Division_mitrests.at#:Seien x EIN

. , yEIN

.

Dann existieren Zwei eindeutigbestimmte Zahlen d. r EIN

.suit

(1) X = 9 g t ✓

K ) 0 e- r s y

Beweis '

÷ stenz einer Lösung- -

- -. . - - -

falls X a G ,setze 9=0 ,

r = ×

falsls X 2 g ,setze er = × .

gund betuchte Xn

, y

Annahme ; wir kennen Zahlen

91,

rn EIN.

mit Xs = 9µg er.

und 0 E rn ay

dann gilt : X,

= X -

J=) 91g + rn = X -

G= ) Cast 1) g t Vs = X

also 9 = 9^+1 ,in=vh

falls f. ag ,setze 91=0

, v. = Xn

falls X. 2g ,setze Xz = Xs -

yund fahre fort

mo Folge x, X. = X. g , XEXN - g ,

13 = Xz - G,

. . n

Folge streng monoton fallend( die Zahlen werden immer echt

kleinen )

=) irgendwann gilt Xne J

Lösung : 9 = n,

r = Xn

Eindeutigkeit der Lisung- -

.- - -

.- . . - . . - -

-

Annahme : es gibt zwei verschiedene

Lösungen Can,

rn ),

Ccez, vz )

d. h . 9. ytrn = × = 92Gt Vzund 0 Er

.s J ,

O Erz a 2

no (91-92) y= rz - ↳ (A)

es gilt rz - r.

e Jund -

y c rz.rs cg #

nach lx ) ist rz.rs ein

Vielfaches von g , wegen HX )

mcß dann aber 9 ,-

az = 0 gelten

= ) rz.rs = 0

pm

Schreibweise :

v = X modG

q = X diry

Maxima : noch lkg )

für dir gibt es keinen Befehl

verwende C e- hoch ( x. g) ) / y

MoctnlanAsithmetikLemna_.Seienx.yEZ4mEtN@1modm1tlymodmDmodm.z

( xt g) modm

Beweisen . direktes Nachrechnen

Division mit Rest =)

es gibt eindeutige Zahlen 9×4,9 y , rymit X = 9µm t rx ( rx = xnodm )

y = 9 gentry lry = gmodm )

× + G = ( 9×+9g) m+ r

#try=) lxt g) mrd in = ( rxtry ) mdm

•

Definiere

[ x Im = { JE Klm teilt x. y }

= { ×,

Xtm,

Xt Zu, i.

K . m,

x. Zu,

- - I= { JE 7L Ig mrdm =

× werden }

Rest klasse von X modulo m- . .

- - - -

-- - - - - - - -

[ 33,2=43,15, 27,

- . -

,-9

,-21

,.

. }

[ 15Jnz

= [ 3J12

= E 9J,

= - - .

Es gibt 12 verschiedene Klasse :

[ 0 In ,[ 1312 , -

- ' l[ 11312

74ns K = { TOIM , Ein ,-

, ünism }

führe Arithmetik auf Klm K ein.

[ ifmt Ig Im e E × + IIm

[ ifm . Tgßm = T xy Im

Leuna sagt ,da ß Definition

sinnvoll.

[ 2Jn

. [ 6 In = t 123nF Tote,

[ 33g ' [ 3Jg

= [ 9J,

= EIIP[ 3J

no. [ 7 ]

10= [ 21J

io= Eifeo

Marina .

÷oclnhcs: 8

mtsimp Lu ) no 3

mtsinp (7) mo - 1

ratsimp Ist 6) no 1mtsinp l 3*6 ) mo 2

mtsinp C 513 ) ne - 1

ratsimpl 312 ) no Fehler

zu_

add - table CP )

Zu .malt .

table CP,

all )ihn hoch ( 3,8 ) mu 3

Gröptergemeinsamnteilndefm: x

, g E KIE 03

d EIN größter gem .

Teilen von x. gmo lr ) d I x

,dl g

(2) wenn für C ⇐IN'

gilt

Clt, clg ,

dann

maß gdtm el d

Satz : Seien t.ge 7L 1 l 03 . Dann

existiert ein eindeutig bestimmte

gg T lx , gy) e d und es gilt

d = min { u EIN I es gibt s,t ETL

mit n = sx + ty 3 = min M

Beweis .

÷Eindeutigkeit

-. -

. - - - . -

Annahme : d,

d'

erfüllen beide

die Bedingungen aus Def . von SGTUI d ist ein ggt

d'

ist gemeinsame .Teilen an ky

= ) d'

l d

(2) dl ist ein ggT

d ist gun .

