Arch. Met. Geoph. Biokl., Ser. A, 19, 311--316 (1970)

@ by Springer-Verlag 1970

511.511

Institut ffir Meteorologie und Geophysik der Universitfit Wien

Eine neue Interpretation der vertikal integrierten Bewegungsgleichungen HELMUT PICHLER

Mit 1 Abbildung

Eingegangen am 5. Juni 1970

Zusammenfassung Die fiber die gesamte Atmosphfire gemittelten Bewegungsgleichungen im (x,y,p,t)-System k6nnen als Bestimmungsgleichungen ffir die Schwerpunkt- flfiche, die durch die Schwerpunkth6hen der einzelnen Luftsfiulen pro Einheits- querschnitt gegeben ist, gedeutet werden. Weiters wird gezeigt, daft zur Charak- terisierung des Zustandes der gesamten Atmosphfire durch den physikalischen Parameter der Schwerpunkth6he einer Luftsfiule die thermische Schichtung der Troposphfire allein nicht ausreicht, sondern die Stratosphfire mit herangezogen werden muff. Die Meso- und Thermosphfire spielen fiir die H6he des Schwer- punktes einer Lufts,iule der gesamten Atmosphfire keine Rolle.

Summary A New Interpretation of the Vertically Integrated Equations of Motion

The equations of motion, averaged over the entire height of the atmosphere, in the (x,y,p, t)-system may be interpreted as equations determining the surface of the centres of gravity of the various columns of air with unit cross-section. The thermal stratification of the troposphere alone is not sufficient for the characterization of the state of the entire atmosphere by the physical parameter of the height of the centre of gravity of this air column, but one has to take into account the stratosphere, too. The mesosphere and the thermosphere do not play any role for the determination of the height of the centre of gravity of an air column.

I n d e r v o r l i e g e n d e n A r b e i t soil d e r Z u s a m m e n h a n g zwischen d e n v e r t i k a l g e m i t t e l t e n B e w e g u n g s g l e i c h u n g e n u n d d e r S c h w e r p u n k t - fl/iche, d ie durch d ie H 6 h e n d e r S c h w e r p u n k t e d e r e i n z e l n e n L u f t -

312 H. PICkLeR

s/iulen pro Einheitsquerschnitt bestimmt ist, aufgezeigt werden. Aus- gangspunkt der Betrachtungen hiezu sind die Bewegungsgleichungen im (x, y, p, *)-System in der Form

+ v - V u+coTf--fv=--g-aT, (1)

+v. V v + o o ~ + I u = - - g Oy (2)

und die Richardsongleichung 0o~

V . v + - - o T 0. (3) Dabei bedeuten:

v = v (u,v) horizontaler Windvektor ,

~o = generalisierte Vertikalgeschwindigkeit, (0 o) V = ~-x + 7jy zweidimensionaler Nabla Operator,

f - vertikaler Coriolisparameter,

g = Gravitationsbeschleunigung,

z = H6he der Geopotentialfl/iche.

Als Randbedingung soll gelten:

An der Erdoberflfiche (p = Po) co = oo0, Am Rand der Atmosphfire (p = 0) co = 0.

Mit Hilfe yon (3) folgt aus (1) und (2)

Ou O~ Oz at }- V" (u v)@ (uo))--Iv=--g~, (4)

Ov 0 Oz at + F.(v (5) v) +-63- (~ ~~ + / u = - g - a T

Wendet man nun auf G1. (3), (4) und (5) den Operator

1 fo( ) dp (6) (-) = ~ o

an [1], so erh/ilt man

0~ UoC % 02 ot+V'(uv)+ ~ f ~ = - - g 0 7 '

O ~ Vo % 0 Ot +V'(vv)@-po @f~t=--g~y-y,

P o ) o ~ . v + F = o .

