Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 57, 57-68

Eine neue Klasse von Modul formen und Modul funkt ionen II

Von M. EICHLER mit einem Anhang von R. BERNDT

Einleitung zum 2. Teil.

Es werden folgende Abkfirzungen benutzt: EM-Formen sind erweiterte Modulformen im Sinne von Teil I ([E]), das sind L6sungen der Funktionsgleichungen (1), (2) mit den genannten Eigenschaften in den Spitzen. JM-Formen sind Jacobische Modulformen, das sind EM-Formen, welche der Diffe- rentialgleichung

D ~o(z,o,a ) = 0

genfigen. D wird im folgenden D- geschrieben werden. Diese JM-Formen lassen sich in der Weise (7) darstellen mit der J-Form g (z, z) und z = Q - a z. J-Formen sind Jacobi-Formen im Sinne von [EZ]. M-Formen sollen schlieBlich elliptische Modulformen heil3en. Im fibrigen verwenden wir die gleichen Bezeichnungen wie im [E]. Die Numerie- rung der Paragraphen, Sfitze und Formeln wird fortgesetzt. Die EM-Formen k6nnen als Verallgemeinerung der J-Formen angesehen werden. Sie bauen sich in der Tat aus diesen auf. Vgl. dazu Satz 8. Eine wichtige Eigenschaft der in w 5 diskutierten Differentialoperatoren D- und D + ist ihre Vertauschbarkeit mit den Hecke-Operatoren (w 6). Rechnerisch leicht zugfinglich sind die Thetareihen, von denen w 7 handelt. In diesem Zusammenhang erweitern wit einen Gedanken von J. KRAM~R [Kr], wel- cher die Bijektion von J-Formen vom Gewicht k = 2 und Index 1, welche durch Thetareihen dargestellt werden, auf gewisse M-Formen vom Gewicht 2 in einfacher Weise sichtbar macht. Unter allgemeineren Bedingungen mul3 man sich hierffir auf die tiefliegende und komplizierte Darstellung von W. KOH~N [-Ko] des Shimura- Lifts stiitzen. Man k6nnte wfinschen, alle J-Formen in fihnlicher Weise durch ein arithmetisches Bildungsgesetz zu erzeugen und mit dessen Hilfe den Weg von Kohnen ebenso abzukiirzen, wie es im Falle der Thetareihen m6glich ist. Zur Vorgeschichte: Die J-Formen (sogar in mehreren Variablen) batten wir in [E 1] eingeffihrt, um eine Rangabsch/itzung ffir Siegelsche Modulformen aus Rangab- schfitzungen von M-Formen zu gewinnen. Eine Hfilfte der Verbindung zwischen beiden Arten von Modulformen, nfimlich die sogenannte Fourier-Jacobische Ent- wicklung Siegelscher Modulformen, vgl. [E Z], S. 72 war schon vorher von Piatets-

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ki-Shapiro gefunden worden. In [E Z] wurde eine weiter ausgebaute und abgerun- dete Theorie der J-Formen vorgelegt. Zahlreiche weiterffihrende Beitrfige wurden dort erw/ihnt, so dab wir auf diese hier nicht einzugehen brauchen. Eine Bemerkung zum Beweis von Hilfssatz 2. Die Entwicklung (21) mit irgendwet- chen Funktionen c,r (a) ergibt sich mittels des Ansatzes

~o (z, 4, a) = g ('c, 4 - az, a) e (-- m (4- trz) a)

und Anwendung der Substitutionen (~ 11) und 0 ~ 4 + 1 auf die Funktionalglei- chungen (1) und (2).

Herrn R. BERNDT danke ich ffir wertvolle Kritik.

w 5. Die Differentialoperatoren.

Diese sind

0 0 D- = ~a + T ~ 0 + 2 7 r i m ( 4 - a z )

0 2 0 2 ~ 0 D~= ~ + z ~ + k + 2zcim((o-az)- f f~-ka) . (24)

Der erstere wurde bisher mit D bezeichnet und in (6) eingeffihrt. Die Abhfingigkeit von m braucht nicht ausgedrfickt zu werden, dam stfindig fest gehalten wird. Die unten folgenden Hecke-Operatoren werden fiblicherweise als rechtsseitige Opera- tionen geschrieben. Wir mfissen sie hier aber als Linksoperatoren schreiben, weil sie mit den nur linksseitig schreibbaren Differentialoperatoren verknfipft werden.

