Embed Size (px)
Citation preview
Ein neuer Eigenloser fur Polynommatrizen
Falk, S.∗1 andWagner, N.∗∗2
1 Technische Universitat Braunschweig, Institut fur Angewandte Mechanik, Spielmannstraße 11, D-38106 Braunschweig2 Universitat Stuttgart, Institut A fur Mechanik, Pfaffenwaldring 9, D-70550 Stuttgart, Germany
Fur Polynommatrizen mit regularer Leitmatrix wird ein neuer Eigenloser vorgestellt. Dies geschiehtuber den AlgorithmusECP. Kennzeichnendes Merkmal des Algorithmus ist die Parallelrechnung.
1 Aufgabenstellung. Grundlagen
Vorgelegt ist die Polynommatrix der Ordnungn vom Gradeρ
F (λ) = A0 + A1 λ + A2 λ2 + · · ·+ Aρ λρ; det Aρ 6= 0 (1)
mit im allgemeinen komplexwertigen KoeffizientenmatrizenA0 bisAρ, und gesucht werden einige oder alle Eigenwerte
λ1, λ2, . . . , λm; m = ρ n. (2)
Der in [2], [3] und [5] beschriebene Algorithmus ECP basiert auf der Bereitstellung vonm = ρ n paarweise verschiedenenStutzwertenλ1, λ2, . . . , λm, die geeignet zu wahlen sind. Mit den ProduktenPj , den Defektendj und den HauptwertenΛj
Pj =m∏
µ = 1µ 6= j
(λj − λµ
); dj =
detF (λj)Pj
1det Aρ
; Λj = λj − dj ; j = 1, 2, . . . , m (3)
ist definiert die ECP-Begleitmatrix
E =
Λ1 −d2 −d3 . . . −dm−1 −dm
−d1 Λ2 −d3 . . . −dm−1 −dm
−d1 −d2 Λ3 . . . −dm−1 −dm
......
......
−d1 −d2 −d3 . . . Λm−1 −dm
−d1 −d2 −d3 . . . −dm−1 Λm
. (4)
Das PaarE, Im besitzt die Eigenwerte(2), und es gilt die Kontrollgleichung
traceE = trace(A−1
ρ−1 Aρ
)=
m∑j=1
Λj =m∑
j=1
λj (5)
Bei betragskleinen Defekten ist die MatrixE diagonaldominant; somit sind die Hauptwerte gute Naherungen fur die Eigen-
werte. Sehr viel genauer ist der mit der TeilsummeSk(λ) gebildete Optimalwerto
Λk.
Sk(λ) =m∑
µ = 1µ 6= k
dµ
λµ − λ,
o
Λk= λk −dk
1− Sk(Λk). (6)
∗ Corresponding author: e-mail:[email protected], Phone: +00 49 531 391 7102, Fax: +00 49 531 391 5843∗∗ Second author: e-mail:[email protected], Phone: +00 49 711 685, 6262, Fax: +00 49 711 685 6282
PAMM · Proc. Appl. Math. Mech. 4, 668–669 (2004) / DOI 10.1002/pamm.200410315
© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
2 Iteration gegen einen numerisch trennbaren Eigenwert
Mit der SummeSk(λ) lautet die Eigenwertgleichung, der allem Eigenwerte (und nicht allein der Eigenwertλk) genugen
fk(λ) = λk − λ− dk
1− Sk(λ)= 0. (7)
Speziell zur Berechnung des Eigenwertesλk stehen u.a. die folgenden drei Verfahren zur Verfugung.Die Ritz-Iteration :
Λν+1 =S(Λν) [1− T (Λν)]
T (Λν)mit S(Λ) =
m∑µ=1
dµ
λµ − Λ; T (Λ) =
m∑µ=1
dµ
(λµ − Λ)2. (8)
Die (verallgemeinerte)Regula falsi:Wahle einen Naherungswertλ1 und berechne damit die Folge
λ1 → y1 = fk(λ1)λ2 = λ1 + y1 → y2 = fk(λ2)λ3 = λ2 − y2
∆1mit ∆1 = y2
y1− 1 → y3 = fk(λ3).
(9)
Die Iteration kann erheblich beschleunigt werden durch die in [3] beschriebene verallgemeinerte Regula falsi (VRF).Dasklassische Iterationsverfahren:
λν+1 = λk −dk
1− Sk(λν); ν = 0, 1, 2, . . . (10)
Alle drei Verfahren starten mit dem Optimalwert (6).
3 Sukzessive Minimierung der Defekte - Evolution
Um allem Eigenwerte gleichzeitig zu verbessern, werden die Stutzwerte durch die Optimalwerte ersetzt und damit die Defekteneu berechnet. Dieses als Evolution bezeichnete Verfahren wird so lange durchgefuhrt, bis die Rechnung im Rahmen derverlangten Genauigkeit stagniert. Es handelt sich dabei um ein Jacobi-ahnliches Verfahren an der ECP-Begleitmatrix (4).
4 Iteration gegen einen numerisch mehrfachen Eigenwert
Die (modifizierte) Eigenwertgleichung (7) laßt sich explizit differenzieren. Dadurch gelingt es, die Vielfachheitvk > 1 einesEigenwertesλk auf vk = 1 zu reduzieren. Naheres dazu in [3].
5 Einschließung von Eigenwerten
Mit den Spaltenradien
ρj = (m− 1) |dj |; j = 1, 2, . . . , m (11)
der ECP-Begleitmatrix (4) gelten die bekannten Satze nach Gerschgorin. Die Radienρj konnen nach [3] erheblich verkleinertwerden.
6 Numerische Beispiele
Mehrere numerische Testbeispiele sind unterhttp://www.mecha.uni-stuttgart.de/Mitarbeiter/Wagner/wagner.htm zu finden.
References
[1] H. Budich and S. Falk, Die verallgemeinerte Regula falsi und das Matrizeneigenwertproblem, ZAMM81, 1007–1008 (2001).[2] C. Carstensen and E. Stein.Uber die Falksche ECP-Transformation und Verallgemeinerungen, ZAMM79, 375–391 (1989).[3] S. Falk. Der Eigenwertalgorithmus ECP fur Polynommatrizen. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen
Gesellschaft (2004).[4] S. Falk and N. Wagner. Ein neuerEigenloser(eigensolver) fur Polynommatrizen. Annual GAMM meeting Dresden 2004.[5] R. Zurmuhl and S. Falk. Matrizen und ihre Anwendungen 2, Numerische Methoden. 5. Auflage (1986) Springer-Verlag
© 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim
Section 22 669
