Dispersionsvermiigen und Eigensch wingung eines ionisierten Gases

Von G. Burkhardt

Inhnltsubersicht Aus dcr L o r e n t z schen Dispersioristheorie eiiies neubralcii Gases kann die-

jenige fur ein ionisiertes Gas (Plasma) gewonnen werden, wenn inan die Eigcii- frequcnz der Polarisationselektroiien gleich einer gewissen Grenzfrequenz setzt, die sich als Eigenfrequenz des schwiiigenden Plasmas erweist. Es ergibt sich daniit zwanglos das Verschwinden des L o r e ii t z schen Polarisatioiisterines in dcr Dispersionsformel fur eiii Plasma.

1. H. A. L o r e n t z hat erkannt, daW inaii zur Berechnung der Dispersion des Lichtes das Mitschwingeii der Elekt,roiien des betrachteten Mediums in eiiiein er- regeiiden Feld untersucheii inu13, das sich aus der Vakuiimfeldstarke an1 Ort des betreffeiideii Elektrous und eiiiein durch die beuachharten polarisiertcii At.onie hervorgerufeiien Zusatzfeld zusammensetzt. Die Wirkung des let,zteren koiiimt dann in der bekariiiteii Lore 11 t z -Lor e i i zschen Dispersionsforniel zuni Ausdruck und inacht sich d a m bemerkbar, wenn der Brechungsindex voii 1 starker abweicht,, also fur iieutrale Medien bei hohen Dichteii. Die Frage, ob dieses Loreiit,zsche Korrektioiisglied auch bei ioriisierten Medieii aiizubrigeii ist., wo es nainent,lich in der Nahe der kritischen Frequenz, fur dic der Brechuiigsiiidex gegen Null geht, voii weseiitlicheiii Eiiiflul3 ist, ist schon seit'langem in der Literatur ausfiihrlich diskut,iert: worden. Eine eingehende Beleuchtung dieser Frage und ihre Entschei- dung in der Hinsicht, da0 das Lorentzschc Glied bei der Dispersion in eiiiem Plasma n i c h t auftritt, ist von C. G. Darwin1) gegeben worden. Trotzdeni ist die Diskussion uber dieses Problem, das iiainentlich fur die Erforschung der Iono- sphare von Bedeutung ist, seither noch iiicht, verstunimt nnd Darwiiis Ergebiiisse w-urdeii voii itiehrereii Ioiiosphareiiforschern t,eils von expcrimeiitellen Befuiiclen her teils aus theoretischen Erwagungen angezweifelt 2). Es erscheint daher irn Intercsse eiiier hoffeiitlich endgu1t)igeii Klarstelluiig nicht unangebracht, das Pro- blem nochrnals nach einer mehr aiisehaulichen Methode zu hehaiidelii, atis der das Verschwinden des vie1 diskutiert>en ,,Lorcntz-Terms'' in eineni ioiiisierteii Mc- diuin klar hervorgeht.

Wahrend namlich Dnrw in in sciiien Betrachtuiigen direkt von deli VerhaIt- nissen irn Plasma ausgeht,, mu13 es doch offeiibar auch moglich srin, die Disper-

1) C. G . Darwin, Proc. Roy. Soc. London 146, 17 (1934); 18'2, 152 (1941). 2) Eine Zusamnienvtellung der neueren Literatur findet aich z. B. bei J. Zenneck,

Hochfrequenztcelm. u. Elektroak. 60, 109 (1942). Die Arbeit ron J. M a l s c h , Arch. etektr. iibertr. 2, 231 (1948) geht an dem entsclieidenden Problem vorbei, die dort berechneten Debycschen Relaxationskriifte sincl in eineni Plasma sicher zu vernachliissigen.

3 74 Annalen der Physik. 6. Folge. Bad .5 . 1950

sionstheorie f iir ein ionisiertes Gas aus einem Grenzubergang voin n e u t r ale n Gas her zu entwickeln, indein man die Bindung und damit die Eigenfrequenz der initschwingenden Elektronen zu immer kleineren Werten iibergehen 16Bt. Dies soll im Folgenden gezcigt werden.

2. Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt fur ein Medium mit der Dielek- trizitatskonstanten E und der Leitfahigkeit CT:

1 .' 4no . A@ = (& + 4 7r q3) + 3- 6, oder fur eine monochromatische, linearpolarisierte Lichtwelle Q = Q, = 0, e i w t und niit

E - 1 4n p = - @ = N(Y@

Der in der Klaninier stehende Ausdruck stellt also das Quadrat des komplexen Brechungsindex n = n (1- i x ) des betreffenden Mediums dar.