Es seien (~ ~ ) ~ S L 2 ( C ) u n d ( # , v ) ~ 2 u n d d a m i t

(: Gk d q~(z, 4, a) = q9 ( c ~ , a 4 + ba, co + da)(cz + d) -k

T(It, v)(o(z,Q,a) = ~o(z,4 + la, a + v)e(m(a/ t - Ov)).

Es gelten die Vertauschungsrelationen mit Gk und Twie in (25)

(25)

und

D - G k = G k _ 1 D- , D - T = TD -

D~Gk = Gk +1 D~, D t T = TD~.

(26)

(27)

Hiernach ffihren D- und D ; E M - F o r m e n vom Gewicht k in solche der Gewichte k - 1 und k + 1 fiber. Es bleibt zu zeigen, dab die Funktionen D-~0 und D~-q~ wieder die Bedingungen (4), (5) befriedigen, l~brigens hfitte das schon in w 2 ausge- ffihrt werden mfissen, und die folgenden Zeilen gelten gleichzeitig als eine Ergfin-

Eine neue Klasse yon Modulformen und Modulfunktionen II 59

zung v o n w 2. Wie schon am Ende der Einleitung erwfihnt wurde, besteht eine Fouriersche Entwicklung

~p(z,O,a) = ~ cnr(a)e(nz + r(o - az) + m Q - az)a) . n,r

Schreibt man den Exponenten (n - ra + m a 2) z + (r - m a) 0, so folgt aus (4), dab nur Glieder mit 4 m n + r 2 > 0 auftreten. Die Koeffizienten cn, (o) sind (k + 1)-mal stetig differenzierbar. Es folgt weiter

d k (O-)k~(~,0,~) = ~ ~;~cnr(~)e(...)

und die analogen Entwicklungen an den anderen Spitzen. Hierauf gestiitzt sind die Schliisse in w 2 m6glich. Aus dieser Fourierschen Reihe kann man ersehen, dab die Funkt ionen D-~p und D~cp die Bedingungen (4) und (5) erfiillen. (26) lfiBt sich leicht verifizieren. Ebenso einfach erhfilt man die zweite Gleichung (27). Die erste Gleichung (27) erfordert mehr an Rechenarbeit. Fiir E M - F o r m e n cp eines Gewichts k > 2 gibt es einen zwar nicht kfirzeren, abet doch durchsichtigeren Beweis. Man bildet dazu die unbest immten Integrale

1

(~, o, a) - ( k - 2)~ ~o

Sie genfigen den Funktionalgleichungen mit (~ ~ ) c F

und fiir (St, v) c Z 2 :

T(# , v)CI)(z,O,a) = ~(z,O, tr)

Beide folgen leicht aus (1) und (2). Die Perioden Po (z, 0, o) bilden einen F-Cozyklus, und es ist

(~k-1 ~k-1 0 z k_ 1 r (Z, 0, a) = ~P (z, 0, o'), o z k _ l P~(z, 0, a) = 0.

Nun wendet man den Opera tor D - an:

D - ~ ( z , Q , a ) = ~P(z,Q,a), D - P~(z,O,a) = Qo(z,o,a) .

Es gilt nach (26)

o b) (a

= G1-k 7~ + Qc d c

60

und

M. Eichler

0 k & k O~(r = O.

Endlich wird k-mal nach r differenziert. Das 1/iBt sich so schreiben:

~o(~,Q,~):= N ~ (~ ,0 ,~ )=k!I ~ (~ ,Q ,~ ) (~ -0 -~ - ld~ ,

das Integral wird erstreckt fiber einen kleinen Kreis um den Punkt ~ -- z. Man findet jetzt erstens, dab ~p (z, Q, a) eine E M - F o r m vom Gewicht k + 1 bzgl. der Gruppe F ist. Zweitens ist laut Definition

