z=−n Ku(z)) zum einen als aufsteigende Vereinigung normalerUnterloops selbst normal ist und zum anderen das Urbild der TeilmengeE aller formalen


Potenzreihen vonH mit endlichem Trager unterθ bildet. Fur allea, b ∈ Z undma , xb ∈ K

sowiem, x, c ∈ E mit v(m) < a undv(x) < b gilt wegen [9, Lemma 1]

θ(S(ma u(a) + m, x, c)) = T (ma ta + θ(m), θ(x), θ(c))

= T (ma ta, θ(x), T (θ(m), θ(x), θ(c))) = θ(S(ma u(a), x, S(m, x, c))),

woraus wirS(ma u(a) + m, x, c) = S(ma u(a), x, S(m, x, c))

sowie in entsprechender Weise

S(ma u(a), x + xb u(b), c) = S(ma u(a), x, S(ma u(a), xb u(b), c))

erhalten; ferner ergibt sich fur a, b, z ∈ Z mit a + b 6= z sowiema , xb, cz ∈ K undc ∈ E

θ(S(ma u(a), xb u(b), c + cz u(z))) = T (ma ta, xb tb, θ(c) + cz tz))

= T (ma ta, xb tb, θ(c)) + cz tz = θ(S(ma u(a), xb u(b), c) + cz u(z))

und demnach

S(ma u(a), xb u(b), c + cz u(z)) = S(ma u(a), xb u(b), c) + cz u(z).

Wir fassen die bisherigenUberlegungen zusammen und notieren als notwendige Bedingun-gen fur die regulare Einbettbarkeit eines diskret bewerteten Ternarkorpers(N, v, Z−∞):

(Z1) N enthalt einen ReprasentantenternarkorperK.(Z2) Es existiert eine Familie(u(z))z∈Z von Elementenu(z) ∈ N mitv(u(z)) = z furz ∈ Z

undu(0) = 1, so daß es fur allea, b ∈ Z zum, x, c ∈ K einCa,b(m, x, c) ∈ K mit


gibt und die AbbildungCa,b : K × K × K → K den Bedingungen (F1), (F2) und(F3) genugt.

(Z3) Fur alle z ∈ Z ist Ku(z) eine normale Unterloop von(N, +), und mit E =〈⋃z∈Z Ku(z)〉 gilt f ur alle a, b, z ∈ Z und ma , xb, cz ∈ K sowiem, x, c ∈ E

mit v(m) < a, v(x) < b unda + b 6= z

(a) S(ma u(a) + m, x, c) = S(ma u(a), x, S(m, x, c)),(b) S(ma u(a), x + xb u(b), c) = S(ma u(a), x, S(ma u(a), xb u(b), c)),(c) S(ma u(a), xb u(b), c + cz u(z)) = S(ma u(a), xb u(b), c) + cz u(z).

Im folgenden wollen wir uns klarmachen, daß die Eigenschaften (Z1), (Z2) und (Z3)auch hinreichend fur die regulare Einbettbarkeit eines diskret bewerteten Ternarkorpers(N, v, Z−∞) sind.

Zunachst stellt die FamilieC = (Ca,b)a,b∈Z der ternaren VerknupfungenCa,b von (Z2)ein verallgemeinertes Faktorsystem zum Ternarkorper(K, S, 0, 1) aus (Z1) und der Werte-gruppe(Z, +, 0) dar; fur allea, b ∈ Z undm, x, c ∈ K gilt namlich sowohlCa,b(m, 0, c)


u(a+b) = S(m u(a), 0u(b), c u(a+b)) = c u(a+b) und Ca,b(0, x, c) u(a+b) = S(0u(a),

x u(b), c u(a+b)) = c u(a+b) als auchCa,0(m, 1, 0) u(a) = S(m u(a), 1u(0), 0u(a)) =m u(a) undC0,b(1, x, 0) u(b) = S(1u(0), x u(b), 0u(b)) = x u(b), woraus wegenu(z) 6= 0fur allez ∈ Z auch (F4) und (F5) folgt. Sei nunH = H(Z, K, C) der aufZ uberK mit C

gebildete Hahn-Ternarkorper.

Bei der Definition der Abbildungθ : N → H werden wir auf das folgende Lemmazuruckgreifen:

LEMMA 1. Seienx ∈ N undz ∈ Z mit v(x) ≤ z. Dann gibt es genau ein Paar(xz, xz) ∈K × Nz(0) mit x = xz + xz u(z). Fur y ∈ N mit v(y) ≤ z ist xz = yz zud(x, y) < z

aquivalent; insbesondere giltxz = 0 genau im Fallev(x) < z.

Beweis.Wegenv(x/u(z)) = v(x) − v(u(z)) ≤ 0 gibt es gemaß (Z1) einxz ∈ K mitv(x/u(z) − xz) < 0, woraus fur xz = x − xz u(z) sowohl x = xz + xz u(z) als auchv(xz) = v(x − xz u(z)) = v(x/u(z) − xz)+ v(u(z)) < z folgt. Die Eindeutigkeit ergibt sichaufgrund der Normalitat vonKu(z) ausNz(0)∩Ku(z) = {0}. Wegend(x, xz u(z)) < z undd(y, yz u(z)) < z ist d(x, y) < z mit d(xz, yz) = d(xz u(z), yz u(z)) − v(u(z)) < 0, also mitxz = yz gleichwertig. ¨

Sei zunachstθ(0) = 0. Furx ∈ N∗ mit v(x) = z∗ konstruieren wir unter Zuhilfenahme vonLemma 1 durch vollstandige Induktion mit Induktionsanfangz = z∗ und Induktionsschrittz → z − 1 eine Folge((z, xz, xz))z≤z∗ von Tripeln(z, xz, xz) ∈ Z × K × N mit xz+1 =xz + xz u(z) undxz ∈ Nz(0) fur allez ≤ z∗; dabei seixz∗+1 = x gesetzt. Dann besitzt

