Eine unmittelbar programmierbare versieherungsmathematisehe Bezeichnungsweise

Zur Trans/ormation der versicherungsmathematischen VerS#entHchungssprache in eine /iir problemorientierte Programmiersprachen geeignete Darstellung

Von Edgar Neuburger (Mtinehen)

Dem 18. Internationalen KongreB der Versicherungsmathematiker*) in Miinchen liegen yon Boehm, Reichel et al. ,,Vorschldige ]iir eine internationale versicherungs- mathematische Ver6Uentlichungssprache und ihre computer-vertrdgliche Darstellung" vor, in dem eine linearisierte Kodifizierung der versicherungsmathematischen Be- zeichnungsweise ausgearbeitet wurde, die fiir die Ein- und Ausgabe yon Druck- maschinen aller Art geeignet erseheint (VerSffentlichungssprache). Die VerSffent- lichungsspraehe ist jedoch in der vorgeschlagenen Form nicht eomputer-vertr/iglieh, d.h., es gibt bis jetzt keine problemorientierte Programmierspraehe, in der ohne grStere Anderungen die VerSffentlichungsspraehe benutzt werden kSnnte. Hierffir sind haupts/~chlich zwei Grfinde verantwortlich. Sie sind bereits in obengenannter Arbeit, die im folgenden als ,,Vorsehlag" zitiert werden soll, dargelegt, sie seien je- doch des besseren Verst/~nduisses wegen kurz wiederholt. Als derzeit iibliehe problemorientierte Programmiersprachen sollen ALGOL, FORTRAN, COBOL und PL/1 den folgenden Uberlegungen zugrundegelegt werden. Eine Hauptregel sei direkt anschhetend ausgesprochen: Stehen die Regeln dieser Sprachen mit den Regeln der VerSffentlichungssprache in Widerspruch, dann sind die Regeln der letzteren entspreehend zu/indern. Nur auf diese Weise ist ein fehlerfreies Programm zu erzielen. Die Programmiersprachen ver- fiigen nun lediglich fiber ein Alphabet, sie unterscheiden also nicht wie die Ver- 5ffentliehungssprache zwischen Gro$- und Kleinbuchstaben sowie griechischen Buch- staben. Des weiteren ist in den Programmiersprachen der Gebrauch der Interpunk- tionszeichen und anderer Sonderzeiehen streng vorgeschrieben. Aber auch die Ver- 5ffentlichungsspraehe kemlt ffir diese Zeichen Regeln, insbesondere zur Aufteflung der Funktionsargumente in B15cke (vgl. Vorschlag 2.8.); diese Regeln kSnnen in Program- mierspraehen nicht angewandt werden. Da durch sie im wesentliehen den verwendeten Symbolen flare Bedeutung zugeordnet wird, mu$ diese Zuorduung auf andere Weise erreicht werden (vgl. unten 1.8., insbesondere 1.8.2.3. und die Abbfldung). Als Abschnitt 6 wurde eine gekiirzte Ausarbeitung der vorliegenden Arbeit in den Vorschlag fibernommen. Es ist daher unvermeidlich, dab etliche Passagen des Ab- schnittes 6 mit den vorliegenden Ausfiihrungen fibereinstimmen. Andrerseits sind im Vorschlag nur die wichtigsten Probleme skizziert, Beispiele fehlen fast ganz. Deshalb mag es nicht iiberflfissig erscheinen, da$ das im Vorschlag lediglich skizzierte System von Transformationsregeln in diesem Entwurf ira einzelnen dargestellt, begrfindet und dureh Beispiele erl/iutert wird.

1. A l l g e m e i n e s 1.1.1. Buchstabenvorrat : 26 GroBbuchstaben A, B . . . . Y, Z. 1.1.2. Kleinbuchstaben ohne Trema werden, soweit erforderlich, dureh Anfiigen von P (petit) gekennzeiehnet, z.B. a = Api). *) Kongrellberichte, Band II, S. 815ff., Karlsruhe 1968. 1) Der Buchstabe P kommt im Vorschlag lediglich an erster Stelle vor (p = Erlebenswahr-

scheinlichkeit, P = Pr/~mie), weswegen gegen die Verwendung von P keine Bedenken bestehen sollten. Selbstverst~ndlich ist damit P fiir die normale Namenskonstruktion ausgeschlossen (es sei denn, es handelt sich um die 1. Stelle), doch sind mit jeder Vereinbarung dieser Art ge- wisse Kombinationen yon der freien Wahl ausgeschlossen.

585

1.1.3. Um Ketten yon Kleinbuchstaben insgesamt zu kermzeichnen, kann im An- sehluB an die Kette dureh eine Zahl die Anzahl der durehgehend klein gesehriebenen Buehstaben angegeben werden und durch ein P abgeschlossen werden, z.B. ABC2P ---- Abe = ABPCP oder

ABC3P =- abe -- APBPCP 1.1.4. Kleinbuchstaben mit Trema werden, soweit erforderlieh, durch Anffigen von T (TremaT) gekennzeiehnet, z.B./i-~ AT2), 3). 1.1.5. Grieehische Buchstaben werden, soweit erforderlich, ausgesehrieben. Treten die Buehstaben y und ~ als Suffix auf (z. B. Py), so kSnnen sie durch G und Z ab- gekfirzt werden (z. B. PG ftir P~).

1.2. Zi~ern Es stehen die 10 Ziffern 0, 1, 2,...9 sowie spraehenabh/~ngige sonstige Ausdriieke (z. B. E oder D bei FORTRAN, tiefgesteUtes 10 bei Algol) zur Verffigung. Im fibri- gen gelten ffir die Sehreibweise yon Zahlen die Vorschrfften der jewefligen Spraehe.

1.3. Arithmetische Operationen Es gelten die Vorschriften der jeweiligen Spraehe.

1.4. Interpunktionszeichen

Es gelten die Regeln der jeweiligen Sprache. Insbesondere fallen damit die Ab- sprachen des Vorschlags fiber die Verwendung von Semikolon und Doppelpunkt weg. Die dadurch notwendigen Spezifikationen werden bei der Darstellung yon Funk- tionen (vgl. 1.8.) behandelt.

1.5. Indizes

1.5.1. Eine Numerierung, die nicht als Laufvariable beautzt wird, wird vorteilhaft als Namensbestandteil gesehrieben, z.B. xl = X1, s2 ----- $2. 1.5.2. Eine Numerierung, die als Laufvariable benutzt wird, wird in (je naeh Spraehe) runden oder eekigen Klammern gesehrieben, z.B.

/i(25) = AT(25) oder AT[25].

(In diesem Entwurf wird die Sehreibweise in runden Klammern benutzt.)

