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This article was downloaded by: [University of Connecticut]On: 10 October 2014, At: 04:53Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registeredoffice: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK
Optica Acta: International Journal ofOpticsPublication details, including instructions for authors andsubscription information:http://www.tandfonline.com/loi/tmop19
Eine Neue Metrik Für Das AutomatischeKorrigierenH. Brunner aa Ernst Leitz GmbH Wetzlar, Postfach 210/211, GermanyPublished online: 17 Nov 2010.
To cite this article: H. Brunner (1972) Eine Neue Metrik Für Das Automatische Korrigieren, OpticaActa: International Journal of Optics, 19:2, 121-124, DOI: 10.1080/713818531
To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/713818531
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OPTICA ACTA, 1972, VOL. 19, NO . 2, 121-124
Eine neue Metrik fur d�s �utom�tische Korrigieren
H. BRUNNERErnst Leitz Gm�H �etzl�r, Postf�ch 210/211, Germ�ny(Eingeg�ngen 3. Novem�er 1971)
�us�mmenf�ssung . Benutzt m�n zur Definition der Metrik �eim �uto-m�tischen Korrigieren optischer Systeme eine Line�rkom�in�tion der M�trix Cder zweiten A�leitungen der Gutefunktion n�ch den Konstruktionsd�ten �ndder Einheitsm�trix E
M=C+p . E, p>O,mit einem geeigneten p, so k�nn d�s in �1� �eschrie�ene Verf�hren numerischst��iler gem�cht werden.
1. EinleitungIn �1� wird eine Methode zum �utom�tischen Korrigieren vorgestellt, die die
T�ylorentwicklung der Giitefunktion p �is zum qu�dr�tischen Glied um denPunkt x0 im R�um der Konstruktionsp�r�meter �enutzt .
M
9'(x)=~ f2 ;zt~ 9,(xo)+gr�dg2(xo)T . (x-x0)+J(x-xo)T . C . (x-x0 ),d=1
(1)
x,(j =1, . . . , N) : Konstruktionsd�ten,f,(xl , . . . , x,.) (i =1M) : Fehler,
�299C,k =
�xi�xk �O .
Bei den Methoden, die eine Line�rentwicklung der Bildfehler �enutzen . wird 9'durch
T(x) = 9,(xo ) + gr�d gp(xo)T . Ox +O�T.AT . A . Ox
(2)
�pproximiertOx=x-� O ,
fj zfi(xo) + A . Ox, �;k = x' x0.k
Der Schrittvorschl�g, der innerh�l� des Gultigkeits�ereichs der Entwicklungen(1) �nd (2) zu einem Punkt fiihrt, in dem der Gr�dient von 97 verschwindet,ergi�t sich �ls Losung der Gleichungssysteme
0 = gr�d (p(xo ) + C . Ax,0 = gr�d q,(xo) + 2 . ATA . Ax.
Sind die M�trizen C �zw . AT . A nicht singul�r, so folgt
Ox = - C-1 gr�d gq(xo) = - 2 . C -1 . AT . fo
(3)Ox = - 4(AT . A)-1 gr�d 92(x0) � - (AT . A) -'AT . fo(xo)
mit gr�d gq(xo)=2 .ATf(xo) .
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Es k�nn nun vorkommen, d�B der n�ch (3) �erechnete Schrittvorschl�g Axin Richtung w�chsender Funktionswerte von (p zeigt, ein �eichen d�fiir, d�Bein S�ttelpunkt der Gutefunktion in der N�he liegt �nd Ox zu diesem fiihrt.Urn von diesem Punkt wegzukommen, wurde in �1� ein Schritt in Richtung deszum kleinsten (neg�tiven) Eigenwert von C gehorigen Eigenvektors vorgeschl�gen .Im folgenden soil nun gezeigt werden, wie m�n die doch recht zeitr�u�endeBerechnung von Eigenwerten �nd Eigenvektoren der M�trix C der zweitenp�rtiellen A�leitungen der Gutefunktion n�ch den Konstruktionsd�ten vermeidenk�nn, um von dem nicht erwunschten S�ttelpunkt wegzukommen .
