DOWNLOAD - Startseite – Arbeitsblätter, … „Ich habe mir von den Kindern einer anderen Klasse auch eine Skizze gemacht.“ a)Beschreibe die Unterschiede. Benutze dabei die Wörter

Gundula Christensen / Hans-Walter König

Problemlösen im MathematikunterrichtSachbezogene Aufgaben aus dem Alltag

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Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Nele und Niklas sammeln Kastanien. Sie betrachten ihre Sammlung und vergleichen.

a) Überlege dir Rechengeschichten zum Kastaniensammeln. Unterhalte dich mit deinem Nachbarn darüber.

b) Zeichne ein Bild zum Kastaniensammeln.

c) Schreibe in dein Bild die dazugehörigen Zahlen.

d) Überlege dir Rechenaufgaben zu deinem Bild.

Nele und Niklas haben zusammen genau 10 Kastanien gefunden. Dabei hat Niklas 2 Kastanien mehr als Nele.

a) Wie viele Kastanien hat Niklas? Wie viele Kastanien hat Nele? Überlege, wie du diese Aufgabe lösen kannst. Vielleicht hilft dir eine Zeichnung? Du kannst auch andere Gegenständen als Ersatz für Kastanien nehmen.

b) Besprich die Lösung mit deinem Nachbarn.

c) Erkläre deinen Lösungsweg.

Laura hat auch Kastanien gesammelt. Sie hat halb so viele wie Niklas. Die drei Kinder legen ihre Kastanien zusammen.

a) Wie viele Kastanien haben sie jetzt?

Die drei Kinder gehen eine ganze Woche Kastanien sammeln. Sie schreiben ihre Ergebnisse auf. Leider sind manche Zahlen nicht mehr zu lesen. Kannst du helfen, die richtigen Zahlen zu finden?

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Kastanien sammeln

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Eingekleidete Aufgaben: Invarianz von Mengen – authentische Situationen mit individuellen LösungenEigene Zahlen verwenden und zeichnerisch darstellen / Zahl - Mengen- Zuordnungen / Vergleiche anstellen / Begriffe wiemehr – weniger – gleich verwenden / Zahlverknüpfungen herstellen und mit der Situation verbinden / Ergebnisse und Zahlentabellarisch darstellen / Tabellen interpretieren

NeleMontag

32

1

14

7

4

38

2

17 9

Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag

Niklas

LauraZusammen

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3

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Bildungsst._S.01-49.qxd 24.09.2009 13:34 Uhr Seite 15 (Schwarz/Process Black Auszug)

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Die vier Kinder sammeln Muscheln für die Bastelstunde.- Laura hat die meisten Muscheln gesammelt.- Nele hat weniger Muscheln als Noah gefunden.- Johan hat mehr Muscheln als Noah.

a) Wer hat am meisten – wer hat am wenigsten? Trage die Nummern der Kinder in der richtigen Reihenfolge ein:

b) Wie viele Muscheln könnten die Kinder gesammelt haben. Trage Zahlen ein.

c) Schreibe zu den Unterschieden zwischen den Kindern immer eine Rechenaufgabe.

Bei einem Ausflug an den Strand sammeln die Kinder große Muscheln.- Noah hat 9 Muscheln gesammelt.- Nele hat 3 weniger als Noah gefunden.- Johan bringt 1 Muschel weniger als Nele.- Laura hat 2 Muscheln mehr als Nele.

a) Wie viele Muscheln haben die Kinder gefunden? Schreibe die Rechenaufgaben.

b) Geht das für jedes Kind?

Muscheln am Strand

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Eingekleidete Aufgaben: Verstehen und Bearbeiten von VergleichssituationenEigene Zahlen verwenden und zeichnerisch darstellen / Zahl - Mengen- Zuordnungen / Vergleiche anstellen – Begriffe wiemehr – weniger – gleich verwenden / Zahlverknüpfungen herstellen und mit der Situation verbinden / Ergebnisse und Zahlentabellarisch darstellen

Laura Nele Johan Noah

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2

1 2 3 4


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Felix und Johan gehen mit ihren Vätern gern zum Angeln. Sie vergleichen dabei ihregeangelten Fische.

Beide Jungen denken dabei an Zahlen.

a) Warum denken die Jungen an diese Zahlen? – Hast du eine Erklärung?

b) Schreibe Aufgaben, die zu dieser Angelgeschichte passen. Benutze dabei die Zahlen der Fische.

