7/21/2019 EGIRAFFE Mathematik C (ET) UE - E_jungwirth - Hausuebung - 2013WS - 8. Uebungsblatt

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Mathematik C (ET) UE WS 2012/2013 8. bungsblatt

44. (a) Entwickeln Sie die Funktion f(z) = (1 +z2)(e1

z +e1

z1 ) in eine Laurentreihe,zuerst um den Punkt z0= 0, dann um den Punkt z0= 1.

(b) Berechnen Sie Res[f; 0] und Res[f, 1].

(c) Berechnen Sie folgendes Integral mit Hilfe des Residuensatzes

|z|=2

(1 +z2)(e1

z +e 1

z1 ) dz.

45. Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe des Residuensatzes:

a)

z

(z2 2z+ 2)2dz, b)

0

z2

(z2 + 1)(z2 + 4)dz,

c)

0

dz

(1 + z2)3, d)

z

1 + z3dz.

46. Berechnen Sie folgende Integrale

a)

sin x

x4 + 1dx; b)

cos x

x4 + 1dx.

Hinweis: Integrieren Sie entlang der Kurve CR= [R, R] HR, wobei HR der Halb-kreis (in der oberen oder unteren Halbebene) mit dem Mittelpunkt im Ursprung und

dem Radius R ist.

47. Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von

f(z) =z2 +z+ 1

z4 + 1

und berechnen Sie damit ohneResiduensatz

f(z) dz, wobeider Kreis|z 2|= 4ist.

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