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POLITEHNICA Üniversität Bukarest Marian Costea Bogdan Nicoară Elektrotechnik Aufgabensammlung Zweite Auflage Bukarest 2009 l B V E N S

EiE_culegere Probleme Ed3

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  • POLITEHNICA niversitt Bukarest

    Marian Costea Bogdan Nicoar

    Elektrotechnik Aufgabensammlung

    Zweite Auflage

    Bukarest 2009

    l

    B

    V

    E

    N

    S

  • Die Autoren, Conf.Dr.Ing. Marian Costea und Prof.Dr.Ing. Bogdan Nicoar sind im Sisteme Electroenergetice Lehrstuhl, POLITEHNICA niversitt Bukarest, ttig.

    Wissenschaftlicher Referent: Prof.Dr.-Ing. Gabriel Bazacliu

    Umschlaggestaltung: Prof.Dr.Ing. Bogdan Nicoar Computerverarbeitung: Dr.Ing. Mirela Cristina Micu und Ing. Ion Petrache

    ISBN

    Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberechtlich geschtzt. Jede Verwertung auerhalb der gesetzlich geregelten Flle mu schriftlich genehmigt werden.

    Copyright 2009 UPB - EDUPERCO Zentrum Druck: Verlag Editura Universitar

  • Vorwort

    Eine hinreichende Beherrschung der Grundlagen der Elektrotechnik ist ohne Bearbeitung und die Lsung einer Mindestzahl von Aufgaben nicht erreichbar. Gerade auch bei Prfungsvorbeireitungen wird eine ausreichende Qualifikation und eine streabbauende Selbstsicherheit nur durch sorgfltiges und gezieltes Training sichergestellt. Das vorliegende Buch versucht, den vielfltigen Anforderungen einer Aufgabensammlung gerecht zu werden.

    Jedem Kapitel ist ein bersichtsblatt vorangestellt, das als "Wissensbasis" in strukturierter Form kurtz und knapp aufgabenrelevante Kenntnisse vermittelt. Damit ist sichergestellt, da das zur Aufgabenlsung erforderliche Grundwissen straff gefat und in bersichticher Weise zur Verfgung steht.

    Weiter werden grundstzliche Lsungsstrategien und - methoden gezeigt und erlutert, so da der Leser die fr den jeweiligen Aufgabentyp relevante Lsungsmethode schnell und sicher erkennen, erlernen und anwenden kann.

    Da es bei einem gezielten Aufgabenlsungstraining zweckmig ist, von einfachen zu schwierigen Aufgaben fortzuschrieten, sind zur schnelleren Orientierung die Aufgaben in steigender Scwierigkeitsstufen angegeben.

    Es hat sich gezeigt, da nahezu jeder Studierende mit der Zeit eine Vorliebe fr besondere Lsungsmethode entwickelt. Hierbei unterbliebt aber oft eine kritische

  • ii

    Untersuchung des erforderlichen Lsungsaufwandes. Das vorliegende Buch bietet hierfr viele Hielfestellungen an, indem es zeigt, wie man schnell und zielsicher den mit den einzelnen Lsungsmethoden verbundenen Rechenaufwand abschtzen kann.

    Bei der Auswahl der Aufgaben wurde besonderer Wert darauf gelegt, neben den typischen und klassischen Aufgaben bevorzugt auch moderne und praxisgerechte Problemstellungen aufzunehmen.

    Wir glauben, da wir mit dem vorliegenden Buch und dem darin angestrebten Kontzept zu einer gezielten und anforderungsorientierten Erweiterung des bungensangebotes an Universitten beitragen knnen.

    Die Autoren

  • iii

    Inhaltsverzeichnis

    1. DER GLEICHSTROM 1 1.1. Grundeinheiten 1 1.2. Ohmsches Gesetz 2 1.3. Leitwert 4 1.4. Widerstandsberechnung 5 1.5. Temperaturkoeffizient 14 1.6. Widerstandsschaltungen 19 1.7. Kirchhoffsche Gesetze 31 1.8. Mebrcken 36 2. LEISTUNG UND ARBEIT DES ELEKTRISCHEN STORMES

    41

    2.1. Elektrische Leistung 41 2.2. Elektrische Arbeit 45 2.3. Wirkungsgrad 48 2.4. Joulesches gesetz 51 2.5. Stromdichte 56 2.6. Stromkostenberechnung Relative Einschaltdauer

    60

    3. LEITUNGSBERECHNUNGEN 66 3.1. Leitungsgewichtsberechnungen 66 3.2. Widerstand elektrischer Leitungen 69 3.3. Spannungsverlust in Leitungen 72 3.4. Leistungsverlust in Leitungen 76 3.5. Querschnittsberechnungen fr verzweigte Leitungen

    80

    3.6. Erdbergangswiderstand 87 4. ELEKTROMAGNETISMUS 92 4.1. Magnetisches Feld 92

  • iv

    4.2. Tragkraft von Elektromagneten 104 5. ELEKTRISCHE MASCHINEN 107 5.1. Spannungserzeugung im Magnetfeld 107 5.2. Kraftwirkung in Magnetfeld 108 5.3. Drehzahlberchnungen 111 5.4. Anlasserberechnungen 116 5.5. Leistung des Elektromotors 129 6. GRUNDLAGEN DER WECHSELSTROMTECHNIK

    139

    6.1. Periode Frequenz Winkelgeschwindigkeit Kreisfrequenz

    139

    6.2. Frequenz und Drehzahl 140 6.3. Effektivwert - Scheitelwert 143 6.4. Induktivitt und induktiver Widerstand 146 6.5. Kapazitt und kapazitiver Widerstand 154 6.6. Phasenverschiebung und Leistungsfaktor 159 6.7. Phasenkompensation 168 7. GRUNDLAGEN DER DREHSTROMTECHNIK 173 7.1. Spannung und Stromstrke in verketteten Dreiphasensystemen

    173

    7.2. Drehstromleistung 176 7.3. Leitungsberechnung nach dem Spannungs-und Leistungsverlust

    181

    8. WECHSELSTROM - MASCHINEN 188 8.1. Drehfeld und Schlupf 188 8.2. Frequenzumformer 191 8.3. Einphasen-Trnsformator 196 8.4. Drehstromtransformator 202 8.5. Transformatorenverluste 206 8.6. Erwrmung von Transformatoren 212 Literatur 216

  • 1

    1. DER GLEICHSTROM

    1.1. Grundeinheiten

    Bezeichnung Formelzeichen Einheit Kurz-zeichen

    Spannung U Volt V Stromstrke I Ampere A Leistung P Watt W Arbeit W Joule J Elektizittsmenge Q Coulomb C Widerstand R Ohm Leitwert G Siemens S Induktivitt L Henry H Kapazitt C Farad F

    Vielfache und Teile von Maeinheiten

    Zeichen Benennung Vielfaches der Einheit

    T Terra 1012 G Giga 109 M Mega 106 k Kilo 103 h Hekto 102 da Deka 101 100 d Dezi 10-1 c Zenti 10-2 m Milli 10-3 Mikro 10-6 n Nano 10-9 p Pico 10-12 a Atto 10-15 f Femto 10-18

  • 2

    A.1.1.1 Verwandle in Ampere bzw. Volt : 5 mA, 300 mA, 3104 mA, 320 A, 21 kA; 15 mV, 250 mV, 105 V, 4,510-2 kV, 110 kV.

    A.1.1.2 In Ohm sind umzuwandeln : 20 M, 310-2 M, 1200 m.

    A.1.1.3 Rechne in Farad um : 18 pF, 25 nF, 88 F, 0,03 mF.

    1.2. Ohmsches Gesetz

    In ein geschlossenen Stromkreis ist die Stromstrke I das Verhltnis der am Stromkreis liegenden Spannung U zum Widerstand R des Stromkreises.

    Stromstrke IUR

    = Einheitengleichung 111

    AV

    =

    Lsungsbeispiel. An einem Stromkreis, dessen Widerstand 40 betrgt, liegt eine Spannung von 220 V. Berechne die Stromstrke.

    Gesucht : Stromstrke I Gegeben : Widerstand R = 40

    Spannung U = 220 V

    Lsung : IUR

    = IV

    A= =22040

    5 5

    ,

    A.1.2.1 Wie gro ist die Stromstrke, wenn an einen Widerstand von 484 eine Spannung von 220 V gelegt wird ?

  • 3

    A.1.2.2 Berechne den Widerstand einer elektrischen Kochplatte, die bei einer Spannung von 220 V einen Strom von 4,4 A aufnimmt.

    A.1.2.3 Eine Signalanlage mit einem Gesamtwiderstand von 80 soll durch eine Sammlerbatterie betrieben werden. Welche Spannung mu die Sammlerbatterie haben, wenn zum betrieben der Anlage ein Strom von 0,3 A erforderlich ist ?

    A.1.2.4 Welche Widerstand hat die Spule eines Elektromagnetes, durch die bei einer Spannung von 12 V, ein Strom von 0,1 A fliet ?

    A.1.2.5 Wie gro ist die in der Glhbirne einer Taschenlampe fliessende Stromstrke, wenn die Batterie eine innere Spannung von 4,5 V und der Stromkreis einen Widerstand von 7,7 hat?

    A.1.2.6 An welcher Spannung erhlt ein menschlicher Krper mit 2000 Widerstand, einen bereits gefhrlichen Strom von 50 mA ?

    A.1.2.7 Das Endausschlag eines Strommessers ist 5 mA. Der Widerstand der Messwerkspule sei 50 . Welche Spannungswerte mssen an den Skalenstrichen 1, 2, 3, 4 und 5 mA angeschrieben werden, damit er Spannungen messen kann ?

    A.1.2.8 Ein Spannungsmesser soll im Endausschlag 140 V anzeigen und dabei eine Stromstrke von 7 mA aufnehmen. Wie gro soll sein Widerstand sein muss ?

    A.1.2.9 Welche Lnge muss der Heizdraht eines Kochgertes mit 55 Widerstand haben, wenn er aus Cromnickel

  • 4

    bestehen und einen Durchmesser von 0,45 mm haben soll ?

    A.1.2.10 Eine Kupferleitung von 10 mm2 Querschnitt soll durch eine widerstandsgleiche Aluminiumleitung ersetzt werden. Welchen Querschnitt muss die Aluminiumleitung erhalten ?

    A.1.2.11 Auf den beiden Seiten einer 6 mm dicken Glasplatte befinde sich je eine 1 m x 2 m grosse Metallbelegung. Der verwendete Isolierstoff Glas habe einen spezifischen Leitungswiderstand von =1012 cm. Wie gro ist der durch das Glas hindurchgehende elektrische Strom, wenn zwischen den Belegungen eine Spannung von 3 kV liegt ?

    1.3. Leitwert

    Der Leitwert G ist der Kehrwert des Widerstandes R.

    Leitwert GR

    =

    1 Einheitengleichung 1 S

    = 1 -1

    A.1.3.1 Die nicht gegebenen Werten sind zu berechnen :

    a b c d e f g U [V] 220 24 12 24 12 I [A] 10 1,5 2,5 5 2,5 R [] 20 20 G [S] 0,2 0,05

    A.1.3.2 Die Feldspule eines Gleichstrom-Nebenschlumotors hat einen Widerstand von 65 . a) Wie gro ist der Leitwert der Feldspule ?

  • 5

    b) Welcher Strom fliet in die Feldspule bei Anschlu an das 220 V Netz ?

    A.1.3.3 An die 12 V Batterie eines Personenkraftwagens ist ein Zigarrenanznder angeschlossen, dessen Heizspirale einen Widerstand von 2,4 hat. a) Welche Strom entnimmt der Zigarrenanznder der

    Batterie ? b) Berechne den Leitwert der Heizspirale.

    A.1.3.4 Auf dem Sockel einer Taschenlampen-Glhlampe stehen die Angaben 4,5 V / 0,06 A. Wie gro ist : a) der Widerstand, b) der Leitwert der Glhlampe.

    A.1.3.5 Die Meschleife eines Schleifenoszilographen hat einen Leitwert von 0,384 S, ihre hchst-zulssige Belastung betrgt 200 mA. a) Wie gro ist der Widerstand der Meschleife ? b) Wie hoch darf die Spannung hchstens sein, die an

    die Schleife gelegt wird ?

    1.4. Widerstandsberechnung

    Der Widerstand eines Leiters ist abhngig von seiner Lnge, seinem Querschnitt und seinem Material. Der Einflu des Leitermaterials auf den Widerstand wird durch eine Materialkonstante, dem spezifischen Widerstand ausgedrckt.

    Der spezifische Widerstand ist der Widerstand eines Leiters von 1 m Lnge und 1 mm2 Querschnitt bei der Normaltemperatur von 20 oC.

  • 6

    Widerstand RlS

    = Es bedeuten : R - Widerstand - spezifischer Widerstand l - Drahtlnge S - Drahtquerschnitt Die elektrische Leitfhigkeit ist der Kehrwert des spezifischen Widerstandes . Einheiten spezifischer Widerstand m oder mm2/m spezifische Leitfhigkeit S/m oder S m/mm2

    Spezifische Widerstnde und Leitfhigkeiten von Leiterwerkstoffen

    Material [ mm2/m] [S m/mm2] Silber 0,0159...0,0170 59...63 Kupfer 0,0170...0,0178 56...59 Aluminium 0,028...0,030 33...36 Wolfram 0,055 18,2 Zink 0,05...0,07 14,3...20 Eisen 0,09...0,15 6,7...11 Blei 0,21 4,8 Manganin 0,43 2,33 Konstantan 0,49 2,04 Chromnickel 1 1 Chromaluminium 1,4 0,71 Kohle 60...80 0,0125...0,0167

    Lsungsbeispiel. Wieviel Meter Konstantandraht mit einem Querschnitt von 2 mm2 sind erforderlich, um einen Widerstand von 1,8 herzustellen ?

