Hochschule Ulm, Fakultät Mechatronik und Medizintechnik

Echtzeit-Implementierung einer

Röhrenvorstufe zur Verzerrung diskreter

Audiosignale

Bachelorarbeit im Sommersemester 2012

Philipp BullingMatr. Nr.: 3100823

8. Juli 2012

Mein Dank gilt der Firma d&b audiotechnik GmbH für dieMöglichkeit, diese Arbeit zu verfassen. Insbesondere danke ich

Dipl.-Ing. (FH) Sven Mörtel für die Betreuung vor Ort sowie denGutachtern der Hochschule Ulm, Prof. Dr.-Ing. Rainer Brucher und

Prof. Dr. Georg Schulz.

Diese Abschlussarbeit wurde von mir selbständig verfasst. Es wurden nur die angege-benen Quellen und Hilfsmittel verwendet. Alle wörtlichen und sinngemäÿen Zitate sindin dieser Arbeit als solche kenntlich gemacht.

Ort, Datum Philipp Bulling

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Zusammenfassung

Der Klang eines analogen Röhrenverstärkers übt nach wie vor groÿe Faszination aus,weshalb Röhrenschaltungen in der Audiowelt bis heute eine besondere Rolle spielen. Aufder anderen Seite macht das digitale Zeitalter aber auch vor der Audiotechnik nicht halt.In vielen Fällen können digitale Modelle ihre realen Vorbilder bereits derart gut nach-bilden, dass klangliche Unterschiede kaum noch wahrnehmbar sind. Um den typischenKlang eines Röhrenverstärkers mit digitalen Geräten nachzubilden, wird in dieser Ar-beit ein Modell entwickelt, mit dem eine Röhrenschaltung implementiert werden kann.Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf Vorstufen mit Trioden, da diese einen besonderenEinuss auf das klangliche Ergebnis haben.Basierend auf physikalischen Eigenschaften realer Röhren wird zunächst ein Röhren-

modell entwickelt. In dieses mathematische Modell ieÿen die Ergebnisse theoretischerUntersuchungen sowie die Analyse von Datenblättern mit ein. Das Modell wird dannzur Berechnung einer kompletten Verstärkerschaltung herangezogen. Neben der Röhrebesteht eine solche Schaltung aus verschiedenen passiven Bauelementen. Letztere werdenim Bereich der digitalen Signalverarbeitung durch Dierenzengleichungen beschrieben,welche wiederum rekursiv gelöst werden.Der so entwickelte Algorithmus wird schlieÿlich auf einem digitalen Signalprozessor

implementiert und auf seine klanglichen Eigenschaften hin untersucht. Das Verhaltendes digitalen Modells entspricht dabei auf sehr zufriedenstellende Weise dem der realenVerstärkerschaltung. Wichtige klangformende Eekte eines analogen Röhrenverstärkerskönnen auch beim digitalen Modell nachgewiesen werden.

Abstract

Since the sound of an analogue tube amplier has always exerted a strong fascination,electrical circuits with tubes play a certain role in the world of audio engineering up tonow. On the other hand, audio technology becomes more and more digitised. In manycases, digital models emulate real devices in such a way that dierences in sound arehardly audible. In this work a model is developed which is able to emulate the typicalsound of a tube amplier on digital devices. Here the main focus is on preampliers withtriodes, since they have a particular inuence to the sound.Based on the physical properties of real tubes, a tube model is developed rst. This

mathematical model includes results of theoretical studies as well as analysis of datasheets. The model is then used to implement an entire amplier circuit. In additionto the tube itself amplier circuits contain several passive elements. In the domain ofdigital signal processing the latter are described by nite dierence equations, which aresolved recursively.The resulting algorithm is nally implemented on a digital signal processor in order to

examine its tonal properties. The behavior of the digital model corresponds satisfactorilyto real amplier circuits. Important sound eects of analogue tube ampliers can alsobe attested to the digital model.

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung 8

1.1. Röhrenklang und Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Obertöne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Entwicklungswerkzeuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I. Theoretische Grundlagen 11

2. Die Physik der Vakuumröhre 12

2.1. Raumladungsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.1. Das Langmuir-Child'sche Raumladungsgesetz . . . . . . . . . . . . 142.1.2. Perveanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Anlaufstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Sättigungsbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Kennlinie der Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Röhrentypen 19

3.1. Grundsätzlicher Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.1. Triode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.2. Tetrode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.1.3. Pentode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Kenngröÿen und Berechnungsgröÿen der Triode . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.1. Kennlinie der Triode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.2. Röhrenparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.3. Arbeitswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II. Entwicklung des Algorithmus 29

4. Digitales Modell einer Triode 30

4.1. Mathematische Beschreibung des Kennlinienfeldes . . . . . . . . . . . . . . 304.1.1. Perveanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.2. Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.1.3. Spezielle Exponentialfunktion mit zwei Parametern . . . . . . . . . 33

4.2. Modellierung des Übertragungsverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.1. Übertragungskurve mit ohmschen Arbeitswiderstand . . . . . . . . 384.2.2. Verhalten bei induktivem Arbeitswiderstand . . . . . . . . . . . . . 42

6

5. Röhrenschaltungen mit Trioden 45

5.1. Implementierung einer Kathodenbasis-Vorstufe . . . . . . . . . . . . . . . 455.1.1. Gitterstrom-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.2. Automatische Gittervorspannungserzeugung . . . . . . . . . . . . . 515.1.3. Röhre und ausgangsseitige Beschaltung . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2. Mehrere Vorstufen hintereinander geschaltet . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.1. Innenwiderstand der Kathodenbasis-Schaltung . . . . . . . . . . . . 58

6. Zusammenfassung 62

6.1. Vergleich mit anderen Arbeiten, Beurteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2. Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Literaturverzeichnis 64

Abbildungsverzeichnis 66

Tabellenverzeichnis 68

7

1. Einleitung

Die vorliegende Arbeit ist in zwei Teile gegliedert. Im ersten Teil werden auf physikalischerEbene theoretische Grundlagen der Vakuumröhre erläutert und wichtige Zusammenhängedetailliert hergeleitet. Basierend auf den Ergebnissen der theoretischen Untersuchungen,wird im zweiten Teil ein Algorithmus zur Echtzeitsimulation von Röhrenschaltungenentwickelt. Im Zentrum stehen dabei auf der einen Seite das digitale Röhrenmodell,auf der anderen Seite die Diskretisierung des zur Beschaltung der Röhre notwendigenelektrischen Netzwerks.In diesem einleitenden Abschnitt wird vorab kurz auf für das Verständnis wichtige

Begrie sowie die verwendeten Werkzeuge eingegangen.

1.1. Röhrenklang und Motivation

Die Elektronenröhre war lange Zeit das einzige elektronische Bauteil, mit dem Signalegezielt verstärkt werden konnten. Ihre Einsatzzwecke reichten von Rundfunkempfängernüber Fernseh- und Computermonitore bis hin zu medizinischen Geräten. Als in den 50erJahren des vorigen Jahrhunderts die ersten Halbleiterbauelemente auf den Markt ka-men, wurde sie jedoch mehr und mehr von Transistoren verdrängt. Letztere weisen vorallem in Bezug auf Lebensdauer, Preis und Bauteilgröÿe deutlich bessere Eigenschaftenals Röhren auf. Zudem erfordern Röhren eine aufwändigere Beschaltung, da sie mit ver-gleichsweise hohen Versorgungsspannungen betrieben werden müssen. Weitere Nachteilesind die benötigten Heizungen, die eine groÿe Wärmeverlustleistung verursachen, sowieeine hohe Nichtlinearität.Allerdings ist es gerade diese Nichtlinearität, die der Elektronenröhre im Audiobereich

seit einigen Jahren eine Art Revival beschert und sie damit vor dem völligen Aussterbenbewahrt. Sie kommt durch verschiedene physikalische Vorgänge im Inneren einer Röhrezustande und ist die Ursache dafür, dass ein mit einer Röhre verstärktes Signal verzerrtwiedergegeben wird. Normalerweise sind solche Verzerrungen unerwünscht und es wirdviel Aufwand betrieben, um sie zu vermeiden. Im Fall der Röhre jedoch handelt es sichum eine Art der Klangverfremdung, die vom menschlichen Gehör als angenehm undwarm empfunden wird, weshalb sie in einigen Bereichen der Audiotechnik nach wie voreingesetzt wird.In dieser Arbeit wird es darum gehen, ein digitales Modell zu entwickeln, das ebendie-

se klangverformenden Eigenschaften von Röhrenschaltungen aufweist. Dabei wird Wertdarauf gelegt, dass der Algorithmus ein zeitdiskretes Audiosignal möglichst in Echtzeitverarbeiten kann.

8

Abbildung 1.1.: Clipping bei einer Sinusschwingung

1.2. Obertöne

Ein Klang besteht aus einer Grundschwingung mit einer bestimmten Amplitude undFrequenz, der weitere Oberschwingungen überlagert sind. Sind die Frequenzen dieserOberschwingungen geradzahlige Vielfache der Grundfrequenz, empndet das menschli-che Ohr diesen Klang als angenehm. Im musikalischen Sinne setzt sich ein solcher Tonaus dem Grundton und mehreren darüberliegenden Oktaven zusammen. Es sind diesegeradzahligen Harmonischen, die dem Klang von der Röhre - vor allem von der Triode -beigemischt werden und so für das charakteristische Röhrenklangbild sorgen.Werden die Pegelspitzen einer Schwingung symmetrisch ab einer bestimmten Amplitu-

de hart abgeschnitten, erzeugt dies ungeradzahlige Harmonische, d. h. Oberschwingungenmit der drei-, fünf- und siebenfachen Frequenz der Grundfrequenz. Musikalisch gesehenentspricht z. B. die dreifache Frequenz einer Quinte über der Oktave des Grundtons oderdie fünache Frequenz einer groÿen Terz über der zweiten Oktave [Sen02]. Einen sol-chen Klang nehmen wir als hart und kalt war. In Abb. 1.1 ist dies an einer einfachenSinusschwingung dargestellt. Die Schwingung hat die Amplitude 1 und eine Frequenz von100Hz (grün). Sie wird bei ±0, 7 symmetrisch beschnitten (blau). Im Spektrum erkenntman deutliche Peaks bei ungeradzahligen Vielfachen der Grundfrequenz (300Hz, 500Hzusw.)1.

1Bei den hohen Frequenzen im Spektrum sind auÿerdem Aliasing-Eekte zu sehen, die an dieser Stellenicht betrachtet werden.

9

1.3. Entwicklungswerkzeuge

Der Prototyp des Algorithmus sowie damit zusammenhängende Untersuchungen wurdenzunächst in Scilab implementiert. Bei Scilab handelt es sich um eine freie und quellof-fene Mathematik-Plattform für numerische Berechnungen. Entwickelt und gepegt wirddie Software von einem Konsortium des INRIA (French National Institute for Research

in Computer Science and Control), welches seit 2008 Teil der Digiteo Foundation ist.Scilab wird unter der GPL-kompatiblen CeCILL-Lizenz vertrieben [Sci12]. Alle in die-ser Arbeit abgebildeten mathematischen Funktionsgraphen wurden, sofern nicht andersangegeben, mit Scilab erstellt.In einem zweiten Schritt wurden die Algorithmen zur klanglichen Evaluierung auf ei-

nem digitalen Signalprozessor (DSP) implementiert und hinsichtlich ihrer Echtzeittaug-lichkeit optimiert. Hierfür stand dasADSP-21489 EZ-KIT Lite Entwicklungsboard derFirma Analog Devices, Inc. zur Verfügung. Der darauf bendliche A/D- bzw. D/A-Wandler-Chip (AD-1939) versorgt den Sharc-DSP mit wahlweise mit 48 kHz, 96 kHzoder 192 kHz abgetastetem Audiomaterial und leitet dieses nach der Signalverarbeitungan die Ausgänge weiter. Als Entwicklungsumgebung diente VisualDSP++, welchesnebst Debugger und diversen Analysewerkzeugen auch einen C++ Compiler beinhal-tet [Ana12]. Im vorliegenden Fall wurde hauptsächlich in C programmiert, für diverseOptimierungen in geringem Maÿe auch mit dem Sharc-eigenen Assembler.

10

Teil I.

Theoretische Grundlagen

11

2. Die Physik der Vakuumröhre

Um das Verhalten einer Elektronenröhre digital modellieren zu können, ist ein grund-legendes Verständnis über die Vorgänge im Inneren einer Vakuumröhre zwingend not-wendig. Mathematische Hintergründe werden daher, sofern auf ihnen im weiteren Verlaufaufgebaut wird, im Detail hergeleitet. Dies betrit vor allem die mathematische Beschrei-bung der Kennlinie einer Vakuumröhre, da diese eine ihrer wichtigsten Charakteristikendarstellt. Die Kennlinie setzt sich im weitesten Sinne aus drei Bereichen zusammen, diein den folgenden Abschnitten zunächst einzeln betrachtet und am Ende dieses Kapitelszusammengefügt werden.

2.1. Raumladungsbereich

Wird an die Platten eines sich im Vakuum bendlichen Kondensators eine Spannungangelegt, bildet sich im Inneren ein elektrisches Feld E aus. Die Feldlinien sind dabeigleichmäÿig verteilt, das elektrische Feld ist homogen. Geht man im idealen Fall davonaus, dass sich im Kondensator keinerlei Raumladung bendet, verläuft die Spannungs-verteilung dementsprechend linear zwischen den Elektroden (vgl. Abb. 2.1a).

