Vol. XV, 1964 261

Eine Kennzeiehnung der orthogonalen Gruppen unter den unifiiren Gruppen

Von

MARTIN G6TZKY

1. Begriffe. Es sei K ein SehiefkSrper yon Charakteristik Ch (K) :~ 2 und V ---- V (K) ein n-dimensionaler Linksvektorraum fiber K mit n >-- 2. K besitze einen involutori- schen Anti~utomorphismus ~. Aul3erdem sei eine nicht ausgeartete, ~-symmetrisehe Semibilinearform [ auf V(K) gegeben. Das Paar V, / nennen wir einen unitSren Raum und sehreiben V (K, [).

Uber den Zusammenhang zwisehen unit~ren Rgumen V(K,/) und Desargues- sehen projektiven R g u m e n / 7 mit Polaritgt ~ kann man sich etwa bei B A ~ [2] orien- tieren. Wir wolten hier nur erwghnen, dal3, wenn V (K) und/iT einander zugeordnete R~ume sind, jedes ] auf V (K) eine Pol~ritgt g yon/ / reprgsen t ie r t . - -

Dem unit~ren Raum V (K, / ) ordnen wir die Gruppe Un (K, [) aller linearen Ab- bildungen yon V(K) auf V(K) zu, die [ invariant lassen. Sie heil~t unitiire Gruppe. Wie DIV.UDONrr~ in [3] bewiesen hat, wird die Un (K, [), solange n ~ 2 und Un (K, [) :~ ~: Ue (F4) ist, dureh das System der unit5ren Abbildungen erzeugt, die eine nieht

isotrope Hyperebene yon V(K) vektorweise lest lassen. Diese besonderen unit~ren Abbildungen nennen wir Quasispiegelungen (DrEvDO~N~ sprieht yon quasi-symme- tries) und bezeiehnen sie mit dem Buchstaben a bzw. a~. Neben den Quasispiegelungen werden ira folgenden auch diejenigen unitgren Abbildungen eine Rolle spielen, die eine isotrope Hyperebene yon V(K) vektorweise fest lassen. Wir nennen sie in An- lehnung an DIEVDONN~ Transvelctionen und bezeichnen sie ebenfalls mit a, g~. Die identische Abbildung soU weder Transvektion noeh Quasispiegelung heiBen. Wir er- wghnen noch, dal3 fiber den Zusammenhang zwischen den R~umen V (K,/) u n d / I , das Folgende auch projektive Bedeutung bekommt.

2. Bezeiehnungen und Formeln. Wir verfiigen fiber den Gebrauch gewisser Buch- staben. ~ und a sind sehon verbraucht. Alle iibrigen griechischen Buehstaben werden wir als Elemente yon K verwenden. Vektoren bezeiehnen wir durch kleine lateinisehe Buehstaben und schreiben qa fiir das durch a vermittelte Bild yon q. Sehliel31ieh sollen H und Hi Hyperebenen yon V (K) bedeuten. Is t H der zu q totalorthogonale Teilraum yon V~ H = {x I / (x, q) = 0}, so schreiben ~ r auch q~ ffir H. Als ngchstes stellen wir die Eigensehaften der Form [ zusammen, da sie im folgenden st~ndig benutzt werden.

(a) [( f l~+yb, c)=fl/(a,c)+~,f(b,c); /(a, f lb+yc)=f(a ,b) f l~+/(a ,c)y ~.

2 6 2 M. GSTZKV AaCH. MATH,

(b) / ( V , a ) = O dann a - = 0 .

(c) /(a,b) ~ = f(b,a).

(a) bedeutet , da~ / semibilinear, (b), dal] / nicht ausgeartet, und (c), da[3 ] :r ist.

Ffir Quasispiegelungen und Transvek t ionen gibt es eine gemeinsame Darstel lung in Fo rm der Abbildungsgleichung (1), die wit unseren Rechnungen zugrunde legen werden.

(1) x ~ = x - - / ( x , q ) 7 " q ; 7 * 0 , q . 0 , 7 - 1 + ( 7 - 1 ) ~ = / ( q , q ) .

