Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 10.11.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 0605 (Hörsaal,

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 10.11.2006 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 10.11.2006

Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 0605 (Hörsaal, Menzelstraße/Kunsthochschule)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

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http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


Frage: Welche der folgenden Brücken ist NICHT abgeglichen, d.h. I1 ≠ 0 ?

1 3

2 4

R R

R RAbgleichbedingung:

R

RR

R

RI1

1R R

2R R

3R R

4R R

5R

R1I

2R

2RR

R

RI1

1R R

2R R

3 2R R

4 2R R

5R

R1I

2R2R

R R2RI1

1R R

2 2R R

5

2

R

R3R R

4 2R R

1I

R2R

RR

2RI1

1R R

2 2R R

5R

R

4R R

3 2R R

1I

a)

b)

c)

d)


Frage: Welche der folgenden Brücken ist NICHT abgeglichen, d.h. I1 ≠ 0 ?

1 3

2 4

R R

R RAbgleichbedingung:

R

RR

R

RI1

1R R

2R R

3R R

4R R

5R

R1I

2R

2RR

R

RI1

1R R

2R R

3 2R R

4 2R R

5R

R1I

2R2R

R R2RI1

1R R

2 2R R

5

2

R

R3R R

4 2R R

1I

R2R

RR

2RI1

1R R

2 2R R

5R

R

4R R

3 2R R

1I

1 3

2 4

R R

R R

R R

R R

1 3

2 4

2 2

R R

R R

R R

R R

1 3

2 4

2

2

R R

R R

R R

R R

a)

b)

c)

d)

ist NICHT abgeglichen

1 3

2 4

2

2

R R

R R

R R

R R


2.2.7 Schaltungssymmetrie

In Sonderfällen kann man Symmetrieeigenschaften von Netzwerken ausnutzen:

Beispiel 2.5:Vereinfachung einer symmetrischen Schaltung

Bild 2.18a. Schaltung aus 8 Widerständen

Bild 2.18b. Schaltung aus 9 Widerständen

R

R RR

R

R

R

R

A B

C

D

Bild 2.18. Drei gleichwertige symmetrische Schaltungen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 41, 2005])

R

R RR

R

R

R

R

A B

C

D

ABR

Symmetrische Schaltung

Aufgrund der Symmetriefließt zwischen denKlemmen A und B

kein Strom!Deswegen kann man

zwischen den KlemmenA und B einen beliebigen Widerstand RAB einfügen.

Symmetrie-linie



CD

1,52 1,2

1,5

R RR R

R R

In Sonderfällen kann man Symmetrieeigenschaften von Netzwerken ausnutzen:

Aus Schaltung 2.18c lässt sich der Gesamtwiderstand

bestimmen!

Beispiel 2.5:Vereinfachung einer symmetrischen Schaltung

Bild 2.18a. Schaltung aus 8 Widerständen

Bild 2.18b. Schaltung aus 9 Widerständen

Bild 2.18c. Gruppenschaltung aus 8 Widerständen

R

R RR

R

R

R

R

A B

C

D

Bild 2.18. Drei gleichwertige symmetrische Schaltungen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 41, 2005])

R

R RR

R

R

R

R

A B

C

D

ABR

R

R RR

R

R

R

R

2

R

A B

C

D

Aufgrundder

Symmetrie!

Aufgrundder

Symmetrie!



R

R RR

R

R

R

R

2

R

R

R2

R

R

2

R

R

2

R

R

R2

R

R

2

R

R

1 3

2 2R R R

Bild 2.18c. Gruppenschaltung aus 8 Widerständen

Parallel-schaltung

Parallel-schaltung

Reihen-schaltung

Reihen-schaltung



3

5R

3

5R

1,2 R

3 3 6

5 5 51,2

R R R

R

R

R3

2R

3

2R

23 3

2 23 5

2 23 2

2 53

5

R R R

R R R

R

R

Reihen-schaltung

Parallel-schaltung

Parallel-schaltung


2. Berechnung von Strömen und Spannungen in elektrischen Netzen2.3 Strom- und Spannungsmessung2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser

Innenwiderstand des Messgerätes: RM

Bild 2.19. Strommessung mit einem Strommesser(umgangssprachlich auch Amperemeter genannt)(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 42, 2005])

I

MR

Bild 2.19b. Strommessung

MR

qU

R

RM: Innenwiderstand des Messgerätes:

► RM ist zusätzlich im Messkreis

► RM verkleinert Strom I

► RM möglichst niedrig wählen

I

M

qUI

R R

RU

MRU

idealesMessgerät

Innenwiderstanddes Messgerätes

I

idealesMessgerät


Strommessung:

M 0M

lim q q

R

U UI

R R R

A


2.3.1 Anforderungen an Strom- und Spannungsmesser

Ri zusätzliche Belastung der Spannungsquelle

Bild 2.20. Spannungsmessung mit einem Spannungs-Messer (umgangssprachlich auch Voltmeter genannt)(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 42, 2005])

MR

UInnenwiderstand des Messgerätes: RM

MR

MRU

qU

qR

I

qRU

R

RI

MRI

RU

M

i

M

RR

UI

R

1 :K

► Ri: zusätzlicher Strom

► Ri möglichst hoch wählen

mitM M

M

1R RRR

I I UIU I

R R R R

iRI

M

MM MM

lim lim 0 RR R R

R R

U II I I U

R R

Bild 2.20b. Spannungsmessung

Spannungsmessung:

i i R R R RI I I I I I

idealesMessgerät


idealesMessgerät




Der Innenwiderstand des Spannungsmessers,RM, sollte möglichst hoch sein.

Spannungen sind hochohmig zu messen.

Idealfall:

Spannungsmessung:

MR

Der Innenwiderstand des Strommessers, RM, sollte möglichst niedrig sein.

Ströme sind niederohmig zu messen.

Idealfall:

I

MR

idealesMessgerät,

widerstandslos


Strommessung:

MR U

M 0R

idealesMessgerät,

widerstandlos

Innenwider-Stand des

Messgerätes

V

I MR

Reales Messgerät incl.Innenwiderstand

MR

U

realesMessgerät

mitInnenwider-

stand

V

Reales Messgerät mitInnenwiderstand RM

realesMessgerät

mitInnenwider-

stand RM



Der Innenwiderstand des Spannungsmessers,RM, sollte möglichst hoch sein.

Spannungen sind hochohmig zu messen.

Idealfall:

Spannungsmessung:

MR

Der Innenwiderstand des Strommessers, RM, sollte möglichst niedrig sein.

Ströme sind niederohmig zu messen.

Idealfall:

I

MR

idealesMessgerät,

widerstandslos


Strommessung:

MR U

M 0R

idealesMessgerät,

widerstandlos

Innenwider-Stand des

Messgerätes

A

V

I M( )R

Reales Messgerät mitInnenwiderstand RM

A

M( )R

U

realesMessgerät

mitInnenwider-

stand RM

V


2.3.2 Eigenschaften des Drehspulmesswerks

Strom durch Messwerk bei Vollausschlag: IMV

Widerstand des Messwerks: RM

Aufbau:

►Zeigerausschlag ist proportional des Messstromes I►Messwerk zeigt wegen der Trägheit immer den zeitlichen Mittelwert des Messstromes an

►Gleichstrommessung; Wechselstrommessung nach vorgeschalteter Gleichrichtung

N

F::::::::::::::

F::::::::::::::

S

B::::::::::::::

I1M

Bild 5.10. Drehspule in radialhomogenen Feld (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 216, 2005])

Skala

Feder

Magnet

Zeiger

Anschluss-klemme

SpuleI

Mess-strom

Mess-strom

Analogmultimeter


2.3.2 Eigenschaften des Drehspulmesswerks

Strom durch Messwerk bei Vollausschlag: IMV

Widerstand des Messwerks: RM

Skala

Feder

Magnet

Zeiger

Anschlussklemme

Spule


Beispiel 2.6: Eigenverbrauch eines Drehspulmesswerks

M

MV

1 kΩ

50 μA

R

I

2MV MV M

2

26 3

= V/A

22 6 2 3

123

3 12 3 2

6

2500=102,5 10

10

WVA

50 μA 1 kΩ

50 10 A 1 10 Ω

V50 10 A 1 10

A

V2,5 10 10 1 10 A

A

P I R

Lösung:

Leistungsaufnahme des Messwerks bei Vollausschlag: PMW?

