ingenieur-Archiv 52 (1982) 145--157 Ingenieur-Archiv �9 Springer-Verlag 1982

Ein analytisches Verfahren zur Berechnung der Untergrundkopplung yon mehreren starren~ auf der Italbraumoberfliiche liegenden Streffenfundamenten bei harmonischer Erregung*

Th. Triant.afyllidis, Kar ls ruhe

Ubersicht: Ein gemischtes ebenes I%andwertproblem der Elastokinetik ist gelSst worden. Der linear elastisehe, homogene und isotrope tIalbraum wird an seiner Oberfli~che mit starren Laststreifenflgchen harmoniseh verformL und die dadurch entstehenden Reaktionsspannungen des elastisehen Mediums unterhMb der Lastfl~chen werden ermittelt. ])as gemischte Randwertproblem fflhrt zu einem Gleichungssystem yon gekoppelten Fredholmschen Integralgleichungen erster Art, wobei die Kerne den l~eaktionsspannungen des I-Ialbraames entspreehen, die aufgrund einer erzwungenen harmonischen Verschiebungserregung ~n einem bestimmten Teilbereich der Oberflgoche hervorgerufen werden. Das IntegrMgleichungssystem wird approxi- mativ mit Hilfe des verallgemeinerten Bubnov-Galerkin-Verfahrens gelSst. Schlieglich wird gezeigt, wie aus den Ergebnissen dieser Arbeit die Versehiebungen yon mehreren starren benachbarten Streifenfunda- menten bei einer harmonisehen Belastung errechnet werden kSnnen.

An Analytical Method to Determine the Underground-Coupling Between Rigid Strip-Foundations Bonded to the Surface of a Italf-Space Subjected to IIm'monic Excitation

Smnmary: A finite number of dynamically coupled rigid strip foundations is considered, which are per- fectly bonded to the surface of a linear-elastic isotropie and homogeneous half space, representing a mixed two-dimensional boundary value problem. The resulting loads between the rigid inertialess strip foundations and the half space due to harmonic displacement excitatioa are calculated. The mixed boundary value problem is transformed into a system of coupled Fredholm integrM equations of the first kind, the kernels being the unknown surface stresses under the foundations. An approximate solution of the integral equations is obtained using the generalized Bubnov-Galerkin method. I t is demonstrated that the results provide a simple means for studying the motions of a finite number of adjacent foundations with varying inertia properties.

1 Ehfleitung

Unte r dem Begriff , ,dynamisehe Un te rg r undkopp l ung" versteht ma n i. a. die gegenseitige Ab- h~ngigkeit der An twor t der Elemente des Systems Un te rg rund- -Las t f l~ehen voneinander bei einer dynamisehen Erregung. Die dynamisehe Un te rg rundkopp lung hangt direkt mi t Wellen- ausbreitungsvorg/~ngen zusammen. I m Falle der dynamischen Erregung einer der Lastfl~chen wird im U n t e r g r u n d Energie in Fo rm yon Wellen eingeffihrt, die sich in der Umgebung aus- breiten. E in Teil der abges t rahl ten Energie wird yon den benaehbar t en Lastflg~ehen aufgenommen und dutch deren dynamische Erregung finder eine t~tickkopplung start .

Die bisherigen wissenschaftl ichen Arbei ten auf dem Gebiet der Un te rg rundkopp lung sind in ihrer Anzahl sehr begrenzt. W a r b n r t o n [15] hat versuchC, das Antwor tve rha l t en yon zwei s tarren Massen zu analysieren, von denen die eine harmoniseh erregt wurde. Das AnCworgverhalten der zweiten Masse wurde ermit te l t , indem die starre Verschiebungsrandbedingung un te rha lb der zweiten Masse approx imat iv eingehat ten wurde. Dadureh wnrde aber der Einflul3 der zweiten

* Diese Arbeit ist im Rahmen eines Forschungsauftrages des Bundesministerinms ffir Forsehung und Technologic (BMFT) innerhMb der Rad-Schiene-Forschung entstanden. Dem BMFT wird an dieser Stelle fiir die finanzielle Unterstiitzung gedankt