Maike hat auch mit geangelt. Sie hat 2 Fische mehr als Nils. Sie vergleicht ihr Ergebnis mit den Jungen. An welche Zahlen würde sie dabei denken? Erkläre diese Zahlen.

a) Schreibe Rechenaufgaben, die ihre Fische mit denen von Nils und Johann vergleichen.

b) Zeichne (oder baue) die Mengen der Fische als Turm und erkläre an den Türmen das Wort ‚Unterschied’.

Petri Heil

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Eingekleidete Aufgaben: Verstehen und Bearbeiten von VergleichssituationenMengenvergleiche unter Verwendung verschiedener Formulierungen (mehr – weniger; erfolgreicher als; weniger Glück ge-habt als …) / Mengen grafisch oder konkret darstellen und daran Unterschiede aufzeigen / Zahlen unterschiedlich interpre-tieren / Zahlverknüpfungen herstellen und mit der Situation verbinden

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2

8 2


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8 Kinder einer Klasse laufen in derTurnhalle.

Lehrerin: „Stellt euch so auf, dass im Kreis 2 Kinder mehr stehen als außer-halb des Kreises.“

a) Gibt es mehrere Lösungen?

b) Zeichne dein Ergebnis auf.

c) Welche Zahlen kannst du in deine Zeichnung schreiben?

d) Was bedeuten diese Zahlen?

e) Was hat deine Zeichnung mit einer Rechenaufgabe zu tun?

Lehrerin: „Ich habe mir von den Kinderneiner anderen Klasse auch eine Skizzegemacht.“

a) Beschreibe die Unterschiede. Benutze dabei die Wörter mehr – weniger.

b) Können sich diese Kinder genauso aufstellen wie in Aufgabe 1?Erkläre es über eine Skizze.

c) Kann es sein, dass gleich viele Kinder außerhalb wie innerhalb des Kreises stehen? – Begründe.

Beispiel:

Niklas hat eine Tabelle geschrieben:

Erkläre diese Tabelle.

Niklas überlegt, welche Zahlen fehlen.Tipp: Es kann auch zwei Lösungen geben.

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Turnhalle

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Eingekleidete Aufgaben: Verstehen und Bearbeiten von Vergleichssituationen, Invarianz von Mengen, funktionaleBeziehungenEigene Zahlen verwenden und zeichnerisch darstellen / Zerlegung einer Menge nach verschiedenen Kriterien / Verände-rungen verbalisieren / Vergleiche anstellen – Begriffe wie ‚mehr – weniger – gleich’ / ‚größer als – kleiner als’ / ‚je mehr –desto’ verwenden / Verwendung von Repräsentanten / Eigene Lösungen finden und begründen

Unterschied

Unterschied

7 Kinder 2 Kinder

5 Kinder 1

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5

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2

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3

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3

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4

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Erzähle zu diesem Bild die Rechengeschichte. Benutze dafür die Zahlen 2, 4und 5.Schreibe die Rechenaufgaben auf und erkläre an ihnen die Handlung.

Erzähle eine ähnliche Rechengeschichte mit den Zahlen 3, 5 und 10.Schreibe die Rechenaufgaben auf und erkläre an ihnen die Handlung.

Zeichne und erzähle ähnliche Rechengeschichten zu folgenden Bildern:Schreibe die Rechenaufgaben auf und erkläre an ihnen die Handlung.

Erfinde eigene Rechengeschichten. Mache eine Skizze. Lass deinen Nachbarn die Rechengeschichten erzählen und die Aufgabe finden.

Bushaltestelle

Sachrechenaufgaben: Aufgabe mit zumindest zwei verschiedenen RechenoperationenOrdnen von 2 Handlungen zu einer Abfolge (Reihenbildung) / Notation einer Veränderung von Mengen (Eine Situation alsZahlenverknüpfung darstellen) / Interpretation von Rechenaufgaben (Zahlen und ihre Verknüpfungen in der Realität wieder-erkennen) / Eigene Plus-Minus-Situationen in der Wirklichkeit erkennen und mathematisch darstellen

Sandkiste Konzert

Schwimmbad Geld

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2

3


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Nele, Paula und Demir spielen mit ihren Murmeln.

a) Wie viele Murmeln hat Paula?Schreibe dazu eine Rechenaufgabe.

b) Erkläre, was die Zahlen in deiner Rechenaufgabe bedeuten.

c) Wie viele Murmeln haben Nele und Paula zusammen?

