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This article was downloaded by: [University of Connecticut] On: 10 October 2014, At: 04:53 Publisher: Taylor & Francis Informa Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK Optica Acta: International Journal of Optics Publication details, including instructions for authors and subscription information: http://www.tandfonline.com/loi/tmop19 Eine Neue Metrik Für Das Automatische Korrigieren H. Brunner a a Ernst Leitz GmbH Wetzlar, Postfach 210/211, Germany Published online: 17 Nov 2010. To cite this article: H. Brunner (1972) Eine Neue Metrik Für Das Automatische Korrigieren, Optica Acta: International Journal of Optics, 19:2, 121-124, DOI: 10.1080/713818531 To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/713818531 PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information (the “Content”) contained in the publications on our platform. However, Taylor & Francis, our agents, and our licensors make no representations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness, or suitability for any purpose of the Content. Any opinions and views expressed in this publication are the opinions and views of the authors, and are not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of the Content should not be relied upon and should be independently verified with primary sources of information. Taylor and Francis shall not be liable for any losses, actions, claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages, and other liabilities whatsoever or howsoever caused arising directly or indirectly in connection with, in relation to or arising out of the use of the Content. This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Any substantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form to anyone is expressly forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found at http://www.tandfonline.com/page/terms- and-conditions

Eine Neue Metrik Für Das Automatische Korrigieren

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This article was downloaded by: [University of Connecticut]On: 10 October 2014, At: 04:53Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registeredoffice: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Optica Acta: International Journal ofOpticsPublication details, including instructions for authors andsubscription information:http://www.tandfonline.com/loi/tmop19

Eine Neue Metrik Für Das AutomatischeKorrigierenH. Brunner aa Ernst Leitz GmbH Wetzlar, Postfach 210/211, GermanyPublished online: 17 Nov 2010.

To cite this article: H. Brunner (1972) Eine Neue Metrik Für Das Automatische Korrigieren, OpticaActa: International Journal of Optics, 19:2, 121-124, DOI: 10.1080/713818531

To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/713818531

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Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all the information (the“Content”) contained in the publications on our platform. However, Taylor & Francis,our agents, and our licensors make no representations or warranties whatsoever as tothe accuracy, completeness, or suitability for any purpose of the Content. Any opinionsand views expressed in this publication are the opinions and views of the authors,and are not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of the Contentshould not be relied upon and should be independently verified with primary sourcesof information. Taylor and Francis shall not be liable for any losses, actions, claims,proceedings, demands, costs, expenses, damages, and other liabilities whatsoever orhowsoever caused arising directly or indirectly in connection with, in relation to or arisingout of the use of the Content.

This article may be used for research, teaching, and private study purposes. Anysubstantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan, sub-licensing,systematic supply, or distribution in any form to anyone is expressly forbidden. Terms &Conditions of access and use can be found at http://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions

OPTICA ACTA, 1972, VOL. 19, NO . 2, 121-124

Eine neue Metrik fur d�s �utom�tische Korrigieren

H. BRUNNERErnst Leitz Gm�H �etzl�r, Postf�ch 210/211, Germ�ny(Eingeg�ngen 3. Novem�er 1971)

�us�mmenf�ssung . Benutzt m�n zur Definition der Metrik �eim �uto-m�tischen Korrigieren optischer Systeme eine Line�rkom�in�tion der M�trix Cder zweiten A�leitungen der Gutefunktion n�ch den Konstruktionsd�ten �ndder Einheitsm�trix E

M=C+p . E, p>O,mit einem geeigneten p, so k�nn d�s in �1� �eschrie�ene Verf�hren numerischst��iler gem�cht werden.

1. EinleitungIn �1� wird eine Methode zum �utom�tischen Korrigieren vorgestellt, die die

T�ylorentwicklung der Giitefunktion p �is zum qu�dr�tischen Glied um denPunkt x0 im R�um der Konstruktionsp�r�meter �enutzt .