θ(x) : Z 3 z 7→{

xz, fur z ≤ z∗0, fur z > z∗

}∈ K

einen durchz∗ nach oben beschrankten und damit als Teilmenge vonZ schon dual wohlge-ordneten Trager, weswegen

θ : N 3 x 7→ θ(x) ∈ H

als Abbildung wohldefiniert ist; sie stellt daruber hinaus gemaß Konstruktion und Lemma 1eine Isometrie dar. Fur alle x, y ∈ N mit x 6= y und v(x) ≤ v(y) = z∗ ergibt sichzunachstθ(x)(z) = 0 = θ(y)(z) fur z > z∗; im Fallev(x) < v(y) gilt dannθ(x)(z∗) =0 6= θ(y)(z∗) und damitdH(θ(x), θ(y)) = z∗ = d(x, y), und im Fallev(x) = v(y) mitd(x, y) = z∗∗ folgt induktiv xz = yz fur z∗ ≥ z > z∗∗ bei xz∗∗ 6= yz∗∗ und demnachdH(θ(x), θ(y)) = z∗∗ = d(x, y).

Der Konstruktion vonθ entnimmt man sofortθ(k u(z)) = k tz fur allek ∈ K undz ∈ Z,weswegen die Mengen{k t0 | k ∈ K} und{1 tz | z ∈ Z} im Bild θ(N) vonN unterθ in Henthalten sind.


DaKu(z) fur allez ∈ Z eine normale Unterloop von(N, +) darstellt, ist auch∑b

z=a Ku(z)

fur allea, b ∈ Z mit a ≤ b normal, und jedesx ∈ ∑bz=a Ku(z) laßt sich in der Form

x = ((xa u(a) + xa+1 u(a+1)) + . . .) + xb u(b)

mit xz ∈ K fur allez ∈ {a, . . . , b} schreiben; fur x 6= 0 gibt es darunter ein großtesz mitxz 6= 0, worausv(x) = z folgt. Demnach erhalten wir

b1∑z=a1

Ku(z) ∩b2∑

z=a2

Ku(z) = {0}

fur alle a1, a2, b1, b2 ∈ Z mit a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2. Demzufolge giltx + y = y + x

sowie (x + y) + w = x + (y + w) fur alle x ∈ ∑b1z=a1

Ku(z), y ∈ ∑b2z=a2

Ku(z) und

w ∈ ∑b3z=a3

Ku(z) mit a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2 < a3 ≤ b3; mit den Bezeichnungen von

Lemma 1 ergibt sich insbesonderex + y = x + (yb2 + yb2 u(b2)) = (x + yb2) + yb2 u(b2),also (x + y)b2 = yb2 und(x + y)b2 = x + yb2, und induktiv

(x + y)z = yz und (x + y)z = x + yz

fur allea2 ≤ z ≤ b2, wobeiya2 = 0 wegeny ∈ ∑b2z=a2

Ku(z) gilt, sowie

(x + y)z = xz und (x + y)z = xz

fur allea1 ≤ z ≤ b1 bei(x + y)z = xz = yz = 0

fur alle sonstigenz ∈ Z, weswegen wir

θ(x + y) = θ(x) + θ(y)

erhalten.

Zum Nachweis der Homomorphieeigenschaft fur θ zeigen wir im ersten Schritt fur allea, b ∈ Z und ma , xb ∈ K durch vollstandige Induktion nachn ∈ N0, daß fur alle c ∈∑a+b+n

z=a+b−n Ku(z) auch

S(ma u(a), xb u(b), c) ∈a+b+n∑

z=a+b−n

Ku(z)

mitθ(S(ma u(a), xb u(b), c)) = T (ma ta, xb tb, θ(c))

erfullt ist. Beim Induktionsanfangn = 0 istc = ca+b u(a+b) fur einca+b ∈ K, und wegen(Z2) gilt

S(ma u(a), xb u(b), ca+b u(a+b)) = Ca,b(ma, xb, ca+b) u(a+b) ∈ Ku(a+b)


und demnach

θ(S(ma u(a), xb u(b), ca+b u(a+b))) = Ca,b(ma, xb, ca+b) ta+b

= T (ma ta, xb tb, θ(c)).

Im Induktionsschrittn → n + 1 sei

c = (c′ + ca+b−(n+1) u(a+b−(n+1))) + ca+b+(n+1) u(a+b+(n+1))

mit ca+b−(n+1), ca+b+(n+1) ∈ K und c′ ∈ ∑a+b+nz=a+b−n Ku(z), wir erhalten also mit (Z3c)

zunachst

S(ma u(a), xb u(b), c) = (S(ma u(a), xb u(b), c′) + ca+b−(n+1) u(a+b−(n+1)))

+ ca+b+(n+1) u(a+b+(n+1))

und dann mit der Induktionsvoraussetzung

S(ma u(a), xb u(b), c) ∈a+b+(n+1)∑

z=a+b−(n+1)

Ku(z)

und

θ(S(ma u(a), xb u(b), c))

= (T (ma ta, xb tb, θ(c′)) + ca+b−(n+1) ta+b−(n+1))

+ ca+b+(n+1) ta+b+(n+1) = T (ma ta, xb tb, θ(c)).