10" 0020-1154/82/0052/0143/$ 2.60

146 Ingenieur-Archiv 52 (1982)

Masse auf die erste nieht beriicksiehtigt. Savidis [14] hat die Untergrundkopplung zwisehen zwei benaehbarten Fundamenten ermi~telt, indem er die Fundamente in einer endlichen Anzahl yon rechteckigen :F1/i, chen zerlegte, wobei er unter jeder F1/iche konstante Sohldruckspannung an- nahm und mit ttilfe der Theorie yon HolzlShner [6] die starre Versehiebungsrandbedingung approximativ erfiillte. Dadurch lie6en sich die unbekannten Sohlspannungen iterativ erreehnen. Dabei aber wird die in den Kanten der starren Lastfli~chen vorhandene Spannungssingularit~t zumindest fiir ldeine Frequenzen nicht beriicksiehtigt. Au6erdem wurden die horizontalen Ver- schiebungen, die i. a. aueh dureh eine vertikale Last hervorgerufen werden, vernachlgssigt. Dies kann zu einer Verfglsehung der Ergebnisse fiihren (schon im Falle des Einzelfundamentes bei der Berechnung der Kippbewegung), wie in dieser Arbeit gezeigt wird. Das Zusammenwirken von Sehnb- und Normalspannungen unterhalb der Fundamente ist bei Kopplungsvorgangen nieht zu vernaehlgssigen, weil dies zur Vernachl/~ssigung von Tr/~gheitskr/iften (-momenten) fiihrt, die das Ergebnis (je nach Frequenzbereich) erheblieh beeinflussen k6nnen. I~oesset und Gonzalez [13] haben mit I-Iilfe der FE-Ne~hode das Problem gel6st, wobei sie die vertikale (horizontale) Versehiebungskomponente bei einer horizontalen (vertikalen) harmonischen Kraft, vernaehl~ssigt haben. Der Einflu6 der Fundamenteinbettung wurde aber in dieser Arbeit beriiek- siehtigt.

In der vorliegenden Arbeit wird unterhalb der starren Lastfl/~ehen ein vollkommener Ver- bund angenommen. Die Verschiebungen infolge dynamiseher Belastung werden als sehr klein angenommen.

2 Systembeschreibung

Ein liItear elastiseher, homogener und isotroper Halbraum wird als Modell ftir den Untergrund angenommen. Auf der Oberflgehe des Halbraumes gebe es zwei starre l~/~nder, die -- in einem ersten Sehritt -- zwei starre massenlose Streifenfundamente (ohne Einbettung und vernaeh- l~ssigbarer H6he) darstellen sollen. Die Geometrie und die Stoffkenngr6gen des Systems sind in Bild 1 dargestellt, wobei z0 den Abstand der Symmetrieachsen der Streifenfundamente, G den

l X "

. . . . . . . . . . . ~ . . . . J" "- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ,~ ,~ I~ . . . . . . . . .

Bilfl 1. Starre Belastungsfliichen auf der tIMbraumoberfl/~che

Sehubmodul, ~ die Diehte und v die Poissonsehe Zahl bezeiehnen. Im Rahmen dieser Arbeit wird nur der harmonisehe Fall untersueht, und da der harmonisehe Faktor e iot in allen Gr6gen auftritt, wird er weggelassen.

Der Versehiebungsvektor u eines Kontinuums aus Hookesehem Material geniigt der Diffe- rentialgleiehung

0~u /~Au + (2 + #) grad (div u) = 0 - ~ . (1)

Hier sind 2 und ~ die Lamgschen Konstanten, die mit dem Sehubmodul und der Poissonsehen Zahl gemg6

2Gv = 1 - 2------T' ~ = a ( l a )

znsammenhangen.

Th. Trianfafyllidis: Berechnung der Untergrundkopplung von Streifenfundamenten 147

Folgende Randbedingungen miissen dabei erfiilR werden: ~) 8pannungsrandbedingungen:

a~(x, 0 ) = 0 , ftir Ix] > a und IX-Xol > b , (2) ~z,(X, 0 ) = 0 , flit Ixl > a und [X--Xo! > b ,

b) Versehiebungsrandbedingungen :

Ui(X , O) = Uie x @ Wie z @ ~i xi ez, I~,i] ~ ai, (i = 1, 2), (2a)

i ~ 1: x , = x , a , ~ a , i ~ 2 : x ~ = x - - x o , a s = b ,

wobei Ui, (Wi, Ti) die A,nplitude der Horizontalverschiebungskomponente (der Vertikalver- schiebungskomponente, des Drehwinkels) am Fundament i, i die Nummer des Fundamentes und e,, (ez) den Einheitsvektor in x, (z-) Richtung bezeiehnen.