1.6. Klammern Die Verwendung yon Klammern ist in den jeweiligen Spraehen vorgesehrieben.

1.7. Sonstige Zeichen

Aueh die Verwendung sonstiger Zeiehen, vor allem der Sonderzeiehen, ist in den jewefligen Spraehen geregelL

1.8. Funktionen

Funktionen werden dureh einen Funktionsnamen dargestellt, an den sieh in runde bzw. eckige (je naeh Sprache und Art der Funktion) Klammern eingesehlossene Funktionsargumente ansehliefien. KSnnen die Argumente nur ganzzahlige Werte annehmen, so kann die Funktion als Feld definiert werden. 1.8.1. Der Funktionsname wird dureh einen Anfangsbuehstaben und eventuell daran ansehlieBende weitere Buchstaben oder Ziffern dargestellt. Besehr/~nkt man sieh

2) Das unter 1 Gesagte gilt entsprechend. 3) Treten neben P und T noch mehrere Buchstaben als Suffix auf, dann hat P und T in der

Reihenfolge den Vorrang vor den anderen Buchstaben.

586

bei Namen auf 6 Buchstaben oder Ziffern, so sind diese Namen ffir s/imtliche oben genannten Sprachen (mit Ausnahme einer speziellen FORTRAN-Version) unmittel- bar verwendbar.

1.8.2. Da s/~mtliche Sprachen innerhalb yon Funktionsklammern nut ein einheit- liches Trennungsmittel vorsehen (meist das Komma), ist die im Vorsehlag empfoh- lene Unterscheidung dureh versehiedene Interpunktionszeichen nicht m6glich. Es wird daher vorgeschlagen, ansehliel]end an die eigentliehe Funktionsbezeiehnung, den Namenskern, als Namensbestandteil Spezifikationen anzubringen. Die Spezifikationen werden eingeleite~ durch eine 1. Zi•ernspezifikation, die aus einer oder mehreren Ziffern besteht. Es sehlieSen sich eventuell eine Buchstaben- spezifikation und eine 2. Zi~ernspezifikation an (vgl. umstehende Abbildung). 1.8.2.1. Bei der 1. Ziffernspezifikation entspricht die Anzahl der Ziffern der An- zahl der im ersten Block (vgl. Vorschlag 3.3.1.) auftretenden, durch Kommata ge- trennten Variablen oder Variablengruppen; h/ingt die Funktion also vom Leben einer Person ab, dann besteh~ die 1. Ziffernspezifikation aus 1 Ziffer, bei einer Ab- h/ingigkeit vom Leben zweier Personen aus 2 Ziffern. Die Ziffern 0 bis 9 geben die Anordnung im 2. Block gem/~B folgender Tabelle an:

Tabelle 1

Spezifikation Anordnung im 2. Block

keine Besetzung im 2. Block SI:S2 $1: S2 s l : n 2 n l : n 2 n l : n2 n l : s 2 P()

also Alter zu Alter (entsprechend sl: w) (entsprechend x: s2) also Alter zu Dauer also Dauer zu Dauer (entsprechend nl :w) (entsprechend 0: n2) also Dauer zu Alter (hier fist der 1. Block durch einen Barwert und der 2. Block durch eine Pr~mie besetzt, vgI. 2.4.2) 4)

Beispiel : /~(x; sl :n) = AT4(X, S1, N) In Zahlen: /~(30; sl = 40:n ---- 20) = AT4(30, 40, 20) Oder: /~(x, y ; n l :, s2) --~ AT63(X, Y, N1, $2)

/i(30, 25; nl --~ 5:, s2 = 45) ---- AT63(30, 25, 5, 45) Zusatzregel: Erfolgt keine Spezifikation, dann sind Block 2 und etwaige weitere

B15eke unbesetzt; z.B. a(x, y) = AP0(X, Y) = AP(X, Y).

1.8.2.2. AnschlieBend an die 1. Ziffernspezifikation kann eine Buchstabenspezifika- tion erfolgen. Hierdurch werden Festsetzungen fiber die weiteren B16eke bzw. fiber die Bedeutung weiterer Angaben gctroffen. In Frage kommen:

Vermerk einer eventuellen unterjiihrlichen Zahlung der Rente (Block 3), Angaben des ZinsfuBes (Block 4),

Angaben zur Sterbetafel, Geburtsjahr bei Generationensterbe~afel (Block 5),

4) Um gr6tlere Flexibilit/~t zu errcichen, k6nnte auch vereinbart werden, dab die Bedeutung der Ziffernspezifikation 9 jeweils im Erkli~rungsteil des Programms besonders zu erli~utern fist; die Ziffernspezifikation 9 st~nde also zur besonderen Verfiigung bereit.

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Zwischenzeit im Sinne yon abgelaufener Dauer (z. B. bei V, U oder W) oder auch Beitragszahlungsdauer (z. B. bei P), sofern diese nieht im 2. Block auftritt .

Von diesen Variablen kommen haup~s/ichlich die Zwisehenzeit und eventuell das Gebur~sjahr als Laufvariable in Frage, die fibrigen Angaben k6nnen i.a. in den Funktionsnamen mit einbezogen werden. F~ir diese GrSBen wird eine Buehstaben- spezifikation gem/~B folgender Tabelle vorgeschlagen:

Tabelle 2

Buehstaben 5) Geburtsjahr Zwisehenzeit oder Beitragszeit

. . . . . I . . . . . . . . . . . . .

A i _

B + -- C -- + D I , ÷ +

+ Variable kommt als Argument vor -- Variable kommt als Argument nieh~ vor

Treten beide Variablen gemeinsam auf, dann steht in der Klammer das Geburts- jahr vor der Zwisehenzeit bzw. Beitragszeit. Als speziell anzugebende unterj/~hrliche Zahlungen kommen die halb- und viertel- ji~hrlichen, die monatliehen und wSehenthchen Zahlungen in Frage, fiblieherweise gekennzeichnet dureh die Zahlen 2, 4, 12 und 52. Es erscheint sinnvoll, die Angaben fiber die Zahlungsweise mit in den Namen dureh eine der Buehstabenspezifikation folgende 2. Ziffernspezifikation gem/iB folgender Tabelle hineinzunehmen:

Tabelle 3

Zahlungsweise 2. Ziffernspezifikation

wird durch Laufvariable gekennzeichnet 1 bzw. keine Angaben

2 g

12 52

Auch wenn die Angaben fiber die Zahlungsweise als Laufvariable gebraucht werden -- wenn z.B. innerhalb einer Schleife die gleichen Werte ffir jede Zahlungsweise erreehnet werden sollen -- , erseheint es unangebraeht, ein Feld yon 1 bis 52 ffir die Werte 1, 2, 4, 12 und 52 zu belegen. Es diirfte daher i.a. zweekm/~$ig sein, eine Lauf- variable mit Werten 1 bis 5, entsprechend der 2. Ziffernspezifikation, zu benutzen.

Regel: Besteht die 2. Ziffernspezifikation aus einer 1 (ganzj/~hrliche Zahlungs- weise bzw. ohne besondere Angaben) und schliel~en sich keine weiteren Spezifikatio- hen an, dann kann die 2. Ziffernspezifikation unterbleiben.