  • 7

    Gesucht : Leiterlnge l Gegeben : Leiterquerschnitt S = 2 mm2 spezif. Widerstand r = 0,49 mm2/m Widerstand R = 1,8 Lsung :

    RlS

    lR S

    l m= =

    =

    = 1 8 20 49 7 35,

    ,

    ,

    A.1.4.1 Die nicht gegebenen Gren sind zu berechnen!

    a b c d e f g R = 15 2 2,8 1,5 65 S = 0,25 2 10 4 6 mm2 l = 80 1000 100 684 20 m = 0,13 1,4 0,3 0,06 0,21 mm2/m = 4,8 S m/mm2

    A.1.4.2 Wie gro ist der Widerstand eines100 m langen Kupferdrahtes mit einem Querschnitt von 2,5 mm2 ?

    A.1.4.3 Ein Widerstand von 150 soll aus Konstantandraht von 0,5 mm2 Querschnitt hergestellt werden. a) Wieviel Meter Draht sind erforderlich? b) Wieviel Windungen sind auf den Widerstandskrper

    aufzubringen, wenn dessen Durchmesser 45 mm betrgt ?

    A.1.4.4 Aus welchem Material besteht ein Widerstandsdraht mit einem Querschnitt von 0,5 mm2, wenn sein Widerstand 72 und seine Lnge 120 m betragen ?

    A.1.4.5 In eine Werkhalle wird eine Kupferleitung von 35 mm2 Querschnitt gelegt. Die Wrkhalle ist von der Anschlustelle 150 m entfernt. Wie gro ist der Widerstand der Doppelleitung ?

  • 8

    A.1.4.6 Eine Kupferschiene ist 4 m lang und hat ein Querschnitt von 120 mm2. Wie gro ist ihr Widerstand ?

    A.1.4.7 Ein Wasserkraftwerk leitet seine elektrische Energie zu einer 500 km entfernten Stadt ber ein Leitungssystem, bei dem jeder einzelne Leiter, wegen des groen Querschnitts, den er haben mte, in 3 Drhte aufgeteilt ist. Der Gesamtquerschnitt aller 3 Aluminiumdrhte betrgt 1500 mm2. Wie gro ist der Widerstand einer Leitung ?

    Ist fr die Errechnung von Drahtwiderstnden nicht der Querschnitt, sondern der Drahtdurchmesser gegeben, so mu der Querschnitt S nach der Formel S d= pi

    2

    4 berechnet und in

    die Widerstands-formel eingesetzt werden.

    Rl

    Sl

    dl

    d=

    =

    pi

    41 272 2, oder R

    ld

    1 27 2,

    Es bedeuten :

    R - Widerstand r - spezifische Widerstand s - spezifische Leitfhigkeit l - Drahtlnge d - Drahtdurchmesser.

    Lsungsbeispiel.

    Wie gro sind der Querschnitt und der Widerstand eines 628 m langen Kupferdrahtes mit einem Durchmesser von 3 mm ? Gesucht : Querschnitt S Gegeben : Material des Leiters

  • 9

    Widerstand R Drahtdurchmesser d = 2 mm Drahtlnge l = 628 m

    Lsung : Sd

    S mm=

    =

    =

    pi 2 2 24

    3 14 24

    3 14,

    ,

    Rl

    SR=

    =

    =

    0 0175 6283 14

    3 5,

    ,

    ,

    A.1.4.8 Die nichtgegebenen Gren sind zu berechnen !

    a b c d e f g h i R = 1 17 20 40 1,5 28 D = 2 0,25 0,6 2,5 5 0,3 1,2 mm L = 900 1,8 314 31,4 10 m = 0,13 0,3 1,1 mm2

    /m = 57 10 13,5 57 60 60 S m

    /mm2

    A.1.4.9 Eine Kupferschiene aus Rundkupfer mit einem Durchmesser von 10 mm hat eine Lnge von 1,5 m. Wie gro ist ihr Widerstand ?

    A.1.4.10 Auf eine Rolle ist der Rest eines isolierten Kupferdrahtes von 0,5 mm Kupferdurchmesser aufgewickelt. Bestimme die Lnge des Drahtrestes, wenn dessen Widerstand 185 ist ? Was fr eine Rolle spielt hier, da das Draht isoliert ist ?

    A.1.4.11 Wie lang ist ein Fernsprechkabel, dessen kupferne Adern einen Durchmesser von 0,8 mm haben, wenn der Widerstand der Doppelleitung 50 betrgt ?

    A.1.4.12 Eine Signalleitung aus Kupferdraht von 3 mm Durchmesser ist 5000 m lang. Wie gro ist ihr Widerstand ? Wie wrde sich der Widerstand der

  • 10

    Signalleitung ndern, wenn an Stelle des Kupferdrahtes Aluminiumdraht von 4 mm Durchmesser verwendet wird ?

    A.1.4.13 Eine Telegrafenleitung aus Kupferdrahtvon 3 mm Durchmesser ist 20 km lang. Wie gro ist der Widerstand dieser Leitung ?

    A.1.4.14 Ein Anlawiderstand soll mit Konstantandraht von 1,5 mm Durchmesser gewickelt werden. Die Wiederstnde der einzelnen Stufen betragen 0,3 , 0,7 ,1,3 , 2 , 3,1 . a) Welche Gesamtdrahtlnge ist erforderlich ? b) Wie gro sind die Widerstnde zwischen den

    einzelnen Stufen ? c) Welche Drahtlngen sind fr die Teilwiderstnde

    notwendig ?

    1.4.1 Widerstand von Spulen

    Fr die Berechnung des Widerstands von Spulen oder in Rollen aufgewickelten Kabeln und sonstigen Leitungsmaterials mu die Leiterlnge berechnet werden.

    Bei einlagig gewickelten Spulen ist die Leiterlnge ndl = pi wo

    d - Durchmesser der Spule und n - Windungszahl bedeuten.

    Bei mehrlagig gewickelten Spulen wird die Leiterlnge mit hilfe des mittleren Durchmessers dm berechnet. Mittlerer Durchmesser : dm = (d + D) / 2 wo

    d - Innendurchmesser der Spule und D - Aussen-durchmesser der Spule bedeuten.

  • 11

    Lsungsbeispiel. Der uere Wicklungsdurchmesser einer mehrlagig gewickelten Spule betrgt 100 mm, der innere Durchmesser 70 mm. Wieviel Meter Draht sind bei 300 Windungen auf die Spule gewickelt ? Gesucht : Drahtlnge l Gegeben : Auendurmesser D = 100 mm Innendurchmesser d = 70 mm Windungszahl n = 300 Lsung : dm = (d + D) / 2 = 85 mm

    mmndl m 801113008514,3 === pi oder l = 80,1 m

    Lsungsbeispiel.

    Eine Feldspule mit 250 mm uerem und 150 mm innerem Durchmesser hat 4000 Windungen. Wie gro ist ihr Widerstand , wenn der Durchmesser des Kupferdrahtes 0,4 mm betrgt ?

    Gesucht : Widerstand R Gegeben : Auendurmesser D = 250 mm Innendurchmesser d = 150 mm Windungszahl n = 4000 Leiterdurchmesser dCu = 0,4 mm Lsung : dm = (d + D) / 2 = 200 mm l = pi dm n = 3,14 . 200 . 4000 = 2513274 mm oder l = 2513 m Scu = pi dCu2 / 4 = 3,14 . 0,42 / 4 = 0,1257 mm2 R = l / Scu = 0,0175 . 2513 / 0,1257 = 350

  • 12

    A.1.4.1.1 Die nicht angegebenen Gren sind zu berechnen !

    a b c d e f

    R =

    14 7,12 5,76 7,68 69.6

    d =

    0,8 0,5 0,6 1,4 0,4 mm

    0,0176 0,0178 0,018 0,029 m

    mm 2

    n =

    4000 1000 1200 1680

    d1 =

    14 12 28 10 20 8 cm

    d2 =

    10 8 20 6 12 4 cm

    A.1.4.1.2 Wieviel Windungen aus Kupferdraht hat eine Spule mit einem ueren Durchmesser von 14 cm und einem inneren Durchmesser von 10 cm, wenn der gemessene Widerstand 10,68 betrgt? Drahtstrke: 1,2 mm.

    A.1.4.1.3 Aus 0,6 mm starkem Kupferdraht soll eine Spule gewickel werden, deren Widerstan tragen soll. Wieviel Windungen sind erforderlich?

    A.1.4.1.4 Wie gro ist der Wicklungswiderstand einer Feldspule mit einem ueren Durchmesser von 180 mm und eiiinem inneren Durchmesser von 120 mm, wenn die

  • 13

    Spule mit 0,4 mm starkem Kupferdraht bewickelt ist und 4200 Windungen hat?

    A.1.4.1.5 Zur Anfertigung eines 1000--Drahtwiderstandes steht Nickelindraht WM 30 mit 0,2 mm Durchmesser und eine Schieferwalze von 4 cm Durchmesser zur Verfgung. a) Wieviel Meter Draht sin erforderlich? b) Wieviel Drahtwindungen mssen auf die Walze

    aufgebracht werden? c) Wie lang mu der fr die Wicklung bestmmte Teil der

    Walze sein, wenn Windung an Windung gelegt wird?

    A.1.4.1.6 Eine Spule mit einem inneren Durchmesser von 400 mm und eiinem ueren Durchmesser von 600 mm hat 2000 Windungen. Der Durchmesser des Kupferdrahtes betrgt 0,5 mm. Berechne den Wicklungswiderstand!

    A.1.4.1.7 Wie gro ist der Wicklungswderstand einer Spule mit einem ueren Durchmesser von 200 mm un einem inneren Durchmesser von 170 mm, die 1600 Windungen aus Kupferdraht von 0,8 mm Durchmesser hat?

    A.1.4.1.8 Wieviel Windungen hat eine Relaisspule aus Kupgerdraht mit einem ueren Durchmesser von 30 mm, und einem inneren Durchmesser von 20 mm, wenn bei einem Durchmesse des Spulendrahtes von 0,2 mm der Wicklungswiderstand 800 betrgt?

    A.1.4.1.9 Eine Spule mit 1280 Windungen aus Aluminiumdraht von 0,8 mm Durchmesser hat einen inneren Durchmesser von 120 mm und einen ueren Durchmesser von 160 mm. Wie gro ist der Wicklungswiderstand der Spule?

  • 14

    1.5. Temperaturkoeffizient

    Der Widerstand eines Leiters ist von der Temperatur abhngig. Diese Abhngigkeit wird durch den Temperaturkoeffizienten berdksichtigt.

    Der Temperaturkoeffizient gibt den Brudhteil an, um den sich der Widerstand von 1 eines Stoffes vergrert oder verkleinert.

    Der Werte der Temperaturkoeffizienten sind von der Ausgangstemperatur abhngig. In Tabelle 2 sind die Werte von fr die Ausgangstemperatur von 20C angegeben.

    Tabelle 2: Temperaturkoeffizienten bei 20C

    Werkstoffe

    C1

    Metalle

    Werkstoffe

    C1

    Legierungen Aluminium 0,004 Chromnickel +0,00025

    WM 100 Blei 0,00387 Konstantan -0,000005

    Kupfer 0,0038 Manganin +0,000004

    Stahl WM 13 0,0048 Nickelin +0,0002

    Wolfram 0,0041 Rheotan -0,000005

    Zink 0,0037 Stahlchrom- aluminiium +0,002

    Bei der Endtemperatur ist der Widerstand R : ( )[ ]+= 201 2020 RR 1

    1 Die Formel gilt mit fr die Praxis ausreichender Genauigkeit bis zu

    Temperaturen von 2000 C. Fr hhere Temperaturen liefert sie nur Nherungswerte.

  • 15

    und die Temperatursteigerung

    2020

    20 120

    ==R

    RR

    Es bedeuten: 20R Widerstand bei 20C

    R Widerstand bei der Temperatur 20 Temperaturkoeffizient fr 20C

    Geht man von dem Kaltwiderstand kR bei einer beliebigen Ausgangstemperatur k aus, so besteht zwischem dem Warmwiderstand R bei der Endtemperatur und dem Kaltwiderstand kR bei der Temperatur k die Gleichung:

    ( )[ ]kkRR += 201

    20

    k 1R

    ==k

    k RR

    Es bedeuten: R Warmwiderstand

    kR Kaltwiderstand

    Endtemperatur k Anfangstemperatur

    Lsungsbeispiel :

    Bestimme nherungsweise den Widerstand einer Heizwendel aus Stahlchromaluminium WM 140 bei einer Temperatur von 620C, wenn ihr Widerstand bei 20C 35 betrgt!

  • 16

    Gesucht: Widerstand R bei 620 Gegeben: Anfangswiderstand 20R = 35 Endtemperatur = 620C Widerstandsmaterial: Stahlchromaluminium

    Lsung: ( ) += 2020 1RR

    CCC

    ==

    2062020

    Aus Tabelle: C

    C=

    =

    600

    1002,020

    + CC

    R 6001002,0135

    ( )2,235

    2,1135

    +

    RR

    77R

    Lsungsbeispiel :

    Die Kupferwicklung einer Magnetspule hat bei einer Temperatur von 15C einen Widerstand von 3,5; nach halbstndigem Betrieb ist ihr Widerstand auf 4,2 gestiegen. Welche Temperatur hat die Magnetspule angenommen?

    Gesucht: Endtemperatur

    Gegeben: Anfangstemperatur Ck = 15 Kaltwiderstand = 5,3kR Warmwiderstand = 2,4R

  • 17

    Lsung: 20

    1

    =k

    k

    RRR

    C

    =10038,0

    15,3

    5,32,4

    C

    = 2635,37,0

    C= 53

    CCk

    k

    +=

    +==

    5315

    C= 68

    A.1.5.1 Die nicht gegebenen Gren sind zu bestimmen.

    a b c d e f

    k = 20 20 20 15 -10 +10 C

    = 70 74 92 39 +70 C

    = 0,004 0,0038 0,0041 0,0018 0,0038 0,004 C1

    = 72 C =kR 120 260 12 14,5 5,4

    =R 78 6,3

    A.1.5.2 Welche Endtemperatur erreicht eine Aluminiumwicklung, deren Widerstand bei 20C mit 1250 und im warmen Zustand mit 1700 gemessen wird?