Zusgtzlich miissen folgende Abstrahlungsbedingungen erfiilR sein:

~z(x, z) = ~,(x, z) = 0, fiir z ---> o~. (3)

3 Liisungsmethode

Wegen des linear elastisehen Stoffverhaltens und der linearisierten Kinemafik ist es sinnvoll, ,nit EinfluBfunktionen ffir die Reaktionsspannungen bei erzwungenen Einheitsversehiebungen zu rechnen. Bei beliebigen Versehiebungsvektoren k6nnen dann diese Einflugfunktionen linear superponiert werden, um die resultierende Reaktionswirkung zu ermitteln.

Die zu jedem EinheRsverschiebungszustand zugeh6rigen Reaktionsspannungen (Wechsel- wirkungsspannungen) bezeichnen wit mR a~#) und T~#), wobei a z(ri) die Normal-(Schub-)- spannung unter dem Fundament i und (is) den Einheitsverschiebungszustand e am Fundament j bezeiehnen.

ViIM

liE}//~"'} Mi(k} x

/ / / i / t 1 1 1 1 1 / ~ * / / / Hi " iz ` ~ ' ' * ) ' ~ Bild 2. Vorzeichendefinition

Aus diesen Spannungen resultieren Krgfte und Momente (s. Bild 2), die wir entsprechend mit V(#)i , H~#). und MlJo bezeiehnen wollen, wobei diese Gr613en wie folgt definiert sind:

a~ g~ a~

v? , := f " ax HI#' - f C'( O dx , M?).= f axe. i ~ # i , . . . . . ( 4 )

Diese Krgfte (Momente) k6nnen dann bei beliebigem Verschiebungszustand wie folgt zusammen- gefaBt werden:

M~ 1.) M~ TM ""2)1//(1~)M(2x)2 M(~ ~). M(22~)

U_2"

Wi a

gq

Us T Ws

%

H I

a

V1 a

M1 a 2

H2 b

V2 b

Ms b 2

m

(5)

148

In Matrixsehreibweise:

[W]. s = q,

wobei [W] die Wechselwirkungsmatrix

Ingenieur-Archiv 52 (1982)

(5a) (Einflulhnatrix), s der dimensionslose Verschiebungs-

vektor der starren Lastflgchen und q der l~eaktionsvektor des Systems auf die starren Last- flgehen sin&

Die bisherige Analyse war nur ein I-Iinweis auI den LSsungsweg. Um die Untergrundreaktion ermitteln zu k6nnen, miissen die Einflugfunktionen bestimmt werden.

4 Bestimmung der EinfluBlunktionen

Mit Hilfe yon Greensehen Funktionen kann das vorliegende gemisehte Randwertproblem in ein Integralgleiehungssystem vom Fredholm-Typ erster Art iiberfiihrt werden, wobei als Kerne die Spannungen ~#), T~#) unterhalb der starren Lastflgohen auftreten.

Als Greensehe l~unktionen werden die L6sungen yon Lamb [8] (s. a. [I, 4]) Iiir die Ober- flgehenversehiebungen eines linear elastisehen, isotropen und homogenen Ilalbraumes bei einer Einheitskrafterregung (i �9 e i~t) im Punkt x = 0, z = 0 benutzt. Die Oberfl/iehenversehiebungen wurden yon Lamb [8] ausgereehnet (der harmonisehe Faktor e i~'t wurde weggelassen):

oo

i (

- - o o

i ; ka(k) elF. * dlc, ~ ( x , o) - 2[~a j F(k)

(6) o ~

~v(X, o) - i -[ ~q(k) ~ . d~, 2.uG , ] F(lc)

- - oc~

o o

2JrG , ] F(lc) - - 0 o

wobei die Indizes H bzw. V auf eine horizontale bzw. vertikale Last deuten. Die Abkiirzungen haben folgende Bedeutung:

e(~) = 2 > -- k~ -- 2X~,

~ = > _ ~ , (7)

;~ = ~ / 4 ,

~i = ~ / 4 ,

/ 2 q- 2G ce = ~ , Komloressionswellengeschwindigkeit

es ~ 1 / ~ , Scherwellengeschwindigkeit.

Zur L6sbarkeit des Spannungsrandwertioroblems unter Beriicksichtigung der Abstrahlungs- bedingungen (3) mug immer die Bedingung X > 0, fi > 0 erfiillt sein (s. [8, 5, 6]).

