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Eigenwerte und Eigenvektoren
Motivierendes Beispiel
Lineare Abbildungen werden durch Matrizen dargestellt:
Abbildung �: Spiegelung
A =
� �� ��
!.
Abbildung �: Verzerrung
A =
� �
�� �
!.
Bei der Spiegelung wird ~e� auf sich selbst abgebildet und ~e� auf �~e�.Damit erfüllen sie die Gleichung A~v = �~v mit � = � bzw. � = ��.
Welche Abbildung stellt die Matrix � �
�� �
!dar?
�/��
De�nitionEine Zahl � 2 C heißt Eigenwert einer reellen (oder komplexen)n⇥ n-Matrix A, wenn es mindestens einen Spaltenvektor~v 2 Cn, ~v 6= ~�, gibt mit
A~v = �~v.
Jeder Vektor ~v 6= ~�, der diese Gleichung erfüllt, heißt Eigenvektorvon A zum Eigenwert �.
Der Nullvektor ~� ist niemals ein Eigenvektor. Ergibt Ihre Rechnungden Nullvektor als Eigenvektor, so ist der Wurm drin! Die Zahl Nullkann aber ein Eigenwert sein!
�/��
Eigenwerte
Zur Berechnung der Eigenwerte einer n⇥ n-Matrix A betrachtet man(mit einer Variablen �) das charakteristische Polynom von A
�A(�) := det (A� �E).
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynomsbzw. die Lösungen der charakteristischen Gleichung
det (A� �E) = �.
�/��
Eigenvektoren
De�nitionJede Lösung ~b 6= ~� von (A� �E)~b = ~� ist ein Eigenvektor zumEigenwert �.
V(�) = {~x 2 Cn : (A� �E)~x = ~�}
heißt Eigenraum zum Eigenwert �.
Insbesondere ist jeder Basisvektor von V� ein Eigenvektor zumEigenwert � der Matrix A. Als Eigenvektoren von A gibt man deshalbimmer eine Basis des Eigenraums an.
�/��
Polynomdivision
Voraussetzung: Normiertes Polynom mit ganzzahligen Koe�zienten
�n + an���n�� + an���n�� + . . .+ a��+ a� = �() (�� ��)(�� ��) · · · (�� �n��)(�� �n) = �,
Insbesondere ist a� = ���� · · ·�n���n.
Besitzt das Polynom die ganzzahlige Nullstelle x = m, dann ist mTeiler des Absolutglieds a�.
(�n + an���n�� + an���n�� + . . .+ a��+ a�) : (��m)
= �n�� + bn���n�� + · · ·b��+ b�
Analog zu schriftlichen Dividieren vorgehen.Es darf keinen Rest geben, weil m 2 Z eine Nullstelle ist.
�/��
Algebraische und geometrische Vielfachheit
De�nitionCharakteristisches Polynom/charakteristische Gleichung:
det (A� �E) = � () an�n + an���n�� + . . .+ a��+ a� = �() c(�� ��)
k�(�� ��)k� · · · (�� �l)
kl = �.
Man bezeichnet die Vielfachheit ki der Nullstelle �i als diealgebraische Vielfachheit des Eigenwertes �i.Dagegen ist die Dimension des Eigenraumes Dim V(�i) diegeometrische Vielfachheit des Eigenwertes �i.
�/��
Bisher ....
• Eigenwert und Eigenvektor: A~v = �~v, ~v 6= ~�.• Berechnung der Eigenwerte aus der charakteristischenGleichung det (A� �E) = �.
• Die Vielfachheit der Nullstelle � algebraische Vielfachheit desEigenwerts.
• Eigenraum V� zum Eigenwert � Lösungsmenge von (A��E)~x = ~�.• Die Dimension des Eigenraums � geometrische Vielfachheit desEigenwerts.
• „der“ Eigenvektor ist eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert.
�/��
Beispiel
Man bestimme die Eigenwerte und normierte Eigenvektoren derMatrix
A =
0
B@� � �� � �� � �
1
CA .
Lösungen der charakteristischen Gleichung:
det (A� �E) =
�������
�� � � �� �� � �� � �� �
�������= ��� + ��+ � = �.
Raten �� = ��. Polynomdivision ergibt(�+ �)(��� + �+ �) = ��� + ��+ �. Die p-q-Formel kann nur auf�� � �� � = � angewandt werden und ergibt �� = �, �� = �� = ��.
�/��
Fortsetzung ...
Der Eigenwert �� = �� hat die algebraische Vielfachheit � und derEigenwert �� = � hat die algebraische Vielfachheit �.�.� Eigenvektoren zu �� = ��. Bestimmen die Lösungen deshomogenen linearen Gleichungssystems:
0
B@� � �� � �� � �
�������
���
1
CA ⇠
0
B@� � �� � �� � �
�������
���
1
CA
besitzt die Lösung
~x = t
0
B@����
1
CA+ s
0
B@����
1
CA , t, s 2 R.