Gegeben:

Gesucht:

6MV 2,5 10 W 2,5 μWP

Widerstand des Messwerks:

Strom des Messwerks bei Vollausschlag:

(Leistungsaufnahme des Messwerks bei Vollausschlag)

MV MV MV

M MV MV

2MV M

M MVR I

P U I

R I I

I R


2.3.3 Klassengenauigkeit

Fehler = Abweichung des angezeigten Stromes vom wahren Strom

Klassenzeichen: Anzeigefehler in Prozent vom Vollausschlag

► Präzisionsinstrumente Klassen 0,1 ( ± 0,1 % ); 0,2; 0,5

► Betriebsinstrumente Klassen 1; 1,5; 2,5; 5 (alte analoge Technik!)


Beispiel 2.7: Messgenauigkeit eine Drehspulinstrumentes Klasse 1,5 im Messbereich 300 mA?

300 mA 0,015 4,5 mA

150 mA 4,5 mAI ► abgelesen 150 mA, heißt wahrer Wert:

Absoluter Fehler: entspricht Abweichung ± 3 % vom Messwert!

Maximale Abweichung 1,5 % von 300 mA, also

Lösung:

50 mA 4,5 mAI

4,5 mA 4,5 mAI

MV MV M

6 350 10 A 10 Ω

50 mV

U I R

► abgelesen 50 mA, heißt wahrer Wert:

Absoluter Fehler: entspricht Abweichung ± 9 % vom Messwert

Absoluter Fehler: entspricht Abweichung ± 100 % vom Messwert, d.h. I = 0 … 9 mA

Daher sinnvoll Messbereichsumschaltung in den Stufen 1, 3, 10, 30 …

► abgelesen 4,5 mA, heißt wahrer Wert

Spannungsmessung mit diesem Instrument: Bei Vollausschlag gilt:

Beispielsweise:


2.3.4 Messbereichserweiterung2.3.4.1 Strom-Messbereichserweiterung

M M

M P

I G

I G G

M PV MVVollausschlag

M

G GI II

G

Strom I bei Vollausschlag: IV

IMI M

M

1R

G

PP

1R

G

a b

Bild 2.21. Parallelschaltung eines Widerstandes zum Messwerk (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 44, 2005])

Stromverhältnis über Stromteiler-Formel:

M PM

M

G GI I

G

Gesamtstrom über Stromteiler-Formel:

Messwerk mit Innenwiderstand RM

M

M

P

: Gesamtstrom

: Messstrom

: Leitwert des Messwerks

: parallelgeschalteter Leitwert

I

I

G

G

Parallelgeschalteter Widerstand

VIMVI

MM

1R

G

PP

1R

G

a b

Vollausschlag: V


Beispiel 2.8: Berechnung eines Parallelwiderstandes zur Strom-Messbereichserweiterung

M

MV

1 kΩ

50 μA

R

I

VP M

MV

3

3 6

3

1

1 10 A1

1 10 Ω 50 10 A

19

1 10 Ω

IG G

I

P 52,6 ΩR

Messwerkwiderstand :

Drehspulmesswerk mit Vollausschlagstrom:

Messbereichserweiterung: Strommessung bis IV = 1 mA: Bestimme den Messwiderstand RP = ?

Lösung:

Gleichung oben umformen nach GP:

Gegeben:

Gesucht:

(Messwiderstand)

M PV MV

M

MVM P

M

VM M P

MV

G GI I

G

IG G

G

IG G G

I

VVP M M M

MVMV

1II

G G G GII

3

PP

1 1 10Ω

19R

G

VI MVI MM

1R

G

PP

1R

G

a b


Beispiel 2.9: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Messgerätes zur Strommessung

Gesucht:

Widerstandswerte die für Messbereiche 100 µA, 300 µA, 1 mA

Schalterstellung Messbereich

A 0…1 mA

B 0…300 µA

C 0…100 µA

Gegeben:

I

A 1R

2R

3R

MR

MI

B

C

Bild 2.22. Drehspulmesswerk mit drei Strom-Messbereichen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 45, 2005])

Drehspulmesswerk mit Vollausschlagstrom I MV = 50 μA

Messwerkwiderstand RM = 900 Ω


I

A 1R

2R

3R

MR

MI

B

C

Bild 2.22. Drehspulmesswerk mit drei Strom-Messbereichen (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 45, 2005])


Lösung:

Mit Gl. (2.29)

22

1 2

1

1 2

1

1 1RI I

R RR

IR R

im Zähler, proportional zum Strom im Messgerätezweig, steht der Strom im Parallelzweig - Widerstände statt Leitwerte wie in der Stromteilerregel.

1 MV

1 2 3 M (A)

50 μA 1

1 mA 20

R I

R R R R I

1 2 MV

1 2 3 M (B)

50 μA 1

300 μA 6

R R I

R R R R I

1 2 3 MV

1 2 3 M (C)

50 μA 1

100 μA 2

R R R I

R R R R I

Anschluss an A, Vollausschlag:

Anschluss an B, Vollausschlag:

Anschluss an C, Vollausschlag:

(2.37a)

(2.37b)

(2.37c)

11

1R

G

I

22

1R

G

1I 2I



1 2 3 M

1 2 3

1

19

20 2 M

M

R R R R

R R R R

R R

1 M 1 M

120 2

10R R R R

3 M 3 M

26 4

3R R R R

2 M 1 3

M M M

2 M

1 2

10 37

30

R R R R

R R R

R R

M 900 ΩR

1 M

2 M

3 M

1 1900 Ω 90 Ω

10 10

7 7900 Ω 7 30 Ω 210 Ω

30 30

2 2900 Ω 2 300 Ω 600 Ω

3 3

R R

R R

R R

(2.38a)

(2.38b)

(2.38c)

Addition (2.38a) und (2.38c):

Addition von (2.38b) und -5 mal (2.38c):

In (2.38c) einsetzen:

Jetzt Messwerkwiderstand

in die Beziehungen für R1, R2 und R3 einsetzen:

1 2 3 M

1 2 3

1 2 3

19

5 5

M

M

R R R R

R R R R

R R R R

1 2 3 M

1 2 3

3

5 +5

5 5 5 5

6 4 M

M

R R R R

R R R R

R R


VR M

MV

1U

R RU

2.3.4.2 Spannungs-Messbereichserweiterung

R MV MV

M

R RU U

R

Spannungsteilerregel

mit UMV Spannung am Messwerk bei Vollausschlag!

(2.39a)

Bild 2.23. Reihenschaltung eines Widerstandes zum Messwerk (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 46, 2005])

6 3MV MV M 50 10 A 1 10 Ω 50 mVU I R

Beispiel 2.10: Vorwiderstand zur Spannungs-Messbereichserweiterung

Mit Gl. (2.39)

Gegeben:Drehspulmessgerät mit Vollausschlagstrom IMV = 50 μA, RM = 1 kΩ soll Spannungen bis 100 V messen.

Gesucht: RR = ?

Lösung:Spannung am Messwerk bei Vollausschlag

a

RR MRMI

b

MU

U

3VR M

MV

3

100 V1 1 10 Ω 1

50 mV

1 10 Ω 2000 1 1,999 MΩ

UR R

U

(2.39b)


Beispiel 2.11: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Spannungs-Messgerätes

Gegeben:

RM = 1 Ω, Vollausschlag bei IMV = 100 μA,

Gesucht:

R1, … , R4?

