Ein Satz fiber konvexe K~rper und Gitterpunkte

JSRG 1VI. WILLS

Ein konvexer K6rper des R ~, dessen Volumen mehr als die tt/flfte seiner Oberfl~che betr/~gt, enth/flt einen Gitterpunkt; und dieses Ver- h/~]tnis ist optimal.

Dieser Satz ist ffir n -~ 2 in [1] und n = 3 in [3] bewiesen worden, und einiges spricht daf0r, dab er ffir beliebiges n ~_ 2 gilt. In dieser Arbeit wird der Satz fiir n = 4 bewiesen. Zug]eich werden die F/ille n = 2 und n = 3 erledigt, und zwar wesentlieh kiirzer als bisher, l~tir n _~ 5 wird auBerdem die Menge der zu untersuchenden konvexen KSrper stark eingesehriinkt.

Wir formulieren das Problem genauer: Sei n ~ 2 ganz, R die i~Ienge der reel]en, Z der ganzen Zablen, ~ die Menge der konvexen KSrper des R'. Welter seien V(K) und F ( K ) Volumen und Oberfl/~che yon

K ~ ~ , g~ = {K e ~ / K C R ' - - Z ~} und s(n) = sup ~ K e ( ~ .

Nach [1] is~ s(2) = �89 und nach [3] ist s(3) ---- �89 Man zeigt ]eicht (s. [3]) s(n) ~ �89 ftir n ~ 2. Die Vermutung s (n) = �89 ftir beliebiges n :> 2 ist bisher unbewiesen. Wir beweisen den

Satz. s (n) ----- �89163 n -= 2, 3 und 4.

Vorher noch einige Bemerkungen: 1) Das Problem bleibt unge/~ndert, wenn stat t konvexer K5rper allgemeiner besehr/inkte konvexe Mengen zugelassen werden (s. auch [3]). 2) Die Beschr~nkung auf das Gitter Z ~ ist unwesentlich. In [1] wird das Problem ftir beliebige Gitter des /~ auf Z ~ zurfickgefiihrt, und im R n 1/~Bt es sich leicht analog durebftihren. 3) Aus dem Beweis folgt zusi~tzlieh, dab ftir kein K e (~n (n = 2, 3 oder 4)

V 1 V 1 gilt. 4) Im Beweis werden die kon- T = Y ist, also immer ~ <

vexen KSrper in zwei Klassen unterteilt, yon denen die eine mit dem versch/~rften Satz von BRUNN-1V[INKOWSKI, die andere mit der isoperi- metrischen Ungleiehung abgesch/~tzt wird. Da die Isoperimebrie hier ein zu grobes t{iffsmittel ist, versagt die Beweismethode ftir n ~ 5.

Nun zum Beweis, f'tir den 6 Lemmata benStigt werden. Der Satz folgt sofort aus s (n) ~ �89 und den Lemmata 1, 4, 5 und 6. Zuerst zwei einfaehe vorbereitende Lemmata, die schon in [3] bewiesen wurden und yon denen das erste besagt, dab man sieh auf geeignete Steiner-symme-

Ein Satz fiber konvexo KSrper und Gitterpunkte 9

trisierte konvexe KSrper beschri~nken kann und das Gitter passend parallelverschoben werden darf.

Lemma 1. Sei n ~ 2, Y" = {(xl . . . . , x , ) l (x l ~ �89 . . . . . x , ~ �89 e Z '~}

und @, = {K e ~,~/K C R" - - Y" und /~r ]edes i e [1, n] ist K symme- trisch zu x~ = 0}.

V (K)

Zu einem K e (~, sei at = sup {xd(x 1 . . . . . x:) e K}, 1 ~ i ~ n.

Lemma2. Sei n ~ 2 und K e (~,. Dann gibt es Zahlen oq ~ O, n

i = 1 . . . . . n mit ~ ~ = 2 und i = 1

n

K C H (al . . . . . or = {(xl . . . . . x ,~) /~ oq x, < 1}. i = 1

< 1 . FOX jedes ai > 0 gilt aul~erdem ~ = O.E . sei im folgenden immer a = al -= max a~. Dann gilt offenbar a~

l~t<:n

Zum Beweis werden jetzt zwei F~lle untersehieden:

2) a ~ y . FOx Fall 1) ein vorbereitendes

Lemma 3. Sei n ~_ 2, K e ~ , und a ~ 2 " Dann ist V (K) ~ n "-1.

B e w e i s . (Dutch eine Idee yon Herrn B. Herz konnte der Beweis

erheblieh verkfirzt werden). Sei n ~ 2, K e (~, und a ~ y . Welter sei

{( )/ } Q = x 1 . . . . . x, 0 ~ x i < : y , l ~ i ~ n u n d K + = K n Q . D a n n i s t

V ( K ) = 2 " . V ( K + ) . Welter sei H ( a l . . . . . a , ) n Q = P . Dann ist K+ C P, also V ( K +) ~ V (P) und damit V(K) ~ 2" V(P) .

Wir zeigen im Folgenden n . V ( P ) ~_ V(Q). Wegen V ( Q ) - - ( ~ ] " folgt daxaus V ( K ) < 2" 1 = n "-1, d .h . die Behauptung. Es genfigg

also zu zeigen: n . V ( P ) ~ V(Q). 8ei jetzt

i = l

und Q~ = Q n E~. FOX e s [0, n] ist Q~ offenbar ein (n - - 1)-dimensionales konvexes Polyeder. FOX c ~ [0, n] ist Q~ leer. Weiter ist Q = U Q0

O_~c~_~

und P = U Qo. Wit zeigen jetzt: Sind cl ~ 0, ci ~ 0 und c~ ~- c~ = n, 0:~r 1

10 J6rg iVL Wills

so sind Q~ und Qo~ zueinander punktsymmetr isch beztiglich des Spie- n

i = l und x' n , ~ ~ ~ ~ y - - x ~ ( i - 1, n), dann ist

, n --ZOCiXi ~ - - C 1 ~ ~2, Z 0Q X~ = "2- .Z 0r ----- i=l r i=l

also (x~ . . . . . x') e Q~. Fox die (n - - 1)-dimensionalen Volumina V ("-x~ yon Q0~ mad Qc~ gilt damit :

VC.- J (Qo ) = (Qo.).

Setzen wir V('-I~(Q,) =/(c) , dann ist also

/ ( c0 ftir cl + = n .

Durch 8chwarzsche Symmetrisierung (s. [2], S. 71) an der Geraden G = {(xl . . . . . x,,)/x, = oqt, t ~ R, 1 < i ~ n}, die orthogonal zu den Ec ist, wird Q zu 0~ e ~ . und V("-l)(~c) = V("-I'(Q~) = ](c). Nach dem

1

Satz yon BRUI~N-MI~-KOWSKI (S. [2], S. 71) folg% jetzt, dab r(c) = / , - 1 (c) n

eine konkave Funkt ion isL die wegen der Symmetrie an -~ in 0 ~ c ~ y n

monoton w/~chst. Also w~chst auch [ (c) in 0 ~ c < : ~ monoton. Nun ist / t

n 2 1

V ( Q ) = f / ( c ) . d c = 2 f / (c) .dc und V ( P ) = f /(c).dc. 0 0 0

f l

-ff

n n �9 V ( P ) ~ f / ( c ) . d c , Da / in 0 _< e <_ -~ monoton w/ichst, folgt daraus y

also n . V(P) ~ V(Q). Mit Lemma 3 folgr leicht o n V (K) 1

Lemma 4. Sei n ~ 4, K e ~. und a ~ ~ . Dann ist ~ < y .

B e w e i s . Sei n ~ 4, K e (~, und a ~ 2 ' also V(K) < n "-1. Fiir eine

Kugel S C R" mit Radius r gilt (s. [2], S. 2)

Sei jetzt r so, da$ V(S) = V(K). Dann ist

n

Ftir n = 2 folgt daraus r2 ~z r -x . 1 . 2 < 1,

V(S) ,"

n--1.

also r < 1.

Ein Satz fiber konvexo K6rpe r und Gi t to rpunkte 11

Fiir n = 3 :

r a ~ z~-~. F q- 1 �9 39 = ~-~ . ~ .~- . zt�89 = ~z -1 �9 < ~-, also r < ~ .

Ffir n = 4 :

r 4___=-'.F(3).43=zc -~.2.64< 16, also r < 2 .

In j edem Fall ist also r < - ~ . Daraus folgt mit der Isoperimetrieeigen- schaft der Kugel :

v (K) < V(S) r__ < ! F(K) ~ - - - f f ~ = n 2 "

Bemerkung: Ftir n ~ 5 wird r > - ~ .

n Ftir den Fall a ~ y werden zwei L e m m a t a benStigt. Zuerst ein sehr

einfaches, das den Satz fiir n = 2 beweist. V (K) 1

Le m ma 5. Sei K e ~ , und a ~ 1. Dann ist ~ < -~.