  • 18

    A.1.5.3 Der Widerstand einer Aluminium-Freileitung betrgt bei 20C 9. Bei welcher Temperatur fllt der Widerstand auf 8 ab?

    A.1.5.4 Im allgemeinen rechnet man bei Kupfer mit einem

    spezifischen Widerstand von m

    mm20175,0 . Im

    Elektromaschinenbau jedoch wird hufig mit dem Wert 0,02 gerechnet. Welcher Betriebstemperatur entspricht dieser Wert?

    A.1.5.5 Der Widerstand einer Feldwicklung betrgt bei 20C 140. Bei welcher Temperatur erreicht die Kupferwicklung einen Widerstand von 160?

    A.1.5.6 Der Widerstand einer Aluminiumleitung betrgt bei 20C 121. Wie gro ist der Widerstand dieser Leitung bei einer Temperatur von 5C?

    A.1.5.7 Bei welcher Temperatur erreicht der Widerstand einer Spule, die aus 400m Kupferdraht von 1mm2 Querschnitt gewickelt ist, 8?

    A.1.5.8 Bestimme die Temperatur, bei der Widerstand einer Spule, die aus 500m Aluminiumdraht von 1mm2 Querschnitt gewicklt ist, auf 18 ansteigt!

    A.1.5.9 Bestimme angenhert den Widerstand eines auf 1240C erwrmten Wolframdrahtes, dessen Eiderstan ber 20C 45 betrug!

    A.1.5.10 Wie hich ist die Temperatur in einer Kupferwicklung, deren Widerstand von 110 bei 5C auf 132 gestiegen ist?

  • 19

    1.6. Widerstandsschaltungen

    1.6.1 Reihenschaltung

    Bei der Reihehschaltung(Hintereinanderschaltung) von Widerstnden ist der Ersatzwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstnde (Bild 1).

    Rers = R1 + R2 +R3 +

    Es bedeuten: Rers Ersatzwiderstand R1,R2,R3 Einzelwiderstnde

    Der Ersatzwidestand ist also stets grer als der grte Einzelwiderstand.

    Lsungsbeispiel :

    3 Widerstnde von 24, 15 und 56 sind hintereinandergeschaltet. Wie gro ist der Ersatzwiderstand (Bild 2)

    Gesucht: Ersatzwiderstand Rers Gegeben: Einzelwiderstnde R1 = 24 R2 = 15 R3 = 56

    Lsung: Rers = R1 + R2 + R3 Rers = 24 + 15 + 56 Rers = 95

    R1 R2 R3

    Bild 1

    Ges.:Rers

    R1 R2 R3

    Bild 2

  • 20

    A.1.6.1.1 Der Ersatzwiderstand fr die Reihenschaltung der folgenden Widerstnde ist zu bestimmen.

    a b c d e f g h i R1 = 15 26 156 32 88 72 19 224 284

    R2 = 165 23 188 12 28 92 36 72 262

    R3 = 35 12 836 57 28 52 11 185 66

    R4 = 69 43 44 12

    A.1.6.1.2 Eine Glhlampe fr 110 V hat einen Widerstand von 306 und strahlt ihre normale Lichtstrke aus, wenn durch den Glhdraht ein Strom von 0,36 A fliet. a) Wie gro ist der Widerstand, wenn man zwei dieser

    Glhlampen in Reihe schaltet? b) Leuchten die in Reihe geschalteten Glhlampen am

    220-V-Netz mit normaler Lichtstrke? A.1.6.1.3 Eine Bogenlampe, die bei 50 V Lichtbogenspannung

    20 A aufnimmt, soll an das 110-V-Netzangeschlossen werden. Welcher Widerstand mu der Lampe vorgeschalte werden?

    A.1.6.1.4 Ein Gleichstromnebenschlumotor (Bild 16) ist fr eine Nennspannung von 220 V und einen ankernennstrom von 20 A gebaut. Der Widerstand des Ankers betrgt 0,5 . Wie hoch ist der dem anker AB vorzuschaltende Anlawiderstand Rv zu bemessen, wenn der Anlaspitzenstrom das 1,5 fache des Ankernennstromes betragen darf?

  • 21

    1.6.2 Parallelschaltung

    Bei der Parallelschaltung (Nebeneinanderschaltung) von Widerstnden ist der Ersatzleitwert gleich der Summe de Einzelleitwerte (Bild 3).

    Gers = G1 + G2 + G3 +

    Es bedeuten: Rers Ersatzwiderstand R1, R2, R3 Einzelwiderstnde

    oder, da G = R1

    ,

    ...

    1111321

    +++=RRRRers

    Es bedeuten: Rers Ersatzwiderstand R1, R2, R3 Einzelwiderstnde

    Fr zwei parallelgeschaltete Widerstande R1 und R2 ist der Ersatzwiderstand:

    Rers = 21

    21

    RRRR

    +

    ,

    fr n parallelgeschaltete, gleichgroe Widerstnde R ist der Ersatzwiderstand:

    R2

    R3

    R1

    Bild 3

  • 22

    n

    RRers = . Der Ersatzwiderstand ist stets kleiner als der

    kleinste Einzelwiderstand.

    Lsungsbeispiel:

    Drei Widerstnde von 40, 24 und 10 sind parallelgeschaltet (Bild 4). Wie gro ist der Ersatzwiderstand?

    Gesucht: Ersatzwiderstand Rers Gegeben: Einzelwiderstnde R1 = 40 R2 = 24 R3 = 10

    Lsung: 321

    1111RRRRers

    ++=

    =

    =

    +

    +

    =

    +

    +

    =

    1611

    1120201

    1120121

    12051

    12031

    101

    241

    4011

    ers

    ers

    ers

    ers

    R

    R

    R

    R

    = 6ersR

    40

    24

    10

    Ges:Rers

    Bild 4

  • 23

    12

    4

    Ges:Rers

    Bild 5

    Lsungsbeispiel: Zwei Widerstnde von 12 und 4 sind parallelgeschaltet (Bild 5). Wie gro ist der Ersatzwiderstand?

    Gesucht: Ersatzwidestand Rers Gegeben: Einzelwiderstnde R1= 12 R2= 4

    Lsung: Rers = 21

    21

    RRRR

    +

    =

    +

    =

    1648

    412412

    ers

    ers

    R

    R

    = 3ersR

    Lsungsbeispiel: Zwei Widerstnde von 24 und 40 sind parallelgeschaltet. Durch Parallelschalten eines dritten Widerstandes soll erreicht werden da

    24

    40

    Ges.Rx

    Rers=6

    Bild 6

  • 24

    der Ersatzwiderstand 6 betrgt (Bild 6).

    Gesucht: Einzelwiderstand Rx Gegeben: Einzelwiderstnde R1 = 24 R2 = 40

    Ersatzwiderstand Rers = 6

    Lsung:

    =

    =

    =

    =

    120121120

    3520140

    124

    1611

    111121

    x

    x

    x

    ersx

    R

    R

    R

    RRRR

    Rx = 10

    A.1.6.2.1 Drei 220-V-Glhlampen mit je 806 Widerstand sin parallelgeschaltet. a) Wie gro ist der Ersatzwidestand? b) Welcher Strom fliet in der Zuleitung?

    A.1.6.2.2 Der Ersatzwiderstand fr die Parallelschaltung der gegebenen Widerstnde ist zu berechnen.

    a b c d e f g h =1R 9 18 8 5 12 6 6 12 =2R 3 6 6 10 4 4 8 6 =3R - - - 12 2 3 24 4 =4R - - - - - - 12 3

  • 25

    A.1.6.2.3 In einer Gleichstrommaschine sind 4 Feldwicklungen von je 110 parallelgeschaltet. a) Wie gro ist der Ersatzwiderstad der Feldwicklungen? b) Durch welche Stromstrke wird das Feld bei 220V

    Netzspannung erregt?

    A.1.6.2.4 Zwei Widerstnde von 4 und 6 sind einmal in Reihe und dann parallel zu schalten. Wie gro ist der Ersatzwiderstand in Reihenschaltung, in Parallelschaltung?

    A.1.6.2.5 Drei Widerstnde von 1,6, 8 und 16 sind einmal parallel-und einmal in Reihe geschaltet. Wie gro ist der Gesamwiderstand in Reihenschaltung in Parallelscaltung?

    A.1.6.2.6 Vier Widerstnde von 0,7, 2,1, 4,2 und 1,4 sind einmal in Reihe und einmal parallelgeschaltet. Berechne den Gesamtwiderstand der Reihenschaltung, der Parallelschaltung!

    A.1.6.2.7 Zwei Widerstnde von 36 und 12 sind einmal hintereinander-und einmal parallelgeschaltet. Wie gro ist ihr Gesamtwiderstand in Reihenschaltung, Parallelschaltung?

    A.1.6.2.8 Vier Widerstnde von 28, 84, 14 und 42 sind einmal hintereinander-und einmal nebeneinandergeschaltet. Wie gro ist ihr Gesamtwiderstand in Reihenschaltung, Parallelschaltung?

  • 26

    A.1.6.2.9 Vier Widerstnde von 2, 1,2, 3 und 0,6 sind einmal parallel-und einmal in Serie geschaltet. Wie gro ist ihr Gesamtwiderstand in Reihenschaltung, Parallelschaltung?

    1.6.3 Gruppenschaltung

    Gruppenschaltungen entstehen durch die Verbingung von Reihen-und Parallelschaltungen. Zur Berechnung von Gruppenschaltungen mu man ein bersichtliches Schaltbild angertigen. Man kann dann leicht erkennen, welche Widerstnde zu Gruppen geschaltet und wie die Gruppen untereinander geschaltet sind. Man berechnet zunchst den Ersatzwiderstand jeder einzelnen Gruppe und dann den Ersatzwiderstand fr die Gruppenschaltung.

    Lsungsbeispiel:

    R3=20

    R4=4 R1=12

    R5=30

    R1,2 R3,4,5 Ersatz- schaltung1

    Gruppe B Gruppe A

    R2=4

    Rers Ersatz- schaltung2

    Bild 7

    Es ist der Ersatzwiderstand der Gruppenschaltung (Bild 7) zu berechnen. R1 = 12, R2 = 4, R3 = 20, R4 = 4, R5 = 30.

  • 27

    Gesucht: Ersatzwiderstand Rers Gegeben: Einzelwiderstnde R1 = 12 R2 = 4 R3 = 20 R4 = 4 R5 = 30

    Lsung: Die Schaltung lt sich in zwei Gruppen aufteilen: Gruppe A besteht aus den parallelgeschalteten Widerstnden R1 und R2, Gruppe B besteht aus den parallelgeschalteten Widerstnden R3, R4 und R5 . Von beiden Gruppen lt sich je ein Ersatzwiderstand errechnen, und zwar R1,2 und R3,4,5 sin in Reihe geschaltet un ergeben den Ersatzwiderstand Rers.

    =

    +

    =

    +

    =

    1648

    412412

    2,1

    2,1

    21

    212,1

    R

    R

    RRRR

    R

    = 32,1R

    5435,4,3

    1111RRRR

    ++=

    +

    +

    =

    301

    41

    2011

    5,4,3R

    ++

    =

    6021531

    5,4,3R

  • 28

    =

    =

    311

    60201

    5,4,3

    5,4,3

    R

    R

    R3,4,5 = 3 Rers = R1,2+ R3,4,5 Rers = 3 +3 = 6ersR

    Lsungsbeispiel:

    Es ist der Gesamtwiderstand der Gruppenschaltung (Bild 8) zu ermitteln. R1 = 6, R2 = 10, R3 = 15, R4 = 9.

    Gesucht: Ersatzwiderstand Rers

    Gegeben: Einzelwiderstnde R1 = 6

    R2=10R1=6

    R4=9R3=15

    R1,2

    R3,4

    R1,2,3,4 Ersatz-schaltung2

    Ersatz-schaltung1

    Gruppe B

    Gruppe A

    Bild 8

  • 29

    R2 = 10 R3 = 15 R4 = 9

    Lsung: Gruppe A besteht aus einer Reihenschaltung von R1 und R2. Gruppe B besteht aus einer Reihenschaltung von R3 und R4.

    +=+=

    1062,1212,1

    RRRR

    R1,2 = 16

    +=+=

    9154,3434,3

    RRRR

    R3,4 = 24

    =

    +

    =

    +

    =

    40384

    24162416

    4,32,1

    4,32,1

    ers

    ers

    ers

    R

    R

    RRRR

    R

    = 6,9ersR

    Fr folgende Gruppenschaltungen sind die Ersatzschaltungen und die Ersatzwiderstnde zu berechnen.

    A.1.6.3.1 (Bild 9)

    Ges.:Rers

    R4 R3

    R2 R1

    Bild 9

  • 30

    a) R1 = 12 b) R1 = 26 c) R1 = 520 R2 = 6 R2 = 4 R2 = 96 R3 = 8 R3 = 50 R3 = 248 R4 = 18 R4 = 14 R4 = 60

    A.1.6.3.2 (Bild 10) a) R1 = 24 b) R1 = 36 c) R1 = 150 R2 = 36 R2 = 18 R2 = 50 R3 = 12 R3 = 48 R3 = 120

    R4 = 4 R4 = 24 R4 = 400 R5 = 60 R5 = 6 R5 = 640 R6 = 4 R6 = 80 R6 = 80

    A.1.6.3.4 (Bild 11) a) R1 = 124 b) R1 = 56 c) R1 = 225 R2 = 12 R2 = 18 R2 = 15 R3 = 40 R3 = 4 R3 = 75 R4 = 100 R4 = 20 R4 = 45 R5 = 36 R5 = 10 R5 = 60 R6 = 48 R6 = 80 R6 = 400

    1.7. Kirchhoffsche Gesetze

    1.7.1 Kirchhoffsches Gesetz 1 (Knotenpunktsatz)

    Ges.:Rers

    R2 R1

    R4 R3

    R5 R4

    Bild 10

    R3

    Ges.:Rers

    R2 R1

    R4

    R6 R5

    Bild 11

  • 31

    Die Summe der einem Stromverzweigungspunkt zuflieenden Strme ist gleich der Summe der von ihm abflieenden Strme

    abzu =

    Im Bild 12 ist Iges = I1+ I2 + I3.