Thermische Emission Erhitzt man nun die Kathode, d. h. die elektrisch negativ ge-ladene Elektrode, wird den freien Elektronen im Metall Energie in Form von Wärmezugeführt. Diese Energiezufuhr bewirkt, dass sich die Geschwindigkeit der Elektronen,und damit ihre kinetische Energie, erhöht. Erreicht ein Elektron die Oberäche, kann esaus dem Metall austreten, wenn die durch seine Geschwindigkeit va festgelegte Energie

Wkin =1

2mev

2a (2.1)

gröÿer ist, als die zur Emission benötigte Austrittsarbeit Wa. Letztere ist stark ma-terialabhängig. Mathematisch beschrieben wird die bei der Glühemission auftretendeStromdichte J durch die Richardson-Gleichung

J = ArT2 · e−

WakBT , (2.2)

mit der materialspezischen Richardson-Konstanten Ar, der absoluten Temperatur Tund der Boltzmann-Konstanten kB [Rei44].Bei den folgenden Überlegungen wird davon ausgegangen, dass die Kathode so stark

erhitzt wird, dass in jedem Fall eine ausreichend groÿe Anzahl an Elektronen aus dem Ma-terial austreten kann, sodass die Bedeutung der Richardson-Gleichung erst in Abschnitt2.3 zum Tragen kommt.

12

(a) Homogenes elektrisches Feld beim Plattenkondensator

(b) Die beheizte Kathode emittiert Elektronen und verzerrt dadurch das elek-trische Feld

Abbildung 2.1.: Feldlinien und Spannungsverteilung

Raumladungswolke Die freien Elektronen bilden eine Raumladungswolke um die Ka-thode. Legt man an die Anode eine im Vergleich zur Kathode positive Spannung an, wirderneut ein elektrisches Feld erzeugt. Da die Kathode jetzt jedoch von der Raumladungs-wolke verdeckt wird, können die Feldlinien nur vereinzelt bis zur Kathode durchdringen.Bei den meisten technischen Anwendungen treten aus der Kathode sogar so viele Elek-tronen aus, dass sämtliche Feldlinien von der Raumladung abgefangen werden. Durchdiesen Eekt wird das Feld, und damit auch die Spannungsverteilung, stark verzerrt. InAbb. 2.1b ist dies dargestellt [Ger/Mes10].Zudem wird der Strom durch die Raumladung auf einen denierten Wert begrenzt.

Dies hängt damit zusammen, dass die Kurve der Spannungsverteilung U(x) nur soweitgekrümmt werden kann, bis ihre Steigung bei x = 0, also direkt bei der Kathode, Nullwird. In diesem Fall dringt keine Feldlinie bis zur Kathode durch. Würde die Steigungan der Kathode kleiner Null werden, wären die ausgetretenen Elektronen aufgrund derAbstoÿung gleicher Ladung dazu gezwungen zur Kathode zurückzukehren. Dadurch wür-de die Raumladung solange verringert, bis die Steigung der Spannungsverteilungskurvewieder Null wird. Bei einer positiven Steigung wäre genau das Gegenteil der Fall: Die Ka-thode würde verstärkt Elektronen aussenden, wodurch die Raumladung um die Kathodezunehmen würde. Dadurch würde das Potential im direkten Umfeld um die Kathodesolange abnehmen, bis es direkt an der Kathode abermals Null wird [Spa48].

13

2.1.1. Das Langmuir-Child'sche Raumladungsgesetz

Der Umstand, dass sich an Stellen lokal hoher Ladungsträgerdichte ρ(~r) das elektrischeFeld E(~r) stark ändert, wird durch die Poisson-Gleichung zum Ausdruck gebracht:

∇E(~r) = −∇2U(~r) =ρ(~r)

εrε0(2.3)

Im Vakuum gilt εr = 1. Auÿerdem soll hier nur der ebene, eindimensionale Fall betrachtetwerden, d. h. Anode und Kathode sind ach und rechtwinklig zur x-Achse angeordnet(vgl. Abb. 2.1):

d2U

dx2= − ρ

ε0(2.4)

Weiter gilt folgender Zusammenhang zwischen Stromdichte, Ladung und Geschwindig-keit:

J = −ρv (2.5)

Die beim Verschieben eines einzelnen Elektrons verrichtete Arbeit We berechnet sichaus dem Produkt aus Elementarladung e und der Spannung U . Zur Beschleunigung derMasse me des Elektrons muss die kinetische Energie 1

2mev2 aufgebracht werden. Es gilt

der Energieerhaltungssatz

1

2mev

2 = eU. (2.6)

Mit den bei Elektronenröhren verwendeten Spannungen werden Geschwindigkeiten er-reicht, die deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind, weshalb die Relativitäts-theorie nicht berücksichtigt werden muss.Löst man Gleichung 2.6 nach der Geschwindigkeit v und Gleichung 2.5 nach der La-

dungsdichte ρ auf und setzt beides in Gleichung 2.4 ein, erhält man den Zusammenhang

d2U

dx2=J

ε0

√me

2e

1√U. (2.7)

Gleichung 2.7 wird nun auf beiden Seiten mit 2dUdx erweitert und integriert:

2

ˆd2U

dx2dU

dxdx =

2J

ε0

√me

2e

ˆ1√UdU (2.8)

Durch Substitution von f = dUdx auf der linken Seite erhält man

2

ˆdf

dxfdx = 2

ˆf df = f2

und damit als Lösung von Gleichung 2.8

14

(dU

dx

)2

=4J

ε0

√me

2e

√U + C1

dU

dx=

√4J

ε0

√me

2e

√U + C1. (2.9)

Wie oben beschrieben, ist an der Stelle x = 0, direkt bei der Kathode, sowohl die SteigungdUdx , als auch das Potential U(x) gleich Null. Daraus folgt, dass auch die Integrationskon-stante C1 = 0 sein muss. Erneutes Integrieren von Gleichung 2.10 führt zu

dU

dx=

√4J

ε0

√me

2e4√U

14√UdU =

√4J

ε0

√me

2edx

ˆ1

4√UdU =

ˆ √4J

ε0

√me

2edx

3

4U

34 =

√4J

ε0

√me

2e· x+ C2. (2.10)

Die Integrationskonstante C2 ist ebenfalls Null, da bei x = 0 das Potential U = 0 ist.Gleichung 2.10 nach J aufgelöst führt auf das Langmuir-Child'sche Raumladungsgesetz

J =4

9

ε0x2

√2e

meU

32 (2.11)

[Spa48, Wil05].

2.1.2. Perveanz

Um von der Stromdichte J auf den Strom I rückschlieÿen zu können, muss Gleichung2.11 über die stromdurchossene Querschnittsäche A integriert werden. Für x wird derAbstand d zwischen den Elektroden eingesetzt:

I =

A4

9

ε0d2

√2e

meU

32 dA

I =4

9ε0A

d2

√2e

meU

32 (2.12)

Fasst man in Gleichung 2.12 die bauartbedingten Variablen sowie die Konstanten zusam-men erhält man

15

Abbildung 2.2.: Kennlinie einer Röhrendiode im Raumladungsgebiet

k =4

9ε0A

d2

√2e

me. (2.13)

Die Konstante k wird Perveanz genannt. Wie man leicht sehen kann, ist sie nur von denAbmessungen d und A der Diode abhängig [Moe/Fri/Fro/Vas76].Setzt man in Gleichung 2.12 für I den Anodenstrom Ia und für die Spannung U die

Spannung zwischen Anode und Kathode Uak ein, erhält man die für den Raumladungs-bereich typische Kennlinie einer Röhrendiode mit der Funktionsgleichung

Ia = k · U32ak (2.14)

(Abb. 2.2).

2.2. Anlaufstrom

Wie bereits erwähnt, gilt Gleichung 2.12 nur im Raumladungsgebiet, d. h. nur, wenndurch eine anliegende Anodenspannung die durch Glühemission von der Kathode emit-tierten Elektronen zur Anode hin beschleunigt werden. Ist die Spannung zwischen Anodeund Kathode Uak = 0, ist nach Gleichung 2.12 auch der Strom Ia = 0.In der Realität ieÿt allerdings auch ohne Anliegen einer Anodenspannung ein kleiner

Anodenstrom. Er kommt durch energiereiche Elektronen zustande, die es schaen, dieKathodenoberäche zu verlassen und mit geringer Geschwindigkeit zur Anode gelangen[Moe/Fri/Fro/Vas76].Beschrieben wird die Kennlinie dieses sog. Anlaufstromes durch die Maxwell-Boltzmann'sche

Verteilung

ni = A · e−WikBT . (2.15)

16

Abbildung 2.3.: Kennlinie der Diode im Anlaufbereich

Sie besagt, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt, bei vorgegebenen Randbedingungeneine denierte Anzahl ni an Teilchen die Energie Wi besitzt. Die Randbedingungen wer-den durch die Temperatur T , die Boltzmannkonstante kB sowie die Konstante A, dievon den Eigenschaften des System abhängt, festgelegt [Alo/Fin88]. Für den Fall derElektronenröhre lässt sich Gleichung 2.15 schreiben als

Ia = I0 · e− e|Uak|

kBT , (2.16)

mit der elektrischen Energie e|Uak| sowie dem Anlaufstrom I0.Abb. 2.3 zeigt den Verlauf der Diodenkennlinie bei einem negativen Anodenstrom:

Je negativer Uak wird, desto weniger Elektronen können die Energie aufbringen um dieAnode zu erreichen, bis der Stromuss schlieÿlich ganz zum Erliegen kommt. Auf derrechten Seite schneidet die Kennlinie die y-Achse bei Ia = I0, was der dargelegten Tat-sache entspricht, dass bei Uak = 0 der Anlaufstrom I0 ieÿt.In der Praxis ist der Anlaufstrom allerdings meist so gering, dass er vernachlässigt

werden kann.

2.3. Sättigungsbereich

Wurden im Raumladungsbereich von der Kathode immer mehr Elektronen geliefert alszur Anode gelangten, ist im Sättigungsbereich die Spannung zwischen Anode und Ka-thode so groÿ, dass sämtliche emittierten Elektronen der Raumladungswolke zur Anodewandern. Das bedeutet, dass in diesem Bereich, trotz einer weiteren Zunahme der An-odenspannung, der Anodenstrom kaum mehr ansteigt. Der Anodenstrom ist also genausogroÿ wie der Strom Ik, der von der Kathode emittiert werden kann. Dieser wiederum istnach dem Richardson-Gesetz (Gleichung 2.2) allein von der Temperatur abhängig.Ein Anstieg des Anodenstromes kann demnach nur noch durch erhöhen der Heiztem-

peratur an der Kathode realisiert werden (siehe auch Abb. 2.4 auf der nächsten Seite)

17

Abbildung 2.4.: Kennlinie einer Vakuumröhrendiode mit allen Bereichen für zwei ver-schiedene Heiztemperaturen

[Rei44].

2.4. Kennlinie der Diode

Fasst man die vorangegangenen Abschnitte zusammen, erhält man die in Abb. 2.4 sche-matisch dargestellte Kennlinie einer Vakuumröhrendiode. Der in der Abbildung gekenn-zeichnete Bereich 1 stellt dabei den Sperrbereich der Diode dar. Die Anodenspannungist hier so groÿ (negativ), dass jeglicher Stromuss unterbunden wird. Bereich 2 ist derAnlaufbereich in dem ein Strom in geringem Maÿe ieÿen kann. Der in Abschnitt 2.1 be-schriebene Raumladungsbereich wird durch den Kurvenverlauf im dritten Bereich abge-bildet. Der Verlauf des Sättigungsbereichs (4) ist nach Abschnitt 2.3 für zwei verschiedeneTemperaturen T1 und T2 aufgezeichnet.

18

3. Röhrentypen

Während in Kapitel 2 ausschlieÿlich die Physik der Röhrendiode behandelt wurde, sollin diesem Kapitel, basierend auf den vorangegangenen Ergebnissen, zunächst auf dieprinzipielle Funktionsweise der gängigen Mehrpolröhren eingegangen werden. In einemzweiten Teil werden dann wichtige Berechnungen für die Auslegung und Verwendung vonElektronenröhren durchgeführt. Da für die Signalverstärkung im niederfrequenten Audio-bereich hauptsächlich Trioden und Pentoden eine Rolle spielen, werden Mehrpolröhrenwie Heptoden und Hexoden nicht behandelt.

3.1. Grundsätzlicher Aufbau

3.1.1. Triode

Das Schaltbild in Abb. 3.1 stellt den schematischen Aufbau einer Röhrentriode dar. Ohnedas Gitter G entspricht der Aufbau der in Kapitel 2 beschriebenen Röhrendiode mit derHeizung H, der Kathode K und der Anode A.Durch das Hinzufügen des Gitters ist der Anodenstrom bei der Triode nicht mehr allein

von der Anodenspannung abhängig, sondern auch von der am Gitter anliegenden Span-nung Ugk. Liegt an Ugk eine im Vergleich zum Kathodenpotential negative Spannungan, wird dadurch der Emissionsstrom an der Kathode und damit auch der Anodenstromgeringer, da die Elektronen vom negativen Potential des Gitters zur Kathode zurückgedrängt werden. Bei steigender negativer Spannung Ugk sinkt der Anodenstrom immerweiter ab, bis beim Erreichen der Abschnürspannung der Stromuss an der Anode kom-plett gesperrt ist. Bei positiver Gitterspannung können die von der Kathode emittierten

Abbildung 3.1.: Schaltbild Triode

19

Abbildung 3.2.: Schaltbild Tetrode

Elektronen auch auf dem Gitter landen, wodurch ein Gitterstrom ieÿt. Wird dieser zugroÿ, kann die Röhre zerstört werden. In der Praxis müssen hohe Gitterströme dahervermieden werden.Der Anodenstrom kann mit einer negativen Gitterspannung demnach leistungslos1

gesteuert werden, weshalb das Gitter auch Steuergitter genannt wird [Dic08].

3.1.2. Tetrode

Ein Nachteil der Triode ist die Kapazität zwischen Kathode und Anode, da diese sichbei der Übertragung von Wechselstromsignalen als störend erweisen kann. Durch Ein-fügen eines weiteren Gitters G2 kann man dem Abhilfe schaen und erhält die in Abb.3.2 dargestellte Tetrode. Dieses zweite Gitter schirmt die Anode elektrostatisch vomSteuergitter G1 ab. An G2 liegt eine hohe positive Spannung an, wodurch es auf dieElektronen dieselbe Auswirkung hat wie die Anode: Die Elektronen werden in Richtungdes Schirmgitters beschleunigt. Jedoch sind die Maschen dieses Gitters sehr weit, wes-halb die meisten Elektronen durch das Schirmgitter hindurch zur Anode gelangen. Wienoch gezeigt wird, sind durch diese Bauweise der Tetrode gröÿere Verstärkungsfaktorenals mit einer Triode realisierbar.

