Fachinhalte differenziert erarbeiten

Mathematik gemeinsam erarbeiten und begreifbar machen

Kerstin Strobel

Klasse 7–10

Stochastik

Kerstin Strobel

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

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Stochastik: StatistikMathematik gemeinsam erarbeiten und begreifbar machen

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1

Hinweise zur Arbeit mit diesem Material

Mit diesem Material werden die Schüler angeregt, basierend auf den eigenen Erfahrun-gen die Grundlagen der Stochastik zu verstehen und anzuwenden. Die meisten Aufga-ben können in Einzelarbeit gelöst werden und sind daher in der „Du“-Form formuliert. Oft ist es aber sinnvoll, Experimente und Befragungen mit einem Partner oder in der Gruppe zu machen. Darauf deutet die „Wir“- Form hin.

Es kann in drei Niveaustufen gearbeitet werden. Auf den Arbeitsblättern steht oben links eines der drei Stufen-Symbole. Das Arbeitsblatt wird dann für diese Stufe empfohlen.

1: einfach (Hauptschul-Niveau)

2: mittel (Realschul-Niveau)

3: hoch (Gymnasial-Niveau)

In den grauen Kästchen finden die Schüler notwendige Informationen und Beispiele, dennoch sollte der Lehrer insbesondere der Schülergruppe, die Aufgaben mit einfachem Niveau bearbeiten, individuelle Unterstützung geben oder diese organisieren.

Die abschließenden Lösungen ermöglichen dem Schüler eine selbständige Kontrolle sei-ner Rechenwege, sofern diese allgemein gültig sind und keine individuellen Lösungen vorsehen.

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Statistik

Stichprobe

Oskar möchte wissen, wie viel Prozent der Radfahrer in seiner Stadt Schüler sind. Dafür muss er nicht alle Radfahrer zählen. Es reicht eine Stichprobe.

Er berechnet dann die relative Häufigkeit der Schüler. Dazu dividiert er die Anzahl der Schüler (absolute Häufigkeit) durch die Anzahl aller Radfahrer.

Relative Häufigkeit = Absolute Häufigkeit : Gesamtzahl aller Messungen

Beispiel: Oskar zählt zwischen 7.30 Uhr und 7.45 Uhr die vorbeifahrenden Radfahrer.

Ereignis Ergebnis AnzahlSchüler | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 26kein Schüler | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 24

Gesamt: 50 Radfahrer

Relative Häufigkeit für Schüler: hn = 2650 = 0,52 = 52 %

Auswertung: In einer Viertelstunde fuhren 50 Radfahrer vorbei. 52 % davon waren Schüler.

1 Wie viele Radfahrer sind Schüler?

Felix zählt eine Stunde später folgendes: 12 Schüler, 48 keine Schüler.

a) Berechne die relative Häufigkeit für Schüler als Radfahrer.

b) Was könnte man aus diesen beiden Stichproben ableiten?

c) Ist eine solche Stichprobe geeignet, um den Anteil der Rad fahrenden Schüler im Straßenverkehr zu bestimmen?

2 Anteil der Radfahrer in deiner Schule

Wie viel Prozent der Schüler deiner Schule kommen mit dem Rad?

a) Nehmt als Stichprobe eure Klasse. Zählt die „Radfahrer“ und „Nichtradfahrer“.

b) Bestimme die relative Häufigkeit für deine Klasse.

c) In anderen Klassen ist die relative Häufigkeit wahrscheinlich ähnlich. Wie viele Schüler der Schule kämen demnach mit dem Rad?

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Statistik

Stichprobe

Als Stichprobe bezeichnet man eine Teilmenge einer Gesamtmenge, die unter be-stimmten Gesichtspunkten ausgesucht wurde. Will man die Stichproben miteinander vergleichen, gibt man die relative Häufigkeit an.

Relative Häufigkeit = Absolute Häufigkeit : Gesamtzahl aller Messungen

Beispiel: Es wurde eine Stunde lang beobachtet, welche Fahrzeuge an der Schule vorbeifahren. Dazu wurde eine Strichliste geführt und die absolute und relative Häufigkeit bestimmt.