Mit I-Iilfe yon Superloositionsintegralen, die die Greenschen Funktionen und die entsprechen- den unbekannten Schub- oder Normalspannungsverteilungen der Fundamente beinhalten, kann

Th. Triantafyllidis: Berechnung der Untergrundkopplung von Streifenfundamenten 149

jeder vorgeschriebene Verschiebungszustand dureh folgendes Integralgleichungssystem be- schrieben werden [t]:

a a

a - - g

b b

+ f ~i#'(~ ' + ~0) ~ . (~ - ~0 - r + f ~#,(~' + %) sv(~ - x0 - r a~' - - b - - b

= ~J#)(~), [xl < a, q a

f zi#)(~ ) g0.(x -- ~) d~ -F f ai#)(~) ~ r ( / - - ~) d~

b b

+ f @ ) ( r + ~o) ~ . ( ~ - ~0 - ~') a~' + f 4#) ( r + %) ~ ( ~ - ~0 - r d~' - - b - - b

= q # ) ( x ) , Ixl _< a , (S)

- - a - - a

b b

- - b - - b

= u~#)(x) , Iz - xol <_ b a

- - a - - a

0 b

- - b - - b

= ~(~#~(x), Ix - Xol _< b,

wobei u~#)(x) die horizontale und w~#)(x) die vertikale Versehiebung des Fundamentes i auf- grund des Einheitsversehiebungszustandes e des Fundamentes ~ ist.

1)as Integralgleiehungssystem ist inhomogen und vom Fredholm-Typ erster Art.

5 Liisung des Integralgleichungssystems

Mit Hilfe der verallgemeinerten Bubnov-Galerkin-Methode [10] kann fiir die unbekannten Spannungsverteilungen eine approximative L6sung ermittelt werden. Die Geschwindigkeit der Konvergenz dieser Methode hgngt allerdings stark yon der Wahl der Basisfunktionen ab. Die Basisfunktionen werden hier vollstgndige orthonormierte Polynome sein.

Im statischen Fall (co -+ 0) eines starren Fundamentes ist unterhalb der Kanten des Funda- mentes eine Singularitgt zu erwarten [16]. Diese Art yon Singularit~;t wurde auch im Falle einer dynamischen Belastung im Einzelfundament for niedrige Frequenzen (ohne Mitwirkung der Schub- oder Normalspannungen) yon Awojobi b3nutzt [2]. Die gleiche Spannungssingularitgt wurde auch in der Arbeit yon Zakorko [17] im dynamischen Fall ermittelt. Aus diesem Grunde wird in den Sp~nnungs~nsgtzen diese Art von Singularitgt yon vornherein ber~cksichtigt.

Die Spannungsans/~tze fiir die beiden Sohlspannungsverteilungen lauten:

I -112 T~#I(x) = G ~ AI~j ) 1- - T~ g

a(lJ~'(x) = G ~Y'm, fj(mj:) 1 -- \ -~/ _1 m, -~

/xl <_ a , (9)

150 Ingenieur-Archiv 52 (1982)

�9 [ / Z - X'O'~21-1/2 ~['~ [X--Xo~} 1 - t b ] ] b ] [ iz-xol<b, (,)

wobei T~(%) das Tsehebyseheffsehe Polynom erster Art und der Ordnung Iist . Diese Polynome sind definiert dureh:

~"t(Z) : = cos (l arccos Z), (10)

wobei I%] <_ 1, 1 = 0, 1, 2 . . . . gilt. Die Glieder des Basissystems (10) erfiillen in bezug auf die Gewichtsfunktion (1 -- %2)-1/2

folgende Orthogonalit~itsbedingungen:

1

f Tm(z) T,:(%) d z _ _ 0 fiir r e # n , Ul - 22

- - 1

1

]/1 - -X ~ ~/2, far n=#O. - - i

(11)

geffihrt:

x Xo ~ ~, , = Z = - - , Z o = - - , $ = - - , = ~ /b, ao ~ a ,

6b 6b

k. = k~a; k = [ca, o~ =- ~ - - k2. und f l = ] / k 2 - a ~ .

(12)

Das Integralgleichungssystem (8) 1/il3t sich dann mit Hilfe des verallgemeinerten Bubnov- Galerkin-Verfahrens und unter Benutzung der Beziehung (s. [3])

1

f (1 -- ~)-1/2 T.($) e • d~ = (--i)" ~J.(=Vk), (13) - - 1

wobei Jn die Besselsche Funktion erster Art der Ordnung n ist, in einem linearen Gleiehungs- system mit konstanten Koeffizienten iiberfiihren, welches lautet:

nz mx ~12 m2

~A(Y,)r + ~" B(~:)0~# + v , C(#)Z + ~ D(#)R V(#) m. m n~ m~

A(J~)A v' B(#)M . U(#)N ~ D~)Km~ = H(~{ ), (14) n l m l n2 ?/~

~ A(i~) ~/r + ~ B(#)T + ~ C(#)K + F D(J,)(5 . Tm'~) ~l m l ?t2 m~

( l = 0, 1,2 . . . . ).