Da zur Angabe des ZinsfuSes i.a. ein Dezimalkomma bzw. Dezimalpunkt benStigt wird, kommt der Zinsfuil in seiner fibliehen Schreibweise als Namensbestandtefl

5) Erfolgt im Ansehlu{3 an die 1. Ziffemlspezifikation keine Buchs~abenspezifikation, so stimmt die Bedeutung dieser Leerstelle mit tier Buchstabenspezifikation A fiberein. Die letztere wird jedoeh benStigt, wenn weitere Spezifikationen erfolgen sollen (sozusagen als Trennzeichen).

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nicht in Frage. Nun ist oft der ZinsfuB lest vorgegeben. Sollte seine explizite Angabe notwendig sein, so wird vorgesehlagen, dureh spezielle, im Kommentar des Programms erkl~rte Spezifikationen die verschiedenen ZinsffiBe zu kennzeichnen bzw. evil. an- zuzeigen, dab der ZinsfuB einer Laufvariablen zugeordnet ist oder -- bei ALGOL und PL/1 -- als kontinuierliche Variable an defmierter Stelle auftritt. 1.8.2.3. Wesentlich an dem vorgelegten Speziilkationsentwurf ist folgendes (vgl. Ab- bfldung): 1. Der Funktionsname besteht aus Namenskern und Spezifikationen. 2. Der Namenskern besteht lediglich aus Buehstaben oder es folgt andernfalls an-

schlieBend an evtl. Ziffern ein P (mit Bedeutung fiir vorausgehende Buchstaben und Ziffern, vgl. 1.1.2. und 1.1.3.) oder Z (ohne Bedeutung ffir vorausgehende Buchstaben und Ziffern; reines Trennungszeichen, z.B. geeignet zum Numerieren eines Funktionsnamens: F1Z, F2Z . . . . ).

3. Die Spezifikationen werden durch eine Ziffer eingeleitet und bestehen aus Zif- fern und]oder Buchstaben, wobei P und Z direkt anschlieBend an die erste Ziffern- spezifikation nicht erlaubt sind; die Spezifikationen sind demnach als solche deutlich erkennbar.

4. In der 1. Ziffernspezifikation entsprich~ die Anzahl der Spezifikationsziffern der Anzahl der im ersten Block befindlichen Variablen (bzw. dureh Kommata ge- trennten Variablengruppen) und hat demnach eine Bedeutung. Deshalb werden ffir die an die 1. Ziffernspezifikation anschlieBenden Spezifikationen Buchstaben verwandt.

5. Die Bedeutung der direkt an den Namenskem anschlieBenden 1. Ziffernspezi- fikation ist ffir alle Ziffern geregelt (vgl. Tabelle 1).

6. Die Bedeutung der direkt an die I. Ziffernspezifikation anschlieBenden Buch- stabenspezifikation ist ffir die Buchstaben A bis D geregelt (vgl. Tabelle 2); die Buchstaben E his Y mit Ausnahme yon P stehen fiir besondere, im Kommentar des Programms zu erl/iuternde Spezifikationen zur Verfiigung (vgl. 4.2.).

7. Die Bedeutung der auf die Buchstabenspezifikation folgenden 2. Ziffernspezifika- tion ist fiir die Ziffern 0 bis 5 geregelt (vgl. Tabelle 3); die Ziffern 6 bis 9 stehen ffir besondere, im Kommentar des Programms zu erl/iuternde Spezifikationen zur Verf/igung.

8. AnschlieBende Spezifikationen, Zahlen wit Buehstaben, sind frei definierbar.

1.8.2.4. Ein Beispiel (eine entsprechende Anzahl yon Indexregistern vorausgesetzt): i~ (x, y; ni: si, s2 :n~; k; T) = AT84B0 (X, Y, N1, S1, $2, N2, K, T)

In Zahlen: ~(30, 25; ni = 10:si = 60, s~ = 35:n~ = 20; k ----- 4; T = 35) = i (30 ,25; 10:60, 35:20; 4; 35) = AT84B0(30, 25, 10, 60, 35, 20, 3, 35)

= AT84B3 (30, 25, 10, 60, 35, 20, 35)

Oder (als real procedure): V(~(); P(); t) : V9CI(AT(), P(), T) = V9C(AT(), P(), T) V([i(); P(); k = 12; t) = V9CA(AT(), P(), T)

1.8.2.5. Im Vorschlag muBte fiir Ausdrficke der Art p(x, y; s) eine Vereinbarung getroffen werden, dab das SchluBalter s zum Alter x gehSrt. Dies ist hier nicht not- wendig, da entsprechende Zuordnungen durch die 1. Ziffernspezifikation ausgedriickt werden. So gehSrt z.B. bei PP30(X, Y, S) S zu X und bei PP03(X, Y, S) S zu Y. Bei PP33(X, Y, S1, $2) gehSrt gem/iB ihrer Reihenfolge S1 zu X und $2 zu Y.

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2 . I n t e r n a t i o n a l e v e r s i c h e r u n g s m a t h e m a t i s c h e B e z e i c h n u n g e n d e r L e b e n s v e r s i e h e r u n g 6 ) , 7)

2.1. Elementare Symbole

2.1.1. Variable, Paramete r

Bei t r i t t sa l ter einer Person:

Bei tr i t teal ter einer weiblichen Person:

Bei t r i t tsal ter eines ]Gndes: Zwischenzeit im Sinne von abgelaufener Dauer : Feste Zeit im Sinne von vere inbar ter Vertrags- dauer oder Aufschubzeit : BeRragszahlungsdauer (falls von n versehieden) oder Rentengaran t ieze i t : SchluBalter, Endal ter , Ablaufal ter

Zahlen in unterj/~hrlichen Ra t en (vgl. 1.8.2.2.)

x = X, xl = X I , x2 = X2 , . . . evil . auch x ---- X P

y = Y, yl---- Y1, y2 = Y2 . . . . evtl . auch y = Y P

z = Z , z l = Zl . . . . t = T, t = Tp8)

n=N,n=NP

m = M, m ---- MP s = x + n ---- S, s = SP, Sl = S1, s2 = $2 . . . . k = K , K = K P

2.1.2. K o n s t a n t e

Grenzalter der Sterbetafel: J ah r einer bes t immten Periodensterbetafel bzw. ein bes t immtes Ka lender jah r : Kostens/~tze: Einmal ige Kos ten : Kos ten im Verh/~Rnis zur Pr/~mie: Kos ten im Verh~ltnis zur Versicherungsleistung:

Zfllmersatz :

2.1.3. Zinsrechnung

J~hrlieher Zinssatz : J/~hrlicher Zinssatz bei Zahlung in k Ra ten : Aufzinsungsfaktor : Diskont ierungsfaktor : Diskont ierung u m x Jahre (nicht in ALGOL):

w = W P

T = T

= ALPHA,~ ~ ALFA f l = B E T A Y = GAMMA, 71 = GAMMA 1 . . . . evtl. auch y = GAMA

= ZETA

i ---- I, i ---- I P i(k) = IP (K) r = l + i = R , r = R P v = V , v = V P V**X

6) Auf die generelle Vereinbarung bei FORTI~AN, dab die mit I, J, K, L, M oder N beginnenden Namen ganzzahlig, die fibrigen reell sind, wurde hier nicht bestanden; es sind also bei An- wendung dieses Entwurfs fiir ein FORTRAN-Programm entsprechende Typ-Anweisungen zu treffen.