Sekundärelektronen Ein Problem, das bei der Tetrode auftritt, sind die Sekundärelek-tronen. Die von der Kathode emittierten und durch das Schirmgitter G2 beschleunigtenElektronen treen mit groÿer Wucht auf die Anode. Durch den Aufprall sind sie in derLage, Elektronen aus der Anode herauszuschlagen. Andere Elektronen können nicht indas Anodenmaterial eindringen, da sie aufgrund ihrer hohen Geschwindigkeit an derOberäche abprallen. Diese sog. Sekundärelektronen bilden eine Wolke um die Anode.

1Da an dieser Stelle auf die Herleitung der Elektronenlaufzeit verzichtet werden soll, sei auf[Moe/Fri/Fro/Vas76] verwiesen. Dort wird gezeigt, dass die Elektronenlaufzeit zwischen Kathodeund Anode vernachlässigbar gering ist und die Steuerung deshalb näherungsweise auch ohne zeitlicheVerzögerung abläuft.

20

Abbildung 3.3.: Schaltbild Pentode

Sinkt nun die Anodenspannung unter die Schirmgitterspannung, werden die Sekundär-elektronen vom Schirmgitter angezogen und es entstehen Signalverzerrungen.Um dieses Problem zu umgehen, kann man den Abstand zwischen Anode und Schirm-

gitter vergröÿern, was jedoch wiederum eine hohe Anodenspannung erfordern würde.Eine zweite Lösung ist daher das Hinzufügen eines weiteren Gitters, was zur Bauweiseder Pentode führt.

3.1.3. Pentode

Bei der Pentode wird zwischen Schirmgitter und Anode ein drittes Gitter G3, das sog.Bremsgitter, eingefügt (vgl. Abb. 3.3). Das Bremsgitter liegt auf dem gleichen Potentialwie die Kathode und stöÿt daher Elektronen ab. Dadurch, dass das Gitter sehr grob-maschig ist, können es die schnellen, von der Kathode kommenden Elektronen nahezuungehindert passieren. Die langsameren Sekundärelektronen werden jedoch abgestoÿenund zurück zur Anode gedrängt.Ein Nachteil der Pentode gegenüber der Triode ist das stärkere Eigen- bzw. Röhren-

rauschen. Je mehr Gitter eine Röhre aufweist, desto gröÿer ist die an der Anode zumessende Rauschspannung. Sie kommt durch die ungleichmäÿige Bewegung der Elek-tronen auf dem Weg von der Kathode zur Anode zustande. Durch die an den Gitternanliegenden unterschiedlichen Potentiale werden die Elektronen immer wieder beschleu-nigt und abgebremst, wodurch innerhalb der Röhre eine ungleichmäÿige Stromverteilungherrscht [Dic08].

3.2. Kenngröÿen und Berechnungsgröÿen der Triode

3.2.1. Kennlinie der Triode

Wie in Abschnitt 3.1 erläutert, hängt der Anodenstrom bei Mehrpolröhren nicht mehrnur von der Anodenspannung ab, sondern auch von den verschiedenen Gitterspannungen.Das bedeutet, dass Gleichung 2.12, die den Verlauf der Anodenspannung der Diode imRaumladungsbereich beschreibt, für Mehrpolröhren angepasst werden muss.

21

Die Ladung der Kathode berechnet sich bei der Diode aus der Anodenspannung Uakund der Kapazität Cak zwischen Anode und Kathode zu

QkDiode = Uak · Cak. (3.1)

Zu dieser Ladung kommt bei der Triode die Ladung von Gitter und Kathode. Dieseberechnet sich wiederum aus Gitterspannung Ugk und der Kapazität zwischen Gitterund Kathode (Cgk). Für die Gesamtladung folgt daraus

QkTriode = Uak · Cak + Ugk · Cgk

= Cgk

(Ugk +

UakCgkCak

). (3.2)

Das Kapazitätenverhältnis µ =CgkCak

kann dabei als Verstärkungsfaktor angesehen werden.Es beschreibt, wie stark die Anode durch das Gitter elektrostatisch von der Kathode ab-geschirmt wird, d. h. je gröÿer µ wird, desto gröÿer wird der Einuss der GitterspannungUgk [Spa48, Cha33].Von der Kathode aus gesehen, kann nicht beurteilt werden, ob es sich um eine Diode

oder um eine Triode handelt. Der Grund dafür ist, dass die an der Kathode anliegende re-sultierende Ladung Qk für sich betrachtet keine Rückschlüsse auf die Bauart zulässt. DieSumme der Spannungen Ugk + Uak

µ wird aus diesem Grund äquivalente Diodenspannung

genannt. Dieses Prinzip, dass im statischen Zustand zu jeder Triode eine äquivalente Di-ode gefunden werden kann, führt in erster Näherung zur mathematischen Beschreibungder Kennlinie der Triode. Nach [Spa48] kann experimentell gezeigt werden, dass, analogzum Langmuir-Child'schen Raumladungsgesetz der Diode, für den Kathodenstrom Ik derTriode gilt

Ik = Ia + Ig = k ·(Ugk +

Uakµ

) 32

(3.3)

(vgl. Gleichung 2.14). Wie die Perveanz bei der Diode, ist k hier erneut eine bauartbe-dingte Konstante, auf die weiter unten eingegangen wird.Bei negativer Gittervorspannung können keine Elektronen auf dem Gitter landen, wes-

halb in diesem Fall der Gitterstrom Ig = 0 ist. Wie bereits in Abschnitt 3.1.1 auf Seite 19erläutert wurde, werden aus diesem Grund hohe positive Gitterspannungen in der Praxisvermieden. Es gilt dann Ik = Ia.Gleichung 3.3 führt damit auf die beiden gängigen Darstellungsarten der Kennlinien-

felder der Triode Ia = f(Ugk) (Abb. 3.4a) bzw. Ia = f(Uak) (Abb. 3.4b).

Die Perveanz bei der Triode Um in Gleichung 3.3 die Perveanz k der Triode zu be-stimmen, berechnet man jeweils die Stromdichte, die zum einen durch die Gitterspan-nung und zum anderen durch die Anodenspannung hervorgerufen wird. Dazu wird dasRaumladungsgesetz (Gleichung 2.11) nach der Spannung aufgelöst. Fasst man zudem die

22

(a) Ia = f(Ugk)

(b) Ia = f(Uak)

Abbildung 3.4.: Theoretische Kennlinienfelder der Triode

23

Naturkonstanten zu K = 49ε0

√2eme

zusammen und setzt für x den Abstand zwischen

Kathode und Anode (dak) bzw. Gitter (dgk) ein, erhält man

Uak =J

23 · d

43ak

K23

(3.4)

Ugk =J

23 · d

43gk

K23

. (3.5)

Diese beiden Spannungen werden in Gleichung 3.3 eingesetzt. Durch Teilen durch dieQuerschnittsäche A erhält man dann die Stromdichte J

J =IkA

=k

A ·K·

J 23 · d

43gk +

J23 · d

43ak

µ

32

(3.6)

und damit die Perveanz k

k =A ·K(

d43gk +

d43akµ

) 32

. (3.7)

Analog zur äquivalenten Diodenspannung kann der Abstand

deq =

√√√√√d 43gk +

d43ak

µ

32

(3.8)

als äquivalente Diodenabmessung angesehen werden [Spa48].Auch hier ist, wie bei der Diode, die Perveanz ausschlieÿlich von den Abmessungen

der Triode abhängig.

3.2.2. Röhrenparameter

Im Datenblatt einer Röhre ndet man, neben den Kennlinienfeldern, auch Angaben zumVerstärkungsfaktor µ bzw. Durchgri D sowie zur Steilheit S und zum Innenwiderstand

Ri. Diese Parameter können in der Regel nur für den gewählten bzw. empfohlenen Be-triebsbereich als annähernd konstant bestimmt werden. Die Werte gelten auÿerdem nur,wenn eine Änderung des Anodenstromes keine Änderung der Anodenspannung hervorruftund man sich im linearen Bereich der Ia-Ugk-Kennlinie bendet. Man spricht in diesemFall vom statischen Betriebsbereich. Die folgenden Zusammenhänge werden u. a. auch in[Dic08] detailliert beschrieben.

24

Innenwiderstand Der Innenwiderstand setzt sich aus einem Wechselstrom- bzw. Blind-widerstand Xi und einem Gleichstromwiderstand Ri zusammen. Dass er nicht konstantist wird schnell klar, wenn man ihn anhand der statischen Ia-Ugk-Kennlinie berechnenwill. Der Gleichstromwiderstand berechnet sich gemäÿ dem ohmschen Gesetz aus demQuotient

Ri =UakIa

. (3.9)

Bei vorgegebener, konstanter Anodenspannung Uak ändert sich Ia mit der Gitterspan-nung Ugk. Betrachtet man Abb. 3.4a, erkennt man, dass der Innenwiderstand mit gröÿerwerdender negativer Gitterspannung ebenfalls ansteigt (Ia nimmt ab), bis er beim Errei-chen der Abschnürspannung unendlich groÿ geworden ist. Dann ist Ia = 0, d. h. es ieÿtkein Strom mehr durch die Röhre.Der Wechselstromwiderstand berechnet sich analog dazu aus dem Quotient einer durch

eine Änderung der Anodenspannung 4Uak hervorgerufene Anodenstromänderung 4Iabei konstanter Gitterspannung

Xi =4Uak4Ia

Ugk = const. (3.10)

Auch hier wird aus Abb. 3.4a ersichtlich, dass für negativere Gitterspannungen bei glei-cher Änderung der Anodenspannung der Widerstand zunimmt.In Wechselstrom- wie im Gleichstromfall muss der Innenwiderstand demnach jeweils

für die gewählten Betriebsbedingungen neu berechnet werden.

Statische Steilheit Die statische Steilheit wird berechnet aus dem Quotient

S =4Ia4Ugk

Uak = const. (3.11)

Wie ihr Name vermuten lässt, beschreibt sie die Steigung der Ia-Ugk-Kennlinie bei kon-stanter Anodenspannung. Da die Kennlinie keine Gerade beschreibt, gilt der im Daten-blatt angegebene Wert nur für den linearen Bereich der Kennlinie.

Durchgri Die Feldlinien, aufgrund derer die Elektronen zur Anode hin beschleunigtwerden, werden vom negativen Potential des Steuergitters behindert. Sind die Maschendes Steuergitters sehr grob, können die Feldlinien besser durchgreifen als bei einem eng-maschigen Gitter. Umgekehrt bedeutet dies, dass bei einem weitmaschigen Gitter einegröÿere Änderung der Gitterspannung notwendig ist, um bei konstantem Anodenstromeine Anodenspannungsänderung zu erreichen, als bei einer Röhre mit kleinem Durchgri.Dies führt auf die Formel zur Berechnung des Durchgris als Quotient aus Gitterspan-nung und Anodenspannung

D =4Ugk4Uak

Ia = const. (3.12)

25

Er beschreibt den Einuss der Änderung der Gitterspannung auf die resultierende Än-derung der Anodenspannung bei konstantem Anodenstrom.In Verstärkerschaltungen liegt am Gitter der Röhre das Eingangssignal an, während

an der Anode das Ausgangssignal abgegrien wird. Mit den vorangegangenen Überlegun-gen wird deutlich, dass der Durchgri direkt mit dem Verstärkungsfaktor µ der Röhrezusammenhängen muss. Liegt ein sehr engmaschiges Gitter vor, ist der Durchgri klein.Der Einuss des Gitters ist damit jedoch groÿ, eine kleine Änderung der Gitterspannungbewirkt eine starke Änderung der Anodenspannung. Die Röhre besitzt also einen hohenVerstärkungsfaktor. Der Durchgri kann damit als Reziprokwert des Verstärkungsfaktors

µ =1

D(3.13)

aufgefasst werden.Bei Röhren mit mehreren Gittern werden die Feldlinien stärker behindert, was zwangs-

läug zu einem geringeren Durchgri führen muss. Dies erklärt, weshalb der Verstär-kungsfaktor einer Pentode generell gröÿer ist, als der einer Triode.

Barkhausen'sche Röhrenformel Es erscheint naheliegend anzunehmen, dass die Para-meter Steilheit, Durchgri und Innenwiderstand direkt zusammenhängen. Dieser Zusam-menhang wird durch die Barkhausen'sche Röhrenformel

Xi · S ·D = 1 (3.14)

beschrieben.

3.2.3. Arbeitswiderstand

Mit der eingangsseitigen Steuerspannung wird zunächst einmal nur der durch die Röhreieÿende Strom gesteuert. Damit man daraus eine Spannungsverstärkung erhält, bendetsich im Anodenkreis der Röhre der Arbeitswiderstand Ra, bzw. Za. An diesem fällt eineSpannung ab, die von der Gröÿe und Art des Widerstandes, sowie vom AnodenstromIa abhängt. Da der Arbeitswiderstand zwischen der Versorgungsspannung Ub und derAnode liegt, ändert sich, abhängig von Arbeitswiderstand und Anodenstrom, auch dieSpannung zwischen Anode und Kathode.

Ohmscher Widerstand Im Falle eines ohmschen Widerstandes, der zwischen Versor-gungsspannung und Anode liegt, berechnet sich der Anodenstrom gemäÿ dem ohm-schen Gesetz. Das Schaltbild in Abb. 3.5 zeigt die Verhältnisse. Der Anodenstrom Ia,der aufgrund des Potentialunterschiedes zwischen Anode und Kathode der Röhre verur-sacht und von der Gitterspannung Ugk gesteuert wird, verursacht einen SpannungsabfallURa = Ia ·Ra am Arbeitswiderstand. Nach der Maschenregel wird die wirksame Anoden-spannung Uak, also der Potentialunterschied zwischen Anode und Kathode, um dieseSpannung verringert. Sie berechnet sich zu Uak = Ub−URa bzw. URa = Ub−Uak. Damitgilt für den Anodenstrom die Beziehung

26

Abbildung 3.5.: Triode mit ohmschen Arbeitswiderstand

Ia =URaRa

=Ub − Uak

Ra. (3.15)

Diese Gleichung beschreibt eine Gerade mit der Variablen Uak, der Steigung − 1Ra

und

dem y-Achsenabschnitt UbRa. Die Gerade wurde in Abb. 3.6 in das Ia-Uak-Kennlinienfeld

einer Triode für einen Arbeitswiderstand von Ra = 10 kΩ und eine Betriebsspannung vonUb = 250V eingezeichnet. Sie schneidet die x-Achse bei Ia = 0mA, also Ub = Uak = 250Vund die y-Achse bei Uak = 0V, d. h. Ia = Ub

Ra= 25mA.