Die Konstanten dieses Gleichungssystems sind Integralausdriicke, die wie folgt lauten:

oo

t / --oo

s (--i)n+/+lf]CF~:]~ I Jn(~)Jl(--~)d~, (b) ty ~ -oo

Da es sinnvoll ist, dimensionslos zu rechnen, werden folgende dimensionslose Ausdriieke ein-

Th. Triantafyllidis: Berechnung der Untergrundkopplung yon Streifenfundamenten 151

oo

o j F(]c) Jn k Jl ( - -k) e -ikx~ dk, (c)

- -oo

co

- -oo

1

/ t ~ e } : ~-2 ( - ~ ) f u i # ) ( a Z ) ( 1 - X2 ) ~ 1 / 2 T I ( Z ) d z , ( e )

- 1

oa

O~l = ( - i ) n+t a0

- -oo

o0

1

- -1

oo

- -oo (151 oo

--oo

co

- -oo

oo

- - co

1

= - - ~- ago) Tt(Z) [1 - - Xe] -1/2 dg, (m) 7C

- -1

oo

Tnt= (--i)n+l(b)a2f ~(~)Jn(]~)Jl(--b]~)e'kz'd]C'a (n)

--oo

oo

2 O~

1

- - 1

Die linke obere (oder die reohte untere) Teilmatrix geniigt zur Behandlung des Einzelfunda- mentes bei vol lkommenem Verbund mit dem darunter liegenden Halbraum. Dieses Teilproblem wurde von Oien [I1] behandelt. Die Integrale Anz und O.i versehwinden ftir ungerade Werte yon

152 Ingenieur-Archiv 52 (1982)

(n + I), wghrend F~t fiir gerade Werte von (n + l) versehwindet. Dies bedeutet, da~ der hori- zontale Bewegungsmodus und der Kippbewegungsmodus mitein~nder dutch den Halbraum gekoppelt sind, der vertikule Bewegungsmodus dagegen ist von beiden anderen entkoppelt (s. Bubnov-Galerkin-Verfahren und die Integraleigensehaften).

Zur numerisehen Behandlung der Integrale (15) wird die Integration in der komplexen Ebene durehgeftihrt (s. [5, 8]). Die Integrale An~, T'nt, On~ (sowie Nnt, K,~ und r wurden in [11] nueh einer komplexen Integration in einer numerisch behandelbaren Form wiedergegeben. Aul~erdem gelten fiir andere Integrale folgende Beziehungen:

=Otn, ( a ) M n l = - - Z t n und ( b ) 2 T , ~ = R ~ , . (16)

Zur Berechnung der Integrale A,l, Mnl und Tnt im Komplexen wird der Cauchysehe In tegra l satz sowie (wegen der Wurzel z R der Frequenzgleichung F(/c)) der t~esiduumssatz benutzt. Der Integrationsweg wird in der oberen komplexen Halbebene gewghlt. Dieser Weg ist vorteilhaft, well das Integral lgngs des Bogens fiir sehr grol~e komplexe Z~hlen verschwindet. Fiir das Ver-

halten der lntegrale im Unendliehen spielt der Ausdruek Jn(z) Jl ( - - b z) e~*Z o, wobei z = k + i ~ ist, die wesentliehe Rolle.

Es gilt folgende Absehgtzung [9]:

]J,(z)l ~ ](z/2)ni - - e' , ( r / > 0) . n!