7) Viele der im Vorschlag klein gesehriebenen Variablen, Parameter und Konstanten treten in groBer Sehreibweise als Funktionsname auf, z.B. d und D (x). So lange die entspreehenden Funktionen in dem jeweiligen Programm nicht vorkommen, ist es unbedenklich, die Kenn- zeichnung der Kleinsehreibweise zu unterlassen, also z.B. D f'tir d zu schreiben, da auch ffir einen AuBenstehenden ohne weiteres erkenntlich ist, ob es sich um eine Variable oder um eine Funktion handelt.

s) Auch hier dfirfte im allgemeinen die Sehreibweise T fiir t unbedenklich sein, da bei Funktionen ausreichend spezifiziert ist (vgl. 1.8.2.20, ob es sich um T = Zwischenzeit oder um T = Ge- burtsjahr handelt.

591

J/~hrlieher Diskontsa tz : Diskontintensit/~t: Barwer t bzw. Endwer t der j/~hrlich mi t dem Bet rag 1 naehsehfissig n mal zahlbaren Zeit- rente 9) : Barwer t bzw. Endwer t der j/~hrlich mi t dem Bet rag 1 vorschfissig n real zahlbaren Zeit- rente : Barwer t bzw. Endwer t der j/ihrlich nach- schiissig n mal in je k R a t e n zahlbaren Zeit- rente v o m Jah resbe t r ag 1 :

Barwer t bzw. Endwer t der j/~hrlieh vor- schfissig n real in je k R a t e n zahlbaren Zeit- rente v o m Jah resbe t r ag 1 :

d = D , d = D P = D E L T A , vc = VC, vc = VPC

a(; n) = APN(N) a(; 30) =- APN(30) s(; n) = SPN(N)

/i(; n) = ATN(N) /i(; 30) = ATN(30) ~(; n) = STN(N)

a(; n; k) = APNOA0(N, K) a( ; 30 ; k ---- 12) ---- APNOA0(30, 4) = APNOA4(30) s ( ; n ; k) = SPNOA0(N, K)

/i(; n; k) = ATNOA0(N, K) /i(; 30; k = 12) ----- ATNOA0(30, 4) --= ATNOA4(30) i~(; n; k) = STNOA0(N, K)

2.2. Sterbeta]eln und Kommutationswerte

Zahl der Lebenden (lx, l[xl+t): l(x) = L(X), l(x) = LP(X)

Zahl der Gestorbenen (dx): Erlebenswahrscheinlichkei~ fiir ein J a h r (Px):

Erlebenswahrscheinl ichkei t einer x-j/~hrigen Person ffir die Dauer yon n J a h r e n (npx) :

fiir das Er leben des Alters s (s-xPx):

Erlebenswahrseheinl ichkei t eines Paares (x) und (y) noch n Jah re bzw. bis zum Alter s der Person (x) gemeinsam zu leben (nPxy ---- s-xPxy):

Sterbenswahrseheinl iehkei t flit ein J a h r (qx):

fiir das Alter s (s-xq~):

Sterbeintensit/~t: Diskontinuierliche mit t lere Lebenserwar tung (e~): Kontinuier l iche mit t lere Lebenserwar tung (ex):

l((x) ÷ t) = LOC(X, T) d(x) = DP(X) ---- DP0(X)10

p(x) = PP(X)

p(x ; n) = PP7(X, N) p(20; n = 30) = PP7(20, 30) p(x ; s) = PP3(X, S) p(20; s = 30) ---- PP3(20, 30)

p(x, y ; n) = PPT0(X, Y, N) p(x, y ; s) = PP30(X, Y, S) p(25, 20; n = 30) = PP70(25, 20, 30)

q(x) = Q(X), q(x) ---- QP(X) q(20; n = 30) = Q7(20, 30) q(x; s) = Q3(X, S) q(20; s = so) = Q3(20, so) /~(x) = MY(X) = QC(X)

e(x) = E P ( X ) ec(x) = EPC(X)

9) Die Zeitrente wird durch Anfiigen des Buchstabens N gekennzeichnek Hierdurch wird gleich- zeitig ausgedrfickt, dab das Argument eine Dauer ist.

lO)Die Schreibweise DP0(X) for d(x) ist notwendig, wenn im Programm gleiehzeitig d, d(x) und D(x) auftret~n sollten. Selbstverst~ndlich k6nnte fOr DP0(X) auch DPA(X) .... DPZ(X) geschrieben werden, nich$ aber ohne Irrtumsm6glichkeit DPI(X).. .DP9(X). Vgl. aber 3.1. !

592

Kommuta t ionszah len : Diskontinuierlieh:

Kontinuier l ich:

Auf die Mitre des Jahres bezogen:

Verbundene Leben:

D(x) = D(X) N ( x ) = N ( X ) S(x) = S ( X ) C(x) = C(X) M(x) = M(X) R(x) = R(X)

Dc(x) -- DC(X) Nc(x) = NC(X) Se(x) = SC(X) Ce(x) - - CC(X) Me(x) = MC(X) Rc(x) = RC(X)

Cm(x) = CM(X) Mm(x) = MM(X) Rm(x) = RIV[(X)

l(x, y) = L(X, Y) d(x, y) - - DP(X, Y) D(x, y) = D(X, Y) N(x, y) -- N(X, Y)

2.3. Versicherungsmathematische Barwerte

2.3.1. Barwerte von Leibrenten

Wie generell die einzelnen B15cke zu kennzeichnen sind, wurde unter 1.8. behandelt.

"'(4)- = ~(x; x:n; 4) Beispiele: ax :nl

ax:s-~l"(4) ., = ~(x;s;4)

a2o:"(4) 1o1" = ~(20; s = 30; 4)

ii(2~):3ol -- ii(20;n = 30;4)

s_x [ ~(x 12) := ii(x; s:w; 12)

n[£(x 12) = ii(x; n:; 12)

~(12) £(20, 10:; 12) 10 ] '~20 :=

~(2) =: ~ ( x ; S l : S 2 ; 2 ) SI--X [ B2--S1 X

..(2) =:/i(20; 10:n = 45; 2) : AT5A2(20, 10, 45) 10 [ 45a20

2.3.2. Barwerte yon einmaligen Versicherungsleistungen

Die iibliehen Leistungsformen werden wie folgt bezeichnet:

Barwer t der Anwar tschaf t auf eine Erlebensfalleistung : E( )

Barwer t der Anwar tschaf t auf eine Todesfalleistung: A()

Barwer t der Anwartschaf t auf eine Todes- bzw. Erlebensfallversichertmg (gemischte Versicherung) : AE( )

Die Kennzeichnung der einzelnen B15cke erfolgt nach Mal3gabe yon 1.8.