Induktivität Da Röhrenverstärkerschaltungen meist sehr hochohmig sind, ist es not-wendig die Last - z. B. einen Lautsprecher - über einen Übertrager anzukoppeln, umdie Impedanzen anzugleichen. Für den Arbeitsbereich bedeutet dies, dass im Anoden-kreis der Röhre kein ohmscher Widerstand liegt, sondern die Spule der Primärseite desÜbertragers. Der Wechselstromwiderstand einer Spule ist wiederum frequenzabhängig.Er nimmt für kleiner werdende Frequenzen ab, d. h. die negative Steigung der Arbeits-widerstandsgeraden wird für tiefe Frequenzen betragsmäÿig gröÿer.Zur Festlegung der Betriebsspannung Ub wird zunächst der Gleichstromwiderstand RL

der Spule herangezogen. Es ist darauf zu achten, dass die zulässige Anodenverlustleis-tung Wa der Röhre nicht überschritten wird. Im Arbeitspunkt ieÿt an der Anode derRuhestrom IAP . Er verursacht einen Spannungsabfall an RL, welcher von der Betriebss-pannung Ub abgezogen werden muss, um die wirksame Anodenspannung zu erhalten:

27

Abbildung 3.6.: Ia-Uak-Kennlinienfeld mit Arbeitswiderstandsgerade bei Ra = 10 kΩ

Uak = Ub − IAP ·RL (3.16)

IAP ist dabei der Strom, der bei der eingestellten Gittervorspannung Ugk durch die Röhreieÿt, wenn kein Signal anliegt.Um die daraus resultierende Verlusleistung zu berechnen, muss Gleichung 3.16 mit

dem Ruhestrom multipliziert werden. Die Verlustleistung muss kleiner sein, als der imDatenblatt der Röhre angegebene maximal zulässige Wert.

IAP · Ub − I2AP ·RL ≤Wa (3.17)

Ist diese Bedingung erfüllt, ist der Arbeitspunkt der Röhre eindeutig festgelegt.Ausgehend vom Arbeitspunkt muss als nächstes die Steigung der Arbeitswiderstands-

geraden ermittelt werden. Im Ia-Uak-Kennlinienfeld ist diese gleich dem Betrag des Blind-widerstandes XL = ωL der Spule und damit, wegen ω = 2πf , abhängig von der Frequenzf des anliegenden Signals. Eine Änderung 4Ia des Anodenstromes bewirkt also eine Än-derung der Anodenspannung von 4Uak = XL ·4Ia [Dic08]. Ist die Frequenz f der Span-nung Uak bekannt, kann die Arbeitswiderstandsgerade in das Kennlinienfeld gezeichnetwerden. Sie schneidet den berechneten Arbeitspunkt mit einer Steigung von 1

XL= 1

2πf ·L .Ausgedrückt mit dem komplexen Widerstand ZL der Spule ergibt sich damit, analogzum ohmschen Arbeitswiderstand, für den Anodenstrom Ia folgender Zusammenhang

Ia =Ub − UakRL + jXL

. (3.18)

28

Teil II.

Entwicklung des Algorithmus

29

4. Digitales Modell einer Triode

Damit eine Verstärkerschaltung mit einer Triode digital implementiert werden kann, musszunächst ein geeignetes Modell gefunden werden, mit dem das Verhalten einer einzelnenRöhre mathematisch beschrieben werden kann. Ein solches Modell setzt sich im Idealfallaus einer oder mehreren mathematischen Gleichungen mit bestimmten Eingangsparame-tern zusammen. Abhängig von diesen Eingangsparametern können die Ausgangsparame-ter für die gewählten Randbedingungen berechnet werden.

4.1. Mathematische Beschreibung des Kennlinienfeldes

Wichtigste Grundlage zur Beschreibung des Verhaltens einer Röhre ist das Kennlinien-feld. Aus ihm geht eindeutig hervor, wie die Röhre auf bestimmte Randbedingungen rea-giert. Für das Ia-Uak-Kennlinienfeld bedeutet dies konkret, dass bei bekannter Betriebs-und Gitterspannung der resultierende Anodenstrom und - bei gegebenem Arbeitswider-stand damit auch die Ausgangsspannung - abgelesen werden kann (vgl. Abschnitt 3.2).Will man eine Röhre digital nachbilden, ist es demnach zwingend nötig, dass man dasKennlinienfeld mathematisch möglichst genau beschreiben kann.In Abschnitt 3.2.1 wurde gezeigt, dass das Kennlinienfeld der Triode in der Theorie

durch Gleichung 3.3 beschrieben wird. Im Vergleich mit den Kennlinienfeldern realerRöhren treten allerdings groÿe Abweichungen von der Theorie auf. Vor allem für dieRöhren-Schaltungssimulation in der Simulationssoftware Spice existieren daher verschie-dene angepasste Modelle zur Modellierung des Kennlinienfeldes. Am verbreitetsten sinddie Methoden nach Reynolds [Rey93], Leach [Lea95] und Koren [Kor12], die auch überSpice hinaus Anwendung gefunden haben. Die Notwendigkeit solcher Modelle wird inden nächsten beiden Abschnitten klar.

4.1.1. Perveanz

Legt man der mathematischen Beschreibung des Kennlinienfeldes zunächst Gleichung3.3 zugrunde, stellt man fest, dass in den Datenblättern gängiger Röhrenhersteller derWert für die Perveanz k nicht angegeben ist. Da zudem keine detaillierten Angaben zurDimensionierung einzelner Röhren gefunden werden konnten, war es auch nicht möglichdie Perveanz nach Gleichung 3.7 zu berechnen.In sämtlicher Literatur wird die Perveanz als bauartbedingte Konstante behandelt.

Es wurde daher versucht, sie aus den Kennlinienfeldern realer Röhren zu bestimmen.Dazu wurden die Werte von Uak, Ia und Ugk bei vorgegebener Betriebsspannung Ub undverschiedenen Arbeitswiderständen Ra abgelesen (vgl. Abb. 4.1) und daraus die Perveanzberechnet, indem Gleichung 3.3 nach k umgestellt wurde

30

Abbildung 4.1.: Kennlinienfeld einer ECC82 mit verschiedenen Arbeitswiderstandsgera-den [JJE12]

k =Ia(

Uakµ + Ugk

)1,5 . (4.1)

Im vorliegenden Fall wird dies am Beispiel einer ECC82 Triode erläutert, man erhält ana-loge Ergebnisse für andere Röhrentypen. Dem Datenblatt entnimmt man für die ECC82einen Verstärkungsfaktor von µ = 17. Wird µ zusammen mit den abgelesenen Wertenaus dem Kennlinienfeld in Gleichung 4.1 eingesetzt, erhält man für k keinen konstantenWert. Hält man beispielsweise die Gitterspannung konstant und entnimmt dem Daten-blatt entlang einer Gitterspannungskennlinie verschiedene Werte für Ia und Uak, ergibtsich der in Abb. 4.2 dargestellte Zusammenhang zwischen k und Ugk.Man erkennt, dass die Perveanz, wenn sie auf diese Weise berechnet wird, einem Kur-

venverlauf folgt. Sie ändert sich sowohl entlang einer konstanten Gitterspannung bei ver-schiedenen Arbeitswiderständen, als auch bei unterschiedlichen Gitterspannungen undkonstantem Arbeitswiderstand.Nun steht man vor dem Problem, dass die Perveanz der Theorie nach nur von der

Bauart, nicht aber von der Gitterspannung abhängt. Sieht man darüber zunächst einmalhinweg, gilt es für verschiedene Arbeitswiderstände Regressionskurven zu nden, mit de-nen die Perveanz abhängig von der Gitterspannung berechnet werden kann. Da zwischenden Regressionskurven jedoch ebenfalls kein linearer Zusammenhang zu bestehen scheint,ist es mit diesem Ansatz sehr schwer, ein allgemeingültiges Modell zu nden.

31

Abbildung 4.2.: Verlauf der nach Gleichung 4.1 berechneten Perveanz in Abhängigkeitvon der Gitterspannung Ugk

4.1.2. Exponent

Eine weitere Literaturrecherche ergab, dass bei realen Röhren Gleichung 3.3 insofern nichtgenau ist, als dass der Exponent n für verschiedene Gitterspannungen nicht konstant 1,5ist, sondern sich im Bereich 1,2 ≤ n ≤ 2,5 ändern kann [Rei44].In einem zweiten Ansatz wurde daher versucht, sowohl die Perveanz als auch den

Exponenten als Variablen zu behandeln und die Werte anhand des Kennlinienfeldes einerECC82 zu berechnen. Dazu wurden entlang der Kennlinie einer Gitterspannung (vgl.Abb. 4.1) für Ia und Uak jeweils zwei Werte entnommen (hier z. B. für Ugk = −6V):

Ugk Ia Uak

-6V 7mA 180V-6V 2,5mA 130V

Tabelle 4.1.: Werte aus der Ia = f(Uak) Kennlinie einer ECC82

Man erhält somit aus Gleichung 3.3 zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (k undn)

7mA = k ·(

180V17

− 6V

)n2,5mA = k ·

(130V

17− 6V

)n.

Löst man dieses Gleichungssystem nach k und n, so erhält man die Funktionsgleichung für

32

Abbildung 4.3.: Berechnetes Ia = f(Uak) Kennlinienfeld, wenn k und n als Variablenbetrachtet werden

die gewählte Gitterspannung im Ia-Uak-Kennlinienfeld. Diese Berechnung wurde für ver-schiedene Gitterspannungen durchgeführt, wodurch man für jede Gitterspannung einenWert für k und n erhält:

Ugk [V] n k [mAVn ]

0 1,2431 1,3126-2 1,2609 1,1534-4 1,2061 1,1742-6 1,0050 1,5141-8 0,8216 1,8253-10 0,6333 2,0991

Tabelle 4.2.: k und n für verschiedene Gitterspannungen Ugk

Betrachtet man das so festgelegte Kennlinienfeld, stellt man zweierlei fest. Erneut be-steht zwischen der Gitterspannung Ugk und k bzw. n kein erkennbar Zusammenhang.Ein gröÿeres Problem ist allerdings, dass mit dieser Berechnung für groÿe negative Git-terspannungen für den Exponenten n Werte herauskommen, die kleiner als 1,2 sind.Dadurch sind die Kurven ab einer bestimmten Gitterspannung nach rechts gekrümmt,was nicht mit dem realen Kennlinienfeld übereinstimmt (Abb. 4.3).

4.1.3. Spezielle Exponentialfunktion mit zwei Parametern

Persönliche Rücksprache mit dem slowakischen Röhrenhersteller JJ Electronic ergab,dass die Kennlinienfelder durch Messungen an realen Röhren aufgenommen werden und

33

daher auf Herstellerseite keinerlei Informationen über die mathematische Beschreibungeines Kennlinienfeldes vorliegen. Wie vermutet ist die Perveanz laut JJ Electronic eintheoretischer Wert, der bei der Berechnung realer Röhren, aufgrund der hohen Nichtli-nearität des Bauteils, in der Praxis keine Rolle spielt.Da die vorangegangenen Ansätze auf keine geschlossene Lösung zur exakten Beschrei-

bung des Kennlinienfeldes führten, wurde ein Ansatz gewählt, der zunächst einmal keinentheoretisch begründeten Hintergrund aufweist.Abgeleitet von Gleichung 3.3 dient als Grundlage eine Exponentialfunktion der Form

y = f(x1, x2) = g ·(x2h

+ x1

)n. (4.2)

Zur Bestimmung der Parameter g, h und n setzt man analog zu Gleichung 3.3

y = Ia

x1 = Ugk

x2 = Uak.

