Vol. VI, 1955 327

Kurze Mittei lungen - Brief Reports - Communicat ions br~ves

Eine neue Berechnungsmethode der quadratischen Regelfliiche

Von KL~.US ANKE, Erlangen 1)

Einleitung

Bei der Untersuchung l inearer s tet iger Regelungen wird vielfach als Gfite- mass ftir die dynamische Regelabweichung x(t) die

oo

<~ quadrat ische Regelfl~che >)/N~(t) dt

0

verwendet ; dabei ist x(t) die (dutch gegebene Anfangsbedingungen festgelegte) LSsung einer gewShnlichen l inearen Differentialgleichung mi t kons tanten Koef- fizienten. Der Verlauf der Regelabweichung x(t) wird dann als besonders gfinstig angesehen, wenn dnrch geeignete Wahl der verffigbaren Koeffizienten die quadra- tische RegelflXche zu einem Minimum gemacht werden konnte [11, [2], [41 !).

Zur Berechnnng der quadrat ischen Regelfl~che scheidet der Weg fiber die explizite LSsung x(t) aus, da eben wegen der verffigbaren Koeffizienten diese LSsung im al lgemeinen gar nicht explizi t angegeben werden kann.

Bei Benutzung der Laplace-Transformat ion gelingt es, zu einem geschlossenen Ausdruck ffir die quadrat ische RegelflXche zu kommen; der Weg ffihrt entweder fiber dell komplexen Fal tungssa tz [1] oder einen Algori thmns [31.

In der vorl iegenden k r b e i t soll gezeigt werden, dass die Berechnung der qua- drat ischen Regelfl~che i,m Zeitbereich auch ohne explizite Kenntnis der LSsung z(t) gelingt.

Wi t formnlieren das Problem genauer: Es sei x(t) die dutch die Differential- gleichung dnx d n - l x dx

a n ~ - + ten_ 1 dtn_ ~ . . . + a l ~ - + a 0 x = 0 (1)

mit den Anfangsbedingungen

d~ t=0 dt n-ldn-lx ] x(o) = q0, = q~ . . . . . [t=o = q~-i (2)

bes t immte Funk t ion der Zeit. Wir setzen voraus, dass die Koeffizienten a o, a I, . . . . a n d e r Hurwitz-Bedingung geniigen. Dann gilt

d~x l i m ~ 7 ~ = 0, f t i r k = 0, 1,2, (3)

t---->oo dt . . . . '

und es exist ier t das In tegra l oo

.fo = 2 / x 2 d t .

0

1) Siemens- Schucker twerke-Aktiengesellschaft. 2) Die Ziffern in eckigen Klammern [] verweisen auf das Literaturverzeichnis am Schluss der

Arbeit.

328 Kurze Mitteilungen - Brief Reports - Communications br~ves ZAMP

Berechnung von Jo in e i n e m Be i sp ie l

\Vir d e m o n s t r i e r e n das Ver fah ren zur B e r e c h n u n g yon Jo zun/ ichst a m Beispiel ~r 3.

Die Di f fe ren t i a lg le ichnng ftir die F u n k t i o n x(t)

d~x d2x d x a3 ~ + a~ -d[ ~- + al d i - + a~ = 0

mit den A n f a n g s b e d i n g u n g e n

d x l d2x x(o) = qo, d ) - l t=o = q~' ~ ~=o = q~

und d e m Verha l t en im U n e n d l i c h e n

dx l i m x = 0 I i m ~ - = 0

t--> c~ ' t--~ oo 6~t

mul t ip l iz ie ren wir n a c h e i n a n d e r mi t x, dx /d t u n d d2x/dt~; es e n t s t e h e n so die Gle ichungen

d3x

d3x d x

aa dt 3 dt

d2.z d x ~ a2 ~ [ i - x -r- a~ ~ x + ao x x = 0 ,

d"x dx d x d x d x + a s dt~ " d~- + a~ d~" d ~ = a~ dF x = O,

d3x d2x d2x d2x d~x dx d2x aa dt 3 dt 2 ' a2 dt ~ dt ~ + al dt 2 d~- ~ a~ d t 2 x = O .