Betrachten wir zunachst ein Gas aus neutralen Atomen der Dichte N , der Einfachheit halber lnit je einem ,,Polarisationselektroa" der Eigenfrequenz wo, so ist c = 0 und die Polarisierbarkeit (Y berechnet sich ads dem mittleren Dipol- moment $5 = c* 01 = e z aller Atome. Piir ein Polarisationselektron lautet die Bewegungsgleichung

i + w ; x = - 711 (@+g p), (2) 4n 4n 3 3 wobei-3 = --N e ?? nach L o r e n t z das duroh die ubrigen polarisierten L4toille

hervorgerufene Zusatzfeld am Ort des herausgegriffenen Elektrons ist,. Diese Gleichung wollen wir uber ein Gebiet mitteln, das viele Atonie erithalt, aber noch klein gegenuber der Wdlenlarige des anregenden Feldes ist. Dazu miissen wir noch die ZusainmenstoDe der At,oine untereinander berucksichtigen.

Durch einen ,,St,oIJ" soll im S h e von Lore i i tz Lage und Geschwindigkeit des betreffenden Polarisatiouselektrons beliebig verandert werden, so daB der Mittelwert dieser GroIJen nach dein StoB verschwindet. Betrachten wir also die Gruppe von Atomen, die zur Zeit t = z ihren letzten ZosaniriienstoB editten haben und bezeichen wir den Mittelwert der Lage und Geschwindigkeit ihrer Polari- sationselektronen zur &it t mit 2 (t , z) bzw. x (t , z) = Z (t , z), so gilt:

- I

X (z, z) = 0 u11d X (z, z) = 0 . (3)

Es sei nun die mittlere St,oBzahl pro see y, dann ist die Zahl der Atome, die zur betrachteten Gruppe gehoren, zur Zeit t proportional e - y ( t - r ) und die (durch ein- fache Uberstreichung gekennzeichneten) Mitt.elwerte uber a l le Atcline unseres Gebietes erhalt man am:

z ( t ) = - e - y ( t - r ) 5 ( t , z) dz

14) --oo

1

Y l i

1 Y

5 ( t ) = - 1 e - y ( t - z ) L ( t , z) dz . -03

cf . Rurkhardt: Dispersionsvermogen und Eigenschwingung ekes imisierten Gases 3 75

Durch Differentiation nach t folgt daraus wegen (3) . - - . x = x--y 3

It a ; L 7 - a =-x- y 5 = 5- 2 y x - p z .

und

at

Mittelt man nun ( 2 ) uber das betrachtete Voluiiien und setzt nach (6) ein, so er- halt man fur die mittlere Verschiebung die Gleichung:

Hieraus findet man durch Integration sofort die Polarisierbarkeit a und damit uach (1) den Brechungsindex n unseres Gases. Fur y <ma wird

Diese Ableiturig findet sich natiirlich schon in ahnlicher Form in den klassischen Abhandlungen voii Loren tz .

Man rnochte zunachst vermuten, daS man in dieser fur ein neutrales Gas gul- tigen Dispersionsformel nur coo = 0 zu setzen hat, uin diejenige fur ein Plasma zu erhalten, kommt danii aber offeritichlich auf einen falschen Ausdruck, der das L o r e n tzsche Zusatzglied enthalt. Tatsachlich aber verliert der Begriff der Po- larisierbarkeit, auf dem (8) basiert, fur o, + 0 seine Bedeutung. Der Ubergang voin ,,Polarisationselektron", das einem bestinimteri Atomrumpf zugeorduet werden kann, zuin ,,freien" Elektron erfolgt iiiinilich bei einein Gas endlicher Dichte dam, wenn die von seinem Atomrumpf auf das Elektrou wirkeiiden Bin- dungskrafte von der gleichen GroBe werden wie das von den polarisierten Atomeii der Umgebung herruhrende Feld, im Siiiiie uiiseres Oszillatorniodells also dam, wenn

m mi 3 = - N e2 .i;.