Dem Datenblatt wurden wiederum entlang jeder Gitterspannung je drei Werte für Ia undUak entnommen. Die hier gewählten Punkte sind die Schnittpunkte der 10 kΩ-, 50 kΩ- und100 kΩ Arbeitswiderstandsgeraden mit der jeweiligen Gitterspannungskennlinie, wobeierneut die ECC82 als Vorbild dient. Ähnlich dem vorangegangenen Ansatz erhält mannun also je Gitterspannung drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

0 = g ·(Uak1h

+ Ugk

)n− Ia1

0 = g ·(Uak2h

+ Ugk

)n− Ia2

0 = g ·(Uak3h

+ Ugk

)n− Ia3

Powell-Hybrid Methode Die Powell-Hybrid Methode ist ein numerisches Verfahren zurBestimmung der Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems. Details dazu können u. a.in [Pow64] nachgelesen werden. Das numerische Mathematik-Programm Scilab beinhal-tet mit dem Befehl fsolve eine Modikation des Powell-Algorithmus. Mit diesem wurdedas obenstehende Gleichungssystem für verschiedene Gitterspannungen gelöst. Man er-hält für jede Gitterspannung je einen Wert für g, h und n und damit die Funktionsglei-chung der Gitterspannungskennlinie im Ia-Uak-Kennlinienfeld. Die so berechneten Wertesind für den vorliegenden Fall in Tabelle 4.3 auf der nächsten Seite einzusehen. Man er-kennt, dass n, im Vergleich zur in Abschnitt 4.1.2 beschriebenen Methode, betragsmäÿigzwar gröÿer ist (≈ 3), dafür aber deutlich konstanter zu sein scheint.Zur besseren Veranschaulichung des Verlaufs der einzelnen Parameter über die Gitter-

spannung, sind diese zusätzlich in Abb. 4.4 grasch dargestellt. Der Parameter g verläuftnäherungsweise entlang einer Kurve, die in der Abbildung durch eine exponentielle Re-gressionskurve der Form

34

Ugk [V] g [10−12 A

Vn ] h n

0 9,634 0,0994224 2,9998009-2 4,053 0,0960531 3,0000897-4 2,373 0,1017016 2,9997796-6 1,272 0,1020453 2,9997747-8 0,706 0,1032707 2,9996268-10 0,303 0,0967042 3,0009042-12 0,177 0,0998966 3,0010683-14 0,089 0,0985870 3,0003708-16 0,044 0,1014778 2,9997104

Tabelle 4.3.: Lösungen des Gleichungssystems

Abbildung 4.4.: Die Parameter g, h und n abhängig von der Gitterspannung

35

Abbildung 4.5.: Modelliertes Kennlinienfeld mit Arbeitswiderstandsgerade

g(Ugk) = g(−∞)− [g(−∞)− g(0)] · eUgkτ (4.3)

mit

g(0) = 9,634 · 10−12 AVn

g(−∞) = 1,227 · 10−14 AVn

τ = 2,9511207V

angenähert wurde (rot). Da sowohl beim Verlauf des Parameters h, als auch beim Ex-ponent n keine Regelmäÿigkeit erkennbar ist, sind sie als prozentuale Abweichung vomMittelwert dargestellt. h bewegt sich dabei im Bereich ±4 %, n sogar nur im Bereich±0,03%, weshalb beide in guter Näherung als konstant angenommen werden können.Das auf diese Art eindeutig beschriebene Ia-Uak-Kennlinienfeld ist in Abb. 4.5 darge-

stellt. Zwar stimmen auch hier die Kurvenverläufe der Gitterspannungskennlinien nichtgenau mit den tatsächlichen Verläufen überein, jedoch sind für die Berechnung des Aus-gangssignals in Abhängigkeit des Eingangssignals, wie in Abschnitt 4.2 auf Seite 38noch beschrieben wird, nur die Schnittpunkte zwischen Kennlinienfeld und Arbeitswider-standsgerade relevant. In den folgenden Tabellen sind die Schnittpunkte des berechnetenKennlinienfeldes mit der 10 kΩ-Arbeitswiderstandsgeraden den aus dem Datenblatt ab-gelesenen Schnittpunkten gegenübergestellt.

36

Ugk [V] Uak berechnet [V] Uak Datenblatt [V] Abweichung [%]

-16 242,3 242,5 0,08-14 237,3 235,0 -0,98-12 229,0 225,0 -1,78-10 216,3 212,5 -1,79-8 199,0 197,5 -0,76-6 178,3 180,0 0,94-4 155,9 160,0 2,56-2 133,5 137,5 2,910 112,5 112,5 0,00

Tabelle 4.4.: Anodenspannung an den Schnittpunkten der Gitterspannungskennlinien mitder 10 kΩ-Arbeitswiderstandsgeraden (ECC82)

Ugk [V] Ia berechnet [mA] Ia Datenblatt [mA] Abweichung [%]

-16 0,7661 0,75 -2,15-14 1,2637 1,50 15,76-12 2,0999 2,50 16,00-10 3,3721 3,75 10,08-8 5,0874 5,25 3,10-6 7,1523 7,00 -2,18-4 9,3912 9,00 -4,35-2 11,6183 11,5 -1,030 13,7311 13,75 0,14

Tabelle 4.5.: Anodenstrom an den Schnittpunkten der Gitterspannungskennlinien mit der10 kΩ-Arbeitswiderstandsgeraden (ECC82)

Um die Flexibilität und Verwendbarkeit dieser Methode zu überprüfen, wurden dieKennlinienfelder zahlreicher weiterer Röhrentrioden auf diese Weise nachgebildet. In Be-zug auf die Abweichungen vom realen Kennlinienfeld erhielt man dabei ausnahmslosvergleichbare Ergebnisse, wie bei der hier beschriebenen ECC82.

Fehlerbetrachtung Da zur Analyse der Kennlinienfelder realer Röhren nur die Da-tenblätter der Hersteller in mehr oder minder guter Qualität vorlagen, schleicht sichzwangsläug ein Fehler ein. Dieser kommt zum einen durch Messfehler beim Aufnehmender Kennlinie auf Seiten des Herstellers zustande, wobei allerdings davon ausgegangenwird, dass die Kennlinien hinreichend genau sind. Der weitaus gröÿere Fehler wird beimAblesen der Werte aus den Kennlinienfeldern gemacht. Die Skalengenauigkeit der vor-liegenden Datenblätter liegt bei der Ua-Achse zwischen 5V und 10V, bei der Ia-Achsezwischen 0,1mA und 5mA. Im Falle der oben behandelten ECC82 ist die Skalierung derUa-Achse beispielsweise 4u = 5V und die der Ia-Achse 4i = 0,5mA. Betrachtet man

37

nun z. B. in der Tabelle des Anodenstromes den Wert mit der gröÿten Abweichung (16%bei Ugk = −12V), so liegt der abgelesene Anodenstrom bei einer Ablesegenauigkeit von50% im Bereich Ia−12V = (2,50± 0,25)mA. Wird bei der Lösung des Gleichungssystemszur Berechnung von g, h und n an dieser Stelle die untere Grenze Ia−12V = 2,25mA ein-gesetzt, so erhält man die Mittelwerte n = 2,9999772 und h = 0,1001608 (die Änderungdes Verlaufs von g ist vernachlässigbar gering). Erneute Berechnung des Kennlinienfeldesmit den neuen Werten führt auf eine Abweichung zwischen berechnetem und abgelesenemWert bei Ugk = −12V von lediglich 6,67%, während sich alle anderen Abweichungen nurunwesentlich ändern.

Im Rahmen der Möglichkeiten ist diese Methode also über einen groÿen Bereich undfür verschiedene Röhrenmodelle ausreichend genau. Sie ist zudem exibel, da für andereRöhrenmodelle lediglich die Parameter g(0), g(−∞), τ und h angepasst werden müssen.Der Exponent wurde für alle untersuchten Modelle näherungsweise zu n = 3,0 = const.bestimmt. Dies hat den groÿen Vorteil, dass im folgenden Abschnitt mit einer kubischenGleichung gerechnet werden kann und der daraus entwickelte Algorithmus allgemein gül-tig ist.

4.2. Modellierung des Übertragungsverhaltens

Im vorangegangenen Abschnitt wurde eine Methode entwickelt, mit der das Ia-Uak-Kennlinienfeld einer Röhrentriode durch eine Gleichung der Form

Ia(Uak, Ugk) = g ·(Uakh

+ Ugk

)3,0

(4.4)

g = g(−∞)− [g(−∞)− g(0)] · eUgkτ

beschrieben werden kann. Zur Berechnung des Ausgangssignals Uak in Abhängigkeit vomEingangssignal Ugk benötigt man jedoch eine Gleichung der Form Uak = f(Ugk). Dabeimuss zwischen dem Fall eines ohmschen- und eines induktiven Arbeitswiderstandes un-terschieden werden.

4.2.1. Übertragungskurve mit ohmschen Arbeitswiderstand

Das Ausgangssignal ist zum einen abhängig vom ohmschen Arbeitswiderstand Ra und derBetriebsspannung Ub (vgl. Abschnitt 3.2.3), zum anderen vom Verlauf des Kennlinien-feldes. Die Gitterspannung begrenzt den Strom, der aufgrund des Potentialunterschiedeszwischen Anode und Kathode durch die Röhre ieÿt. Dies wird durch Gleichung 4.4beschrieben. Zugleich verursacht dieser Strom einen Spannungsabfall an Ra, womit dasAusgangssignal als Dierenz zwischen Betriebsspannung und ebendiesem Spannungsab-fall festgelegt ist. Dieser Zusammenhang steckt in Gleichung 3.15. Will man nun ausdem Eingangssignal direkt das Ausgangssignal bestimmen, bedeutet dies mathematisch

38

gesprochen, dass die Schnittpunkte zwischen Arbeitswiderstandsgerade und Gitterspan-nungskennlinie bestimmt werden müssen. Dies wird durch Gleichsetzen von Gleichung4.4 und 3.15 bewerkstelligt:

g ·(Uakh

+ Ugk

)3,0

=Ub − Uak

Ra(4.5)

Multipliziert man die linke Seite aus, erhält man

g

h3U3ak + 3

g

h2UgkU

2ak + 3

g

hU2gkUak + gU3

gk =UbRa− UakRa

g

h3U3ak + 3

g

h2UgkU

2ak +

(3g

hU2gk +

1

Ra

)Uak +

(gU3

gk −UbRa

)= 0. (4.6)

Durch Substitution von

a =g

h3

b = 3g

h2Ugk

c = 3g

hU2gk +

1

Ra

d = gU3gk −

UbRa

folgt daraus die kubische Gleichung

a · U3ak + b · U2

ak + c · Uak + d = 0. (4.7)

Lösung der kubischen Gleichung Die Nullstellen dieser Gleichung sind die zu ermit-telnden Schnittpunkte. Eine kubische Gleichung besitzt bekanntlich genau drei Lösungen,wovon mindestens eine reell ist. Im vorliegenden Fall erhält man, wegen des Verlaufs vonKennlinienfeld und Arbeitswiderstandsgerade, für alle in Frage kommenden Werte zweikomplexe und eine reelle Lösung, wobei letztere den gesuchten Schnittpunkt darstellt.Unter der Voraussetzung, dass gilt a, b, c, d εR, berechnet sich die Lösung der kubischenGleichung nach [Kra01, Pap90] gemäÿ dem nachfolgend erläuterten Ansatz.Zunächst teilt man Gleichung 4.7 durch a. Substitution von Uak = y − b

3a führt dannauf die Gleichung

y3 +

(c

a− 1

3

b2

a2

)y +

(2b3

27a3− bc

3a2+d

a

)= 0. (4.8)

In dieser Gleichung werden die Terme in den Klammern zu

39

3p =3ac− b2

3a2

q =2b3

27a3− bc

3a2+d

a

substituiert, wodurch man die vereinfachte Darstellung

y3 + 3py + q = 0 (4.9)

erhält. Als nächstes setzt man y = u+ v und löst nach (u+ v)3 auf:

(u+ v)3 = −q − 3p(u+ v)

u3 + v3 + 3uv(u+ v) = −q − 3p(u+ v) (4.10)

Man erkennt beim Koezientenvergleich, dass gelten muss u3 +v3 = −q, sowie uv = −p.Durch Umformung erhält man daraus das Gleichungssystem

u3 + v3 = −qu3 · v3 = −p3.

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist durch den Satz von Vieta gegeben. Danachbesteht zwischen den Parametern und den Lösungen der quadratischen Gleichung derZusammenhang

x2 + c1x+ c2 = 0 (4.11)

−(x1 + x2) = c1

x1 · x2 = c2.

Setzt man

u3 = x1

v3 = x2

q = c1

−p3 = c2,

so lässt sich Gleichung 4.11 schreiben als

x2 + qx− p3 = 0 (4.12)

mit der bekannten Lösung

40

Abbildung 4.6.: Übertragungsverhalten einer modellierten ECC82 bei Ra = 10 kΩ undUb = 250V

x1,2 =−q ±

√q2 + 4p3

2. (4.13)

Diese Formel wird im Zähler und im Nenner mit 4 erweitert. Rücksubstitution führt dannauf die folgenden Lösungen für u und v:

u =1

2

3

√−4q + 4

√q2 + 4p3 (4.14)

v =1

2

3

√−4q − 4

√q2 + 4p3 (4.15)

Wie bereits erwähnt, ist hier nur die reelle Lösung von Belang. Diese erhält man, wenndie Diskriminante q2 + 4p3 ≥ 0 ist. Durch weitere Rücksubstitution erhält man y alsSumme von u und v und damit schlussendlich Uak = y − b

3a .

Fasst man die Ergebnisse dieses und des vorangegangenen Abschnitts zusammen, istes jetzt möglich, das Übertragungsverhalten verschiedener Röhren in Form einer Über-tragungskennlinie grasch darzustellen und für beliebige Werte explizit zu berechnen.Dabei ieÿen die Werte für die Betriebsspannung und den Arbeitswiderstand in die Be-rechnung mit ein. In Abb. 4.6 ist diese Übertragungskennlinie für das Modell einer ECC82dargestellt. In diesem Beispiel beträgt der Arbeitswiderstand Ra = 10 kΩ bei einer Be-triebsspannung von Ub = 250V.

41

Abbildung 4.7.: Triode mit realer Spule im Arbeitskreis

4.2.2. Verhalten bei induktivem Arbeitswiderstand

Im Abschnitt 3.2.3 über den Arbeitswiderstand wurde die Notwendigkeit von Übertra-gern mit der hohen Impedanz von Röhrenschaltungen begründet. Dieser Umstand kommtbeispielsweise bei der Modellierung von Endstufen zum Tragen, da die Endstufe das letzteElement der Verstärkerschaltung ist und damit in ihrem Arbeitskreis der Ausgangstrans-formator liegt. Es wurde ebenfalls bereits erläutert, dass die Steigung der Arbeitswider-standsgeraden einer Spule im Ia-Uak-Kennlinienfeld frequenzabhängig ist.Die Folge dieser Frequenzabhängigkeit ist, dass das für den ohmschen Arbeitswider-

stand hergeleitete Modell nicht verwendet werden kann, wenn im Ausgangskreis der Röh-re eine Spule liegt. Für diesen Fall muss ein neues Modell gefunden werden. Im erstenSchritt wurde, analog zum ohmschen Arbeitswiderstand versucht, Gleichung 3.18 mitder Gleichung des Kennlinienfeldes (4.4) gleichzusetzen, um so eine geschlossene Lösungder Form Uak = f(Ugk) zu erhalten. Da die so erhaltenen Dierentialgleichungen jedochweder im Zeit- noch im Frequenzbereich ohne weiteres lösbar sind, wurde ein zweiterAnsatz ausprobiert, bei dem der Strom rückgekoppelt wird.In Abb. 4.7 ist das Schaltbild einer Triode mit realer Spule im Arbeitskreis dargestellt.