Simon hat gleich 4 Rechenaufgaben aufgeschrieben:

a) Passen alle Aufgaben zu den Murmeln von Nele und Paula?

b) Kann man einen Vergleich als eine Plus- oder auch als eine Minusaufgabe schreiben? Begründe.

Etwas später – nach einem weiteren Spiel:

a) Wie viele Murmeln hat Nele jetzt?

b) Wer hat Murmeln gewonnen, wer hat welche verloren?Wie viele?

c) Schreibe Rechenaufgaben über das Gewinnen und über das Verlieren.

d) Was würde Demir sagen, wenn er das Wort ‚mehr’ verwenden würde?

Demir selbst denkt: „Wenn ich Paula 3 Murmeln von mir abgebe, dann haben wiralle gleich viele Murmeln.“

a) Wie viele Murmeln hat Demir jetzt?

Murmelspiele

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Eingekleidete Aufgaben: Verstehen und Bearbeiten von Vergleichssituationen, Invarianz von Mengen, funktionaleBeziehungenEigene Zahlen verwenden und zeichnerisch darstellen / Zerlegung einer Menge nach verschiedenen Kriterien, Veränderun-gen erklären / Mengen über Vergleiche ermitteln und miteinander in Beziehung bringen / Verhältnis von Mengen zueinanderunterschiedlich verbalisieren / Zahlverknüpfungen herstellen und mit der Situation verbinden / Vorgehensweisen erläuternund begründen

5 + 4 = 9

4 + 5 = 9 9 + 4 = 13

9 - 4 = 5

4

3

2

1

Paula hat jetzt 3 Murmeln weniger

als Nele.

Paula hat 5 Murmeln mehr

als Nele.


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21

Frau Moll ist mit 22 Kindern in der Turnhalle. Sie will heute Übungen mit dem Ball machen.

Die Kinder stellen sich in Dreiergruppen auf. Jede Gruppe bekommt einen Ball.

a) Wie viele Bälle muss Frau Moll mitnehmen?

b) Gibt es verschiedene Lösungen für diese Aufgabe?

c) Hilf Frau Moll bei der Verteilung der Bälle.

Später sollen die Kinder Vierergruppen bilden.

a) Brauchen die Kinder jetzt mehr oder weniger Bälle?Wie groß ist der Unterschied?

b) Erkläre, warum jetzt eine andere Anzahl von Bällen gebraucht wird.

c) Mache Frau Moll verschiedene Vorschläge, wie sie die Bälle verteilen kann.

d) Jedes Kind wirft in seiner Gruppe bei jeder Übung den Ball dreimal. Wie oft wird der Ball in den Gruppen geworfen? – Vergleiche die Anzahl.Gibt es Unterschiede? Warum?

Schreibe Rechenaufgaben zu den Ballspielen auf. Erkläre die Zahlen und Zeichen, die du verwendest.

Am Ende der Stunde verteilt Frau Moll weitere Bälle, sodass 8 Bälle im Spiel sind.

a) Die Kinder sollen möglichst viele gleich große Gruppen um jeden Ball bilden. Wie können die Kinder das regeln? Gibt es hier wieder mehrere Lösungen?

Bei welchen Anzahlen von Kindern in der Klasse könnte Frau Moll immer gleich großeGruppen bilden? – Begründe.

Kennst du andere Situationen, in denen ein gleiches Problem auftreten kann? Beschreibe und begründe.

Ballspiele

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Eingekleidete Aufgaben: Invarianz von Mengen - authentische Situationen mit individuellen Lösungen, funktionaleBeziehungenZerlegung einer Menge nach verschiedenen Kriterien / Veränderungen verbalisieren / Vergleiche anstellen – Begriffe wie‚mehr – weniger – gleich’/ ‚größer als – kleiner als’ / ‚je mehr – desto’ verwenden / Zahlverknüpfungen herstellen und mit derSituation verbinden / eigene Lösungen finden und begründen

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innen außen Unterschied

5 4 1

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Seite 15 / Kastanien sammeln

1. freie Aufgaben – alle von Kindern genannten Zahlen können angenommen, dargestellt und bearbeitet werden 2. Niklas (6) und Nele (4) – wichtig ist die Darstellung des Lösungsweges3. Laura (3) – zusammen 13 Kastanien

4.

Anmerkung: Der Zahlenraum kann bis 20 (oder mehr) erweitert werden.____________________________________________________________________________________________________

Seite 16 / Muscheln am Strand

1. freie Aufgaben - alle von Kindern genannten Zahlen können angenommen, dargestellt und bearbeitet werden.

