Ein vollst/indiges Ungleichungssystem fiir Minkowskische Summe und Differenz

Von D. OHMA2~N, Frankfurt a. M.

Es ist leicht einzusehen, dab die bekannten Ungleichungen ffir die Minkowskische Summe und Differenz zweier konvexer K0rper A und B_c A des euklidischen R, :

1 l 1

V(A + B)g > V(A)g + V(B)g 1 ~ ( 1 )

V(A -- B)~ < V ( A ) - ~ - V(B)~

auch unter Hinzunahme der Bedingungen

V(A -- B) > 0 V(B) >_ 0 (2)

kein vollst/~ndiges Ungleichungssystem bilden, das heiBt dab sie keines- wegs alle Ungleichungen ersch6pfen, die flit die vier Volumina V(A) , V(B) , V(A + B) und V(A -- B) bestehen. Im Falle n = 2 lassen sich die Ungleichungen (1) jedoch dutch das versch/irfende Ungleichungs- paar

(a) F ( A + B) + F ( A -- B) > 2 (F(A) + F ( B ) ) (3)

(b) 2F(A -- B) �89 F (A) �89 < 3F(A) + F(B) -- F ( A + B)

ftir den Fl~cheninhalt F ersetzen, das mit (2) und F(A) > F ( A -- B) ein vollst~ndiges System bildet. Dies Ergebnis l~Bt sich in folgender Weise scharf formulieren :

Zu jedem Quadrupel x 1, x2, x3, x4 lassen 8ich dann und nur dann kon- vexe Bereiche A und B c A der eulclidischen Ebene angeben, ]fer die

F ( A ) = xx; F(B)----- x2; F ( A + B ) = x3; F ( A -- B ) = x4 (4)

statthat, wenn das Quadrupel dem unabhdngigen Ungleichungssystem

(a) x ~ > x 4 > 0 ; x2>_0

(b) z3 + x4 >_ 2(xl + x2) (5)

(c) 2 t xlxa [ �89 < 3Xl +" x2 -- xa genfegt.

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1. u Bei Benutzung der auf die Richtung r i~ufle- ren Stfi tznormalen bezogenen Stf i tzfunktion h(q) wird die Minkowski- sche Summe A A- B der beiden konvexen Bereiche A und B bekannt- lich durch den konvexen Bereich dargestellt, fiir dessen St i i tzfunktion

h ( A -f- B ; ~ ) = h(A ; ~) § h ( B ; ~) (6)

gilt. Da h (A ; ~0) -- h (B ; ~0) ~ 0 fiir A _~ B ausfi~llt, liiBt sich die Minkowskische Differenz A -- B als Durchschni t t aller den Ursprung enthal tenden Halbebenen erkliiren, die von den Geraden der ~uBeren Normalenr ichtung ~v begrenzt werden, die vom Ursprung den Abstand h (A ; ~v) -- h (B ; ~) haben. Daraus folgt

h ( A - - B ; q~) < h ( A ; q~) - - h ( B ; q~) . (7)

Die Minkowskischen Differenzen sind dami t mit den von G. Bol 1) ein- gefiihrten Relativ-Parallelbereichen nach innen identisch. Andrerseits s teht obige auf konvexe Bereiche beschr~nkte Definition offensichtlich zu der yon H. Hadwiger 2) ftir beliebige Mengen gegebenen nicht im Widerspruch.

Unsern Definitionen kann man nun unmi t te lbar

A - k - B = B - - I - A , (A + B ) - I - C = A -+- (B -+- C) (8)

(AA- B ) - - B - - - - A , ( A - - B ) + B c A (9)

und ebenfalls leicht 8)

(A -- B) -- C =- A -- (B + C) , ( A _ D B + C ) (10)

entnehmen. Zum Beweis yon (10) zeigt man die Richt igkei t yon A - - ( B + C ) c ( A - - B ) - - C und ( A - - B ) - - C c _ A - - ( B § C) in-

dem man yon der ersten (zweiten) der beiden aus (8) und (9) zu fol- gernden Ungleichungen

[A -- (B + C)] + C + B c _ A und [ ( A - - B ) - - C ] + ( B + C ) c _ A

beiderseits nacheinander B und C (gleichzeitig B + C) subtrahiert .