Im zweiten Schritt zeigen wir fur allea, b ∈ Z undma ∈ K durch vollstandige Induktionnachn ∈ N0, daß fur allex ∈ ∑b+n

z=b Ku(z) undc ∈ E auch

S(ma u(a), x, c) ∈ E

mitθ(S(ma u(a), x, c)) = T (ma ta, θ(x), θ(c))

gilt; der Induktionsanfangn = 0 ist durch den ersten Schritt gezeigt, und fur den Induktions-schrittn → n + 1 seix = x′ + xb+n+1 u(b+n+1) mit xb+n+1 ∈ K undx′ ∈ ∑b+n

z=b Ku(z),wodurch wir nach (Z3b)

S(ma u(a), x, c) = S(ma u(a), x′, S(ma u(a), xb+n+1 u(b+n+1), c))

und daraus mit der Induktionsvoraussetzung und dem ersten Schritt

S(ma u(a), x, c) ∈ E


sowie mit [9, Lemma 1]

θ(S(ma u(a), x, c)) = T (ma ta, θ(x′), T (ma ta, xb+n+1 tb+n+1, θ(c))

= T (ma ta, θ(x′) + xb+n+1 tb+n+1, θ(c)) = T (ma ta, θ(x), θ(c))

erhalten. Damit gilt

θ(S(ma u(a), x, c)) = T (ma ta, θ(x), θ(c))

fur allea ∈ Z, ma ∈ K undx, c ∈ E, was den Induktionsanfangn = 0 fur den drittenSchritt liefert, in dem wir fur alle a ∈ Z und x ∈ E durch vollstandige Induktion nachn ∈ N0 nachweisen, daß fur allem ∈ ∑a+n

z=a Ku(z) undc ∈ E auch

S(m, x, c) ∈ E

mitθ(S(m, x, c)) = T (θ(m), θ(x), θ(c))

erfullt ist; im Induktionsschrittn → n+1 seim = ma+n+1 u(a+n+1)+m′ mit ma+n+1 ∈ K

undm′ ∈ ∑a+nz=a Ku(z), woraus nach (Z3a)

S(m, x, c) = S(ma+n+1 u(a+n+1), x, S(m′, x, c))

und damit nach dem zweiten Schritt und der Induktionsvoraussetzung

S(m, x, c) ∈ E

sowie mit [9, Lemma 1]

θ(S(m, x, c)) = T (ma+n+1 ta+n+1, θ(x), T (θ(m′), θ(x), θ(c))

= T (ma+n+1 ta+n+1 + θ(m′), θ(x), θ(c)) = T (θ(m), θ(x), θ(c))

folgt.

Um das Homomorphieverhalten vonθ auf E auf den ganzen TernarkorperN ubertragenzu konnen, zeigen wir zuerst, daß(E, dv, Z−∞) ≺ (N, dv, Z−∞) eine dichte Erweiterungultrametrischer Raume darstellt. Fur alle x ∈ N∗ mit v(x) = z∗ ∈ Z und z∗∗ ∈ Z mitz∗∗ < z∗ gilt mit Lemma 1 induktiv

x = xz∗ + xz∗ u(z∗) ∈ xz∗ + Ku(z∗) = (xz∗−1 + xz∗−1 u(z∗−1)) + Ku(z∗)

= xz∗−1 + ( xz∗−1 u(z∗−1) + Ku(z∗)) ⊆ xz∗−1 + (Ku(z∗−1) + Ku(z∗))

⊆ · · · ⊆ xz∗ ∗ +z∗∑

z=z∗ ∗Ku(z),


woraus wegen∑z∗

z=z∗∗ Ku(z) ⊆ E folgt, daß eine ∈ E mit d(x, e) = v(xz∗∗) < z∗∗existiert.

Seien nunm, x, c ∈ N . Zu jedemz ∈ Z existieren dannm′, x′, c′ ∈ E mit d(m′, m) <

z − v(x), d(x′, x) < Min{z − v(m), v(x)} undd(c′, c) < z, woraus wegenv(x′) = v(x)

unter Verwendung der Rechengesetze einer uniformen Bewertung

dH(θ(S(m′, x′, c′), θ(S(m, x, c)) = dv(S(m′, x′, c′), S(m, x, c))

≤ Max{dv(S(m′, x′, c′), S(m, x, c′)), dv(S(m, x, c′), S(m, x, c))}≤ Max{dv(S(m′, x′, c′), S(m, x′, c′)), dv(S(m, x′, c′), S(m, x, c′)), dv(c

′, c)}= Max{d(m′, m) + v(x′), v(m) + d(x′, x), d(c′, c)} < z

folgt; daθ eine Isometrie ist, gilt entsprechend

dH(T (θ(m′), θ(x′), θ(c′)), T (θ(m), θ(x), θ(c))) < z,

und wir erhalten wegenθ(S(m′, x′, c′)) = T (θ(m′), θ(x′), θ(c′)) in

dH(θ(S(m, x, c)), T (θ(m), θ(x), θ(c))) < z

schließlich

θ(S(m, x, c)) = T (θ(m), θ(x), θ(c)).

Also ist θ : (N, v, Z−∞) → (H, vH , Z−∞) eine regulare Einbettung von(N, v, Z−∞) in(H, vH , Z−∞), wobei (θ(N), dv, Z−∞) ≺ (H, dH , Z−∞) sogar eine dichte Erweiterungultrametrischer Raume darstellt. Ist(N, v, Z−∞) maximal bewertet, laßt (N, v, Z−∞)

also keine echte unmittelbare Erweiterung uniform bewerteter Ternarkorper zu, so ergibtsichθ(N) = H, weswegen dann(N, v, Z−∞) zu (H, vH , Z−∞) isometrisch isomorph ist.Insgesamt erhalten wir also

SATZ 2. Ein diskret bewerteter Ternarkorper (N, v, Z−∞) ist genau dann regular einbet-tbar, wenn er den Bedingungen(Z1), (Z2)und (Z3)genugt. In diesem Falle sindaquivalent:

1. (N, v, Z−∞) ist maximal bewertet.2. (N, dv, Z−∞) ist spharisch vollstandig.3. (N, v, Z−∞) ist zu einem Hahn–Ternarkorper (H, vH , Z−∞) auf Z uber

Nv mit einem geeigneten verallgemeinerten FaktorsystemC isometrisch isomorph.