Ereignis Ergebnis Absolute Häufigkeit Relative HäufigkeitLKW | | | | | | | | | 11 18,3 %PWK | | | | | | | | | | | | | | | | | 21Motorrad | | | | | 6Fahrrad | | | | | | | | | | | | 15Bus | | 2Sonstiges | | | | 5

Gesamt: 60 Messungen Relative Häufigkeit für LKW: hn = 1160 = 0,18 = 18,3 %

1 Fahrzeug-Zählung

a) Berechne die relative Häufigkeit für die anderen Fahrzeuge.

b) Veranschauliche das Ergebnis dieser Stichprobe in einem Diagramm.

c) Lässt sich daraus ableiten, wie viele Fahrzeuge am Tag an der Schule vorbeifahren?

Zusatz

a) Führt eine solche Untersuchung an eurer Schule durch. Beobachtet 15 Minuten lang den Straßenverkehr. Bestimmt die jeweilige absolute und relative Häufigkeit.

b) Lässt sich aus eurer Stichprobe ableiten, wie viele Fahrzeuge in der Stunde an der Schule vorbeifahren?

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Statistik

Stichprobe

Als Stichprobe bezeichnet man eine Teilmenge einer Gesamtmenge, die unter bestimmten Gesichtspunkten ausgesucht wurde.

Beispiel: Das Robert Koch-Institut führte von 2003 bis 2006 erstmals die „Studie zur Gesundheit von Kindern und Jugendlichen in Deutschland“ (KiGGS) durch. 17 641 Kinder und Jugendliche im Alter von 11 – 17 Jahren wurden dafür nach ei-nem speziellen Zufallsverfahren ausgesucht.

Dies ist ein Ergebnis daraus:

Quelle: http://www.rki.de/DE/Content/Gesundheitsmonitoring/Studien/Kiggs/Kiggs_w1/kiggs_welle1_broschuere.html

Medienverhalten

Überprüfe, ob dieses Ergebnis auch heute, über 10 Jahre später, noch zutreffend ist. Als Stichprobe greifst du auf die Schüler deiner Klasse zurück.

a) Führt in der Klasse eine Befragung durch und ermittelt so die jeweiligen absoluten Häufigkeiten.

b) Berechne die jeweilige relative Häufigkeit in %.

c) Stelle das Ergebnis grafisch dar.

d) Werte die Grafik aus.

e) Beurteile, wie repräsentativ dein Ergebnis ist.

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Statistik

Fragebogen und Auswertung

Felix möchte wissen, welche Musik seine Mitschüler gerne hören. Er fertigt einen Fragebogen an und verteilt ihn in der Klasse. Jeder darf nur ein Kreuz machen.

FragebogenWelche Musik höst du am liebsten?

Pop/Rock Hip-Hop

Klassik Hard Rock

Elektronik Schlager

Er fasst die Ergebnisse in einer Strichliste (Urliste) zusammen und zählt die jeweilige Häufigkeit.

Musik Strichliste HäufigkeitPop/Rock | | | | | | | | | | | | | | | 18Elektronik | | | | | | | | 10Hard Rock | | | | | 6Klassik | | | 3Hip-Hop | | | | | | | | | | 12Schlager | | | | | 6

Abschließend veranschaulicht er das Ergebnis in einem Diagramm.

Rock/Pop Elektronik Hard Rock Klassik Hip-Hop Schlager0

5

10

15

20

1 Befragung von Mitschülern

Führt eine solche oder eine ähnliche Befragung innerhalb eurer Klasse durch.

a) Fertigt einen Fragebogen an.

b) Fasst die Ergebnisse in einer Strichliste zusammen und zählt die Häufigkeiten.

c) Veranschaulicht das Ergebnis in einem Diagramm. Wenn möglich, könnt ihr dies auch mit einem Tabellenkalkulationsprogramm machen.

d) Was lässt sich aus dem Diagramm ablesen?

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Statistik

Fragebogen und Auswertung

Mit einem Fragebogen kannst du Daten sammeln, die sich statistisch auswerten las-sen. Die Fragen sollten dabei so gestellt werden, dass die Antworten Erkenntnisse bringen.