1 i (qg~ + (r + 2Tcim(Q -- aOtp)( ( ,p ,a)(z -- O k - 2 d (

~'(~, o, ~) - (k 2)~ ~o

1 \ + - - J (q)o- 2 ~ i m a q O ( ( , Q , a ) ( z - Ok-l d (

(k - 2)! ~o

und deswegen

~p(z,Q,a) = ~--~ (D- q)(z,Q,a) + (k - 1)(q~o(r,Q,a ) - 2 n i m a q~(z,Q,a)

= D:tp (z, ~, a)

F fir die Differentialoperatoren gilt

D~_~ D- - D - D : = 4 u i m ( k - 1). (28)

Die Verifikation r eine etwas mfihsame Rechnung. I m Falle der Thetareihen (s. u.) kann man aber (28) leicht nachprfifen. Aus (28) folgt ffir h < k durch Indukt ion bzgl. h:

D~_~ . . .D~_h(D- ) h = ( O - ) h D ~ + h _ l . . . D : + # t (k ,h ) (D- ) h-~ Off+h_2. . .D: (29)

+ . . . + #h(k,h)

mit

#h (k, h) = (4 ~ im) h ( k - 1)! ( k - h - 1)!" (30)

Die weiteren Konstanten p~ (h, k) interessieren nicht.

Satz 7. Die Abbildungen r w-~ D-(Pk ~ - - ~Ok-1 sind surjektiv, und die Abbildungen q)k ~---~ O~q)k = q)k+l sind injektiv, falls m :# 0 ist.

Beweis. Ffir eine gewisse Potenz ist (D-) h q~k- 1 = 0 nach w 2. Nun schlieBt man aus (29), (30), dab ~o k_ 1 das D--Bi ld einer gewissen E M - F o r m ist, welche mittels D +, D - aus ~o k_ a gebildet wird.

Eine neue Klasse von Modulformen und Modulfunktionen II 61

Es wird (D-) h ~o k - - 0 angenommen. Wenn D~q) k - - 0 ist, SO bilden s/imtliche auf der rechten Seite von (29) auftretenden Operatoren ~o k auf 0 ab. Das ist wegen /~h (k, h) 4= 0 widerspruchsvoll.

Satz 8. Es sei wieder m * O. Eine EM-Form ~o k vom Gewicht k lgiflt sich folgenderma- flen zerlegen:

~o k = (O~-_ 1. . .O~) ~o~ + (D~-_ 1...D~-)tp~... + ~o~. (31)

Dabei sind die ~p~o JM-Formen, ndmlich

D- r = 0 (k o = 2, 3 . . . . . k). (32)

Die Summanden in (31) sind Eigenfunktionen des Operators D~_ 1 D- mit den Ei- genwerten

- 4 T c i m ( ( k - 2 ) ( k - 1 ) - ( k ~ 1 7 6 " 2 2

Beweis. Wenn k = 2 ist, so ist nach w 2: (D-) 2 ~o 2 = 0, also D-cp2 ist eine J M - F o r m vom Gewicht 1. Nach (E Z, S. 71) Theorem 5.7 ist dann D-~o 2 = 0. Daraus folgt, dal3 bereits tp2 eine J M - F o r m ist, wie behauptet wird. Dem folgenden Induktionsschlul3 schicken wir den Hilfssatz voraus: Die Abbildung

q)k ---} D+_ l D - q)k

ist bijektiv in dem Quotientenraum

E M k / J M k (EM-Formen modulo JM-Formen).

- Beweis. Wenn D~-_~ D-~p = 0 ist, so folgt aus der Injektivit/it von D~-_ ~, dab D-tp -- 0 ist, und folglich rp e J M k. Satz 8 sei nun bewiesen fiir alle Gewichte < k. Nach dem Hilfssatz ist jedes ~0k + 1 in der Weise

~ g k + 1 ~ O~D-lpk+ 1 .~_ ~Ok+O 1

darstellbar. Nach der Induktionsvoraussetzung ist ferner

D - ~ + ~ = ( 0 ~ - 1 . . . O ~ ) ~ o ~ + . . . + ~~

und daher

rpk+l = (Ok+...Of)~p~ + . . . + D; ~P~ + rp~ ~.