M

9'(x)=~ f2 ;zt~ 9,(xo)+gr�dg2(xo)T . (x-x0)+J(x-xo)T . C . (x-x0 ),d=1

(1)

x,(j =1, . . . , N) : Konstruktionsd�ten,f,(xl , . . . , x,.) (i =1M) : Fehler,

�299C,k =

�xi�xk �O .

Bei den Methoden, die eine Line�rentwicklung der Bildfehler �enutzen . wird 9'durch

T(x) = 9,(xo ) + gr�d gp(xo)T . Ox +O�T.AT . A . Ox

(2)

�pproximiertOx=x-� O ,

fj zfi(xo) + A . Ox, �;k = x' x0.k

Der Schrittvorschl�g, der innerh�l� des Gultigkeits�ereichs der Entwicklungen(1) �nd (2) zu einem Punkt fiihrt, in dem der Gr�dient von 97 verschwindet,ergi�t sich �ls Losung der Gleichungssysteme

0 = gr�d (p(xo ) + C . Ax,0 = gr�d q,(xo) + 2 . ATA . Ax.

Sind die M�trizen C �zw . AT . A nicht singul�r, so folgt

Ox = - C-1 gr�d gq(xo) = - 2 . C -1 . AT . fo

(3)Ox = - 4(AT . A)-1 gr�d 92(x0) � - (AT . A) -'AT . fo(xo)

mit gr�d gq(xo)=2 .ATf(xo) .

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Es k�nn nun vorkommen, d�B der n�ch (3) �erechnete Schrittvorschl�g Axin Richtung w�chsender Funktionswerte von (p zeigt, ein �eichen d�fiir, d�Bein S�ttelpunkt der Gutefunktion in der N�he liegt �nd Ox zu diesem fiihrt.Urn von diesem Punkt wegzukommen, wurde in �1� ein Schritt in Richtung deszum kleinsten (neg�tiven) Eigenwert von C gehorigen Eigenvektors vorgeschl�gen .Im folgenden soil nun gezeigt werden, wie m�n die doch recht zeitr�u�endeBerechnung von Eigenwerten �nd Eigenvektoren der M�trix C der zweitenp�rtiellen A�leitungen der Gutefunktion n�ch den Konstruktionsd�ten vermeidenk�nn, um von dem nicht erwunschten S�ttelpunkt wegzukommen .

2. Die Metrik �eim �utom�tischen KorrigierenDie Konvergenz, d.h. die Br�uch��rkeit eines Verf�hrens zur �utom�tischen

Korrektion h�ngt von der Metrik des D�tenr�umes ��, �lso d�von, wie A�st�ndeim R�um der un��h�ngigen V�ri��len {xj} gemessen werden . C�uchy'sGr�dientenmethode wird �llgem�in 'Methode des steilsten A�stiegs' gen�nnt,weil dgplds m�xim�l in dieser Richtung ist . Der A�st�nd zweier Punkte von-ein�nder, �nd �lso �uch ds, ist hier�ei definiert durch

d 2 = xTx =x1 2+x2 2 + . . . +�2N.

Der Vektor x ver�indet zwei �elie�ige Punkte im D�tenr�um . Multipliziertm�n die un��h�ngigen V�ri��len mit einem Sk�l�r, so erh�lt m�n einen �nderenA�st�nd �nd mithin eine �ndere Richtung des Gr�dienten . In der Optik gi�tes kein n�turliches M�B fur den A�st�nd, denn die V�ri��len-Krummungen,A�st�nde, Brechungsindices, Dispersionen-h��en verschiedene Dimensionen .Es ist nun nicht einzusehen d�B m�n d�s gleiche M�B fur �lle V�ri��lenzur Definition des A�st�nds nehmen soil . Der Richtung des steilstenA�stiegs kommt erst eine Bedeutung zu, wenn die Metrik definiert ist .