Fragst du z. B. „Wie viel Taschengeld bekommst du im Monat?“, dann kannst du daraus z.B. den Durchschnitt berechnen. Das Ergebnis lässt sich aber nicht grafisch auswerten.

Gibst du den Befragten eine Auswahl an Möglichkeiten vor, können sie sich einord-nen und eine graphische Auswertung ist möglich.

Bekommst du im Monat kein Taschengeld? weniger als 5 €? 5 € bis 10 €? 11 € bis 15 €? mehr als 15 €?

keines weniger als 5 € 5 € –10 €

Monatliches Taschengeld

Höhe des Taschengelds

11 € –15 € mehr als 15 €0

5

10

15

20

25

An

zah

l d

er S

chü

ler

1 Befragung von Mitschülern

a) Erstellt einen Fragebogen mit einer Frage und mehreren Antwortmöglichkeiten.

b) Wertet den Fragebogen aus.

c) Veranschaulicht das Ergebnis. Wenn möglich, könnt ihr das auch mit einem Tabel-lenkalkulationsprogramm machen. Überlegt, welcher Diagrammtyp dazu am bes-ten geeignet ist (Kreisdiagramm, Balkendiagramm, Liniendiagramm).

d) Was lässt sich aus den Diagrammen ableiten?

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Statistik

Fragebogen und Auswertung

Ein Lehrer befragt seine Schüler zum selbstständigen, differenzierten Erarbeiten der Themen der Stochastik. Er stellt Aussagen und Antwortmöglichkeiten in einem Fragebogen zusammen. Jeder Schüler füllt den Fragebogen anonym aus. Die Ergeb-nisse fasst der Lehrer dann in einer Häufigkeitsliste zusammen. Er berechnet den jeweiligen Mittelwert m* und ordnet den Mittelwertsbereichen** Farben zu. So ist die Qualität der jeweiligen Aussage gut erkennbar. „Je heller die Farbe, umso besser.“

Beispiel: Schülerbefragung zur Unterrichtsqualität

stimmt nicht

stimmt überwie-

gend nichtstimmt

teilweise

stimmt überwie-

gendstimmt genau

Mittel-wert Urteil

Ich habe die Sachen gut verstanden 1 5 2 7 10 3,8

Ich konnte selbständig arbeiten. 2 3 12 4 4 3,2

Mit meiner Gruppe konnte ich gut arbeiten. 2 2 5 3 13 3,92

Ich möchte gern öfter so arbeiten. 1 4 1 19 4,52

Mich störte die Unruhe in der Klasse kaum. 2 3 4 6 10 3,76

Die Aufgaben fand ich interessant. 1 3 5 8 8 3,76

Meine Aufzeichnungen sind übersichtlich. 1 5 9 10 4,08

Der Lehrer unterstützt, wenn nötig. 5 6 14 4,36

* Jede Antwort erhält Punkte:stimmt nicht – 1 | stimmt überwiegend nicht – 2 | stimmt teilweise – 3 | stimmt überwiegend – 4 | stimmt genau – 5

** 1 < m < 1,8 – | 1,8 ≤ m < 2,6 – | 2,6 ≤ m < 3,4 – | 3,4 ≤ m < 4,2 – | m ≤ 4,2 –

1 Befragung der Klasse zu Qualitätsmerkmalen

a) Entwicklt einen Fragebogen wie oben oder stellt eigene Kriterien zusammen, die euch interessieren.

b) Verteilt den Fragebogen in eurer Klasse und lasst ihn von jedem Schüler anonym ausfüllen.

c) Wertet den Fragebogen aus. Wenn möglich, könnt ihr dafür auch ein Tabellenkal-kulationsprogramm verwenden.

d) Interpretiert das Ergebnis eurer Befragung.

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Statistik

Arithmetisches MittelMaterial:

Stoppuhr, Maßband

Oskar macht in den Ferien eine große Radtour. Er notiert jeden Tag die Kilometer, die er gefahren ist.

Wie viele Kilometer ist er im Durchschnitt täglich gefahren? Die Antwort darauf bildet den Mittelwert oder das arithmetische Mittel.