Daraus folgt:

- - - - z etzz~ --~ 2n+ln[l! ~b

b b (Es gilt: ~(o > 1 + - - \/~ ~/o = 1 + - - + e, wobei e > 0 ist).

a a

Die Auswertung ergab:

..+, e -*~ (17)

- - e(* +~/a-z~ ~-- "2n+ln! l!

ao

+ 2i ( 2k~ __ a~) 4 + 16]c4a~fl "~

- - ( - - 1 ) 2 2 ( b ) a~ (2"~-[-c*~) 2-4~2~/~ 0

e--iaRzo

Tlz l

ka

0

dk

d~, (18a)

kc~

f ' ( ~ n ) + 2i (2k~ - a~) '~ + 41~a~

0

dk

+ 8i. ( 2/c2 _ a~)4 + 16k4c~2fi ~ dk -- (-- 1) -T" �9 2 a~ ( 2T~ q- aeo) 2 _ 4~& fi dr, ka 0

(18b)

Th. Triantafyllidis: Berechnung der Untergrundkopplung yon Streifenfundamenten 153

l - - n ~ l

P ' ( . ~ )

wobei

s~ = 7c~ _ ~ , ~ = ao ~ - ~: ,

s~ = ~ + ~ , d ~ = ~ + ~o ~,

F'(z~) = 8xn [(2~ 2 -- a~) -- c~fln z~2 finer

tion erster Art, Ordnung n, bezeichnen.

(180)

z~2 flR--~R]' und I , die modifizierte Besselsche Funk-

Die bestimmten Integrale in den Ausdriicken kSnnen numerisch behandelt werden. Das gleiche gilt aueh flit die halbunendlichen Integrale.

Die Lastglieder ~(#). VI~ ~) k6nnen mit Hilfe der OrthogonMit/~tseigenschaften der Tseheby- l l il scheffschen Polynome berechnet werden, wobei folgendes gilt:

To(x) = 1, (19) T ~ ( x ) = z .

Daraus gilt fiir die Lastglieder folgendes:

a.rmz) = 2do~, t,~,(2x) = 2do~,

L -7(lz) b [/T~ z) 2(~Ol , ( 2 0 )

V(I~) dll, V(2~) l l = --21 ~ (~11)

wobei 6~n das Kronecker-Symbol ist. Die gleichen Orthogonalit~tsbezeiehnungen bieten gleiehzeitig eine grote Hilfe zur Bereeh-

nung der Einflul3funktionen fiir die Reaktionskr~fte ungerhalb der starren Randbedingungen. ~ i t I-Iilfe yon (19) und (20) lassen sieh die Glieder der Matrix (5) wie folgt erreehnen:

Hi#) _(#> H~#) = G ~ o , - - G ~ C ( o # ) ,

a b

"7(#) V(#) --2 ~' - - G+B(o #>, - - euD(o #) , (21)

a b

M(#) G ~---- B~ #) und M~#) 1 ~ ( # ) - - - - ~')1 " a ~ 2 b 2

Diese Einflugfunktionen sind unabh~ngig v o n d e r Massenbelegung oder anderer Tr/igheits- wirkungen und h/~ngen lediglich yore Frequenzparameter %, der Poissonzahl v, dem Achsabstand xo der Lastflgchen und yon der Geomet, rie der starren Streifenlastflgohen ub.

6 Ermittlung der Antwort des Systems bei Hassenbelegung

Bei einer harmonischen Bel~stung lgA3t sich )nit Hilfe der Einfiul]funktionen das Antwortver- halten yon mehreren, mit Hassen behgfteten Fundamenten, deren Einbindetiefen und H6hen zun~chst vernachlgssigt werden, ermitteln.

154 Ingenieur-Archiv 52 (1982)

Der auf jeder Lastflgche resultierende harmonisehe Lastvektor (komplex) setzt sieh additiv aus dem ~ugeren Lastvektor und aus dem Reaktionskraftvektor zusammen. Unter den resul- tierenden Lasten sehwingt das Fundament in mehreren Freiheitsgraden, und die Bewegungen werden dureh die folgende Gleiehung besehrieben:

pe i~t + qe i~t d2 --~ dr--- ~ ([M*] Se'~t), (22)

wobei p der/~ugere Lastvektor, [M*] die Trggheitsmatrix und q der Reaktionsvektor des Unter- grundes sind.

Aus (22) folgt:

p + q = --co2[M *] s,

wobei der harmonisehe Faktor eliminiert wurde. Mit Hilfe des dimensionslosen Parameters a o (~2 = ~o2e@/G) und der Weehselwirkungsbezie-

hung (q = G[W] s) gilt:

p = - ~ ( [ w ] + a~[M]) s

mit

Daraus folgt:

1 se i~ = - s = [S -1] p G ' (23)

wobei [S] = [W] j - a0~[]ll] die Matrix des Systems massenbehaftete Fundamente-Halbraum ist (Systemmatrix).

Fiir einen gegebenen gugeren Lastvektor kSnnen dann mit Hilfe des Systems (23) die Ver- sehiebungs- (Verdrehungs-) Amplituden und Phasenlagen aller Fundamente ausgereehnet werden.