Im folgenden wollen wir dieses Ergebnis fur starkere algebraische Strukturen beleuchten,wobei wir uns auf eine Auswahl der im Diagramm von [10] aufgefuhrten Moglichkeitenbeschranken werden. Es sei vorab bemerkt, daß jede regulare Einbettungθ : (N, v, Z−∞) →(H, vH , Z−∞) eines diskret bewerteten Ternarkorpers (N, v, Z−∞) in den Hahn–Ternarkorper (H, vH , Z−∞), wobei wir vonH = H(Z, K, C) mit einem zuNv isomor-phen UnterternarkorperK von N und einem geeigneten FaktorsystemC = (Ca,b)a,b∈Z


ausgehen konnen, zusatzliche algebraische Eigenschaften von(N, S, 0, 1) vermoge derBeziehungen


sowie

x u(z) + c u(z) = (x +z c) u(z)

und

(m u(a)) (x u(b)) = µa,b(m, x) u(a+b)

fur allea, b, z ∈ Z undm, x, c ∈ K auf das verallgemeinerte FaktorsystemC ubertragt,wobei wir im einzelnen ablesen:

• Ist (N, +) assoziativ bzw. abelsch, so auchC.• Ist (N, S) linear bzw. rechts- bzw. linksdistributiv, so auchC.• Ist (N, ·) assoziativ bzw. abelsch, so istC homogen bzw. symmetrisch.

Gemaß [10, Satze 1 bis 6] erhalten wir also den folgenden

SATZ 3. Laßt sich der diskret bewertete Ternarkorper (N, v, Z−∞) in den Hahn–Ternarkorper (H, vH , Z−∞) regular einbetten, so sind(N, S, 0, 1) und (H, T , 0, 1)

Reprasentanten derselben Klassen im Diagramm von[10]; ist (N, v, Z−∞)als Ternarkorperregular einbettbar, so auch als Vertreter seiner spezielleren Klasse.

Demnach kann etwa ein diskret bewerteter echter planarer Fastkorper(N, v, Z−∞) sicher-lich nicht in einen Hahn–Ternarkorper(H, vH , Z−∞) regular eingebettet werden, da sichansonsten die Assoziativitat von(N, ·) auf die Multiplikation der MengeE aller formalenPotenzreihen vonH endlichen Tragersubertruge und somitH gemaß [10, Satz 5] einenSchiefkorper darstellte, wahrendN ein Reprasentant der Rechtsquasikorper ware.

Eine erste Vereinfachung in der Formulierung von (Z2) und (Z3) ergibt sich bei einer Carte-sische Gruppe(N, S, 0, 1) mit abelscher Addition, fur die wir die folgenden Eigenschaftenbetrachten:

(Y1) N enthalt eine Reprasentanten–Cartesische–GruppeK.(Y2) Es existiert eine Familie(u(z))z∈Z von Elementenu(z) ∈ N mit v(u(z)) = z fur

z ∈ Z undu(0) = 1, so daßKu(z) fur allez ∈ Z eine Untergruppe von(N, +) istund es fur allea, b ∈ Z zum, x ∈ K einµa,b(m, x) ∈ K mit

(m u(a)) (x u(b)) = µa,b(m, x) u(a+b)


gibt und die Addilbungµa,b : K × K → K den Bedingungen

(a) Fur allem, n, c ∈ K mit m 6= n existiert genau einx ∈ K mit µa,b(m, x)+a+b

c = µa,b(n, x).

(b) Fur allex, u, c ∈ K mit x 6= u existiert einm ∈ K mit µa,b(m, x) +a+b c =µa,b(m, u).

genugt, wobei fur z ∈ Z die Addition+z durch(k +z l)u(z) = ku(z) + lu(z) furallek, l ∈ K erklart ist.

(Y3) Mit E = 〈⋃z∈Z K(z)u 〉 gilt f ur allea, b ∈ Z undma, xb ∈ K sowiem, x ∈ E mit

v(m) < a, v(x) < b

(a) (ma u(a) + m)x = (ma u(a))x + mx,(b) (ma u(a))(x + xb u(b)) = (ma u(a))x + (ma u(a))(xb u(b)).

Die Notwendigkeit von (Y1), (Y2) und (Y3) fur (Z1), (Z2) und (Z3) ergibt sich aus

Ca,b(m, x, c) u(a+b) = S(m u(a), x u(b), c u(a+b)) = (m u(a)) (x u(b)) + c u(a+b)

= µa,b(m, x) u(a+b) + c u(a+b) = (µa,b(m, x) +a+b c) u(a+b)

fur alle a, b ∈ Z und m, x, c ∈ K; sie sind auch hinreichend, da fur alle a, b ∈ Z dieAbbildung

Ca,b : K × K × K 3 (m, x, c) 7→ µa,b(m, x) +a+b c ∈ K

den Bedingungen (F1), (F2) und (F3) genugt. Damit erhalten wir als Folgerung aus Satz 2

SATZ 4. Eine diskret bewertete Cartesische Gruppe(N, v, Z−∞) mit abelscher Additionist genau dann regular einbettbar, wenn sie den Bedingungen(Y1), (Y2) und (Y3) genugt.In diesem Falle sindaquivalent:

1. (N, v, Z−∞) ist maximal bewertet.2. (N, dv, Z−∞) ist spharisch vollstandig.3. (N, v, Z−∞) ist zu einer Cartesischen Gruppe(H, vH , Z−∞) formaler Potenzreihen

auf Z uberNv mit einem geeigneten verallgemeinerten FaktorsystemC isometrischisomorph.

Setzen wir fur die weiteren Betrachtungen eine diskret bewertete Divisionsalgebra(N, v, Z−∞) voraus, so bewirken die nun zur Verfugung stehenden Distributivgesetze,daß sich (Y2) wesentlich griffiger formulieren laßt und (Y3) sogar trivial erfullt ist. Offen-sichtlich implizieren (Y1) und (Y2) die folgenden Eigenschaften:


(X1) N enthalt eine ReprasentantendivisionsalgebraK.(X2) Es existiert eine Familie(u(z))z∈Z von Elementenu(z) ∈ N mit v(u(z)) = z fur

z ∈ Z undu(0) = 1, so daß fur allea, b ∈ Z undm, x ∈ K∗ die Beziehungen(m u(a)) (Ku(b)) = Ku(a+b) und(Ku(a)) (x u(b)) = Ku(a+b) erfullt sind.

Umgekehrt sind nur die Bedingungen (a) und (b) von (Y2) fur die gemaß (X2) durch

(m u(a)) (x u(b)) = µa,b(m, x) u(a+b)

wohldefinierte Abbildungµa,b : K × K 3 (m, x) 7→ µa,b(m, x) ∈ K fur a, b ∈ Z

nachzuweisen: sindm, n, c ∈ K mit m 6= n, so existiert wegen (X2) einx ∈ K mit

((m − n) u(a)) (x u(b)) = (−c) u(a+b),

woraus wir wegen

(m u(a)) (x u(b)) + c u(a+b) = (n u(a)) (x u(b))

schließlichµa,b(m, x) +a+b c = µa,b(n, x)

erhalten; fur u ∈ K mitµa,b(m, u) +a+b c = µa,b(n, u)

folgt ausµa,b(m, x) − µa,b(m, u) = µa,b(n, x) − µa,b(n, u)

nach Multiplikation mitu(a+b) mit den Distributivgesetzen

(m u(a) − n u(a)) (x u(b) − u u(b)) = 0

und wegenm 6= n letztlich x = u; bei (b) argumentiert man entsprechend. Wir konnendemnach das folgende Ergebnis festhalten:

SATZ 5. Eine diskret bewertete Divisionsalgebra(N, v, Z−∞) ist genau dann regular ein-bettbar, wenn sie den Bedingungen(X1) und (X2) genugt. In diesem Falle sindaquivalent:

1. (N, v, Z−∞) ist maximal bewertet.2. (N, dv, Z−∞) ist spharisch vollstandig.3. (N, v, Z−∞) ist zu einer Hahn–Divisionsalgebra(H, vH , Z−∞) auf Z uber Nv mit

einem geeigneten verallgemeinerten FaktorsystemC isometrisch isomorph.

Wahlt man in der Mengenidentitat (m u(a)) (Ku(b)) = Ku(a+b) speziella = 1, b = 0undm = 1, so erhalt manu(1)K = Ku(1), woraus sich im Falle eines diskret bewertetenSchiefkorpers aufgrund der Assoziativitat der Multiplikation die Eigenschaft (X2) wiederherleiten laßt. Dies geschieht fur


SATZ 6. Ein diskret bewerteter Schiefkorper(N, v, Z−∞) ist genau dann regular einbettbar,wenn er einen Reprasentantenschiefkorper K sowie ein Elementu mit v(u) = 1 unduK = Ku enthalt. In diesem Falle sindaquivalent:

1. (N, v, Z−∞) ist maximal bewertet.2. (N, dv, Z−∞) ist spharisch vollstandig.3. (N, v, Z−∞) ist zu einem Hahn–Schiefkorper(H, vH , Z−∞) aufZ uberNv mit einem

geeigneten FaktorsystemC isometrisch isomorph.

Beweis.Ist (N, v, Z−∞) regular einbettbar, so enthalt N mit Satz 5 laut (X1) einenReprasentantenschiefkorper K und nach (X2) ein Elementu ∈ N mit v(u) = 1 unduK = Ku. Umgekehrt liefert die Existenz eines ReprasentantenschiefkorpersK sofort(X1), und durchu(z) = uz fur allez ∈ Z wird eine Familie(u(z))z∈Z von Elementen inNmit v(u(z)) = v(uz) = z v(u) = z fur allez ∈ Z undu(0) = u0 = 1 definiert, so daß furallea, b ∈ Z undm, x ∈ K∗ wegenuaK = Kua sowohl

(m u(a)) (Ku(b)) = m uaKub = mKuaub = Kua+b = Ku(a+b)

als auch

(Ku(a)) (x u(b)) = Kua x ub = uaKx ub = uaKub = Kuaub = Kua+b = Ku(a+b)

erfullt ist. Damit gilt auch (X2), und(N, v, Z−∞) ist regular einbettbar. ¨

Schließlich enthalt ein diskret bewerteter Korper (N, v, Z−∞) stets ein Elementu mitv(u) = 1, und fur dieses gilt trivialerweiseuK = Ku, so daß wir das folgende Ergebnisfesthalten konnen:

SATZ 7. Ein diskret bewerteter Korper (N, v, Z−∞) ist genau dann regular einbettbar,wenn er einen ReprasentantenkorperK enthalt. In diesem Falle sindaquivalent:

1. (N, v, Z−∞) ist maximal bewertet.2. (N, dv, Z−∞) ist spharisch vollstandig.3. (N, v, Z−∞) ist zu einem Hahn–Korper (H, vH , Z−∞) auf Z uber Nv mit einem

geeigneten FaktorsystemC isometrisch isomorph.

Abschließend wollen wir die eben gewonnenen Satze an einem Beispiel illustrieren.Ausgehend von eineruber ihrem ZentrumZ quadratischen Divisionsalgebra(N, +, ·) —jedes Elementn ∈ N genugt also einer nichttrivialen quadratischen Gleichunguber dereinen Unterkorper vonN bildenden MengeZ aller Elementez ∈ N mit z x = x z,(z x) y = z (x y), (x z) y = x (z y) und(x y) z = x (y z) fur allex, y ∈ N — hat Strade in[13, Satz 2] mit Hilfe eines zentralen Elementss ∈ Z mit 2s 6= 1 durch

x ◦ y = s x y + (1 − s) y x


fur allex, y ∈ N eine Multiplikation◦ auf N definiert und gezeigt, daß(N, +, ◦) wiedereine Divisionsalgebra ist. Fur x, y ∈ N gilt wegen

x ◦ y = x y + (1 − s) (y x − x y)

genau dannx ◦ y = x y, wenns = 1 ist oder aberx undy kommutieren.