Die Spule besitzt eine Induktivität L und einen Innenwiderstand RL. Der Anodenstromder Röhre berechnet sich nach Gleichung 4.4 im Diskreten zu

Ian = gn ·(Ugkn +

Uaknh

)3

n = 0, 1, 2, ... (4.16)

42

Stellt man diese Gleichung nach der gesuchten Anodenspannung um, erhält man

Uakn = h ·

(3

√Iangn− Ugkn

). (4.17)

Um Uakn nach Gleichung 4.17 berechnen zu können, benötigt man den AnodenstromIan . Dazu betrachtet man den Spannungsabfall an der Spule. Er kann als Summe derSpannungsabfälle an Induktivität und Innenwiderstand berechnet werden zu

UL = Ia ·RL + L · ddtIa. (4.18)

Für die digitale Implementierung wird die Ableitung durch den vorderen Dierenzenquo-tienten

ddtIa →

Ian+1 − Ian4t

(4.19)

ersetzt. Hierbei ist4t gleich dem Reziprokwert der Abtastfrequenz (siehe auch [Fre/Bos08]).Man erhält

ULn = Ian ·RL + L ·Ian+1 − Ian4t

, (4.20)

bzw. umgestellt nach dem zukünftigen Strom Ian+1

Ian+1 = Ian +4tL

(ULn − Ian ·RL). (4.21)

Durch Verzögerung von Ian+1 um ein Abtastintervall erhält man den zur Berechnung vonUakn benötigten Strom Ian . Weiter gilt aufgrund der Maschenregel

ULn = Ub − Uakn . (4.22)

Diese Berechnungen sind in Abb. 4.8 in Form eines Blockschaltbildes dargestellt. DurchRückkopplung und Verzögerung des Stromes ist es nach dieser Methode möglich, beibekannten Anfangsbedingungen die Anodenspannung in guter Näherung zu berechnen.

43

Abbildung 4.8.: Blockschaltbild der Implementierung einer Röhre mit Spule als Arbeits-widerstand

44

5. Röhrenschaltungen mit Trioden

Im zweiten Schritt der Digitalisierung von Röhrenschaltungen werden die beschriebe-nen Röhrenmodelle zur Berechnung kompletter Verstärkerschaltungen mit verschiedenenelektronischen Bauteilen herangezogen. Ziel ist es, das Ausgangssignal einer Schaltung,abhängig von einem bekannten Eingangssignal, bei gegebenen Bauteildimensionierungennumerisch berechnen zu können.Systemtheoretisch betrachtet, stellt eine Röhrenverstärkerschaltung ein System mit

einer Eingangs- und einer Ausgangsgröÿe dar. Aufgrund der zur Beschaltung notwendi-gen Energiespeicher (Kondensatoren und Spulen), ist dieses System dynamisch, d. h. dasAusgangssignal hängt sowohl vom aktuellen, als auch einer bestimmen Anzahl vorange-gangener Zustände ab. Wegen des nichtlinearen Übertragungsverhaltens der Röhren istdas System auÿerdem nichtlinear und weil es sein Übertragungsverhalten mit der Zeitnicht ändert, ist es zeitinvariant [Fre/Bos08].Diese Eigenschaften des Systems führen zu seiner mathematischen Beschreibung in

Form von nichtlinearen Dierentialgleichungen im zeitkontinuierlichen, bzw. Dierenzen-gleichungen im zeitdiskreten Bereich. Da eine explizite Lösung dieser Gleichungen oftmalsnur schwer bis gar nicht ermittelt werden kann, werden die Dierenzengleichungen mitnumerischen Verfahren rekursiv gelöst.Für die Implementierung eines Vorverstärkers hat die Kathodenbasis-Schaltung die

gröÿte Bedeutung, da sie in nahezu allen gängigen Audio-Röhrenverstärkern, evtl. mitleichten Variationen, zum Einsatz kommt. Darüber hinaus wurden verschiedene weite-re Vorstufenschaltungen, wie z. B. in [Dic08] beschrieben, implementiert. Da diese sichjedoch nicht als zielführend erwiesen, wird hier nicht näher darauf eingegangen.

5.1. Implementierung einer Kathodenbasis-Vorstufe

Abb. 5.1 zeigt eine Kathodenbasis-Schaltung, wie sie u. a. auch in [Cas12, Dic08] beschrie-ben wird. Die Spannungsquelle Uin stellt das Eingangssignal dar. Sie bildet zusammenmit dem Widerstand Ri die Ersatzspannungsquelle der vorangeschalteten Signalquelle.Dabei kann es sich z. B. um einen Gitarrentonabnehmer oder eine weitere Röhrenstufehandeln. Zur Berechnung der Spannung zwischen Anode und Kathode Uak mit dem inAbschnitt 4.2.1 hergeleiteten Röhrenmodell, benötigt man die Spannung zwischen Gitterund Kathode Ugk. Ugk wiederum berechnet sich nach der Maschenregel aus der Dierenzzwischen Ug und Uk

Ugk = Ug − Uk. (5.1)

45

Abbildung 5.1.: Schaltbild einer Kathodenbasis-Vorstufe mit Triode

Es gilt also zunächst, abhängig vom Eingangssignal Uin, die Spannung Ugk zu bestimmen.Dabei muss ein Eekt berücksichtigt werden, der bisher nur am Rande erwähnt wurde.

5.1.1. Gitterstrom-Eekt

In Abschnitt 3.1.1 wurde erklärt, weshalb bei einer positiven Spannung zwischen Gitterund Kathode ein Strom über das Gitter zu ieÿen beginnt. Für die hier besprochene Schal-tung bedeutet dies, dass ein Gitterstrom Ig dann ieÿt, wenn bei einer Pegelspitze desEingangssignals der daraus resultierende Spannungsabfall Ug am GitterableitwiderstandRg gröÿer wird als die Gittervorspannung Uk. In diesem Fall ist das Potential des GittersUgk positiv im Vergleich zur Kathode, d. h. die Elektronen können auf dem Gitter landen.Der Gitterstrom verursacht nun seinerseits einen Spannungsabfall am Innenwiderstandder Quelle, welcher der Eingangsspannung entgegengerichtet ist. Damit wiederum ver-kleinert sich die Spannung am Gitter. Das bedeutet also, dass positive Spannungsspitzendes Eingangssignals durch den einsetzenden Gitterstrom begrenzt bzw. abgeschnittenwerden und nicht durch Sättigungseekte innerhalb der Röhre zustande kommen.Um diesen Eekt modellieren zu können, sind Kenntnisse über den Verlauf des Gitter-

stromes, abhängig von Gitter- und Anodenspannung, nötig. Zwar existieren verschiedeneAnsätze (z. B. in [Spa48, Rei44]) um den Gitterstrom als mathematische Funktion zubeschreiben. Diese sind jedoch meist sehr aufwändig, da zahlreiche Vorgänge berücksich-tigt werden müssen. Durch ein solches Modell würde auch die Berechnung des digitalenModells, vor allem hinsichtlich der zu lösenden Dierentialgleichung, um ein Vielfacheskomplexer.

46

Abbildung 5.2.: Ersatzschaltbild des eingangsseitigen Netzwerks aus Abb. 5.1

Akustische Untersuchungen ergaben, dass verschiedene Verläufe des Gitterstromes,abhängig von der Gitterspannung, klanglich kaum zu unterscheiden sind, weshalb andieser Stelle eine Näherung gerechtfertigt erschien.Die Näherung besteht darin, das System Gitter-Kathode als Röhrendiode aufzufassen.Der Gitterstrom kann dann gemäÿ dem Langmuir-Child'schen Raumladungsgesetz nachGleichung 2.14 berechnet werden zu

Ig = kgk · U32gk. (5.2)

Wie das Kennlinienfeld der Triode ist diese Gleichung - und damit auch die Perveanzkgk - rein theoretischer Natur. Um die Gleichung dennoch in das Modell einbeziehen zukönnen, musste für Perveanz kgk ein konstanter Wert gefunden werden, mit dem derVerlauf des Gitterstromes durch Gleichung 5.2 möglichst genau angenähert wird. AlsAnhaltspunkt für die Gröÿenordnung in der sich kgk bewegen muss, dienten hierfür dieUntersuchungen in [Ble09, Spa48]. Dort werden für verschiedene Röhrentypen die Verläu-fe der Gitterströme, abhängig von denierten Randbedingungen, analysiert. Ausgehendvon diesen Untersuchungen wurde kgk im vorliegenden Fall empirisch so ermittelt, dassder Gitterstrom-Eekt so realistisch wie möglich abgebildet wird.Es ist zu beachten, dass nur der Realteil von Gleichung 5.2 von Interesse ist. Das

bedeutet, dass für negative Werte von Ugk der Gitterstrom Ig = 0 ist, was der Tatsacheentspricht, dass bei negativen Gitterspannungen kein Strom über das Gitter ieÿen kann.Aus dieser Überlegung lässt sich das in Abb. 5.2 dargestellte Ersatzschaltbild des ein-

gangsseitigen Netzwerks aus Abb. 5.1 ableiten. Ig und Ia sind dabei als ideale Stromquel-len dargestellt. Mit dem Ersatzschaltbild lassen sich zwei Gleichungen aufstellen. Zumeinen berechnet sich der Strom Ix - aufgrund der Knotenregel - als Summe von Ig unddem Strom, der durch den Gitterableitwiderstand Rg ieÿt

Ix = Ig +UgRg

. (5.3)

Zum anderen verursacht dieser Strom einen Spannungsabfall an Ri sowie am komplexen

47

Widerstand des Kondensators 1jωCin

. Dies führt mit der Maschenregel auf die zweiteGleichung

Ug = −Ix(

1

jωCin+Ri

)+ Uin. (5.4)

Löst man Gleichung 5.4 nach Ix auf, erhält man durch Gleichsetzen mit Gleichung 5.3

jωCin · (Uin − Ug)1 + jωRiCin

= Ig +UgRg

(5.5)

bzw. durch Multiplikation mit (1 + jωRiCin)

jωCin · (Uin − Ug) = Ig +UgRg

+ jωRiCinIg + jωRiCinUgRg

. (5.6)

Multiplikation mit jω im Frequenzbereich entspricht der Ableitung d

dt im Zeitbereich[Fre/Bos08]. Damit erhält man die Dierentialgleichung

Cin

(Uin − Ug

)= Ig +

UgRg

+RiCinIg +RiRg

CinUg. (5.7)

Den Gitterstrom Ig ersetzt man durch Gleichung 5.2, wobei zur Berechnung von UgkGleichung 5.1 herangezogen wird. Es wird noch gezeigt (vgl. Abschnitt 5.1.2), dass sichauch Uk mit der Zeit ändert, was für die Ableitung von Ig nach der Zeit bedeutet

Ig = kgk (Ug − Uk)32 (5.8)

Ig =3

2· kgk ·

√Ug − Uk ·

(Ug − Uk

). (5.9)

Setzt man diese beiden Gleichungen in Gleichung 5.7 ein und löst nach der höchstenAbleitung des gesuchten Ausgangssignals (in diesem Fall Ug) auf, erhält man

Ug =

(3kgkRgRiUk

√Ug − Uk + 2RgUin

)Cin − 2kgkRg (Ug − Uk)

32 − 2Ug(

3kgkRgRi√Ug − Uk + 2Ri + 2Rg

)Cin

. (5.10)

Diese Dierentialgleichung kann numerisch gelöst werden. Dazu ersetzt man die Ablei-tungen durch den hinteren Dierenzenquotienten mit der Abtastzeit 4t. Um Verwechs-lungen zwischen den kontinuierlichen Ableitungsfunktionen (bezeichnet mit X) und deneinzelnen Werten der diskreten Ableitungsfolgen zu vermeiden, werden letztere fortanmit Kleinbuchstaben (xn) gekennzeichnet.

Uin → uinn =Uinn − Uinn−1

4t(5.11)

Uk → ukn =Ukn − Ukn−1

4tn = 0, 1, 2, ... (5.12)

48

Damit lässt sich Gleichung 5.10 rekursiv wie folgt berechnen:

ugn =

(3kgkRgRiukn

√Ugn − Ukn + 2Rguinn

)Cin − 2kgkRg (Ugn − Ukn)

32 − 2Ugn(

3kgkRgRi√Ugn − Ukn + 2Ri + 2Rg

)Cin

(5.13)Ugn wiederum erhält man durch numerische Integration von ugn . Nach dem explizitenEuler-Verfahren berechnet sich diese zu

Ugn+1 = Ugn + ugn · 4t. (5.14)

Wie bereits erwähnt, werden bei den Wurzelausdrücken nur die Realteile berücksichtigt.Ist Ug < Uk, ieÿt bekanntlich kein Gitterstrom. Die Wurzelausdrücke in Gleichung 5.10werden damit Null und die Gleichung reduziert sich zu

Ug =RgCinUin − UgCin (Ri +Rg)

Ug < Uk. (5.15)

Löst man diese Gleichung im Frequenzbereich nach UgUin

auf, erhält man die Übertra-gungsfunktion

F (jω) =UgUin

=jωRgCin

1 + jωCin (Ri +Rg). (5.16)

Dies entspricht einem einpoligen Hochpasslter (D-T1 Glied) mit Steigung 20 dB proDekade und einer Grenzfrequenz von

f =1

2πCin(Ri +Rg). (5.17)

Ergebnis Die Ergebnisse des so implementierten Algorithmus sind in den Abbildun-gen 5.3a und 5.3b zu sehen. Als Eingangssignal dient eine sinusförmige Spannung mitFrequenz 500Hz. In beiden Beispielen ist die Kathodenspannung konstant 5V, d. h. dasGitter ist um -5V negativ vorgespannt. In Abbildung 5.3a hat das Eingangssignal eineAmplitude von 5V (grün). Aufgrund der Filterwirkung des Hochpasses ist die Amplitudevon Ug geringfügig kleiner. Die in der Abbildung blau dargestellte Schwingung stellt dieSpannung zwischen Gitter und Kathode Ugk dar, also die Spannung Ug um den Betragvon Uk nach unten verschoben. Bei einer Spitzenspannung von Ug ≈ 5V und einer Git-tervorspannung von ebenfalls 5V, ist die gröÿtmögliche Spannung, die zwischen Gitterund Kathode abfallen kann Ugk = 0V. Es ieÿt also noch kein Gitterstrom.In Abb. 5.3b hat das Eingangssignal eine Amplitude von 10V. Auch hier ist die Am-

plitude von Ug wegen des Hochpasses minimal gedämpft. Zwischen Gitter und Kathodewürden dadurch bei den positiven Spannungsspitzen des Eingangssignals Ugk = Ug−Uk ≈10V − 5V = 5V abfallen. Dazu kommt es jedoch nicht, denn sobald die Spannung Ugkpositiv wird, beginnt der Gitterstrom zu ieÿen und begrenzt durch den Spannungsabfallam Quellwiderstand die Spannung am Gitter.