(4)

Wir in tegr ie ren diese Gle ichungen von Null bis U n e n d l i c h u n d b e a c h t e n dabe i die Anfangsbed ingungen , das Ve rha l t en im U n e n d l i c h e n und die fo lgenden, d u r c h par t ie l le I n t e g r a t i o n e n t s t e h e n d e n Re la t ionen :

oo oo oo

dsx d2x d~'x d x dl --qo q~ + 2- q~ j dta x d r = dt 2 x I dt 2 dt 0 0 0

oo oo oo oo

] dt 2 x dt = ~ x -- ~ d r = --qo ql . / \ dt ] dr ,

0 0 0 0

oo

dx 1

0

oo oo o0 oo

j dt 8 " d~ dt ~ dt [ f f \ - d ~ - ] dt = - -q l q2 - - j \ dt 2 ] dr , 0 0 0 0

o~ o0

J dt~ " d~- = - - Y q~ ' J dt" " dt~ d t = -- ~ - q~ . 0 0

Vol. vI, 1955 Kurze Mitteilungert - Brief Reports - Communications brgves 329

Mit den Abki i rzungen

oo oo oo

L = 2 ~2at, L = - j~er ex, Z = 2 J [ ~ - ) ut 0 0 0

ents tehr schliesslich aus (4) das l ineare Gle ichungssys tem

a0 -/TO _t_ a2 J1 = -T- a I Qlo -~ a2 Q2o -~- r Q30 ( = ~o) ,

a l JX I-7 a 3 J2 ~ ~0 Q01 -- ~2 Q21 - - a3 Q31 ( = - Q 1 ) , (5)

~o L + ~ L = +~o Qo~ + ~ Q12 + a~ Q~ (= Q~).

mi t den U n b e k a n n t e n Jo, J1, .]2 und den Abkt i rzungen

Q~o = Qo~ = q~ , Q2o = Qo~ = 2 qo q~ , Q~2 = Q2~ = q~ ,

Q~o = 2 qo q~ - q~ , Q3~ = 2 q~ q2 , Q~2 = ~ .

Fii r den a l lgemeinen Fa l l ist es vor te i lhaf t , die Matr ixschre ibweise zu ver- wenden ; wir gehen daher an dieser Stelle dazu fiber und se tzen

t~ 0 ~oa~~ Jo o Q~o Q2o Q3oi

a 1 i A = 0 a l a 3 , a = , J = J1 Q = i - Q o 1 0 - Q 2 1 - Q 3 1 .

a 2 o a o ~ 2 L Qo2 Q~2 o Q3~

a, 3

Das Gle ichungssys tem (5) schreiben wir d a m i t

A J = Q ~ . (6)

Wir 16sen (6) nach J auf und e rha l t en

j = A - ~ Q ~ . (7)

Fii r die uns hier du tch die Aufgabens te l lung allein in teress ierende U n b e k a n n t e f0 ergib t sich aus (7)

ao ~ ~ o ( a l a 2 - a o ~ 3 ) '

Das S y s t e m (6) ist genau dann e indeut ig aufi6sbar, wenn die D e t e r m i n a n t e [A [ der Mat r ix A v o n Nul l versch ieden ist ; dies wird abe t du tch die Erff i l lung der H u r w i t z - B e d i n g u n g gew~ihrleistet, denn [ A I i s t die Iqu rwi t z -De te rminan t e .

A l l g e m e i n e r Fall

Fi i r den a l lgemeinen Fa l l der Di f fe ren t ia lg le ichung (1) m i t den Anfangsbe- d ingungen (2) und d e m Verha l t en im Unend l i chen (3) ve r f ah ren wir analog. Wir mul t ip l iz ie ren also (1) der Re ihe nach m i t

d , x d tv , v ~ O, 1 . . . . . ~7,-- 1.

Die en t s t ehenden n -Gle ichungen in tegr ie ren wir yon Nul l his Unend l i eh un t e r B e a c h t u n g der Anfangsbed ingungen , des Verha l tens im Unend l i chen und der

330 Kurze Mitteilungen - Brief Reports - Communications brgves Z A M P

folgenden, durch par t ie l le In t eg ra t ion en t s t ehenden Re la t ionen :

oo

2 [ d ~ x . dv~ d r = { --O/*v falls/~+ v-~ 1 (2) j dt~ dt ~ - Q v v + (-1)F, J~v+,,//~ fal ls/2 § v ~ 0 (2) 0

# + v = 0 , 1 , . . . , 2 n - - 1;

mi t den A b k a r z u n g e n

/ ( ~ - v - 1 ) 1 2 ] ' ( / ~ - v - l ) 72 2 2 ~ ' (--1) ~-1 ql*-~qv+r*-I ~ (--1) qit*+v-lV~ /~ + v ~- 1 (2)

QV~= Q~/~ = / (r 1) ~

A : - J \ ~t~ ! " 0

Mit den Matr izen

A =

a o a '2 a 4 � 9 �9

0 a 1 a 3 a 5 . . . 0 a o a 2 a 4 .. .