122 + 84 + 38 + 96 + 15 = 71 km

5

Wie lang war seine längste Strecke? Das ist das Maximum. 122 km

Wie lang war seine kürzeste Strecke? Das ist das Minimum. 15 km

Wie groß ist der Unterschied zwischen Maximum und Minimum? Das ist die Spannweite. 107 km

1 Zeit für einen 20-Meter-Sprint

Ermittle mit einer Stoppuhr die Zeit, die du für einen 20-Meter-Sprint benötigst. Führe mindestens 4 Messungen durch. Arbeite in der Gruppe.

a) Bereite eine Tabelle vor.

b) Messt auf dem Schulhof eine 20 Meter lange Strecke ab.

c) Sprinte diese Strecke und lass von einem Mitschüler die Zeit stoppen. Trage die Zeit in deine Tabelle ein. Tauscht dann die Rollen.

d) Wiederholt den Sprint noch 3-mal. Tragt die Zeiten in die Tabelle ein.

e) Wie lange brauchtest du im Durchschnitt für 20 Meter?

f) Gib dein Maximum, dein Minimum und die Spannweite an.

g) Könntest du voraussagen, wie lange du für 100 Meter benötigst?

2 Arithmetisches Mittel für Schulnoten

a) Berechne das arithmetische Mittel für deine Mathe-Noten.

b) Welche Endnote würde sich daraus auf dem Zeugnis ergeben?

Tag Wegstrecke1 122 km2 84 km3 38 km4 96 km5 15 km

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Statistik

Material: Thermometer

Arithmetisches Mittel

Wenn du wissen möchtest, wie hoch die Temperatur letzte Woche im Durchschnitt war, berechnest du den Mittelwert bzw. das arithmetische Mittel.

–5 + (–7) + (–1) + 3 + 1 + 8 + 3 = 0,29 °C

7Höchsttemperatur (Maximum): 8 °C

Niedrigste Temperatur (Minimum): – 7 °C

Unterschied zwischen Maximum und Minimum (Spannweite): 15 °C

1 Aktuelle Tagestemperaturen

a) Informiere dich per Internet über aktuelle Tagestemperaturen in Europa. Notiere mindestens 10 Orte und die jeweilige Temperatur in einer Tabelle.

b) Gib das Maximum, das Minimum und die Spannweite an.

c) Berechne aus den angegebenen Werten das arithmetische Mittel für Europa am heutigen Tag.

2 Temperaturmessung

Messe mit einem Thermometer 5 verschiedene Temperaturen in deiner Umgebung (Schulhof, Keller…)

– Wo ist es am kältesten?

– Wo ist es am wärmsten?

– Gib Maxima, Minima und Spannweite an.

– Berechne das arithmetische Mittel.

3 „Im Durchschnitt war der Teich 80 cm tief, trotzdem ist die Kuh ersoffen.“

Erkläre diesen Spruch.

Tag Temperatur1 – 5 °C2 – 7 °C3 –1 °C4 3 °C5 1 °C6 8 °C7 3 °C

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Statistik

Material: Maßband, Tabel-lenkalkulationsprogramm

Arithmetisches Mittel

Die KiGGS-Studie* des Robert Koch-Instituts Berlin hat u.a. die Größe von 14-jähri-gen Jugendlichen untersucht.

Durchschnittsgröße Jungen: 170,3 cm (95% zwischen 169,6 cm – 171,1 cm)

Durchschnittsgröße Mädchen: 163,7 cm (95% zwischen 163,1 cm – 164,3 cm)

Arithmetisches Mittel x =Summe aller Messwerte

Anzahl der Messungen

Maximalwert: höchster Messwert xmax

Minimalwert: kleinster Messwert xmin

Spannweite R = xmax– xmin

*Studie zur Gesundheit von Kindern und Jugendlichen in Deutschland

1 Wie „groß“ ist deine Klasse?

a) Bestimmt das arithmetische Mittel der Körpergrößen für die Jungs und Mädchen deiner Klasse.

b) Wie groß ist die Abweichung zur jeweiligen Durchschnittsgröße laut KiGGS-Studie?

c) Liegen auch hier 95% der Mädchen, bzw. Jungen im oben angegebenen Intervall?

d) Gib die Spannweite für Jungs und Mädchen an.

e) Stelle die Ergebnisse in einem Diagramm dar.

