Ein O(n) Verfahren zum Lösen von starren Mehrkörperketten mit Kontaktbedingungen

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    06-Jul-2016

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<ul><li><p>Ein O(n) Verfahren zum Losen von starren Mehrkorperketten mit Kon-taktbedingungenHubert Gattringer1 and Hartmut Bremer11 Altenbergerstrae 69, A-4040 Linz</p><p>Bei der Modellierung von Mehrkorperketten (starr oder elastisch), wie das bei Robotern der Fall ist, entstehen sehr groeBewegungsgleichungen. Fur deren Simulation ist die explizite Invertierung der Massenmatrix (On3) notwendig. Bei demin dieser Arbeit vorgestellten On Verfahren, welches die Invertierung der Massenmatrix aufgrund der speziellen Strukturder Bewegungsgleichungen rekursiv durchfuhrt, wird die Rechenzeit deutlich reduziert. Treten bei Mehrkorperketten nochzusatzliche Kontakte auf, so kann dies durch die Hinzunahme eines Lagrangeschen Parameters zur Bewegungsgleichungerfolgen. Zur Berechnung dieser Zwangskraft ware bei der herkommlichen Modellierung wieder die inverse Massenma-trix notwendig. Der in dieser Arbeit prasentierte Algorithmus kommt ohne eine explizite Invertierung zur Berechnung desLagrangeschen Parameters aus.</p><p>1 ModellbildungIn der Robotik bietet es sich an, verschiedene Baugruppen zu Subsystemen zusammenzufassen. Die Gesamtdynamik lasstsich uber die Projektionsgleichung fur Subsysteme</p><p>Nn=1</p><p>(yns</p><p>)T Nni=1</p><p>[(vSyn</p><p>)T (Syn</p><p>)T]i</p><p>[(p+ Rp fe)(L+ RLMe</p><p>) ]i </p><p>Mnyn+GnynQn</p><p>= 0 (1)</p><p>besonders strukturiert bestimmen, siehe [1], [2]. Mn, Gn, Qn sind die entsprechenden Systemmatrizen des Subsystems,welche uber die beschreibenden Geschwindigkeiten yn in die Minimaldarstellung projiziert werden. Die Bewegungsgleichunglautet Ms+GsQ = 0, bzw. s =M1(QGs). Die Inversion ist dabei von Ordnung n3 und damit fur groe Systemesehr rechenintensiv.</p><p>2 Kinematische KetteFormuliert man die Kinematik uber Ketten, so konnen die Jacobimatrizen aus Gl.1 strukturiert angegeben werden. Diebeschreibenden Geschwindigkeiten eines Korpers berechnen sich aus den transformierten Geschwindigkeiten des Vorgangerkorpersund den Relativgeschwindigkeiten zu</p><p>(v00</p><p>)n </p><p>yn</p><p>=[Anp 00 Anp</p><p>] [E rTpn0 E</p><p>] </p><p>Tnp</p><p>(v00</p><p>)p </p><p>yp</p><p>+(vpnpn</p><p>) </p><p>Fisi</p><p>. (2)</p><p>O</p><p>p</p><p>n</p><p>rp n</p><p> Corresponding author: e-mail: hubert.gattringer@jku.at, Phone: +0043 732 2468 9790, Fax: +0043 732 2468 9792</p><p>PAMM Proc. Appl. Math. Mech. 4, 157158 (2004) / DOI 10.1002/pamm.200410060 </p><p> 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH &amp; Co. KGaA, Weinheim</p><p> 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH &amp; Co. KGaA, Weinheim</p></li><li><p>Uber die kinematische Kette lasst sich die globale Funktionalmatrix F (die sich aus den Jacobimatrizen yns zusam-mensetzt) berechnen. Sie hat eine eine linke untere Blockdreiecksstruktur. Dadurch kann uber einen Gauss Elimination-sprozess das On-Verfahren hergeleitet werden.</p><p>3 On-VerfahrenDas On Verfahren lasst sich folgendermaen formulieren:</p><p>1. Schritt: Bestimme die Kinematik: Tip, Tip i = 1..N</p><p>2. Schritt: Bestimme die modifizierten Systemmatrizen fur i = N..1</p><p>Mp =Mp +TTipNiM</p><p>iTip; G</p><p>p = Gp +T</p><p>TipNi(G</p><p>iTip +M</p><p>i Tip); Q</p><p>p = Qp +T</p><p>TipNi(Q</p><p>i Mi GiFisi)</p><p>(3)mit</p><p>MRi = [FTi MiFi], Ni = [EMi (FiM1RiFTi )] (4)</p><p>3. Schritt: Lose</p><p>si = M1RiFTi{Mi (Tipyp + Tipyp + Fisi) +G</p><p>i (Tipyp + Fisi)Qi</p><p>}(5)</p><p>fur i = 1..N</p><p>siehe z.B. [2]. Dabei munur die Matrix MRi invertiert werden. Sie hat den Rang der Relativfreiheitsgrade des Subsystems.</p><p>4 On-Verfahren mit KontaktDie gesuchten Beschleunigungen konnen also ohne Invertierung der Massenmatrix berechnet werden. Treten zusatzlich Kon-takte auf, so kann dies bei der Minimaldarstellung Ms+GsQ (/s)T = 0, mit der Zwangskraft aufgenommenwerden. Der Lagrangesche Parameter kann uber die zweifache zeitliche Ableitung der impliziten Bindungsgleichung = 0berechnet werden</p><p> =</p><p>(s</p><p>)M1</p><p>(</p><p>s</p><p>)T1(</p><p>s</p><p>)M1(GsQ) </p><p>s1</p><p>[ddt</p><p>(</p><p>s</p><p>)]s</p><p>. (6)Die dabei vorkommenden Richtungsableitungen (/s) konnen wieder aus der kinematischen Kette gewonnen werden.</p><p>Die darin vorkommende Invertierung der Massenmatrix kann mit dem On-Verfahren durch geschicktes Zusammenfassenwiederum umgangen werden, und zu einem Algorithmus zusammengefasst werden:</p><p>1. Schritt: Bestimme s1 duch einmaligen Durchlauf des On Verfahrens ohne Kontaktkraft.</p><p>2. Schritt: ErsetzeQ Q+ (/s)T, und bestimme die Beschleunigungen s2 (Durchlauf des On Verfahrens). BerechneM1</p><p>(s</p><p>)T= s2 s1. Somit sind alle Terme zur Berechnung von vorhanden.</p><p>3. Schritt: ErsetzeQ Q+ (/s)T. Duch einen letzten Durchlauf des On Verfahrens werden die gesuchten Beschle-unigungen s bestimmt.</p><p>Die grundsatzlichen Ideen fur diesen Algorithmus wurden in [2] erarbeitet.In weiterer Folge werden die Algorithmen zur Modellierung einer zweibeinigen Laufmaschine verwendet. Bei den Gangzyklenwerden Kontakte immer wieder geoffnet und geschlossen.</p><p>References[1] BREMER, H.; Dynamik und Regelung mechanischer Systeme; B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1988.[2] BREMER, H.; On the use of nonholonomic variables in robotics; in Selected Topics in Structronics and Mechatronic Systems (eds. A.</p><p>Guran, A. Belayev), World Scientific, Singapore, 2003, p. 1-48.</p><p>Section 3 158 </p><p> 2004 WILEY-VCH Verlag GmbH &amp; Co. KGaA, Weinheim</p></li></ul>