M�n k�nn z.B. fur jede Koordin�ten�chse eine �esondere Einheit �enutzen�nd erh�lt d�nn �2�

d2=m11x12 + m22x22+ . . . + mNNxN 2 .Eine weitere Ver�llgemeinerung k�nn erreicht werden, wenn der A�st�ndzweier Punkte definiert wird �ls

d2 = xTMx,wo�ei x die �eiden Punkte ver�indet �nd M eine symmetrische positiv definiteM�trix ist �2�, �3� .

Ist die Metrik so definiert, so ist die Richtung des steilsten A�stiegs einerFunktion T = gg(x1 , . . . , xN) gege�en durch

x= -M-1 . gr�dg2(xo ) .

(4)

M k�nn mit den o�igen Einschr�nkungen �elie�ig gew�hlt werden . Betr�chtenwir von diesem St�ndpunkt �us die �isl�ng �ek�nnten Verf�hren, so erkennt m�n,d�B M=E die C�uchy'sche Gr�dientenmethode liefert, M= HAT . A) fuhrtG�uB'schen Verf�hren der kleinsten Qu�dr�te, �nd die Methode, die die Schritte�eim G�uB'schen Verf�hren durch ein�us�tzglied xT .px d�mpft (DLS-Methode)h�t zur Definition der Metrik eine Line�rkom�in�tion der �eiden letztenM�trizen, n�mlich

M=A T .A+p .E, p>O .

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�ollen wir d�s in �1� �enutzte Verf�hren in these Betr�chtung einschlieBen,so k�nn C zur Metrikdefinition verwendet werden, sol�nge �lle Eigenwerte von CgroBer �ls Null sind ; C ist d�nn positiv definit �nd die Gutefunktion 99 wird inder Form (1) durch Ellipsoide im D�tenr�um �eschrie�en, die um den Punktzentriert sind, in dem der Gr�dient von 9 verschwindet .

H�t nun C neg�tive Eigenwerte, so ist C nicht positiv definit �nd d�mit zurDefinition einer Metrik un�r�uch��r . 9 wird nun durch Fl�chen zweiterOrdnung �eschrie�en, die S�ttelpunkte h��en . Der errechnete Schritt Ax, derinnerh�l� des Gultigkeits�ereichs der Entwicklung (1) zu einem Punkt fiihrt, in demder Gr�dient von 99 verschwindet, k�nn in Richtung w�chsender Funktionswerteder Gutefunktion fiihren . Um von dem S�ttelpunkt wegzukommen, wurde in�1� ein Schritt vorgeschl�gen, der in Richtung des zum kleinsten Eigenwert von Cgehorigen Eigenvektors zeigte .

Eine weitere Moglichkeit, von der un�r�uch��ren Richtung loszukommen,�esteht d�rin, d�B m�n �ls M�trix M fur eine Definition der Metrik-�n�logzu der DLS-Methode-eine Line�rkom�in�tion �us C �nd E zu R�te zieht

M=C+p.E, p>O.

Der Sk�l�r p > 0 muB groBer �ls der Betr�g des kleinsten (neg�tiven) Eigenwertsder M�trix C sein. Die Addition von p . E zu C �ewirkt eine Spektr�lver-s chie�ung der Eigenwerte von C urn p n�ch rechts ; somit sind �Ile EigenwertegroBer �ls Null �nd C ist �ls Metrikdefinition zul�ssig. Die Gutefunktion wirdnun wieder durch Ellipsoide �eschrie�en, �nd der Schritt

Ax = - (C+p . E) -1 gr�d T(xo) = - 2 . (C+p . E)-IAT . f(xo)

fiihrt in Richtung f�llender Funktionswerte von q', sol�nge die Gutefunktiondurch

92 = gq(x o ) + gr�d gq(x o)T . Ax + JAxT (C +p . E)Ax

in der Umge�ung des Ausg�ngspunktes xo richtig �eschrie�en wird .