2. Die Metrik �eim �utom�tischen KorrigierenDie Konvergenz, d.h. die Br�uch��rkeit eines Verf�hrens zur �utom�tischen
Korrektion h�ngt von der Metrik des D�tenr�umes ��, �lso d�von, wie A�st�ndeim R�um der un��h�ngigen V�ri��len {xj} gemessen werden . C�uchy'sGr�dientenmethode wird �llgem�in 'Methode des steilsten A�stiegs' gen�nnt,weil dgplds m�xim�l in dieser Richtung ist . Der A�st�nd zweier Punkte von-ein�nder, �nd �lso �uch ds, ist hier�ei definiert durch
d 2 = xTx =x1 2+x2 2 + . . . +�2N.
Der Vektor x ver�indet zwei �elie�ige Punkte im D�tenr�um . Multipliziertm�n die un��h�ngigen V�ri��len mit einem Sk�l�r, so erh�lt m�n einen �nderenA�st�nd �nd mithin eine �ndere Richtung des Gr�dienten . In der Optik gi�tes kein n�turliches M�B fur den A�st�nd, denn die V�ri��len-Krummungen,A�st�nde, Brechungsindices, Dispersionen-h��en verschiedene Dimensionen .Es ist nun nicht einzusehen d�B m�n d�s gleiche M�B fur �lle V�ri��lenzur Definition des A�st�nds nehmen soil . Der Richtung des steilstenA�stiegs kommt erst eine Bedeutung zu, wenn die Metrik definiert ist .
M�n k�nn z.B. fur jede Koordin�ten�chse eine �esondere Einheit �enutzen�nd erh�lt d�nn �2�
d2=m11x12 + m22x22+ . . . + mNNxN 2 .Eine weitere Ver�llgemeinerung k�nn erreicht werden, wenn der A�st�ndzweier Punkte definiert wird �ls
d2 = xTMx,wo�ei x die �eiden Punkte ver�indet �nd M eine symmetrische positiv definiteM�trix ist �2�, �3� .
Ist die Metrik so definiert, so ist die Richtung des steilsten A�stiegs einerFunktion T = gg(x1 , . . . , xN) gege�en durch
x= -M-1 . gr�dg2(xo ) .
(4)
M k�nn mit den o�igen Einschr�nkungen �elie�ig gew�hlt werden . Betr�chtenwir von diesem St�ndpunkt �us die �isl�ng �ek�nnten Verf�hren, so erkennt m�n,d�B M=E die C�uchy'sche Gr�dientenmethode liefert, M= HAT . A) fuhrtG�uB'schen Verf�hren der kleinsten Qu�dr�te, �nd die Methode, die die Schritte�eim G�uB'schen Verf�hren durch ein�us�tzglied xT .px d�mpft (DLS-Methode)h�t zur Definition der Metrik eine Line�rkom�in�tion der �eiden letztenM�trizen, n�mlich
M=A T .A+p .E, p>O .
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�ollen wir d�s in �1� �enutzte Verf�hren in these Betr�chtung einschlieBen,so k�nn C zur Metrikdefinition verwendet werden, sol�nge �lle Eigenwerte von CgroBer �ls Null sind ; C ist d�nn positiv definit �nd die Gutefunktion 99 wird inder Form (1) durch Ellipsoide im D�tenr�um �eschrie�en, die um den Punktzentriert sind, in dem der Gr�dient von 9 verschwindet .
H�t nun C neg�tive Eigenwerte, so ist C nicht positiv definit �nd d�mit zurDefinition einer Metrik un�r�uch��r . 9 wird nun durch Fl�chen zweiterOrdnung �eschrie�en, die S�ttelpunkte h��en . Der errechnete Schritt Ax, derinnerh�l� des Gultigkeits�ereichs der Entwicklung (1) zu einem Punkt fiihrt, in demder Gr�dient von 99 verschwindet, k�nn in Richtung w�chsender Funktionswerteder Gutefunktion fiihren . Um von dem S�ttelpunkt wegzukommen, wurde in�1� ein Schritt vorgeschl�gen, der in Richtung des zum kleinsten Eigenwert von Cgehorigen Eigenvektors zeigte .
Eine weitere Moglichkeit, von der un�r�uch��ren Richtung loszukommen,�esteht d�rin, d�B m�n �ls M�trix M fur eine Definition der Metrik-�n�logzu der DLS-Methode-eine Line�rkom�in�tion �us C �nd E zu R�te zieht
M=C+p.E, p>O.