Zu (1) ist folgendes leicht einzusehen: Ein jedes Paa r 7, q, das den Bedingungen 7 ~ 0, q =~ 0, 7 -1 + (7-1) a = / ( q , q) geniigt, definiert nach (1) eine Abbi ldung a, die die I-Iyperebene q-~ vektorweise lest lg[~t. Die Bedingung 7 ~ 0, q ~ 0 schlieBt die identische Abbi ldung aus, und 7 -1 + (7-1) ~ = / ( q , q) ist notwendig und hinreichend ffir / (x a, ya) = ] (x, y) ffir alle x, y e V. Daher ist a Quasispiegelung bzw. Transvek- tion, wenn ](q, q) ~ 0 bzw. / (q , q) = 0 ist. Zu jeder Quasispiegelung bzw. Transvek- t ion a gibt es ein P a a r 7, q, das dieselbe umgekehr t nach (1) definiert. ~ ist insofern yon der zufs 1Wormierung yon q unabhgngig, als die Paare 7, q und ( ~ 7 ~, (~-lq fiir jedes ~ e K die gleiche Abbi ldung definieren, a -1 geht aus a hervor, indem 7 durch 7 ~ ersetzt wird. Die Quasispiegelung a mi t 7 = 7 ~ ist involutor isch und he i s t Spiege- lung. Wegen 7 -1 + (7-1) ~ = ] (q, q) erh~lt m a n aus (1) die Spiegelungsgleichung (2).

( 2 ) x ~ = x - 2 / ( x , q) ] (q, q)-~. q; q . o, ] (q, q ) . o .

3. Der Satz yon BACItMANN. Eine unit~re Gruppe heil3t orthogonal, wenn :r ~ 1 ist. Wegen der Nebenbedingung 7 -1 q- (7-1) ~ = ](q, q) in (1) enthal t eine or thogonale Gruppe keine Transvek t ionen und als einzige Quasispiegelungen die Spiegelungen. W i t wollen nun einen einfachen Beweis fiir folgenden, yon F. BACHMA~ ~ufgestellten, Satz angeben.

Satz. Eine unitgre Gruppe Un (K, 1) mit n ~ 2 und Ch (K) :~ 2 ist dann und nur dann orthogonal, wenn in ihr der Satz yon den drei Spiegelungen gilt.

Der Satz yon den drei Spiegelungen ist ein yon F. BACHMAN~ zur Axiomat is ierung or thogonaler Gruppen herangezoger/er Satz, der besagt, da~ ein P roduk t a l ~2 a3 yon Spiegelungen af wieder eine Spiegelung ist, wenn - - bei einer Definition der a~ durch qi nach (2) - - das Tripel ql, q2, q3 linear abh/~ngig ist. Man sieht leicht ein, da~ a t a2 a3 immer eine Spiegelung ist, wenn ~ ---- a2 oder a2 --~ a3 oder a3 ---- a~ ist. Daher kSnnen wir, wenn im folgenden v o m Satz yon den drei Spiegelungen die Rede ist, immer annehmen, dab je zwei der ql, q2, qa l inear unabh~ngig sind.

Zum Beweis des Satzes yon B ~ C H ~ N benStigen wir einen Hflfssatz, den wir als n~chstes angeben und beweisen wollen~).

1) Als ich im April i962 auf einer Tagung in Oberwolfaeh erstmals fiber diesen Satz berich- fete, teilte mir Herr Prof. Dr. R. LI~OE~BERG mit, dab einer seiner Schiller, Herr ULriCH GRABOW, in einem unverSffentlichten Ylanuskript einen gleichartigen Satz aufgestellt und be- wiesen habe.

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Hilfssatz. Es sei a~ fiir i---= 1, 2, 3 entweder Quasispiegelung oder Transvektion. Dabei sei ai-durch ein Paar ~]i, q~ nach (1) gegeben. Welter seien die q~ paarweise linear unabhgngig und mSgen der Bedingung ql -~ q2 -~ qs = 0 geniigen. Dann ist al a2 aa dann und nur dann wieder Quasispiegelung oder Transvektion, wenn (ii) erfiillt ist.

3

(") /(q2, ql) - / ( q l , q2) + ~ . ((v71) ~ - v7 ~) = 0 . i ~ l

Wir beweisen den Hilfssatz. Es sei W der maximale Teilraum yon (K, V), der durch ~1 a2 aa vektorweise fest gelassen wird. Es ist dann offenbar:

w = =

Zum Beweis des Hilfssatzes haben wir zu zeigen, dal~ W eine Hyperebene yon V (K) ist, denn ist dies der Fall, so ist al a2 as ~= 1, und 1/il3t eine Hyperebene vektorweise lest und ist daher Quasispiegelung oder Transvektion.

