Eine Erzeugende der Hermitesehen Polynome, deren Grundgebiet die Ebene ist.

Yon

Lothar Koschmieder in Briinn.

Die in der :Form

| ~ exp ( - - ~ ) (]) H,,(z) = ~-- 1)- exp ~ d-- ~

darstellbaren Hermiteschen Polynome bringt der Ausdruck

n

wiehtige Weise erzeug~ sie die Mehlersche hervort). Au~ eine zweite Formel

0, r ~,

' / X ' 1 s [2 x X - - s (x = "r" X ' ) ] = ~.. H,= (x) H,~ ( X ) . (2) g ~ - ~ exp ~-s~) . .

Watson hat sic k~rzlieh auf drei Arten bewiesen% Hier werde ich ein (~egenstaek zu (2) in zwei Ver~nder]ichen ge-

winnen. Es betrifft die Hermltesehen Polynome s)

0m+n (3) H,,,~(x,y) = (--1)~+"exp[�89 cp (x, y)] - - - - , , exp [-- �89 7~(x,y)] ar und die ihnen in der Ebene biorthogonal zugeordneten

0m +n (4) a ~ . (X, y) = (-- 1) = +" exp [�89 ~ (r, ~)] 0 =m a ~-------~ exp [2- �89 ~ (~, 19)].

Hierbei ist (5) q ~ ( x , y ) = a x ~ + 2 b x y + c y 2, a > 0 ~ c > 0 , A = a c - - b ~ > O

eine ent~chieden positive quadratische Form,

(6) x == a z + by, ~ = ' b x + cy

i) VgL P. Appell und J. Kamp6 de F6riet, Fonctions hyperg6om6triques st hypersphfiriques. Polynomes d'Hermi~e (1926), S. 331. Ich ffihre dieses Werk

m i t A.-K. an. 2) G. N. Watson, Journal of th~ London Mathematical Society 8 (1933),

S. 194--199. Die dortige Gestalt der Mehlerschen Formel geht in (2) fiber, wenn man dorb H, (x) dutch 2 n/2 H n (x V ~) ersetzt.

s) A.-K., S. 369--387.

L. Koschmieder, Eine Erzeugende der~Hermiteschen Polynome flit die Ebene. 249

mad

c ~ 2 b a to~ ( 7 ) V( ,to) = - - =

die zu r adiungierte Form. Die H ~ , , G~n werden yon den Ausdriicken

o, ~ pm

ltSct ~ n

p~ q" e x p [ p z § 1 8 9 p,q)l = ~ m - - ~ G ~ ( z , y )

erzeugt. Wie x, y seien weiterhin X, Y beliebig reeU, s, t reell~).

Die erste der Mehlerschen Formel (2) entsprechende Entwickluny lautet, wie ich behaupte,

0 r c o 8 m t n

(8) ~ ~., 7i. q,~ ~ (z, Y~ G,.. ix, Y) !r f/,

_~ A ~ 1 1 V(s t + / I )'~ - (c s + a t)~ exp ~ 2 is t + A)~ - - (c s + a t)~

�9 [s~(cA -- a t ~) ( ~ + X ~) + t~(aA -- cs ~) (y~ -t- Y~)

- - 2 b s t ( s t + A) ( x y § X Y) + 2 b s t ( c 8 + a t ) (x Y - t - y X)

- - 2 s ( ~ - - b ~ s t - - a ~ t 2) x X - - 2 t ( A ~ - - ~ s ~ - - b ~ s t ) y Y ] }

sie gilt, wenn der P u n ~ R (s, t) in dem den Ursprung (s = O, t = O) ent- haltenden Viereck b verbleibt, das die jeweil~ im ersten, . . . , vierten Qua- dranten'verlau/enden BSgen der vier HyTe~'bdn

( 9 ~ ) s t - - o s - - a t § zJ ----- O, (9~) ~ t - - c s § A = O ,

(9s) st § cs § at § d ---- 0, (9~) s t § cs -- a t -- A ~ O

dutch ihre Schnit~punkte (0, a -~ d), ( - - c -~ ZI, 0), (O, -- a -~ A), (c -~ z~, 0) b/h/en (s. Fig. 1, a ---- b ---- 2, c = 3).

Is t die etwas umf~ngliche, abet voUkommen iibersichtliche Formel (8) bewiesen, so folgt aus ihr ohne weiteres eine zweite, auf die H ~ beziig- liche; denn man geht yon den G~, zu diesen fiber, indem man ~) x, y durch ~, tO (6), entspreehend X, Y dutch

(10) :~ = a X-4- b Y, O ---- b X W c Y

4) Ich unterlasse es hier, auch komplexe Werte dieser GrSBen in Betraeh~ zu ziehen.

5) A.-K., S. 370.