Es ergibt sich also eine endliche untere Grenze fur die Eigenfrequenz der Polari- satioiiselektroiien :

4x 3

Wir stutzen dieses Ergebnis noch durch die folgende heuristische korrespon- denzmaoige Betrachtung : Die Eigenfrequenz eines Atoms in der Nahe seiner Ioriisierungsgreiize ist durch die klassische Uinlaufsfrequeiiz seines Leuchtelek- trolls auf seiner Bohrscheii Bahn vom Radius a gegeben, sie bereehnet sich also

m a roo = .

Der gro13te Bahnradius, bei den1 noch eine Zuordnung des Elektrons zu einern be- stimmteii Atom moglich ist wird durch -a3 = - bestinimt, durch Einsetzen

&US , e2

a

432 1 3 N

3 76 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 5. 1950

folgt wiedcr der Wert (9) als untere Grenze der Eigeufrequenz eines geburideilell Elektrons.

In der Tat geheii fur diesen Wert von coo die oben abgeleiteten Beeiehungeii in die Dispersionstheorie fur ein ionisiertes Mediulll iiber. Setzt rnan naltdlch w, iiach GI. (9) in die Beweguiigsgleichung (7) ein und fuhrt, auBercleni statt Z deii Mittelwert der Geschwindigkeit x uber alle Elektrotlen nach ( 5 ) und (6) ein, SO

fallen in (7) alle Glieder, die I enthalten, heraus uiid inan erhalt

oder iiiit j = N e Z

Dies ist, aber die Gleichung fur deii durch das Feld C3 der Lichtwelle erregtcii Stroll1 tler f r e i en Elcktroiieri - das Lorentzsche Zusat,zfcld hat bich zwanglos heraus- p e h o h i ! - init dcr Lbsuiig

L\; e2 ( y + i w ) i = (3 .

An die Strile dcr Polarisicrbarkeit a ist die Leitfahigkeit (r getreteri:

N e Z y - i w 0 = -- ~

116 az + y2

uiid iiach (1) ergibt sich die Disperioiisformcl fur das Plasina

(12)

ist. Phknonienolo- aus der das Loren t zsche Polarisationsglied verschwuiiden gisch verhalt sich also das Plasma hinsichtlich seiner Dispersioiiseigenscliafteii wie ein Medium niit I.' = 1 (die Polarisierbarkeit der Toiieii k a m uriberucksicli- t,igt hleibeii) und niit koinplexer Leitfahigkcit,, wolici die Dispersioii clurch eineit

iiiduktiveii Widcrst,aiid w L = CIJ , die Absorpt,ioii durch eiiien 0 h uischen WL

' / ) I , TT'iderstaiid R = y ~ der durch das Lichtwellenfeld erregten Stromdichte j

zustande koinmt, a),

Trotz dieser andercn Deutung geht die Dispersiorisforiiiel (12) uiiiiiittellmr aus der, fiir ein iieutxales Gas geltenden Forniel (8) hervor, weiiii inan in dieser fur ol0 deli obeii berechiiet,eii Greiizwert einsetzt. Nur clss Danq>fungsglied ist in beiden PLlleii xrerwchiedeii, incleiii y beiin neut,ralen Gas sich auf die ausliischeiiden 8toBe der iltonie, beiin ionisierten dagcgen auf die. der Elektroiicn niit deii Ionrii bezieht. Zu beacht,eii ist, claU der Faktor 2 im Dii~npfungsgIied bei deii fleieii Elektroiieii wegfallt, der Energieverlust des Strahlunpsfeldes pro ZusaiiiiiieiistoB also beini neut,ralei> Gas doppelt so groB ist, \vie heim ionisierten. Der 8t,rahlungsverlust pro StoU ist aber gleic,h der voin Strahlungsfeld am mitschwiugeiideii Elekt,roii

3' et

3, s. a. W. 0. Schumann, Z. Physilr 121, 7 (1943).

G . Burkhardt: Dispersionsoerrnoyen und Eigenschwingung eines ionisierten Gases ,377

zwischen 2 ZusammenstoBen geleisteteu Arbeit, welche im ersterexi Falle

betragt, im letzteren dagegen

heides zeitlich gemittelt. Der Uuterschied um den Faktor 2 ergibt sich aus der verschiedenartigen Mittelbildung in beiden Fallen und der dadurch bedingten unter- schiedlichen Phasenbeziehung zwischeri dem Polarisationstrom N $ bzw. derii Leitungsstroni j und (3.