0 . . . a~_ 1

; a =

a o

gt 1

i if"

!. I A_I

2 =

0 0 , o ,2=o . . - 0 n o - Q o , 0 - Q ~ I . . �9 -Q ,~ I

( - l ) ' - - Qo , , - , ( _ l p - 1 0~,~-1

schreiben wir das aus (1) durch die angegebenen Opera t ionen en t s t ehende Glei- chungssys t em

A y = f 2 ~ mi t der Lasung

y = A-~ 0 a . (8)

D a m i t ist die gestel l te Aufgabe auf die Niul t ipl ikat ion b e k a n n t e r Matr izen zurack- gef i ihr t und wird als ge15st angesehen.

M i n i m a l p r o b l e m

Es ist n ich t angebrach t , ftir den a l lgemeinen Ausdruck yon Jo, wie er sich aus (8) ergibt , das M i n i m u m aufzusuchen. Die e n t s t e h e n d e n R e s u l t a t e w a r d e n wegen der Al lgemeinhe i t der Anfangsbed ingungen und der jeweils m6gl ichen verschie- denen Anzah l der freien Koef f iz ien ten a~ zu unt ibers icht t ich werden.

Vol. VI, 1955 Kurze Mitteilungen - Brief Reports - Communications brgves 331

Fii r e inen zur Or ien t i e rung bei den A n w e n d u n g e n r e c h t gu t b r a u c h b a r e n Fal l geben wi t j e d o c h die M i n i m a l b e d i n g u n g e n an.

W i t se t zen zun~ichst q0 = 1, ql = q2 . . . . . q~-i = 0 und, ohne Beschr~inkung der Al lgemeinhe i t , a 0 = a~ = 1; s o d a n n sehen wir alle t ibr igen Koef f i z i en ten

~, a2, . . . , a~_ 1 als ver f i igbar an. Die Durch f f ih rung der n o t w e n d i g e n R e c h n u n g e n ergib t , dass u n t e r den g e n a n n t e n V o r a u s s e t z u n g e n J0 ein Min imum wird, wenn

(I l t a v = , v = O, 1, 2 , . . . , n - - 1, n

g e s e t z t wi rd ; m a n e rhg l t also fo lgendes K o e f f i z i e n t e n s c h e m a

a 0 a 1 6 2 a a a 4 a 5 a 6 c ~ a s

n = l 1 1 n = 2 1 1 1 n = 3 1 2 1 1 n = 4 1 2 3 1 1 ~ = 5 1 3 3 4 1 1 n = 6 1 3 6 4 5 1 1 n = 7 1 4 6 10 5 6 1 1 n = 8 1 4 10 10 15 6 7 1 1

fiir Di f fe ren t ia lg le ichungen , die bei den g e n a n n t e n A n f a n g s b e d i n g u n g e n die L6sung mi t m in ima le r q u a d r a t i s c h e r Regelf l i iche bes i tzen.

L I T E I R A T U R V E 1 R Z E I C H N I S

[1] H. SARTORIUS, Zweckmiissige Festlegung /rei wiihlbarer Regelungskonstanten, Disse r t a t i on 1945, TH. S t u t t g a r t .

[2] P. HAZEBROEK und B. I. VAN DXR WAERDEX, Theoretical Considerations on fhe Opt imum Ad jus tmen t o i Regulators, Trans . Amer . Soc. Mech. Engrs . 72 (195o).

[3] I-I. ]Bf3ctZN1;R, A Formula /or an Integral Occurring in the Theory ol Linear Servomechanisms and Control-Systems, Quat . Appl . Math . 10, Nr. 3 (1952).

[4] I-I. SARTORIUS, 1?as optimierungsproblem in der Regelungstechnik, 1Regelungs- t echn ik , H. 4 (1953).

S~f~ary

W h e n ana lyz ing l inear and s t e a d y cont ro ls t he so-cal led quad ra t i c con t ro l a rea is f r e q u e n t l y used as a measu re of qua l i ty for t h e d y n a m i c a l dev ia t ion of the control . All fami l ia r m e t h o d s used for ca lcula t ing t h e q u a d r a t i c con t ro l a rea are b a s e d on t h e Laplace t r a n s f o r m , A m e t h o d is p r e s e n t e d b y m e a n s of wh ich the q u a d r a t i c cont ro l a rea can be ca lcu la ted in the t i m e d o m a i n w i t h o u t expl ic i t knowledge of t h e con t ro l ' s d y n a m i c a l dev ia t ion itself.

(Eingegangen: 6. Januar 1955.)