�/��
Fortsetzung ....
Eigenraum
V�� = {~x 2 R� : t
0
B@����
1
CA+ s
0
B@����
1
CA , t, s 2 R}.
Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts �� = �� ist �.Es gibt deshalb � linear unabhängige normierte Eigenvektoren
~v� =�p�
0
B@����
1
CA und ~v� =�p�
0
B@����
1
CA .
��/��
Fortsetzung ...
�.� Eigenvektoren zu �� = �. Bestimmen die Lösungen deshomogenen linearen Gleichungssystems:
0
B@�� � �� �� �� � ��
�������
���
1
CA ⇠
0
B@� � ��� �� �� � ��
�������
���
1
CA ⇠
0
B@� � �� �� �� � ��
�������
���
1
CA
besitzt die Lösung
~x = t
0
B@���
1
CA , t 2 R.
��/��
Fortsetzung ....
Eigenraum
V�� = {~x 2 R� : t
0
B@���
1
CA , t 2 R}.
Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts �� = � ist �.Es gibt deshalb � normierten Eigenvektor
~v� =�p�
0
B@���
1
CA .
��/��
Householder-Matrizen
A = E� �~v~vT = �� �v�� ��v�v���v�v� �� �v��
!
mit einem Einheitsvektor ~v, d.h. |~v|� = v�� + v�� = �.
Abbildung �: Householder-Abbildung
Eigenwerte und -vektoren:�� = � mit ~v� = ~vT und�� = �� mit ~v� = ~v.
Die Householder-Matrix be-schreibt eine Spiegelung ander Geraden durch den Ur-sprung in Richtung von ~vT .
~x = x�~v� + x�~v�,A~x = x�A~v� + x�A~v�
= x�~v� � x�~v�.��/��
Dehnmessstreifen-Rosette
Durch eine Dehnmessstreifen-Rosette kannauf der Ober�äche eines Bewegungs-mechanismus einer Baggerschaufel derVerzerrungszustand in Form desVerzerrungstensors bzgl. des x�, x�, x�-Koordinatensystems bestimmt werden.Aus dem Tensor werden die Hauptdehnun-gen bestimmt.Diese sind bei isotropen Materialen einMaß für die auftretenden maximalen Kräftein den zugehörigen Richtungen.
Abbildung �:Dehnmesstreifen-Rosette
��/��
Dehnmessstreifen-Rosette
Berechnen Sie zum aus der Messung bestimmten Tensor
" =���
0
B@��� ���� ����� �� �� � ����
1
CA
alle Hauptdehnungen (d.h. die Eigenwerte von ") und geben Sie zujeder Hauptdehnung einen auf die Länge � normierten Eigenvektorals zu gehörige Hauptdehungsrichtung an.Bilden die Hauptdehnungsrichtungen eine Basis?Anmerkungen: Realistisch wird der einheitslose Verzerrungstensornach Multiplikation mit ����.Dadurch erhält man Hauptdehnungen in der Größenordnung vonmaximal ����, und dies spiegelt wieder, dass Metalle fastinkompressibel sind.
��/��
Motivationsbeispiel
Es sei A =
� ���� �
!. Man berechne A����.
Am einfachsten wäre es mit einer Diagonalmatrix
D =
0
BBBB@
d� � � . . . �� d� � . . . �...
......
......
� � � . . . dn
1
CCCCA,
dann ist
Dk =
0
BBBB@
dk� � � . . . �� dk� � . . . �...
......
......
� � � . . . dkn
1
CCCCA.
��/��
Ähnliche Matrizen
De�nitionDie n⇥ n-Matrix A ist ähnlich zur Matrix C, wenn es eineinvertierbare n⇥ n-Matrix B gibt mit
C = B��AB.
Ist C eine Diagonalmatrix, dann heißt A diagonalisierbar.
��/��
Beispiel
Betrachten die Matrix A =
� �� �
!. Berechnung der Eigenwerte
det (A� �E) =������� � �� �� �
����� = (�� �)(�� �) = �,
folglich sind �� = � und �� = � die Eigenwerte der Matrix A.Eigenvektor zu �� = � :
� �� �
�������
!, ~v� =
��
!.
Eigenvektor zu �� = � : �� �� �
�������
!, ~v� =
��
!.
��/��
Fortsetzung ...
Die Eigenvektoren bilden eine Basis.Transformation auf Diagonalgestalt mit Hilfe der Matrix
B =
� �� �
!und ihrer Inversen B�� =
� ��� �
!
und es gilt
B��AB =
� ��� �
! � �� �
! � �� �
!=
� �� �
!= D.