2.

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Seite 17 / Petri Heil

1. Nils: 8 Fische; Johann: 2 Fische (mehr, weniger, Unterschied) – alle Aufgaben mit 2, 5, 7, 82. Maike (9) – Unterschiede zu den anderen Anzahlen – alle Operationen, die diese Unterschiede ‚berechnen’ –

Erläuterungen dieser Zahlen mit den Begriffen mehr, weniger, Unterschied, ‚um 2 Fische erfolgreicher’ usw.____________________________________________________________________________________________________

Seite 18 / Turnhalle

1. 5 und 3 Kinder; alle Aufgaben mit den Zahlen 5, 3, 82. insgesamt 1 Kind mehr, 2 Kinder weniger im Kreis, 3 Kinder mehr außerhalb des Kreises – zwei Kinder mehr innerhalb

des Kreises geht nicht – gleich viele außerhalb und innerhalb geht nicht.

3. 4.

4. Erklärungen suchen, warum manche Aufgaben zwei und andere nur eine Möglichkeit haben.

____________________________________________________________________________________________________

Seite 19 / Bushaltestelle

1. Alle Zahlen, die Gruppen beschreiben, sind erlaubt. z.B.: 2 Kinder steigen aus, 2 Kinder steigen ein (evtl. auch 3 Personen); 5 Kinder sind im Bus, 4 Kinder (5 Personen) sind außerhalb des Busses; vorher waren 7 Kinder im Bus; der Bus fährt mit 7 Kindern (8 Personen) weiter; Rechenaufgaben zu diesen Zahlen.

2. 10 Kinder im Bus, 3 Kinder steigen ein/aus; 5 Kinder steigen ein/aus.3. Situationen beschreiben, in denen sich Mengen durch Hinzufügen und Wegnehmen verändern. Z.B.: Personen kommen

und gehen auf dem Spielplatz, im Schwimmbad, hören einem Straßenmusiker zu, haben Geld4. Zu eigenen Aufgaben Sachsituationen finden – Sachsituationen beschreiben und in Aufgaben umsetzen.____________________________________________________________________________________________________

Lösungshinweise zu den einzelnen Aufgaben

H.-W. König, G. Christensen: Bildungsstandards im Mathematikunterricht© Persen Verlag GmbH, Buxtehude

Montag Dienstag Mittwoch Donnertag Freitag

Nele 3 1 4 4 z.B. 3

Niklas 2 4 1 2 3

Laura 1 2 3 1 3

Zusammen 6 7 8 7 9

Laura Nele Johan Noah

6 + 2 = 8 9 – 3 = 6 6 – 1 = 5 9

innen außen Unterschied

7 5 oder 9 2

2 oder 8 5 3

7 2 5

5 1 4


Seite 1 / Kastanien sammeln

Seite 2 / Muscheln am Strand

Seite 3 / Petri Heil

Seite 4 / Turnhalle

Seite 5 / Bushaltestelle

��G. Christensen, H.-W. König: Problemlösen im Mathematikunterricht© Persen Verlag GmbH, Buxtehude

8

80

Seite 20 / Murmelspiele

1. Nele (4), Paula (9), Unterschied (5)2. 9 + 4 = 13 passt nicht zu der Aufgabe – alle anderen drücken Unterschiede aus.3. Nele (8), Paula (5) – Nele hat 4 gewonnen, Paula hat 4 verloren.4. Demir (11)____________________________________________________________________________________________________

Seite 21 / Ballspiele

1. 22 Kinder = mindestens 8 Gruppen – verschieden Möglichkeiten durch Zusammenstellen von Zweiergruppen oder einer Vierergruppe.

2. mindestens 6 Gruppen – verschiedene Zusammenstellungen möglich – Variation: Frau Moll hat nur 5 (4) Bälle mitgenommen.3. alle Schreibweisen, die eine Zerlegung von 22 in verschiedenen Gruppen darstellen.4. Aufteilung der 22 Kinder in 8 Gruppen (z. B.: 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 3 – 3 – 4 (auch andere Lösungen sind möglich,

so müssen nicht alle Bälle eingesetzt werden).5. Zahlen zu den Einmaleinsreihen (sinnvoll ab 3)6. z. B. Geburtstagsfeier, wenn Anzahl nicht gleich groß (’gerecht’) verteilt werden können.____________________________________________________________________________________________________

Seite 22 / Geldvergleiche

1. a: 16 – b: 29–15=14 (Noah hat 14 Cent in der Tasche.) – c: 45+29=74, 29–14=142. a: Nele fehlen 10 Cent – Noah 6 Cent – b: 74 – c: 163. a: Nele 3 Münzen (20,20,5) – Noah 4 Münzen (20,5,2,2) – Nele (20,20,2,2,1) und Noah (10,10,5,2,2) jeder 5 Münzen4. Erklärung über ‚Konstanz der Differenz’ bei gleichseitigen Veränderungen, Anzahl der Münzen analog zu oben5. Jeder hat 47 Cent – Erklärung, warum Noah der Gewinner sein muss. – Nele benötigt 55 Cent für ihren Wunsch, das

Teilen des Geldes macht für sie keinen Sinn.____________________________________________________________________________________________________

Seite 24 / Klassenausflug zum Turm

1. a: die anderen Kinder sind im Fahrstuhl, insgesamt sind es 8 Kinder im Fahrstuhl2. a: 28:4=7: jeweils immer 4 Schüler im Fahrstuhl, 28:7=4: jeweils immer 7 Schüler im Fahrstuhl oder

28:2=14: jeweils immer 2 Schüler im Fahrstuhl b: z. B. zwei Lehrer: Ein Lehrer, der die Kinder auf dem Turm und ein Lehrer, der die Kinder im Fahrstuhl beaufsichtigt.

3. a: mindestens viermal, 28:7=4 – b: es sind zweimal 7 Personen und zweimal 8 Personen4. 23 Kinder müssen nach unten gebracht werden – es gibt mehrere Möglichkeiten z.B.: insgesamt mit der Lehrerin fährt der Fahr-

stuhl dreimal: Wenn zweimal jeweils 8 Kinder im Fahrstuhl mitfahren und einmal 7 Kinder + die Lehrerin im Fahrstuhl fahren.5. Hier soll anhand von Zeichnungen begründet werden. Z. B. wenn die Lehrerin jedes Mal mit im Fahrstuhl fährt, dann können

die Kinder nicht durchgängig beaufsichtigt werden.____________________________________________________________________________________________________

Seite 25 / Wer hat mehr Geld?

1. Sarah 3 E – Nele 6 E – Emma 12 E – Laura 24 E2. Emma hat halb so viel Geld wie Laura usw.3. Laura 15 E, Nele 11 E – Nele hat jetzt 8 Emehr als Sarah. Emma hat 3 E weniger als Laura. Laura hat 12 Emehr als Sarah.4. Jedes Mädchen hat 15 E. Sarah (5,5,5), Nele (10,2,2,1), Emma (5,5,2,2,1), Laura (10,1,1,1,1,1)____________________________________________________________________________________________________

Seite 26 / Spargeld

1. Lea (11 E) – Alev (7 E) – Lukas (10 E)2. Lea (2 Monate) – Alev (2 Monate) – Lukas (1 Monat)3. eigene Lösungen – es können auch Vorgaben gemacht werden.4. 26 E lassen sich nicht gerecht an drei Personen verteilen – Kinder sollen Lösungsvorschläge machen und begründen.____________________________________________________________________________________________________

Seite 27 / Ballwerfen

2. Jedes Mädchen bekommt nach 5 Würfen den Ball zurück.3. Nach 15 Würfen.4. Bei den geraden Anzahlen von Mitspielerinnen gibt es keine einfachen Regeln.5. Jede eigene Interpretation der Zahlen wird anerkannt. wichtig ist, dass ein System der Reihenfolge gefunden und dann syste-

matisch eingehalten wird. (Z. B. beginnt Felix mit der Zahl 5 und kommt dann auf die Zahlen 16,11,22), Simon (12,11,18) usw. – Gefragt werden kann auch, welcher Junge die meisten Punkte hat, ob die 5 als Anfangszahl dann mitgezählt werden darf, ob sich die Reihenfolge der Punktezählung der Jungen ändert o.ä. Die Wurfrichtung muss nicht vorgegeben werden. Die Kinder können selbst entscheiden ob der erste Wurf nach links oder nach rechts erfolgt.

Lösungshinweise zu den einzelnen Aufgaben

H.-W. König, G. Christensen: Bildungsstandards im Mathematikunterricht© Persen Verlag GmbH, Buxtehude


Seite 6 / Murmelspiele

Seite 7 / Ballspiele

��G. Christensen, H.-W. König: Problemlösen im Mathematikunterricht© Persen Verlag GmbH, Buxtehude

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