Betrachten wir nun eine diskrete Bewertungv : N → Z−∞ auf(N, +, ·) und wahlens ∈ Z

mit v(1 − s) < 0, so gilt wegenv(s) = 0 zum einen

v(s x y) = v(s) + v(x) + v(y) = v(x) + v(y)

und zum anderen

v((1 − s) y x) = v(1 − s) + v(y) + v(x) < v(x) + v(y),

woraus wir mitv(x ◦ y) = v(x) + v(y)

erhalten, daßv auch eine diskrete Bewertung von(N, +, ◦) darstellt. Beide Divisionsalge-bren verfugenuber dieselbe Addition, weshalb sich auch die vonv induzierten Ultrametrikennicht unterscheiden.

Fur die zugrundeliegende Divisionsalgebra(N, +, ·) wahlen wir den Hahn–SchiefkorperH = H(Z, L, C) auf Z uber einer quadratischen KorpererweiterungL von Q mit demFaktorsystems = (σ z)z∈Z undc = (1)a,b∈Z, wobeiσ den nichttrivialen Automorphismusin Aut(L|Q) bezeichne; wir konnenL = Q(

√d) mit einemd ∈ Q schreiben, wobei dann

σ(√

d) = −√d gilt.

Fur ein zentrales Elements = ∑z∈Z sz tz ∈ Z folgt aus(l t1) s = s(l t1) wegen∑

z∈Z

σz(l) sz tz+1 =∑z∈Z

σ(sz) l tz+1

fur l = 1 zunachstσ(sz) = sz, alsosz ∈ Q fur allez ∈ Z und dann fur l = √d sogarsz = 0

fur allez ∈ 2Z + 1. Umgekehrt gilt fur alles = ∑a∈Z sa ta mit sa ∈ Q fur allea ∈ Z und

sa = 0 fur allea ∈ 2Z + 1 sowiex = ∑b∈Z xb tb

(s x)(z) =∑

a+b=z

σ b(sa) xb =∑

a+b=z

sa xb =∑

b+a=z

σ a(xb) sa = (x s)(z)

fur allez ∈ Z und damits x = x s; damit erhalten wir fur das ZentrumZ des Schiefkorpers(N, +, ·)

Z ={

s =∑z∈Z

sz tz ∈ N | sz ∈ Q mit sz = 0 fur z ∈ 2Z + 1

}.


Zum Nachweis, daßN eine quadratische Algebrauber Z darstellt, betrachten wirx =∑z∈Z xz tz ∈ N, wobeixz = pz + qz

√d mit pz, qz ∈ Q fur allez ∈ Z gilt. Wir konnen

x = a + (√

d t0) b + (1 t1) c + (√

d t1) d

mit zentralen Elementena = ∑2|z∈Z pz tz, b = ∑

2|z∈Z qz tz, c = ∑2.z∈Z pz tz−1 und

d = ∑2.z∈Z qz tz−1 schreiben und erhalten wegen

· √d t0 1 t1

√d t1

√d t0 d t0 −√

d t1 −d t1

1 t1√

d t1 1 t2√

d t2

√d t1 d t1 −√

d t2 −d t2

die Gleichung

x2 − 2a x = (x − 2a) x

= ((√

d t0) b + (1 t1) c + (√

d t1) d)2 − a2

= (√

d t0)2 b2 + (√

d t0) (1 t1) b c + (√

d t0) (√

d t1) b d

+(1 t1) (√

d t0) b c + (1 t1)2 c2 + (1 t1) (√

d t1) c d

+(√

d t1) (√

d t0) b d + (√

d t1) (1 t1) c d + (√

d t1)2 d2 − a2

= (d t0) b2 + (1 t2) c2 + (−d t2) d2 − a2 ∈ Z.

Fur ein beliebiges zentrales Elements = 1 + ∑2|z<0 sz tz betrachten wir die Divisions-

algebra(N, +, ◦) mit der diskreten Bewertungv = vH ; der induzierte ultrametrischeRaum(N, dv, Z−∞) ist insbesondere spharisch vollstandig. Fur allek, l ∈ L gilt wegen(k t0) (l t0) = (k l) t0 = (l k) t0 = (l t0) (k t0) auch(k t0) ◦ (l t0) = (k l) t0, weswegen dieRestklassendivisionsalgebren von(N, +, ·) und(N, +, ◦) ubereinstimmen und einen zuLisomorphen Korper darstellen.

Jede ReprasentantendivisionsalgebraK besitzt also die Gestalt(Q t0)(w) fur ein w =∑z∈Z wz tz ∈ N mit w ◦ w = w w = d t0. Umgekehrt ist jeder Unterkorper dieser Form

eine Reprasentantendivisionsalgebra vonN, da wegen

w2(z) =∑

a+b=z

σ b(wa) wb ={

d, falls z = 0,0, falls z 6= 0,

undv(w) = 0 zunachstw20 = d und damit ohne Beschrankung der Allgemeinheitw0 = √

d

sowie [(p t0) + (q t0) w] = [(p + q√

d) t0] f ur allep, q ∈ Q folgt.