49

(a) Gitterspannung wird nicht begrenzt

(b) Gitterstrom begrenzt die Gitterspannung

Abbildung 5.3.: Eekt des einsetzenden Gitterstromes bei positiver Gitterspannung ineiner Kathodenbasis-Schaltung

50

5.1.2. Automatische Gittervorspannungserzeugung

Bei dieser Schaltung kommt die automatische Gittervorspannungserzeugung mittels Ka-thodenwiderstand Rk und Kathodenkondensator Ck zum Einsatz. Rk und Ck liegen par-allel zwischen der Kathode und dem Null-Volt-Potential. Ein Spannungsabfall Uk anRk||Ck hebt das Potential der Kathode an und spannt dadurch das Gitter negativ vor.Der Spannungsabfall wird durch den Kathodenstrom hervorgerufen. Dieser wiederumsetzt sich zusammen aus dem Gitterstrom und dem Anodenstrom

Ik = Ig + Ia. (5.18)

Gitterstrom und Anodenstrom sind u. a. abhängig vom am Gitter liegenden Eingangssi-gnal. Liegt kein Eingangssignal an, wird das Gitter über den Gitterableitwiderstand aufdas Null-Volt-Potential gezogen und es ieÿt lediglich der Ruhestrom IAP , der aufgrunddes Potentialunterschiedes zwischen Anode und Kathode zustande kommt. Bei anliegen-dem Eingangssignal ändert sich mit der Gitterspannung Ug der durch die Röhre ieÿendeStrom Ik und damit wiederum auch Uk. Da Uk den Arbeitspunkt festlegt, liegt hier eineGegenkopplung vor: Wird die Gitterspannung negativer, wird der Elektronenstrom durchdie Röhre begrenzt. Dadurch fällt am Kathodenwiderstand eine geringere Spannung ab,was zur Folge hat, dass die negative Gittervorspannung betragsmäÿig kleiner wird.Ausschlaggebend ist also der Kathodenstrom. Zur Berechnung wird zunächst der Strom

der durch Rk ieÿt nach der komplexen Stromteilerregel betrachtet

IRk = Ik ·1

jωCk

Rk + 1jωCk

= Ik ·1

1 + jωRkCk. (5.19)

Damit gilt für die Spannung Uk

Uk = Rk · IRk = Rk · Ik ·1

1 + jωRkCk. (5.20)

Bei Gleichung 5.20 handelt es sich um die Übertragungsfunktion eines Tiefpasslterserster Ordnung (P-T1 Glied) mit der Eingangsgröÿe Rk · Ik und der Ausgangsgröÿe Uk.Analog zur Dierentialgleichung bei der Berechnung des Gitterstromes, kann auch dieseÜbertragungsfunktion zunächst in den Zeitbereich überführt und dann numerisch gelöstwerden. Man erhält die rekursiv lösbare Dierenzengleichung

Ukn+1 =∆t

T(Rk · Ikn − Ukn) + Ukn T = RkCk. (5.21)

Ergebnis Wegen der erläuterten Rückwirkung auf Eingangs- und Ausgangssignal, kannder Verlauf der Kathodenspannung nach Gleichung 5.21 nur im Zusammenhang mitder kompletten Verstärkerschaltung sinnvoll simuliert und untersucht werden. Die hierdurchgeführten Untersuchungen sind daher ein Teilergebnis der im nächsten Abschnittbeschriebenen gesamten Schaltung.

51

Abbildung 5.4.: Verlauf der Kathodenspannung Uk bei Sprung der Amplitude des Ein-gangssignals Uin

Mithilfe von Rk wird, wie oben beschrieben, die Gittervorspannung und damit derArbeitspunkt festgelegt. Der lineare Arbeitsbereich einer ECC82 liegt laut Datenblattbei einer Gittervorspannung von ca. 5V. Dem Kennlinienfeld der Röhre entnimmt man,dass bei einer Betriebsspannung Ub = 250V und einem Arbeitswiderstand Ra = 10 kΩim gewählten Betriebsbereich ein Ruhestrom von IAP ≈ 8mA ieÿt. Damit aufgrunddieses Ruhestromes am Kathodenwiderstand ein Spannungsabfall von 5V entsteht, mussfür Rk gemäÿ dem ohmschen Gesetz zu

Rk =5V

8mA= 625 Ω

gewählt werden. Rk bildet zusammen mit Ck einen Tiefpass. Bei der automatischen Git-tervorspannungserzeugung bestimmt die Zeitkonstante dieses Tiefpasses, wie schnell dieRöhre ihren Arbeitspunkt an ein sich änderndes Eingangssignal anpasst, denn abhängigvom aktuellen Eingangspegel verschiebt sich auch der Arbeitspunkt. Ein gängiger Wertfür die Grenzfrequenz ist ca. 2Hz. Wird die Frequenz niedriger, dauert es hörbar längerbis sich der neue Arbeitspunkt eingestellt hat. Wird sie dagegen höher, fängt Uk mitden tiefen Frequenzanteilen des Eingangssignals zu schwingen an. Für die Kapazität desKathodenkondensators bedeutet dies, dass sie sich im Falle von 2Hz Grenzfrequenz zu

Ck =1

2π · 625 Ω · 2Hz≈ 127µF

52

berechnet.In Abb. 5.4 (oben) liegt am Eingang eine sinusförmige Schwingung mit Frequenz 800Hz

an, deren Amplitude von 0V auf 5V springt. Damit vergröÿert sich auch der Strom durchdie Röhre und der Gleichspannungsanteil von Uk wandert, ähnlich der Sprungantworteines P-T1-Gliedes, nach oben. Dass es sich hierbei nicht exakt um die Sprungantworteines P-T1 Gliedes handelt liegt daran, dass zwischen Eingangssignal und Kathodenstrom- und somit auch Kathodenspannung - kein linearer Zusammenhang besteht. Dies ist imunteren Schaubild von Abb. 5.4 deutlich zu sehen.Vergleichbare Ergebnisse für den Verlauf von Uk erhalten im Übrigen auch M. Karja-

lainen und J. Pakarinen mit ihrer in [Kar/Pak06] beschriebenen Methode zur Simulationeines Röhrenverstärkers.

5.1.3. Röhre und ausgangsseitige Beschaltung

In Abschnitt 5.1.1 wurden die Gleichungen 5.13 bzw. 5.14 hergeleitet, mit denen die Span-nung zwischen Gitter und Null-Volt-Potential (Ug) abhängig vom Eingangssignal Uinberechnet werden kann. Die in Abschnitt 5.1.2 beschriebenen Berechnungen führten aufGleichung 5.21. Diese dient zur Berechnung der Gittervorspannung Uk in Abhängigkeitdes Kathodenstromes Ik. Zusammen mit dem in Abschnitt 4.2.1 hergeleiteten Röhren-modell für den ohmschen Arbeitswiderstand hat man nun fast alle Bausteine zusammen,um das Ausgangssignal der Kathodenbasis-Schaltung für ein gegebenes Eingangssignalnumerisch berechnen zu können.Der in Abb. 5.5 dargestellte Signalussplan zeigt den prinzipiellen Ablauf des Algo-

rithmus. Zunächst wird Ug nach Gleichung 5.14 berechnet. Von Ug wird Uk abgezogen,um so die Spannung zwischen Gitter und Kathode Ugk zu erhalten. Ebenfalls muss Ukvon der Betriebsspannung Ub abgezogen werden, damit man die wirksame Betriebsspan-nung, bezogen auf das Kathodenpotential, erhält. Bei gegebenem Arbeitswiderstand Rakann man daraus, durch Lösen der kubischen Gleichung (vgl. Abschnitt 4.2.1), die Span-nung zwischen Anode und Kathode (Uak) berechnen. Die Spannung zwischen Anode undNull-Volt-Potential erhält man wiederum aus der Summe von Uk und Uak (Maschenre-gel). Da Ua an dieser Stelle einen groÿen Gleichspannungsanteil aufweist, bendet sicham Ausgang ein weiterer Kondensator (Cout), dessen Aufgabe es ist, diesen Gleichspan-nungsanteil zu unterdrücken. Ausgangsseitig bendet sich ein zweiter Widerstand Rg. Erstellt den Gitterableitwiderstand der nachfolgenden Stufe dar und bildet zusammen mitCout einen frequenzabhängigen Spannungsteiler der Form

Uout = Ua ·jωCoutRg

1 + jωCoutRg. (5.22)

Man erkennt, dass es sich hierbei erneut um einen einpoligen Hochpass mit Grenzfrequenz

f =1

2πCoutRg

handelt. Die rekursive Lösung der Übertragungsfunktion lautet

53

Abbildung 5.5.: Signalussplan des Algorithmus zur Implementierung einerKathodenbasis-Schaltung mit Triode

54

Abbildung 5.6.: Eingangs- und Ausgangssignal der simulierten Kathodenbasis-Schaltungbei 5V Gittervorspannung

Uoutn+1 = Uan+1 − Uan + Uoutn

(1− ∆t

T

)T = CoutRg. (5.23)

Rückkopplung der Kathodenspannung Die Kathodenspannung Uk berechnet sich überdie Ströme Ia und Ig (Gleichungen 4.4 und 5.2), welche abhängig von Uak und Ugk sind.Da zur Berechnung von Uak und Ugk aber wiederum die Kathodenspannung bekanntsein muss, muss diese zurück gekoppelt werden. Dadurch ergibt sich zwangsläug eineVerzögerung des rückgekoppelten Signals um einen Abtastwert. Wegen des Tiefpassesändert sich Uk jedoch nur in einem kleinen Bereich und im Vergleich zum Eingangssignalsehr langsam, weshalb dieser Fehler ohne negative Auswirkungen in Kauf genommenwerden kann (siehe auch [Kar/Pak06]).

55

Abbildung 5.7.: Eingangs- und Ausgangssignal der simulierten Kathodenbasis-Schaltungbei 12V Gittervorspannung

Ergebnis Als Testsignal dient erneut eine sinusförmige Schwingung, hier mit Frequenz1000Hz. Die Betriebsspannung beträgt 250V, der Arbeitswiderstand Ra = 10 kΩ. InAbb. 5.6 ist das vom Algorithmus berechnete Ausgangssignal (blau) bei einer eingangs-seitigen Amplitude von 5V (grün) dargestellt. Als Röhrenmodell dient abermals eineECC82, deren Arbeitspunkt, wie in Abschnitt 5.1.2 beschrieben, zunächst auf ca. 5Veingestellt wurde. Damit kommt es bei den positiven Halbwellen des Eingangssignalsnoch nicht zum Clipping durch Gitterstrom. Auch auf negativer Seite ist der Aussteue-rungsbereich der Röhre so groÿ, dass es noch nicht zu nennenswerten Sättigungseektenkommt. Dennoch sind im Spektrum in Abb. 5.6 deutliche Peaks bei 2000Hz und 3000Hzzu erkennen. Das nichtlineare Übertragungsverhalten der Röhre verursacht demnach Ver-zerrungen in Form der zweiten und dritten Harmonischen K2 und K3.Noch stärker tritt die zweite Harmonische hervor, wenn der Arbeitspunkt absichtlich

weiter in den negativen Bereich verschoben wird. In Abb. 5.7 liegt der Arbeitspunktdaher bei Uk = 12V, was durch einen Kathodenwiderstand von

56

Abbildung 5.8.: Zwei Kathodenbasis-Stufen hintereinander geschaltet

Rk =12V2,5mA

= 4800 Ω ≈ 5 kΩ

erreicht wird (IAP ≈ 2,5mA aus Datenblatt, vgl. Abschnitt 5.1.2). Damit die Grenzfre-quenz nach wie vor bei ca. 2Hz liegt, ist ein Kathodenkondensator von

Ck =1

2π · 5 kΩ · 2Hz≈ 16µF

nötig. Da die Röhre nun im stark nichtlinearen Bereich arbeitet, nehmen die Verzerrun-gen, vor allem die zweite Harmonische, zu. Der neue Arbeitspunkt hat auÿerdem zurFolge, dass der Verstärkungsfaktor abnimmt, was ebenfalls aus dem Vergleich von Abb.5.6 und Abb. 5.7 hervorgeht.Weiter erkennt man in beiden Fällen eine Phasenverschiebung des Ausgangssignals im

Vergleich zum Eingangssignal um 180°. Sie kommt aufgrund des im Anodenkreis liegen-den Arbeitswiderstandes Ra zustande. Die positive Halbwelle des Eingangssignals be-wirkt, dass die negative Spannung am Gitter betragsmäÿig kleiner wird. Dadurch nimmtder Strom Ia durch die Röhre zu, was zu einem gröÿeren Spannungsabfall an Ra führt. Dadie Anodenspannung, also das Ausgangssignal, gleich der Dierenz zwischen Betriebss-pannung und URa ist, nimmt diese folglich ab. Umgekehrt ist das Gegenteil der Fall:Die negative Halbwelle des Eingangssignals hat eine Erhöhung der Anodenspannung zurFolge.