2 Schulnoten berechnen mit Tabellenkalkulation

Entwickle mit einem Tabellenkalkulationsprogramm eine Tabelle, mit der du sofort berechnen kannst, wie dein aktueller Notendurchschnitt für die einzelnen Unter-richtsfächer aussieht. Lass dir auch die aktuelle Gesamtnote anzeigen.

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Statistik

Zentralwert und Modalwert

Material: Maßband

Oskar hatte beim Kegeln dieses Ergebnis:

4 9 1 0 8 3 9 9 2 4 0

Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Das ist die 9.

Um den Zentralwert zu finden, müssen die Ergebnisse geordnet werden.

0 0 1 2 3 4 4 8 9 9 9

Ungerade Anzahl von Werten: Der Zentralwert liegt genau in der Mitte. Z = 4

0 0 1 2 3 4 4 8 9 9

Gerade Anzahl von Werten: Der Zentralwert ist der Mittelwert der beiden mittleren Zahlen. Z = (3 + 4) : 2 = 3,5

1 Kegeln

Beim nächsten Spiel hat Oskar dieses Ergebnis:

6 8 2 0 9 5 2 8 0 8

a) Bestimme den Modalwert.

b) Bestimme den Zentralwert.

c) Berechne den Mittelwert.

2 Weitsprung

a) Markiere dir eine Startlinie auf dem Boden und springe 5-mal aus dem Stand so weit du kannst. Miss jeweils mit einem Maßband, wie weit du gesprungen bist.

b) Bestimme den Modalwert und den Zentralwert.

c) Berechne das arithmetische Mittel.

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Statistik

Zentralwert und Modalwert

Für eine Reihe von Ergebnissen ist der Modalwert der Wert, der am häufigsten vorkommt. Der Zentralwert ist der Wert, der bei der geordneten Ergebnisliste die Mitte darstellt.

Beispiel Bogenschießen: Magdalena hat folgendes Ergebnis erzielt:

6 5 10 2 10 0 0 10 4 5 1

Modalwert: 10 Geordnete Liste:

0 0 1 2 4 5 5 6 10 10 10

Ungerade Anzahl an Werten: Zentralwert Z = 5

0 0 1 2 4 5 5 6 10 10

Gerade Anzahl an Werten: Zentralwert ist der Mittelwert der beiden mittleren Zahlen Z = (4 + 5) : 2 = 4,5

1 Luftgewehrschießen

Hier siehst du eine Zielscheibe nach 10 Schuss. In der Mitte ist die 11. Liegt der Einschuss auf der Linie, zählt die höhere Zahl.

a) Bestimme den Modalwert.

b) Bestimme den Zentralwert.

c) Berechne den Mittelwert.

2 Augenmaß

Teste, wie gut du eine Strecke von 10 cm mit bloßem Auge abschätzen kannst.

a) Zeichne ohne Abmessen (z.B. mithilfe einer Buchkante) 8 Strecken kreuz und quer auf das Pa-pier. Jede Strecke soll geschätzt 10 cm lang sein.

b) Miss die Strecken anschließend und trage diese in eine Liste wie oben ein.

c) Bestimme den Modalwert, den Zentralwert und das arithmetische Mittel.

9

9

1

8

2

7

3

6

4

5

5

4

6

3

7

2

8

1

9

8 7 6 5 47 38 29 11 2 3 4 5 6

Material: Bruchstreifen

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Statistik

Zentralwert und Modalwert

Für eine Reihe von Ergebnissen ist der Modalwert der Wert, der am häufigsten vor-kommt.

Der Zentralwert ist der Wert, der bei der geordneten Ergebnisliste die Mitte darstellt.

Beispiel: Wie viel Gramm wiegt ein Apfel? Es werden 11 Äpfel einzeln gewogen.