250 L. Koschmleder.

und c A - x , - - h A - X , aA-1 durch a , b , c ersetzt. Man erhttlt dabei aus (8)a l s zweite der Forntel (2) entsprechende Entwicldung

Oy oo

(II) I 8'~ ?' .: ~ S.. (x, y) S.~ (X, Y)

-- 1 , 1 1

-- I / ( ~ a ~ + l ) 2 - - ( a s ~ t ) ' exp ~ ~(dst_~_i),--(~s+.ct) 2

�9 [8~(a - c ~ t ~) (z ~ + ~ ' ) + ~ (c - a ~ , ' ) ( ~ + ~ 3 ~)

+ 2 b s t ( A s t + 1) (z~) -I- ~ ) ) - 2 b s t ( a s + ~0 ( x ~ + ~ ) ~ )

- - 2~ (1 - - b"~t - # # ) ~ - - 2~(1 - - ~ - b~ ~0 r ) ~ ] } ;

sie gilt in dem den Umprung enthaltenden Viereck, das die Hyperbeln

(12~) A s t ' a s - - ~ t - } - l = O , (12,) Z l s t - - a s ~ c t - - l = O ,

(128) A s t ~ a s + c t + l = O , (12,) A s t - l - ~ s - - c t - - l = O bilden (Fig. 2).

J \ f

/ Fig. 1. Fig. 2.

S

Um nun (8) herzuleiten, bedienen wir uns desselben Yerfabrens wie Watson a. a. O. 2), S. 198 f. beim dritten, ibm yon G.H. Hardy mit- geteilten Beweise yon (2). Hardy bezeichnet es als unwahrscheinlich, dab dieser auf der IntegraldarsteUung der Polynome (1) beruhende Beweis yon (2) neu sei; es sei mir gestat~t , zu bemerken, dab er sich in der Tat 1914 in einer Arbeit yon Kapteyn e) finder.

6) W. Kapteyn, Vemlag Amsterdam 22 (1914), S. 1063 f.

Eine Erzeugende de r Hermi teschen Po lynome ffir die Ebene . 251

Die Integraldarstelhng der Polynome (4) Iautet 7)

(13) Ore. (x, y) = ~ exp [�89 ~ (z, 1))] (-- i ) '~ +"

+r +~o

j" j' e,,-p [ - .+ <p (,,, +.,) + .,: (++ ,+ + rj ,,)] , '+ ,," ,+ ~ ,+ .,,. - - , v o - - o o

Damit und mit dem entsprechenden Ausdruck der Gin. (X, Y) bildet man die Summe

0~ c ~

Z ~ m f 114) 6~ = ~., ++--+ Gm.(~,y)O,~.(X, Y)

m , f l ,

+oo +oo +m +ao

A

= + ++ ,,, ,++. +,, + + ,,, <+. +,+ 2~ l wo ]r l l tz

Y2(u,v,U, g) = e x p [ - �89 ~o ( u , r ) - �89 ~(U, V) + i(~u + ~v + t U+ } V)], ,,+,. l',"+

o ~ . (u, r, U, V) = ( - 1)~ +" - - =- . " +" U" g".

Hier daft man die Reihen/olge von Integration und Summierung um- kehren, wenn d ~ Integral

I I ! I .o. 2~176 - - o o - - , o o - - c o - - ~ ~I,+ 'I"+

+m +oo +oo +oo

: I I S I exp [--�89 9o (., v) - - �89 ~ (U, V)]

0 r o 0

" Z l's"" V'l~ I+'.' Vl '~ +u++ dU dV m+ n t

- m I + - V l - m I,+ ',., v l l } ,+, a,, + u a v konvergiert. Das ist aber der Fail, wenn die in der letzten eckigen Klammer enthaltene quadratisehe Form der vier Ver~nderlichen u, v, /7, V, in der wir (15) ls l - - a', It I =

~) A.-K., S. 376. Die dort igo Formol (37) h a t eine yon unserer (13) e twas abweiohende Ges ta l t ; u m auf (13) zu kommen , ersetze m a n in der e rs ten Forme | de r dor t igen Nr. C X X I I I ~ duroh u - - i x, v d u t c h a - - i y u n d ffzhre s t a t t x, y die Gr6Ben (6) ein. ] ) a n n bilde m a n die (~ , (z, y) nsoh (4).

252 L. Koschmieder.

setzen, entschieden positiv ist; sie ist es, wenn 8) die vier Hauptminoren ihrer D~skriminante 9)

t a b - - a 0

D = b c 0 - - ~ - - a 0 a b

0 - - T b c

positiv sind. Ihre Ausrechnung fi3hrt zu den Bedingungen

(16) a > 0, (17) a o - - b 9 - A > 0 , (18) a A - - c a ~ > 0,

(19) (aT -{- A) g -- (ca + aT) s > 0.