1) O. Bol, Beweis einer Vermutung yon H. Minkowski (Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 15 (1943), S. 37--56.

s) H. Hadwiger, Minkowskische Addition und Subtraktion beliebiger Punkt- mengen . . . (Math. Z. 53 (1950151) S. 210--218).

a) H. Hadwiger, a. a. O.

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Ftir den gemischten Inhalt 2 ~

F ( A ; B) -~ �89 .~ h(A ; ~) ds(B ; q~) o

folgt aus (7) und (8) noch

(a)

(b)

(s(B; q) = Bogenlange von B)

F ( A + B ; C ) = F ( A ; C ) + F ( B ; C )

F ( A - - B ; C ) ~ _ F ( A ; C ) - - F ( B ; C ) (11)

und schlieBlich auch die Minkowskische Formel

F ( A + B) = F(A) + 2F(A ; B) + F(B) . (12)

Zur Anwendung der yon G. Bol 4) benutzten Methode der Relativ- Parallelbereiche nach iimen haben wir bei variablem r noch die Bereiche A~--~A + r B ins Auge zu fassen, fiir die sich aus (11) und (12) die Beziehungen

(a) dF (AT ; C) _ F (B ; C) (r > O) dv (13)

(b) dF (AT ; C) I 1 = lim in f . - (F (A(~+8} ; C) -- F (AT" C)) > F (B; C) dr i n f ~ - - ~ 0 0 ~ - -

( r < 0 ; ~ > o )

dF (AT) _ 25' (AT ;B) (14) dr

gewinnen lassen. Die dabei zuni~chst nur auf r > 0 beschri~nkte Gtiltig- keit der Gleichung (14) erweitert sich nach G. Bol auch auf 3 < 0 .

2. Die Ungleiehungen 3.

a) Wegen (12) ist (3a) erwiesen, wenn wir die Richtigkeit der Un- gleichung

�9 (A, B) =_F(A -- B) --t- 2F(A ; B) -- F(A) -- F(B) > 0

dargetan haben. Dazu betrachten wir die Bereiche A T -----A-t-TB; B~ = B -}- r B , fiir die wit unter Beachtung yon (9) und (10) A T -- B, = A -- B notieren kOnnen. Damit ergibt sich nach (13) und (14) un- mittelbar d~ (A~ ; B,) l~ >--

dr O.

~) G. Bot, a. a. O.

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Da B~ ftir v ---- -- 1 einen Punkt darstellt, haben wir zudem

�9 (A~ ; B~)~=_~ ~_ 0

und kOnnen mithin q)(A ; B) > 0 erschlieBen.

b) Mit Hilfe yon (12) liiBt sich (3b) auf die Gestalt

F ( A ) �89 F ( A -- B) �89 < F ( A ) -- F ( A ; B )

bringen. Da F ( A ) > F ( A ; B ) wegen A ~ B , geniigt es, diese Un- gleichung in der Form :

~ ( A , B) - - ( F ( A ) -- F ( A ; B ) ) 2 - - F ( A ) F ( A - - B) > 0

zu erweisen. Da sich fiir die Bereiche B , ----- B + a A wegen (10)

A - - B(~+~)= ( A - - B ~ ) - - ~A , (a , ~ > 0 )

ergibt, und mithin aus (14)

d F (A -- B~) ~_ _ 2 F (A -- B,,; A ) da

folgt, erhalten wir unter Beriicksichtigung yon (13a) ftir a > 0

d ~ (A ; B.) - - 2 F ( A ) ( F ( A ) - - F ( A ; B . ) ) + 2 F ( A ) F ( A - - B , , ; A ) .

da

Aus (11 b) liiBt sich nun schon sofort auf

d ~ (A ; B~) da _< 0 (15)

schlieBen. Is~ % noch durch A D B~0 und F ( A - - B,,o) = 0 festgelegt, so haben wit offenbar ~Y(A ; B,,o) ~ 0 und k0n-

\ ~ ' nen vermittels (15) die zu erweisende Ungleichung X4 ~ (A ; B) >_ 0 gewinnen.