= AT4A3(X, X, N) = ATTA3 (X, N)

= AT3A3(X, S)

= AT3A3(20, 30)

-- AT7A3(20, 30)

= AT1A4(X, S, WP) = AT2A4 (X, S)

= AT6A4(X, N)

= AT6A4(20, 10)

= AT1A2(X, S1, $2)

593

Beispiele:

Barwert der Anwartschaft einer x-jihrigen Person auf die Erlebensfalleistung im Alt~r s = x + n(nEx):

Barwert der Anwartsehaft einer x-jihrigen Person auf eine ni Jahre aufgesehobene und auf die Dauer yon n2 Jahren bestehende Todesfalleistung: Zahlung am Ende des Versicherungsjahres (nlln2Ax):

dgl. ohne Wartezeit (ni = 0) (nAx) :

dgl. mit Wartezeit, aber lebenslinglich (n,Ax):

dgl. ohne Wartezeit, abet lebenslinglich (Ax):

Barwert der Anwartschaft einer x-ji£hrigen Person auf eine lebensl~ngliche TodesfaUeistung; Zahlung auf die Mitte des Jahres bezogen (Ax) :

Barwert der Anwartschaft auf eine lebenslingliche Todesfalleistung; Zahlung am Ende des bert. Intervalles der L~nge 1/k(A~k)):

Barwert der Anwartschaft auf eine lebenslingliche Todesfalleistung fiir eine x-j~ihrige Person; Zahlung bei Tod (Xx):

Barwert der gemischten Kapitalversicherung fhr eine x-jiihrige Person fiir dig Dauer yon n Jahren auf das Endalter s(Ax: n-l) :

E(x; s) = E3(X, S) E(20; s = 30) = E3(20, 30) E(x; n) = E7(X, N) E(20; n = 30) = E7(20, 30)

A(x; ni:n2) = A5(X, N1, N2) A(20; 10:n = 40) = A5(20, 10, 40)

A(x; n) = A7(X, N) A(20; n = 40) = A7(20, 40)

A(x; n:) = A6(X, N) A(20; 10:) = A6(20, 10)

A(x) = A0(X) = A(X)

Am(x) = AM(X)

A(x; k) = AOA0(X, K) A(20; k = 12) = AOA4(20)

= AOA0(20, 4)

At(x) = AC(X)

AE(x; n) = AET(X, N) AE(20; n = 40) = AE7(20, 40) AE(x; s) = AE3(X, S) AE(20; s = 40) = AE3(20, 40)

2.4. Prdmien ( Beitriige), Deckungsriickstellungen, Ri~ckkau]swerte und beitrags[reie Summen

Diese GrSgen sind i.a. Funkt ionen kontinuierlicher Variabler und daher als real procedure in A L G O L und PL/1 darstellbar. Treten sie lediglich als einfache reelle Gr6flen im P r o g r a m m auf, darm sind sie selbstverst indi ich ohne K lammern zu schreiben.

2.4.1. P r im ien

Pr/imien k6nnen als real procedures in der Weise geschrieben werden, dab als Argu- mente des Pr/~miensymbols (z.B. P()) der Barwer t der Anwar tschaf t auf die Ver- sicherungsleistung (z.B. A()) und der Barwert der Pr imienzahlung 1 (z.B. /~()) eingesetzt werden (z. B. P(A) ;/~())).

594

Im einzelnen werden bezeichnet :

Pr~mienart einbezogene Bezeichnung Kostens~tze

1. ji~hrliche Pr~mien Nettopr~mie Inventarpr~mie Zillmerpr~mie Bruttopr~mie

2. Einmalpr~mien Nettopr/imie Inventarpr~mie Bruttopr~mie

v ¢

~,fl, r

y ~,~,r

P() PG( ) PZ( ) PB()

PU() PUG( ) PUB()

Stimmen die Variablen der zweiten B16cke des Barwerts der Versicherungsart (z. B./~(x; s :)) und der Barwert der Pr/~mienzahlung (z. B./~(x; s)) miteinander iiber- ein, dann kann zur Bezeichnung der Pr/~mie der Buchstabe P vor den Barwert der Anwartschaft auf die Versicherungsleistung gesetzt werden; der 2. Block des zusam- mengesetzten Ausdrucks stimmt dabei mit dem 2. Block des Barwerts der Priimien- zahlung iiberein, z.B.

P(/i(x ; s:);/~(x; s)) = P(AT2(X, S), AT3(X, S)) = PAT3(X, S).

Der Vorteil besteht neben der kurzen Ausdrucksweise insbesondere darin, dab der zusammengesetzte Ausdruck i.a. als Argumente lediglich Laufvariable hat und damit als Feld in das Programm eingefiihrt werden kann. Fiir die gemischte Versicherung mit abgekfirzter Pr~mienzahlung kann zudem ver- einfacht geschrieben werden

P(AE(x ; n); ~i(x; m)) = PAE(x; n; m) = P3(AE7(X, N), AT7(X, M)) = PAE7C(X, N, M)

wobei ffir N ---- M gilt: PAE7C(X, :N, N) = PAE7(X, N)

2.4.2. Deckungsrfickstellungen, Rfickkaufswer~e und beitragfrele Summen

Dicsc Begriffe werden ausffihrlich (als real procedures) wie folgt bezcichnet: Deckungsrfickstcllung: V(A( ); P( ); t) = V9C(A(), P(), T) Rfickkaufswert: U(A( ) ; P( ) ; t) = U9C(A(), P(), T) Beitragsfreie Summe: W(A() ; P() ; t) = W9C(A(), P(), T)

Wenn die Beitragszeit mit der Laufzeit der Versicherung iibereinstimmt bzw. wenn die Leistung nach Ende der Beitragszeit f/illig wird (formal: wenn die Pr/imie bereits vereinfacht ausdriickbar war (vgl. 2.4.1.) und die beiden Variablen im 2. Block so- wohl der Anwartschaft auf die Versicherungsleistung als aueh dcr (vereinfacht geschriebenen) Pr/imie miteinander fibereinstimmen), kann vereinfacht der Buch- stabe V (bzw. U bzw. W) vor die Anwartsehaft auf die Versicherungsleistung gesetzt werden, wobei dcr 2. Block des zusammengesetzten Ausdrucks mit dem 2. Block dcr Pr/imie fibcreinstimmt, z.B.

V(/i(x; s:); P(/~(x ; s:); ii(x; s)); t) = VAT3C(X, S, T).

Auch hier besteht der groBe Vorteil neben der verkfirzten Schreibweise besonders

595

darin, dab auch die GrSBen V, U und W i.a. als indizierte Variable im Programm auftreten. Fiir die gemischte Versicherung gilt vereinfacht: Nettodeckungsrtickstellung:

V(x; n; t) = VAETC(X, N, T) = VTC (X, N, T)

gezillmerte Deckungsriickstellung:

V~(x; n; t) = VAEZ7C(X, N, T) -= VZ7C(X, N, T).

Zusatzregel: Ffir T = 1 kann der letzte Block entfallen, z.B.

