Dualzahlen und ihre logischen Verknüpfungen

Dualzahlen und ihre logischen Verknüpfungen

101110101101000010100010010001010001010001001111010100101010001010100010100010100010101001

Hans-Detmar Pelz, Willy-Brandt-Gesamtschule, Castrop-Rauxel

Informatik JgSt. 13, Abitur 2009


Informatik JgSt. 13, Abitur 2009Neben dem Dezimalsystem gibt es

noch zahlreiche andere Zahlensysteme.Das Prinzip des Dezimalsystems:

Es besteht aus zehn Ziffern: 0, 1, 2, ... 8, 9.Damit lassen sich aber zunächst einmal nur zehn verschiedene Dinge bezeichnen.Danach sind alle Symbole aufgebraucht und man muss sich etwas Neues einfallen lassen.

Man erweitert die Darstellung um eine Stelle. Auf diese Weise kann man 100 verschiedene Dinge bezeichnen.

012345678 9

101112131415161718 19

202122232425262728 29

909192939495969798 99

100101102103104105106107108109

Bekannterweise lässt sich dieser „Trick“ beliebig oft wiederholen...


Informatik JgSt. 13, Abitur 2009Die Dualzahlen (oder auch

Binärzahlen) haben nur zwei Zeichen zur Verfügung: „0“ und „1“.

Das Prinzip ist genau dasselbe wie beim Dezimalsystem.

Es lassen sich zunächst nur zwei verschiedene Dinge bezeichnen.

Daher muss man recht schnell die nächste Stelle benutzen:

0

1

10

11

100

101

110

111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

10000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

Schreibt man die Dezimalzahlen daneben, wird schnell klar, dass bei jeder Zweierpotenz eine weitere Stelle benötigt wird.

20

21

22

23

24



Damit lässt sich recht leicht eine Dualzahl in eine Dezimalzahl umwandeln:

1 0 1 0 1 0 1 1 1 0

29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

Zur Umrechnung addiert man einfach die Zweierpotenzen, die unter einer „1“ stehen.

In diesem Fall:

29 + 27 + 25 + 23 + 22 + 21 =

512 + 128 + 32 + 8 + 4 + 2 = 686

Mit den Lösungen:

1157

und

9693

Andere Beispiele sind:

10010000101

und

10010111011101



Bei der Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl muss man fortgesetzt durch 2 dividieren und die Reste notieren.

485 : 2 = 242 Rest 1

242 : 2 = 121 Rest 0

121 : 2 = 60 Rest 1

60 : 2 = 30 Rest 0

30 : 2 = 15 Rest 0

15 : 2 = 7 Rest 1

7 : 2 = 3 Rest 1

3 : 2 = 1 Rest 1

1 : 2 = 0 Rest 1

Jetzt müssen die Reste von unten nach oben gelesen werden und von links nach rechts notiert werden:

1 1 1 1 0 0 1 0 1 = 485

Ermittle die Dualzahldarstellung für 1857 und 3260

Die Lösungen sind: 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 und 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0



Arbeitsauftrag:

• Erstelle ein Programm, welches die Umwandlung von Dezimalzahlen in Dualzahlen und umgekehrt leistet.

• Du solltest dazu Panels benutzen, die nach Anklicken von grau auf rot umschalten (oder umgekehrt).

• Wird eine Zahl in ein Editfeld eingegeben, färben sich die Panels nach Drücken eines Buttons entsprechend.

• Es reicht, 8 Panels zu konstruieren.



Rechnen mit Dualzahlen

• Der PC kann nur elektrische Zustände wie „Spannung vorhanden“ oder „keine Spannung vorhanden“ erkennen.

• Daher muss mit Dualzahlen gerechnet werden

100101

+ 011011

1000000

37

+ 27

64


Informatik JgSt. 13, Abitur 2009Dazu benötigt man logische Verknüpfungen

A B A und B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Die UND- Verknüpfung

(AND- Verknüpfung)A B A oder B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Die ODER- Verknüpfung

(OR- Verknüpfung)A Nicht A

0 1

0 1

1 0

1 0

Die nicht- Verknüpfung

(not- Verknüpfung)



Weitere logische Verknüpfungen sind:

A B A und B

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Die nicht-UND- Verknüpfung

(NAND- Verknüpfung)A B A oder B

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

Die nicht-ODER- Verknüpfung

(NOR- Verknüpfung)



Noch weiter gehende logische Verknüpfungen sind:

A B A und B

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Die nicht-Entweder-ODER Verknüpfung

(NEXOR- Verknüpfung)

A B A oder B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Die Entweder-ODER- Verknüpfung

(EXOR- Verknüpfung)



Arbeitsauftrag

• Erstelle ein kurzes Programm, dass die vier soeben genannten Logiktabellen darstellt.

• Benutze dazu Panels, die beim Anklicken farbig werden und dann eine entsprechende logische Aktion ausführen.

• Damit reichen für die Eingabe zwei Panels, die Ausgabe muss über sechs Panels erfolgen.

• Es ist das Ziel, einen dualen Addierer vorzubereiten.

J:\02 Dualzahlenlogik\B-Logik\pLogik.exe



Führt man eine Addition durch, dann gibt es auch gelegentlich einen Übertrag:

1 0 1 1

+ 1 0 0 1

1 1 1

--------------

1 0 1 0 0

Dieser Übertrag muss natürlich auch berücksichtigt werden.

Fragt sich bloß: WIE ?Die Summe zweier Dualzahlen findet man mit der logischen Verknüpfung EXOR.Ob ein Übertrag vorhanden ist, findet man mit AND heraus.Zunächst berechnet man die Summe der beiden Zahlen mit EXOR, danach die Summe des Ergebnisses mit dem Übertrag, ebenfalls per EXOR.

In beiden Fällen wird mittels AND ermittelt, ob ein Übertrag nötig ist.

Es kann nur maximal ein Übertrag vorkommen.



Arbeitsauftrag

• Erstelle mit Hilfe dieser Erkenntnisse einen Addierer für Dualzahlen.

• Er soll wie nachstehendes Beispiel funktionieren.

J:\02 Dualzahlenlogik\C-Addierer\pDualaddierer.exe



Addition von Dualzahlen

0 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 Übertrag0 1 0 0 0 Summe Z1 und Z21 0 1 1 0 Gesamtsumme

Hilfreich ist es, den Übertrag aufzuzählen und auch die Summe der ersten beiden Zahlen, danach muss der Übertrag und die Summe verrechnet werden.

Die Summe errechnet sich über EXOR

Der Übertrag mittels einer Kombination

aus AND und OR

Die Gesamtsumme mittels EXOR.

J:\02 Dualzahlenlogik\D-Addierer(Sparform)\pKleinaddierer.exe



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Dualzahlen und ihre logischen Verknüpfungen