Wir schreiben nun unter Benutzung yon (1) die Beziehung x . . . . ---- x ~3-~ ausf/ihr- lich auf.

z - - / (x, ql) ~1ql - / ( x , q2) ~2 q2 + / ( x , ql) ~1 I(ql , q2) ~ q2 = x - / (x, q3) ~ " q3.

Weft ql, q2 linear unabh~ngig sind und qa ---- - - q l - - q2 ist, zerFaUt diese Gleichung in die zwei folgenden:

1. ] (x , (v~- - va)ql - - ~aq~) = 0.

2. ! (x, (ns + v~ ! (qz, q~) v~) q~ - ( ~ - ~3) q2) = 0 .

Mit Pz ---- (V~ -- ~/3)ql - - ~]aq2 und (~a + 'l~{(q2, qz)~l~)ql -- ( ~ -- va)q~ = P 2 erhalten wir daher:

w = {~ 11 (~, p~) = l (x, p2) = 0 } .

Da nach (1) ~a ~= 0 ist, erhalten wit erst einmal p l ~ 0. Wegen (b) ist daher ]eden- falls W :r V und a l a2 a~ ~= 1. Weiter ist W genau dann eine Hyperebene, wenn p l und P2 linear abh~ngig shad. Nun shad P~ und ~02 genau dann linear abh~ngig, wenn es ein ~v e K gibt mit :

1. ~ (v~ - ~ ) = ~3 + v~/(q2, q~) v~. 2. q ~ = ~ - - ~a.

Wit eliminieren ~0 und erhalten:

(i) ](q2, q~) + (~ ) :~ + (vgJ) ~ - ~;~ = O.

Damit haben wir das Zwischenergebrris : Es ist a~ a2 as dann mad nut darm Quasi- spiegelung oder Transvektion, wenn (i) erfiillt ist. Wit brauchen also lediglich noch zu zeigen, da~ (i) und (ii) ~quivalent shad. Dazu benutzen wir elnmal die aus q~ ~- q2 A- ~- qa ---- 0 folgende Identit/~t (d), dann ehae Nebenbedingung aus (1), die wir unter (e) noch ehamal anffihren.

(d) /(qz, qa) +/(q~, ql) --/(q3, q3) -4-/(qz, q2) + / (q~ , q2) = O. (e) /(q~,q~)--~7~ 1 - ( ~ 7 ~ ) ~ = 0 ffir i = 1 , 2 , 3 .

Multipliziert man (i) mi t 2, subtrahiert (d) und ersetzt die /(qi, q~) nach (e), so erh/ilt man (ii). Da diese Rechnung umkehrbar ist, ist damit der Hilfssatz bewiesen.

2 6 4 M. G~)TZKu ARCH. MATH.

A n m e r k u n g . Sind die a , des H il/ssatzes sSmtlich Spiegelungen, so verein / acht sich (il) zu (iil).

Off) l (q2, ql) = l (q l , q~) .

Wir k6nnen jetzt den Satz yon B ~ C H ~ A ~ beweisen. Wir haben zu zeigen: Es ist dann und nur dann ~ = 1, wenn in der unit~iren Gruppe der Satz yon den drei Spiege- lungen gilt, den wir weiter oben angegeben haben.

Sei zungchst ~ ---- 1. Dann ist nach (e)/(x, y) = I(Y, x) ffir alle x, y e V. Aul~erdem haben wir schon frfiher festgestellt, dal3 es in diesem Fall keine Transvekt ionen gibt und die Spiegelungen die einzigen Quasispiegelungen sind. So k6nnen wir aus dem Hilfssatz, unter Berficksiehtigung der Anmerkung, auf die Gfiltigkeit des Satzes von den dvei Spiegelungen schliel~en.

Wir setzen jetzt umgekehr t die Gfiltigkeit des Satzes yon den drei Spiegelungen voraus, um ~ = 1 zu beweisen.