VOC(A(), P(), 1) = V9(A(), p())11)

2.5. Ver~inderliche Leistungen

Ver/~nderliche Leistungcn wcrden dadurch gekennzeichnet, daB der Funktionsname mit I bei steigender Leistung, mit J bei fallender Leistung beginnt12). Es schlieBt sich der Namenskern der GrundgrSBe an, darauf die Spezifikationen, wobei zu be- aehten ist, dab i. a. in diesem Fall die Anzahl der Ziffern in der 1. Ziffernspezffikation doppelt so groB ist wie die im ersten Block auftretenden Variablen; die 1. Ziffern- spezifikation besteht also pro im 1. Block auftretender Variabler i.a. aus zwei Ziffern. Im Vorschlag hat bei ver/inderlichen Leistungcn im Falle der Abh/ingigkeit vom Leben einer Person der 2. Block folgenden Aufbau:

xl: Ix2: Ix3: x4

Die erste Ziifer der zweistelligen 1. Ziffernspezifikation zeigt nach der iiblichen Tabelle (vgl. Tabelle 1) die Anordnung der nicht durch I gekennzeichneten GrSBen des Blockes, also hier xl und x4, die 2. Ziffer der 1. Ziffernspezifikation die Anordnung der durch I gekennzeichneten GrSBen, also hier Ix2 und Ix3, an. Dabei bleibt jedoch die Reihenfolge der GrSl~en in der Klammer erhalten, also hier Xl, x2, x3, x4. Damit ist:

/i(x; xl : Ix2 :Ixa: x4) = IAT11 (X, X1, X2, X3, X4) /i(20; 30:I40:I50:60) ---= IATll(20, 30, 40, 50, 60)

Zusatzregel: Die Ziffernkombination 0m (m : 0. . .9) kann, falls sie einzige Ziffern- spezifikation ist, durch m ersetzt werden, also z.B. IAT01 () • IATI().

Die im Vorschlag behandelten Vereinfachungen gestalten sich wie folgt: /~(x; Ix1 : Ix3 : x4) ~ IAT31 (X, X1, X3, X4) ~(x; xl:Ix2:Ix3) = IAT21(X, X1, X2, X3) /i(x; Ix~:Ix2) =- IAT01(X, X1, X2) = IATI(X, X1, X2) /i(x; Is) ==- IAT03(X, S) = IAT3(X, S) a(Ix) = IAT(X)

Start Alter sind ohne Schwierigkeiten auch Dauern zul/issig:

IAT55(X, N1, N2, N3, N4)

11) Diese Regel wi~re vor allem fiir die Pensionsversicherung yon Nutzen. 12) Der Buchstabe D ist zu beladen, als dall er nicht zu Verwechslungen ftilrren wfirde. J hat

neben F, G und O als einer der wenigen Buchstaben des Alphabets im Vorschlag als An- fangsbuchstabe keine Funktion, wodurch jede Verwechslung ausgeschlossen erscheint.

596

bedeutet den Barwert einer vorsch/issigen Leibrente fiir eine x-j/~hrige Person, die nl Jahre aufgeschoben ist und deren Jahresbeitrag ansehlieBend n2 real 1 ist; ansehlieBend sind n3 Steigerungen vom Betrag 1 (n3 ---- x3 -- x2 bedeutet also gem/~B der Defini- tion in 3.5. des Vorschlags die Anzahl der Steigerungen, die zwischen der ersten und letzten Steigerung liegen), anschlieI]end wird die Rente in der H6he n3 -k 2 unver- /indert n4 real gezahlt, sofern die Rentenzahlung nicht durch den Todesfall endet.

IAT07(X, N) = IAT7(X, N)

bedeutet den Barwert einer vorschfissigen Leibrente fiir eine x-j/~hrige Person, die im Alter x den Betrag 1, im Alter x -k 1 den Betrag 2 hat, usw. und die schlieBlich mit der letzten Rentenzahlung vom Betrag N q- 2 endet (auch hier bedeutet N die An- zahl der Steigerungen, die zwischen der ersten und letzten Steigerung liegen).

3. I n t e r n a t i o n a l e v e r s i c h e r u n g s m a t h e m a t i s c h e B e z e i c h n u n g e n de r P e n s i o n s v e r s i c h e r u n g

(e inschl . de r g e s e t z l i c h e n u n d de r b e t r i e b l i c h e n A l t e r s v e r s o r g u n g )

Als gegenw/~rtige Bezeichnung wurde im altgemeinen die in G. Heubeck, K. Fischer ,,Riehttafeln f/ir die Pensionsversicherung" (insbesondere ,,Erl/~uterungen", 2. Aufl. 1959, WeiBenburg) benutzte Bezeiehnungsweise gew/ihlt.

3.1. Grundregeln

Die nachstehenden Bezeichnungen halten sich an folgende Regeln: 1. Die einzelnen versicherungsmathematisehen Funktionen werden durch die in

den vorangegangenen Abschnitten eingeffihrten Funktionsnamen (wie z. B. Q, L, AT . . . . . vgl. 1.8.) als Namenskem symbolisiert.

2. An den Namenskern schlieBen sieh ein oder mehrere Buchstaben folgender Be- deutung an: Der 1. Buchstabe gibt den Zustand der betrachteten Person zum Bezugszeitpunkt a n .

Der 2. und 3. Buchstabe geben den Zustand bzw. die Zust/~nde wieder, bei dessen oder deren Eintreten eine Leistung f/~llig wird. Die Zuordnung zwischen Zustand und Buchstabe ergibt sich aus der folgenden Tabelle

Zustand

Aktiver Invalider Rentner/Rentnerin Invalider und/oder Rentner Witwe Waise Vollwaise

Buchstabe

A I R IR W O U13)

3. AnschheSend folgt die n/~here Kennzeichnung der betreffenden versicherungs- mathematisehen Funktion dureh Spezifikationen. Bedeutung und Anordnung der Spezifikationen riehten sieh nach den Grunds/itzen des Absehnittes 1.8.

13) Vielleicht soUte start U zur Bezeichnung yon Vollwaisen V gew~hlt werden, da U als Suffix bereits zur Kennzeichnung von Einmalbetr~gen dient.