3 Pr�ktische AnwendungDurch die Addition von p > 0 zur H�uptdi�gon�len von C wird die doch

recht l�ngwierige Berechnung der Eigenwerte �nd Eigenvektoren vermieden,�nd trotzdem �lei�en die Vorteile der Methode erh�lten, die durch die ex�ktequ�dr�tische Entwicklung der Gutefunktion gege�en sind .

In dem in �1� gezeigten F1uBdi�gr�mm ist �n der Stelle, �n der wegenUn�r�uch��rkeit des Schrittes Ax der kleinste Eigenwert �nd der entsprechendeEigenvektor �erechnet werden mussen, ein geeignetes p > 0 zur H�uptdi�gon�lenvon C zu �ddieren . N�ch Ausfiihrung des so errechneten Schrittes Ax �lsLosung des line�ren Gleichungssystems

0=gr�dgg(xo)+C' .Ax, C'=C+p .E

(5)

wird p . E wieder von C' su�tr�hiert �nd die in �1� gege�enen Iter�tionsformeln�enutzt, um �us der urspriinglichen M�trix C, der D�ten�nderung Ax �nd derGr�dientendifferenz gr�d q,(xo)-gr�dcp(x o +Ax) die fur den neuen Punktxo + Ax giiltige Entwicklung der Funktion 99 zu erh�lten .

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Bei dem in �1� gerechneten Beispiel-Korrektion eines Tess�rtyps-wurdeder 5. Iter�tionsschritt in Richtung des zum Eigenwert - 0,00999 gehorigenEigenvektors von C gem�cht, der den �ert der Gutefunktion von 7,82 x 10 -4 �uf2,43 x 10-4 �r�chte ; die ursprunglich vorgeschl�gene D�ten�nderung Ox w�rsel�st st�rk ged�mpft nicht �r�uch��r. Anstelle der Eigenwert�erechnungwurde nun p = 0,05 zur H�uptdi�gon�len �ddiert �nd mit diesem C' wurde d�sGleichungssystem (5) gelost ; Ox w�r nun �r�uch��r, d.h . der D�ten�nderungs-vektor zeigte in Richtung f�llender Funktionswerte von T, denn die �usnutz��ren50 des errechneten Schrittes �r�chten die Gutefunktion �uf den �ert 3,30 x 10-4 .D�s Beispiel wurde nicht weiter verfolgt . Es wird ��er nicht nur die zeitr�u�endeBerechnung der Eigenwerte �nd Eigenvektoren von C vermieden, �uch k�nn m�np �enutzen, um Schwierigkeiten �ei der Auflosung des Gleichungssystems

0=gr�d (p(xo) + C . Ax�us dem �ege zu r�umen . U�er die GroBe eines jeweils giinstigsten p mussenweitere V�erlegungen �nd Experimente Auskunft ge�en .

In �utom�ticlons designing the method �1� c�n �e m�de numeric�lly more st��le �y �p�r�meter define �y � line�r com�in�tion of the m�trix C �nd the unit m�trix E, n�mely�y M=C+pE 4 > 0), where p is chosen �pproxim�tely .

Si l'on utilise pour l� definition de l� metrique, lors de l� correction �utom�tique dessystemes optiques, une com�in�ison line�ire de l� m�trice C des derivees p�rtielles secondesde l� fonction de merite d'�pres les donnees de construction et de l� m�trice unite E

M=C+pE, p>0�vec unp conven��le, on peut rendre numeriquement plus st��le l� methode decrite d�ns �1� .

LITERATUR

�1� BRUNNER, H., 1971, Optic� Act�, 18, 743 .�2� FEDER, D. P., 1963, Appl. Optics, 2, 1209.�3� FEDER, D. P., 1965, Recent Adv�nces in Optimiz�tion Techniques, edited �y A. L�vi �nd

T. Vogl (New York) .

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