Daruber hinaus zeigt man mit vollstandiger Induktionwz ∈ Q√

d fur allez ∈ 2Z; in derBeziehung

−2w0 wz =∑

a+b=z, z<a<0

σb(wa) wb

=∑

a+b=z, z<a<0, 2|awa wb +

∑a+b=z, z<a<0, 2.a

σ (wa) wb

ist namlich zum einen ∑a+b=z, z<a<0, 2|a

wa wb ∈ Q

gemaß der Induktionsvoraussetzung und zum anderen∑a+b=z, z<a<0, 2.a

σ (wa) wb ∈ Q

wegen

σ

∑a+b=z, z<a<0, 2.a

σ (wa) wb

=

∑a+b=z, z<a<0, 2.a

wa σ(wb) =∑

a+b=z, z<a<0, 2.aσ (wa) wb

erfullt. Ferner laßt sich zu jeder beliebigen Familie(wz)z∈−2N+1 induktiv durchw0 = √d

und

wz = − 1

2√

d

∑a+b=z, z<a<0

σb(wa) wb ∈ Q√

d

fur z ∈ −2N sowiewz = 0 fur z ∈ N eine formale Potenzreihew = ∑z∈Z wz tz definieren,

wobeiw2(0) = d und

w2(z) =∑

a+b=z

σ b(wa) wb = 2√

d wz +∑

a+b=z, z<a<0

σb(wa) wb = 0

fur z ∈ −2N sowie

w2(z) =∑

a+b=z

σ b(wa) wb =∑

a+b=z, 2|aσ (wa) wb +

∑a+b=z, 2.a

wa wb

=∑

a+b=z, 2|a(−wa) wb +

∑a+b=z, 2|b

wa wb = 0

fur z ∈ −2N + 1 und damitw2 = d t0 gilt.


Wenden wir uns zunachst dem Falls 6= 1 zu, so stellen wir fest, daß(N, +, ◦) wegen

((√

d t0) ◦ (√

d t0)) ◦ (√

d t1) = (d t0) ◦ (√

d t1) = d√

d t1

6= (1 − 2s)2 (d√

d t1) = (√

d t0) ◦ ((1 − 2s) (d t1))

= (√

d t0) ◦ ((√

d t0) ◦ (√

d t1))

eine echte Divisionsalgebra darstellt, die ferner zu keiner Hahn–Divisionsalgebra aufZ

uber ihrer Restklassendivisionsalgebra bewertungsisomorph ist. Wir zeigen diese Aussageindirekt und gehen demnach gemaß Satz 5 davon aus, daß(N, +, ◦) den Bedingungen(X1) und (X2) genugt; N enthalt also einen ReprasentantenkorperK = (Q t0)(w) fur einw = ∑

z∈Z wz tz ∈ N mit w2 = d t0 und w0 = √d sowie eine Familie(u(z))z∈Z von

Elementenu(z) mit v(u(z)) = z fur z ∈ Z undu(0) = 1, so daß fur allea, b ∈ Z undm,x ∈ K ∗ die Beziehung(m ◦ u(a)) ◦ (K ◦ u(b)) = (K ◦ u(a)) ◦ (x ◦ u(b)) = K ◦ u(a+b) erfulltist.

Fur u(1) = u = ∑z∈Z uz tz ist u1 6= 0, und wegenw ◦ u ∈ u ◦ K existierenp, q ∈ Q mit

w ◦ u = u ◦ ((p t0) + (q t0) w), woraus in

−√d u1 = (w u)(1) = (w ◦ u)(1) = (u ◦ ((p t0) + (q t0) w))(1)

= (u ((p t0) + (q t0) w))(1) = u1 (p + q√

d)

dannp = 0 undq = −1 und damit

w ◦ u = −u ◦ w

folgt. Daraus erhalt man

0 = w ◦ u + u ◦ w = s w u+ (1 − s) u w + s u w+ (1 − s) w u = w u + u w

und damit ∑a+b=z

(σ b(wa) ub + σa(ub) wa) = 0

fur alle z ∈ Z; wieder laßt sich induktivuz ∈ Q√

d fur alle z ∈ −2N0 folgern: beimInduktionsanfangz = 0 gilt

−2w0 u0 = σ(w−1) u1 + σ(u1) w−1

und wegen

σ(σ(w−1) u1 + σ(u1) w−1) = w−1 σ(u1) + u1 σ(w−1) = σ(w−1) u1 + σ(u1) w−1

sowiew0 = √d dannu0 ∈ Q

√d, wahrend man im Induktionsschrittz → z − 2

−2w0 uz =∑

a+b=z, z<b≤1

(σ b(wa) ub + σa(ub) wa)

= 2∑

a+b=z, z<b≤1, 2|bwa ub +

∑a+b=z, z<b≤1, 2.b

(σ (wa) ub + σ(ub) wa),


wobei der erste Summand nach der Induktionsvoraussetzung sowiewa ∈ Q√

d fur allea ∈ 2Z und der zweite Summand als Fixelement vonL unterσ eine rationale Zahl ist, unddamituz ∈ Q

√d erhalt. Fur das Quadratu ◦ u = u u vonu berechnet man

u2(z) =∑

a+b=z

σ b(ua) ub =∑

a+b=z, 2|aσ b(ua) ub +

∑a+b=z, 2.a

σ b(ua) ub

fur allez ∈ Z, wobei sich fur z ∈ 2Z analog zur obigen Argumentation

u2(z) =∑

a+b=z, 2|aua ub +

∑a+b=z, 2.a

σ (ua) ub ∈ Q

und fur z ∈ 2Z + 1

u2(z) =∑

a+b=z, 2|aσ (ua) ub +

∑a+b=z, 2.a

ua ub

=∑

a+b=z, 2|a(−ua) ub +

∑a+b=z, 2|b

ua ub = 0

ergibt; demnach istu2 ein zentrales Element des Schiefkorpers(N, +, ·). Wegen

u2 = (1 ◦ u) ◦ (1 ◦ u) ∈ K ◦ u(2)

gibt es eink ∈ K mit u2 = k ◦ u(2), wobei wegen

(K ◦ u(0)) ◦ (k ◦ u(2)) 3 1 ◦ u(2)