    Durch Anwendung des Ohmschen Gesetzes auf den Gesamtstromkreis und die einzelnen Zweige ergibt sich fr die

    Gesamtstromstrke: ers

    ges RUI = und fr die

    Zweigstrme: 3

    32

    21

    ,,

    RUI

    RUI

    RUI ges ===

    Es bedeuten:

    U Spannung am Stromkreis Rers Ersatzwiderstand der Stromverzweigung R1,R2,R3 Zweigwiderstnde

    Lsungsbeispiel:

    Wie gro ist der Gesamtstrom in der Zuleitung zu der Stromverzweigung nach Bild 13?

    Gesucht: Gesamtstrom Iges

    + -

    Iges I1 I3 I2 I3

    I2 I1 Iges R2

    R1

    R3

    Bild 12

    -

    +

    Ges.:Iges

    I4=6A

    I3=2,5A

    I2=0,5A

    I1=4A

    R3

    R4

    R2

    R1

    Bild 13

  • 32

    Gegeben: Zweigstrme I1 = 4 A I2 = 0,5 A I3 = 2,5 A I4 = 6 A

    Lsung: Iges = I1 + I2 + I3 + I4 Iges = 4 A + 0,5A + 2,5A + 6A Iges = 13 A

    Bild 14

    1.7.2. Kirchhoffsches Gesetz 2

    In jeden geschlossenen Stromkreis ist die Summe der Urspannungen gleich der Summe der Spannungsabflle im Stromkreis

    = RIE

    In Bild 14 ist

    E1 + E2 + E3 = = 32132 iii RIRIRIRIRIRI +++++

    Lsungsbeispiel:

    R=24,2

    = 8,0iR

    I=9A

    Ges.:E

    - +

    Bild 15

    + + + ---

    I.R1 I.R2 I.R3E1 E2 E3

    Ri1 Ri2 Ri3

    R1 R2 R3

    I

    I

  • 33

    Wie gro ist die Urspannung einer Spannungsquelle, deren innerer Widerstand 0,8 betrgt, wenn sie in einem Stromkreis mit dem ueren Widerstand 24,2 einen Strom von 9A erzeugt (Bild 15)?

    Gesucht: Urspannung E

    Gegeben: Stromstrke I = 9A uerer Widerstand Ra = 24,2 innerer Widerstand RI = 0,8A

    Lsung: E = ia RIRI + E = 9A + 8,092,24 A E = 217,8V + 7,2V VE 225=

    A.1.7.2.1

    Die den Leerfeldern entsprechenden Stromstrken sind zu berechnen.

    a b c d e f g h I1 = 9 8 6 1,1 6,9 2,1 2,2 4,2 A I2 = 5 7,5 0,2 0,2 3,4 1,3 A I3 = 24 4,5 2 3,4 9,1 A I4 = - 5 - - 6,5 2,3 8,1 A Iges = 12 12 12 16 20 25 A

    A.1.7.2.2 Wie gro ist der Strom in der Zuleitung einer Stromverzweigung, wenn die Strme in den einzelnen Zweigen 2A, 27 A und 11A betragen?

    A.1.7.2.3 In der Zuleitungeiner Stromverzweigung aus 3 parallelgeschalteten Zweigen fliet ein Strom von 96A. Berechne die Stromstrke im ersten Zweig, wenn die

  • 34

    Strme in den beiden anderen zweigen 25A und 55,6A betragen!

    A.1.7.2.4 Drei Widerstnde von 4, 12 und 6 sind parallelgeschaltet und liegen an einer Spannunfg von 24V. Berechne a) den Ersatzwiderstand der Schaltung, b) die Strme in den einzelnen Widerstnden, c) den Gesamtstrom in der Zuleitung?

    A.1.7.2.5 Drei Widerstnde von 8, 10 und 5 sind parallelgeschaltet, Durch den Widerstand von 8 fliet ein Strom von 5A. a) Wie gro ist die Spannung in den Knotenpunkten? b) Wie gro sind die Teilstrme in den beiden anderen

    Widerstnden? c) Welcher Strom fliet in der Zuleitung?

    A.1.7.2.6 Eine Verzweigung besteht aus den Widerstnden 12, 4, 1; der Strom im ersten Widerstand betrgr 2A. Es ist zu berechnen: a) die Spannung an den Knotenpunkten, b) die Strme in den beiden anderen Widerstnden, c) der Gesamtstrom.

    A.1.7.2.7 In einer Werkstatt liegen am 220-V.Netz in Parallelschaltung 5 Glhlampen mit je 810, ein Leimkocher mit 240 und ein Trockenofen mit 44. Berechne a) die Teilstrme in den einzelnen Gerten, b) die Stromstrke in der Zuleitung nach der Ergebnisse! c) den Gesmtwiderstand zur Kontrolle der Ergebnisse!

    A.1.7.2.8 Die Widerstnde von 8, 4, 2 und 6 sind parallelgeschaltet. Wie gro sind die Zweigstrme, wenn der Gesamtstrom 12,5A betrgt?

  • 35

    A.1.7.2.9 In einer Parallelschaltung von Widerstnden betragen din Zweigstrme 0,3 A (0,4A), 1,4 A (0,1A), 0,7 A (0,48 A) und 0,8 A (0,16 A). Wie gro sind die Zweigwiderstnde, wenn der Gesamtwiderstand der Schaltung 168 (19) betrgt?

    A.1.7.2.10 Ein Stromkreis besteht aus den in Reihe geschalteten Widerstnden 15, 20 und 75. Die Stromstrke im Stromkreis betrgt 2 A. Berechne a) den Spannungsabfall in jedem Widerstand, b) die am stromkreis wirkende Klemmenspannung!

    A.1.7.2.11 In einem Betrieb mit eigener Stromvesorgungs-anlage (Bild 16) bernimmt bei Ausfall des Generators eine Sammlerbatterie mit 110 Zellen die Stromversorgung der Anlage. Jede Zelle liefert eine Ur-spannung von 2,1 V; der innere Widerstand jeder Zelle betrgt 0,005 . Bild 16

    Die Stromversorgungsanlage liefert den Strom ber eine Kupferleitung von 6 mm2 Querschnitt nach der 500 m entfernten Werkhalle. Der Gesamtwiderstand der angeschlossenen Gerte betrgt 80 . Berechne:

    a) die Summe aller Urspannungen im Stromkreis, Bild 16

    b) den Gesamtwiderstand der Anlage, c) die Klemmenspannung der Batterie,

    U RUK

    500

    +

    -

    E = 2,1 V je ZelleRi = 0,005n = 110

    Kupferdraht 6mm2

  • 36

    d) die in der Werkhalle verfgbare Klemmenspannung!

    Bild 17 -

    +

    I I R2 R1

    R3 Rx

    Ix

    I3

    I3

    I2

    I2

    I1

    GG

    1.8. Mebrcken

    1.8.1 Wheatstonesche Mebrcke

    In der Wheatstoneschen Brckenschaltung (Bild 17) ist das Galvanometer der Brcke stromlos, wenn

    2

    1

    3 RR

    RRx

    =

    oder

    2

    13 R

    RRRx = ist.

    Das Brckengleichgewicht wird duch den Regelwiderstand R2 hergestellt. Die Wheatstonesche Brckenschaltung dient zum bestimmen des unbekannten Widestandes Rx, wenn die Widerstnde R3, R1 und R2 bekannt sind.

  • 37

    Bild 18 -

    +

    R2=40 R1=1 6

    R3=50 Ges.:Rx

    GG

    Lsungsbeispiel:

    Mit einer Wheatstoneschen Mebrcke soll ein Widerstand Rx ermittelt werden. Die Mebrcke enthlt die beiden nicht regelbaren Widerstnde R1=16, R3=50 und einen Regelwiderstnd R2, der auf 40 eingeregelt werden mu, damit das Galvanometer stromlos ist (Bild 18). Wie gro ist Rx?

    Gesucht: Widerstand Rx Gegeben: Widerstnde R1=16 R3=50 Regelwiderstand R2=40

    Lsung: 2

    13 R

    RRRx = ,

    =401650xR

    Rx=20

  • 38

    Kirchhoffsche Mebrcke

    R3 1000

    10010

    1

    Rx

    S

    R1 R2

    I1 I2

    - +

    G

    Bild 19

    Bei der Kirchhoffschen Mebrcke (Bild 19) ist der Vergleichswiderstand R3 auf einen festen dekadischen Wert 1, 10, 100 oder 1000 eingestellt. Die Widerstnde R1 und R2 sind ersetzt durch einen Widerstandsdraht. Das

    Verhltnis der Widerstnde 2R

    R ist dem Verhltnis

    2

    1

    ll

    der

    Drahtlngen gleich. Durch Verschieben des Gleitkontaktes S

    wird das Verhltnis 2

    1

    2

    1

    ll

    RR

    = so gendert, da die Brcke

    stromlos ist.

    2

    13 l

    lRRx =

    Lsungsbeispiel: wie gro ist der Widerstand Rx, wenn der bekannte Widerstand in der Mebrcke R3=100 und die Teillngen des Widerstandsdrahtes l1=60cm und l2=40cm betragen (Bild 20)?

    Gesucht: Widerstand Rx

  • 39

    Gegeben: Widerstand R3=100 Teillngen des Widerstandsdrahtes

    l1=60cm

    l2=40cm

    Lsung: 2

    13 l

    lRRx =

    cm

    cmRx 4060100 =

    Rx=150

    A.1.8.2.1 Berechne den gesuchten Widerstand Rx einer Brckenschaltung bei folgenden Angaben:

    a b c d e f g h

    R3 = 200 120 10 1 1000 10000 100 10

    R1 = 6000 100 450 750 - - - -

    R2 = 400 50 150 125 - - - -

    l1 = - - - - 75 20 40 80 cm

    l2 = - - - - 25 80 60 20 cm

    A.1.8.2.2 Durch das Galvanometer im Brckenzweig der Wheatstoneschen Mebrcke fliet kein Strom, wenn die Widerstnde R1 = 400 , R2 = 57,6 und R3 = 14,4 betragen. Wie gro ist Rx?

    100Ges.:Rx

    60cm 40cm-+

    G

    Bild 20

  • 40

    A.1.8.2.3 Berechne den Widerstand Rx, wenn das Galavanometer der Mebrcke bei den Widerstnden R1 = 125 , R2 =144 und R3 =57,6 stromlos ist?

    A.1.8.2.4 Bei einer Wheatstoneschen Mebrcke ist das Galvanometer in der Brcke stromlos, wenn R1=1000 , R2 =1880 und R3 = 752 sind. Wiegro ist der Widerstand Rx !

    A.1.8.2.5 Bei einer Wederstandsmessung ist de Brckenzweig einer Mebrcke stromlos, wenn R1=100, R2 =12,4 und R3 = 49,6 sind. Berechne den Widerstand Rx?

    A.1.8.2.6 Das Galvanometer der Mebrcke zeigt keinen Strom an, wenn R1= 10, R2 =4,96 , R3 = 6,2 . Wie gro ist der Widerstand Rx?

    A.1.8.2.7 In der Kirchhoffschen Mebrcke zeigt das Galvanometer keinen Ausschlag, wenn der Widerstand R3 = 100 und die Teillngen des Medrahtes l1 = 25 cm und l2 = 75 cm betragen. Wie gro ist Rx?

    A.1.8.2.8 Berechne den Widerstand Rx, Wenn der Widerstand R3 = 1000 und die Teillngen des Medrahtes l1 = 36 cm und l2 = 64 cm betragen!

    A.1.8.2.9 Die Brcke in der Kirchhoffschen Mebrcke ist stromlos, wenn der Widerstand R3 =10 000 ist und das Verhltnis der Teillngen des Medrahtes 1:14 betrgt. Der Widerstand Rx ist zu berechnen.

    A.1.8.2.10 Der Widerstand Rx ist zu berechnen, wenn bei einem Mewiderstand R3 = 100 und bei abgeglichener Brcke das Verhltnis de Medrahtteillngen 36: 64 ist.

  • 41

    2. LEISTUNG UND ARBEIT DES ELEKTRISCHEN STROMES

    2.1. Elektrische Leistung

    Die elektrische Leistung (N oder P) ist das Produkt aus Spannung und Stromstrke. Elektrische Leistung: IUN = .

    Es bedeuten: U Spannung I Stromstrke

    Die Maeinheit der elektrischen Leistung ist 1 Watt (Kurzzeichen W).

    Einheitengleichung: AVW 111 =

    Ist an Stelle der Spannung U bzw, der Stromstrke I der Widerstand R gegeben, so ergibt sich aus RIU = bzw.

    :RUI =

    RIN = 2

    bzw. R

    UN2

    =

    Lsungsbeispiel:

    Welche elektrische Leistung erfordert eine Glhlampe, die bei Anschlu an 220V eine Stromstrke von 0,182 A aufnimmt (Bild 22)?

    U = 220 V Ges.: N

    I = 0,182 A

    Bild 22

  • 42

    Gesucht: Leistung N

    Gegeben: Spannung U = 220 V Stromstrke I = 0,182 A

    Lsung: IUN =

    AVN 182,0220 =

    N = 40 W

    Lsungsbeispiel:

    Ein Infrarot-Trockenofen hat einen Widerstand von 10,7 und nimmt einen Strom von 20,5A auf (Bild 23). a) Welche elektrische Leistung wird im Ofen in Wrme

    umgewandelt? b) Welche Spannung liegt am Trockenofen?

    Gesucht: Leistung N Gegeben: Stromstrke AI 5,20= Widerstand = 7,10R Lsung: a)

    AVNAVAN

    ANRIN

    ==

    ==

    7,44967,1025,420

    7,10)5,20(2

    22

    N = 4,5 kW b)

    ==

    7,105,20 AURIU

    U = 219,4 V

    Ges.: NGes.: U

    I = 20,5 A

    Bild 23UR = 10,7

  • 43

    Lsungsbeispiel:

    Mit einem Leistungsmesser wird die Leistung eines Heizgertes gemessen. Sie betrgt 1588,04W. Das Heizgert hat einen Widerstand von 116. Welche Stromstrke erfordert das Gert (Bild 24)?