A��� = BD���B�� = � �� �
! � �� �
!��� � ��� �
!=
=
� �� �
! ���� �� ����
! � ��� �
!=
���� �(���� � ����)� ����
!.
��/��
Householder-Matrix
A = E� �~v~vT = �� �v�� ��v�v���v�v� �� �v��
!=
v�� � v�� ��v�v���v�v� v�� � v��
!
mit einem Einheitsvektor ~v, d.h. |~v|� = v�� + v�� = �.
Eigenwerte und Eigenvektoren:
�� = � mit ~v� = ~vT = �v�v�
!und �� = �� mit ~v� = ~v =
v�v�
!.
B = B�� = �v� v�v� v�
!, weil B eine orthogonale Matrix ist, d.h. B�� = BT = B.
A =
�v� v�v� v�
! � �� ��
! �v� v�v� v�
!
Ergebnis: Im Koordinatensystem {~v�, ~v�} = {~v?, ~v} stellt dieHouseholder-Matrix eine Spiegelung an der Achse ~v� = ~v? dar.
��/��
Eigenschaften symmetrischer Matrizen
De�nitionEine reelle n⇥ n-Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = AT gilt.
SatzFür reelle symmetrische n⇥ n-Matrizen gilt
• Alle Eigenwerte sind reell.• Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.• Algebraische und geometrische Vielfalt eines jeden Eigenwertssind gleich.
��/��
De�nitheit von Matrizen
De�nitionEine n⇥ n Matrix A heißt positiv de�nit (negativ de�nit), wenn füralle ~x 2 Rn, ~x 6= ~�, gilt
(A~x) ·~x = ~xTA~x > � ((A~x) ·~x = ~xTA~x < �).
Die n⇥ n Matrix A heißt inde�nit, wenn (A~x) ·~x = ~xTA~x sowohlpositive als auch negative Werte annimmt.
Sie heißt positiv (negativ) semide�nit, wenn für alle ~x 2 Rn gilt
~xTA~x � � (~xTA~x �).
��/��
De�nitheit reeller symmetrischer Matrizen
Satz (Diagonalmatrix)Eine Diagonalmatrix D = diag (d�,d�, . . . ,dn) ist genau dann
�. positiv de�nit, wenn alle di, i = �, . . . , n, positiv sind,�. negativ de�nit, wenn alle di, i = �, . . . , n, negativ sind,�. inde�nit, wenn es sowohl positive als auch negative di gibt.
Satz (reelle symmetrische Matrix)Eine reelle symmetrische Matrix A ist genau dann
�. positiv de�nit, wenn alle Eigenwerte von A positiv sind.�. negativ de�nit, wenn alle Eigenwerte von A negativ sind.�. inde�nit, wenn es sowohl negative als auch positive Eigenwertegibt.
��/��
Positivität reeller symmetrischer Matrizen
Satz (Notwendige Bedingung)Wenn die n⇥ n-Matrix A positiv de�nit ist, dann müssen alleHauptdiagonalelemente positiv sein.
Satz (reelle symmetrische Matrizen)�. Eine Diagonalmatrix D = diag (d�,d�, . . . ,dn) ist genau dannpositiv de�nit, wenn alle di, i = �, . . . , n, positiv sind.�. Eine reelle symmetrische Matrix A ist genau dann positiv de�nit,wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:
�. Alle Eigenwerte von A positiv sind.�. Die Zeilenstufenform (Dreiecksform) nur positive führendeElemente besitzt.
�. Hauptminorantenkriterium.�. WTAW ist für irgendeine invertierbare n⇥ n Matrix W positivde�nit ist.
��/��
Welche der folgenden Matrizen sind positiv de�nit?
A� = � �� �
!, A� =
0
B@� �� ��� � ��� �� �
1
CA .
Für welche b 2 R ist die folgende Matrix positiv semi-de�nit?
A� =
0
B@� �� b�� � ��b �� �
1
CA .
Antwort: A� ist nicht positiv de�nit, A� ist positiv de�nit, A� ist positivsemi-de�nit für �� b �.
��/��
Elastostatisches Finite-Element-Modell ergibt ein lineares Glei-chungssystem A~x = ~b.
Aus physikalischen Gründen muss die Matrix A positiv de�nit sein.Deshalb wird vom Programm immer überprüft ob die Matrix positivde�nit ist. Fast immer ist eine der beiden folgenden Ursachen derGrund für diesen Fehler:
• Das System ist nicht ausreichend gelagert oder innerlich nichttragfähig. Es wird ein inkorrektes Gleichungssystem.
• Es gibt Teile des Systems, denen keine Stei�gkeitsparameterzugeordnet wurden (z.B. Elastizitätsmodul, Querschnitts�ächen,Flächenträgheitsmomente, ....)
Mathematisch ist A dann nicht invertierbar, also singulär. Das siehtman daran, dass die Matrix A den Eigenwert � besitzt.
��/��
