Vol. XXV, 1974 167

Ein Vergleichssatz ftir komplexe nichtlineare Differentialgleichungssysteme

Von

A. SCm~:Em~R und G. SCHL~nWOFER

In dieser Note wird ein Vergleichssatz fiir komplexe nichtlineare Differential- gleichungssysteme bewiesen, der die Ergebnisse yon H. Riissmann [1], K. Kreith [2], H. Herold [3] und A. Schneider [4] umfaBt. Dutch Benutzung yon Methoden aus der Theorie der Differentialungleichungen kann man im Gegensatz zu [1]--[4] auf einige Stetigkeitsvoraussetzungen verzichten.

Wir definieren zun~chst im reeUen Enklldischen Raum R ~ die Relationen u ~ : v bzw. u < v koordinatenweise. Eine Abbildung

F : G c R ~ - - > R ~

mit den Koordinatenfunktionen

t F(u) =

\ F ~ (ul . . . . . u~)/

nennen wir monoton im Sinne yon Kamke genau dana, wenn jede Koordinaten- funktion F~ monoton ist beziiglich aller Variablen u# fiir p ~= v. Die Gesamtheit dieser Abbildungen wird mit M (G) bezeichnet. SchlieBlich defmieren wir noch ftir

~--.~ ~C n

den verallgemeinerten Betrag

:; \li, )"

168 A. SCHNEIDER und G. SCHLEINKOFER AtLCH. MATH.

(i)

(2) (3) Dann gilt

Es gi l t :

Satz 1. Es sei [a, b] ein Intervall in R. / sei eine Abbildung yon [a, b] x C n in C n und F eine Abbildung yon [a, b] X (It+)n in It *z, d ie / i ir ]edes t e [a, b] aus M ((it+)n) ist und der Ungleichung

l / ( t ,w) l _<__F(t, [w[)

geni~gt. Die Abbildungen u yon [a, b] in E n und v yon [a, b] in Rn seien di]]erenzierbar und er]igllen die Ungleichungen

lu'(t) I <= [/(t , u(t)) I , v'(t) > _~(t, v(t)) ,

v(a) > [u(a) I.

I u(t) [ < v (t)

au/ ganz [a, b].

Wir fiihren den B e w e i s indirekt und nehmen wegen (3) und der Stet igkeit yon u und v an, dal~ es ein vo und ein to gibt mi t den Eigenschaften

a ~ to,

] u,(t) I < v~(t) (v = 1 . . . . . n , a <= t < to),

lU~o(tO) l = v,~

Fiir t < to ist dann

v a t ) - vAto) < lU~o(t) l - l U~o(tO)[ < l U~o(t) - U~o(tO)[ t - - to t - to I t - - to l

und somit

V:o(tO) ~ I~:o(to) l .

Andererseits ist

lU~o(tO) [ ---% I/~o(to, u(to)) I _<-- F~o(to, lu(to) l) --<_ F,o(tO, v(to)) < V:o(tO)

und wir erhalten den Widerspruch

l~;.(to) l < !~:.(to) l. Satz 1 wird fulsch, wenn man in (2) und (3) auch das Gleichheitszeiehen zul/~Bt

ohne eine zusgtzliche u an ] oder _F zu machen. Die Gegenbeispiele sind bekannt . I-Iinreichend ist z.B. eine Lipschitzbedingung an F . Zu ihrer Formul ierung setzen wir:

e : = s R ~ ; llvlI : = v ,~ .

Vol. XXV, 1974 Ein Vergleichssatz fiir Differentialgleichungssysteme 169

D a n n gilt:

Satz 2. Die Abbildungen u, v , / , F m6gen die Voraussetzungen von Satz 1 er/i~llen. _Ferner gelte die Lipschitzbedingung

(4) I2 ~ ( t , w ) - F ( t , ~ ) ] =<L- It w - ~l l" e-

Dann [olgt aus

(5) v'(t) >= _~(t, v(t)), (6) ]u'(t)] < ] / ( t ,u ( t ) ) l ,

(7) v(a) ~--_ ]u(a)[

die Unfleichung

(s) [ u (t)] < v(t) .

B e w e i s . Es sei s > 0 und ~ ( t ) die L6sung yon

(9) e ' = V ~ - L e + ~

mit Q~(a) = s .

Dann ist q~ (t) ~ 0 und ~e (t) -+ 0 (e ~ 0). Wir be t rach ten

~(t) := v(t) + ~ ( t ) e .

v ist differenzierbar a n d geniigt der Ungleichung

O(a) > lu(a)[ .