Ergebnisliste ungeordnet:

232 g 225 g 250 g 274 g 268 g 265 g 234 g 210 g 268 g 245 g 279 g

Modalwert: 268 g Geordnet:

210 g 225 g 232 g 234 g 245 g 250 g 265 g 268 g 268 g 274 g 279 g

Zentralwert bei ungerader Anzahl: Zahl in der Mitte Z = 250 g

210 g 225 g 232 g 234 g 245 g 250 g 265 g 268 g 268 g 274 g

Zentralwert bei gerader Anzahl: Mittelwert der beiden mittleren Zahlen Z = 247,5 g

1 Körpergröße

Bestimmt den Modalwert und den Zentralwert für die Körpergröße der Jungen (Mäd-chen) eurer Klasse.

2 Mathearbeit

Für eine Mathearbeit ergibt sich dieser Notenspiegel:

Note 1 2 3 4 5 6Anzahl 4 6 11 4 2 1

a) Bestimme den Modalwert und den Zentralwert.

b) Berechne das Arithmetische Mittel.

c) Stelle das Ergebnis in einem Balkendiagramm dar.

d) Für eine andere Mathearbeit ergab sich das Resul-tat aus dem Balkendiagramm rechts.

– Vergleiche das Resultat beider Arbeiten.

– Worin könnte die Ursache für die Unterschiede liegen?

1 2 3 4 5 6

Anzahl

Notenspiegel

Zensur

0123456789

zu d):

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Statistik

Varianz und Standardabweichung

Oskar misst die Zeit, wie lange er für den Schulweg braucht. Um wie viel Minuten variieren die Zeiten?

Tag 1. Tag 2. Tag 3. Tag 4. TagZeit 8 Minuten 4 Minuten 9 Minuten 11 Minuten

Im Durchschnitt braucht er 8 Minuten. x =8 + 4 + 9 + 11

= 8 Minuten4

Abweichung vom Mittelwert: Die Zeiten weichen an 3 Tagen vom Mittelwert ab.

Tag 1. Tag 2. Tag 3. Tag 4. TagAbweichung 0 Minuten 4 Minuten 1 Minute 3 Minuten

Zur Berechnung der Varianz brauchst du das Quadrat der Abweichungen vom Mit-telwert.

Tag 1. Tag 2. Tag 3. Tag 4. TagAbweichung2 0 Minuten 16 Minuten 1 Minute 9 Minuten

Die Varianz ist der Mittelwert der quadratischen Abweichungen: s2 =

0 + 16 + 1 + 9= 6,5

4

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz: s = √6,5 = 2,55 Minuten

Im Durchschnitt braucht Oskar 8 Minuten. Die Zeit variiert aber durchschnittlich um 2,55 Minuten.

1 Basketballkörbe

Oskar wirft täglich 20-mal einen Ball auf den Basketballkorb. Er notiert eine Woche lang die Treffer.

Tag Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag SonntagTreffer 5 7 3 7 1 8 4

a) Wie oft trifft er im Durchschnitt am Tag?

b) Wie groß ist an jedem Tag die Abweichung vom Durchschnitt?

c) Bilde das Quadrat jeder dieser Abweichungen. Berechne die Varianz und Standardabweichung.

d) Für Felix errechnet sich eine Abweichung von 1,2 Treffern. Lässt sich daraus ableiten, dass Felix A: ein schlechterer Torschütze ist? oder B: ein ausgeglichener Torschütze ist?

Zusatz Bestimme für dich die Standardabweichung bei 7-mal 20 Würfen auf einen Basketball-korb.

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Statistik

Material: Weitsprunganlage

Varianz und Standardabweichung

Oskar springt im Durchschnitt 3,50 m weit. Obwohl man als Junge erst ab 4,36 Metern eine 1 in dieser Disziplin erhält, hat er eine 1 bekommen.

Sein bester Sprung hatte eine große Abweichung vom Mittelwert.

Die Standardabweichung gibt die mittlere Streuung um den Mittelwert an. Sie kann über die sogenannte Varianz berechnet werden.