    Gesucht: Stromstrke I Gegeben: Leistung N = 1588,04W Widerstand R = 116

    Lsung:

    2

    2

    2

    69,13

    11604,1588

    AI

    WI

    RNI

    RNI

    RIN

    =

    =

    =

    =

    =

    I = 3,7 A

    A.2.1.1 Berechne die nicht gegebenen Gren! a b c d e f g N= 750 990 5500 1470 675 W U= 60 220 250 42 225 V I= 12 0,9 6 0,45 A

    W

    R = 116

    Ges.: I

    Bild 24

    +

    -

    N = 1588,04W

  • 44

    A.2.1.2 Eine Glhlampe nimmt bei 220 V eine Leistung von 100 W auf. Wie gro ist die Stromstrke?

    A.2.1.3 Wie gro ist die von einer kochplatte aufgenommene Leistung, wenn die Stromstrke bei 220V 4,5 A betrgt?

    A.2.1.4 Wie gro ist die Leisstungsaufnahme eines Rundfunkgertes, das bei 125 V einen Strom von, 0,4 A aufnimmt?

    A.2.1.5 Fr welche Stromstrke mu der Heizkrper eines Bgeleisens bemessen sein, wenn auf dem Leistungsschild die Angaben 1,2 kW/220 V stehen?

    A.2.1.6 In eine Stahlwerk wird ein Lastnebemagner zum Entladen von Schrott verwendet. Wieviel kW mssen dem Magnet zugefhrt werden, wenn dieser bei 110 V Gleichstrom einen Strom von 42 A bentigt?

    A.2.1.7 Ein Gleichstrommotor hat eine Leistungsaufnahme von 5,5 kW. Welcher Strom fliet in der Zuleitung, wenn die Netzspannung 440 V betrgt?

    A.2.1.8 In der Zuleitung eines Heizkissens flieen den 3 Schaltstufen entsprechend, 0,04 A, 0,11 A und 0,20 A. Welche Leistung nimmt das Heizkissen bei 220 V in jeder der 3 Schaltstufen auf?

    A.2.1.9 Ein Kranmotor nimmt eine Leistung von 22 kW auf. Berechne den Strom in der Zuleitung, wenn die Betriebsspannung a) 440 V, b) 220 V betrgt!

    A.2.1.10 Bestimme die Leistung eines Tauchsieders, der bei einem Widerstand von 55 4 A aufnimmt!

  • 45

    2.2. Elektrische Arbeit

    Die Stromarbeit (A oder W) ist gleich dem Produkt aus der elektrischem Leistung N und der Stromdauer t.

    Stromabeit tNA = tIUA =

    Es bedeuten: N elektrische Leistung U Spannung I Stromstrke t Stromdauer Die Einheit der elektrischen Arbeit ist die Wattsekunde (Kurzzeichen Ws) oder Joule.

    Einheitengleichung: VAssAVWs 11111 ==

    1 Ws = 1 J Davon abgeleitet:

    1 Wattstunde (1 Wh) = 3600 Ws = 3,6 Ws310

    1 Kilwattstunde (1 KWh) = 1000 Wh = Ws6106,3

    Lsungsbeispiel:

    Welche Arbeit verrichtet ein 250-W-Motor, der 6 Stunden in Betrieb ist (Bild 25)?

    Gesucht: Arbeit A Gegeben: Leistung N = 250W Betriebsdauer t = 6h

    + -

    N = 250 W

    t = 6hGes.: A

    Bild 25

    M

  • 46

    Lsung: WhA

    hWAtNA

    15006250

    =

    =

    =

    A = 1,5 kWh

    Lsungsbeispiel:

    In einer Poliklinik nimmt eine Bestrahlungslampe bei 220V Netzspannung einen Strom von 2,28A auf. Welche Arbeit verrichtet der Strom monatlich, wenn die Lampe durchschnitt-lich 2,5 Std. tglich in Gebrauch ist und der Monat zu 26 Arbeitstagen gerechnet wird (Bild 26)?

    Gesucht: Stromarbeit Gegeben: Spannung U = 220V

    Stromstrke I = 2,28A Betriebsdauer t = 26 Tage je 2,5h

    Lsung: httIUA

    tNA

    5,226 ==

    =

    ht 65=

    WhAhAVA

    326046528,2220

    =

    =

    A = 32,6 kWh

    + -

    I = 2,28 AGes.: A

    Bild 26

    U = 220 V

    t = 26 Tage zu je 2,5 h

  • 47

    A. 2.2.1 Wieviel kW verbraucht eine 40-W-Glhlampe, wenn sie 4,5 Std. in Betrieb ist?

    A. 2.2.2 Ein elektrischer Khlschrank fr 220 V Netzspannung nimmt 0,91 A auf. Wieviel kWh werden monatlich verbraucht, wenn der Khlschrank von dem eingebauten Temperaturregler in 24 Std, 24 mal je 15 min eingeschaltet wird? (Der monat ist mit 30 Tagen zu rechnen)

    A. 2.2.3 Ein Kranmotor nimmt an einem 440-V-Glhlampe einen Strom von 17 A auf. Wieviel kWh werden bentigt, wenn der Motor je Schicht 5 Std. luft?

    A. 2.2.4 Nach wieviel Stunden hat eine 220-V-Glhlampe mit einer Leistung von a) 15 W, b) 25 W, c)40 W, d) 60 W e) 100 W 1kWh verbraucht?

    A. 2.2.5 a) Wieviel kWh werden im Winterhalbjahr monatlich in einer Berufsschule verbraucht, wenn in 20 Klassenzimmern je 4 Glhlampen zu 100 W und 2 Glhlampen zu je 60 W tglich 1,5 Stunden eingeschaltet sind? ( Der Monat ist mit 25 Tagen zu rechnen)

    b)Wieviel kWh werden eingespart, wenn je Klassenzimmer je eine 100-W-Glhlampe auer Betrieb gesetzt wird?

    A. 2.2.6 Die Umkehrscchaufelturbine des Kuibyschewer Wasserkraftwerkes in der Sowjetunion hat eine Leistung von 105 000 kW. Welche Arbeit verrichtet die Maschine in einem Monat mit 30 Tagen, wenn sie ununterbrochen vollausgelastet in Betrieb ist ?

  • 48

    2.3. Wirkungsgrad

    Ein teil der von einer Maschine oder einem Gert aufgenommenen Leistung Ni (indizierten Leistung) geht durch Reibung, Streuung, inneren elektrischen Widerstand usw. verloren (Verlustleistung Nv). Die Dfferenz beider ist die Nutzleistung Ne (effektive Leistung), die Maschine abgibt.

    Nutzleistung Ne = Ni - Nv Es bedeuten: Ne effektive Leistung Ni indizierte Leistung Nv Verlustleistung Das Verhltnis der effektiven Leistung zur indizierten Leistung ist der Wirkungsgrad .

    Wirkungsgrad i

    e

    NN

    =

    Da Ne stets kleiner als Ni ist, ist kleiner als 1. Durch Auflsen der Gleichung nach Nv ergibt sich:

    ( )

    =

    =

    =

    =

    1iviv

    ie

    eiv

    NNNNN

    NNNNN

    Lsungsbeispiel:

    Ein Elektromotor entnimmt dem Netz eine Leistung von 2,5 kW und gibt 2,05 kW als mechanische Leistung ab. Wie gro ist sein Wirkungsgrad?

    Gesucht: Wirkungsgrad Gegeben: zugefhrte Leistung Ni = 2,5 kW abgegebene Leistung Ne = 2,05 kW

    Lsung: 82,05,205,2

    ==

  • 49

    Lsungsbeispiel:

    Wie gro ist der Leistungsverlust einer elektrischen Bohrmaschine, wenn der Gesamtwirkungsgrad 0,75 und die zugefhrte Leistung 1 kW betragen? Gesucht: Leistungsverlust Nv Gegeben: Wirkungsgrad = 0,75 zugefhrte Leistung Ni = 1 kW

    Lsung: ( )

    ( )25,01

    75,0111

    =

    =

    =

    kWNkWN

    NN

    v

    v

    iv

    kWN v 25,0= Wird die Verlustleistung mit der Zeit, whrend der die Maschine in Betrieb ist, multipliziert, so erhlt man den Arbeitsverlust.

    Arbeitsverlust tNA

    tNA

    iv

    vv

    =

    =

    )1(

    Lsungsbeispiel:

    Die Behrmaschine des vorherigen Lsungsbeispiels arbeitet 12 Std. wie gro ist der Arbeitsverlust?

    Gesucht: Arbeitsverlust Av Gegeben: Wirkungsgrad = 0,75 zugefhrte Leistung Ni = 1 kW Zeit t = 12h

    Lsung: ( ) ( )

    hkWAhkWAtNA

    v

    viv

    1225,011275,0111

    =

    ==

    kWhAv 3=

  • 50

    A.2.3.1 Wie gro ist der Wirkungsgrad eines Generators mit einer Antriebsleistung von 50 kW, wenn seine abgegebene elektrische Leistung 43 kW betrgt?

    A.2.3.2 Ein Notstromgenerator mit einer elektrischen Leistung von 10 kW wird von einem Benzinmotor mit 12,6 kW angetrieben. Wie gro ist der Wirkungsgrad des Generators?

    A.2.3.3 Welchen Wirkungsgrad hat der Antriebsmotor eines Aufzuges, wenn dieser eine elektrischen Leistung von 6,5 kW aufnimmt und an den Aufzug eine Antriebsleistung von 5,5 kW abgibt?

    A.2.3.4 Wie gro ist der Leistungsverlust eines Drehmaschinenmotors, wenn dieser aus dem Netz 5 kW entnimmt und der Gesamtwirkungsgrad 0,82 betrgt?

    A.2.3.5 Bestimme den Leistungsverlust einer Bauwinde, wenn die Nutzleistung 2 kW und die zugefhrte elektrische Leistung 3 kW betragen!

    A.2.3.6 Wie gro ist der Leistungsverlust, wenn die aufgenommene Leistung 12 kW und der Wirkungsgrad 73% betragen?

    A.2.3.7 Ein Schweigenerator liefert bei einer Spannung von 20 V einen Schweistrom von 200 A. Welche Antriebsleistung ist erforderlich, wenn der Wirkungsgrad des Generators 0,65 ist?

    A.2.3.8 Ein Motor hat einen Wirkungsgrad von 0,84. Seine aufgenommene elektrische Leistung ist 8,5 kW. Welche Leistung gibt der Motor an die Riemenscheibe ab?

  • 51

    A.2.3.9 Welche elektrische Arbeit mu aufgewendet werden, um die Gesamtverlust einer elektrischen Frsmaschine mit einem Gesamtwirkungsgrad von 0,75 bei einer Leistungs-aufnahme von 4 kW in 8 Stunden zu decken?

    A.2.3.10 Ein Transformator nimmt 25 kVA auf und gibt 23 kVA ab. Wie gro ist die in 24 Stunden aufzuwendende Arbeit, um die Verluste zu decken?

    A.2.3.11 Wie gro ist die in einem Transformator erzeugte Verlustarbeit, wenn 10 Stunden lang bei 220 V 5 A aufgenommen und bei 20 V 50 A abgegeben werden?

    2.4. Joulesches gesetz

    Die wrmemenge, die der Stromarbeit von 1 Ws bzw. 1 kWh entspricht, bezeichnet man als das elektrische Wrmequivalent.

    Elektrisches Wrmequivalent: 1 Ws = 0,24 cal, 1 kWh = 860 kcal. Die Wrmemenge, die der Stromarbeit tIUA = entspricht, wird angegeben durch das Joulesche Gesetz:

    Wrmemenge tIUWscalQ = 24,0

    Es bedeuten: U Spannung I Stromstrke

    t Stromdauer

    Wrmemenge in cal: Q [cal] = AWscal

    24,0 [Ws]

    Wrmemenge in kcal: Q [kcal] = AkWhkcal

    860 [kWh] Es bedeuten:

  • 52

    A[Ws] = ][stIU Arbeit gemessen in Ws

    1000][][ stIUkWA = Arbeit gemessen in kWh

    Unter Bercksechtihung des Ohmschen Gesetzes RIU = erhlt man:

    Wrmemenge Q[cal] = tRIWscal

    224,0 [s]

    Wrmemenge Q[kcal] = 1000

    ][8602 htRI

    kWhkcal

    Es bedeuten: I Stromstrke R Widerstand t[s] Stromdauer in Sekunden t[h] Stromdauer in Stunden

    Lsungsbeispiel:

    Welche Wrmemenge erzeugt ein Strom von 4 A in 25 Minuten in einem Heizofem von 55 Widerstand (Bild 27)

    Gesucht: Wrmemenge Q Gegeben: Stromstrke I = 4 A

    Stromdauer t[s] = 1500 s Stromdauer t[h] = h

    125

    Widerstand R = 55

    Lsung:

    R = 55

    I = 4 A

    Ges.: Q

    + -

    Bild 27

  • 53

    a) calQ

    sAWscalQ

    stRIWscalQ

    316800

    1500551624,0

    ][24,0

    2

    2

    =

    =

    =

    Q = 316,8 kcal

    b)

    kWhkWhkcalkcalQ

    hAVA

    kWhkcalkcalQ

    hA

    kWhkcalkcalQ

    htRIkWhkcalkcalQ

    31100860][

    10003

    1100860][

    10001255516

    860][

    1000][860][

    2

    2

    2

    =

    =

    =

    =

    Q = 315,3 kcal

    Die Differenz der beiden Lsungen entsteht durch die

    Aufrundung des Wertes Wscal24,0 (genau 0,239

    Wscal ).