Auf Grund dieser Uberleguiig 1aBt sich ubrigens auch die Dampfuiigskoiistarite y fur eim Plasma direkt berechnen. Die vom Strahlungsfeld pro see auf die Elektro- neii iibert,ragene Energie ( j , (3) wird iiamlich durch die Zu~armnenstoLie wieder als Strahluiigsenergie abgegeben, da infolge des groBen Massenur.terschiedes zwischen Elektron und Ion praktisch keiiie kinetische Energie ubertragen wird. Diese als J3rernsstrahlung" emittierte Eriergie kaiiii aber nach der Kramerschen Theorie des Rontgeiihrenisspektrurns berechriet werden. Bei thermischem Gleichgewicht mussen Energieverlust und Emission in gleichen Prequenzintervallen einander gleich sein 4, uiid man erhalt durch .diesen Vergleich :

fiir die StoBzahl der ,,ausloschendenL' StoIJe iii einein Plasma, welche (bis auf eiiien unweseritlichen Zahlenfaktor irri Logarithmus) geiiau rnit dem von C h apnia n wid Cowling6) anf ariderem Wege berechneteii Wert ubereiristimmt (N , = Ioneii- dichte). Es ist damit der Zusaiiinieiihanig zwischen der korrespondenzmaBigen Theorie des Absorptionskoeffizienten fur frei-frei-Ubergange von Kraniers uiid der Lorentzscheii StoBdampfungstheorie hergestellt.

3. Es sol1 nun noch gezeigt werden, daB der oben berechnete Grenzwert cop fur die Eigenfrequeriz der Polarisationselektroneii als Eigenfrequenz fur freie Plasniaschwiiigungeii gedeutet werden kann. Dazu betrachteii wir die Bewegung des Ladungsschwerpunktes der Elektroiieii gegeiiuber deni der Ionen in einem durch eirie Kugel vom Radius R abgegrenzten Gehiet des Plasmas. Diese Kugel ent- hake Q Elektronen und ebeuso viele einfach geladene positive Ionen,. letztere werden wir rnit D a r w i n (1. c.) als ruhend und - zur Berechnuiig der Krafte - kontiriuierlich uber das Kugeliiinere verteilt annehmen. Die Berechtigung dieser Naherung wird bei D a r w i n ausfuhrlich diskutiert, sie beruht im wesentlichen darauf, daB zur Berechnung des zeitlichen Mittelwertes der Krafte auf ein Elek- tron die zeitlich kurze Wirkung des naheri Voriibergangs an einem Ion gegeniiber der Wirkmg der vielen Teilchen in groBerer Entfernung zu veriiachlassigen ist. Das Potential der positiveii Lsdungeri in einer Entfernung T vom Mittelpunkt der Hugel betragt dann

4, s. a. G . Burkhardt u. A. Schlu ter , Z. Astropliysik im Druck. 5, Cowling, Proc. Roy. SOC. London 183, 453 (1946).

378 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 5. 1950

uiid die Bewegungsgleichung fiir ein an der Stelle ri befindliches Elektroii lautet :

Sie gilt unabhangig davou, ob sich das Plasma aul3erhalb der Kugel bis ins Uneiid- liche fortgesetzt oder ob es durch diese begrenzt wird. Wir mitteln diese Glci- c h u g iiber das Kugelvolurnen nach dem gleichen Verfahren, das wir oben bei Gk. (7) aiigewendet habeii, in dein wir zur Berechnuiig der Dainpfung auch wieder die ZusaiviueiistoWe voii Elektronen und Ioiieii berucksichtigen , jedoch niit dern

Unterschied, daB hier der Mittelwert der Lagekoordiiiaten r = 2 r, dnrch die

Stiifle nicht beeinflul3t wird und nur das Gruppeninittel der Geschwindigkeit iiach dein StoW Null wird, so daB wir erhalten:

1

und

Damit gilt fur eine beliehige Koinponente des Ladungsschwerpunktes der Elek- tronen :

._ . Q e Z - x + y z + --x = 0 TIL R3

Unsere Plasmakugel verlialt sich also wie ein harinoiiischer Oszillai,or niit der Darnpfmigskonstante y , ihre Eigeilfrequeiiz wird mit Q = - R3N 4n

3

in ~;'berciiistiiiirnriiig mit den1 oben gefundenen Grenzwert. Fiihrt mail wieder den Nittelwert der Stronidichte j = N e 2 ein, so gilt fur diese die aus (14) durch Differeiitiatioii nach t folgcnde Schwingungsgleichung :

Ini Gcgeiisatz ZII der voii L aiig inu i r gefuiideneii longitudinalen Rauniladungs- 4z Me2 schwingring der Frequeriz _ _ ~ - handelt es sich hier uin eiiie transversale

Schwirigung cies P1asin:is init div j = 0.