ein l ∈ K mit u(2) = l ◦ (k ◦ u(2)) = l ◦ u2 = l u2 existiert. Fur jedesm ∈ K gilt damit

m ◦ u(2) = m ◦ (l u2) = s m l u2 + (1 − s) l u2 m

= s m l u2 + (1 − s) m l u2 = m l u2 ∈ Ku2,

woraus sichK ◦ u(2) ⊆ Ku2 und folglich

(w ◦ u) ◦ (w ◦ u) ∈ Ku2

ergibt. Wegen

(w ◦ u) = s w u+ (1 − s) u w = s w u− (1 − s) w u = (2s− 1) w u

erhalten wir

(w ◦ u) ◦ (w ◦ u) = (2s− 1)2 w u w u = − (2s− 1)2 (d t0) u2

und damit−(2s− 1)2 (d t0) ∈ K sowie(2s− 1)2 ∈ K . Es gilt zwar(2s− 1)2(0) = 1,aufgrund vons 6= 1 aber(2s− 1)2 6= 1, wodurch wir auf(2s− 1)2 /∈ Q t0 und damit auf

K = (Q t0)((2s− 1)2) ⊆ Z

im Widerspruch zuw ∈ K schließen konnen. DieseUberlegungen fassen wir im folgendenSatz zusammen.


SATZ 8. Es existiert eine spharisch vollstandige diskret bewertete Divisionsalgebra, diezwar einen Unterkorper der Charakteristik0 als Reprasentantendivisionsalgebra enthalt,selbst aber (bis auf isometrische Isomorphie) keine Hahn–Divisionsalgebra aufZ uberihrer Restklassendivisionsalgebra darstellt.

Fuhren wir nun unser Beispiel fur den Falls = 1 weiter, so beobachten wir sofort,daß die beiden Multiplikationen· und ◦ auf N ubereinstimmen und wir demzufolge denSchiefkorper (N, +, ·) zu betrachten haben. Gemaß den obigenUberlegungen besitztjeder (deruberabzahlbar vielen) Reprasentantenschiefkorper die Gestalt(Q t0)(w) fur einw = ∑

z∈Z wz tz mit w2 = d t0 undw0 = √d. Jede Familie(uz)z∈−2N0+1 von Elementen

uz ∈ L mit u1 6= 0 setzen wir induktiv durch

uz = − 1

2√

d

∑a+b=z, z<b≤1

(σ b(wa) ub + σa(ub) wa) ∈ Q√

d

fur z ∈ −2N0 sowieuz = 0 fur 2 ≤ z ∈ Z zu einer Potenzreiheu = ∑z∈Z uz tz ∈ N fort,

die dann wegen

(w u + u w)(z) =∑

a+b=z

(σ b(wa) ub + σa(ub) wa)

fur allez ∈ Z den Gleichungen

(w u + u w)(z) = 2w0 uz +∑

a+b=z, z<b≤1

(σ b(wa) ub + σa(ub) wa) = 0

fur z ∈ −2N0 sowie

(w u + u w)(z) =∑

a+b=z, 2|a(σ (wa) ub + ub wa) +

∑a+b=z, 2.a

(wa ub + σ(ub) wa)

=∑

a+b=z, 2|a((−wa) ub + ub wa) +

∑a+b=z, 2.a

(wa ub + (−ub) wa) = 0

fur z ∈ −2N0 + 1 genugt, worausw u = −u w und

((p t0) + (q t0) w) u = u ((p t0) − (q t0) w)

fur allep, q ∈ Q folgt. K undu erfullen demnach die Bedingungen von Satz 6, und wirerhalten einen isometrischen Isomorphismusθ vonN in den Hahn–SchiefkorperH(Z, K , C′)auf Z uberK mit einem geeigneten FaktorsystemC′; identifizieren wir dabeiK mit L innaturlicher Weise durchw ∼ √

d, so ergibt sich in

(k ua) (l ub) = k σa(l) ua+b


fur allea, b ∈ Z undk, l ∈ K , daßH(Z, K , C′) uberr = (%z)z∈Z mit %z = σ−z fur allez ∈ Z gemaß

µa,b(k, l) = σ−(a+b)(σ a(k) σ b(σ a(l))) = σ−b(k) l = σb(k) l

fur allea, b ∈ Z undk, l ∈ L zu N = H(Z, L, C) im Sinne von [10] kanonisch isomorphist. Insgesamt stelltα = % ◦ θ einen isometrischen Automorphismus von(N, v, Z−∞)

mit α(w) = %(θ(w)) = %(√

d t0) = √d t0 und α(u) = %(θ(u)) = %(1 t1) = 1 t1 dar.

Insbesondere laßt sich also zu jedem ReprasentantenschiefkorperK ein bewertungstreuerAutomorphismusα von (N, v, Z−∞) mit α(K ) = L t0 finden.

In [12] wird Satz 8 durch die Konstruktion eines Gegenbeispiels fur den Schiefkorperfallverscharft. Es existiert namlich ein spharisch vollstandiger bewerteter Schiefkorper mitabelscher Wertegruppe, der zwar einen Unterkorper der Charakteristik 0 als Reprasentan-tenschiefkorper enthalt, selbst aber (bis auf isometrische Isomorphie) keinen Hahn–Schiefkorper auf seiner Wertegruppeuber seinem Restklassenschiefkorper darstellt; dabeikann sogar entwederZ als Wertegruppe oderQ als Restklassenschiefkorper gewahlt werden.

Literatur

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Erwin SchornerMathematisches InstitutUniversitat MunchenTheresienstraße 3980333 MunchenDeutschlande-mail: [email protected]

Received 13 March 2000.

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Diskret bewertete Ternärkörper und Hahn-Ternärk/ouml;rper auf Bbb Z