DaB die Summanden in (31) Eigenfunktionen yon D~_ 1 D- mit den angegebenen Eigenwerten sind, verifiziert man unter Benutzung von (32).

w 6. Die Hecke-Operatoren.

Wir nehmen im Folgenden ffir die Gruppe F eine Kongruenz-Untergruppe Fo (N),

( a ~) nehmen wir = 1 an. Fiir ein zu N teilerfremdes n sei und den Charakter ~( c

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M i = ( a i bi) Ci di

ein Repr/isentantensystem yon doppelseitigen Nebenklassen Fo (N)M~ F,, (N) mit den Eigenschaften

ai .. . . . di ~ Z , IMil = n z, g. g. t. (ai . . . . . d~) = rationales Quadrat.

Der Hecke-Operator ist nun

TkEM(n2) (Pk = n k - 4 E E T(lt, V)Gk(Min-1)CPk (33) l~,v mod n i

FiJr JM-Formen der Art (7) zeigt sich durch Vergleich mit I-EZ], w 4

Tk TM (n2) tPk = TkJ(n2) gk (Z, Z)) e ( -- m z a).

Aus (26), (27) folgt:

Satz 9. Es gelten die Vertauschungsrelationen

D- Tk TM (n 2) = n T~U_l D- , D + T~M(n 2) = n- 1 Tf,_ (n2)D +

Die Faktoren n bzw. n- 1 erkl/iren sich durch den in (33) vorgenommenen Normie- rungsfaktor n k-4. Nebenbei erw/ihnen wir noch die Isomorphien

T~(n z) ~ T~_ 1/2 (nz) ~ T~k- 2 (n).

die in (EZ, w 5) ausgefiihrt werden.

w 7. Thetafunktionen.

Die teilweise miihsamen Rechnungen vereinfachen sich im Falle der in w 2 eingeffihr- ten Thetafunktionen. Wir wollen sie aber ein wenig anders schreiben. Die Vektoren eines definiten Vektorraumes R / ~ schreiben wir in orthogonalen Koordinaten: x = (x 1 . . . . . X2k ). Dabei sei

I x l 2 = x 2 + . . . + x22k, ( x , y ) = x ly 1 + . . . + XzkYE, .

Ferner sei p (x) eine Kugelfunktion vom Grad h, welche also der Differentialglei- chung Ap (x) = 0 gen/igt. Es sei nun ein Z-Gitter ~ in R vorgelegt, dessen Vektoren Normen in 7Z haben: Ix 12 eT~. Ferner sei rein von 0 verschiedener Vektor in ~ . Dann ist

~9(z,Q,O') = ~ p(x -- a r )e ( z [x -- ar[ 2 + O(x,r) -- oalr l 2)

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eine EM-Form vom Gewicht k + h und Index m = Irl 2 bzgl. der Gruppe Fo (N), wo N die Stufe des Gitters 5e ist, und vom Charakter

~(~ ~)=(signd)k( (-1)kdet(~)~

Diese Schreibweise hat den Vorteil, dab die Kugelfunktion p (x) unabh/ingig von dem Gitter s definiert ist. Man verifiziert leicht

D-e(z lx - ar l 2 + Q(x,r)-~oalrl 2) = 0 (35)

und danach

mit

D-•(z, 0, tr) = ~ p'(x - ~r)e(vlx - 0"r[ 2 + Q ( x , r ) - 0 a l r l 2) (36) xe.s

p'(x trr) cqp(x - ar) ~i Op __ - - __ _ _ r i . Oa �9 Ox~

Ferner erh/ilt man nach kurzer Rechnung

mit

D+hO(z,Q, tr) = P(x-~r)e (v lx -~r l2 +Q(x,r)-Q~lrl 2) (37)

P ( x - ar) = 2h i ( (1 - k_h)p(x_f fr)~lx- trr l2 O(x--tTr) ) + I x - - t r r l 2 .

x~.~

Aus (36), (37) folgt miihelos (28) in diesem Fall. Wir erw/ihnen in diesem Zusammenhang die Verallgemeinerung eines Satzes von J. Kramer [Kr], Teil I I, Satz 2). Sie erfordert wieder etwas Rechnung. Wir wollen diese den meisten Lesern nicht zumuten und stellen daher den Beweis als Obungsaufgabe. Die definite Quaternionen-Algebra A mit der Diskriminante q2 sei vorgelegt; dabei sei q eine ungerade Primzahl. Die Elemente ~ von A werden durch die/ibliche Basis der Hamiltonschen Quaternionen in der Weise