597

3.2. Grundwahrscheinlichkeiten ( A uszug )

Sterbewahrscheinliehkeit eines Aktiven des Alters x (qxa): Sterbewahrseheinlichkeit eines Invaliden des Alters x (qix): Sterbewahrscheinliehkeit eines Rentners des Alters x (qxLrm): Sterbewahrscheinlichkeit einer Witwe des Alters y (qxLrf = qy): Invalidisierungswahrseheinliehkeit eines Aktiven des Alters x (ix): Reaktivierungswahrseheinliehkeit eines Invaliden des Alters x (rx): Wahrscheinliehkeit eines Aktiven, Invaliden oder Rentners beim Tod im Alter x verheiratet zu sein (hx): Wahrscheinliehkeit einer Witwe des Alters y wieder zu heiraten:

3.3. Ausscheideordnungen

Ffir Aktive (laa): la(x) = LA(X) Ffir Invalide (lix) : li(x) = LI(X) Fiir Altersrentner (lxLrm): lr(x) = LR(X) Ffir Witwen (ly): lw(y) = LW(Y)

3.4. Kommutationswerte

(D aa) Da(x) = DA(X) (D~) Di(x) ---- DI(X) (Dx Lrm) Dr(x) ---- DR(X) (Dy) Dw(y) = DW(Y) (N aa) Na(x; s) = NA3(X, S)

Na(20; s -- 30) ---- lqA3(20, 30) Na(x; n) = NA7(X, N) Na(20; n ---- 30) = Na7(20, 30)

(Nix) Ni (x ; s ) = NIa(X, S) (1Nx Lrm) Nr(x) ~- NR(X) (Ny) Nw(y) = NW(Y)

3.5. Rentenbarwerte

qa(x) -= QA(X) qi(x) = QI(X) qr(x) = QR(X) qw(y) ---- QW(Y) ia(x) = IA(X) r(x) = R I ( X ) h(x) = H(X)

w(y) = W(Y)

Im folgenden wird der Namenskern aufgefiihrt, fiir die Spezifikationen gelten die in

/~a() = ATA.. () Ri() = A T I . . ( ) /~r() = ATR. . ( ) /~w() = ATW..( ) /~ar() = ATAR.. () /~ai() = ATAI. . ()

1.8. getroffenen Festlegungen: Rente eines Aktiven (aa.a) : Rente eines Invaliden (ai.) : Rente eines Rentners (a.L.rm): Rente einer Witwe (a.. TM): Anwartschaft eines Aktiven auf Altersrente (a.a.A) : Anwartschaft eines Aktiven auf Invalidenrente (aai): Anwartsehaft eines Aktiven auf Invaliden- und Altersrente (a~lA):

Anwartschaft eines Aktiven auf Witwenrente (aaw): Anwartsehaft eines Aktiven auf Waisenrente: Anwartsehaft eines Invaliden auf Altersrente :

/~air() = ATAIR. . ( ) £aw() = ATAW..() /~ao() = ATAO.. () air() = ATIR. . ( )

598

A n w a r t s c h a f t e ines I n v a l i d e n a u f W i t w e n r e n t e (ai..w):

A n w a r t s c h a f t e ines I n v a l i d e n a u f W a i s e n r e n t e :

A n w a r t s c h a f t e ines R e n t n e r s a u f W i t w e n r e n t e (a.W.) :

A n w a r t s c h a f t e ines R e n t n e r s a u f W a i s e n r e n t e :

3.6. Beispiele

i~iw() = A T I W . . ( )

/ i io() = A T I O . . ()

~rw( ) ---- A T R W . . ( )

/ i ro() = A T R O . . ( )

Anwartschaft eines x-jghrigen Aktiven auf eine l~ngstens bis zur Vollendung des Alters s = x + n viertelj~hrlich im voraus zahlbare Invalidenrente vom Jahresbetrag 1 : ((4)axai(s))

~iai(x; s; 4) = ATAI3A3(X, S) ~ai(20; 65; 4) = ATAI3A3(20, 65)

Kollektive Anwartsehaft eines x-j~hrigen Invaliden auf eine lebensl~nglich vierteljghrlich im voraus zahtbare Witwenrente vom Jahresbetrag 1: ( ( 4 ) a x i W )

£iw(x; k = 4) = ATIWOA3(X)

Deckungsriickstellung fiir eine Anwartschaft eines Aktiven auf Invaliden- und Altersrente nach t Jahren (tvalA):

V(ii a i r (x ; s:); P(i~ a i r(x; s:); ii a(x; s) ); t) = V9C(ATAIR2(X, S), P(ATAIR2(X, S), ATA3(X, S) ), T) (real procedure) -- V9C(ATAIR2(X, S), PATAIR3(X, S), T) (real procedure) = VATAIR3C(X, S, T) (indizierte Variable)

Bei einheitlich vereinbartem S (z. B. S = 65):

= VATAIROC(X, T)

Wenn zusi~tzlieh noch T = 1 ist: = VATAIR(X)

Deckungsriickstellung fiir eine gleiehmi~Big letztmalig im Alter s steigende Anwartsehaft eines < .

Aktiven auf Invaliden- und Altersrente nach t Jahren (tV~ 1A) :

V(i~ a i r(x; Is) ; P(i~ a i r(x; Is) ; i~ a(x; s) ) ; t) = V9C(IATAIR3(X, S), P(IATAIR3(X, S), T) = V9C(IATAIR3(X, S), IPATAIR3(X, S), T) = IVATAIR3C(X, S, T)

4. E r g / i n z u n g e n

N e b e n d e n v o r s t e h e n d g e b r a c h t e n R e g e l n k S n n e n z u m Zwecke de r V e r k i i r z u n g de r F u n k t i o n s n a m e n u n d d a m i t de r E r h S h u n g der U b e r s i c h t h e h k e i t noch die u n t e n a n g e g e b e n e n R e g e l n b e n u t z t w e r d e n ; K o l l i s i o n e n m i t d e n R e g e l n des Vor sch l ags k S n n e n h ie rbe i n i c h t e n t s t e h en .

4.1. Zur Bezeichnung von Rentenbarwerten

Als a b g e k t i r z t e B e z e i c h n u n g v o n R e n t e n b a r w e r t e n sel l wah lwe i se F n e b e n A T fi i r d ie vorsch i i ss ige u n d G n e b e n A P als nachsch i i s s ige R e n t e zuge la s sen w e r d e m Ver- w e c h s l u n g e n s i a d d a b e i n i c h t zu bef f i rch ten , vgl . A n m . 12.

. ~(2) = AT1A2(X, S1, $2) = F1A2(X, S1, $2) St - -X/Sz - - S ~ X

(12)axaiA = ATAIROA4(X) ---- FAIROA4(X)

~4~V a~ACsl = IVATAIR3C3(X, S, T) = IVFAIR3C3(X, S, T)

599

4.2. Zur Spezifikation

Die in 1.8. behandelten Regeln fiber die Spezifikationen sehen eine Buchstaben- und eine ansehlieBende 2. Ziffernspezifikation zur Kennzeichnung yon Geburtsjahr, Zwischenzeit bzw. Beitragszeit und Zahlungsweise vor (vgl. Tabelle 2 und 3). Diese Kennzeichnung kann gemiiB folgender Tabelle in einer einzigen Buehstabenspezifi- kat ion zusammengefaBt werden:

Tabelle 4

Entsprechend bei Buch- Geburts- Beitragszeit, Buchstaben- und stabe Zahlungsweise jahr Zwischenzeit Ziffernspezifikation

A I keine Angaben -- -- A 1 B bzw. -~ -- B 1 oder C / ganzj~hrig -- + C 1 D -t- + D 1