]3 e w eis . Naeh der Definit ion yon a ist F (K) _~ 4 a, und zwar grit Gleichheit nur dann, wenn K zu einer Strecke en t a r t e t ist. In diesem Fall

V ist aber ~ = 0 und wit kSnnen annehmen: F ( K ) > 4a. I s t

P = {(Zl, z~)/~lzl + a , z , =< 1, 0 g Zl ~_ a, 0 =< z, ~ a},

_ < 1 dann ist V(K) ~ 4 . V(P) . Wegen a ~ 1, a 1 < 1 und a 1 q- a , = 2 folg% a

v(P) = f 1--c%Zl dxl = a . 2 - - % a < a__ 2 - - a x 2 2 - - a , = 2 '

o

v (K) i also V(K)~_2aund~<~-.

Lemma 6. Sei n > 3, s(n--I)=-~, a >-~ und K e ~. Dann ist V (K) 1 2~ (K) < ~-"

B e w e i s. Die Voraussetzungen seien erfttllt. Wei ter sei K , = K c~ {Xl = x},

also ist K~ ~ ~ , - i (aber i. a. n icht K~ e ~ , - 0 . Wei te r seien V ("-1' (K~) und F ~-x) (K~) die ( n - 1)-dimensionalen Volumen und 0berfli iehe yon K~ und sei

V ("-1) (K,) (1) g (x) - - F ' " - I ' (K.)"

Da nn ist ftir # _~ 0:

(2) V'"-" (t~ g~) F. '- , , (#K,J = g " g(z) .

12 J6rg M. Wills

Nach Lemma 2 �89 K C H(r162 . . . . . a.). Also �89

f$

K~ C H ~{xz = x} = H= = {(x, . . . . . x , ) / Z ~ i x t < 1 - - ~ x } . i = 2

1 1 1 1 - - o ~ i x Wir setzen xt ---- ~- tt, 2 ~_ i ~ n mit ~ ---- - ~ -~ 1 -- �89 ~ "

We~on 0 ~ , ~ ( ~ < ~) ~ ~ > 0~. 0 _ ~ o . n

])ann �89 ~H~ = {(4 . . . . . t , , ) / Z o , , t , < 1 - �89 n i = 2

Wegen ~ ~, = 2 - - a l �89 (�89 . . . . . �89 ~FH~, also �89 e ~,-1.

Mit (2), 8 ( n - 1) = �89 und Lemma 1 folgt daraus: #g(x) ~_ �89 oder

1 1 - - ~1 x g(x) --<--2-7;~ = 2--,,,,

2= Dann ist Wegen 0 ~ a , < l gibt es ein a ~ 0 mit at---- 1 + ~ "

(3) g(x) ~_ � 8 9 �89

Sei jetzt 1

(4) [F (n-1' (g=)] ~- ~ = r ( x ) .

Nach dem versch~rften Satz yon BRUI~N-I~NKOWSKI (S. [2] S. 107) �89 r(x) ~ 0 konkav. Also gibt es ein ~ _~ 0 mit

r(x) ~ 2 ( a - - x ) in 0 ~ x ~ � 8 9 (5) I t (x ) ~ ~ ( a - - ~) in �89 ~ ~ ~ a.

Damit folgt aus (4), (5) und a ;> ; :

(6)

und

a a

o o

=~.- , / (a--C-- , ) ~--'~ : ~--'[(o--~). ~ n- - I [ .

0

=~._,.o--. [~ '] n--l" ~ - - - g ~ 0.

Bekanntlich ist a

(7) F(K) :> 2 f F("-l)(K=)dx, 0

und Gleichheit gilt genau dann, wenn K uneigentlich, also hSchstens V

(n - - 1)-dimensional �89 In diesem Fall �89 aber V(K) ~- O, also ~ ---- 0.

Ein Satz fiber konvexe K6rper und Gitterpunkte 13

Also k6nnen wh" o. E. in (7) > annehmen. Dami t folgt aus (3), (6), (7)

V (K) : 2 f V '--~, (K,) d x = 2 f F (*-~, (K , ) . g (x) d x _~ f F(~-~' (K,) d x 0 0 0

- - 2~ f ( x - - �89 ''-1' (K.) dx ~ f F ''*-t' (K.) dx < �89 F(K). 0 O

Literatur

[1] E. A. BENDER, Area-perimeter relations for two-dimensional lattices. Amer. Math. Monthly 69 (1962) 742--744.

[2] T. BONNESEN und W. F~NCHEL, Theorie der konvexen K6rper. Berlin, Springer 1934.

[3] JS~G M. WILLS, Ein Satz fiber konvexe Mengen und Gitterpunkte. Monatsh. Math. 72 (1968) 451--463.

Eingegangen am 30.6. 1969