: X o ~ - X 1 i 1 - ~ X 2 i 2 + X 3 i 3

dargestellt, n (~) und s (~) seien Norm und Spur von ~ und p (() eine Kugelfunktion der drei Variablen x~, x2, x3 vom Grad b. Dann ist fiir eine maximale Ordnung 0r der Algebra A

Ou(z,O,a) = ~" p(~- a)e(zn(~- a) + Qs(~)- Qtz) ~eOlt

eine EM-Form vom Gewicht h + 2 und Index 1 bzgl. der Gruppe Fo(q) und vom Charakter 1. Weil p (4) vonder Koordinate Xo nicht abh/ingt und folglieh aueh nicht yon a, ist D - 0 , (z, Q, a) = 0 und daher

O.(~,e,G) = O. (~ , z )e ( - z~),

64 M. Eichler

Ffir eine von q verschiedene Primzahl p zeigt Kramer:

T s (p2) Ou (z, z) = ~ t.~ (p) O~ (z, z), (38) v

dabei ist t.~ = 1, wenn J~ die Rechtsordnung eines ganzen Primideals der Links- ordnung J r und der Norm p ist; sonst ist tu~ = 0. In dem Beweis wird fiber p (4) keine Voraussetzung gemacht, jedoch fiberflfissigerweise p (4) = 1 angenommen. Im Falle p (4) = 1 wird die Matrix (tu~ (p)) in (38) folgendermaBen beschrieben: Es sei B (p) die Brandtsche Matrix der Algebra A. Dann gilt

(t~(p)) = B + (p) = �89 + B(qp)). (39)

Falls p (4) = P (x . x2, x3) eine Kugelfunktion vom Grad h ist, ordnet man ihr die Funktion

P(~) = p(x2o + x ~ - x ~ - x~, 2(x,x2-xox3), 2(xlx3-xox2) ) (40)

zu. Diese ist eine Kugelfunktion vom Grad 2h. Anstelle der gewShnlichen Brandt- schen Matrizen werden jetzt verallgemeinerte Brandtsche Matrizen Bh(P) ge- braucht, welche folgendermagen definiert sind: es sei P. (4) eine Basis dieser speziel- len Kugelfunktionen und

e . (it/) = ~ x.~ (~/) e~ (4) Y

die entsprechende Darstellung von A*. dann sind die Bh(P) in der Bezeichnung von [E 2] S. 105, Formel (15)

B h (n) = (b.i,~ j (n)) = (x.. (Aij) e]- 1 ).

Es gilt jetzt wieder (39), wobei die rechte Seite aber

B~(p)= �89 (Bh(P) A- Bh(Pq))

ist.

Kurz ausgedrfickt:

Satz 10. Falls die Kugelfunktionen p (4) = P (xl, x2, X3) den Grad h > 2 haben, gilt fiir die 7hetafunktionen ~ (z, z) bzgl. p (4) wieder die Formel (38), wobei die (t,v (p)) nach (39) berechnet werden, aber jetzt mit den modifizierten Brandtschen M atrizen B (p) und B § (p) beziiglich der Kugelfunktionen (40). Die Summen

B + (n) e (nz) n

sind jetzt Modulformen vom Gewicht 2h + 2.

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Literatur

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[E2] M. EICHLER, The Basis Problem for Modular Forms and the Traces of the Hecke Operators, Lecture Notes in Maths. No. 320, Springer Verlag Berlin-Heidelberg-New York 1973.

[EZ] M. EICHLER, D. ZAGIER, The Theory of Jacobi Forms, Progress in Maths. vol. 55, Birkh/iuser Verlag Boston, Basel, Stuttgart 1985.

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[Kr] J. KRAMER, Jacobiformen und Thetareihen, Manuskripta math. 54, 279-322 (1986).

Eingegangen am 5.6. 1986

Anschrift des Autors: Martin Eichler, 27, Im Lee, CH-4144 Arlesheim.