Teilen von hg=) d 1 d '

also mß gelten D= d'

• Existenz- . → - n

setze a = ¥ = { 1 X so

-1 × AO

S =

'

YI ⇒ axtsy EIN

⇒ M # ¢setze d ← min M

Zeige i d I X

mache Division mit Rest

no × = q der mit OE red

Ziel : zeige r.NO no dlx

es gilt r = X - gd= x -qlsxttg )

= ( 1- g) × - qt g

Annahme : r 30 ⇒ r EIN

und es gibt 5 = ( 1- qs )

E = - qtso daß v = 5 xt Eg

= ) r E M

aber rz d = min M 4°

also ist die Annahme falschund es mß gelten r = 0

analog zeigt nun dlySei CEKV gemeinsamen Teilen mrhgZeige : c Ich = sxttg

de, dgu ⇒ else ety

•

Zahlen set EK mit

ggtlx.gr ) = sx + tyheißen Bizout - Koeffizienten

- . - - m . - . - - . .

Bsg ggt L 12,42 ) = 6

es gilt 4 . 12 - 1 . 42 = 6

Def.im X, y E Klh 03 heißen

t.I.br#e=d.odrr.eEt.oo..py= ,

wenn ggtl +, g) = 1

Safi X. YEKKO 3 teilen fund

⇐ > es gibt Zahlen qt EK

mit sxtty = 1

tragen .

. sei EKIMEKIMK ,

gibt es ELIMEKIMK mit

[ KIM El ] m

= HIM ?

Satze. Es gibt ein solches LKIM

genau dann, wenn k

,m teilen .

-

fund sind.

Beuge• Annahme : k

,m teilen fand

=) es gibt Zahlen S,t EK

mit skttm = 1

= ) [ sketnifm = [ ifm

÷ KIM = Es Im Thin

a- , l = s

. Rest sähe Skript ra

EMidischertlgcnithmussatz_ix.geIN

,x = y ,

x Xy=) ggtlx , g) = ggtlymodx , × )

Bewege Skript

Algorithms :E A ( ×

, g)Eingabe : X. y EIN

,X E G

Ausgabe i d = ggt ( x. g)

1-. if xly the

⇐ retune X

zndsee, retag EA Lymodx,

x )

E endifn

gg T ( 35,

126 )←

126 die 35g 126 noch 35

126 a

3.35+21=1ggt ( 3T

,126 ) = gg TL 21

,35 )

= GGT L 14,

21 ) = SST l 7,14 )U

35 = 1.21+11 7

21 = 1. 14 + I

Algorithms : EEAK , g)

Eingabe i X. g EIN,

× ⇐y

Ausgabe is.EE K mit

SGT legt = stttg± if xly the return C 1,07

± ehe± C s

'

, E) ← EEA ( gmudx ,x )

4,

so t'

- s'

lydivx );

t ← sl

SI vertun 6. f)

E enfif

Satz : Algorithms EEA ist korrekt

Berg :

y = lg dir x ) . × t ( ynwdx ) 4)

D= ggt ( x. g) = ggt ( ywwdx , × )

D= s'

ly und x ) + t '×

E) =) ymodx =

g- lgdivxt . X

⇒ D= s' ( g- lydivx ) x ) tt

'e

= ( Et - s'

lgdirxl ) × es'

G- m

= S = E

Den

Bsp .i X = 38 g = 126

× y s t

3512677-21::S.si/i:i7 14 1 0

-7.35+2.126=7

Maxima :

GGT . Beukmy : gcd ( X. g)gcdex ( 35

, 126 ) no

[ -7

, 2,7 ]

Chiwsischetkstesatzbeispühi gesucht × EIN mit

X und 3 e 2 oder XE EZIGX mod 4 = 3

k mod 7 = 1

Setze : Gegeben ls , - , lk EK,

mn ,-

, mz E NIKImit ggtlmi , mj ) = 1 fein itj .

Dann gibt es genau eine ganze Zahl

0 E × am = msn.im ,mit

× E Tlifnn , .- , X E Els Ins

Benuhmy von X :

schreibe µ ;= !

;

1 Ei e- k

es gilt GGTCMI , mi ) = 1

=) es gibt Zahlen si , ti EK mit

Siri ttimi = 1

beruhen

I = less µ ,tlzsz Mz 4 - tlezsrfegz

Sitze X = I wvdm

Unser Beispiel : k =3

l,

= 2, lz =3

, ls = 1

ms =3, mz = 4

, ms = 7

M - hnhzmg = 84

MI In =28

, ß ,= I. = 21

, Mg > IsakEEA no

1 = 1. µ ,

- 9ms ⇒ Ss = 1

1 = 1. Mz- 5mg =) Sz = 1

1 = 3. Mg - 5ms ⇒ Ss =3

⇒ 1 = 2.1.20 + 3.1.21 + 1.3.12

= 155

X = 155 noch 84 = 71

Maximen

÷ihese ( E 2. 3,1J,

E 3. 4,7J )→ 71