Sprung Weite Mittelwert Abweichung zum Mittelwert Quadrat d. Abweichung1 3,40 m

3,5 m3,40 m – 3,5 m = (– 0,10 m) 0,01 m

2 2,74 m 2,74 m – 3,5 m = (– 0,76 m) 0,58 m3 4,35 m 4,36 m – 3,5 m = 0,86 m 0,74 m

Mittelwert x =3,4 + 2,74 + 4,36

= 3,50 Meter3

Die Varianz ist der Mittelwert der quadratischen Abweichungen.

Varianz s2 =0,01 + 0,58 + 0,74

= 0,44 Meter3

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. Standardabweichung s = √0,44 Meter = 0,66 Meter

Im Durchschnitt streut Oskars Sprungweite um 0,66 Meter um den Mittelwert.

1 Weitsprung

Auch Leoni hatte drei Versuche beim Weitsprung und bekam für ihren weitesten Sprung eine 1.

Ihr Ergebnis: 1. Sprung: übergetreten

2. Sprung: 3,52 m

3. Sprung: 3,64 m

a) Bestimme die Standardabweichung. Berechne dazu den Mittelwert, die jeweilige Abweichung zum Mittelwert, das Quadrat dieser Abweichung und die Varianz.

b) Felix springt im Durchschnitt auch 3,50 Meter weit. Seine Standardabweichung be-trägt 0,2 Meter. Beurteile seine Chance auf eine 1.

Zusatz

Bestimme für dich die Standardabweichung bei 3 Sprüngen.

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Statistik

Material: Kartoffeln, Waage

Varianz und Standardabweichung

Oft ist es sinnvoll, neben dem Mittelwert auch anzugeben, wie weit einzelne Werte im Durchschnitt davon abweichen können. Die Standardabweichung gibt die mittle-re Streuung um den Mittelwert an. Sie kann über die Varianz berechnet werden.

Die Varianz s2 ist der Mittelwert der quadratischen Abweichungen. s2 = a2

Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz. s = √s2

Beispiel: „Im Durch-schnitt ist der Teich 80 cm tief. Trotzdem ist die Kuh ersoffen.“

Der Teich ist an der tiefs-ten Stelle 1,80 m tief, an der flachsten Stelle 20 cm. Die Spannweite ist also 1,60 m. Wie groß ist aber die Spannweite im Durchschnitt? Dafür wur-den 40 Tiefen gemessen.

Tiefe in cm

absolute Häufigkeit

Abweichung a zum Mittelwert in cm

Quadrat der Ab-weichung in cm2

20 3 60 3 60040 4 40 1 60060 7 20 40080 10 0 0

100 11 – 20 400120 4 – 40 1 600180 1 –100 10 000

–180–160–140–120–100–80–60–40–20

0Teichtiefe

Tief

e

Arithmetisches Mittel: = 80 cm

Durchschnitt der quadratischen Abweichung: Varianz s2 = 1 020 cm2

Standardabweichung: s ≈ 32 cm2

Die einzelnen Tiefen weichen durchschnittlich um 32 cm vom arithmetischen Mittel ab. Die durchschnittliche Spannweite ist demnach 48 cm bis 1,12 m.

1 Später wurde noch eine besonders tiefe Stelle entdeckt. Sie war 2,50 Meter tief. Wie be-einflusst diese eine Messung die Standardabweichung? Schätze erst und berechne dann.

Zusatz Bestimme die Standardabweichung für die Masse von Kartoffeln (o.ä.) innerhalb ei-

nes Netzes.

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Lösungen Statistik

Stichprobe Seite 2

1 a) hn = 1260 = 20 %.

b) Eine Stunde später fuhren anteilig weniger als halb so viele Schüler mit dem Rad. Das könnte beispielsweise daran liegen, dass viele bereits in der Schule waren.

c) Mit dieser Stichprobe lässt sich gut zeigen, wie hoch der Anteil der Schüler unter den Radfahrern im untersuchten Zeitraum ist, nicht aber, wie hoch der Anteil ge-nerell ist. Dazu müssten mehrere Messungen über den Tag verteilt durchgeführt werden.