(7)

(s)

(9)

Neue Interpretation der vertikal integrierten Bewegungsgleichungen 313

Ffihrt man analog zur Turbulenztheorie ffir die Geschwindigkeits- komponenten und ffir die H6he der Geopotentialfl/iche

u = ~ (x, y, t) + u' (x, y, p, t)

v = ~ ( x , y , t ) + v' (x, y. p,t)

z = ~ (x, y, t) + z' (x, y, p, t)

ein, wobei die Summe der Abweichungen vom Mit telwert fiber die ganze Atmosphfire verschwinden soll, cl. h.

1 p~ ~-0f ( ) ' d p = 0 , (10)

so folgt aus (7) und (S)

0~ 02 ot ~ - v . ( ~ ) + v . ( u ' v ' ) ~ u0~0 f ~ = _ g , Po Ox OF ot ~- ~7 �9 (~ ;~) + v �9 ( v ' v ' ) + ~ - 0 + f ~ = - g V ~ Oy~

(11)

Mittelt man die Bewegungsgleichungen fiber die ganze Atmosph/ire, um einen mitt leren Bewegungszustand zu erhalten, so treten - - analog zur Turbulenztheorie - - im nichtlinearen Term der Bewe-

gungsgleichungen Zusatzterme in der Form V" (u' v') und V" (v'v') a u f .

Wir wollen uns nun der Interpretat ion yon ~ zuwenden. Die poten- tielle Energie einer Luftsfiule pro Einheitsquerschnitt zwischen z = 0 und z = ec ist gegeben durch

oo

P = f g o z d z (12) 0

und die Masse dieser Lufts/iule pro Einheitsquerschnitt

oo

M f ~dz. (13) 0

Denkt man sich die gesamte Masse M der Lufts/iule in ihrem Schwerpunkt vereinigt, so 1/it~t sich die potentielle Energie der Luf t - s/iule auch schreiben

P = M g h s . (14)

314 H. PICHLER

Daraus folgt die Hghe des Schwerpunktes einer Lufts/iule

oo f gezdz

h , - P _ o (15) Mg oo

g f edz 0 Mit Hilfe der statischen Grundgleichung erh/ilt man aus (15)

1 ~~ (16) hs=~o

Nach Definition (6) ist demnach ~ ---- hs. Somit kann (11) und (12) in der Form

O~ Oh Ot +V'(~)q-V'(u'V')q-u~ f ~ = --g Ox'S (17)

O~ O h s 0t + v . ( ~ ) + v . ( v ' v ' ) + v0o,0 + f ~ = _ g (is) Po Oy

geschrieben werden. Die vertikal integrierten Bewegungsgleichungen (11) und (12) bzw. (17) und (18) kSnnen somit als Bestimmungs- gleichungen fiir die Schwerpunktfl~iche, die durch die Schwerpunkt- hShen der einzelnen Lufts/iulen pro Einheitsquerschnitt gegeben ist, aufgefal~t werden. Oder mit anderen Worten: durch (17) und (18) wird der Gradient der Schwerpunkthghen bestimmt. Die Schwerpunktfl~che wird nicht nur durch den mittleren Wind ~7 al- lein, sondern auch noch durch die Zusatzterme u 'v ' und v ' v ' kon- trolliert.

Die SchwerpunkthShe h, selbst lfit~t sich folgendermagen berechnen: Betrachtet man eine Lufts~iule zwischen den Niveaus zi und zi+i so folgt nach (12) ffir die potentielle Energie einer solchen begrenz- ten Lufts/iule mit Hilfe der statischen Grundgleichung

& Pi : (Z iP i - -Z i+ lP i+l )~ -~h l f l rdp" (19)

Nimmt man ferner eine polytrope Schichtung der Atmosph~ire

g

an, so erh/ilt man aus (19) fiir die potentielle Energie

1 Pi=(z iPi - - z i+~Pi+1)4-77~(r ip i - - Ti+1Pi+l). (21)

Neue Interpretation der vertikal integrierten Bewegungsgleichungen 315

Dabei bedeuten:

p, = Luftdruck im Niveau zi,

T i = Temperatur im Niveau zi,

~'i = (Ti - Ti+ l)/(zi+ l - - zi) = vertikaler Temperaturgradient, A = g / R = 3,42 �9 10 -4 grad cm -~.