    Lsungsbeispiel:

    Ein Heizgert fr chemische Bder gibt in 2 Stunden und 40 Minuten eine Wrmemenge von 2441,9 kcal ab. Das Gert hat einen Widerstan von 46 . Wie gro ist die Stromstrke (Bild 28)?

    R = 46 Ges.: I

    + -

    Bild 28

    Q = 2441,9 kcalt = 2h40min

  • 54

    Gesucht: Stromstrke I Gegeben: Wrmemenge Q = 2441,9 kcal Widerstand R = 46

    Zeit t = 2h 40min = h322

    Lsung:

    hkWhkcal

    kcalI

    htRkWhkcalkcalQI

    htRIkWhkcalkcalQ

    3846860

    10009.2441

    ][8601000][

    1000][860][

    2

    2

    2

    =

    =

    =

    2

    22

    22

    15.233.105493

    24419003846860

    10009.2441

    AI

    AI

    AI

    =

    =

    =

    AI 8,4= Lsungsbeispiel:

    Welche Wrmemenge wird von einer elektrischen Kochplatte an den Kochtopf abgegeben, wenn sie bei 220 V 4,5 A aufninnt und 30 Minuten eingeschaltet ist? Der Wirkungsgrad betrgt 60%.

    Gesucht: abgegebene Wrmemenge Q Gegeben: Spannung U = 220 V Stromstrke I = 4,5 A

  • 55

    Zeit t = 30 min = 0,5 h Wirkungsgrad 6,0%60 == Lsung:

    kcalQkWh

    kWhkcalkcalQ

    kWhAWhA

    hAVAtIUA

    kWhAkWhkcalkcalQ

    258

    3.0860][

    3.0297

    6.05.05.4220

    ][860][

    =

    =

    =

    ==

    A.2.4.1 Die nicht gegebenen Gren sind zu berechnen.

    a b c d e f U = 220 125 125 V I = 5,5 4 5 6,4 A R = 44 N = 500 100 800 3500 W t = 35 42 45 50 min Q = 288,0 604,8 kcal

    A.2.4.2 Ein elektrischer Ltkolben nimmt 120 W auf. Wie gro ist die in 25 Minuten erzeugte Wrmemenge?

    A.2.4.3 Wie lange mu ein elektrisches Heizgert mit 1 kW Leistung eingeschaltet sein, wenn es 648 kcal liefern soll?

  • 56

    A.2.4.4 In einem Widerstand von 25 fliet ein Strom von 5 A. Wie gro ist die in 21 Minuten erzeugte Wrmemenge?

    A.2.4.5 Welche Stromstrke erzeugt einem Widerstand von 20 in 5 Minuten 174240 cal?

    A.2.4.6 Ein elektrischer Hrteofen nimmt bei 220 V eine Leistung von 5,5 kW auf. Welche Wrmemenge gibt er in 8 Stunden ab?

    A.2.4.7 Fr welche Leistung ist ein Heizkissen bemessen, das in einer Stunde 30,24 kcal erzeugt?

    A.2.4.8 In welcher Zeit weden von einem Tauchsieder mit 1 kW Leistung 216 kyl an das Wasse abgegeben?

    A.2.4.9 Ein Heiwasserbereiter mit 100 l Wasserinhalt nimmt an 220 V Spannung einen Strom von 10 A auf. a) Welche Wrmemenge wird im heizkrper des Ofens in 1 h entwickelt? b) In welcher Zeit wird das Wasser mit einer Anfagstemperaatur von 100C auf 850C erwrmt, wenn der Wirkungsgrad 0,8 betrgt?

    A.2.4.10 Eine Bestrahlungslampe nimmt bei einem Widerstand von 92 2,27 A auf. Welche Wrmemenge wird whrend einer Bestrahlungsdauer von 15 Minuten bei einem Wirkungsgrad von 65% entwickelt?

    2.5. Stromdichte

    Die Belastbarkeit eines Leiters hngt von der Wrmemenge Q ab, die der durch den Leiter flieende Strom I in der Zeiteinheit

  • 57

    erzeugt. Diese Wrmemenge je Zeiteinheit wird bestinnt durch die Stomdichte.

    Die Stormdichte in einem Leiter ist das Verhltnis der Stromstrke zum Querschnitt de Leiters.

    FIi =

    Es bedeuten: i Stromdichte I Stromstrke

    F Leiterquerschnitt

    Die Maeinheit der Stromdichte ist 2mm

    A.

    Lsungsbeispiel:

    Wie gro darf die Stormstrke in einer Transformatorspule sein, wenn der Leiter einen Durchmesser vom 2 mm hat und die Stromdichte im Leiter 2,7 A/mm2 nicht berschreiten soll (Bild 29)?

    Gesucht: Stromstrke I Gegeben: Leiterdurchmesser d = 2 mm Stromdichte i = 2,7 A/mm2 Lsung:

    Draht 2mm Ges.: I

    i = 27 A/mm

    Bild 29

  • 58

    4

    42

    2

    pi

    pi

    =

    =

    =

    =

    diI

    dF

    FiIFIi

    414,3)2(/7,2 22

    =

    mmmmAI

    14,37,24

    14,34/7,2 22

    =

    =

    AI

    mmmmAI

    I = 8,48 A

    Lsungsbeispiel:

    Berechne die Stromdichte in einer Spule, die aus 400 m langem Kupferdraht gewickelt ist und an einer Spannung von 24,5 V liegt (Bild 30)!

    Gesucht: Stromdichte i Gegeben: Leiterlnge l = 400m Spannung U = 24,5 V Leitermaterial: Kupfer Lsung:

    RUI

    FIi ==

    lFUI

    FlR

    ==

    Kupferdraht Ges.: I

    l = 400 mm

    Bild 30

    U = 24,5V

  • 59

    Aus Tabelle: m

    mm 20175,0 =

    mm

    mm

    Vi

    lU

    FlFUi

    4000175,0

    5,242

    =

    =

    =

    275,24mm

    Vi

    = 25,3 mmAi =

    A.2.5.1 Berechne die nicht gegebenen Gren!

    a b c d e f g

    d = 1, 7 2 4 6 0,1 mm

    i = 3 3 2,8 3,2 A/mm2 I = 62,8 10,36 1,5 76,3 A

    A.2.5.2 Wie gro ist die Stromdichte in einem Spulendraht von 0,6 mm Durchmesser, wenn die Stromstrke 0,9 A betrgt ?

    A.2.5.3 Welcher Drahtdurchmesser mu zum Wickeln einer Feldspule gewhlt weden, damit bei einer Stromstrke von 0,34 A din Stromdichte 2,7 A/mm2 nicht bersteigt?

    A.2.5.4 Eine Magnetspule ist mit Draht von 1 mm Durchmesser gewickelt; die zulssige Stromdichte im

    Draht est 2,8 2mm

    A. Mit welcher Stromstrke darf die

    Spule belastet werden?

    A.2.5.5 Mit welcher Gesamtstromstrke darf die Wicklung einer Feldspule belastet werden, wenn der Durchmesser

  • 60

    des Drahtes 1,5 mm und die zulssige Stromdichte 3,6 A/mm2 betragen?

    A.2.5.6 Wie gro ist die Stromdichte in einer Sammelschiene von 45mm Hhe und 8 mm Breite, durch die ein Strom von 600 A fliet ?

    A.2.5.7 Eine Spule est aus 560 m langem Kupferdraht gewickelt und liegt an einer Gleichspannung von 42V. Wie gro ist die Stromdichte in der Spule?

    A.2.5.8 Aus welchem Material besteht ein Spulendraht von 2000m Lnge, wenn an einer Gleichspannung von 120 V die Stromdicnte 3 A/mm2 betrgt?

    A.2.5.9 In einer Elektromagnetwicklung soll eine Stromdichte von 2,7 A/mm2 nicht berschritten werden. Welcher Drahtdurchmesser ist zu whlen, wenn die Stromstrke 10,8 A betrgt?

    A.2.5.10 In einer Leitung nit 4,5 mm Durchmesser fliet ein Strom von 60 A. Wie gro ist die Stromdichte?

    2.6. Stromkostenberechnung Relative Einschaltdauer

    2.6.1 Stromkstenberechnung bei Dauerbetrieb

    Die Stromkosten K fr die dem Versorgungsnetz entnommene elektrische Arbeit ergeben sich als Produkt aus der in Kilowattstunden gemessenen Arbeit A und dem im Tarif festgesetzten Kilowattstundenpreis k.

    Stromksten kAK =

  • 61

    oder ktNK =

    Es bedeuten: N elektrische Leistung A elektrische Arbeit t Einschaltdauer k Kilowattstundenpreis Lsungsbeispiel:

    Zur Allgemein-beleuchtung einer Werkhalle sind 15 Glhlampen zu je 100 W tglich 5 Stunden einge-schaltet. Wie hoch sind die tglichen Beleuchtungskosten bei einem Kilowatt-stundenpreis von 0,12 (Bild 31)? Gesucht: Stromkosten K Gegeben: Leistung einer Lampe N = 100 W Zahl der Lampen n = 15 Einschaltdauer t = 5 h

    Kilowattstundenpreis kWheurok 12,0=

    Lsung: hkWAtNnAkAK 51,015 === A = 7,5 kWh

    kWheurokWhK 12,05,7 =

    K = 0,90

    P

    N

    n = 15

    N = 100 W t = 5hk = 0,08 DM/kWh

    Ges.: K

    Bild 31

  • 62

    2.6.2 Stromkostenberechnung bei aussetzendem Betrieb

    In der Regel sind elektrische Gerte, wie z.B. Khlschrnke oder Motoren, nicht pausenlos in Betrieb; sie werden fter am Tage ein- und ausgeschaltet. Bei einem solchen aussetzenden Betrieb mu man zur Berechnung der elektrischen Gesamtarbeit die relative Einschaltdauer ermitteln.

    Die relative Einschaltdauer p ist das Verhltnis der Einschaltzeit tB zur Gesamtarbeitszeit t

    Relative Einschaltdauer t

    tp B=

    Es bedeuten: Bt Einschaltzeit t Gesamtzeit

    Beispiel: Bei einer Serienfabrikation sind zum Einspannen eines Werkstcks 2 Minuten, zum Abdrehen des Werkstcks 18 Minuten erforderlich. Die Betriebszeit des Motors betrgt also 18=Bt Minuten, die zur Bearbeitung des Werkstcks erforderliche Gesamtzeit t = 20 Minuten, die relative

    Einschaltdauer %9090,0min20min18

    ===p .

    Bei aussetzendem Betrieb ist die dem Motor

    indizierte Gesamtarbeit ptNA ii = Es bedeuten: iN indizierte Leistung t Gesamtarbeitszeit p relative Einschaltdauer

    Die Stromkosten K fr die bei aussetzendem Betrieb dem Versorgungsnetz entnommene elektrische Arbeit ergeben sich als Produkt aus der in kWh gemessenen indizierten

  • 63

    Gesemtarbeit iA und den im Tarif des Elektrizittswerkes festgesetzten Kilowttstundenpreis k.

    Stromkosten kptNK i = kAK i =

    Es bedeuten: iA indizierte Gesamtarbeit k Preis je kWh

    Lsungsbeispiel:

    Eine Drehmaschine wird im direkten Antrieb von einem Elektromotor mit einer Leistung von 4 kW angetrieben, die Arbeits-zeit dauert 8 Stunden, die relative Einschaltdauer betrgt 80% (Bild 32). a) Wie gro ist die tglich elektrische Gesamtarbiet? b) Wie hoch belaufen sich die Stromkosten bei einem Kilowattstunden-preis von 0,12 /kWh?

    Gesucht: elektrische Arbeit iA Gegeben: Leistung N = 4 kW Zeit t = 8h relative Einschaltdauer p = 80% Lsung:

    a) 80,084 == hkWAptNA ii

    N = 4 kW

    t = 8h p = 80%

    k = 0,08 DM/kWh Ges.: K

    P

    N

    M

    Bild 32

  • 64

    iA = 25,6 kWh

    b)

    kWheurokWhKkAK i 12,06,25 ==

    K = 3,07 euro

    A.2.6.2.1 Die nicht gegebenen Gren sind zu berechnen!

    a b c d e f N = 5 15 0,736 4,5 0,5 kW t = 24 8 5 20 h p = 80 90 75 60 75 % A = 2,944 81,0 2,4 110,4 kWh

    A.2.6.2.2 Wie hoch sind die Stromkosten fr einen Antriebsmotor, der 5 Stunden lang eine Leistung von 3,2kW dem Netz entnimmt? Preis je kWh: 0,1 euro.

    A.2.6.2.3 In welcher Zeit verbraucht ein 6 kW-Motor im Dauerbetrieb 25,8 kW?

    A.2.6.2.4 In einem Betrieb brennt whrend der Wintermonate die elektrische Beleuchtung tglich 18 Stunden lang. Wie gro ist die relative Einschaltdauer, wenn tglich 24 Stunden gearbeitet wird?

    A.2.6.2.5 Whrend einer 8 stndigen Arbeitszeit betrgt die relative Einschaltdauer eines Elektromotors mit 1,5 kW Leistung 85%. Wie gro sind die Stromkosten, wenn eine kWh 0,1 euro kostet?

  • 65

    A.2.6.2.6 Wieviel Stunden kann ein Elektromotor in aussetzendem Betrieb arbeiten, wenn seine Leistung 5kW, die relative Einschaltdauer 80% und die elektrische Arbeit 48 kWh betragen?

    A.2.6.2.7 Ein Elektromotor, dessen Leistung 12 kW betrgt, arbeitet in einer Werkstatt in aussetzendem Betrieb tglich 8 Stunden. Die Stromkosten betragen tglich 3,80 euro bei einem Kilowattstundenpreis von 0,12 euro. Wie gro ist die relative Einschaltdauer?

    A.2.6.2.8 Ein Motor (Wirkungsgrad 83%) gibt bei einer relativen Einschaltdauer von 90% in 5 Stunden 27,6 kWh ab. Wie gro ist die aufgenommene Leistung dieses Motors?