Hiervon gelten (16), (17) nach (5). In ~) (9) trifft (18) zu, well dort a ~ c - 1/t, also

a/I - ca*__> a A - e - l z l ~ = c - ' A (ao - - / t ) = b % - , A > 0

ist. Schlielllich ist in I) auch (19)erfiil l t ; denn dort ist nach (9) im ersten und dritten Quadranten

(st + A)~ (cs + at) ~ > 0,

ira zweiten und vierten aber

(st -- A) 2 -- (r -- at) ~ > O.

Mithin ist in (14) die Relhenfolge tier genannten Verfahren umkehrbar, und es gilt daher auch

zt

�9 exp [-- �89 q (u, v) -- �89 ~ (/7, V) -- s st g -- t v V + i (~ ~ + t) v + �9 U + ~ V)].

Jetzt filhren wir der Reihe nach die vier Integrationen nach V, U, v, st durch, indem wit jedesmal die Formei'~ benutzen

(21) ~ e x p ( - a ' - } - 2 i t t ~ ) d ~ = ~/~exp(--/~).

Sie liefert fiir das Integral +=

- - o o

s) Vgl. G. Kowalewski, Einfiihrung in die Determinantentbeorie (1909), S. 230--239.

9) Ich schreibe D nut bei posltiven Werten der Ver~nderlichen an; sind diese tei]weiso oder s/~mtlich negativ, so ergeben sich Bedingungen, die mit (16), (17), (18), (19) gleichialls befriedi~r~ sind.

10) Vgl. Watson ~), S. 198.

Eine Erzeusende tier Hermiteschen Po!ynome ftir dle Ebeneo 255

mit F = ~ M (c ~ 0 nach(5)) den Weft

1 b U)] ~} ;

clahe~ wlrd aus (20)

(22) G ----- 4~ +~ +co

+ ~

�9 S , , o ~ I - . - +~. - ~ + - ~ , . ) i l .

Dae ]etzte, nac]l U zu nehmende InJ~e~a] en~litte]t mall n ~ h (21) mit der

Einsetzung U ----- /1, in der o~ -1 ~ 0 nach (5), und mit Riicksicht auf (10) zu

" = ~ I exp I-- ZP-J- j. I/~[AX + ,(c..- bt.)]} ,zl --co

folglich ve~infacht sich (22) zu

1 1

-j '-0~[- ~(o- ~)-' +'<,-.'~-]

Unter

+oo

dem letzten, nach v zu bildenden Integrale 48 ist der Faktor yon - - v 2 in D (9) entsprechend (18) positDo Setzt man in Js

so ergibt (21) mit Hilfe yon (10) -t-ao

254 L. Koschmicder, Eine Erzeugende der Hermitesehen Polynome fOr die Ebene.

mithin geht (23) fiber in 1 .___~__ 1 exl:) [ 1 V (~, t}) _l_ .E ~ (~, V)

(2a) a ~ l f iVr - . t ~ + ~

2r 2(r - - a t '~) (9 - - t - - c o

bS(A4-st) ~3 9

A-4- st

In dem jetzt noch verbliebenen Integrale J4 bringt man die erste eckige Klammer leicht auf die Gestalt

(A + s t P - - ( c s + a t ) s cA -- a t~

und iindet sie positiv; denn yon dem Nenner wurde dies bei Jz vermerkt, und derrZiihler ist entweder gleich der linken Seite yon (19), oder ist gleich

(A a~)' - ( c ~ - a t ) ~ = (A + a~)~ - ( c a + at) ~ + 4b~,~1:.

Wit s e t z e n in J ,

_ - V ~ V ~ - ~ t ~

und wenden (21) an; dann erhalten wit

J , = 1/-~ V(A + ,t)~ - (~, + ,,t)~ 1 cA --at" r A + . t t r)3q . j [

�9 e :~ { - ~ (.4 "+ ;~)~ - - ~ ; + , . ) . L ~ - s X - b o,~_~(~ - Tragen wit diesen Wef t in (24) ei'n, so ergibt sieh bei Beacimng yon (7)

A e x P l l q ( x , y ) + l (X,y) G = V(a + s t ) ~ - ( r

1 " " A --E~(bX ff-cY)S "2~cX~ 2lea --at% (bx'-Fcy-tY)~

i1 - - 2[(A + s t ) 2 - - ('~s -4- a t ) 9] ( c A - - a t e ) [( A~ - - b~ s t - - a 2 t ~) x - - b t (c s + at) y

- - s(cA - - at~)X + bt(A + st) Y]~} �9

Wenn man den Inhalt tier geschweiften Klammer als eine quaclratische Form der vier Veriinderlichen z, y, X, Y schre!bt, so findet man als deren Vorzahlen dutch einfachste Rechnung gerade die in (8) angegebenen Werte.

Die Formeln (8), (11) lassen sich in der Funktionalrechnung verwerten, wie ich ein andermal darzulegen hoffe.

(Eingegangen am 29. Juni 1937.)