F/Jr die Masse M,i folgt mit Hilfe der statischen Grundgleichung aus (13)

1 Mi = g (p~ -- p~ + 1) (22)

und daher fiir die HShe des Schwerpunktes einer Lufts~iule zwischen den Niveaus zi und zi+l nach (15)

Da

1 [(ziPi (h~)i- Pi - &+~ 1 T Pi + 1)], (23) - - Z ~ + l P ~ + I ) ~ - ~ ( i P i - - T i + l

27 (hs)~ M~ = h8 X Mi (24) i

gelten muff, folgt somit ffir die Hghe der gesamten Lufts/iule, die sich von z0 bis ZH erstreckt

1[ ] Po - PH (Zo Po - - ZH pH) + Z (Ti Pi - - T i +1 Pi + 1) �9 (25) i=o 7i + A

Es erhebt sich nun die Frage, ob durch die Troposph/ire allein die Hghe des Schwerpunktes der gesamten Atmosphfire (pro Einheits- querschnitt) charakterisiert werden kann, oder ob die darfiberliegen- den Schichten noeh einen wesentlichen Beitrag dazu liefern. An Hand der US Standardatmosphfire 1962 [2] wurde diese Frage untersucht. Das Ergebnis dieser Untersuchung ist in Abb. 1 darge- stellt. Die ausgezogene Linie gibt die Abhfingigkeit der Schwer- punkthShe einer Lufts~iule yon der vertikalen Erstreckung der Atmosphfire, die strichlierte Linie den Temperaturverlauf mit der HShe an. Man sieht daraus, daff die Lufts~ule in der Troposph/ire bis zur Tropopause (naeh der US Standardatmosphfire) eine Schwer- punkthghe von 4416 m besitzt. Nimmt man noch die untere Strato- sph/ire (isotherme Schicht) hinzu, so steigt der Schwerpunkt auf 6227 m an. Schliefft man in den Kreis der Betrachtungen die Tropo- sph/ire und die gesamte Stratosph/ire bis zur Stratopause ein, dann erh/ilt man ffir die SchwerpunkthShe 7307 m. Die Mesosph/ire und

316 H. PICHLER: Eine neue Interpretation der Bewegungsgleichungen

die Thermosph/ i re l iefern wegen der ger ingen Luftdichte keinen wesentlichen Bei t rag zur H6he des Schwerpunktes. Die H6he ha

h s (km) T (~

8 - - - - , ' ~ J 320

, j / \'V / r - , ,

\ \

\ \ \ \ \

300

280

260

2,~0

220 \ \ 200 \ k.__ 180

8'0 160 0 2 0 ~0 6~?

h(km)

Abb. 1. Abh/ingigkeit der Schwerpunkth6he einer Lufts~iule yon der vertikalen Erstreckung der Atmosph/ire (ausgezogene Linie) und Verlauf der Temperatur mit der H6he (strichlierte Linie) nach der U.S. Standard Atmosphere 1962

steigt nur noch unwesentlich und erreicht mit 7318 m eine ,,S/itti- gung".

Wil l man den Zus tand der Atmosph/ire durch den physikalischen Pa rame te r ha charakterisieren, so gentigt es keineswegs nur die Radiosondenauswer tung bis zur Tropopause heranzuziehen, sondern man mug - - um mgglichst exakte W e r t e zu erhal ten - - die Struktur der Atmosph/ i re bis e twa 35 km (d. s. 5,59 mb) mitberficksichtigen, da die untere und die mit t lere Stratosph/ire einen nicht zu vernach- 1/issigenden Bei t rag zur Schwerpunkth6he der Atmosph/ i re pro Ein- heitsquerschnitt liefern.

L i t e r a t u r

1. THOMPSON, PH.D.: Numerical Weather Analysis and Prediction, p. 84, New York: McMillan Comp., 1961.

2. U.S. Standard Atmosphere I962: NASA, US Airforce, US Weather Bureau, Washington D. C., 1962.

Anschrift des Verfassers: Prof. Dr. HELMUT PICHLER, Hohe Warte 38, A-1190 Wien.