7 Numerische Ergebnisse

Die Einflugfunktionen sind v o n d e r Erregerfrequenz co, der Geometrie der Versehiebungsrand- bedingungen (:go, a/b) sowie von StoffkenngrSgen (G, ~, v) abh~ngig. Aus dieser grogen Auswahl- m6gliehkeit wird ein Beispiel yon drei gleichen, im Abstand )/o = 4.165 voneinander entfernten Streifenfundamenten herausgegriffen. Die Poissonsehe Zahl des Halbraumes wurde mit v = 0,25 angesetzt. Fiir andere v- als aueh xo-Werte zeigt die LSsung, bis auf den Betrag, den gleiehen Verlauf. Der Abstand Zo = 4,165 wurde gew~hlt, weil dadureh ein reelles System (ebener Sehwel- lenrost ohne Tr/igheitswirkungen und Einbettung) mit diesem einfaehen Modell in bezug auf die Wechselwirkung in einer ersten Approximationsstufe analysiert werden kann [12]. Die Einflug- Iunktionen wurden his zum dimensionslosen Frequenzparameter a0 = 1,5 geplottet. Dies ent- sprieht einer Frequenz, bei der die halbe Oberfl/~ehenwellenl/~nge etwa gleieh grog ist wie die Fundamentbreite.

Bild 3 zeigt einen Vergleieh zwisehen einem einzelnen Fundament und drei Fundamenten, zun/ichst fiir die vertikale Reaktionskraft aul mittleren Fundament infolge einer vertikalen Ein- heitsversehiebung am selben Fundament.

Es wurde folgende Indizierung vorgenommen:

Index 0: mittleres Fundament Index -- 1 : linkes Fundament Index 1 : reehtes Fundament

^ : einzelnes Fundament auf der Halbraumoberfl/~ehe (entkoppelt).

Auffallend ist die Tatsaehe, dag bei Kopp]ungsvorg/~ngen die Abh~ngigkeit der Einflug- funktionen yon der Frequenz stgrker ist als bei einem einzelnen Fundament. Die Einflugfunktion sowohl im Real- als aueh im Imagin~rteil verhs sieh additiv zu der des Einzelfundamentes mit einem sinusoidalen Term. Im selben Bild sind aueh die Reaktionskr~fte und Reaktionsmomente

0%

g c .g

'?"v

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156 Ingenieur-Archiv 52 (1982)

der benaehbarten s infolge der vertikalen Einheitsversehiebung am mittleren Funda- ment gezeiehnet worden. Die horizontale t~eaktionskraft ist fiir den gesamten ~'requenzbereieh am ]inken Fundament bis auf das Vorzeiehen genauso grog wit am reehten Fundament. Ent- spreehendes gilt fiir die Reaktionsmomente. Die vertikale l~eaktionskraft ftir den gesamten Frequenzbereieh am linken Fundament s t immt mit der am reehten Fundament iiberein.

I m Bild 4 wurden die Einflugfunktionen fiir die I{eaktionskr/~fte (Momente) Mler Fundamente bei einer Einheitshorizontalversehiebung am mittIeren Fundament dargestellt. Die resultierende vertikale I~eaktionskraft am erregten Fundament ist Null, dies aber gilt nieht fiir das resultie- rende Reaktionsmoment am selben Fundament. Die horizontalen Reaktionskr/ifte sowie die geaktionsmornente am reehten und linken Fundament sind identiseh. Dies gilt his auf das Vor- zeiehen aueh fiir die vertikale Reaktionskraft.

In Bild 5 warden die Einflugfunktionen fiir die t~eaktionskr~fte (-momente) an alle t~unda- mente bei einer Einheitsverdrehung ant mittleren Fundament dargestellt. Dabei gilt entspre- ehendes wie im ]Palle der Einheitshorizontalversehiebung am mittleren Fundament. I-Iier kann die Giiltigkeit des t~eziprozit/~tssatzes gezeigt werden. Das t~eaktionsmoment am mittleren Fundament infolge einer Einheitshorizontalversehiebung am selben Fundament ist gleich der l~eaktionshorizontalkraft am mittleren Fundament infolge einer Einheitsverdrehung am selben Fundament .