    A.2.6.2.9 Ein Werk bezahlt je kWh 0,08 euro. Wie gro sind die Stromkosten beim Abdrehen von Wellen in 8 Stunden, wenn der Arbeitsplatz stnding durch eine 100-W- Lampe beleuchtet wird und wenn die Drehbank im aussetzenden Betrieb mit einer relativen Einschaltdauer von 90% arbeitet? Die effektive Motorleistung betrgt bei einem Wirknngsgrad von 78% 3,5 kW.

    A.2.6.2.10 Wie gro ist die Leistungsabgabe eines Elektromotors mit einem Wirkungsgrad von 0,86, wenn bei aussetzendem Betrieb des Motors die relative Einschaltdauer 90% und nach 8 Stunden Arbeitszeit die Stromkosten 6,80 euro bei einem Kilowattstundenpreis von 0,07 euro betragen?

  • 66

    3. LEITUNGSBERECHNUNGEN

    3.1. Leitungsgewichtsberechnungen

    Das Gewicht eines Krpers ist das Produkt aus seinem Volumen und dem spezifischen Gewicht de Werkstoffes, aus dem der Krper besteht.

    = VG Es bedeuten: V volumen spezifisches Gewicht

    Da ein Leitungsdraht als Zylinder aufgefat werden kann, dessen Grundflche der Leiterquerschnitt F und dessen Hhe die Drahtlnge l ist, sein Volumen bei gegebenem Querschnitt F Volumen lFV = bei gegebenm Durchmesser d

    Volumen ldV =4

    2pi

    Tabelle 4: Spezifische Gewichte von Leiterwerkstoffen Aluminium 2,7 kg/dm3

    Kupfer 8,9 kg/dm3

    Stahl 7,9 kg/dm3

    Lsungsbeispiel:

    Wie gro ist das Gewicht einer blanken Kupferleitung mit einem Querschnitt von 120 mm2 und einer Lnge von 550 m (Bild 33)?

  • 67

    Gesucht: Leitergewicht G Gegeben: Leiterquerschnitt F = 120 mm2 Leiterlnge l= 550 m

    Leiterwerkstoff: Kupfer Lsung:

    32

    32

    3

    9,85500012,0

    9,8550120

    dmkg8,9 :Tabelle Aus

    dmkgdmdmG

    dmkg

    mmmG

    lFG

    =

    =

    ==

    G = 587,4 kg

    Lsungsbeispiel:

    Wie gro ist das Gewich einer Doppelleitung von Stahldrhten mit einem Durchmasser von 3,5 mm und einer Lnge von 12 km (Bild 34)?

    Gesucht: Leitergewich G Gegeben: Leiterlnge l= 12 km Leiterduchmesser d = 3,5 mm Leiterwerkstoff: Stahl Lsung:

    4)035,0(14,3

    ,

    4,2

    22 dmFdFlFG === pi

    l = 550mKupferleitung F = 120 mm 2

    Ges.:G

    Bild 33

    l = 12 kmStahlleitung 35 mm

    Ges.:G

    Bild 34

  • 68

    F = 0,000961625 dm2

    G = 1823,2 kg

    A.3.1.1 Die nicht gegebenen Gren sind zu berechnen!

    a b c d e f g G= 332 229 124 kg F = 35 10 6 mm2 d = 3 3,5 1,5 5 mm l = 11000 6500 620 4200 m = 8,9 2,7 8,6 7,9 7,9 2,7 8,85 g/cm3

    A.3.1.2 Berechne das Gewicht einer Aluleitung (Doppeleitung) von 210 m Lnge und einem Leiterquerschnitt von 35 mm2!

    A.3.1.3 Wie gro ist das Gewicht eines 9600 m langen Leiters von 2 mm Durchmesser, dessen spezifisches Gewicht 8,7 g/cm3 betrgt?

    A.3.1.4 Ein Aluminiumseil von 70 mm2 wiegt 100 kg. Wie lang ist das Seil?

    A.3.1.5 Wie gro ist das Gewicht einer Alu-Doppelleitung von 4500 m Lnge und einem Durchmesser von 4,5 mm?

    A.3.1.6 Eine Rolle Stahldraht mit einem Durchmesser von 3 mm wiegt 281,654 kg. Wieviel m Draht sind suf der Rolle aufgespult, wenn das Gewicht der leeren Rolle 60 kg betrgt?

    32 9,7240000000961625,0

    dmkgdmdmG =

  • 69

    3.2. Widerstand elektrischer Leitungen

    Grundstzlich versteht man unter einer Leitung ein Zweileitersystem. Da man in allgemeinen als Lnge der Leitung die Entfernung l zwischen Anfang und Ende der Leitung angibt, betrgt die Gesamtlnge der Leitung in einem Zweileitersystem 2l. Fr die Widerstandsberechnung von Leitungen ergibt sich infolgedessen die Formel:

    Leitungswiderstand F

    lR 2= oder FlR

    =

    2

    Es bedeuten: l Einfachlnge de Leitung 2l Gesmtlnge der Leitung F Leiterquerschnitt spzifischer Widerstand spezifischer Leitwert

    Lsungsbeispiel:

    Nach einem Neubauernhof wurde eine Aluminiumleitung von 6 mm2 Querschnitt verlegt. Die Entfernung des Hofes von der Anschlustelle betrgt 54 m (Bild 35). Welchen Widerstand hat die Leitung?

    Gesucht: Widerstand R

    Gegeben: Einfachllnge l = 54 m Querschnitt F = 6 mm2 Werstoff: Aluminium

    Lsung:

    l = 54mAluminiumleitung F = 6 mm 2

    Ges.:R

    Bild 35

  • 70

    FlR 2= Aus Tabelle:

    m

    mm 2028,0 =

    2

    2

    6

    542028,0

    mm

    mm

    mm

    R

    = R = 0,504

    Wie lang ist ein Zweileiter-Kupferkabel mit einem Leiterquerschnitt von 35 mm2? Der Gesamtwiderstand R der Leitung betrgt 0,28 (Bild 36).

    A.3.2.1 Die nicht gegebenen Gren sind zu berechnen!

    a b c d e f R = 0,25 0,1 1 224 l = 17,4 735,2 1000 3100 m F = 2,5 120 16 0,75 mm2 d = mm

    0,0175 0,0175

    m

    mm2

    = 34,8 34,8 57 55 2mm

    mS

    Ges.:lKupferkabel F = 35 mm 2

    R = 0,28

    Bild 36

  • 71

    A.3.2.2 Welchen Leiterquerschnitt hat ein zweiadriges Kupferkabel, das 399 m lang ist und einen Widerstand von 0,28 hat?

    A.3.2.3 Wie gro ist der Widerstand einer zweiadrigen Aluminiumleitung, deren Querschnitt 10 mm2 und deren Lnge 500 m betragen?

    A.3.2.4 Berechne den spezifischen Widerstand einer Leitung von 6300 m Einfachlnge, einem Querschnitt von 70 mm2 und einem Gesamtwiderstand von 3,24 !

    A.3.2.5 Welchen Widerstand hat ein 126 m langes, zwieadriges Kupferkabel mit 6 mm2 Aderquerschnitt? Wie gro ist der Leiterdurchmesser?

    A.3.2.6 Aus welchem Material bestehen die beiden Adern einer Leitung von 4 mm2 Querschnitt und einer Leitungslnge von 40 m, wenn der Leitungswiderstand 0,56 betrgt?

    A.3.2.7 Die beide Kupferadern eines Fernsperechkabels haben einen Durchmesser von 1,4 mm. Die Kabellnge betrgt 1650 m. Wie gro ist der Widerstand des Kabels?

    A.3.2.8 Welchen Durchmesser haben die Aluminiumadern eines Fernsprechkabels, das bei einer Lnge von 1884 m einen Widerstand von 9,33 hat?

    A.3.2.9 Eine Kupferfreileitung hat einen Querschnitt von 140 mm2 und einen Widerstand von 0,4 . Berechne die Lnge de Freileitung, den Leiterdurchmesser!

  • 72

    3.3. Spannungsverlust in Leitungen

    Der Spannungsverlust Uv in einer Leitung ist das Produkt aus der Stromstrke I und dem Leitungswiderstand RL.

    Spannungsverlust Lv RIU =

    Es bedeuten: I Stromstrke RL Widerstand der Leitung Im allgemeinen ist der Widerstand der Leitung nicht direkt gegeben; er mu dann aus der Lnge und dem Querschnitt der Leitung bzw. aus Durchmesser der einzelnen Adern berechnet werden.

    Durch Einsetzen von FlRL

    2= bzw.

    FlRL

    =

    2

    erhlt man fr den

    Spannungsverlust F

    IlUV

    =

    2 bzw.

    FIlU v

    =

    2

    Unter dem relativen Spannungsabfall u versteht man das Verhltnis des Spannungsverlustes Uv zur Betriebsspannung U.

    Relativer Spannungsabfall UF

    IlUU

    u v

    ==

    2 bzw.

    UFIl

    u

    =

    2

    Der relative Spannungabfall kann als Bruch oder in % angegeben werden.

    Beispiel: fr 11=vU Volt, U = 220 V wird

  • 73

    %5100

    505,022011

    ====

    VV

    u

    Aus der Strombelastung I der Leitung und dem zulssigen Spannungsabfall Uv lt sich der erforderliche Leiterquerschnitt F berechnen.

    Leiterquerschnitt vU

    IlF = 2 bzw. vU

    IlF

    =

    2

    Es bedeuten: l Lnge der Leitung I Strombelastung Uv zulssiger Spannungsabfall , spezifischer Widerstand bzw. Leiterwert

    Lsungsbeispiel:

    Wie gro ist der Spannungsverlust Uv in einer zweiadrigen Kupferleitung, wenn der Leiterquerschnitt 10 mm2, die Leiterlnge 200 m und die Stromstrke 5 A betragen (Bild 37)?

    Gesucht: Spannungsverlust Uv Gegeben: Leitermaterial: Kupfer Leiterquerschnitt F = 10 mm2 Lnge einer Ader l = 200 m Stromstrke I = 5 A

    Lsung:

    FlIU v

    =

    2 aus Tabelle:

    m

    mm 20175,0 =

    l = 200mKupferleitung F = 10 mm 2

    Ges.:UvBild 37

    I = 5A

  • 74

    2

    2

    10

    20020175,05

    mm

    mm

    mmAU v

    =

    VU v 5,3=

    Lsungsbeispiel:

    Welcher Leiterquerschnitt F mu mindestens gewhlt weren, wenn in einer zweiadrigen Kupferleitung von 300 m Lnge bei einer Stromstrke von 15 A Spannungsverlust 5,5 V nicht berschreiten soll (Bild 38)?

    Gesucht: Leiterquerschnitt F Gegeben: Leitermaterial: Kupfer Lnge einer Ader l = 300 m Stromstrke I = 15 A Spannungsverlust Uv = 5,5 V

    Lsung:

    FlIU v

    =

    2

    aus Tabelle: 257mm

    mS =

    vUlIF

    =

    2

    Vmm

    mSmAF

    5,557

    300215

    2

    = F = 28,7 mm2

    l = 300mKupferleitung

    Ges.:F

    Bild 38

    I = 15AUv =55V

  • 75

    Es wird der nchste hhere genormte Querschnitt gewhlt: F = 35 mm2

    A.3.3.1 Welche Lnge hat eine Zinkleitung mit 1,5 mm2 Querschnitt, wenn der Spannungsverlust bei einer Stomstrke von 5 A 1,75 V betrgt?

    A.3.3.2 In einem 380 m langen Kupferkabel mit 95 mm2 Leiterquerschnitt fliet ein Stom von 22,4 A. Wie gro ist der Spannungsverlust?

    A.3.3.3 Aus welchem Material besteht eine 342 m lange Freileitung mit einem Querschnitt von 120 mm2, wenn bei einer Stromstrke von 64 A der Spannungsverlust 6,4 V betrgt?

    A.3.3.4 Wie gro ist der Spannungsverlust in einer 225 m langen Aluleitung, wenn der Leiterquerschnitt 70mm2 und die Stromstrke 28 A betragen?

    A.3.3.5 Wie gro ist der Spannungsverlust in einem 1740 m langen Aluminiumkabel mit 120 mm2 Querschnitt, das mit 72 A belastet ist?

    A.3.3.6 Welcher Leiterquerschnitt ist fr eine Anschlukupferleitung von 28 m Lge bei einer Belastung von 24 A zu whlen, wenn der Spannungsverlust 3 V nicht berschreiten soll?

    A.3.3.7 In einer 120 m langen Kupferleitung von 35 mm2 Querschnitt betrgt der Spannungsverlust 6 V. Mit welcher Stormstrke ist die Leitung zu belasten?

  • 76

    A.3.3.8 Der Spannungsverlust in einem Aluminiumkabel mit einem Leiterquerschnitt von 120 mm2 betrgt bei einer Stromstrke von 56 A 14 V. Berechne die Kabellnge!

    A.3.3.9 Nach einer neuerbauten Werkhalle wird ein 100 m langes Kupferkabel mit einem Querschnitt von 35 mm2 verlegt. Mit welcher Strmstrke kann das Kabel hchstens belastet werden, wenn der Spannungsverlust 7 V nicht berschreiten soll?

    .A.3.3.10 In einem 174 m langen Aluminiumkabel mit einem Leiterquerschnitt von 10 mm2 betrgt die Stromstrke 12 A. Berechne den Spannungsverlust im Kabel!

    3.4. Leistungsverlust in Leitungen

    Der Leistungsverlust Nv ist das Produkt aus Spannungsverlust Uv und stromstrke I. Leistungsverlust IUN vv =

    Setzt man fr IFlU v =

    2 bzw. IFlU v

    =

    2

    ein, so

    erhlt man:

    Leistungsverlust 22 IFlN v = bzw. 2

    2 IFlN v

    =

    Es bedeuten: I Stromstrke l Leitungslnge F Leiterquerschnitt spezifischer Widerstand spezifischer Leitwert

  • 77

    Sind die Netzspannung U und die dem Netz entnommene

    elektrische Leistung N gegeben, so ergibt sich aus UNI =

    Leistungsverlust 2222

    UN

    FNlN v

    = ,

    bzw. 222

    UN

    FlN v

    =

    Relativer Leistungsverlust 22

    UN

    FL

    NN

    n v

    == bzw.