3. Das gollst~ndigkeitsproblem. Zun/iehst folgern wir aus den Ungleichungen (5) durch Elimination yon xa

�89 � 8 9 �89 I, xl - - x4 ) • x2

und mithin x~ > x~. Bei vorgege- benem x 1 und x~ (0 < x 2 < xl) wird

~ t L - - - - P I ~ A P2 )~5 durch die Ungleichungen (5) so- dann ein dreiecksf0rmiger Bereich

A (P1, P~, Pa) der %, x4-Ebene definiert (Fig. 1), bei dem Seite P1P2

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auf die x3-Achse, Seite P2 P3 auf die Parabel C : 4 x 1 x4 _< (3 XlA- x~-- x3) z

und Seite PaP 1 auf die Gerade G : x 3 -~ X 4 = 2 ( X 1 -[- X2) f/tilt. Im Falle x 2 = 0 haben wit dabei die Grenzlage vor uns, dab G die Tangente zu C darstellt , und im Falle x 2 = x~ die Grenzlage, dab die drei Punkte PC (] = 1, 2, 3) zusammenfallen.

Die Bereiche A (4) und B(2 ;/~) = A (4) mOgen nun durch zwei Tra- peze dargestellt werden, die ein Paar gleichliegender rechter Winkel be- sitzen und deren Abmessungen h und a, b fiir HOhen und parallele Seiten durch

a (A (~)) = (1 ~- 2) x~

(4)) = (1 -- 4)x

h (B

l + X �9 _ _ X 2

#

1 - - , t

gegeben sind, wobei die Parameter 2 und # dutch 1

0 < 4 < 1 " x2 < # < ., ' �89 X2

X l

eingeschr/inkt seien. Wir bemerken, dab bei diesen Einschr~nkungen A (4) ~ B(2 ;/t) gew/~hrleistet bleibt, und notieren zudem :

F ( A ( 2 ) ) = x~ , F ( B ( ~ ; # ) ) = x 2 .

Man erkennt nun weiterhin, dab die Inhal te F (A (4) -~ B(~; /~)) und F (A (4) -- B(~ ; #)) stetig yon 2 und/~ abh/ingig sind. Bei festem/~ wird daher verm0ge

x 3 = F ( A ( 2 ) + B(~ ;/~)) , x4 = F ( A ( ~ ) - B(2 ; #)) (16)

ein stetiges Kurvenst i ick F~ der x3, x4-Ebene besehrieben, dessen End-

punkte -- wie wir gleich sehen werden -- auf den l~andbogen PaPI

bzw. P2P3 yon A zu liegen kommen. Da die Bereiche A (0)und B(0 ;/t) einander seitenparallele Rechtecke darstellen, verifiziert man n~mlich miihelos, dab ffir sie in Ungleichung (3a) Gleichheit eintri t t . A(1) und B (1 ; #) werden hingegen dutch rechtwinklige Dreiecke mit gleichliegen- den Ka the t en repri~sentiert, ftir die ersichtlich in Ungleichung (3b) Gleichheit Platz greift.

X2 Wit haben nun nu t noch zu bemerken, dab F~ ftir # = - - mit einem

Stiiek der xa-Achse zusammenf/fllt , und dab F~ sich ftir # -+ x~, da A (4) dann zu B(~ ; #) homothet isch wird, au f den Eckpunk t P3 yon A

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zusammenzieht, um aus der stetigen Abh~ngigkeit der F~ v o n # zu er- schlieBen, dal~ durch jeden Punkt yon A ein Bogen /'~ hindurchgeht. Mithin existiert zu jedem Punkt P E A ein Parameterpaar 2, #, dessen zugeh(irige Bereiche A (~) und B(2 ;~ ) dem Punkt P verm(~ge (16) zu- geordnet sind. Da wit die Gr0i~en yon x 1 und x 2 dabei nur unter Beach- tung der aus (5) flieBenden Bedingung 0 ~ x 2 ~ x I beliebig vorgegeben hatten, ist die Richtigkeit der eingangs formulierten Aussage damit dar- getan.

(Eingegangen den 29. September 1952.)

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