E | - - - - A 2

F / halbj~ihrlich + - - B2 G -- + C2 H q- q- D2

I | - - -- A3

J t viertelji~hrlieh + -- B3 K -- + C3 L q- q- D3

M | -- -- A4 N [ monatlich q- -- B4 0 -- q- C4 P kennzeiehnet kleine

Buehstaben (vgl. 1.1.3)

monatlich Q

R S T U

V W X Y

Z

w6chentlich

Angaben als Laufvariable

+ + D4

- - - - A5 + -- B5 - - + C5 + + D5

- - - - A O

÷ -- B0 - - + CO + + D O

A B C D

kennzeictmet die Z vorausgehenden Ziffern als zur eigentlichen Funktionsbezeielmung geh6rig

+ Variable tritt auf -- Variable tritt nicht auf

• .(2) AT1A2(X, S1, $2) = F1E(X, S1, $2) ltl-- X]S2-- Slax

(12)ii~ IA = ATAIROA4(X) = FAIROM(X)

(4)t~x IA(s) = IVATAIR3C3(X, S, T) = IVFAIR3K(X, S, T)

4.3. Zur Tabelle 3.1.2. Hier wird vorgeschlagen, wahlweise s ta t t I R als Bezeichnung ffir , ,Invalider und/oder Ren tne r" S zuzulassen. Z.B.

(12)~axlA = ATAIROA4(X) = FASOM(X) <aih(s) (4)tV x = IVATAIR3C3(X, S, T) = IVFAS3K(X, S, T)

Eingegangen am 24. M~rz 1968.

600

Anhang: Gegeni~berstellung der Darstellung wichtiger versicherungsmathematischer Gr6flen

Gegenw~rtig Vorschlag fiir (XIV. IKVM) Ver6ffentlichungssprache Computer-Darstellung

i; i(m) i, i(k) r = l + i r v = (1 + i)-1; v (m) v; v(k) V x V x

d = 1 -- v; d(m) d; d(k) 8 = ln(1 + i) 8, vc

an-l; an--1 a(; n);/i(; n) SnT; s$ s(; n); s(; n) a~ I(~., a~ I.. (m) a( ; n; k); ~(; n; k)

lx; l[xl+t l(x); l((x) + t) dx d(x) px; npx; s-xPx p(x); p(x; n); p(x; s) npxy = s-xpxy p(x, y; n) = p(x, y; s) %; nqx; s-xqx q(x); q(x; n); q(x; s) /~x /~(x), qc(x) ex, e~ e(x), ec(x)

Dx; Nx; Sx D(x); N(x); S(x) Cx; Mx; Rx C(x); M(x); R(x)

Dc(x); Nc(x); Sc(x) Co(x); Mc(x); Rc(x)

Cx; Mx; Rx Cm(x); Mm(x); Rm(x) lxy; dxy , l(x, y); d(x, y) Dxy = v 1, 2(x+y). lxy ; Nxy D(x, y) = v x" l(x, y) =

= D(x). l(y); N(x, y)

ax; i~ a(x); ~(x) (k~. ~ck) a(x; k); i~(x; k) a x # x

.<4, ~(x; n; 4) /i(x; s; 4)

n]ax; n tax a(x; n:); a(x; n: t) nla~ TM = s-xla(~ TM a(x; n: ; 12) = a(x; s: ; 12)

m[n2ax ii(x ; nl :n2; 2)

axly = iiy -- axy K(x:y) = ~(y) -- A(x, y) axy = a,x -t- ii,y -- axy ii(x, x :y ) = i~(y, y :x ) =

= ii(x) + i~ (y) -- ii(x, y) = i~(x) + ~(x:y)

nEx E(x; n) nllni Ax A(x ; nl : n2) nAx; n] Ax A(x ; n) ; A(x; n :)

, ( k ) Ax, A ~ A(x); A(x; k) Ax Am(x) bzw. At(x) Ax:E AE(x; n)

ex = e(Ax) PA(x) Px :n7 = P(Ax:~) PAE(x; n) nP(Ax) PAc(x; w; n) Pxy(Ax) P(A(x); g(x, y)) nP(niax) P(a(x; n:); a(x; n)) mPik)(Ax:~) PAE(x; n; m; k)

i, iP; IP(K) It, RP V, VP; VP(K) V**X (nicht in ALGOL) D, DP; DP(K) DELTA, VC

APN(N) ; ATN(N) SPN(N); STN(N) APNOA0(N, K) = APNOV(N, K) ATNOA0(N, K) = ATNOV(N, K)

L(X); LOC(X, T) DP(X), DP0(X) PP(X); PP7(X, N); PP3(X, S) PP3O(X, Y, N), PP70(X, Y, S) Q(X); Q7(X, N), Q3(X, S) MY(X), QC(X) Ee(x); EPC(X)

D(X); N(X); S(X) c(x); M(X); R(x) DC(X); ~C(X); SO(X) cc(x); MC(X); RC(X) CM(X); MM(X); RM(X) L(X, Y); DP(X, Y) D(X, Y); N(X, Y) AP(X); AT(X)= F (X) APOA0(X, K) = APOV(X, K) ATOA0(X, K) = ATOV(X, K) AT7A3(X, N) = AT7I(X, N), AT3A3(X, S) = AT3I(X, S) AP6(X, N), AP5(X, N, T) AP6A4(X, N) = AP6M(X, N), AP2A4(X, S) = AP2M(X, S) AT5A2(X, N1, N2) = = AT5E(X, N1, N2)

AT2Z(¥) -- AT3Z(X, Y) AT1Z(X) + AT2Z(Y) -- - - AT3Z(X, Y)

ET(X, ~) A5(X, NI, N2) A7(X, N); A6(X, N) A(X); AOA0(X, K) = AOV(X, K) AM(X), AC(X) AET(X, N)

PA(X) PAE7(X, N) PACOC(X, N) P(A(X), AT(X, Y)) PAP7(X, N) PAETC0(X, N, K, M) = = PAE7X(X, N, K, M)

601

Anhang (Fortsetzung)

Gegenw~rtig Vorschlag fiir (XIV. IKVM) VerSffentlichungsspraehe Computer-Darstelhing

tVx V(A(); P(); t) V9C(A(), P(), T) tVx:n-1 VAE(x; n; t) VAE7C(X, N, T) U (Rfiekkaufswert) U(A( ) ; P( ) ; t) U9C(A(), P(), T) tWx:n7 WAE(x; n; t) WAE7C(X, N, T) (In)x; (IAx) a(Ix); A(Ix) IAP(X); IA(X) (Dn7 Ax:n-1) A(Dx; n) JA07(X, N) = JA7(X, N)

Summary

Taking as a basis the report "Suggestions for an International Actuarial Publication Language and its Representation in Computer Compatible Form" by Boehm, Reichel et al. (presented to the 18th International Congress of Actuaries in Munich) this paper proposes an actuarial notation which is directly suitable for the usual problem oriented programming languages. To this end general rules of transformation are developed for the publication language as for as it conflicts with the rules of programming languages. These rules of transformation lead to a syntax which follows the publication language as far as possible while conforming to the syntax of programming languages without discrepancy.

602