    22

    UN

    Fl

    NN

    n v

    ==

    Lsungsbeispiel:

    Ein Neubauernhof ist duch eine 500 m lange Aluminium-leitung mit 2 drhten von je 60 mm2 Querschnitt an das Versorgungsnetz angeschlossen. Die voraussichtliche Belastung der Leitung betrgt 20 A. Wie gro ist der Leistungsverlust in der Zuleitung (Bild 39)?

    Gesucht: Leistungsverlust Nv Gegeben: Leiterlnge l = 500 m Leiterquerschnitt F = 60 mm2 Belastung I = 20 A Leiterwerkstoff: Aluminium Lsung:

    l = 500mAluminiumleitung F = 60 mm 2

    Ges.:Nv

    Bild 39

    I = 20A

  • 78

    22 IFlN v = aus Tabelle:

    m

    mm 2028,0 =

    AVN

    Amm

    m

    m

    mmN

    v

    v

    =

    =

    604005002028,0

    )20(60

    5002028,0 222

    WN v 7,186=

    Lsungsbeispiel:

    Mit welcher Strom-strke darf eine Kupferleitung von 400 m Lnge und 35 mm2 Querschnitt hchstens belastet werden, wenn der Leistungsverlust nich mehr als 840 Watt betragen darf (Bild 40)?

    Gesucht: Maximale Stromstrke Imax Gegeben: Leitermaterial: kupfer Leiterlnge l = 400 m Leiterquerschnitt F = 35 mm2 Leistungsverlust Nv = 640 W Lsung:

    FIlN v

    =

    max

    22 aus Tabelle: 257

    mm

    m

    =

    lFN

    I v

    =

    2max

    l = 400mKupferleitung F = 35 mm 2

    Ges.:Imax

    Bild 40

    Nv = 840W

  • 79

    m

    mmmm

    mWI

    4002

    3557640 22max

    =

    AI 1596max = AI 40max =

    A.3.4.1 In einer Kupferleitung von 75 m Lnge und 4 mm2 Querschnitt fliet ein Strom von 12 A. Berechne den Leistungsverlust in der Leitung!

    A.3.4.2 Wie gro ist der Leistungsverlust in einer 105 m langen Kupferleitung von 35 mm2 Querschnitt, wenn die Stromstrke 100 A betrgt?

    A.3.4.3 Wie gro ist der Widerstand einer Leitung, wenn bei einer Stromstrke von 2,5 A der leistungsverlust 50 Watt betrgt?

    A.3.4.4 Der Querschnitt fr eine 400 m lange Kupferleitung soll unter der Voraussettzung berechnet werden, da der Leistungsverlust bei einer Stromstrke von 25 A 250 W nicht bersteugen darf.

    A.3.4.5 Welche Stromstrke verursacht in einer Leitung mit einem Widerstand von 2,5 einem Leistungsverlust von 40 Watt?

    A.3.4.6 Ein Gleichstrommotor fr 7,5 kW Nennleistung entnimmt dem 220-V-Netz einen Strom von 41,1A. Der Motor ist durch ein 25 m langes Kupferkabel von 16 mm2 Querschnitt an die Verteilertafel angeschlossen, Wie hoch ist der Leistungsverlust im Anschlukabel?

    A.3.4.7 Nach einem Walzwek ist eine Kupferleitung von 310 m Lnge mit einem Leiterquerschnitt von je 120 mm2

  • 80

    Querschnitt verlegt. Welcher Leistungsverlusst entsteht in der Leitung bei einer Stromstrke von 143 A?

    A.3.4.8 An einem 15 m langen Kupferkabel wird eine elektrische Kochplatte mit einer Leistungsaufnahme von 880 W bei 220 V betrieben. Wie gro ist der Leistungsverlust in diesem Kabel, dessen Leiterquerschnitte 1,5 mm2 betragen?

    A.3.4.9 Wie gro ist der Leistungsverlust in einem Widerstand von 2,5 , wenn die Stromstrke 6 A betrgt?

    A.3.4.10 Eine Freileitung berbrckt eine Strecke von 4,5 Kilometer. Der Querschnitt der Aluminiumseile betrgt 150 mm2. Wie gro ist der Leistungsverlust bei einer Stromstrke von 35 A?

    A.3.4.11 Von einem Bauernhof ist nach der Feldscheune eine Kupferfreileitung von 210 m Lnge und 16 mm2 Querschnitt verlegt, die eine Dreschanlage von 12 kW mit Gleichstrom von 220 V versorgt. Berechne den Spannungsverlust, den Leistungsverlust in der Zuleitung, den relativen Spannungs und Leistungsverlust in %!

    3.5. Querschnittsberechnungen fr verzweigte Leitungen

    l1 l2 l3

    Uv1 Uv2 Uv3

    Uv

    I1 I2 I3

    i1 i2 i3

    I3 = i3

    I2 = i2+ i3

    I3 = i1+ i2+ i3

    Bild 41

  • 81

    Der erforderliche Leiterquerschnitt in verzweigten Leitungen (Bild 41) (d. h., Leitungen mit mehreren Entnahmestellen) wird entweder nach dem zulssigen Spannungsabfall oder dem zulssigen Leistungsverlust berechnet.

    In einer Leitung mit mehreren Entnahmestellen ist der Gesamtspannungsabfall bzw. leistungsverlust gleich der Summe der Spannungsabflle bzw. Leistungsverluste in den einzelnen Leitungsabschnitten.

    ...321 vvvv UUUU ++= bzw. ...321 vvvv NNNN ++=

    Unter der Voraussetzung, da der Querschnitt der gesamten Leitung durchgehend gleich ist, ist:

    ,

    2 111 F

    IlU v

    =

    FIlU v 222

    2 =

    ,

    und

    =+++

    = IlF

    IlIlIlF

    U v2

    ...)(2 332211

    Hieraus ergibt sich durch Auflsen:

    Leiterquerschitt

    = IlU

    Fv

    2

    Sind an Stelle von I die Leistung N und die Betriebsspannung

    U gegeben, so erhlt man aus :UNI =

    Leiterquerschnitt

    = NlUU

    Fv

    2

  • 82

    Sind der relative Spannungsabfall u und die Betriebsspannung

    U gegeben, so ergibt sich aus UuUUU

    u vv

    == : und durch

    Einsetzen in die obigen Formeln:

    Leiterquerschnitt

    = IlUu

    F 2

    bzw.

    = NlUu

    F 22

    Es bedeuten:

    Il Summe aller Strommomente Nl summe aller Leistungsmomente vU zulssiger Spannungsverlust U Spannung u relativer Spannungsabfall spezifischer Widerstand

    Lsungsbeispiel:

  • 83

    s1=20mm

    s2=50m

    s3=100m

    i1=50A i2=10A i3=20A i1=50A i2=10A i3=20A

    l1=20m l2=30m l3=50m

    I1=80A I2=30A I3=20Aa b

    Bild 42

    In einer Verteilungsleitung mit einheitlichem Querschnitt soll nach Bild 42a Wechselstrom von 220 V so verteilt werden, da bei voller Stromentnahme der maximale Spannungsabfall 5% betrgt. Berechne den Leiterquerschnitt der Kupferleitung!

    Gesucht: Leiterquerschnitt F Gegeben: Spannung U = 220 V Streckenlngen s1= 20 m s2 = 50 m s3 = 100 m Stromentnahme i1 = 50 A i2 = 10 A i3 = 20 A relativer Spannungsabfall u = 5% Lsung:

    )(2 332211 IlIlIlUuF ++

    =

    Aus den Stromentnahmen i1, i2, i3 sind die Strombelastungen der einzelnen Leitungsabschnitte zu berechnen (Bild 42b):

  • 84

    AiiiIAiiI

    AiI

    8030

    20

    3211

    322

    33

    =++=

    =+=

    ==

    Die Leitungsabschnitte betragen

    msslmssl

    msl

    5030

    20

    233

    122

    11

    ==

    ==

    ==

    )205030308020(22005,0

    0175,02

    AmAmAmV

    m

    mm

    F ++

    =

    23500110175,0

    mmF = F = 6,2 mm2

    Der nchsthhere genormte Querschnitt ist 10 mm2.

    Lsungsbeispiel:

    l1=240m l2=160 l3=100m

    Uv=9

    V

    N1=13kW N2=8kW N3=6kW

    Kraftwerk

    U=220V

    5kW 2kW 6kW

    5kW 2kW 6kW

    Ges.:F

    a

    b

    Bild 43

  • 85

    Von einem Kraftwerk verluft eine Wechselstromleitung zu 3 Abnehmern. Nach einer Entfernung von 240 m zweigt der 1. Abnehmer eine Leistung von 5 kW ab, nach einer weiteren Entfernung von 160 m zweigt der 2. Abnehmer eine Leistung von 2 kW und nach einer weiteren Strecke von 100 m schlielich der 3. Abnehmer eine Leistung von 6 kW ab. Der Gesamtspannungsverlust soll 9 V nicht berschreiten. Die Netzspannung betrgt 220 V Wechselstrom. Die Leitung

    besteht aus Kupfer, m

    mm 2018,0 = (Bild 43).

    Gesucht: Leitungsquerschnitt F Gegeben: Spannung U = 220 V

    Spezificher Widerstand m

    mm 2018,0 = Streckenlngen: l1 = 240 m l2 = 160 m l3 = 100 m Spannungsverlust Uv = 9 V

    Lsung:

    )(2

    2

    332211 NlNlNlUUF

    NlUU

    F

    v

    v

    ++

    =

    =

    In den einzelnen Leitungsabschnitten bertragene Leistungen: kWkWkWkWN 136251 =++=

    kWNkWkWkWN

    6862

    3

    2

    =

    =+=

    )6100816013240(22092018,0

    2

    kWmkWmkWmVVm

    mmF ++

    =

  • 86

    mWmkWmmF

    mkWWmmmF

    =

    =

    1980180

    50001980036,0

    2

    2

    WWmmF

    WkWmmF

    1980180000

    1980180

    2

    2

    =

    =

    1980180000 2mmF = F = 90,9 mm2

    Es wird der nchst hhere genormte Querschnitt gewhlt: F = 95 mm2

    A.3.5.1 Wie gro ist der Spannungsverlust in Prozent der Betriebsspannung, wenn von einer Kupferleitung mit einem Querschnitt von 35 mm2 nach einer Strecke von 60 m eine Leistung von 10 kW und nach einer Gesamtstrecke von 120 m eine Leistung von 6 kW abgenommen werden? Die Betriebsspannung betrgt 230 V.

    A.3.5.2 Von einer Industrieverteilungsleitung mit 230 V Spannung werden nach einer Strecke von 100 m eine Leistung von 4 kW, nach einer weiteren Strecke von 180 m eine Leistung von 4 kW und nach einer weiteren Strecke von 275 m eine Leistung von 4 kW abgezweigt. Berechne den Querschnitt der Kupferleitung, wenn bei voller Belastung der Spannungsverlust maximal 10 % betragen darf!

    A.3.5.3 Welchen Querschnitt mu eine Aluminiumleitung haben, wenn der Spannungsverlust 23 V nicht berschreiten soll? Die Netzspannung betrgt 230 V.

  • 87

    Nach 50 m werden 6 kW, nach 120 m 2,5 kW und am Ende der 200 m langen Leitung 3,25 kW abgenommen.

    A.3.5.4 Welchen Querschnitt mu eine Aluminiumverteilungsleitung mit 230 V Betriebs-spannung haben, wenn der Spannungsverlust 23 V nicht berschreiten soll und wenn nach einer Strecke von 80 m 7,5 kW, nach Weiteren 125 m 9kW, nach einer zweiten6 kW und schlielich nach weiteren 100 m 1,5 kW abgenommen werden?

    A.3.5.5 Wie gro ist der Spannungsverlust in einer Kupferleitung mit 35 mm2 Querschnitt, wenn nach einer Strecke von 60 m eine Leistung von 8 kW und nach einer zweiten Strecke von 100 m eine Leistung von 5 kW abgenommen werden? Die Betriebsspannung betrgt U=230 V.

    A.3.5.6 Wie gro ist der auf die Betriebsspannung bezogene relative Spannungsverlust einer Kupferleitung, wenn die Betriebsspannung 230 V betrgt und wenn nach einer Strecke von 50 m 4 kW, nach weiteren 40 m 10 kW, nach weiteren 125 m 4 kW, nach weiteren 200 m 10 kW und nach weiteren 125 m 4 kW abgenommen werden? Der Leiterquerschnitt betrgt 120 mm2.

    A.3.5.7 Welcher Leiterquerschnitt ist erforderlich, wenn von einer Aluminiumleitung nach einer Strecke von 100 m eine Leistung von 2 kW und nach einer Gesamtstrecke von 150 m eine Leistung von 6 kW entnommen werden sollen und der Spannungsverlust 20 V betragen darf? Netzspannung U = 230 V.

    3.6. Erdbergangswiderstand

  • 88

    Zum ermitteln des Erdbergangs-widerstandes verwendet man auer der Haupterde E zwei Hilfserden H1 und H2 (Bild 44). Mit man den Widerstand zwischen je zwei Erden, so erhlt man den Gesamtwiderstand der beiden Erdbergangswiderstnde einschlielich der beiden Zuleitungen, die aber wegen ihrer geringen Lnge und ihres verhltnismig groen Querschnitts vernachlssigt werden knnen.

    Messung: Widerstand R1 zwischen E und H1 ergibt: Erdbergangswiderstnde RE +RH1 Messung: Widerstand R2 zwischen E und H2 ergibt: Erdbergangswiderstnde RE +RH2 Messung: Widerstand R3 zwischen H1 und H2 ergibt: Erdbergangswiderstnde RH1 +RH2

    213

    22

    11

    HH

    HE

    HE

    RRRRRRRRR

    +=

    +=

    +=

    Add.

    R1

    R2

    R3 H1