5.2. Mehrere Vorstufen hintereinander geschaltet

Da bei realen Röhrenverstärkern die zu verstärkenden Spannungen im Bereich einigerMillivolt liegen, müssen meist mehrere Vorstufen hintereinander geschaltet werden, da-

57

mit insgesamt höhere Verstärkungsfaktoren erzielt werden. Die erste Stufe verstärkt dasEingangssignal dabei noch weitgehend linear. Das verstärkte Signal sorgt jedoch dafür,dass die nachfolgende Stufe bereits sehr viel weiter ausgesteuert wird. Je mehr Stufendas Signal durchläuft, desto gröÿer werden demnach auch die Verzerrungen. Dies wirdz. B. bei Röhrenverzerrern für die E-Gitarre ausgenutzt.Auch dieser Eekt kann, zusammen mit dem Wissen aus dem vorigen Abschnitt, digi-

tal nachgebildet werden. Prinzipiell muss das Signal dazu lediglich den Kathodenbasis-Algorithmus mehrmals durchlaufen.

5.2.1. Innenwiderstand der Kathodenbasis-Schaltung

Abb. 5.8 zeigt einen Vorverstärker aus zwei hintereinander geschalteten Kathodenbasis-Vorstufen, wobei Riq und Uin zusammen die Signalquelle darstellen. Die beiden Stufenberechnen sich jeweils ähnlich, wie im Signalussplan in Abb. 5.5 beschrieben. Ledig-lich am Ausgang der ersten- bzw. am Eingang der zweiten Stufe sind Anpassungen imAlgorithmus notwendig.Zunächst einmal entspricht der ausgangsseitige Hochpass der ersten Stufe dem ein-

gangsseitigen RC-Netzwerk der zweiten Stufe und muss daher nicht extra berechnet wer-den. Bei der Berechnung der Eingangsbeschaltung der zweiten Stufe muss dann daraufgeachtet werden, dass der zur Berechnung benötigte Innenwiderstand der ersten Stu-fe (Ri1) nicht konstant ist, sondern signalabhängig. Ursache dafür ist der in Abschnitt3.2.2 beschriebene Wechselstromwiderstand der Röhre. Dieser bildet in Parallelschaltungmit dem Arbeitswiderstand Ra den Innenwiderstand Ri1 der ersten Stufe. Er kann nachGleichung 3.10 als Steigung der Tangente der Gitterspannungskennlinie im aktuellen Be-triebspunkt aufgefasst werden. Der Betriebspunkt ist durch die von der GitterspannungUgk hervorgerufenen Anodenspannung Uak eindeutig festgelegt. Es gilt dann nach Glei-chung 3.10

1

Xi=4Ia4Uak

Ugk = const. (5.24)

Für eine innitesimal kleine Schrittweite entspricht dies der Ableitung der Gitterspan-nungskennlinie (Gleichung 4.4). Man erhält für den Wert der Steigung bei der aktuellenAnodenspannung Uak

1

Xi=

dIadUak

= 3 · gh·(Ugk +

Uakh

)2

Ugk = const. (5.25)

Zusammengefasst bedeutet dies, dass für ein gegebenes Eingangssignal bei der erstenStufe Ugk bestimmt wird. Damit kann mithilfe des Röhrenmodells Uak berechnet werden,welche wiederum zur Berechnung des Innenwiderstandes der Röhre herangezogen wird.Schlussendlich erhält man daraus den Innenwiderstand der ersten Stufe

Ri1 =Ra ·Xi

Ra +Xi. (5.26)

58

Mit diesem kann nun die Gitterspannung der zweiten Stufe berechnet werden, wobei alsEingangssignal das Ausgangssignal Ua1 der ersten Stufe dient.

Ergebnis Die so simulierte Schaltung wurde abermals mit einer sinusförmigen Schwin-gung getestet. Die Arbeitspunkte beider hier verwendeter ECC82-Röhren wurden gemäÿAbschnitt 5.1.2 zu ca. 5V gewählt. Abb. 5.9 auf der nächsten Seite zeigt Signalverläufe anverschiedenen Stellen der Schaltung. Grün dargestellt ist das Eingangssignal Uin, hier mitFrequenz 1000Hz und Amplitude 1V. Der rote Spannungsverlauf im mittleren Schaubildist die Spannung am Ausgang der ersten Stufe (Ua1). Sie wird vor dem Kopplungskonden-sator Ckop abgegrien, hat an dieser Stelle also noch einen hohen Gleichspannungsanteil.Man erkennt, dass diese Spannung eine nahezu unverzerrte Sinusschwingung darstellt,d. h. die erste Stufe verstärkt das Eingangssignal annähernd linear. Die Amplitude vonüber 10V dieser Schwingung sorgt allerdings dafür, dass die zweite Stufe das Signal nichtmehr linear verstärken kann und daher stark übersteuert. Dies ist am blau gezeichnetenAusgangssignal Uout zu erkennen. Bei den negativen Pegelspitzen des Wechselspannungs-anteils von Ua1 ist der Stromuss durch die zweite Röhre komplett gesperrt. Die Röhrekann das Signal ab einem bestimmten Wert nicht mehr weiter verstärken und begrenztdas Ausgangssignal. Die positiven Halbwellen verursachen bei den Pegelspitzen eine posi-tive Spannung am Gitter der zweiten Röhre. Dadurch beginnt der Gitterstrom zu ieÿenund die Gitterspannung wird begrenzt. Aufgrund der Phasenverschiebung um 180° istdieser Eekt deutlich an den negativen Halbwellen des Ausgangssignals zu erkennen.Diese Ergebnisse spiegeln sich auch im Frequenzspektrum der Signale wieder (Abb. 5.10

auf Seite 61). Man erkennt dort minimale Verzerrungen bei Ua1 in Form von Peaks beiden ersten Harmonischen, sowie einen sehr groÿen Obertonanteil beim AusgangssignalUout.

59

Abbildung 5.9.: Signalverläufe bei zwei hintereinander geschalteten Kathodenbasis-Stufen

60

Abbildung 5.10.: Spektren der Signalverläufe aus Abb. 5.9

61

6. Zusammenfassung

Leider war es im Rahmen dieser Arbeit nicht möglich, die Ergebnisse anhand einer re-al aufgebauten Schaltung im Detail zu verizieren. Um dennoch eine Aussage über dieQualität der Simulation treen zu können, wird im Folgenden ein Vergleich zu den Er-gebnissen anderer Arbeiten gezogen. Zu guter Letzt wird ein Ausblick auf weiterführendeThemen gegeben.

6.1. Vergleich mit anderen Arbeiten, Beurteilung

Merlin Blencowe untersucht in [Ble09] das Verhalten sowie verschiedene Eekte realerRöhrenschaltungen. Zwar beziehen sich die Ausführungen dort auf Schaltungen mit ei-ner ECC83, dennoch lässt sich eine hohe Übereinstimmung mit den Ergebnissen der vor-liegenden Arbeit feststellen. Vor allem die von Blencowe mit Sinusschwingungen durch-geführten Messungen des Verzerrungs- und Sättigungsverhaltens realer Röhren belegen,dass sich die simulierten Ergebnisse sehr gut mit der Realität decken. Auch der Verlaufdes Ausgangssignals bei Einsetzen des Gitterstromes weist eine groÿe Ähnlichkeit mitder Simulation auf.Darüber hinaus existieren verschiedene andere Ansätze zur digitalen Modellierung von

Röhrenschaltungen. Eine übersichtliche Zusammenfassung zahlreicher Methoden kannin [Pak/Yeh09] gefunden werden. Bereits erwähnt wurde die Arbeit von Matti Karja-lainen und Jyri Pakarinen, die, im Gegensatz zu dieser Arbeit, einen Röhrenverstärkermithilfe von Wellendigitalltern nachbilden [Kar/Pak06]. Ein weiterer Unterschied derenArbeit ist, dass dort das Röhrenmodell nach Norman Koren zum Einsatz kommt [Kor12].Letzteres wird auch von Ivan Cohen und Thomas Helie verwendet [Coh/Hel09]. Derenakribisch nachgebildetes Modell berücksichtigt zudem parasitäre Eekte und hat daherden Anspruch, äuÿerst genau zu sein. Trotz allem sind auch diese Ergebnisse vergleichbarmit denen der vorliegenden Arbeit.Eine uneingeschränkte Übereinstimmung mit den physikalischen Eigenschaften kann

aufgrund der notwendigen Näherungen mit dem digitalen Modell nicht erreicht werden.Hinzu kommt, dass u.U. eine ganze Reihe weiterer Eekte eine Rolle spielen, die imhier beschriebenen Modell noch nicht berücksichtigt wurden. Dazu gehört beispielsweiseder Miller-Eekt, der nach [Coh/Hel09] Auswirkungen auf das hörbare Frequenzspek-trum hat. Letztendlich entscheidet jedoch vor allem das akustische Ergebnis über dieVerwendbarkeit des digitalen Modells. Klangliche Untersuchungen führten zu sehr zu-friedenstellenden Resultaten. Das Modell reagiert dynamisch auf verschiedenste Testsi-gnale, ohne dass störende Fragmente hörbar sind. Selbst groÿe Übersteuerung, also einhoher Verzerrungsgrad, resultiert stets in natürlichen und warmen Klängen. Doch auch

62

Signale mit geringen Eingangspegeln, bei denen noch keine starken Verzerrungen wahr-nehmbar sind, klingen voluminöser und erhalten mehr Tiefe. Grund dafür sind die durchdie Nichtlinearität zum Signal hinzugefügten Obertöne. Die zu Beginn der Arbeit her-ausgestellten gewünschten Eigenschaften realer Röhrenschaltungen konnten damit auchbei der Simulation überzeugend festgestellt werden.

6.2. Ausblick

In dieser Arbeit lag der Schwerpunkt auf der Kathodenbasis-Schaltung mit einer Röh-rentriode. Da in realen Audioverstärkern die Vorstufe nur ein Element der Verstärkungs-kette ist, gilt es für die Simulation eines kompletten Verstärkers noch zahlreiche weitereGlieder zu untersuchen. Im Bereich der Vorstufe gehört dazu z. B. die Anodenbasis-Schaltung, mit der die Impedanz der Vorstufe an die Endstufe angepasst werden kann.Ein weiteres wichtiges Element sind dann natürlich die Endstufen selbst. Diese sind meistmit Pentoden aufgebaut, d. h. es muss zudem ein Modell zur digitalen Modellierung derÜbertragungseigenschaften von letzteren gefunden werden. Wenn es sich um Gegentakt-Endstufen handelt, wird auÿerdem eine Phasenumkehrschaltung benötigt, die erneut mitRöhren realisiert wird. Schlieÿlich hat der Ausgangsübertrager auch keinen völlig linearenFrequenzgang und spielt damit ebenfalls eine klangformende Rolle in der Kette.Für viele dabei auftretende Probleme können die Ergebnisse und Erfahrungen dieser

Arbeit herangezogen werden.

63

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65

Abbildungsverzeichnis

1.1. Clipping bei einer Sinusschwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1. Feldlinien und Spannungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Kennlinie einer Röhrendiode im Raumladungsgebiet . . . . . . . . . . . . 162.3. Kennlinie der Diode im Anlaufbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Kennlinie einer Vakuumröhrendiode mit allen Bereichen für zwei verschie-

dene Heiztemperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.1. Schaltbild Triode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2. Schaltbild Tetrode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. Schaltbild Pentode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4. Theoretische Kennlinienfelder der Triode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5. Triode mit ohmschen Arbeitswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6. Ia-Uak-Kennlinienfeld mit Arbeitswiderstandsgerade bei Ra = 10 kΩ . . . 28

4.1. Kennlinienfeld einer ECC82 mit verschiedenen Arbeitswiderstandsgeraden[JJE12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2. Verlauf der nach Gleichung 4.1 berechneten Perveanz in Abhängigkeit vonder Gitterspannung Ugk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3. Berechnetes Ia = f(Uak) Kennlinienfeld, wenn k und n als Variablen be-trachtet werden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4. Die Parameter g, h und n abhängig von der Gitterspannung . . . . . . . . 354.5. Modelliertes Kennlinienfeld mit Arbeitswiderstandsgerade . . . . . . . . . 364.6. Übertragungsverhalten einer modellierten ECC82 bei Ra = 10 kΩ und

Ub = 250V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.7. Triode mit realer Spule im Arbeitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.8. Blockschaltbild der Implementierung einer Röhre mit Spule als Arbeitswi-

derstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1. Schaltbild einer Kathodenbasis-Vorstufe mit Triode . . . . . . . . . . . . . 465.2. Ersatzschaltbild des eingangsseitigen Netzwerks aus Abb. 5.1 . . . . . . . 475.3. Eekt des einsetzenden Gitterstromes bei positiver Gitterspannung in ei-

ner Kathodenbasis-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4. Verlauf der Kathodenspannung Uk bei Sprung der Amplitude des Ein-

gangssignals Uin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5. Signalussplan des Algorithmus zur Implementierung einer Kathodenbasis-

Schaltung mit Triode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

66

5.6. Eingangs- und Ausgangssignal der simulierten Kathodenbasis-Schaltungbei 5V Gittervorspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.7. Eingangs- und Ausgangssignal der simulierten Kathodenbasis-Schaltungbei 12V Gittervorspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.8. Zwei Kathodenbasis-Stufen hintereinander geschaltet . . . . . . . . . . . . 575.9. Signalverläufe bei zwei hintereinander geschalteten Kathodenbasis-Stufen . 605.10. Spektren der Signalverläufe aus Abb. 5.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

67

Tabellenverzeichnis

4.1. Werte aus der Ia = f(Uak) Kennlinie einer ECC82 . . . . . . . . . . . . . 324.2. k und n für verschiedene Gitterspannungen Ugk . . . . . . . . . . . . . . . 334.3. Lösungen des Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4. Anodenspannung an den Schnittpunkten der Gitterspannungskennlinien

mit der 10 kΩ-Arbeitswiderstandsgeraden (ECC82) . . . . . . . . . . . . . 374.5. Anodenstrom an den Schnittpunkten der Gitterspannungskennlinien mit

der 10 kΩ-Arbeitswiderstandsgeraden (ECC82) . . . . . . . . . . . . . . . 37

68