Bild 2.24. Drehspulmessgerät mit vier Spannungs-Messbereichen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 47, 2005])

Schalterstellung Messbereich

A 0 … 100 mV

B 0 … 1 V

C 0 … 3 V

D 0 ... 10 V

A1R

2R

3R

MR

MI

B

C

3RD


Beispiel 2.11: Dimensionierung der Widerstände eines Vielfach-Spannungs-Messgerätes

MV M 1 1 M

300 mV300 mV 3 Ω 1 Ω 2 Ω

100 mAI R R R R

iA M 1 3 ΩR R R

MV M 1 2 2 M 1

1 V1 V 10 Ω 3 Ω 7 Ω

100 mAI R R R R R R

iB M 1 2 10 ΩR R R R

MV M 1 2 3 3 M 1 2

3 V3 V 30 Ω 10 Ω 20 Ω

100 mAI R R R R R R R R

iC M 1 2 3 Ω30 R R R R R

MV M 1 2 3 4 3 M 1 2 3

10 V10 V 100 Ω 30 Ω 70 Ω

100 mAI R R R R R R R R R R

iD M 1 2 3 4 100 ΩR R R R R R

►In Schalterstellung A:

Widerstand des Messgerätes

►In Schalterstellung B:


►In Schalterstellung C:


►In Schalterstellung D:


Lösung:

(Anmerkung: Innenwiderstand für Spannungsmessung viel zu niedrig, real würde man ein höherohmiges Messwerk nehmen)


2.3.5. Messwertkorrektur2.3.5.1. Spannungsrichtige Messung

11 M M

M

0 ; U

I I I IR

11

M

UI I

R

Stromkorrektur möglich, wenn Ri bekannt:

2.3.5.2. Stromrichtige Messung

1 M M 1 M0 ; U U U U I R

1 1 MU U I R

Spannungskorrektur möglich, wenn Ri bekannt:

U

MR

1U

Strommesser

Spannungsmesser

MU

1R1I

Bild 2.26. Stromrichtige Messung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005])

A

V

MR

I

1U

1I

Strommesser

Spannungsmesser

1RMI

Bild 2.25. Spannungsrichtige Messung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005])

A

V

Stromkorrektur

Spannungskorrektur

Maschenregel ergibt:

Knotenregel ergibt: Strom durch Spannungsmesser:

Spannung am Strommesser:

(2.41)


2.3.5. Messwertkorrektur

Widerstandsmessung an den oben genannten Schaltungen:

Fehler entweder im Strom- oder im Spannungswert geht in berechneten Widerstand ein:

► wenn , d. h. R1 sehr viel kleiner als RM, des Spannungsmessers

-> dann spannungsrichtige Messung, da Strom durch Spannungsmesser klein zu Messstrom

► wenn , d. h. R1 sehr viel größer als RM des Strommessers

-> dann stromrichtige Messung, da Strom durch Spannungsmesser in ähnlicher Größenordnung

U

MR

1U

Strommesser

Spannungsmesser

MU

1R1I

Bild 2.26. Stromrichtige Messung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005])

A

V

MR

I

1U

1I

Strommesser

Spannungsmesser

1RMI

Bild 2.25. Spannungsrichtige Messung(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 48, 2005])

A

V

Spannungsrichtige Messung Stromrichtige Messung

1 MR R

1 MR R


2.4. Lineare ZweipoleZweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A

und B,

dies kann ein lineares passives Bauelement wie ein Widerstand, eine Spule oder ein

Kondensator, oder ein lineares aktives Bauelement wie eine Spannungs- oder Stromquelle sein.

R LC

Widerstand Spule Kondensator

Lineare passive Zweipole Verbraucherzweipol

Verbraucherzählpfeilsystem (VZS):

Bei Verbrauchern U und I im VZS gleichgerichtet!

Lineare aktive Zweipole Erzeugerzweipol

Verbraucherzählpfeilsystem (VZS)

Bei Quellen U und I im VZS entgegengesetzt!

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

Spannungs-quelle

Batterie Strom-quelle

I

U

I

U

I

U

I

U

I

U

I

U


2.4. Lineare ZweipoleZweipolbegriff: Schaltung mit zwei Anschlüssen, z. B. A

und B,

dies kann auch eine komplexere Schaltung mit nur zwei von außen zugänglichen Anschlüssen, dessen Innenleben nicht bekannt ist, nur ihr lineares Strom- und Spannungsverhalten,

I=I(U) oder U=U(I) muss bekannt sein.

Bild 2.27. Zweipol mit 3 Spannungsquellen und 3 Widerstände (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 51, 2005])

I

1R

A

B

U

q1U q2U q3U

2R 3R

Zweipol


Ende der Vorlesung

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