M'ollen wir nun von dcr G1. (14) der freien Schwingung wieder iihergeheii zu der erzwuiigenen Schwinguiig uiiseres Gebietes durch eirie eberie Lichtwelle 0-, so miissen wir den Radius der betrachteteii Plasuialtugel klein gegeiiuber der Wellen- Iiiiige der anregenden Lichtwelle wahleii. Daiin erzeugt .aber das umgebende

Plasma irn Iiiiierii der Kugel ein zusatzliches Felcl, von der G r o h @, das voii

(ler clurch das aiigelegtc Feld auf der Oberflache der Kugel induzierten Flachen- ladung herriihrt. (Zu den1 auf eiii Elekt.ron der Kugel wirkeiiden, obeii herechneten

V T

4n J

a. Burkkrdt: Disperaionsvermiigen und Eigemchwingung e i w kdsierten Gases 3 79

Feld der ubrigen Ladungstrager i n der Kugel kommt das im Inneren der hohl gedachten Kugel von der Umgebung herriihrende Feld hinzu!) Somit geht (14) uber in:

m . 4 n N e 2 . -

3 m

was unter Einfuhrung der Stmmdichte j wieder auf unsere GI. (10) fuhrt. I n Ubereinstimmung mit den in Ziffer 2. gemachten Ausfiihrungen kann man also das Plasma sich durch ein System von gedampft schwingenden harinonischen Os- zillatoren mit der Eigenfrequenz cop ersetzt denken. Die scheinbar ganz anders gearteten Ubedegungen D a r wi 11s in seiner 2. Arbeit (1. c.) bestatigen unsere mehr heuristischen Betrachtungen auf das beste. Er zeigt dort durch eine genaue Analyse der Bahnen der Elektronen bei einem StoB, daB durch diese StoDe im Mittel auf ein Elektron eine zusatzliche Kraft der GroBe - w > z wirkt, wobei 2 die mittlere Verschiebung durch irgendwelche auBere Einwirkung darstellt in voller obereinstellung mit den obigen Ableitungen.

4. Zum SchluB sei noch eine Bemerkung uber den Energieinhalt des elektro- magnetischen Feldes in einem Plasma angefiihrt. Da nach unseren obigen Betrach- tungen f i i r das Plasma E = 1 gesetzt werden muB, ist die Feldenergie pro 0111%

durch

gegeben. Da der Brechungsindex n unseres Mediums aber von 1 verschieden ist, scheint dies im Widerspruch zu den1 ublichen Wert -@ fur die Strahlungs-

energie zu stehen, wo @ = 8 6: den zeitlichen Mittelwert des Ainplituden- quadrats darstellt. In der Tat geht aber ein Teil der Feldenergie als magnetische Eiiergie des itiduzierten Stronies den1 StrahlungsfeId verloren. Nach der Max - we 11 schen Theorie betragt diese :

n2 - 4n

urn,,,, = * L p. Aus unseren obigen Ableitungen [Gln. (10) bis (ll)] folgt aber fur den ,,Selbst- induktionskoeffizienten"

L = r n N e2

und fur den zeitlichen Mittelwert von j z

Ferner folgt fur die magnetische Feldstarke unserer ebenen in der 2-Richtung fort- schreitenden Liclitwelle :

.!ij = 8, = n 1/1+ x~ e-is E ~ ;

@ = n2 (1 + x2) @ .

tg 6 = x also

Solnit bleibt fur die Energicdichte des Strahlungsfeldes im Plasma, gelnittelt iiber die Zeit:

380 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 5. 1950

Da aber riach (12)

n2 - UStr. = E2 2

also derselbe Wert, der sicb auch bei einem nichtleitenden Medium mit dem Bre- chungsindex n ergibt.

Die in dieser Arbeit niedergelegten nberlegungen sind teilweise aus gernein- samen Diskussionen mit Herrn A. S e h l u t e r aus Gottingen entstanden, dern ich hierinit danken mochte.

I i i e l , Institut fur theoretische Physik der Neuen Universitiit.

(Bei der Redaktion eingegangen am 17. Oktober 1049.)