Ferner ist I] v(t) - - ~(t) II = V~ qdt) �9

Es folgt nun

~'(t) = v'(t) + @~(t) e = v'(t) + n L@~(t)e + s " e

und daher ~'(t) >= F(t , ~(t)) --~ (F(t, v(t)) - - ~( t , ~(t))) + L iI v(t) - - O(t)U e + s - e ,

was mi t (4) ~'(t) :> F(t , ~(t))

ergibt. D a m i t ist Satz 1 anwendba r und wir erhal ten

] u (t) ] < v (t) + o~(t)" e,

was ftir e - + 0 die Behaup tung ergibt.

Bemerkung 1. Die Bedingamg (4) is t offensichtlich nicht scharf. Der Beweis b]eibt richtig, wenn m a n eine K o r r e k t u r

(t) :--- v (t) + u~ (t)

ansetz t mi t u e ( t ) > O, ue(t)-+O ( s -+O) und die Ungleichung

F (t, v(t)) --/v(/, ~(t)) -~- u~(t) > 0

einhal ten kann . Auf Einzelhei ten verz ichten wir. (Man vergleiche [5].)

170 A. SCHNEIDER und G. SCHLEINKOFER ARCH. MATH

Bemerkung 2. Ist F(t , w) monoton in allen Variablen wl, . . . , wn, so gilt aueh l u'(t)[ =< v'(t), da

lu,(t)l _<_ I/(t, ~)1 <_v( t , l~,l) =< F( t ,v ) < v'(t).

Diese Bedingung ist z. ]3. im linearen Fall gegeben. Als Anwendung beweisen wir je tz t das Ergebnis yon Herold [3]. Die komplexwert igen Funkt ionen pl( t ) , . . . , pn ( t ) , /(t) seien stetig in [a, b], u n d

die reellen, in [a, b] stetigen Funkt ionen ql(t) . . . . . qn(t), g(t) geniigen den Un- gleiehungen

I pJ(t) I < qJ(t), It(t)] _<_g(t).

Wir setzen (11) (:) /(t, w) : = " �9 w + ,

1(0 pn (t) (t) (0 :)(:) F ( t , w ) : = " " w + ,

q~(t) q,~(t) I](t) l

G ( t , w ) : = ". " w +

0 0 (t - I/(t) l

Es sei nun u (t) LSsung yon u ' = ] (t, u) und v (t) LSsung yon v ' = F (t, v) mi t v (a) I u (a) I" Ferner sei d (t) die LSsung yon d' ---- G (t, d) mit d (a) ---- v (a) - - ] u (a) I-

Dann ist d (t) ~ 0 und f'tir

w : - - ~ v - - d ist

owi ( : 0 / w'(t) -~ v'(t) - - d'(t) = F(t , w(t)) + 0 d( t ) .

ql(t) q . ( t ) / Damit haben wit insgesamt

w'(t) => F(t, w(0) , lu'(t) l -_< I/(t, ~(t))t ,

w (a) _--_ I u (a) I"

Vol. XXV, 1974 Ein Vergleichssatz fiir Differentialgleichungssysteme 171

W i r wenden Satz 2 an und e rha l t en

lu(t)] <v(t)--d(t); ]u'(t)l < v ' ( t ) - - d ' ( t ) .

Das is t das Resu l t a t yon [3], wenn m a n beach te t , d a b die LSsung d (t) die K o o r d i n a t e n

(t - - s) n - ~ - I n-1 (t - - a ) t -k d~(t).--'-- J (n k--l)!(F(s)--l/(s)})ds+~(v(J)(a)--)u(r ) (? - - k)!

a - - j=k

(k---- 0, 1 . . . . . n - - 1) hat .

Die ~ b e r t r a g u n g des Vergleichssatzes in [4] a u f k o m p l e x w e r t i g e S y s t e m e der F o r m

u'(t) ---- X ( t ) u ( t ) A - / ( t )

i s t nach d e m vorangehenden Muster klar .

L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s

[1] H. Ri~ss~c:s , ~ber eincn Verglcichssatz fiir lineare gewSlmliche Differentialgleichungen. Math. Z. 112, 219--220 (1969).

[2] K. K~EITn, A comparison theorem for n-th order differential equations. Math. Z. 115, 357 - - 358 (1970).

[3] H. HEROT.D, Ein Vergleichssatz fiir komplexe lineare Differentialgleichungen. Math. Z. 126, 91--94 (1972).

[4] A. SC~S~IDV.R, Bemerkung zu einem Vergleichssatz ffir gewShnliche iineare Differential- gleichungen, manuscripta math. 7, 83--86 (1972).

[5] W. WALTER, Differential and integral inequalities. Berlin-Heidelberg-New York 1970.

Eingcgangen am 7.7. 1972

Anschrift der Autoren: A. Schneider FB 1Yfathematik -- Naturwissenschaften Gesamthochschule Wuppertal 56 Wuppertal 1 Hofkamp 82--86

G. Schleinkofer Institut fur Angewandte Mathematik der Universit~t 65 Mainz Johann Joachim Becher-Weg 21