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Im M 0 ImM " ~

_Re H1 =Re H 1 - -

R e V 1 = -Re V 1

- I ra H 1 = I m H 1

- I r a M 1 = ~ H1

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Drei Fundamente Xo : / . . 1 6 5

a / b = I ~, : 0 , 2 5

% : 1

. . . . . . . . I 0 0.5 ~ 1,5

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Bild 5. Einflugfunktionen fiir die Untergrundreaktion aufgrund einer Einheitsverdrehung am mittleren Streifenfuadament

Da die Einflugfunktionen nach den oben angegebenen Formeln berechnet werden k6nnen werden nieht alle zu diesem System zugehSrigen Einflugfunktionen angegeben.

Zum Vergleieh der Ergebnisse fiir die Kopplungsvorgs gibt es leider bis heute keine a nderen Arbeiten, aber fiir den Fall des Einzelfundamentes gibt es direkte Vergleiehe, wie z. B. Oien [11], Karasudhi, Keer und Let [7] sowie ftir den statisehen Fall (a0 = 0) die Arbeit yon Awojobi und Groothenhuis [2]. Eine praktisehe Anwendungsm6gliehkeit des oben dargestellten Verfahrens finder man in [12].

Th. Triantafyllidis: Bereehnung der Untergrundkopplung yon Streifenfundamenten 157

L i t e r a t u r

1. Achenbach, J . D. : Wave Propagation in Elastic Solids. Amsterdam: North-Hill-Publ. Co. 1973 2. Awojobi, A. O. ; Groo~enhuis, P. : Vibration of Rigid Bodies on Semi-Infinite Elastic Media. Proe. 1~.

Soc. 62, Set. A (1965) 27--63 3. Erdelyi, A. et al. : Tables of Integral Transforms. Vol. 1, 2, New York: McGraw-Hill 1954, p. 122 4. Eringen, A. C.; Suhubi, E. S.: Elastodynamics. Vol. 2. New York: Academ. Press 1975 5. Ewing, Jarde tzky and Press: Elastic Waves in Layered Media. New York: McGraw-Hill 1957 6. HolzlShner, U.: Schwingungen des elastischen Halbraumes bei Erregung einer Rechteckflache. Ing.

Arch. 38 (1969) 370--379 7. Karasudhi, P. ; Keer, L. M. ; Lee, S. L. : Vibratory Motion of a Body on an Elastic Half Plane. J . Appl.

Mech. 35, Ser. E (1968) 697--705 8. Lamb, H.: On the Propagation of Tremors Over the Surface of an Elastic Solid. Philos. Trans. R. Soc.

London 203, Set. A (1904) 1--42 9. Luke, L. •.: Integrals of Bessel Functions. New York: McGraw-Hill 1962

10. Miehlin, S. G. ; Smolitskiy, K . L . : Approximate Methods for Solution of Differential and Integral Equations. New York: Am. Elsevier Publ. Co. 1957

11. 0fen, 3f. A. : Steady Motion of a Rigid Strip Bonded to an Elastic Half Space. J. Appl. Mech. 38, Ser. E (1971) 328--334

12. Prange, B.; Huber, G.; Triantafyllidis, Th.: Baugrunddynamische Probleme beim Rad/Sehiene- System. Baugrundtagung 1980 in Mainz (in VerSffentl.)

13. t~oesset, J. M. ; Gonzalez, J. J. : Dynamic Interact ion Between Adjacent Structures. Proc. DMSR 1977. Karlsruhe 1, Balkema (1978) 1, 127--166

14. Savidis, S. A.: Dynamic Interact ion of Rigid Foundations. Proc. DMSR 1977. Karlsruhe 1, Balkema 1 (1978) 225--253

15. Warb~lrton, G. B.; Richardson, J. D.; Webster, J . J .- Harmonic Response of l~Iasses on an Elastic Half-Space. J . Eng. Ind., Trans ASME 194 (I972) 193--200

16. Williams, M. L. : Stress Singularities ResuIting From V~rious Boundeory Conditions in Angular Corners of Plates in Extension. J. Appl. Mech. 19 (1952), Trans. ASME 74, 526--528

17. Zakorko, V. N.; Rostovtsev, N. A.: Dynamic Contact Problem of Steady Vibrations of an Elastic Half-Space. J. Appl. Math. Mech. 29 (1965) 644--653

Eingeganger~ am 26. Mdrz J981

Dipl.-Ing. Th. Triantafyllidis

Inst i tu t fiir Bodenmechanik und Felsmeehanik der Universi tat Karlsruhe Kaiserstrafle 12

D- 7500 Karlsruhe

Bundesrepublik Deutschland