I.. Es gibt linear unabMingige und nicht isotrope Vektoren ql, qe mit /(ql, q2) * 0 oder es ist ~ = 1. Denn sei x * 0 ein Vektor aus V; dann gibt es wegen (b) einen Vek- for y :~ 0 mi t /(x, y) . 0. Sind nun x, y beide isotrop, so ist /(x, y ) - i . x + y nicht isotrop. Daher gibt es jedenfaUs einen nicht isotropen Vektor ql. Sei weiter z ~: 0 ein yon ql linear unabhgngiger Vektor m i t / ( z , ql) 4: 0. Es sind dann zwei Fglle mSglich : Erstens, es ist /(z, z) ~: 0. Dann setzen wir qe ----- z und sind fertig. Zweitens, es ist z isotrop. Dann nehmen wir ~ :~ 1 an, was fiir unsere Absieht zulgssig ist, und normie- ren z so, dal3 ] (z, ql) + ] (ql, z) = 0 ist. Mit diesem z ist nun qe = z + ql ein geeigneter Vektor, denn es ist dann ](q~, q2) = /(ql, ql) * 0 und / (q2, ql) = / ( z , ql) + / ( q l , ql) * O. Letzteres, weft ](ql, ql) ~ ----/(ql, ql) abet, wegen /(z, ql) + ](ql, z) = O, ] (z, ql) ~ = - - / (z , ql) ist, weshalb sieh /(z, ql) und /(ql, ql) nicht nur durch das Vor- zeichen unterscheiden k6nnen.

II. Jedes ? e K geniigt einer der Gleichungen 7~ + ? = 0, ?~ - - ? ~-- 0. Beim Be- weis dieser Behauptung k6nnen wir wegen I. annehmen, es seien nicht isotrope linear unabhgngige Vektoren ql, q2 mit ] (ql, q2) ~: 0 gegeben (ist ~ = 1, so ist ? - - ?a _-- 0 immer erffillt). Wir betraehten den Vektor - -q3 = - - q 3 ( / z ) = ql + / zq2 , wobei /~ , 0 beliebig aus K gew~hlt sein mSge. Is t dieser nicht isotrop, so definiert jedes q, fiir i---- 1, 2, 3 naeh (2) bzw. (1) eine Spiegelung Gi. Naeh dem Satz yon den drei Spiegelungen ist auch al a2 a3 eine Spiegelung. Deshalb erhalten wir aus dem Hflfs- satz, unter Beachtung der Anmerkung, wenn wir ? = #/(q~, qz) setzen:

(3) ~ = ,u l (q2, q~) = / ( q ~ , q2) ,u:' = y:' .

Sei nun ? :~ 0 irgendein Element aus K. ] )ann is t /z = ~'/(q2, ql) -1 ein wohl deft- niertes Element aus K, und wit haben zwei Fglle zu betrachten.

1. Fall : q3 (#) oder q3 ( - -#) ist nieht isotrop. Dann ist naeh (3)

? ~ = ? oder - - ? ~ = - - ? , also ?~----7-

2. Fall : q3(/~) und q~( - -# ) sind beide isotrop. Dann i s t / (qz + #q~, ql + #q~) = ----/(ql - - /zq2, ql -- #q2) = 0. Hieraus ergibt sieh ? = ~u/(q2, ql) = - - f (q l , q2)/z ~ ---- ---- - - ?~. Dami t ist die Behauptung bewiesen.

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I I I . Es ist g = 1. Beweis : Nach I I . gi l t f/Jr jedes y �9 K y~ = 7 oder ya = - - 7- Sei 7~ = - - 71. W i r zeigen, dab 71 = 0 ist.

Es is t 1 - - 7 1 = (1 + 7 1 ) a ~ - • Aus 1 - - 7 1 = - - 1 - - 7 1 wiirde 1 + 1 = 0 f o l g e n , a l s o i s t l - - 7 1 = l + 7 1 , d . h . 7 1 = 0 .

Demnach geni ig t jedes 7 * 0 de r Gleichung 7 ---- 7% womi t ~ = 1 bewiesen ist.

Literaturverzeiehnis

[1] F. B A c m ~ , Aufbau der Geometric aus dem Spiegelungsbegriff. Berlin-GSttingen-Heidel- berg 1959.

[2] R. BA~, Linear Algebra and Projective Geometry. New York 1952. [3] J. D~w)o~ze~, On the structure of unitary ~oTOUpS (II). Amer. J. Math. 76, 665--678 (1953). [4] R. K A ~ B F . R G , Grundgedanken einer Theorie der Gebilde zweiter Ordnung in Schief-

kSrpergeometrien. Diss., Bonn 1954.

Anschrift des Autors: Martin GStzky 23 Kiel DfippelstraBe 69/II

Eingegangen am5.12.1963