Stichprobe Seite 3

1 a)Ereignis

Relative Häufigkeit

b)

LKW 18,3 %

PKW 35 %

Motorrad 10 %

Fahrrad 25 %

Bus 3,3 %

sonstiges 8,3 %

c) Daraus lässt sich nicht ableiten, wie viele Fahrzeuge am Tag vorbei fahren, da dies variiert. Es lässt sich aber ableiten, wie viele Fahrzeuge um diese Tageszeit vorbei fah-ren.

Zentralwert und Modalwert Seite 11

1 0 0 2 2 5 6 8 8 8 9

a) Modalwert: 8 b) Zentralwert: 5,5 c) Mittelwert: 4,8

Zentralwert und Modalwert Seite 12

1 0 1 4 6 6 7 8 8 8 10

a) Modalwert: 8 b) Zentralwert: 6,5 c) Mittelwert: 5,8

SonstigesBusFahrradMotorradPKWLKW0 %

5 %

10 %

15 %

20 %

25 %

30 %

35 %

40 %Fahrzeuge

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Lösungen Statistik

Zentralwert und Modalwert Seite 13

2 Teilnehmer: 28

Geordnete Liste: 1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,6

a) Modalwert: 3

Zentralwert: 3

b) Arithmetisches Mittel: 2,89

c) (s. rechts)

d) Die andere Mathearbeit zeigt eine untypische Notenvertei-lung (abweichend von der Normalverteilung). Eine mög-liche Ursache könnte sein, dass die Aufgaben für diese Schülergruppe unangemes-sen anspruchsvoll waren oder dass die Schüler nicht gut vorbereitet waren.

Varianz und Standardabweichung Seite 14

1 a) Durchschnittliche Treffer: 5

b) und c)

Tag Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag SonntagTreffer 5 7 3 7 1 8 4Abweichung 0 2 2 2 4 3 1Abweichung2 0 4 4 4 16 9 1

s2 = 0 + 4 + 4 + 4 + 16 + 9 + 17 = 5,43

s = √5,43 = 2,33 Treffer

d) B: Felix Treffer variieren durchschnittlich um 1,2 Treffer, seine Trefferunterschiede sind also kleiner. Ob er insgesamt mehr oder weniger Körbe wirft, lässt sich daraus nicht ableiten.

Varianz und Standardabweichung Seite 15

1 a)

Sprung Weite Mittelwert Abweichung zum Mittelwert Quadrat d. Abweichung1 0 m

2,39 m0 m – 2,39 m = (– 2,39 m) 5,71

2 3,52 m 3,52 m – 2,39 m = 1,13 m 1,283 3,64 m 3,64 m – 2,39 m = 1,25 m 1,56

s2 = 5,71 + 1,28 + 1,563 = 2,85 s = √2,85 = 1,69 m

Im Durchschnitt streut Leonis Sprungweite um 1,69 Meter um den Mittelwert.

b) Felix Chance auf eine 1 ist gering. Seine Maximalsprünge liegen im Durchschnitt bei 3,7 m, das ist weit unter dem Wert, den er für eine 1 erreichen muss.

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12Zensurenverteilung

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Lösungen Statistik

Varianz und Standardabweichung Seite 16

1 Tiefe in cm

Absolute Häufigkeit

Abweichung a zum Mittelwert in cm

Quadrat der Abweichung in

cm2

20 3 64 4 096

40 4 44 1 936

60 7 24 576

80 10 4 16

100 11 – 16 576

120 4 – 36 1 936

180 1 – 96 10 816250 1 – 166 27 556

Arithmetisches Mittel: = 84 cm s2 = 1 683 cm2

s = 41 cm

Die einzelnen Tiefen weichen durchschnittlich um 41 cm vom arithmetischen Mittel ab. Die durchschnittliche Spannweite ist demnach 43 cm bis 1,25 m.

Die Messung der besonders großen Tiefe führte zu einer größeren Standardabweichung und Spannweite.

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Bildnachweise

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Stochastik

Kerstin Strobel arbeitete fast drei Jahrzehnte als Lehrerin. Inzwischen ist sie ausschließlich freiberuflich als Beraterin, Autorin und Dozentin tätig und engagiert sich für die Entwicklung des mathematisch-naturwissen-schaftlichen Unterrichts.