Der Sk�l�r p > 0 muB groBer �ls der Betr�g des kleinsten (neg�tiven) Eigenwertsder M�trix C sein. Die Addition von p . E zu C �ewirkt eine Spektr�lver-s chie�ung der Eigenwerte von C urn p n�ch rechts ; somit sind �Ile EigenwertegroBer �ls Null �nd C ist �ls Metrikdefinition zul�ssig. Die Gutefunktion wirdnun wieder durch Ellipsoide �eschrie�en, �nd der Schritt
Ax = - (C+p . E) -1 gr�d T(xo) = - 2 . (C+p . E)-IAT . f(xo)
fiihrt in Richtung f�llender Funktionswerte von q', sol�nge die Gutefunktiondurch
92 = gq(x o ) + gr�d gq(x o)T . Ax + JAxT (C +p . E)Ax
in der Umge�ung des Ausg�ngspunktes xo richtig �eschrie�en wird .
3 Pr�ktische AnwendungDurch die Addition von p > 0 zur H�uptdi�gon�len von C wird die doch
recht l�ngwierige Berechnung der Eigenwerte �nd Eigenvektoren vermieden,�nd trotzdem �lei�en die Vorteile der Methode erh�lten, die durch die ex�ktequ�dr�tische Entwicklung der Gutefunktion gege�en sind .
In dem in �1� gezeigten F1uBdi�gr�mm ist �n der Stelle, �n der wegenUn�r�uch��rkeit des Schrittes Ax der kleinste Eigenwert �nd der entsprechendeEigenvektor �erechnet werden mussen, ein geeignetes p > 0 zur H�uptdi�gon�lenvon C zu �ddieren . N�ch Ausfiihrung des so errechneten Schrittes Ax �lsLosung des line�ren Gleichungssystems
0=gr�dgg(xo)+C' .Ax, C'=C+p .E
(5)
wird p . E wieder von C' su�tr�hiert �nd die in �1� gege�enen Iter�tionsformeln�enutzt, um �us der urspriinglichen M�trix C, der D�ten�nderung Ax �nd derGr�dientendifferenz gr�d q,(xo)-gr�dcp(x o +Ax) die fur den neuen Punktxo + Ax giiltige Entwicklung der Funktion 99 zu erh�lten .
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Bei dem in �1� gerechneten Beispiel-Korrektion eines Tess�rtyps-wurdeder 5. Iter�tionsschritt in Richtung des zum Eigenwert - 0,00999 gehorigenEigenvektors von C gem�cht, der den �ert der Gutefunktion von 7,82 x 10 -4 �uf2,43 x 10-4 �r�chte ; die ursprunglich vorgeschl�gene D�ten�nderung Ox w�rsel�st st�rk ged�mpft nicht �r�uch��r. Anstelle der Eigenwert�erechnungwurde nun p = 0,05 zur H�uptdi�gon�len �ddiert �nd mit diesem C' wurde d�sGleichungssystem (5) gelost ; Ox w�r nun �r�uch��r, d.h . der D�ten�nderungs-vektor zeigte in Richtung f�llender Funktionswerte von T, denn die �usnutz��ren50 des errechneten Schrittes �r�chten die Gutefunktion �uf den �ert 3,30 x 10-4 .D�s Beispiel wurde nicht weiter verfolgt . Es wird ��er nicht nur die zeitr�u�endeBerechnung der Eigenwerte �nd Eigenvektoren von C vermieden, �uch k�nn m�np �enutzen, um Schwierigkeiten �ei der Auflosung des Gleichungssystems
0=gr�d (p(xo) + C . Ax�us dem �ege zu r�umen . U�er die GroBe eines jeweils giinstigsten p mussenweitere V�erlegungen �nd Experimente Auskunft ge�en .
In �utom�ticlons designing the method �1� c�n �e m�de numeric�lly more st��le �y �p�r�meter define �y � line�r com�in�tion of the m�trix C �nd the unit m�trix E, n�mely�y M=C+pE 4 > 0), where p is chosen �pproxim�tely .
Si l'on utilise pour l� definition de l� metrique, lors de l� correction �utom�tique dessystemes optiques, une com�in�ison line�ire de l� m�trice C des derivees p�rtielles secondesde l� fonction de merite d'�pres les donnees de construction et de l� m�trice unite E
M=C+pE, p>0�vec unp conven��le, on peut rendre numeriquement plus st��le l� methode decrite d�ns �1� .
LITERATUR
�1� BRUNNER, H., 1971, Optic� Act�, 18, 743 .�2� FEDER, D. P., 1963, Appl. Optics, 2, 1209.�3� FEDER, D. P., 1965, Recent Adv�nces in Optimiz�tion Techniques, edited �y A. L�vi �nd
T. Vogl (New York) .
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